Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластин и пологих оболочек с построением систем аппроксимирующих функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Абросимов, Алексей Анатольевич

• Абросимов, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абросимов, Алексей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

1.1. Основные соотношения теории гибких пологих оболочек пе- 16 ременной толщины

1.2. Вывод уравнений теории гибких пологих оболочек переменой 19 толщины в перемещениях для кинематической модели Кирхгофа

1.3. Уравнения для модели Кирхгофа - Лява в смешанной форме.

1.4. Граничные условия

1.5. Приведение соотношений к безразмерному виду

1.6. Выводы

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ ЛИНЕАРИ- 36 ЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Уравнения метода последовательных нагружений (МЛН)

2.2. Решение задач с использованием МПН

2.3. Уравнения метода последовательных приближений (МПП).

2.4. Решение задач с использованием метода последовательных 51 приближений

2.5. Решение задач с использованием комбинированного метода 55 линеаризации (КМЛ)

2.6. Выводы

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ АППРОКСИМИ- 61 РУЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

3.1. Построение систем аппроксимирующих функций

3.1.1. Подбор систем функций базирующихся на системе си- 62 нусов

3.1.2. Подбор систем функций базирующихся на системе косинусов

3.1.3. Подбор систем функций полиномиального вида

3.1.4. О полноте построенных систем функций

3.2. Применение подобранных систем аппроксимирующих функ- 70 ций при отыскании НДС пологих оболочек в линейной постановке

3.3. Исследование НДС пластин в геометрически нелинейной по- 76 становке с разными системами аппроксимирующих функций

3.4. Исследование возможности применения разных систем функ- 80 ций при отыскании НДС гибких пологих оболочек шарнирно закрепленных по контуру

3.5. Исследование возможности применения разных систем функ- 83 ций при отыскании НДС гибких пологих оболочек защемленных по контуру

3.6. Выводы

Глава 4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 91 РАЗНЫХ СИСТЕМ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

4.1. НДС гибких пологих оболочек различным образом закреплен- 91 ных по контуру

4.2. НДС подъемистых оболочек

4.3. НДС оболочек переменной толщины

4.4. НДС пластин и оболочек, находящихся в температурном поле

4.4.1. Пластина постоянной толщины находящаяся в равно- 109 мерном температурном поле

4.4.2. НДС пологой оболочки находящейся под действием 111 комбинированного «нагружения»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластин и пологих оболочек с построением систем аппроксимирующих функций»

ОБЩИЕ МОМЕНТЫ

Тонкие пластинки и оболочки широко применяются в различных областях техники. Они являются важными конструктивными элементами самолетов и ракет, надводных кораблей и подводных лодок, всевозможных приборов и аппаратов, резервуаров, затворов платин, элементами набора обшивки вагонов и т.д. Находят они все большее применение и в строительстве [51]. Наряду с механическими воздействиями такие конструкции могут подвергаться одновременно действию высокого температурного поля. Задачи о температурных напряжениях возникают в машиностроении, авиации, металлургии, строительстве, реакторостроении, ракетостроении и других областях, где вопросы прочности, связанные с температурными воздействиями, могут иметь большое, а часто и решающее значение. Так как вопросы экономики и веса в некоторых видах конструкций играют первостепенную роль, то и запасы прочности всех элементов необходимо использовать полностью и, следовательно, в этих случаях первое место занимают исследования по определению расчетных характеристик при больших прогибах, что может быть сделано лишь в рамках нелинейной теории.

Нелинейная теория пластин и оболочек стала интенсивно развиваться с начала XX века в связи с потребностями кораблестроения. Выдающийся вклад в эту теорию внесли ученые - кораблестроители И.Г.Бубнов и П.Ф.Папкович. Толчком к развитию нелинейной теории оболочек послужил возросший в начале 30-х годов интерес инженеров, прежде всего самолетостроителей, к вопросам устойчивости оболочек под действием разного рода нагрузок. Сопоставление экспериментальных критических нагрузок и напряжений с расчетными, полученными на основе линейной теории, указывало на большое расхождение между ними. Для объяснения этого расхождения ученые обратились к исследованию влияния нелинейных факторов, к исследованию устойчивости оболочек в больших прогибах.

Большой вклад в развитие нелинейной теории пластин и оболочек внесли работы таких авторов, как Н.А.Алумяэ [14-15], С.А.Амбарцумян [18], В.В.Болотин [28-36], Е.Ф.Бурмистров [37-40], В.З.Власов [48-50], Д.В.Вайнберг [41-43], Н.В.Валишвили [44], А.С.Вольмир [51-54], И.И.Ворович [55-62], К.З.Галимов [63-67], А.Л.Гольденвейзер [74], Э.И.Григолюк [75], Т.Карман [93,162], Б.Я.Кильчевский, М.А.Колтунов, М.С.Корнишин [111-113], А.И.Лурье, Х.М.Муштари [124-125], В.В.Новожилов [128-129], П.М.Огибалов [110], Д.Ю.Панов [131,132], В.В.Петров [133-140], И.В.Свирский, В.И.Феодосьев [153],Чен Вей-Цанг и др.

И если теория расчетов пластин и оболочек конечного прогиба насчитывает почти вековую историю, то основная история расчета пластин и оболочек, находящихся в температурном поле и имеющих большие прогибы умещается в отрезке времени наполовину меньшем. Исследованию вопросов термоупругости посвящены работы таких ученых, как В.В.Болотин [34-36], АА.Ильюшин, А.Д.Коваленко, В. В.Новацкий [126,127], Б.Г.Коренев,

A.Синицин, В.И.Феодосьев, Э.Фридман, М.Био [26], Б.Гейтвуд [72] Э.Мелан и Г.Паркус [122], Т.Уилер, Н.Хофф, Б.Боли и Д.Уэйнер [27], и другие. Решено большое количество задач о температурных напряжениях в стержневых системах, пластинках, оболочках и различного рода массивных конструкциях. Вопросами термоупругого расчета пластин и оболочек занимались у нас такие ученые как А.И.Лурье, А.Л.Гольденвейзер, В.З.Власов, Д.Ю.Панов, Э.И.Григолюк, А.Д.Коваленко и многие другие. Абсолютное большинство работ, посвященных расчету пластин и оболочек, работающих в условиях температурного поля, опубликованных до 1960 года, ограничиваются рассмотрением малых перемещений.

Решенные задачи для пластин и оболочек конечного прогиба, находящихся в температурном поле, можно найти в работах Ю.П. Артюхина [22],

B.А. Бажанова [24], Н.И. Безухова [25], Е.Ф. Бурмистрова [40], Т.В. Винник.

46,47], М.С. Танеевой [68-71], И.И. Гольденблата и Н.А. Николаенко [73], 5

С.М. Дургарьяна [79-81], С.Н. Иванова [85], Б .Я. Кантора [89,91], В.В. Карпова [94-96, 99,100,102-107], В.А. Крысько [114-117], П.М. Огибалова. и В.Ф. Грибанова [130], В.В. Петрова [133-140], А.П. Присакова [145], В.Н. Филатова [148,149,154].

