Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Федосеев, Алексей Евгеньевич

• Федосеев, Алексей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Федосеев, Алексей Евгеньевич

Содержание

Введение

1 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

1.1 Свойства спектральных характеристик

1.2 Теорема единственности решения обратной задачи

1.3 Алгоритм решения обратной задачи

1.4 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

2 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

2.1 Функция Вейля и ее свойства

2.2 Решение обратной задачи

2.3 Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной задачи

2.4 Случай краевых условий Робина

3 Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

3.1 Свойства спектральных характеристик

3.2 Теорема единственности решения обратной задачи

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.

Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. В 1967 г. был разработан [1] метод, связанный с использованием обратной задачи, позволяющий решать некоторые важные нелинейные уравнения математической физики, например, уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Буссинеска и другие. Созданный метод обратной задачи вызвал дополнительный интерес к обратным задачам спектрального анализа и в дальнейшем этот метод был использован во многих работах (см. монографии [2-6] и литературу в них). На данный момент теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.

Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит советскому ученому, основателю теоретической астрофизики В. А. Амбарцумяну [7]. Интересен вопрос о том, как он пришел к обратной задачи. В 1926 году Э. Шредингер опубликовал работы [8-12] по волновой

механике. Он показал, что вопрос исследования энергетических уровней системы приводит к решению задач нахождения собственных значений некоторых дифференциальных уравнений. В астрофизике спектральный анализ атомов является одним из основных методов исследования небесных объектов. В.А. Амбарцумян хотел выяснить можно ли по наблюдаемым спектрам атомов однозначно узнать о строении и состоянии атома, что и является "обратной" задачей. Оказалось, что решение этой нелинейной задачи в общем случае весьма трудно. Тогда он рассмотрел частный случай: можно ли утверждать, что система собственных частот, характерная для однородной струны, свойственна только ей и однозначно определяет ее среди всех струн? Ему удалось разрешить эту проблему и сформулировать следующий результат [7] для уравнения Штурма-Лиувилля

Здесь Л - спектральный параметр, х 6 (0,7г) - вещественная

интегрируемая функция. В.А. Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями у'{0) = у'{тг) = 0 имеет собственные значения Ап = п2, п > 0, то д(х) = 0. Однако этот результат является исключительным - в общем случае задания одного спектра недостаточно для восстановления потенциала Впоследствии Г. Борг [13] показал, что потенциал однозначно определяется на конечном отрезке по двум спектрам двух разных краевых задач с общим дифференциальным уравнением и одним общим граничным условием. Н. Левинсон использовал другие спектральные характеристики - спектр и коэффициенты перехода (в настоящее время называющиеся коэффициентами Левинсона). В работе [14] им была доказана теорема единственности восстановления потенциала ¿/(ж) по этим спектральным характеристикам.

Важную роль в развитии спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) на интервале х е (0,7г) с граничными условиями

У" + ч{х)у = А у.

(1)

у\0) - ку{0) = 0, ^(тг) + Ну(тг) = 0.

(2)

Пусть (р(х, Л) - решение уравнения (1) при начальных условиях (р(О, А) = 1, (р'(О, Л) = h и пусть А = р2 (Imp > 0). Оператор преобразования связывает решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех значениях спектрального параметра Л, а именно

где Сх(ж, - вещественная непрерывная функция, не зависящая от Л и являющаяся функцией Римана соответствующей задачи Коши для волнового уравнения [15]. В данном случае оператор преобразования отображает функцию соэрх, являющуюся решением уравнения —у" = Ху, в функцию ср(х, Л). Опираясь на технику оператора преобразования В.А. Марченко, Б.М. Левитан и другие построили теорию решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля. Так В.А. Марченко доказал [16-19], что самосопряженный оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке или полуоси однозначно восстанавливается по заданной спектральной функции. В случае оператора Штурма-Лиувилля, рассматриваемого на конечном интервале, эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей постановке [15,20].

Пусть ср(х, А) - введенное выше решение уравнения (1). Обозначим

где Хп - собственные значения краевой задачи (1)-(2). Набор чисел {Ап, ап}п>о будем называть спектральными данными. В этом случае обратная задача по спектральной функции эквивалентна задаче восстановлении потенциала и коэффициентов краевых условий Н, Н по заданному набору спектральных данных {Ап, ап}п>0.

Разработка конструктивной процедуры решения нелинейных обратных задач, и особенно задача описания необходимых и достаточных условий разрешимости являются существенно более сложными задачами по сравнению с доказательством единственности решения обратной задачи. В работе И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [21] при помощи метода оператора преобразования были получены необходимые и достаточные условия, а также

(р(х, А) = cos рх + / G{x, t) cos pi (it,

Jo

7Г

(3)

0

метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. Для обратной задачи восстановления уравнения Штурма-Лиувилля на конечном интервале по двум спектрам аналогичные результаты были получены в [22]. М.Г. Крейн в работах [23,24] развил другой метод исследования обратных задач.

Помимо спектральных данных, важным объектом при исследовании обратных задач для оператора Штурма-Лиувилля является так называемая функция Вейля [25]. Задание функции Вейля в случае самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля равносильно заданию спектральной функции. В большинстве случаев функция Вейля возникает естественным образом при исследовании как оператора Штурма-Лиувилля, так и других классов операторов. А.Н. Тихонов первым использовал функцию Вейля в качестве данных обратных задач. В работе [26] он доказал единственность решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля в случае кусочно-аналитических потенциалов.

