Прямые и обратные спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля и системы Дирака тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Савчук Артем Маркович

• Савчук Артем Маркович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Савчук Артем Маркович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Асимптотические формулы для фундаментальной системы решений систем

дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами

§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты

§2. Дифференциальные выражения с коэффициентами — распределениями

§3. Асимптотические формулы для фундаментальной матрицы системы

§4. Убывание остаточных членов. Случай f € Ьр[0,1], р € [1, 2]

§5. Убывание остаточных членов. Шкала пространств Бесова В®

§6. Убывание остаточных членов. Шкала пространств Бесова Врр/, р € (1, 2]

ГЛАВА II. Спектральные свойства одномерной системы Дирака

§1. Обозначения и предварительные результаты

§2. Оператор Дирака с нулевым потенциалом

§3. Асимптотические формулы

§4. Резольвента оператора Ср,и

§5. Полнота и базиеноеть Рпсса системы собственных и присоединенных векторов Ср,и

§6. Равномерность асимптотических оценок на компактах X э Р

§7. Равномерность асимптотических оценок на шарах ||Р< Д, к >

88. Базиеноеть системы {уп}п€й в шкалах пространств

ГЛАВА III. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными коэффициентами ,,,

§1. Определение оператора методом регуляризации

§2. Другие способы определения оператора Ь

§3. Асимптотические формулы и базиеноеть Рисса

Ь

§5. Уточненные асимптотические разложения

ГЛАВА IV. Обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля,

§1. Асимптотические оценки в шкалах пространств для задачи Борга

§2. Асимптотические оценки для задачи Гельфанда-Левитана

§3. Решение обратной задачи Борга

§4. Восстановление четного потенциала по спектру задачи Дирихле

§5. Решение обратной задачи Гельфанда-Левитана

§6. Восстановление потенциала по конечному набору спектральных данных

Приложение А. Интерполяция

Приложение В. Шкалы пространств

Приложение С. Спектральные проекторы

Приложение Б. Условные и безусловные базисы

Приложение Е. Операторы преобразования

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и обратные спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля и системы Дирака»

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность темы. Речь в этой диссертационной работе пойдет преимущественно об операторе Штурма Лиушк ыя и об одномерной системе Дирака. Оператор второго порядка Ь, порождаемый в пространстве Ь2[0,п] дифференциальным выражением

%) = -V" + д(х)у (1)

и подходящими граничными условиями, был, по-видимому, впервые рассмотрен в XIX веке Ж. Ш. Ф. Штурмом и Ж. Лиувиллем. Под одномерной системой Дирака мы понимаем оператор С, порождаемый в пространстве Ь2[0,п] 0 Ь2[0,п] дифференциальным выражением

%) = В у' + Р (х)у (2)

и граничными условиями вида и(у) = 0. Здесь у = (уьу2) — вектор-

функция, В = ( — 0 ), а Р(х) = | Р1(х) Р2(х) \ _ дта система была впервые 10 Ч \Рз(х) Ра(Х)

введена П. Дираком в 1928 году в его работах [25] и [26] для описания поведения заряженной частицы в электромагнитном поле с учетом релятивистских эффектов. С одной стороны, операторы такого вида являются простейшими из содержательных моделей различных задач математической физики. С другой стороны, эти операторы составляют базу для перенесения и обобщения результатов на обыкновенные дифференциальные операторы и системы высоких порядков, операторные пучки и т. п. Под прямыми спектральными задачами мы понимаем прежде всего задачи о локализации спектра а (Ь) и а(С), задачи о базисности (условной и безусловной) систем корневых векторов операторов Ь и С, задачи об оценке резольвент Я(Х) = (Ь — XI)-1 и ЩХ) = (С — XI)—1. Под обратными спектральными задачами — задачи о восстановлении потенциалов д и Р по различным спектральным данным (спектрам, спектральной функции и т.д.). Прямые спектральные задачи естественным образом обобщаются и приводят к изучению дифференциальных

выражений вида

-у' + Лр(х)Бу + А(х)у + С(х, Л)у. (3)

Здесь у = (у1,..., уп), Б — постоянная матрица, А(х) — матрица, зависящая только от переменной х € [0,1], а С(х, Л) — матрица, зависящая и от х и от спектрального параметра Л € С. Такие системы возникают и при изучении задачи Ьу = Лу для оператора Штурма-Лиувилля, и при изучении задачи Су = Лу

дачи для операторов высокого порядка, и для операторов с полиномиальным вхождением спектрального параметра (операторных пучков).

Особенностью данной работы является то, что мы допускаем потенциалы — распределения первого порядка при изучении операторов Штурма Лиушыля и потенциалы класса Ь\ при изучении операторов Дирака. Под распределением первого порядка мы (с точностью до граничных эффектов) понимаем потенциалы вида q(x) = и'(х), где и € Ь2[0,п]. Эти два класса задач связаны между собой — сингулярность указанного вида в потенциале оператора Штурма-Лиувилля приводит к матрицам-коэффициентам класса Ь\ после сведения соответствующей спектральной задачи к виду (3). Более того, мы рассматриваем и операторы высокого четного порядка, коэффициенты которых могут быть распределениями более высокого порядка сингулярности.

Обрисуем подробнее методы, применяемые при исследовании прямых спектральных задач. За более чем сто лет исследований таких методов разработано достаточно много. Например, активно разрабатываются методы, основанные на вариационной технике, метод подобных операторов, метод операторов преобразования, метод В. А. Ильина среднего значения. Но если говорить о методах, применимых ко всему классу упомянутых выше краевых задач и операторов, то следует признать, что наиболее употребимыми являются два из них: теория возмущений и техника асимптотических разложений. Теория возмущений имеет абсолютно абстрактную основу и потому применима к любым спектральным задачам. Она одинаково успешно позволяет получать результаты и для операторов в и для функционально-дифференциальных операторов. Однако, несмотря на существенные последние продвижения (см., например, обзорную работу [98]), в случае обыкновенных дифференциальных операторов, асимптотические методы позволяют получать более точные результаты. Именно техника асимптотических разложений по спектральному параметру Л ^ то лежит в основе всей данной диссертационной работы. Мы

существенным образом используем ее и для решения обратных спектральных задач. При этом нам удается получить довольно тонкие оценки, уточняющие и расширяющие классические результаты, полученные методом операторов преобразования, методом спектральных моделей и т.д.

Теперь по возможности подробно остановимся на истории вопроса и на современном состоянии исследований в области прямых и обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов. Эта тематика сейчас настолько обширна, что практически невозможно сделать даже поверхностный обзор. Задача становится выполнимой, если ограничиться тематикой дифференциальных операторов с коэффициентами — распределениями и, соответственно, дифференциальными системами вида (3) с суммируемыми матрицами-коэффициентами.

Невозможно не упомянуть о тех работах, в которых впервые возник интерес к дифференциальным системам высокого порядка, а именно, к поведению решений этих систем при больших значениях спектрального параметра. Не претендуя на полноту этого короткого обзора, упомянем работы Г. Д. Бирк-гофа [16], [17], О. Перрона [87], Я. Д. Тамаркина [100], [99]. Позже идеи и методы этих работ были развиты в работах [101], [102], [18]. Эти работы определили круг понятий и методов, которые активно и постоянно используются: разделение плоскости параметра X па сектора, поиск фундаментальной матрицы решений отдельно в каждом секторе и метод последовательных приближений для соответствующих систем интегральных уравнений. Коэффициенты, конечно, предполагались достаточно гладкими. Затем эти предположения многократно ослаблялись. Не останавливаясь на различных промежуточных результатах, упомянем монографию И. М. Рапопорта [169], в которой были изучены асимптотические свойства системы вида

и' = ХУ(х)и + Л0(х)и + Со(х, Х)и (4)

с вещественным параметром X в предположении, что элементы матрицы У(х) лежат в пространстве ^12[0,1], элементы матрицы Л0(х) — в пространстве ЛС[0,1], а С0(х,Х) = 0(Х—1). В более поздней работе А. И. Вагабо-ва [124] условия на коэффициенты (4) уже более слабые: У(х) € С1[0,1], Ло(х) € С[0,1].