Для придания большей жесткости тонкостенная часть пластинок и оболочек может иметь переменную толщину и подкрепляться ребрами жесткости. Расчеты на прочность и устойчивость таких конструкций играют важную роль при проектировании современных машин, аппаратов и сооружений. Поведение гладких тонкостенных конструкций и конструкций переменной толщины, находящихся в температурном поле и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследованы недостаточно и являются объектом нашего исследования.

Общие вопросы устойчивости движения и равновесия систем сформулированы в работах Л.Эйлера [160], Ж.Лагранжа [118], А.М.Ляпунова [120], Н.Г.Четаева [158]. Значительный вклад в разработку устойчивости оболочек внесли работы Н.А.Алфутова [16,17], В.В.Болотина [30,31,33], А.С.Вольмира [51] и других российских и зарубежных авторов. Особое внимание при этом уделяется формулировке критериев упругой устойчивости оболочек отмечается в обзорах А.С.Вольмира [54], К.З.Галимова, Р.Г.Суркина [67]. К наиболее общим критериям устойчивости, как известно, относятся статический критерий, введенный Карманом и Цянь Сюэ-Сэном [134], энергетический критерий, базирующийся на теореме Лагранжа-Дирихле о минимуме потенциальной энергии [54].

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое количество публикаций [21,45,82,83,88,101,111,137,144]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало важным моментом исследования, что все учебники по строительной механике содержат главы, посвященные методам расчета, 6 например [87]. Для решения линейных задач используются как точные и приближенные аналитические методы [21], так и численные методы: метод конечных разностей [111,112], метод конечных элементов [143] и др. При использовании аналитических методов решения разыскиваются в форме двойных рядов [21]. При решении нелинейных задач широко используется метод Бубнова-Галеркина [54] и метод конечных элементов (МКЭ) [142, 143].

В настоящее время широкое применение при решении нелинейных задач теории пластин и оболочек находят, опирающиеся на быстродействие и другие широкие возможности ЭВМ, методы конечных разностей и конечного элемента, являющиеся наиболее универсальными в смысле граничных условий и геометрии плана оболочки. Впервые для решения нелинейных задач метод конечных разностей использован Г.Генки, затем М.Кайзером, Я.Д.Лившицем, П.М.Варваком, В.И.Гуляевым и Г.И.Мельниченко [78], большой вклад в развитие этого метода сделали работы М.С.Корнишина [146]. Вопросы устойчивости оболочек на произвольном плане успешно решаются методом конечного элемента в работах О.А.Рассказова [146]. В работе В.А.Постнова и В.С.Корнеева [143] за отдельный элемент в МКЭ принят усеченный конус, что позволило с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

Вместе с тем следует заметить, что эти методы при исследовании устойчивости оболочек требуют для достижения удовлетворительной точности либо большого количества точек разбиения области, при использовании МКР, либо большого числа элементов при применении МКЭ, что приводит к существенному увеличению объема вычислений. В связи с этим Л.М.Качанов [108] отмечал, что в ряде случаев, в частности для уравнений в частных производных, более эффективными являются вариационные методы. К таким методам относится широко известный вариационный метод Ритца, который применялся в частности для исследования осесимметричных задач теории пластин и оболочек в работах Б.Я.Кантора [90] и Л.М.Афанасьевой

23], на этом методе базируется вариационно-параметрический метод 7

В.В.Карпова [86] с помощью которого решается широкий круг задач в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. К числу вариационных методов относится, предложенный в 1931 г. В.З.Власовым и независимо от него в 1933 г., в математической постановке, Л.В.Кантаровичем приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных путем сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот метод, получивший название «метод Власова-Канторовича» применен для решения нелинейных задач В.В.Петровым [139], затем был использован в работах В.В.Амельченко [19,20], В.В.Карпова [98], В.Н.Филатова и др. Эффективным так же является, базирующийся на методе Власова-Канторовича, метод вариационных итераций, предложенный В.В.Петровым и реализованный в решении задач его учеником И.В. Неверовым [20]. Этот метод позволяет улучшать аппроксимирующие функции, менять граничные условия в процессе изменения величины параметра нагруже-ния.

Прилегающий к вариационным методам проекционный метод Бубнова - Галеркина был предложен крупным русским ученым-кораблестроителем И.Г.Бубновым, затем использован Б.Г.Галеркиным для решения широкого круга задач строительной механики. Д.Ю.Пановым метод был распространен на нелинейные задачи теории пластин большого прогиба [131,132]. Теоретическое обоснование применения метода Бубнова — Галеркина к решению нелинейных задач дано И.И.Воровичем [55-62]. Построению вариационных формул, оценке точности метода Бубнова-Галеркина при решении нелинейных задач теории пластин и оболочек посвящены работы И.В.Свирского. Универсальность метода отмечается Л.В. Канторовичем [92]: «Он может быть применен с успехом к уравнениям различных типов: эллиптическим, гиперболическим, параболическим, даже если они не связаны вовсе с вариационными проблемами». Метод Бубнова — Галеркина имеет несколько модификаций. В модификации предложенной Х.М.Муштари метод Бубнова — Галеркина применяется одновременно ко всем уравнениям записанным в перемещениях.

Вариационные методы Бубнова-Галеркина и Ритца позволяют свести решаемую задачу к решению нелинейных алгебраических уравнений решение которых вызывает большие трудности. В работе В.И.Феодосьева [153] говорится: «При помощи вариационных методов удается обычно установить существование критических состояний и неоднозначность форм равновесия. Что же касается количественных оценок, то в нелинейной области в зависимости от метода решения и способа аппроксимации полученные результаты заметно разнятся. Объясняется это тем, что форма упругой поверхности оболочки при больших перемещениях меняется настолько существенно, что не может быть описана функциями, содержащим только один или далее два варьируемых параметра. Введение большого числа параметров наталкивается на серьезные вычислительные трудности».

ПРОБЛЕМА ЛИНЕАРИЗАЦИИ АЛГЕБРЫ

В нелинейной теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И.Григолюком и В.И.Шалашилиным в их совместной монографии [76]. Однако, еще в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В.В.Петров получил метод последовательных нагружений (МПН), имеющий широкое применение [136,137,140], его учениками получены другие разновидности метода продолжения решения по параметру. Так В.В.Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки. В.В.Карповым за параметры берутся высота ребер и кривизна оболочки и получены соответственно метод последовательного наращивания ребер (МПНР) и метод последовательного изменения кривизны (МПИТ). Если за параметр принять температуру, то получаем метод последовательных нагреваний.

При решении задачи о больших прогибах пластинки вариационными методами (Бубнова-Галеркина, Ритца) система нелинейных дифференциальных уравнений сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений. Последняя система решается, как правило, методом последовательных приближений.