Много результатов в теории обратных задач относятся и к другим классам дифференциальных операторов второго порядка. Так краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала связаны с разрывными свойствами среды. Например, в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристикам возникают разрывные обратные задачи [27, 28]. Коэффициенты, характеризующие свойства одномерных разрывных сред также могут быть восстановлены при помощи спектральной информации [29,30]. При построении геофизических моделей земного шара возникают краевые задач с условиями разрыва во внутренней точке [31, 32]. Различные постановки разрывных обратных задач исследовались в [29, 30, 33-38]. Отметим также обратные задачи для сингулярного потенциала [39,40], для интегро-дифференциальных и интегральных операторов [41-47]. Большое количество приложений связано с дифференциальным уравнением вида

- (р(х)у'У + д(х)у = Аг(х)у, (4)

которое является обобщением уравнения (1). Если функции г и р достаточно гладкие, то уравнение (4) сводиться к уравнению (1) с помощью

преобразования Лиувилля [48]. Случай недостаточной гладкости у функций г и р исследовался в работах [49-56].

Обширную область применения имеет теория обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков вида

71—2

у{п) + ^2рк(х)у{к], п> 2. (5)

к—О

Обратные задачи для оператора (5) являются существенно более сложными для исследования чем для оператора Штурма-Лиувилля. Метод оператора преобразования оказывается недостаточно эффективным для решения обратных задач для дифференциальных уравнений высших порядков, так как операторы преобразования в этом случае имеют более сложную структуру [57, 58]. Однако, в случае аналитических коэффициентов оператор преобразования имеет значительно более простую "треугольную" структуру, как и для операторов Штурма-Лиувилля. При помощи такого "треугольного" оператора преобразования Л.А. Сахнович [59-61] и И.Г. Хачатрян [62-64] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси с аналитическими коэффициентами по спектральной матрице-функции и обратную задачу рассеяния. В частности было доказано, что в случае аналитических коэффициентов задание спектральной матрицы-функции однозначно определяет оператор.

В связи с недостаточной эффективностью метода оператора преобразования при п > 2 возникла необходимость в разработке другого метода, позволяющего исследовать дифференциальные операторы высших порядков и другие классы операторов. Такой метод, связанный с развитием идей метода контурного интегрирования, был постепенно создан в трудах нескольких математиков. Н. Левинсон [14] впервые использовал метод контурного интегрирования для исследования обратной задачи Штурма-Лиувилля. З.Л. Лейбензон развил [65,66] идеи Н. Левинсона и предложил использовать вместо оператора преобразования специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Используя этот аппарат, В.А. Юрко разработал так называемый метод спектральных отображений,

который позволяет решать обратные задачи для широкого класса как сингулярных так и регулярных дифференциальных операторов [15,67-72].

Важным и нетривиальным является также вопрос о постановках обратных задач. Так при исследовании обратной задачи для дифференциальных операторов вида (5) с суммируемыми коэффициентами при п > 2 спектральная матрица-функция является неподходящим объектом, так как не определяет однозначно самосопряженный оператор, а для несамосопряженных операторов вида (5) она вообще не существует. В работах [67-72] В.А. Юрко ввел так называемую матрицу Вейля, в качестве основной спектральной характеристики для оператора (5). Оказалось, что матрица Вейля является удобным объектом для исследования, наиболее полно выражающим спектральные свойства дифференциального оператора (5). Постановка обратной задачи с использованием матрицы Вейля и использование метода спектральных отображений позволило разработать теорию решения обратной задачи для несамосопряженного дифференциального оператора (5) на полуоси и на конечном отрезке [15]. Обратная задача рассеяния на оси для операторов вида (5) в различных постановках исследовалась в [73-81] и других работах.

Множество работ посвящено обратным задачам для систем дифференциальных уравнений вида

<ЭоУ\х) + <2(х)У(х) = р¥(:г), (6)

где р - спектральный параметр, У — [Ук^^уй ~ вект0Р столбец, = <11а§[дл:]Я(х) — Матрица (¿(х) называется потенциалом,

д/г ф 0, к = 1,п - различные комплексные числа. Исследование некоторых систем вида (6), например, системы Дирака и ее обобщений, в случае если корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси, аналогично исследованию оператора Штурма-Л иу вил ля. В этом случае метод оператора преобразования дает результаты схожие с результатами для оператора Штурма-Лиувилля. В общем случае, при произвольном расположении корней характеристического уравнения и произвольном поведении спектра (см. [15]), при решении обратных задач для систем дифференциальных уравнений возникают трудности, характерные для случая операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами. Такие

системы исследовались в работах [82-93]. В случае исследования обратной задачи для системы (6) на полуоси и конечном отрезке вводится матрица Вейля, являющаяся аналогом матрицы Вейля, введенной для уравнения (5). С помощью метода спектральных отображений была решена обратная задача восстановления потенциала системы вида (6) по заданной матрице Вейля в общем случае [15,82-85,92,93].

Отметим также обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях (геометрических графах) [94-99], для матричных операторов Штурма-Лиувилля [100-109], для пучков дифференциальных операторов [110-121] и других классов дифференциальных операторов.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. В работе исследуются дифференциальные уравнения как второго порядка

когда 0<сс<Т<оо,ае(0,Т), так и высших порядков

у^(х) + £ ( + Як(х))у^(х) = \у(х), (8)

где щ, к — 0, п — 2 комплексные числа, а > 0.

Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. К примеру, если в уравнении (4) функция г(х) имеет нуль внутри интервала, то уравнение (4) называется уравнением с точкой поворота. Такие уравнения возникают в различных разделах естественных наук таких как теория упругости, геофизика, оптика, а также в технике. Уравнения с точками поворота могут быть сведены к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями вида (7), (8) при этом точка а будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных

интегрируемых эволюционных уравнений математической физики [122]. Уравнения с особенностью вида (7) также возникают при применении преобразования Дарбу [123].