В целом, для классической теории стандартными являются условия непрерывности коэффициентов системы при абсолютной непрерывности матрицы V (см., например, монографию М. А. Наймарка [165, глава II, §1]). По-

видимому, наиболее общий на текущий момент случай разобран B.C. Рыхло-вым в работе [94], где, как и в нашей работе, элементы матрицы V предполагаются абсолютно непрерывными, а элементы матриц A0 и C0 - суммируемыми по Лебегу. Отметим, что статья [94] осталась незамеченной специалистами, и в работе [125] ее результаты были передоказаны, причем при более сильных

условиях V € ^[0,1], А0, Со € Ья[0,1], q > 1, и в более слабой норме || • ||_ц, 1/q + = 1, вместо || •

Результаты об асимптотическом поведении фундаментальной матрицы решений соответствующей системы дифференциальных уравнений образуют образуют своего рода технический фундамент для наших построений. Ключом к использованию этих методов и результатов является переход от дифференциальных выражений высокого порядка к системам. Этот переход основан на понятии квазипроизводных. Данные понятия также являются классическими и возникли еще в работах Д. Шина [196], [197], [198]. Они активно применяются в монографии [165] для исследования индексов дефекта обыкновенных дифференциальных операторов. С той же целью их использовали А. Зеттл [108], затем К. Бенневиц и В.Н. Эверитт (см. [15], [39], [38], [14]) и многие другие. Весьма подробное изложение теории квазипроизводных (в том числе, высоких четных и нечетных порядков) можно найти в монографии Дж. Вайдмана [107]. Что касается общих вопросов теории операторов Штурма Лиушкыя. сошлемся на монографии В.Н. Эверитта и Л. Маркуса [40] и А. Зеттла [109]. Замечательно то, что теория квазипроизводных нашла свое применение при исследовании операторов с коэффициентами — распределениями (см. [181]). Мы используем технику квазипроизводных и в данной работе.

Отметим, что метод квазипроизводных — не единственный метод, позволяющий работать с потенциалами пространства распределений. Задолго до выхода работы [181] активно изучались операторы сообразными потенцалами. В одномерной ситуации такие потенциалы, по-видимому, впервые были описаны М. Г. Крейном [150] и И. С. Кацем [141]. Для работы сообразными потенциалами достаточно методов теории расширений симметрических операторов. Кроме того, такие оператора допускают естественную дискретизацию, после которой мы приходим к теории якобиевых матриц. Здесь за последние 60 лет разработаны свои достаточно эффективные методы. Литература, посвященная операторам с ^-потенциалами настолько обширна, что указать ее всю в нашем коротком введении невозможно. Упомянем лишь классические

монографии С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг Крона и X. Хольдена [1] и С. Альбеверио и П. Курасова [3], где можно познакомиться с данной теорией и обширной библиографией. Из последних работ в этой области следует упомянуть статьи М. М. Маламуда и А. Костенко [70] и [71]. Отдельно следует сказать о возмущениях типа которые, хотя и похожи на ^-возмущения, но приводят к существенно другим моделям. Литература, посвященная такого рода возмущениям также весьма обширна и мы сошлемся лишь на недавнюю работу Дж. Экхарда, А. Костенко, М. Маламуда и Г. Тешля [41], где предложен современный взгляд на тематику и приведена большая библиография.

Кроме ^-возмущений рассматривались и другие конкретные потенциалы. Обычно речь шла о точечных сингулярностях степенного характера (с осцилляцией и без) на концах отрезка или в одной внутренней его точке. Так, исследованию потенциала типа 1/x посвящены работы Дж. Гунсона [52], П. Курасова [72], Ф. Аткинсона, В. Эверитта и А. Зеттла [6]. С теорией о прямых и обратных спектральных задачах для операторов Штурма-Лиувилля с осциллирующими потенциалами (часто выпадающими из класса W2-1, который мы рассматриваем в главе IV) можно в общих чертах ознакомиться в работах Ф.С. Рофе-Бекетова и Е.Х. Христова [90] и [91], М.Л. Бэтемана и К. Шадана [7] и [8], М. Комбескура и Дж. Гинибра [22], Д. Б. Пирсона [88], М. Комбес-кура [23], а также в работе Дж. Херчински [53], в которой возникают в том числе и некоторые частные семейства потенциалов — распределений.

Другой путь для работы с сингулярными потенциалами был предложен М. Г. Крейном [150] и И. С. Кацем [141] и затем [142] и В. Феллером в [46]. Этот метод довольно подробно описан в классической монографии [5] Ф. Аткинсона (см. также приложение М. Г. Крейна и И. С. Каца в ней [143]). Он основан на идее производных по мере и приводит к рассмотрению дифференциальных выражений с коэффициентами и весами из класса мер. Хороший исторический обзор по данной теме можно найти в монографии А. Б. Мин-гарелли [85] 1983 года (см. также работы X. Лангера [73] и К. Бенневитца [14]). Связь между исследованиями М. Г. Крейна, В. Феллера и Ф. Аткинсона проясняется также в работе X. Фолькмера [106]. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться в недавней работе Дж. Экхарда и Г. Тешля [42]. Забегая вперед, заметим, что современную постановку задачи Крейна в терминах линейных операторных пучков с коэффициентами — распределениями предложили в [129] и развили затем в [130]—[133], А. А. Владимиров и И. А. Шейпак. Эта же постановка (хотя и в несколько другом случае, ко-

гда вместо линейных пучков возникают квадратичные) была использована Дж. Экхардом и А. Костенко в [43] и [44].

Параллельно развивалась теория операторов в частных производных с потенциалами — распределениями. Насколько нам известно, впервые такие потенциалы возникли в физической литературе при изучении задачи о рассеянии заряженных частиц на атомном ядре, когда силы взаимодействия являются короткодействующими. Математические исследования соответствующих моделей были инициированы в начале 60-х годов в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддеева и Р. А. Минлоса [118], [160] и [117], где изучался оператор вида —А + 50. Уже эти первые работы показали, что язык теории распределений не вполне подходит для описания таких операторов (фактически, авторы работали с нулевым с точки зрения распределений потенциалом, получая при этом оператор, отличный от невозмущенного оператора Лапласа). В частности, в многомерном случае использование квазипроизводных не приносит никаких результатов за исключением того случая, когда переменные можно так или иначе разделить. Так в работах А. К. Фрагела [47] и [48] были успешно изучены ^-потенциалы, сосредоточенные на п — 1-мерном многообразии. Для описания эллиптических операторов с потенциалами высокой сингулярности (таким потенциалом для оператора Лапласа является, например, Офункция в при п > 2) была предложена специальная теория расширений (см., например работу [24] и литературу в ней).

