Обратные задачи для операторов Штурма–Лиувилля на замкнутых множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Кузнецова Мария Андреевна

• Кузнецова Мария Андреевна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецова Мария Андреевна

Введение

Глава 1. Теоремы единственности восстановления операторов

Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

1.1 Операторы Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

1.1.1 Основные понятия теории уравнений с Д-производными

1.1.2 Уравнение Штурма-Лиувилля

1.1.3 Выбор класса замкнутых множеств

1.1.4 Краевые задачи. Спектральные характеристики

1.1.5 Вспомогательные асимптотические формулы

1.2 Обратные задачи. Теоремы единственности

Глава 2. Алгоритмы решения обратных задач для операторов

Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

2.1 Асимптотики собственных значений и весовых чисел

2.2 Алгоритм решения обратной задачи

2.2.1 Локальная обратная задача

2.2.2 Решение локальной обратной задачи: случай <Ь\

2.2.3 Решение локальной обратной задачи: случай = Ь\. Решение обратной задачи

Глава 3. Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля с

замороженным аргументом

3.1 Случай отрезка

3.1.1 Основное уравнение обратной задачи

3.1.2 Теоремы единственности. Алгоритмы решения обратных задач

3.1.3 Полная характеризация спектра: необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

3.2 Случай двух непересекающихся отрезков

Стр.

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи для операторов Штурма–Лиувилля на замкнутых множествах»

Введение

В данной работе изучаются обратные спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с Д-производными на замкнутых множествах. Обратные спектральные задачи заключаются в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Такие задачи возникают в различных областях науки и техники: механике, электронике, геофизике, метеорологии и других. Вместе с тем теория обратных спектральных задач является важным инструментом при решении нелинейных эволюционных уравнений в частных производных (см. [1—3]). В связи со значительным числом приложений в настоящее время она привлекает внимание многих исследователей и продолжает активно развиваться.

Наиболее исследованы обратные спектральные задачи для классического уравнения Штурма-Лиувилля

- У"{х) + д{х)у(х) = Ху(х), (1)

где функция д(х) называется потенциалом. Первым результатом теории обратных спектральных задач является теорема В. А. Амбарцумяна [4]. Данная теорема заключается в следующем: если собственные значения краевой задачи для уравнения (1) с условиями Неймана у'(0) = у'(п) = 0 имеют вид = к2, где к ^ 0, то д = 0. Рассмотренный случай является исключением: для собственных значений общего вида однозначное восстановление потенциала невозможно без дополнительных данных.

Впоследствии Г. Борг [5] доказал, что в общем случае потенциал однозначно определяется двумя спектрами, а именно всеми собственными значениями двух краевых задач с одним общим краевым условием. Им также было получено решение соответствующей обратной задачи при малых возмущениях спектров фиксированного потенциала; иначе говоря, была доказана локальная разрешимость. Использованные Г. Боргом идеи легли в основу метода Борга, который используется и в настоящее время при исследовании локальной разрешимости различных обратных спектральных задач (см. [6—9]).

Важную роль в развитии теории обратных спектральных задач сыграли операторы преобразования для решений уравнения (1). Первым для исследования обратных задач их применил В. А. Марченко. В работах [10; 11] он доказал,

что спектральная функция однозначно определяет потенциал в уравнении (1) на конечном интервале и на полуоси. В работе [12] И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном с помощью операторов преобразования были получены необходимые и достаточные условия для спектральной функции и алгоритм восстановления потенциала по ней. В дальнейшем метод оператора преобразования был адаптирован для решения обратной задачи рассеяния на оси (см. [13; 14]).

Метод оператора преобразования оказался неэффективным при исследовании обратных задач для некоторых других классов операторов. В частности, таковыми являются задачи для операторов высших порядков

п-2

У(п) + ^Рк(х)у(к)(х), п > 2. (2)

к=0

Более универсальным является метод спектральных отображений, основанный на идеях метода контурного интеграла. Впервые идеи метода контурного интегрирования к решению обратных задач были применены Н. Левинсоном в работе [15], где было получено альтернативное доказательство некоторых результатов Борга. Для операторов вида (2) данный метод впервые был применен З.Л. Лейбензоном [16; 17]. Дальнейшее развитие метод спектральных отображений получил в работах В. А. Юрко [18—22], где с его помощью была решена обратная задача восстановления оператора высшего порядка на полуоси и на конечном интервале по матрице Вейля, являющейся, в свою очередь, обобщением функции Вейля для классического оператора Штурма-Лиувилля. Отметим, что обратные задачи восстановления по двум спектрам и по спектральной функции сводятся к обратным задачам восстановления по функции Вейля.

В данной работе рассматривается дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

1у := -уАА(а-(х)) + д(а-(х))у(х), х е То°,

с вещественным непрерывным потенциалом д. Здесь и далее Т обозначает произвольное замкнутое подмножество вещественной оси. Дифференциальные операторы на замкнутых множествах обобщают классические дифференциальные и разностные операторы, поскольку содержат Д-производную.