В работах [124-129] довольно полно изучен случай когда особенность лежит на конце интервала (а = 0). Случай когда особенность лежит внутри интервала является существенно более трудным и мало исследованным. Некоторые частные случаи обратных задач для уравнений с особенностью (7), (8) и для уравнения с точками поворота (4) исследовались в работах [48,130-141].

В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала а > 0, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.

Диссертационная работа состоит из трех глав. В Главе 1 рассматривается уравнение (7) заданное на конечном отрезке х £ (0 , Т) с граничными условиями Дирихле у(0) = у{Т) = 0 при произвольном поведении спектра. В Разделе 1.1 построены фундаментальные системы решений уравнения (7), исследованы их спектральные свойства. Для построения фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. В разделе получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построения фундаментальных систем решений. Существенную роль в исследовании прямой и обратной задачи играют обобщения классического решение и функции Вейля [15]. При исследовании обратной задачи с неинтегрируемой особенностью внутри интервала невозможно использовать спектральные данные связанные с обобщением весовых чисел (3). Поэтому в Разделе 1.1 в качестве спектральных характеристик кроме спектра дифференциального оператора вводится так называемая последовательность Вейля, которая позволяет дать определение спектральных данных и

сформулировать постановку обратной задачи (Задача 1.1). В Разделе 1.2 доказана теорема единственности решения данной обратной задачи. В Разделе 1.3 получено так называемое основное уравнение обратной задачи, которое является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве ограниченных последовательностей при фиксированном х и доказана его однозначная разрешимость. Таким образом решение нелинейной обратной задачи сведено к решению линейного уравнения, которое используется для восстановления потенциала (Алгоритм 1.1). Наиболее сложному вопросу получения необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи посвящен Раздел 1.4.

В Главе 2 уравнение (7) рассматривается на полуоси х > 0 вместе с различными краевыми условиями. В разделе 2.1 рассматриваются условия Дирихле, в качестве основной спектральной характеристики задачи вводится так называемая функция Вейля. Краевая задача имеет как непрерывный спектр, так и дискретный спектр. Также необходимо отметить, что в отличии от известных случаев [15] в данном случае дискретный спектр является неограниченным. В Разделе 2.2 доказана теорема единственности решения обратной задачи. Также в разделе получено основное уравнение, которое, в отличии от случая, рассмотренного в Главе 1, является интегральным уравнением, и доказана его однозначная разрешимость в соответствующем банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций. Опираясь на решение основного уравнения, получен алгоритм восстановления потенциала. В Разделе 2.3 получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Раздел 2.4 посвящен решению обратной задачи для уравнения (7) на полуоси х > 0, но уже рассматриваемому вместе с краевым условием Робина у'(0) — Ну {0) = 0. В целом исследование аналогично задаче рассмотренной в начале Главы 2 с соответствующими техническими изменениями.

Глава 3 посвящена исследованию обратной задачи для уравнения (8) на полуоси х > 0. В главе строятся фундаментальные системы решения уравнения (8), которые являются обобщением на случай п > 2, полученных ранее фундаментальных систем решений для уравнения (7). Как было отмечено выше, исследование обратных задач уравнений высших порядком является гораздо более сложным по сравнению с исследованием оператором

Штурма-Лиувилля. Доказана теорема единственности решения обратной задачи восстановления потенциалов уравнения (8) по заданной матрице Вейля.

Результаты диссертации опубликованы в работах [142-151].

Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

В первой главе диссертации изучается краевая задача С — £(д(ж)) на конечном отрезке для дифференциального уравнения

= -у" + ((д. ^о)2 + ч{х))у = Ау, 0<я<Г, (1.1)

с краевым условием

г,(о) = у(т) = о (1.2)

и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а € (0,Т). При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода А — \djk\j,к=1,2, которая связывает решения уравнения (1.1) в окрестности особой точки (подробнее см. §1.1). Здесь - комплекснозначная функция, щ - комплексное число. Положим 1/0 = V - 1/4 и, для определенности, > 0, V ф 1,2,...

(остальные случаи вносят незначительные изменения). Предположим, что д(х)\х — а|тш(о,1-2Ке1/) е £,(о,Т). Класс таких функций будем обозначать через У/.

В данной главе строятся специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения (1.1) и исследуется их асимптотическое поведение. Для построения фундаментальных систем решений для

уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. Получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построения фундаментальных систем решений. Существенную роль в исследовании прямой и обратной задачи играют обобщения классического решение и функции Вейля [15]. Для того чтобы сформулировать постановку обратной задачи 1.1 в качестве спектральных данных вводится спектр краевой задачи С и последовательность Вейля. В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи. Для того чтобы найти решение обратной задачи 1.1 построено основное уравнение, являющееся линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве ограниченных последовательностей. Доказана его однозначная разрешимость. Используя решение основного уравнения обратной задачи, построена конструктивная процедура решения обратной задачи 1.1 и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

1.1 Свойства спектральных характеристик

В данном разделе строятся фундаментальные системы решений уравнения (1.1) специального вида и исследуется их поведение, получены свойства собственных значений краевой задачи С, дается определение последовательности Вейля.

Пусть А = р2,1ш р > 0. Рассмотрим функции

оо

Щх, А) = (ж - аГ> £ с5к{р[х - а)?\ ^ = 1,2,

к=0

где

ц = (-1 у и + 1/2, с10с20 = (21/)"\

к -1 Сзк = (-1)4-0 ( Д((25 + ^0(25 + ^ - 1) - щ)) . в=1

Здесь и в дальнейшем 2м = ехр(//(1п |г| + ia,тgz)), € (—7г,7г]. При

х > а и х < а функции являются решениями уравнения (1.1) при

д(х) = 0. Пусть функции Sj(x,X), j = 1,2 являются решениями следующих

интегральных уравнений при х > а и х < а\

Sj(x, Л) = Cj(x, А) + / <7(2;, t, Л)q(t)sj(t, A) dt,

J а

где ¿/(ж, Л) = Ci(i, А)Сг(а;, Л) - С\{х, X)C2(t, Л). При каждом фиксированном х функции Sj(x, А) являются целыми по А порядка 1/2 и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.1). При этом

X)]jm=i-2 = 1) (1.3)

A)I < C\{x-a)^~ml \sj(x, X)—Cj{x, A)| < С\(x-a)2u+^\, \p(x-a)\ < 1.