Работа [181] позволила включить большое число описанных выше задач в общую теорию дифференциальных операторов с коэффициентами — распределениями, и вызвала поток статей на данную тему. Оставляя за рамками обзора работы с участием автора, результаты которых составили третью главу данной диссертации, расскажем об основных направлениях развития теории. В [182] (а позднее в [126]) был найден спектральный след первого порядка для операторов вида (1) с потенциалом q = и', и € ВУ0[0,п]. Р. О. Грпнпв и Я. В. Микитюк в [54] изучили оператор Хилла — оператор вида (1) на всей оси с периодическим потенциалом q € (в частности, было доказано, что

спектр имеет лику парную структуру). Эти исследования были продолжены Е. Коротяевым в [69]. Появились работы В. А. Михайлеца и В. М. Молибоги [82]-[84]. Затем оператор Хилла с потенциалом q € 1 весьма детально был изучен П. Джаковым и Б. Митягиным в [27] и [28]. Эти исследования естественным образом вовлекли в расмотрение вопросы базисности, а также привели к изучению периодической обратной спектральной задачи (см. по этому

поводу [29]—[34], [105]). Наконец, в [35] были изучены периодические задачи в полной шкале пространств Соболева q £ в > — 1. Отметим также недавние работы А. Г. Баскакова и Д. М. Полякова [10] и [11], где периодическая задача такого вида изучалась методом подобных операторов. В работе [55] Р. О. Гринива и Я. В. Микитюка на случай операторов Штурма Лиуиилля с потенциалами — распределениями была перенесена классическая теория операторов преобразования. Это позволило записать для данного типа операторов Штурма Лиуиилля уравнение Гельфанда Левитана Марченко (см. [56]—[60]), что, в свою очередь повлекло распространение на операторы с потенциалами — распределениями других результатов и методов теории обратных спектральных задач. Мы подробно остановимся на этой тематике чуть позже, в контексте результатов главы IV, поскольку эти результаты являются новыми и для случая классических (в том числе, гладких) потенциалов. Случай операторов с потенциалом — распределением на всей числовой оси впервые был рассмотрен в [181]. Вопросы обратной задачи рассеяния были изучены К. Фреером, Р. О. Гринивым, Я. В. Микитюком и П. А. Перри в [49], [61] и [62]. Вопросы, связанные с уравнением Кортеиега де Фриза — Т. Капеллером, К. Мором и П. Топаловым в [63], [65] и [66], а затем А. Рыбкиным и С. Грудским в [93] и [51]. Мы уже говорили, что, начиная с работы [129] возник интерес к весовому оператору Штурма Лиуиилля с весом — распределением. Так же, как обычный оператор Штурма Лиуиилля образует пару Лакса для уравнения Картеиега де Фриза, весовой оператор Штурма Лиуиилля образует пару Лакса для уравнения Камасса Хольма (см. [20]). Последние результаты по этому вопросу можно найти в работе [44]. Мы уже упоминали о результатах П. Джакова и Б. С. Митягина [29]—[33] о различного рода сходимости и равносходимости спектральных разложений. Другие результаты о равносходимости спектральных разложений для пар операторов Штурма Лиуиилля с сингулярными потенциалами можно найти в работах И. В. Садовничей [189]—[191]. Эти вопросы затрагиваются также в [11]. В работах А. А. Владимирова, Ж. Бена Амара и А. А. Шкаликова [128], [12] и [115] на случай дифференциальных операторов с потенциалами распределениями была перенесена классическая теория Штурма об осцилляции. Изучение операторов порядка n > 2 с коэффициентами — распределениями начались с работы А. А. Владимирова [127] и было затем продолжено Ж. Бен Амара и А. А. Шкаликовым в [12], К. А. Мирзоевым и А. А. IIIкали-копы м в [161] и [164]. В этих работах ключевым для определения оператора

стало использование квазипроизводных высоких порядков. Отметим еще статью Я. Микитюка и Н. Траша[86] и серию работ К. А. Мирзоева и соавторов [162]—[163] о матричном операторе Штурма Лиувилля. В серии работ [77]-[80] для оператора на всей оси даны условия ограниченности и компактности.

Своим путем развивалась теория операторов с сингулярными коэффициентами в многомерном случае. Здесь определяющей оказалась работа М. И. Нейман-заде и А. А. Шкаликова [167], в которой был предложен метод мультипликаторов (и, соответственно, метод теории возмущений) для исследования такого рода операторов. Учитывая, что данная диссертационная работа целиком посвящена обыкновенным дифференциальным операторам, мы лишь перечислим несколько работ [9], [81], [114], где эти идеи получили существенное развитие.

Отдельного упоминания требует тематика обратных спектральных задач. Эта тема весьма обширна и включает самые разнообразнные постановки задач. Перечислим наиболее известные. Исторически одной из первых постановок была задача восстановления потенциала оператора Штурма Лиувилля на конечном отрезке по спектрам двух краевых задач (см. работу Г. Борга [19]). В нашей работе мы называем эту задачу обратной задачей Борга. Другую постановку предложили И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан в [135] — восстановить потенциал по спектральной функции оператора. В случае оператора на конечном отрезке (именно этот случай мы изучаем в главе IV) спектральная функция однозначно задается последовательностью собственных значений и нормировочных чисел оператора. Для решения этой задачи В. А. Марченко (см. [157], [158]) использовал теорию операторов преобразования. Довольно быстро выяснилось, что две эти спектральные задачи эки-валентны друг другу (см. подробности в классических монографиях [159] и [153]). В то же время появилась работы К. Кодаиры [68] и А. Н. Тихонова [193], где для решения обратной спектральной задачи было предложено использовать функцию Веиля Титчмарша. Этот подход оказывается весьма удачным, поскольку позволяет получать результаты и для обратной задачи Борга, и для задачи Гельфанда Левитана. Кроме того, и это очень важно, вместо теории операторов преобразования, восстановление потенциала по функции Вейля требует лишь контурного интегрирования. Впервые эту технику, называемую теперь методом спектральных моделей, применил Н. Левинсон в работе [74]. Другой метод предложил М. Г. Крейн в [149], [151]. Этот метод основан на тесной связи спектральной (или стационарной) об-

ратной задачи с динамической обратной задачей восстановления функции Пц = г > 0, то граничной функции и(0,£). И та, и другая задача

сводятся к решению интегральных уравнений типа Вольтерра (см. [119]). В рамках этого подхода уравнения типа Гельфинди Левитина были обобщены на многомерный случай М. И. Белишевым в [112].

Охватить тематику обратных задач в нашем коротком обзоре невозможно — результаты середины XX века вызвали огромный интерес к теме, который многократно усилился после работ П. Лакса [152], Л. Д. Фаддеева [200] и многих последователей, где был предложен метод решения различных нелинейных уравнений математической физики с использованием обратных задач. В монографии В. А. Юрко [201] читатель может ознакомится с самыми разными аспектами классической стационарной обратной задачи. Последние результаты по динамическим обратным задачам см. в [113]. Что касается обратных спектральных задач для операторов с потенциалами — распределениями, мы уже упомянули достаточно много работ. Обзор этих результатов и дополнительную литературу можно найти в недавней статье Дж. Экхарда, Ф. Гештези, Р. Николса и Г. Тешля [45]. Отметим, что результаты автора по этой теме, составившие главу IV данной работы, являются новыми не только для сингулярных, но и для классических операторов вида (1) с потенциалом q € Ь2[0,п]. При этом мы следуем идеям, изложенным в [89] (см. также [92]), что позволяет конструктивно строить искомый потенциал и оценивать погрешность его построения.