Определение. Положим

т£{й е Т : 8 > х}, х = тахТ,

а(х) =

тах Т, х = тах Т,

supjs E T : s < x}, x = min T, min Т. x = min Т.

Обозначим Т° := Т\{maxТ}, если a"_(maxТ) < maxТ, и Т° := Т в противном случае. Симметрично, положим То := Т \ {minТ}, если a(minТ) > minТ, иначе Т0 := Т. Кроме того, обозначим Т0° := (Т°)°.

А-производной функции f в точке х.

Впервые такое обобщение понятия производной было предложено в работе [23]. Уравнения с А-производной возникают при моделировании различных процессов (см. [24—27]), в связи с чем в англоязычной литературе соответствующие замкнутые множества вещественных чисел часто называются «временными шкалами» (англ. time scales). Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений с А-производными изучались в работах [24; 28—40].

В настоящее время не существует общей теории обратных спектральных задач для операторов с А-производными. Постановка и изучение таких задач существенно зависят от структуры рассматриваемого замкнутого множества, что приводит к значительным трудностям в случае произвольных множеств. Исключением является работа [41], где был получен аналог теоремы Амбарцумяна для классического оператора Штурма-Лиувилля [4]. В дальнейших исследованиях для определенности требуются те или иные ограничения на рассматриваемое множество (см. [42—45]). Например, в [42] изучалась неполная обратная задача в случае Т = [0,а] U Т\, где Т\ — произвольное замкнутое множество, однако потенциал на нём был задан априори. В [43] восстановление потенциала исследовалось на замкнутых множествах, состоящих из двух отрезков и конечного числа изолированных точек между ними.

В данной работе обратные задачи рассматриваются на классе замкнутых множеств Т, состоящих из N отрезков и М изолированных точек. Этот класс является более широким, чем те, на которых до этого исследовались обратные спектральные задачи для операторов с А-производными. Если N =1 и

Функция / на Т называется Д-дифференцируемой в точке х Е Т0, если для любого £ > 0 существует 6 > 0, при котором

If (а(х)) _ f (s) _ f А(х)(а(х) _ s)| ^ ф(я) _ s|

для всех s E (х _ 6,х + 6) П Т. Число f А(х) из данного неравенства называется

М = 0, то оператор I совпадает с классическим оператором Штурма-Лиувил-ля. Когда Т состоит только из изолированных точек, т.е. N = 0, он является разностным оператором. Обратные задачи в последнем случае заключаются в восстановлении коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений относительно многочленов от спектрального параметра. Такие задачи изучались в [46—56] и других работах. Случай N = 1 и М > 0 приводит к пучкам дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с полиномиальными краевыми условиями, обратные задачи для которых исследовались в [57—62]. Если N > 1, то оператор Штурма-Лиувилля с Д-производными I состоит из нескольких компонент, порождаемых обычными дифференциальными выражениями Штурма-Лиувилля и подчинённых условиям скачков. Коэффициенты условий скачков являются многочленами от спектрального параметра, которые зависят от значений потенциала в изолированных точках, что существенно усложняет исследование.

Также в работе изучается обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на замкнутых множествах. В случае отрезка данный оператор определяется функционально-дифференциальным выражением

где а е [0, ж] фиксировано. Он является специальным случаем так называемых операторов с отклоняющимся аргументом, к обратным задачам для которых в последнее время возник повышенный интерес (см. [63—68]). В отличие от классического оператора Штурма-Лиувилля, операторы с отклоняющимся аргументом являются нелокальными. По этой причине методы классической теории обратных задач для них неприменимы. Вместе с тем нелокальные операторы имеют приложения во многих областях математики и естествознания

Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на отрезке изучались в ряде работ [74—82]. Установлено, что в случае краевых условий

у"(х) + д(х)у(а), 0 < х < п,

(3)

(см. [69—73]).

.уМ(0) = уМ(^) = 0, а,/3 е {0,1},

(4)

однозначная разрешимость задачи восстановления потенциала по спектру зависит от комбинации а, а и ¡3 (см. [74—76]). Если а/ж е О, то часть спектра

может совпадать с некоторой бесконечной частью спектра соответствующего оператора с нулевым потенциалом, и для единственности восстановления требуется дополнительная информация. Здесь будет проведено наиболее полное исследование обратной задачи для оператора (3)-(4) при рациональной соизмеримости а/п е О, обобщающее результаты работ [74; 75] в частных случаях.

Кроме того, в работе впервые будет изучена обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на замкнутом множестве

-уАА(а-(г))+ у(1 )д(а-(г)), I е т°,

являющегося обобщением соответствующего оператора на отрезке. Для определенности мы ограничимся простейшим случаем замкнутого множества, отличного от отрезка и позволяющего продемонстрировать новый качественный эффект.