Здесь и далее один и тот же символ С обозначает различные положительные константы в оценках. Функции Sj(x, А) будем называть решениями типа Бесселя для уравнения (1.1).

Пусть Sj-(x, X), х > а - решения типа Бесселя для уравнения

- У-(х) + + д(2а - х)^у-(х) = Ху-(х), х > а. (1.4)

Тогда функции sf(x, А) := Sj-(2a — х, А), х < а являются решениями уравнения (1.1). Очевидно, что

sf(x, А) = exp(—i7Tfij)sj(x,X), х < а. (1-5)

Обозначим Sko = {р : argр G к0 = В каждом

секторе корни Rк, к = 1,2 уравнения Л2 + 1 = 0 можно занумеровать так, что Re(pRi) < Re(pR2), р G Ясно, что Rk = для S0

и 5i, и = (—l)ki для 5_i и S-2- Пусть для определенности Rер > 0, т.е. р в SQ US _i. В [128] построена специальная фундаментальная система решений {yk(x, p)}k=1,2, х > а, р € SkQ уравнения (1.1) в каждом секторе Sko такая, что

1) при каждом х > а функции укп\х,р), т = 0,1, аналитичны по р при р в Sko, \р\ > р*, непрерывны при р € Sko, |р| > р*, и

\у]Г\*,Р)№к)-тех9(-рЩх - а)) - 1| < с(\р{х - а)!"1 + И"1) (1.6)

при х> а, р G Sk0, |р(х - а)| > 1; 2) имеет место соотношение

2

Ук(х,р) = ^¿^(¿Мж, А), ж > а, (1.7)

где

= И->оо, (1.8)

[1] := 1 + 0(/9-1), и константы bkj зависят от сектора. Функции ук{х, р) будем называть решениями типа Биркгофа для уравнения (1.1).

Пусть ук~(х, р), х > а- решения типа Биркгофа для уравнения (1.4). Тогда функции уь(х,р) := ук-{2а — х,р), х < а являются решениями уравнения (1.1). Симметрично к (1.7) имеем

2

Ук{х,р) = ^2bbj(p)sf{x, А), х <а, (1.9)

3=1

где

Ъф) = Ъкз(Г>[\], |р|->оо (1.10)

с теми же константами bkj, что и в (1.8). В силу (1.5) и (1.9),

2

Ук(х, р) = B^j(p)sj(x, А), х < а, (1.11)

3=1

где

Bkj(p) = ЬкМ ехр(-гтг^). (1.12)

Из (1.7) и (1.11) вытекает, что

2

Sj(x,X) = ^2djk{p)yk{x,p), х> а, (1.13)

к=1

2

sj(xA) = J2D~k{p)yk{x,p), х<а, (1.14)

к=1

где

DjkÍP) = djk(p) ехр(г'тг^), (1.15)

и {djk(p)]j,k=h2 = ([b%(p)]k,j=1,2) • Используя (1.8) и ((1.10), получаем

d%(p) = djkP-^[í\, |p|-*oo, (1.16)

где [djk]j,k=1,2 = ([bfcj]fc,j=i,2) • Запишем (1.6) в виде

= (pRk)m exp(pRk(x — a))[l]a, x > a, p G |p(z-a)| > 1, (1.17) где [1]0 = l + o(\p(x — ¿Ol^ + H-1) при |р(ж —a)| > 1, |p| —t 00. Аналогично

y{™\x,p) = (-pRk)m exp(pRk(a - ж))[1]а, x < a, pe |p(x - a)| > 1.

(1.18)

В частности, (1.17) и (1.18) дают de%[m-1)(:r, p)]k,m=i,2 = =р2гр[1], х € J±, где := [0, a), J+ := (а, Г].

Пусть задана матрица А = [a^j^b^i^ det^ 0 с комплексными ajk. Введем функции {crj(x, A)}j=ij2, £ € J_ U J+ по формуле

!Sj(x, А), х < а

2

J2akjSk(x, А), х > а.

а=1

Функции <7j(x,X) удовлетворяют уравнению (1.1) при х<аих>а, и согласно (1.3),

det[<jjm'A)]j,m=i,2 - r¡(x). (1.19)

где r¡{x) = 1, х < а и 77(2:) = det А, х > а. Фундаментальная система решений {(jj(x,A)} будет использоваться для склейки решений в окрестности особой точки х = а.

Определение 1.1. Будем говорить, что решение у(х, А) уравнения (1.1) удовлетворяет условию склейки порожденному матрицей перехода А, если у(х, А) может быть представлено в виде

2

у(х, А) = Xj{X)crj(x, А) для всех х G J_ U J+, 3=1

где коэффициенты Xj(A) не зависят от х.