При решении задачи методом конечных разностей система дифференциальных уравнений также алгебраизуется. В силу нелинейности исходных дифференциальных уравнений, уравнения в конечных разностях остаются также нелинейными и, таким образом, трудность решения этих уравнений такова же, как при решении задач вариационными методами.

При решении задачи методом последовательных приближений (например, с использованием малого параметра), последовательные приближения при аналитическом расчете быстро становятся настолько громоздкими, что практические расчеты в приближении высшем, чем второе, становятся весьма затруднительными, при расчете же на ЭВМ пропадает главное достоинство этого метода - его аналитичность.

В 1958 году выдающимся советским ученым В.З.Власовым был предложен и в дальнейшем разработан в работах [134-136,138] его ученика В.В.Петрова, применительно к решению геометрически нелинейных задач теории пологих оболочек, метод последовательных нагружений (МЛН).

Идея этого метода заключается в том, что нагрузка разбивается на сумму ступеней. Величина ступени нагружения выбирается достаточно малой и тогда, в пределах ступени нагружения, остаются справедливыми положения линейной теории. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, таким образом, сводится к последовательному решению линейных систем дифференциальных уравнений. При этом кривая зависимости «нагрузка — прогиб» заменяется ломаной линией, которая тем точнее будет описывать искомую кривую, чем меньшими будут выбраны ступени нагружения.

Линеаризованные уравнения в частных производных решаются далее любым из известных методов. При этом, решая систему полученных линейных уравнений вариационными методами или методом конечных разностей, дифференциальные уравнения сводятся к линейным алгебраическим уравнениям, решить которые значительно проще, чем системы нелинейных алгебраических уравнений. Здесь мы избавляемся от необходимости выбора нулевого приближения, точность выбора которого существенно влияет на сходимость метода последовательных приближений при решении нелинейных алгебраических систем.

Как отмечал Л.И.Шкутин [159] , одно из преимуществ МПН перед Ml 111 состоит в возможности пренебрежения членами высшего порядка малости и упрощении тем самым уравнений. Другим его преимуществом является то, что при достаточно малом изменении параметра внешнего воздействия каждое последующее решение получается с помощью одного приближения, тогда как в MI 111 для каждого фиксированного значения параметра нагрузки зачастую приходится брать довольно много приближений. Если при этом требуется исследовать некоторый интервал нагрузок, то Mill 1 может привести к большему числу уравнений, чем МПН.

К преимуществам метода решения нелинейных уравнений по шагам, как указывается в работе В.И.Феодосьева [153], следует отнести то, что здесь определяется биография системы, начиная с исходного ненагруженного состояния, что позволяет конструктору гибко оценивать работоспособность конструкции, обращать внимание на те параметры, которые являются наиболее существенными. Кроме того, решение задачи по шагам освобождает нас от необходимости анализировать многозначность форм равновесия. Она-исключается однозначностью истории нагружения.

В соответствии с МПН линеаризуются не только исходные дифференциальные уравнения, но и граничные условия, если они нелинейны: Кроме того, представляется возможность, как это показано в работе В.А.Крысько

114], с помощью МПН решать некоторые конструктивно нелинейные задачи с граничными условиями, изменяющимися в процессе нагружения.

Метод последовательных нагружений имеет первый порядок точности, что отмечается некоторыми исследователями [112] как его недостаток.

Совершенно независимо подобный подход (подобно МПН) шаговой, поэтапной линеаризации был развит в работе Тарстона и статьях В.И.Феодосьева [153]. Оригинальная методика решения нелинейных краевых задач была предложена в статье Н.В.Валишвили [45]. Благодаря работам В.И.Феодосьева и В.В.Петрова шаговый метод линеаризации приобрел значительную известность. МПН использовался в работах Г.А.Соколовой, Л.М.Прегера, Л.И.Шкутина [159], Л.Е.Андреевой, В.В.Петровского, Н.Н.Столярова . Большое количество задач с использованием этого метода решено в кандидатских диссертациях В. А. Крысько, И.В.Неверова,, В.В.Карпова и других учеников В.В.Петрова. Температурные задачи для пластин и пологих оболочек конечного прогиба с использованием этого метода решали В.В.Петров, В.Н.Филатов[103,104], П.К.Семенов [148] и др.

Уточнение решения за счет уменьшения шага нагружения в МПН связано с существенной затратой времени счета. В своей докторской диссертации В.В.Петров предлагает для уточнения решения использовать метод Ньютона-Канторовича. Такое уточнение связано с решение уравнений МПН с измененной правой частью. Уточнение решения в МПН у Л.Е.Андреевой, В.В.Петровского состоит в том, что после того, как, с выбранным шагом нагружения получено решение, происходит уточнение самого шага нагружения. В работе В.В.Карпова [94] предлагается уточнение решений для МПН, которое заключается в следующем: поскольку ненагруженное состояние является начальным, а затем решение строится последовательно для возрастающих значений параметра нагрузки, то мы имеем дело с начальной задачей относительно параметра нагрузки. В этих условиях МПН по характеру аналогичен методу ломаных Эйлера, поэтому для повышения точности решения может быть использована вдоль переменной - параметра нагрузки процедура

12

Рунге-Кутта или Адамса, применительно к исходному уравнению, которое можно рассматривать как некоторое функциональное уравнение. Предлагаются расчетные схемы с использованием процедур Рунге-Кутта и Адамса. Средствами функционального анализа показывается порядок точности каждой схемы. В работе Петрова [133] на базе уравнений МПН предлагается двухшаговый МПН значительно уточняющий решение.

ПРОБЛЕМА АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

При расчете пластин и оболочек вариационными методами, а именно такими методами мы пользуемся при решении задач в нашей работе, необходимо иметь вид аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям на кромках конструкции (пластины, оболочки). Как правило, решаются задачи, когда конструкция шарнирно закреплена по контуру и тогда составляющим перемещения удовлетворяют системы синусов, являющиеся полными системами, удовлетворяющими граничным условиям шарнирного закрепления. В случаях других вариантов закрепления сторон контура такие полные системы, достаточно хорошо реализуемые в расчетах, отсутствуют. Один из вопросов, разработанных в диссертации, посвящен подбору полных систем функций, удовлетворяющих различным вариантам закреплений сторон контура.

При расчете пластин и оболочек с помощью вариационных методов и примыкающего к ним метода Бубнова-Галеркина необходимо задаваться системами аппроксимирующих функций искомых величин. Системы таких функций должны быть полными (как следствие линейно независимыми) и каждая из функций системы должна удовлетворять всем геометрическим граничным условиям, которым удовлетворяет соответствующая искомая величина. В случае шарнирного закрепления по контуру оболочечной конструкции широкое распространение получила для аппроксимации прогиба система синусов. В случае жесткого закрепления по контуру М.М.Филоненко-Бородич [155] предложил систему: [Sin(^) ■ SinQmn^)] ■ [Sin(mj) • Sin(n7trj)].