Мы осветили темы, часть которых обсуждается в клавах I, III и IV данной работы. Глава II посвящена изучению системы Дирака (2). Легко видеть, что эта система — частный случай системы (3). Неудивительно, что все результаты для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом q = и', и € Ь2, имеют свои аналоги для системы Дирака с потенциалом Р € Ь2. Более того, для системы Дирака соответствующие теоремы обычно звучат проще. Это позволило многим авторам (см., например, классическую монографию [154] или работы [36], [32], [37]) изучать операторы (1) и (2) параллельно. Основная тонкость наших рассмотрений состоит в том, что для системы (2) мы рассматриваем более «сингулярные» потенциалы, полагая Р(х) € Ь1[0,п] вместо Р(х) € Ь2[0,п]. Отметим, что однозначная трактовка оператора (1) с потенциалом q = и', и € принципиально невозможна (см. п. 1.5 работы [183]); требуется регляризация специального вида (см. [183, глава ш]

Р

меньше представлен в литературе. Так, в недавних работах А. П. Хромова, В. В. Корпева, В. П. Курдюмова и М. Ш. Бурлуцкой [122], [123], [146], потенциал предполагается непрерывным. Кроме уже упомянутых статей П. Джа-кова и Б. С. Митягина, где P G L2, и В. С. Рыхлова надо сказать о работах M. М. Маламуда, Л. Л. Оридороги [76] и А. А. Лунева [75], [155] где для систем достаточно общего вида (3) был рассмотрен случай A G L\. Системы более общего вида изучались также в работах Т. Трушина и М. Ямомото [103], [104]. Наконец, в [111] для исследования системы Дирака был применен метод подобных операторов.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка новых современных задач и получение новых результатов в спектральной теории и теории обратных спектральных задач для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями, одномерных операторов Дирака с суммируемыми потенциалами и более общих дифференциальных систем высокого порядка, а также обобщение классических теорем в этой области.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методы исследования. В работе используются классические и современные методы функционального и комплексного анализа, в том числе, методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных операторов, теории рядов Фурье и гармонического анализа, общей теории функциональных пространств (пространства Соболева, Бесова, Харди и т.д.), теории интерполяции банаховых пространств.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены с помощью строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов и систем, в теории полугрупп, а также при построении математических моделей различных прикладных задач. Результаты диссертационной работы могут быть интересны специалистам, работающим в МГУ имени М.В.Ломоносова, Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН, СПбГУ и других высших учебных заведениях и научных центрах. Результаты диссертации могут составить содержание специальных курсов для магистров и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах:

1. Семинар механико-математического факультета МГУ «Теория операторов» (Москва, МГУ, руководитель — профессор А. Г. Костюченко);

2. Семинар механико-математического факультета МГУ «Спектральная теория дифференциальных операторов» (Москва, МГУ, руководитель — академик РАН В. А. Садовничий);

3. Научно-исследовательский семинар по теории функций механико-математического факультета МГУ (Москва, МГУ, руководитель — академик РАН Б. С. Кашин);

4. Семинар механико-математического факультета МГУ «Операторные модели в математической физике» (Москва, МГУ, руководитель — профессор А. А. Шкаликов);

5. Семинар по тригонометрическим рядам механико-математического факультета МГУ (Москва, МГУ, руководители — профессор А. М. Седлец-кий и профессор В. В. Власов);

6. Семинар по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики Математического института им. В. А. Стеклова (Москва, МIIАН. руководитель — член-корреспондент РАН О. В. Бесов);

7. Семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, РУДН, руководитель — профессор А. Л. Скубачевский);

и на конференциях:

11-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2002;

Research Seminar «Spectral analysis of differential and difference operators», Warsaw, Poland, 2002;

Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2002;

12-я Крымская осенняя математическая школа по спектральным и эволюционным задачам, Ласпи, Крым, 2002;

Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения -XV», Воронеж, 2004;

Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные

вопросы», посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2004;

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Савчук Артем Маркович, 2019 год

Список литературы

[1] S, Albeverio, F, Gesztesy, R. H0egh-Krohn, and H, Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics, 2nd ed,, AMS Chelsea Publishing, Providence, EI, 2005,

[2] S, Albeverio, E, Hrvniv, Ya, Mykvtvuk Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators in impedance form //Journal of Functional Analysis, - 2005, - V, 222, - №. 1, - P. 143-177.

[3] S, Albeverio and P. Kurasov, Singular Perturbations of Differential Operators, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001.

[4] V. A. Ambarzumian, "Uber eine Frage der Eigenwerttheorie", Z. fur Phvsik, 53:9 (1929), 690-695.

[5] Atkinson F. Discrete and Continuous Boundary Value Problems, New York, 1964 //Перевод: Дискретные и непрерывные граничные задачи, Москва: Мир. - 1968.

[6] F. Atkinson, W. Everitt, A. Zettl, "Eegularization of a Sturm-Liouville problem with an interior singularity using quasi-derivatives", Diff. Integr. Eq., 1:2 (1988), 213-221.

[7] M.-L. Baeteman and K. Chadan, The inverse scattering problem for singular oscillating potentials, Nuclear Phvs, A 255, 35-44 (1975).

[8] M.-L. Baeteman and K. Chadan, Scattering theory with highly singular oscillating potentials, Ann. Inst. H. Poineare Sect. A 24, 1-16 (1976).

[9] J.-G. Bak and A. A. Shkalikov, Multipliers in dual Sobolev spaces and Schrodinger operators with distribution potentials, Math. Notes 71, 587-594 (2002).

[10] A. G. Baskakov, D. M. Polvakov Spectral properties of the Hill operator //Mathematical Notes. - 2016. - V. 99. - №. 3-4. - P. 598-602.

[11] A. G. Baskakov, D. M. Polvakov The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with nonsmooth potential //Sbornik: Mathematics. - 2017. - T. 208. -Ж 1. - C. 1.

[12] J. Ben Amara, A. A. Shkalikov Oscillation theorems for Sturm-Liouville problems with distribution potentials //Moscow University Mathematics Bulletin. - 2009. - T. 64. - №. 3. - C. 132-137.

[13] Bennett C,, Sharplev E. C. Interpolation of operators. - Academic press, 1988. - T. 129.

[14] C. Bennewitz, Spectral asymptoties for Sturm-Liouville equations, Proc. London Math. Soc. (3) 59 (1989), no. 2, 294-338.

[15] C. Bennewitz and W. N. Everitt, On second-order left-definite boundary value problems, in Ordinary Differential Equations and Operators, (Proceedings, Dundee, 1982).

[16] G. D. Birkhojf On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter // Trans. Amer. Math. Soc., 9:2 (1908), 219-231.

[17] G. D. Birkhoff, "Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations", Trans. Amer. Math. Soc., 9:4 (1908), 373-395.

[18] G. D. Birkhoff, E. E. Langer, "The boundary problems and developments associated with a system of ordinary differential equations of the first order", Proc. Am. Acad. Arts Sci., 58 (1923), 49-128.

[19] Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillishen Eigenwertaufgabe. // Acta Math., V. 78 (1946), 1-96.

[20] E. Camassa and D. Holm, An integrable shallow water equation with peaked solitons, Phvs. Rev. Letters 71 (1993), 1661-1664.

[21] Coddington E,, Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations, NY: McGraw-Hill, 1955= Коддингтон ЭА, Левинеон H, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, - 1958,

[22] М, Combeseure and J, Ginibre, Spectral and scattering theory for the Schrodinger operator with strongly oscillating potentials, Ann, Inst, H, Poineare 24, 17-29 (1976),

[23] M, Combeseure, Spectral and scattering theory for a class of strongly oscillating potentials, Commun, Math, Phvs, 73, 43-62 (1980),

[24] A, Dijksma, H, Langer, Yu, Shondin and C, Zeinstra Self-adjoint operators with inner singularities and Pontrvagin spaces,// Operator theory and related topics (2000), Birkhauser, Basel, PP. 105-175,

[25] P. A. M. Dirac The quantum theory of the electron // Proc, Roy, Soc, (London), 1928, V. 117. P. 610-624.