В силу (1.7), (1.11), (1.13), (1.14) и (1.1) имеем

2 2 Ук(х,р) = CTj(x, A) = ^2Dfk(p)yk(x,p), х е J±, (1.20)

з=\ к=1

где

Щр) = ВД = Lig^ ¿a3-s,3-^isW, (1.21)

s=1 s=1

a Djk(p), Bkj(p) определены в (1.12) и (1.15). При этом [Dfk{p)]j,fc=i,2 = • Введем числа j, fc = 1, 2 по формуле

Чп 1 ' -еще2™ -f a22e-2^ —i{a\\eKiu - а22е-^)

ы ы 2 sin 7TV -г(аце™ - а^е"™) an - - а22

(1.23)

(1.22)

Подставляя асимптотические формулы (1.8), (1.10) и (1.16) для bfj(p) и d^k(p) в (1.12), (1.15) и (1.21), вычисляем при \р\ —> оо, р G Sk0'

Btjip) = = djkajjP-^[ 1],

^¿■(p) = 6/y exp(-z7T/iJ)p/b[l], ^-(p) =

Обозначим

<pi(ic, л) = сга(0, л)<71(ж, л) - ct'i(0, л)сг2(х, л), ср2{х, л) = (71 (0, л)сг2(ж, л) - сг2(0, a)ai(ir, л).

(1.24)

Функции ] = 1,2, являются решениями дифференциального

уравнения (1.1) при х Е и удовлетворяют начальным условиям

= ¿,т = 1,2, (1.25)

где - символ Кронекера. В силу (1.19) и (1.24),

Л)]^т=1)2 = г}(х). (1.26)

Лемма 1.1. При \р(х — а)\ > 1, т = 0,1, \р\ оо, имеют место асимптотические формулы

^.го)(х,А) = i((-^)^'+1exp(-2px)[l]a + (гр)^+1ехр(грЖ)[1]а), х Е J-,

(1.27)

^(^А) = ^((-гр)т-^1(б2ехр(-грх)[1]а+(-1у-1б2ехр(-гр(2:-2а))[1]а)+

+ ехр(грх)[1]а + (—1);_1£п exp(ip(x — 2а))[1]а)^, х Е J+, (1.28)

где числа £,jk определены в (1.22).

Доказательство. Разложим функции ipj(x,\) по фундаментальной системе решений {ук(х, p)}k=1,2 отдельно при х Е J+ и х Е J~:

2

^•(ж, А) = ^ А%{р)Ук(х, р), х Е J±. (1.29)

Jb=l

Пусть для определенности р Е So (для других р рассуждения аналогичны). Тогда Rk = (—1 )k~li. Находим сначала А~к(р), используя начальные условия (1.25):

J2AjMy{r1)(0,p)=5im.

к=1

Учитывая (1.18), вычисляем

AjkiP) = ^((-l)^)1_'exP((-l)fciPa)[l]. (1.30)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Федосеев, Алексей Евгеньевич, 2013 год

Литература

1. "А method for solving the Korteweg-de Vries equation" / G. Gardner, J. Green, M. Kruskal et al. // Phys. Rev. Letters. 1967. Vol. 19. P. 1095-1098.

2. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

3. Ablowitz М., Clarkson Р. "Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering" // London Math. Soc. Lecture Note Seties. - Cambridge: Cambridge University Press. 1991. Vol. 149.

4. Лаке П. Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны // Математика. 1969. Т. 13, № 5. С. 128-150.

5. Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

6. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков [и др.]. М.: Наука, 1980.

7. Ambarzumian V. "Über eine Frage der Eigenwerttheorie" // Z. Physik. 1929. Vol. 53. P. 690-695.

8. Schrödinger E. "Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung)" // Annalen der Physik. 1926. Vol. 384, no. 79. P. 361-376.

9. Schrödinger E. "Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung)" // Annalen der Physik. 1926. Vol. 384, no. 79. P. 489-527.

10. Schrödinger E. "Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung)" // Annalen der Physik. 1926. Vol. 385, no. 80. P. 437-490.

11. Schrödinger E. "Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung)" // Annalen der Physik. 1926. Vol. 386, no. 81. P. 109-139.

12. Schrödinger E. "Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinem" // Annalen der Physik. 1926. Vol. 384, no. 79. P. 734-756.

13. Borg G. "Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe" // Acta Math. 1946. Vol. 78. P. 1-96.

14. Levinson N. "The inverse Sturm-Liouville problem" // Math. Tidsskr. 1949. Vol. 73. P. 25-30.

15. Юрко B.A. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физ-матлит, 2007.

16. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. Т. 72. С. 457-460.

17. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва. 1952. Т. 1. С. 327-420.

18. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова Думка, 1972.

19. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

20. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М: Наука, 1984.

21. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определение дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем. 1951. Т. 15. С. 309-360.

22. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, № 2. С. 3-63.

23. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. Т. 76, № 1. С. 21-24.

24. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. Т. 94, № 1. С. 987-990.

25. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М: Наука, 1988.

26. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. Т. 69, № 6. С. 797-800.

27. Литвиненко О.Н., Сошников В.И. Теория неоднородных линий и их применение в радиотехнике. М.: Сов. Радио, 1964.

28. Мещанов В.П., Фельдштейн А.Л. Автоматизированное проектирование направленных ответвителей СВЧ. М.: Связь, 1980.

29. Shepelsky D.G. The inverse problem of reconstruction of the medium's conductivity in a class of discontinuous and increasing functions // Spectral operator theory and related topics. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994. T. 19 из Adv. Soviet Math. C. 209-232.

30. Krueger R. "Inverse problems for nonabsorbing media with discontinuous material properties" 11 J. Math. Phys. 1982. Vol. 23, no. 3. P. 369-404.

31. Anderssen R. "The effect of discontinuities in density and shear velocity on the asymptotic overtone structure of torsional eigenfrequencies of the Earth" // Geophys. J.R. Astr. Soc. 1997. Vol. 50. P. 303-309.

32. Lapwood F.R., Usami T. Free Oscillations of the Earth. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

33. Yurko V. "Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differential operators with discontinuties in an interior point" // Inverse Problems. 2002. Vol. 18. P. 757-773.