Карповым В.В. предложены системы аппроксимирующих функций, составленные из многочленов Лежандра £94]. Универсальным методом подбора систем аппроксимирующих функций является метод О.Д.Ониашвили [155], позволяющий подобрать фундаментальные балочные решения для возможных реальных закреплений балки, которые могут служить аппроксимациями при расчете пластин и оболочек. Недостатком отмеченных систем является то, что смена граничных условий требует коренного изменения вида систем аппроксимирующих функций, что влечет за собой значительные изменения расчетной программы.

При решении задач теории пластин и оболочек вариационными методами в качестве систем аппроксимирующих функций чаще всего применяются следующие системы: где w(tj) - непрерывная в [0, 1] функция, имеющая внутри интервала ограниченную и непрерывную производную, и удовлетворяющую условиям w(ij)>0 в (0,1) и u>(0)=w(l) = 0.

Кроме того, в качестве аппроксимирующих функций используют фундаментальные балочные функции, как это предлагал делать В.З.Власов [50].

В работе С.Г.Михлина [147] приводятся системы, которые также удобно использовать при решении задач теории пластин и оболочек вариационными методами:

Sin{j^)} j = 1,2,.

Ш-^} У = 1,2,.

В.1) (В.2)

В.З)

В.4) где Pj(?/) - многочлены Лежандра.

Полнота систем функций (В.1) показана в работе Н.И.Ахиезера [6], системы функций (В.2) - в работе [65], систем (В.З) и (В.4) - в работе [90].

В работе И.К.Даугавета [146] показано, что аппроксимация алгебраическими многочленами дает более быструю сходимость по сравнению с тригонометрической аппроксимацией.

В работе конструируются из алгебраических многочленов системы аппроксимирующих функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Опираясь на полноту функций, из которых конструируются системы аппроксимирующих функций, заключается полнота конструируемых систем.

Удовлетворяя условиям жесткого защемления, в литературе широко применяются системы аппроксимирующих функций [52,97] для прогиба^ = [l + (- l)'+1Cas /яг(2х - l)J, но l + (-1)'+1 Cos in{2x - l)J = [l + (-1)'+1 Cos {2xiTT -in)J = 1 + (-1)'+1 Cos(2im)• Cos(i?r) + + (-1)'+1 Sin(2i7cc) ■ SinQn) = 1 + (-l)'+1 Cos(2inx) • (-1)' + 0 = 1 + (-1)2,+1 Cosfeimc) = 1 - Cos(7im) = 21~С°^ЪЛХ) = 2 • Sin2 (/яг)

Эта система не является полной, но она хорошо зарекомендовала себя в вычислительном процессе [97].

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ Разработка теории и методики решения задач и проведение исследований напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости пластин и оболочек постоянной и переменной толщины, в том числе находящихся в температурном поле, является актуальной задачей. Актуальным является создание расчетных алгоритмов, расширяющих круг решаемых задач и уточняющих решение ранее решенных задач. Изложенное определило актуальность темы данной работы и ее цели.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Целью диссертационной работы является создание математической модели НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины при воздействии внешней нагрузки и температурного поля, построение систем функций, аппроксимирующих искомые составляющие перемещения, подбор и реализация на ЭВМ алгоритма, позволяющего апробировать построенные системы функций и решить на их основе новые задачи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

- На основе функционала потенциальной энергии для кинематической модели Кирхгофа-Лява построена математическая модель НДС и устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины, находящихся под воздействием нагрузки и температурного поля.

Предложена модификация статического метода В.З.Власова подбора аппроксимирующих функций, позволяющая строить полные системы аппроксимирующих функций для искомых составляющих перемещения, удовлетворяющих различным закреплениям сторон контура пластин и оболочек прямоугольного плана. С помощью этой методики осуществлено построение трех систем функций для составляющих перемещения: систем, базирующихся на синусах, базирующихся на косинусах и систем полиномиального вида.

- Разработаны алгоритм и комплекс программ для решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, с последующим приведением систем линейных дифференциальных уравнений к системам алгебраических уравнений с использованием высоких приближений метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании составляющих перемещения построенными системами функций.

Путем численного исследования построенные в работе системы функций апробируются на решении тестовых задач, ранее решенных другими авторами и иными методами, и на решении одних и тех же задач с использованием разных систем аппроксимирующих функций. Из сравнения показываются возможность и эффективность использования всех построенных в работе

16 систем функций.

- С использованием предложенной математической модели показано, что при рассмотрении НДС и устойчивости весьма пологих оболочек, различным образом закрепленных по сторонам прямоугольного контура, следует вести расчет с учетом всех возможных вариантов закрепления сторон контура оболочки и выбирать наименее выгодный вариант с меньшим уровнем критической нагрузки, поскольку реальные контурные закрепления могут отличаться от идеальных закреплений расчетной схемы.

- Показано, что для оболочек постоянной толщины в случае большой кривизны на графике «нагрузка — прогиб в центре» наблюдаются петлеобразования. В случае оболочек, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, эти эффекты наблюдались другими авторами; в случае оболочек, жестко заделанных по контуру такие эффекты более рельефны и они наблюдались автором впервые.

- Показано, что для оболочек с утолщением в центре петлеобразования прекращаются. При этом уровень критической нагрузки значительно возрастает, а критические внутренние усилия понижаются.

- При рассмотрении задач комбинированного нагружения (нагрузка плюс температура), ярко показывается, что для нелинейных задач принцип независимости действия сил не работает.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяются корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в численных экспериментах, результатам других авторов, полученным иными методами; общефизическим представлениям о характере процессов НДС и устойчивости пластин и оболочек.

Практическая значимость работы заключается в том, что построенная математическая модель и программное обеспечение могут быть исполь

17 зованы в других областях науки и техники, в учебном процессе.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ

1. Математическая модель НДС и устойчивости пологих оболочек переменной толщины от действия механических нагрузок и температуры.

2. Модификация статического метода В.З.Власова подбора систем аппроксимирующих функций; системы аппроксимирующих функций, построенные с помощью этой методики.

3. Расчетный алгоритм и программное обеспечение решения нелинейных задач теории пластин и оболочек, базирующиеся на комплексном методе линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений с последующим сведением получающихся линейных дифференциальных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений с помощью метода Бубнова-Галеркина при аппроксимировании искомых величин системами построенных функций.

4. Результаты численных экспериментов, их сравнительный анализ с известными в литературе решениями и с решениями, выполненными с разными системами аппроксимирующих функций, который показал возможность и эффективность использования всех построенных в работе функций.