[26] P. A. M. Dirac The quantum theory of the electron II // Proc, Roy, Soc, (London), 1928, V. 118. P. 351-361.

[27] P. Djakov, B, S, Mitvagin Instability zones of periodic 1-dimensional Schrodinger and Dirac operators //Russian Mathematical Surveys, - 2006, - V, 61, - №. 4, - P. 663,

[28] P. Djakov, B, Mitvagin Spectral gap asymptoties of one-dimensional Schrodinger operators with singular periodic potentials //Integral Transforms and Special Functions, - 2009. - V. 20. - №. 3-4. - P. 265-273.

[29] P. Djakov, B, Mitvagin Bari-Markus property for Riesz projections of Hill operators with singular potentials //Contemporary Mathematics, - 2009, - V, 481, - P. 59-80,

[30] P. Djakov, B, Mitvagin Fourier method for one-dimensional Schrodinger operators with singular periodic potentials //Topics in operator theory, - Birkhauser Basel, 2010, - P. 195-236.

[31] P. B, Djakov, B, S, Mitvagin Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials //Dokladv Mathematics, - SP MAIK Nauka/Interperiodica, 2011. - V. 83. - №. 1. - P. 5-7.

[32] P. Djakov, B, Mitvagin Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and ID Dirac operators //Journal of Functional Analysis, - 2012, - V, 263, - №. 8. - P. 2300-2332.

[33] P. B, Djakov, B, S, Mitvagin Equieonvergenee of spectral decompositions of Hill operators //Dokladv Mathematics. - SP MAIK Nauka/Interperiodica, 2012. - V. 86. - №. 1. - P. 542-544.

[34] P. Djakov, B. Mitvagin Equieonvergenee of spectral decompositions of Hill-Schrodinger operators //Journal of Differential Equations. - 2013. - V. 255. - №. 10. - P. 3233-3283.

[35] P. Djakov, B. Mitvagin Riesz basis property of Hill operators with potentials in weighted spaces //Transactions of the Moscow Mathematical Society. - 2014. - V. 75. - P. 151-172.

[36] P. Djakov, B. Mitvagin Bari-Markus property for Riesz projections of ID periodic Dirac operators// Mat. Nachr. - 2010. - 283, no. 3. - C. 443-462.

[37] P. Djakov, B. Mitvagin Unconditional convergence of spectral decompositions of ID Dirac operators with regular boundary conditions// Indiana Univ. Math. J. — 2012. — 61, no. 1. - C. 359-398.

[38] W. N. Everitt, "A note on linear ordinary quasi-differential equations", Proc. Math. Soc. Edmburg, Seet.A., 101:1-2 (1985), 1-14.

[39] W. N. Everitt and E, T, Lewis (eds,), Lecture Notes in Math,, Vol, 1032, Springer, Berlin, 1983, pp. 31-67.

[40] W. N. Everitt and L. Markus, Boundary Value Problems and Svmpleetie Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differential Operators, Math. Surv, and Monographs, Vol. 61, Amer. Math. Soe., EI, 1999.

[41] J. Eekhardt, A. S. Kostenko M. M. Malamud and G. Tesehl One-dimensional Sehrôdinger operators with ^'-interactions on Cantor-tvpe sets, J. Differential Equations 257 (2014) 415-449.

[42] J. Eekhardt and G. Tesehl Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients //Journal d'Analyse Mathématique. - 2013. - T. 120. - №. 1. - C. 151-224.

[43] J. Eekhardt and A. Kostenko An isospectral problem for global conservative multi-peakon solutions of the Camassa-Holm equation //Communications in Mathematical Physics. -2014. - V. 329. - №. 3. - P. 893-918.

[44] J. Eekhardt and A. Kostenko The inverse spectral problem for indefinite strings //Inventions mathematicae. - 2016. - V. 204. - №. 3. - P. 939-977.

[45] J. Eekhardt, F. Gesztesy, E. Nichols and G. Tesehl Wevl-Titchmarsh theory for Sturm-Liouville operators with distributional potentials.

[46] W. Feller Generalized second order differential operators and their lateral conditions //Illinois Journal of Mathematics. - 1957. - T. 1. - №. 4. - C. 459-504.

[47] A. K. Fragela Perturbation of a polyharmonie operator by a potential of delta-function type //Functional Analysis and Its Applications. - 1981. - V. 15. - №. 1. - P. 71-72.

[48] A. K. Fragela On perturbation of a polyharmonie operator by delta-like potentials //Sbornik: Mathematics. - 1987. - V. 58. - №. 2. - P. 389-396.

[49] C. Frayer, E. O. Hrvniv, Ya. V. Mykytvuk, and P. A. Perry, Inverse scattering for Sehrôdinger operators with Miura potentials: I. Unique Eiccati representatives and ZSAKNS system, Inverse Probl. 25, 115007 (2009), 25pp.

[50] L. Grafakos Modern fourier analysis. - New York : Springer, 2009. - T. 250. - C. xvi+ 504.

[51] S. Grudskv and A. Evbkin, On positive type initial profiles for the KdV equation, Proc. Amer. Math. Soe., 2014, V. 142 (6), 2079-2086.

[52] J. Gunson Perturbation theory for a Sturm-Liouville problem with an interior singularity // Proc.E.Soc.London. A 414. 1987.

[53] J. Herczynski, On Sehrôdinger operators with distributional potentials, J. Operator Th. 21 273-295 (1989).

[54] E. Hriniv , Ya. Mykytvuk ID Sehrôdinger operators with singular periodic potentials// Meth. Funct. Anal. Topol., 7, No. 4, 2001, pp. 31-42.

[55] E. O. Hrvniv, Ya. V. Mykytvuk Transformation operators for Sturm-Liouville operators with singular potentials //Mathematical Physics, Analysis and Geometry. - 2004. - V. 7. - №. 2. - P. 119-149.

[56] E. O. Hrvniv, Ya. V. Mykytvuk Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials //Inverse Problems. - 2003. - V. 19. - №. 3. - P. 665.

[57] E. O. Hrvniv, Ya. V. Mykytvuk Half-inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials //Inverse problems. - 2004. - V. 20. - №. 5. - P. 1423.

[58] E, O, Hryniv, Ya, V, Mykvtvuk Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials, II. Reconstruction by two spectra //North-Holland Mathematics Studies. - North-Holland, 2004. - V. 197. - P. 97-114.

[59] E. O. Hryniv, Ya. V. Mykvtvuk Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. Part III: Reconstruction by three spectra //Journal of mathematical analysis and applications. - 2003. - V. 284. - №. 2. - P. 626-646.

[60] E. O. Hryniv, Ya. V. Mykvtvuk Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. IV. Potentials in the Sobolev space scale //Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. - 2006. - V. 49. - №. 2. - P. 309-329.

[61] R. O. Hryniv, Ya. V. Mykvtvuk, and P. A. Perry, Inverse scattering for Sehrodinger operators with Miura potentials, II. Different Eiccati representatives, Commun. Part. Diff. Eq. 36, 1587-1623 (2011).

[62] E. O. Hryniv, Ya. V. Mykvtvuk, and P. A. Perry, Sobolev mapping properties of the scattering transform for the Sehrodinger equation, in Spectral Theory and Geometric Analysis, M. Braverman, L. Friedlander, T. Kappeler, P. Kuchment, P. Topalov, and J. Weitsman (eds.), Contemp. Math. 535, 79-93 (2011).