34. Hald O. "Discontinuous inverse eigenvalue problems" // Comm. Pure Appl. Math. 1984. Vol. 37. P. 539-577.

35. Kobayashi M. "A uniqueness proof for discontinuous inverse Sturm-Liouville problems with symmetric potentials" // Inverse Problems. 1989. Vol. 5, no. 5. P. 767-781.

36. Провоторов В.В. О решении обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями внутри интервала // Функц.-дифферен. уравнения. - Пермь: изд-во политех, ин-та. 1989. С. 132-137.

37. Юрко В.А. О краевых задачах с условиями разрыва внутри интервала // Дифферен. уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1139-1140.

38. Yurko V. "Integral transforms connected with discontinuous boundary value problems" // Integral Transforms and Special Functions. 2000. Vol. 10, no. 2. P. 141-164.

39. Hryniv R., Mykytyuk Y. "Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials" // Inverse Problems. 2003. Vol. 19, no. 3. P. 665-684.

40. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с распределенными потенциалами // Труды Моск. матем. о-ва. 2003. Т. 64. С. 159212.

41. Buterin S. "The inverse problem of recovering the Volterra convolution operator from the incomplete spectrum of its rank-one perturbation" // Inverse Problems. 2006. Vol. 22, no. 6. P. 2223-2236.

42. Buterin S. "On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator" // Results Math. 2007. Vol. 50, no. 3-4. P. 173-181.

43. Еремин M.C. Обратная задача для интегро-дифференциальных уравнений второго порядка с особенностью // Дифферен. уравнения. 1988. Т. 24. С. 350-351.

44. Kuryshova Y. "An inverse spectral problem for differential operators with integral delay" // Tamkang J. Math. 2011. Vol. 42, no. 3. P. 295-303.

45. Маламуд M.M. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков // Труды моек, матем. о-ва. 1994. Т. 55. С. 73-148.

46. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Математические заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 690-701.

47. Юрко В.А. Обратная задача для интегральных операторов // Математические заметки. 1991. Т. 50, № 5. С. 134-146.

48. Freiling G., Yurko V. "Inverse spectral problems for differential equations on the half-line with turning points" // J. Diff. Equations. 1999. Vol. 154. P. 419-453.

49. Aktosun Т., Klaus M., van der Мее С. "Recovery of discontinuities in a non-homogeneous medium"//Inverse Problems. 1996. Vol. 12. P. 1-25.

50. Andersson L. "Inverse eigenvalue problems with discontinuous coefficients" // Inverse Problems. 2003. Vol. 4, no. 2. P. 353-397.

51. Andersson L. "Inverse eigenvalue problems for a Sturm-Liouville equation in impedance form" // Inverse Problems. 2003. Vol. 4, no. 4. P. 929-971.

52. Coleman C., McLaughlin J. "Solution of the inverse spectral problem for an impedance with integrable derivative. I" // Commun. Pure Appl. Math. 1993. Vol. 46, no. 2. P. 145-184.

53. Coleman C., McLaughlin J. "Solution of the inverse spectral problem for an impedance with integrable derivative. II" // Commun. Pure Appl. Math. 1993. Vol. 46, no. 2. P. 185-212.

54. Darwish A. "The inverse scattering problem for a singular boundary value problem" // New Zeland J. Math. 1993. Vol. 22. P. 37-56.

55. Гринберг Н.И. Одномерная обратная задача рассеяния для волнового уравнения // Математ. сб. 1990. Т. 181, № 8. С. 1114-1129.

56. Якубов В.Я. Восстановление уравнения Штурма-Лиувилля с суммируемым весом // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 175-176.

57. Фаге М.К. Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменной // Труды Моск. матем. о-ва. 1959. Т. 8. С. 3-48.

58. Леонтьев А.Ф. Оценка роста решения одного дифференциального уравнения при больших значениях параметра // СМЖ. 1960. Т. 1, № 3. С. 456-487.

59. Сахнович JI.A, Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Математ. сб. 1958. Т. 46(88), № 1. С. 61-76.

60. Сахнович JI.A. Метод оператора преобразования для уравнений высших порядков //Математ. сб. 1961. Т. 55(97), № 3. С. 347-360.

61. Сахнович JI.A. Об обратной задаче для уравнения четвертого порядка // Математ. сб. 1962. Т. 56(98), № 2. С. 137-146.

62. Хачатрян И.Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси // Функц. анализ и его прилож. 1983. Т. 17, № 1. С. 40-52.

63. Хачатрян И.Г. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи рассеяния для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси // ДАН Арм. ССР. 1983. Т. 77, № 2. С. 55-58.

64. Хачатрян И.Г. Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков // Известия АН Армении, сер. матем. 1978. Т. 13, №3. С. 215-237.

65. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 70-144.

66. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды моек, матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15-58.

67. Yurko V.A. Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications. Amsterdam: Gordon and Breach, 2000.

68. Yurko V.A. Method of Specrtal Mapping in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

69. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1368-1372.

70. Юрко В.А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 3. С. 431-456.

71. Юрко В.А. Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 4. С. 449-451.

72. Юрко В.А. Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Матем. заметки. 1995. Т. 57, № 3. С. 451-462.

73. Beals R., Deift P., Tomei С. Direct and inverse scattering on the line. Math. Surveys and Monographs. V. 28, Providence, RI: American Mathematical Society, 1988.

74. Beals R. "The inverse problem for ordinary differential operators on the line" // Amer. J. Math. 1985. Vol. 107. P. 281-366.

75. Chadan K., Sabatier P.C. Inverse Problems in Quantum Scattering Theory: Texts and Monographs in Physics. 2nd ed. New York - Berlin: SpringerVerlag, 1989.