5. Результаты решения новых задач, полученные с использованием построенных в работе систем функций, в частности: петлеобразований на графике «нагрузка - прогиб в центре» для подъемистых оболочек постоянной толщины; исчезновение петель для оболочек с утолщением в центре и возрастание при этом уровня критической внешней нагрузки и др.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты работы докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета (Саратов, 2004-2008 гг.); на семинаре кафедры вычислительной математики и информатики СПб ГАСУ под руководством доктора физи

18 ко-математических наук, профессора Вагера Б.Г. (февраль 2005 г.); на XII, XIII и XV Международных симпозиумах «Динамич. и технологич. пробл. механики конструкций и сплошных сред», Москва, МАИ, 2006-2007, 2009 гг.

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Математика и моделирование» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора Крысько В.А. (октябрь 2008 г.); на научном семинаре кафедры «Механика деформированного твердого тела» СГТУ под руководством академика Российской академии архитектуры и строительных наук, профессора Петрова В.В. (ноябрь 2008 г.).

По результатам исследования опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 135 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 162 наименований, и содержит 58 рисунков и 6 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Абросимов, Алексей Анатольевич

4.5. Выводы

В настоящей главе с помощью подобранной методики и с использованием построенных систем аппроксимирующих функций решаются некоторые новые задачи.

В параграфе 4.1 решаются задачи отыскания НДС и потери устойчивости пологими оболочками различным образом закрепленными по стронам квадратного в плане контура. Показывается, что значения критической нагрузки (верхней критической нагрузки) для наиболее выгодной комбинации граничных условий отличается от наиболее невыгодной комбинации на 12,6%. Поскольку в реальных конструкциях закрепление стороны контура может отличаться от идеального закрепления расчетной схемы, то рекомендуется вести расчет на всевозможные варианты закрепления сторон контура и выбирать наиболее невыгодное с точки зрения момента потери устойчивости закрепление сторон. Такая подстраховка даст оправданный коэффициент запаса при расчете обол очечных конструкций.

В параграфе 4.2 рассматриваются задачи отыскания НДС и потери устойчивости подъемистыми оболочками шарнирно неподвижно закрепленными и защемленными по контуру. Показывается, что такие оболочки имеют петлеобразования на графике «нагрузка - прогиб в центре», что для оболочек шарнирно закрепленных по контуру демонстрировалось другими авторами. В случае жестко защемленных по контуру оболочек моменты петлеобразования еще более ярки и нами они показываются впервые. Сравнение результатов при полиномиальной аппроксимации и аппроксимации с образующими синусами говорит в пользу возможности и эффективности применения и тех и других систем функций. НДС очень пологих и подъемистых оболочек разные.

В параграфе 4.3 рассматривается НДС и устойчивость подъемистых оболочек переменной толщины защемленных по контуру

Видно, что кривые оболочек переменной толщины идут без петлеобразования. Верхняя критическая нагрузка у кривой с К = 0,5 стала больше таковой для оболочки постоянной толщины почти в полтора раза (1200 против 840). У оболочки с К = 1 верхняя критическая нагрузка более чем в два раза превосходит верхнюю критическую нагрузку аналогичной оболочки постоянной толщины (1900 против 840).

Видно, что во всех трех случаях оболочка в центре под действием приложенной нагрузки прогибается, а не вспучивается как оболочка постоянной толщины под действием той же нагрузки.

На рис. 4.17 приводятся эпюры суммарных напряжений на верхней поверхности оболочек (z = ze) по сечению ц = 0,5 в верхних критических точках. Красной линией приводится эпюра для оболочки постоянной толщины (ат = о), зеленой - для оболочки переменной толщины с К = 0,5, синей — для оболочки переменной толщины с К = 1. Из этого рисунка видно, что хотя критическая нагрузка для оболочки переменной толщины с К = 1 более чем в два раза выше, чем для оболочки постоянной толщины, напряжения в верхней критической точке меньше у оболочки переменной толщины. Здесь меньше и напряжения сжатия, и напряжения растяжения. Характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с К = 0,5 подобен характеру распределения напряжений у оболочки постоянной толщины. Совсем другой характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с К = 1.

Синяя штриховая линия на рис. 4.15 соответствует расчету для оболочки переменной толщины по (4.1) с ^ = 1 в (4.2), выполненному с системами полиномиального вида (3.25), (3,28). Видно, что это решение практически повторяет решение синей сплошной линии на этом рисунке, выполненное с аппроксимирующими функциями, образующими которых являются синусы. Это еще раз подтверждает мысль о том, что разные функции, подобранные в работе одинаково хорошо работают в решаемых задачах.

На рис. 4.18 приводятся графики «д-W (if)» для квадратных в плане, жестко заделанных по контуру оболочек кривизны к = 64, находящихся под

115 действием равномерно распределенной нагрузки q перпендикулярной плану оболочки. Красная линия соответствует оболочке постоянной толщины. Синяя - оболочке переменной толщины с К = 1 в формуле (4.2). Расчеты здесь проводились в 16 приближении метода Бубнова-Галеркина с аппроксимацией составляющих перемещения по системам (3.7), (3.10), образующими которых являются системы синусов. Здесь также демонстрируется, что утолщение оболочки в центре дает график «q-W (ц)» без петлеобразования и приводит к значительно большим значениям верхней критической нагрузке по сравнению с оболочкой постоянной толщины. Причем разница в значениях верхних критических нагрузок здесь еще более значительна, чем у оболочек с к = 32.

В параграфе 4.4 рассматривается НДС пластин и оболочек, находящихся в температурном поле.

Из приводимых для этой задачи данных видим, что кривые графиков «T-W(0,5; 0,5)» практически совпадают, кривые соответствующих напряжений по двум расчетам, выполненным разными методами, достаточно близки количественно и имеют различия в качестве распределения изгибных напряжений. По точности строящихся решений предпочтение отдается нашему решению, выполненному в высоких приближениях вариационного метода с исчерпанием сходимости в KMJI. Однако близость этих двух решений говорит об эффективности методики, примененной в работе [154].

Так же рассматривается НДС оболочки под действием комбинированного нагружения, когда оболочка сначала грузится равномерно распределенной нагрузкой перпендикулярной плану оболочки до уровня <7=158, что составляет около 90% от верхней критической нагрузки для этой оболочки, далее оболочка нагревается равномерной температурой до уровня Т =14, затем та же оболочка сначала нагревается до Г =14, затем грузится до q = 158. Т.е. на финише имеем одинаковое суммарное внешнее воздействие на оболочку. Однако при этом на «графике нагрузка-прогиб в центре» для первого случая fV(q)=l,30, для второго -W (ц) = -0,47.

116

Таким образом, от одинакового суммарного внешнего воздействия, деформированное состояние в обеих задачах различное.

По приводимым результатам видно, что при одинаковом финишном внешнем воздействии значительно разнятся и напряженные состояния в этих двух задачах. Таким образом, решенные задачи ярко показывают, что в случае решения нелинейных задач принцип суперпозиции не работает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты и выводы.