[63] T. Kappeler and C. Mohr, Estimates for periodic and Dirichlet eigenvalues of the Sehrodinger operator with singular potentials, J. Funct. Anal. 186, 62-91 (2001).

[64] Kappeler T., Topalov P. Global fold structure of the Miura map on L2(T) //International Mathematics Eesearch Notices. - 2004. - T. 2004. - №. 39. - C. 2039-2068.

[65] T. Kappeler and P. Topalov, Global well-posedness of mKdV in L2(T, R), Commun. Part. Diff. Eq. 30, 435-449 (2005).

[66] T. Kappeler and P. Topalov, Global wellposedness of KdV in H-1 (R, R), Duke Math. J. 135, 327-360 (2006).

[67] B. S. Kashin, A.A. Saakvan Orthogonal series. - American Mathematical Soe,, 2005. -T. 75.

[68] K. Kodaira, The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the second order and Heisenberg's theory of S-matrices, Amer. J. Math. 71, 921-945 (1949).

[69] E. Korotvaev, Characterization of the spectrum of Sehrodinger operators with periodic distributions, Int. Math. Ees. Notices 2003, no. 37, 2019-2031.

[70] A. S, Kostenko and M. M. Malamud, One-dimensional Sehrodinger operator with 8-interactions, Funct. Anal. Appl. 44, no. 2, 151-155 (2010).

[71] A. S. Kostenko and M. M. Malamud, 1-D Sehrodinger operators with local point interactions on a discrete set, J. Differential Equations 249, 253-304 (2010).

[72] P. Kurasov On the Coulomb potentials in one dimension //J. Phvs, A 29. 1996. No 8. P. 1767-1771.

[73] H. Langer, Zur Spektraltheorie verallgemeinerter gewonlieher Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit einer nichtmonotonen Gewichtsfunktion, Ber. Uni. Jvvaskyla Math. Inst. Ber. 14 (1972), 58pp.

[74] N. Levinson The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949. V. 13. P. 25-30.

[75] A. A. Lunvov, M. M. Malamud On the completeness of the root vectors for first order systems// Dokl. Math. - 2013. - 88, no. 3,- C. 678-683.

[76] M. M. Malamud, L. L. Oridoroga On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations// J. Funct. Anal. — 2012. - 263. - C. 1939-1980.

[77] V, G, Maz'va and I. E, Verbitskv, Boundedness and compactness criteria for the onedimensional Sehrôdinger operator, in Function Spaces, Interpolation Theory and Related Topics, de Gruvter, Berlin, 2002, pp. 369-382,

[78] V, G, Maz'va and I. E, Verbitskv, The Sehrôdinger operator on the energy space: boundedness and compactness criteria, Acta Math, 188, 263-302 (2002),

[79] V, G, Maz'va and I, E, Verbitskv, Infinitesimal form boundedness and Trudinger's subordination for the Sehrôdinger operator, Invent, Math, 162, 81-136 (2005),

[80] V, G, Maz'va and I, E, Verbitskv, Form boundedness of the general second-order differential operator, Commun, Pure Appl, Math, 59, 1286-1329 (2006),

[81] V, G, Maz'va and I, E, Verbitskv The form boundedness criterion for the relativistie Sehrôdinger operator (Un critère de bornitude pour l'opérateur de Sehrôdinger relativiste) //Annales de l'institut Fourier. - 2004. - T. 54. - №. 2. - C. 317-339.

[82] V, A, Mikhailets and V, M, Molvboga, Singular eigenvalue problems on the circle, Meth, Funct. Anal. Topology 10, no. 3, 44-53 (2004).

[83] V. A. Mikhailets and V. M. Molvboga, One-dimensional Sehrôdinger operators with singular periodic potentials, Meth. Funct. Anal. Topology 14, no. 2, 184-200 (2008).

[84] V. A. Mikhailets and V. M. Molvboga, Spectral gaps of the one-dimensional Sehrôdinger operators with singular periodic potentials, Meth. Funct. Anal. Topology 15, no. 1, 31-40 (2009).

[85] A. B. Mingarelli, Volterra-Stieltjes Integral Equations and Generalized Ordinary Differential Expressions, Lecture Notes in Math., vol. 989, Springer, Berlin, 1983.

[86] Ya. V. Mykytvuk and N. S. Trush, Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials, Inverse Probl. 26, 015009 (2010), 36pp.

[87] O. Perron Uber lineare differenzengleiehungen //Acta Mathematica. - 1911. - T. 34. - №. 1. - C. 109-137.

[88] D. B. Pearson, Scattering theory for a class of oscillating potentials, Helv, Phvs, Acta 52, 541-5554 (1979).

[89] J. Pôsehel and E. Trubowitz // Inverse Spectral Theory, Orlando, Acad. Press, 1987.

[90] F. S. Rofe-Beketov and E. H. Hristov, Transformation operators and scattering functions for a highly singular potential, Sov, Math. Dokl. 7, 834-837 (1966).

[91] F. S. Rofe-Beketov and E. H. Hristov, Some analytical questions and the inverse Sturm-Liouville problem for an equation with highly singular potential, Sov. Math. Dokl. 10, 432-435 (1969).

[92] W. Rundell, P. E. Sacks, "Reconstruction techniques for classical inverse Sturm-Liouville problems", Math. Comp., 58:197 (1992), 161-183.

[93] A. Rvbkin, Regularized perturbation determinants and KdV conservation laws for irregular initial profiles, in Topics in Operator Theory. Vol. 2. Systems and Mathematical Physics, J. A. Ball, V. Bolotnikov, J. W. Helton, L. Rodman, I. M. Spitkovskv (eds.), Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 203, Birkhâuser, Basel, 2010, pp. 427-444.

[94] V. S. Rvkhlov, "Asymptotical formulas for solutions of linear differential systems of the first order", Result. Math., 36 (1999), 342-353.

[95] A. M. Savehuk, A. A. Shkalikov Inverse problem for Sturm-Liouville operators with distribution potentials: Reconstruction from two spectra, Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 12, No. 4, 2005, pp. 507-514.

[96] A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov The Dirae Operator with Complex-Valued Summable Potential 11 Math. Notes. 2014. V. 96. № 5. P. 3-36.

[97] A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov, "Recovering of a potential of the Sturm-Liouville problem from finite sets of spectral data", Spectral Theory and Differential Equations, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 233, Amer. Math. Soe., Providence, EI, 2014, 211-224.

[98] А. А. Шкаликов Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром // УМН. 2016. 71:5, 113-174.

[99] J. D. Tamarkine, Application de la méthode des fonctions fondamentales a l'étude de l'équation différentielle des verges vibrantes élastiques Сообщ, Харьков, матем. общ. Вторая сер., 12 (1911), 19-46

[100] J. D. Tamarkine Addition a' l'article intituler "Application de la meithode des fonctions fondamentales a' l'ertude de Péréquation differtentielle des verges vibrantes eriastiques" Сообщ. Харьков, матем. общ. Вторая сер., 12 (1911), 65-69

[101] Y. D. Tamarkin, "Some General Problems of the Theory of Ordinary Differential Equations and Series Expansion о f Arbitrary Functions", Tipografia Frolovoi, Petrograd, 1917.

[102] Y. D. Tamarkin, "Some general problems of the theory of linear differential equations and expansions of an arbitrary functions in series of fundamental functions", Math. Zeitschrift, 27:1 (1928), 1-54.