76. Deift P., Tomei C., Trubowitz E. "Inverse scattering and the Boussinesq equation" // Commun. Pure Appl. Math. 1982. Vol. 35. P. 567-628.

77. Deift P., Zhou X. "Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities" // Commun. Pure Appl. Math. 1991. Vol. 44, no. 5. P. 485-533.

78. Каир D. "On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class 4>xxx + 6Q4/x + 6ЯФ = АФ" // Stud. Appl. Math. 1980. Vol. 62. P. 189-216.

79. Казарян A.P., Хачатрян И.Г. Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами I // Известия АН Армении, сер. матем. 1994. Т. 29. С. 50-75.

80. Казарян А.Р., Хачатрян И.Г. Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей

оси коэффициентами II // Известия АН Армении, сер. матем. 1995. Т. 30. С. 39-65.

81. Суханов В.В. Обратная задача для самосопряженного дифференциального оператора на оси // Математ. сб. 1988. Т. 137(179), № 2. С. 242-259.

82. Юрко В.А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных систем на полуоси по матрице Вейля // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 2. С. 316-320.

83. Юрко В.А. Обратная спектральная задача для сингулярных несамосопряженных дифференциальных систем // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 12. С. 123-155.

84. Юрко В.А. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для систем дифференциальных уравнений на полуоси // Доклады РАН. 2004. Т. 396, № 6. С. 755-758.

85. Yurko V. "An inverse problem for differential systems with multiplied roots of the characteristic polynomial" // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13, no. 5. P. 503-512.

86. Beals R., Coifman R. "Scattering and inverse scattering for first order systems" // Comm. Pure Appl. Math. 1984. Vol. 39. P. 39-90.

87. Beals R., Coifman R. "Scattering and inverse scattering for first-order systems: II" // Comm. Pure Appl. Math. 1987. Vol. 3. P. 577-593.

88. Lee J.-H. "On the dissipative evolution equations associated with the Zakharov-Shabat system with a quadratic spectral parameter" // Trans. Am. Math. Soc. 1989. Vol. 316, no. 1. P. 327-336.

89. Zhou X. "Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities" // Commun. Pure Appl. Math. 1989. Vol. 42, no. 7. P. 895-938.

90. Zhou X. "Inverse scattering transform for systems with rational spectral dependence" // J. Differ. Equations. 1995. Vol. 115, no. 2. P. 277-303.

91. Zhou X. "L2-Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms" // Commun. Pure Appl. Math. 1998. Vol. 51, no. 7. P. 697-731.

92. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных систем на конечном интервале в случае кратных корней характеристического многочлена // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 51, № 6. С. 781-786.

93. Yurko V. "Inverse spectral problems for differential systems on a finite interval" // Results in Math. 2005. Vol. 48, no. 3^4. P. 371-386.

94. Belishev M. "Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the ВС method" // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 647-672.

95. Brown В. M., Weikard R. On inverse problems for finite trees // Methods of spectral analysis in mathematical physics. Basel: Birkhauser Verlag, 2009. Vol. 186 of Oper. Theory Adv. Appl. P. 31-48.

96. Герасименко Н.И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе // Теорет. матем. физ. 1988. Т. 74, № 2. С. 187-200.

97. Kurasov P., Stenberg F. "On the inverse scattering problem on branching graphs" // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35. P. 101-121.

98. Pivovarchik V. "Inverse problem for the Sturm-Liouville equation on a simple graph" // SIAM J. Math. Anal. 2000. Vol. 32, no. 4. P. 801-819.

99. Yurko V. "Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs"//Inverse Problems. 2005. Vol. 21. P. 1075-1086.

100. Andersson E. "On the M-function and Borg-Marchenko theorems for vector-valued Sturm-Liouville equations" // J. Math. Phys. 2003. Vol. 44, no. 12. P. 6077-6100.

101. Carlson R. "An inverse problem for the matrix Schrodinger equation" // J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol. 267. P. 564-575.

102. Chakravarty N. "A necessary and sufficient condition for the existence of the spectral matrix of a differential system" // Indian J. Pure Appl. Math. 1994. Vol. 25, no. 4. P. 365-380.

103. Gesztesy F., Clark S. "Weyl-Titchmarsh M-function asymptotics for matrix-valued Schrodinger operators" // Proc. London Math. Soc. 2001. Vol. 82(3), no. 3. P. 701-724.

104. Paladhi В. "The inverse problem associated with a pair of second-order differential equations" 11 Proc. London Math. Soc. 1981. Vol. 43(3), no. 1. P. 169-192.

105. Shen C., Shieh C. "Two inverse eigenvalue problems for vectorial Sturm-Liouville equations"//Inverse Problems. 1995. Vol. 11, no. 5. P. 1113-1123.

106. Yurko V. "Inverse problems for matrix Sturm-Liouville operators" // Russian Journal of Math. Physics. 2006. Vol. 13, no. 1. P. 111-118.

107. Yurko V. "Inverse problems for the matrix Sturm-Liouville equation on a finite interval" // Inverse Problems. 2006. Vol. 22, no. 4. P. 1139-1149.

108. Bondarenko N. "Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville operator on a finite interval" // Tamkang J. Math. 2011. Vol. 42, no. 3. P. 305-327.

109. Бондаренко Н.П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля // Функц. анализ и его прил. 2012. Т. 46, № 1. С. 65-70.

110. Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т. 37, № 2. С. 19-23.

111. Гусейнов Г.Ш. О спектральном анализе квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1985. Т. 285, № 6. С. 1292-1296.

112. Browne P., Sleeman В. "A uniqueness theorem for inverse eigenparameter dependent Sturm-Liouville problems" // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, no. 6. P. 1453-1462.