1. Используя интегральные вариационные принципы механики, для кинематической модели Кирхгофа-Лява построено полное вариационное уравнение для пологих оболочек переменной толщины, находящихся под действием внешней нагрузки и температурного поля, из которого получена система разрешающих уравнений в перемещениях и формулируются возможные граничные условия на краях прямоугольного контура плана оболочки. С использованием уравнения непрерывности деформаций построена система разрешающих уравнений в смешанной форме относительно функции прогиба и функции усилий. Построенные уравнения упрощаются на случай отсутствия температурного поля и постоянной толщины оболочки, что приводит их к виду хорошо известному в литературе. Для большей общности получающихся решений, разрешающие соотношения приводятся к безразмерному виду.

2. Произведены расчеты гибкой пологой оболочки шарнирной закрепленной по контуру на действие равномерно распределенной нагрузки перпендикулярной плану оболочки методом Ритца [150] и методом Бубнова-Галеркина при линеаризации исходных нелинейных систем в перемещениях методом последовательных приближений (МПП), когда нелинейные члены уравнений переносятся в правую часть и последовательно решаются линейные системы с изменяющимися правыми частями и при линеаризации методом последовательных нагружений (МПН). При этом показано, что МПП при использовании метода Ритца работает крайне неустойчиво, допуская срывы решения при нагрузках, не достигающих верхнего критического значения, в то время, как метод Бубнова-Галеркина работает устойчиво и в закритической области. Показывается, что, при избрании в качестве параметра продолжения решения действующей нагрузки, разрешающие уравнения «существенно более нелинейны», чем в случае, когда за параметр продолжения решения берется прогиб оболочки в центре, что приводит к тому, что в первом случае для сходимости решения в МПП приходится проделывать более 30 итераций, во втором случае около 10 итераций. Кроме того, в закритической области (после верхней критической нагрузки) продолжение решения по нагрузке невозможно. С ростом прогиба в центре, решение рассматриваемой нелинейной задачи находится все дальше от решения соответствующей линейной задачи (начального приближения в МПП) и требует все большего числа итераций до полной сходимости в МПП. Для улучшения сходимости в МПП требуется лучшее, чем решение линейной задачи начальное приближение. Для достижения приемлемого решения с использованием МПН, в силу накопления погрешностей на каждом этапе нагружения, требуется строить решение с неоправданно малым шагом нагружения.

3. Применяется комплексный метод линеаризации нелинейных уравнений, предложенный В.В.Петровым [д. д.], когда предварительный расчет ведется при использовании МПН с крупным шагом нагружения, а далее решения уточняются в ограниченном числе характерных точек графика «нагрузка-прогиб в центре» с помощью МПП. Такой старт в МПП из точек финиша в МПН приводит к существенному сокращению количества итераций в МПП до полной сходимости решения и, кроме того, здесь отсутствует проблема сходимости МПП.

4. Рассматривая высокие приближения метода Бубнова-Галеркина, показывается, что для достижения удовлетворительных результатов следует проводить расчеты в четвертом - девятом приближениях метода Бубнова-Галеркина. Из полученных результатов, видно, что с ростом нагрузки эпюры напряжений претерпевают значительные качественные изменения, в то время как эпюры прогибов качественно изменяются незначительно.

5. Используя модификацию статического метода В.З.Власова подбора аппроксимирующих функций [49,50], строятся по три полных системы функций, аппроксимирующих составляющие перемещения для каждого из возможных вариантов закрепления сторон контура оболочки: системы базирующиеся на синусах, системы базирующиеся на косинусах и системы полиномиального вида. Предложенные системы аппроксимирующих функций являются полными в классе функций удовлетворяющих тем или иным граничным условиям. Полнота систем следует из способа их построения, базирующегося на разложении нагрузочного члена в те или иные ряды (ряды синусов или косинусов на интервале [0, 1], или степенные ряды в окрестности центра вырезаемой балочки).

6. Все построенные системы функций апробируются сначала на решении задач для пологой оболочки в линейной постановке. Строятся последовательно 1-е, 4-е, 9-е, 16-е и 25-е приближения для оболочки квадратного плана, шарнирно неподвижно закрепленной по контуру на действие равномерно распределенной нагрузки перпендикулярной плану оболочки при аппроксимировании составляющих перемещения синусами. Аналогичные решения строятся (без 25-го приближения) с аппроксимирующими функциями, базирующимися на косинусах, с подобранными функциями полиномиального вида. Показывается, что кривые 16-го приближения при аппроксимации по полиномам ближе походят к кривым 25-го приближения при аппроксимации по синусам, чем кривые 16-го приближения по синусам, подтверждая тем самым мысль работы И.К.Даугавета о том, что аппроксимация полиномиального вида обеспечивает более быструю сходимость, чем аппроксимация тригонометрического вида. Делается вывод о том, что для достижения удовлетворительных результатов и в перемещениях и в напряжениях необходимо строить 9-е приближения искомого решения. Аналогичные решения строятся для оболочек жестко защемленных по контуру.

7. Со всеми подобранными системами функций строятся решения для гибких пластин. Проводится сравнение нашего решения с решением М.С.Корнишина и Ф.С.Исанбаевой [112], выполненное методом конечных разностей повышенной точности. Из приведенных сравнений делается вывод о возможности и эффективности применения всех подобранных систем аппроксимирующих функций для расчетов пластин и оболочек.

8. Строятся решения в 16-м приближении метода Бубнова-Галеркина с использованием комплексного метода линеаризации (КМЛ) со всеми подобранными системами функций для весьма пологих оболочек квадратного плана, шарнирно неподвижно закрепленных по контуру и жестко защемленных по контуру, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки перпендикулярной плану оболочки. Показывается, что решения, выполненные с разными системами функций отличаются весьма мало, что еще раз подтверждает мысль о возможности и эффективности использования всех подобранных систем функций для расчета пластин и оболочек. Показывается, что с ростом прогибов изменяется конфигурация, как эпюр прогибов, так и эпюр напряжений, причем конфигурация последних претерпевает более значительные изменения.

9. Все построенные системы функций одинаково хорошо воспроизводят решение рассмотренных задач и по точности получающихся решений трудно отдать предпочтение той или иной системе функций. По трудностям программирования задач и по затратам машинного времени предпочтение отдается функциям базирующимся на синусах и функциям полиномиального вида. У функций базирующихся на косинусах трудности при программировании и большие затраты машинного времени объясняются структурой этих функций (полиномы - первое приближение и косинусы плюс полиномы - последующие приближения).