[103] I. Trooshin, M. Yamamoto Eiesz basis of root vectors of a nonsymmetrie system of firstorder ordinary differential operators and application to inverse eigenvalue problems// Appl. Anal. - 2001. - 80. - C. 19-51.

[104] I. Trooshin, M. Yamamoto Spectral properites and an inverse eigenvalue problem for nonsymmetrie systems of ordinary differential equations// J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2002. - 10, no. 6. - C. 643-658.

[105] O. A. Veliev, A. A. Shkalikov On the Eiesz Basis Property of the Eigen-and Associated Functions of Periodic and Antiperiodic Sturm-Liouville Problems //Matematieheskie Zametki. - 2009. - V. 85. - №. 5. - P. 671-686.

[106] H. Volkmer, Eigenvalue problems of Atkinson, Feller and Krein, and their mutual relationship, Electron. J. Differential Equations 2005, No. 48, 15pp.

[107] J. Weidmann, Spectral Theory of Ordinary Differential Operators, Lecture Notes in Math., Vol. 1258, Springer, Berlin, 1987.

[108] A. Zettl, Formally self-adjoint quasi-differential operators, Rocky Mountain J. Math. 5, 453-474 (1975).

[109] A. Zettl, "Sturm-Liouville Theory", Math. Surv. and Mon. 121, Amer. Math. Soc., Providence, EI, 2005.

[110] Ахиезер И, H., Глазмап И, M. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. -М.: Наука. 1966.

[111] А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом// Изв. РАН. Сер. матем. - 2011. - 75, № 3. - С. 3-28.

[112] М. И. Белишев, Уравнения типа Гельфанда-Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения, Зап. научи, сем. ЛОМИ, 1987, том 165, 15-20.

[113] М, И, Белишев, С, А. Симонов, "Волновая модель оператора Штурма-Лиувилля на полуоси", Алгебра и анализ, 29:2 (2017), 3-33; St, Petersburg Math, J,, 29:2 (2018), 227-248.

[114] А, А, Беляев, А, А, Шкаликов Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов неотрицательной гладкости //Математические заметки, -2017. - Т. 102. - №. 5. - С. 684-699.

[115] Ж. Бен Амара, А. А. Владимиров, А. А. Шкаликов Спектральные свойства одного линейного пучка дифференциальных операторов четвертого порядка //Математические заметки. - 2013. - Т. 94. - №. 1. - С. 55-67.

[116] Берг Й,, Лефстрем Й, Интерполяционные пространства. Пер. с англ. - М,:Мир, 1980.

[117] Ф. А. Березин О модели Ли // Матем. сб. 1963. .60. вып. 4. С. 425-446.

[118] Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 7. С. 1011-1014.

[119] А. С. Благовещенский, О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. МИЛН СССР, 1971, том 115, 28-38.

[120] Богачев В. И, Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ //Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. - 2009.

[121] И. Н. Бройтигам, К. А. Мирзоев, Т. А. Сафонова Аналог теоремы Орлова об индексе дефекта для матричных дифференциальных операторов второго порядка //Математические заметки. - 2015. - Т. 97. - №. 2. - С. 314-317.

[122] М. Ш. Бур. iyикая. В. П. Кур. помог,. А. П. Хромов Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака / / Докл." РАН. 2012. Т. 443. № 4. С. 414-417.

[123] М. Ш. Бур. iy икая. В. В. Корнев, А. П. Хромов Система Дирака с недифференци-руемым потенциалом и периодическими краевыми условиями //Жури, вычислит, математики и мат. физики. 2012. Т. 52. № 9. С. 1621-1632.

[124] А. И. Вагабов, "Об уточнении асимптотической теоремы Тамаркина", Дифференц. уравн., 29:1 (1993), 41-49.

[125] А. И. Вагабов, "Об асимптотике по параметру решений дифференциальных систем с коэффициентами из класса Lq", Дифференц. уравн., 46:1 (2010), 16-22.

[126] В. А. Винокуров, В. А. Садовничий Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего ^-функции// Дифф. уравнения, Т. 38, № 6, стр. 735-751. 2002.

[127] А. А. Владимиров О сходимости последовательностей обыкновенных дифференциальных операторов //Математические заметки. - 2004. - Т. 75. - №. 6. - С. 941-943.

[128] А. А. Владимиров К оецилляционной теории задачи Штурма-Лиувилля с сингулярными коэффициентами //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - Т. 49. - №. 9. - С. 1609-1621.

[129] А. А. Владимиров, И. А. Шейпак Самоподобные функции в пространстве L2 [0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом //Математический сборник. - 2006. - Т. 197. - №. 11. - С. 13-30.

[130] А. А. Владимиров, И. А. Шейпак Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов //Труды Математического ин-етитута имени ВА Стеклова. - 2006. - Т. 255. - №. 0. - С. 88-98.

[131] А. А. Владимиров, И, А. Шейиак Асимптотика собственных значений задачи Штурма- Лиувилля с дискретным самоподобным весом //Математические заметки, - 2010,

- Т. 88. - №. 5. - С. 662-672.

[132] А. А. Владимиров, И, А. Шейпак Асимптотика собственных значений задачи высшего четного порядка с дискретным самоподобным весом //Алгебра и анализ. - 2012.

- Т. 24. - №. 2. - С. 104-119.

[133] А. А. Владимиров, И, А. Шейпак О задаче Неймана для уравнения Штурма-Лиувилля с самоподобным весом канторовского типа //Функциональный анализ и его приложения. - 2013. - Т. 47. - №. 4. - С. 18-29.

[134] Гарнетт Д. Ограниченные аналитические функции: пер. с англ. - Мир, 1984.

[135] И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции// Изв. АН СССР, сер. Математика 15 (1951), 309-350.

[136] Гохберг И., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом протранстве. - Наука; Глав. ред. физико-математической лит-ры,

1965.

[137] Данфорд П.. Шварц Д. Линейные операторы, I, II, III //Мир, Москва. - 1962. - Т.

1966. - С. 1974.

[138] Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Винера //Доклады Академии наук.

- Российская академия наук, 1964. - Т. 155. - №. 6. - С. 1253-1254.

[139] Т. Каппе, юр. А. М. Савчук, П. Ж. Топалов, А. А. Шкаликов Интерполяция нелинейных отображений // Математические заметки, 96(6), (2014), 896-904.

[140] Като Т. Теория возмущений линейных операторов: Монография. - Мир, 1972.

[141] И. С. Кац О существовании спектральных функций некоторых сингулярных дифференциальных систем второго порядка //ДАН СССР. - 1956. - Т. 106. - №. 1. - С. 15-18.

[142] И. С. Кац Существование спектральных функций обобщенных дифференциальных систем второго порядка с граничными условиями в сингулярном конце //Математический сборник. - 1965. - Т. 68. - №. 2. - С. 174-227.

[143] И. С. Кац, М. Г. Крейн Дополнение II "О спектральных функциях струны" к книге Ф. Аткинсона «Дискретные и непрерывные граничные задачи». М,: Мир. - 1968.

[144] Кацнельсон В. Э. Об условиях базиеноети системы корневых векторов некоторых классов операторов// Функц, анализ и его прил. — 1967. — 1, по 2,— С. 39-51.

[145] Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов //Успехи математических наук. - 1971. - Т. 26. - №. 4. -С. 15-41.

[146] В. В. Корнев, А. П. Хромов Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 3. С. 28-35.

[147] Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - "Наука 1966.

[148] Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I, II //Математический сборник. - 1947. - Т. 20. - №. 3. - С. 431-495., Т. 21. № 3. С. 365-404

[149] М. Г. Крейн Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. Т. 76. № 1. С. 21-24.