113. Aktosun Т., Klaus M., van der Мее C. "Inverse scattering in one-dimensional nonconservative media" // Integral Equations Oper. Theory. 1998. Vol. 30, no. 3. P. 279-316.

114. Nabiev I. "The inverse spectral problem for the diffusion operator on an interval" // Mat. Fiz. Anal. Geom. 2004. Vol. 11, no. 3. P. 302-313.

115. Юрко В.А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Известия АН Арм.ССР, сер. матем. 1984. Т. 19, № 5. С. 398-409.

116. Юрко В.А. Обратная задача для систем дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 3. С. 390-395.

117. Yurko V. "An inverse problem for differential equations of the OrrSommerfeld type"//Mathematishe Nachrichten. 2000. Vol.211. P. 177-183.

118. Юрко В.А. О восстановлении пучков дифференциальных операторов на полуоси // Математические заметки. 2000. Т. 67, № 2. С. 316-319.

119. Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 10. С. 137-160.

120. Yurko V. "Recovery of differential equations with nonlinear dependence on the spectral parameter" // Applicable Analysis. 2001. Vol. 78, no. 1-2. P. 6377.

121. Yurko V. "Inverse problems for non-selfadjoint quasi-periodic differential pencils" // Anal. Math. Phys. 2012. Vol. 2, no. 3. P. 215-230.

122. Constantin A. On the inverse spectral problem for the Camassa-Holm equation // J. Funct. Anal. 1998. T. 155. C. 352-363.

123. Darboux G. "Sur une proposition relative aux équations linéaires" // С. R. XCIV. 1882. P. 1456-1459.

124. Сташевская B.B. Об обратной задаче спектрального анализа для некоторого класса дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 93. С. 409-412.

125. Гасымов М.Г., Амиров Р.Х. Прямые и обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов второго порядка с кулоновской особенностью // ДАН Азерб. ССР. 1985. Т. 51, № 8. С. 3-7.

126. Zhornitskaya L., Serov V. "Inverse eigenvalue problems for a singular Sturm-Liouville operator on [0,1]" // Inverse Probl. 1994. Vol. 10, no. 4. P. 975-987.

127. Панахов Э.С. Об обратной задаче по двум спектрам для дифференциального оператора с особенностью в нуле // ДАН АН Азерб. ССР. 1980. Т. 36, № 10. С. 6-10.

128. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных уравнений с особенностью//Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 8. С. 1355-1362.

129. Юрко В.А. О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью // Математический сборник. 1995. Т. 186, № 6. С. 133-160.

130. Белишев М.И. Обратная спектральная индефинитная задача для уравнения у" 4- Ар(х)у — 0 на промежутке // Функц. анализ и его прил. 1987. Т. 21, №2. С. 68-69.

131. Bennewitz С. A Paley-Wiener theorem with applications to inverse spectral theory // Advances in differential equations and mathematical physics (Birmingham, AL, 2002). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003. T. 327 из Contemp. Math. C. 21-31.

132. Boumenir A. "The inverse spectral problem for the generalized second-order operator"//Inverse Problems. 1994. Vol. 10, no. 5. P. 1079-1097.

133. Carlson R. "Borg-Levinson theorem for Bessel operators" // Pacific J. Math.

1996. Vol. 177, no. 1. P. 1-26.

134. el Reheem Z. F. A. "On the scattering problem for the Sturm-Liouville equation on the half line with sign valued weight coefficient" // Appl. Anal. 1995. Vol. 57, no. 3-4. P. 333-339.

135. Freiling G., Yurko V. "Inverse problems for differential equations with turning points"//Inverse Problems. 1997. Vol. 13. P. 1247-1263.

136. Yurko V. "Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval" // Integral Transforms and Special Functions.

1997. Vol. 5, no. 3-4. P. 309-322.

137. Гасымов М.Г. Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам // ДАН СССР. 1965. Т. 161. С. 274-276.

138. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Математические заметки.

1998. Т. 64, № 1. С. 143-156.

139. Юрко В.А. О восстановлении сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов с особенностью внутри интервала // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 645-659.

140. Yurko V. "Inverse spectral problems for higher-order differential operators with a singularity" // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2002. Vol. 10, no. 4. P. 413-425.

141. Yurko V. "Higher-order differential equations having a singularity in an interior point" // Results in Mathematics. 2002. Vol. 42. P. 177-191.

142. Fedoseev A. "Inverse problems for differential equations on the half-line having a singularity in an interior point" // Tamkang Journal of Mathematics. 2011. Vol. 42. P. 343-354.

143. Федосеев A.E. Асимптотическое поведение собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения с особенностью // Научные исследования студентов, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2011. С. 2224.

144. Федосеев А.Е. Единственность решения обратной задачи для дифференциального уравнения с особенностью // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2011. Т. 13. С. 103-106.

145. Федосеев А.Е. Единственность решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2012. Т. 14. С. 76-79.

146. Федосеев А.Е. О восстановлении оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью // Современные методы теории краевых задач. Воронеж: изд-во ВГУ. 2012. с. 185.

147. Федосеев А.Е. Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 4. С. 49-55.

148. Федосеев А.Е. О восстановлении оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью // Современные методы теории краевых задач. Воронеж: изд-во ВГУ. 2013. С. 204-205.

149. Fedoseev A. An inverse problem for Sturm-Liouville operators on the halfline having Bessel-type singularity in an interior point // Central European Journal of Mathematics. 2013. Vol. 11, no. 12. P. 2203-2214.

150. Федосеев А.Е. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 3. С. 59-64.

151. Федосеев А.Е. О единственности решения обратной задачи на конечном отрезке для оператора Штурма-Лиувилля с неинтегрируемой особенностью // Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. унта. 2013. Т. 15. С. 47-50.

152. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Мир, 1967.

153. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984.

/