10. Решены задачи отыскания НДС и потери устойчивости пологими оболочками различным образом закрепленными по стронам квадратного в плане контура. Показывается, что значения критической нагрузки (верхней критической нагрузки) для наиболее выгодной комбинации граничных условий отличается от наиболее невыгодной комбинации на 12,6%. Поскольку в реальных конструкциях закрепление стороны контура может отличаться от идеального закрепления расчетной схемы, то рекомендуется вести расчет на всевозможные варианты закрепления сторон контура и выбирать наиболее невыгодное с точки зрения момента потери устойчивости закрепление сторон. Такая подстраховка даст оправданный коэффициент запаса при расчете оболочечных конструкций.

11. Решены задачи отыскания НДС и потери устойчивости подъемистыми оболочками шарнирно неподвижно закрепленными и защемленными по контуру. Показывается, что такие оболочки имеют петлеобразования на графике «нагрузка - прогиб в центре», что для оболочек шарнирно закрепленных по контуру демонстрировалось другими авторами. В случае жестко защемленных по контуру оболочек моменты петлеобразования еще более ярки и нами они показываются впервые. Сравнение результатов при полиномиальной аппроксимации и аппроксимации с образующими синусами говорит в пользу возможности и эффективности применения и тех и других систем функций. НДС очень пологих и подъемистых оболочек разные. Так же рассматривается НДС и устойчивость подъемистых оболочек переменной толщины защемленных по контуру. Показано, что кривые оболочек, переменной толщины идут без петлеобразования.

12. Рассматриваются задачи отыскания НДС пластин и пологих оболочек, находящихся в температурном поле. Полученные для пластин решения сравниваются с ранее полученным решениям Филатова, выполненным в первом приближении метода Власова-Канторовича при улучшении аппроксимирующих функций методом вариационных итераций. Полученные в работе кривые «Г - w(0,5;0,5)» очень хорошо согласуются с кривыми Филатова. В напряжениях же решения достаточно хорошо согласуются количественно, но сильно различаются качественно. Это объясняется тем, что для отображения полной картины в напряжениях недостаточно первого приближения (в работе Филатова).

13. Рассматривались задачи отыскания НДС пологой оболочки находящейся под действием комбинированного «нагружения». Оболочка сначала грузится равномерно распределенной нагрузкой перпендикулярной плану оболочки до уровня g =158, что составляет около 90% от верхней критической нагрузки для этой оболочки, далее оболочка нагревается равномерной температурой до уровня Т = 14, затем та же оболочка сначала нагревается до Т = 14, затем грузится до g =158. Т.е. на финише имеем одинаковое суммарное внешнее воздействие на оболочку. При этом было показано, что оболочка чутко реагирует на порядок воздействия на нее нагрузки и температуры. Так, в первом случае на финише прогиб в центре составлял W (ц) = 1,30, во втором - W (ц) = -0,47. Эта задача ярко показывает, что в случае решения нелинейных задач принцип суперпозиции не работает.

14. Для реализации математической модели была составлена программа на языке С# с использованием технологии .NET компании Microsoft. В процессе эксплуатации программы выявлялись узкие места (места в коде программы, на которые тратиться наибольшее количество времени), которые были перенесены в небезопасную область (unsafe code, т.е. область программы, неконтролируемая .NET Framework). При этом скорость выполнения программы в значительной степени выросла. Разработанная программа разбита на несколько внутренних модулей: математическая часть, пользовательский интерфейс и модуль построения графиков. Математическая часть в свою очередь так же разбивается на ряд подмодулей: математическая модель, модуль линеаризации, модуль, реализующий метод Бубнова-Галеркина и модуль для решения систем линейных уравнений методом Гауса). Каждый модуль легко заменяется, что в значительной мере увеличивает гибкость написанной программы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абросимов, Алексей Анатольевич, 2009 год

1. . Абросимов А.А. Исследование возможности применения аппроксимирующих функций разного вида к расчетам оболочек защемленных по контуру. Молодые ученые — науке и производству : материалы конференции молодых ученых. — Саратов: СГТУ, 2008. -С. 5-8.

2. Абросимов А.А., Айрапетьянц Г.А. Применение различных методов линеаризации уравнений при исследовании НДС гибких пологих оболочек. Молодые ученые — науке и производству : материалы конференции молодых ученых. - Саратов: СГТУ, 2007. — 5-7.

3. Абросимов А.А., Айрапетьянц Г.А., Добрюха Н.А. Исследование НДС гибких пологих оболочек с разными системами аппроксимирующих функций. Молодые ученые — науке и производству : материалы конференции молодых ученых. — Саратов: СГТУ, 2007. - 51-53.

4. Абросимов А.А., Айрапетьянц Г.А., Филатов В.Н. Методы линеаризации уравнений теории гибких пологих оболочек. Материалы XIII Междунар. симп. «Динамич. и технологич. пробл. механики конструкций и сплошных сред». Тез. докладов.-М.:, Изд-во МАИ, 2007

5. Абросимов А.А., Молодчиков К.В., Филатов В.Н. Расчеты оболочек переменной толщины с разными системами аппроксимирующих функций.- СГТУ. Саратов, 2004. 22 с. Деп. в ВИНИТИ, №2064-В.

6. Дургарьян СМ. К устойчивости нагруженной нагреваемой пластинки с начальной погибью / "Докл. АН Арм.ССР", 38, №5, 1964.

7. Дургарьян СМ. Некоторые нелинейные задачи термоупругих двуслойных ортотропных цилиндрических оболочек / В сб. " II Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике", Аннот. докл., М., 1964.

8. Дургарьян СМ. Температурные задачи теории оболочек и пластинок // Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок . - М . : Наука, 1966.-С.914-915.

9. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР «Механика твердого тела», 1970.-4.-С.150-162.

10. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Трудуды ЦКТИ.-Л., 1971 вып. 88.-С.46-70.

11. Зенкевич С,Морган К.Конечные элементы и аппроксимация:Пер.с англ.-М.: Мир, 1986.

12. Иванов СН. Большие прогибы прямоугольных подкрепленных пластин в условиях нестационарного нагрева. — Ученые записки ИДТИ, 1979. Т.10, №4. 99-105.

13. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно- параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград, ВолгГАСА, 2001, 210 с.

14. Ильин В.П., Карпов В.В., МасленниковА.М. Численные методы решения задач строительной механики. Минск. Изд-во Высшейшая школа. 1990. 349с.

15. Ильин В.П.,Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. - Л.: Стройиздат (Ленинградское отделение), 1986.-168С.

16. Кантор Б.Я. Нелинейная термоупругая деформация пологой конической оболочки / "Строительная механика и расчет сооружений", №5, 1968.

17. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек.-Киев, 1971.

18. Кантор Б.Я., Афанасьева Л.М. Закритический изгиб термоупругих равномернонагруженных круглых пластин // Респ. межвед. научно-технический сб. "Самолетостроение и техн. возд. флота", вып. 16,1968.

19. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М . : Физматгиз, 1962, 708с.

20. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле.-М.: ОГИЗ. 1948.