[150] M. Г. Крейн О неопределенном случае краевой задачи Штурм^Лиувилля в интервале (0, œ) //Известия Российской академии наук. Серия математическая, - 1952, -Т. 16. - №. 4. - С. 293-324.

[151] М, Г. Крейн Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. Т. 94. № 6. С. 987-990.

[152] П. Лаке Интегралы нелинейных уравненийэволюции и уединенные волны // Математика. 1969. Т. 13. № 5. С. 128-150.

[153] Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля, Москва, "Наука 1984.

[154] Б. М. Левитан, И. С. Саргсян Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. — Наука, Москва, 1988. [English transi.: Kluwer Academic Publishers, Dodrecht Boston London, 1991].

[155] А. А. Лунев, M. M. Маламуд О базисности Рисса системы корневых векторов для 2 х 2-системы типа Дирака// Докл. Акад. Наук. — 2014. — 458, № 3. — С. 1-6.

[156] Маркус А. С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора// Доклады АН ССР. — 1962. — 142, по 3. — С. 538-541.

[157] В. А. Марченко Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // ДАН СССР. 1950. Т. 72. № 3. С. 457-460.

[158] Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка, I,// Труды Моск. матем. общества 1 (1952), 327420.

[159] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев, "Наукова думка 1977.

[160] Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеи О точечном взаимодействии для систем из трех частиц в квантовой механике // ДАН СССР. 1961. Т. 141. № 6. С. 1335-1338.

[161] К. А. Мирзоев Операторы Штурма-Лиувилля //Труды Московского математического общества. - 2014. - Т. 75. - №. 2. - С. 335-359.

[162] К. А. Мирзоев, Т. А. Сафонова Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций //Уфимский математический журнал. - 2011. - Т. 3. - №. 3.

[163] К. А. Мирзоев, Т. А. Сафонова Об индексе дефекта векторного оператора Штурма-Лиувилля //Математические заметки. - 2016. - Т. 99. - №. 2. - С. 262-277.

[164] К. А. Мирзоев, А. А. Шкаликов Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами-распределениями //Математические заметки. - 2016. - Т. 99. - №. 5. - С. 788-793.

[165] М. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, М.. 1969.

[166] М. И. Нейман-заде, А. М. Савчук Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами, Тр. МИАН, 2002, том 236, 262-271.

[167] М. И. Нейман-заде, А. А. Шкаликов Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов // Матем. заметки, Т. 66. No 5. 1999.

[168] Е. М. Никишин, Резонансные теоремы и над. пшенные операторы, УМН, 1970, том 25, выпуск 6(156), 129-191.

[169] И. М. Рапопорт, О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений, Изд-во Акад. Наук Укр. ССР, Киев, 1954.

[170] Рисс, Ф. Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М,:Мир, 1979.

[171] Ф, С, Рофе-Бекетов, А. М, Холькин Спектральный анализ дифференциальных операторов //Мариуполь: Физико-технический институт низких температур HAH Украины, - 2001,

[172] А, М, Савчук Метод отображений в обратных задачах Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами //Труды Математического института имени В,А, Стеклова,

- 2008. - Т. 261. - С. 243-248.

[173] А. М. Савчук Система Дирака с потенциалом из пространств Бесова //Дифференциальные уравнения. - 2016. - Т. 52. - №. 4. - С. 454-469.

[174] А. М. Савчук Восстановление потенциала оператора Штурма-Лиувилля по конечному набору собственных значений и нормировочных чисел //Математические заметки. - 2016. - Т. 99. - №. 5. - С. 715-731.

[175] А. М. Савчук Оператор типа Кальдерона-Зигмунда и его связь с асимптотическими оценками для обыкновенных дифференциальных операторов //Современная математика. Фундаментальные направления. - 2017. - Т. 63. - №. 4. - С. 689-702.

[176] А. М. Савчук О базисности системы собственных и присоединенных функций одномерного оператора Дирака //Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2018. - Т. 82. - №. 2. - С. 113-139.

[177] А. М. Савчук, И. В. Садовничая Асимптотические формулы для фундаментальных решений системы Дирака с комплекенозначным суммируемым потенциалом // Дифферент уравнения. 2013. Т. 49. № 5. С. 573-584.

[178] А. М. Савчук, И. В. Садовничая Базисность Рисса из подпространств для системы Дирака с суммируемым потенциалом //Доклады Академии наук. Наука, 2015. - Т. 462. - №. 3. - С. 274-277.

[179] А. М. Савчук, И. В. Садовничая Базисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциалом // Совр. математика. Фунд, направления. 2015. Т. 58. С. 128-152.

[180] Савчук А. М.. Садовничая И. В. Равномерная базисность системы корневых векторов оператора Дирака //Современная математика. Фундаментальные направления.

- 2018. - Т. 64. - №. 1. - С. 180-193.

[181] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов "Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами", Матем. заметки, 66:6 (1999), 897-912.

[182] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов Формула следа для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат. заметки, Т. 68, No, 3, 2000, С. 427-442.

[183] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Труды Моск. мат. общ., Т. 64, 2003, С. 159-219.

[184] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева, Матем. заметки, 80:6 (2006), 864-884.

[185] А. М. Савчук, А. А.Шкаликов О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля, Труды МИЛН им. В. А. Стеклова, 260 (2008), 227-247.

[186] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость, Функц, анализ и его при. к. 2010, том 44, выпуск 4, 34-53.

[187] А. М. Савчук, А. А. Шкаликов Об интерполяции аналитических отображений //Математические заметки. - 2013. - Т. 94. - №. 4. - С. 578-581.

[188] A. M. Савчук, А. А. Шкаликов, "Равномерная устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля по спектральной функции в шкале соболевских пространств", Теория функций и уравнения математической физики, Тр. МИЛН. 283, МАИК, М.. 2013, 188-203.

[189] И. В. Садовничая О скорости равносходимости разложений в ряды по тригонометрической системе и по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом распределением //Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44. - №. 5. - С. 656-664.

[190] И. В. Садовничая О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями //Математический сборник. - 2010. - Т. 201. - №. 9. - С. 61-76.

[191] И. В. Садовничая Равносходимость в пространствах Гельдера разложений по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами распределениями //Дифференц, уравнения. - 2012. - Т. 48. - №. 5. - С. 674-685.

[192] Садовничая И. В. LM ^ Lv равносходимость спектральных разложений для системы Дирака с LK потенциалом //Доклады Академии Наук. - 2015. - Т. 467. - С. 641-644.

[193] А. Н. Тихонов О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. Т. 69. № 6. С. 797-800.

[194] X. Трибель Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М,:Мир, 1980.

[195] X. Трибель Теория функциональных пространств. - М,:Мир, 1986.

[196] Д. Шин Теорема существования квазидифференциального уравнения n-го порядка //ДАН СССР. - 1938. - Т. 18. - №. 8. - С. 515-518.

[197] Д. Шин О решениях линейного квазидиференциального уравнения n-го порядка //Матем. сб. - 1940. - Т. 7. - №. 3. - С. 479-532.

[198] Д. Шин О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве //Матем. сб. - 1943. - Т. 13. - №. 1. - С. 39-70.

[199] Шкаликов А. А. О базисное™ собственных векторов квадратичных операторных пучков //Математические заметки. - 1981. - Т. 30. - №. 3. - С. 371-385.

[200] Л. Д. Фаддеев О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шре-дингера // ДАН СССР. 1958. Т. 121. № 1. С. 63-66.

[201] В. А. Юрко Введение в теорию обратных спектральных задач, М,:Физматлит, 2007.