21. Карпов В.В. Модификация метода последовательных нагружений и их применение к расчету гибких пластин и оболочек на действие нагрузки и температурного поля // Дис. на соиск. уч. степ, к.т.н., Саратов, СПИ, 1973, 139 с.

22. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю., Нелинейные математические модели деформирования оболочек перемнной толщины и алгоритмы их исследования. — М.-Спб., СПбГАСУ, 2002 -420 с.

23. Карпов В.В., Кривошеий И.В., Петров В.В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане. Труды X Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. -Изд. Мецниереба, Тбилиси, 1975, т.1.

24. Карпов В.В., Машков В.А. Влияние перепада температуры по толщине на напряженно-деформированное состояние ребристых пластинок / Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. В сб. статей СПбГАСУ, 1994. с.91-97.

25. Карпов В.В., Машков В.А., Филатов В.Н. Термоупругость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах / Там же. 99-104.

26. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АНСССР, сер. МТТ. - 1975. №5.-с.189-191.

27. Карпов В.В., Филатов В.Н. Расчет гибких пологих оболочек на воздействие равномерной температуры // Расчет пространственных систем в строительной механике.-Саратов: изд.СГУ, 1972. 193-196.

28. Карпов В .В., Филатов В.Н. Термоупругость гибких пологих оболочек и пластин ступенчато переменной толщины. // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, вып.6 /СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2000. Юс.

29. Качанов Л.М. Вариационные методы в теории пластичности. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела.- М.: Наука, 1966.

30. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высш. шк., 1972

31. Колтунов М.А., Огибалов П.М. Оболочки и пластины. М.: Изд. МГУ, 1969.

32. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. — с. 192.

33. Корнишин М.С, Исанбаева Ф.С. Гибкие пластинки и панели. М.: Наука, 1968, 260с.

34. Корнишин М.С, Муштари Х.М. Об одном алгоритме решения нелинейных задач теории пологих оболочек. ПММ, 1959, вып.1, т.29.

35. Крысько В.А. Применение вариационного метода В.З. Власова к исследованию НДС гибких изотропных и ортотропных пластинок. Канд. дис. Саратов, СПИ, 1967.

36. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф. Устойчивость гибких пологих оболочек в температурном поле. // Прикладная механика, 1983, 19, №1, с.16-23.

37. Крысько В.А., Кириченко В.Ф., Хаметова Н.А. О влиянии эффекта температурной связанности полей температуры и деформации на динамическую устойчивость пологих оболочек // Прикладная механика.- 1988.- Т. XXIV, №11.- с. 46-50.

38. Крысько В.А., Федоров П.Б. Исследование динамической устоойчивости гибкой пологой обололочки в зависимости от механических и тепловых характеристик // Прикладная механика / АН УССР.-1984.-Т.ХХ, №3.- С 45-49.

39. Лагранж Ж. Аналитическая механика. - Гостехиздат, 1950.

40. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. - Гостехиздат, 1968.

42. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.

43. Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. — М.: Физматгиз, 1958, — 167с.

44. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

45. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: татар, книгоиздат, 1957

46. Муштари Х.М., Галимов Н. К., К теории трехслойных пластин и оболочек, Исслед. по теор. пластин и оболочек, 2, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1964.

47. Новацкий В.В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. - 256с.

48. Новацкий В.В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

49. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1951.

50. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

51. Огибалов П.М, Грибанов В.Ф. Термоупругость пластин и оболочек. М.: Изд. МГУ, 1968. - 520с.

52. Панов Д.Ю. О больших прогибах круглой пластинки. Труды НАГИ, 1939, №450.

53. Панов Д.Ю. Применение метода академика Б.Г.Галеркина для решения некоторых нелинейных задач теории упругости. ПММ, 1939, т.З, №2.

54. Петров В.В. Достижения нагруженного состояния пластин и пологих оболочек при конечных прогибах методом последовательных нагружений. Прикладная механика, т.VIII, В.4, 1962.

55. Петров В.В. Исследование конечных прогибов пластинок и пологих оболочек методом последовательных нагружений. Труды П-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Львов, 1961) , Киев, Изд. АН УССР, 1962.

56. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах. // Научные доклады высшей школы, Строительство, №1, 1959.

57. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. - Саратов: Изд. СГУ, 1975. — 119с.

58. Петров В.В. Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при конечных прогибах — канд. дис, М., МАИ, 1961.

59. Петров В.В. Расчет гибких пластин и пологих оболочек вариационным методом В.З.Власова. Прикладная механика, т. II, вып. 5 .1966.

60. Петров В.В., Иноземцев В.К., Синева Н.Ф. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек.-Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 1996.- 312 с.

61. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М., 1999.

62. Постнов В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения. // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -Тбилиси. Изд-во «Мецниереба», 1975. с.35-44.

63. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикладная механика, 1976. - 12, №5. - с.44-49.

64. Постнов В.В. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977. - 270 с.

65. Присаков А.П. Конечные прогибы упругих трехслойных оболочек в поле действия высоких температур // Прикладная механика, 4, №11, . 1968

66. Рассказов О.А. Расчет многослойной ортотропной пологой оболочки методом конечных элементов. Прикладная механика, 1978, т. 14, №8, с.51-56.

67. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. пособие для студентов вузов. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш. школа, 1982. — 264с.

68. Семенов П.К., Филатов В.Н. Расчет на механическое и тепловое воздействие прямоугольных пластинок из нелинейно-упругого материала с изменяющимися от нагревания свойствами // Саратов, СПИ. Деп. ВИНИТИ, 1986 (1253-В86). 12стр.

69. Семенов П.К., Филатов В.Н. Тезисы доклада на конференции Образцова И.Ф.

70. Терегулов И.Г., Тимергалиев Н. Метод Ритца приближенного решения краевых задач нелинейной теории тонких оболочек // Изв.РАН.МТТ.2002.№1.С.154-164.

71. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. - М.: Наука, 1995. 320 с.

72. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

73. Феодосьева В.И. Десять лекций - бесед по сопротивлению материалов. М., «Наука», 1959.

74. Филатов В.Н. Исследование поведения гибких пластин в температурном поле при учете зависимости модуля упругости и коэффициента теплового расширения материала от температуры. Дис. на степень к.т.н. Сарат. политехи ин-т. 1970.

75. Филоненко-Бородич М.М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости.-ПММ,1946, т. 10, вып.1.

76. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ИЛ, 1956.

77. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л., 1986.

78. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

79. Шкутин Л.И. Определение критической величины давления для пологих конических оболочек. Труды VI-й Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М., «Наука», 1966.

80. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле.- Гостехиздат, 1934.

81. Antman S. S. Nonlinear continuum physics// Mathematics Unlimited 2001 and Beyond. Springer-Verlag. 2001. 1237 p.

82. Karman T. Tsien H.S. The buckling of thin eglindricol shells under axial compression. J. Acron. Sci... 8, 1941, №8, p.p. 303-312. |5 If V