Целью данной работы является решение обратных спектральных задач для операторов Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах, состоящих из отрезков и изолированных точек. Для дифференциального выражения I будут рассмотрены входные данные трех типов: функция Вейля, спектры двух краевых задач с одним общим краевым условием, один спектр и весовые числа. Для оператора с замороженным аргументом будет изучено восстановление потенциала по спектру. Требуется доказать теоремы единственности, получить алгоритмы решения обратных задач и характеризацию спектральных данных.

Актуальность. В последние годы значительно возросло внимание к дифференциальным операторам, содержащим Д-производные. Это обусловлено как большим числом приложений таких операторов в естественных науках и технике, так и чисто математическим интересом. Последний в значительной степени мотивирован тем, что в зависимости от структуры рассматриваемого замкнутого множества операторы с Д-производными могут одновременно обобщать как обычные дифференциальные, так и разностные операторы. В то же время, обратные спектральные задачи для операторов на замкнутых множествах были изучены только для некоторых частных случаев. Данная работа сокращает этот пробел.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Получить асимптотические формулы для различных объектов, связанных с рассматриваемыми краевыми задачами, включая характеристи-

ческие функции, решения соответствующих уравнений, собственные значения и весовые числа.

2. Доказать теорему единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля на замкнутом множестве по спектральным данным.

3. Построить алгоритм восстановления оператора Штурма-Лиувилля на замкнутом множестве по спектральным данным.

4. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи в случае, когда возможна полная характеризация спектральных данных.

Научная новизна:

1. Впервые получены асимптотики собственных значений и весовых чисел требуемой степени точности.

2. Получено решение обратных задач для структуры из N отрезков и М изолированных точек, которая является более общей, чем все исследованные до этого случаи.

3. Получены формулы для восстановления потенциала в изолированных точках. В предыдущих исследованиях, когда рассматриваемое замкнутое множество содержало изолированные точки (см., например [43]), вышеупомянутые значения предполагались заданными априори.

4. Впервые построен алгоритм восстановления оператора Штурма-Лиу-вилля на замкнутом множестве столь общего вида.

5. Получено полное решение обратной задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на отрезке (3)-(4) в случае рациональной соизмеримости. До этого исследовались лишь частные случаи (см. [74; 75]).

6. Впервые рассмотрена обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля с Д-производными и замороженным аргументом.

Практическая значимость. Результаты работы являются теоретическими. Они могут быть применены в дальнейших исследованиях обратных спектральных задач, а также при разработке соответствующих курсов для студентов.

Методы исследования. Были использованы методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории целых функций. Для решения об-

ратной задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах использована модифицированная версия метода спектральных отображений, учитывающая особенности исследуемого объекта.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены свойства спектральных характеристик оператора Штурма-Лиувилля на замкнутом множестве, включающие их взаимосвязи и асимптотические формулы, необходимые для решения обратных задач.

2. Доказана теорема единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля на замкнутом множестве по спектральным данным каждого из трех рассматриваемых типов.

3. Построен алгоритм восстановления оператора Штурма-Лиувилля на замкнутом множестве при рациональной соизмеримости отрезков.

4. Получены необходимые и достаточные условия на спектр оператора Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на отрезке в общем случае рациональной соизмеримости, которые включают в себя асимптотические формулы и в некоторых случаях условие вырождения части спектра.

Достоверность исследования обеспечивается применением фундаментального математического аппарата. Для всех результатов приводятся подробные доказательства. Полученные выводы подтверждают результаты других авторов для соответствующих частных случаев.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих международных конференциях:

— 30-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (г. Симферополь, 2019);

— 20-я Международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (г. Саратов, 2020);

— 31-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (г. Симферополь, 2020);

— Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа-2020» (г. Уфа, 2020);

— Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — 2021» (г. Воронеж, 2021);

— 10-я международная научная конференция «Современные методы, задачи и применения теории операторов и гармонического анализа» OTHA-2021 (г. Ростов-на-Дону, 2021);

— 32-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (г. Симферополь, 2021);

— Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа-2021» (г. Уфа, 2021).

Также результаты были представлены на семинарах кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского университета (2019-2021, рук. В.А. Юрко).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 работах (см. [44; 45; 77; 83—92]). В том числе, 3 опубликованы в изданиях, входящих в перечень ЮФУ по специальности 01.01.01, 4 —в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 8 — в тезисах докладов международных конференций и симпозиумов. Из совместных работ [45; 77; 84] в диссертацию вошли только результаты, полученные соискательницей лично. В совместной работе [45] Кузнецовой М.А. были получены асимптотические формулы для характеристических функций и решений Вейля. Из совместных работ [77; 84] соискательнице принадлежат следующие результаты: классификация невырожденных и вырожденных случаев, теорема единственности, алгоритм восстановления в невырожденном случае, необходимые и достаточные условия для спектра. Остальные работы выполнены без соавторов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 120 страниц. Список литературы содержит 135 наименований.

Глава 1. Теоремы единственности восстановления операторов Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

В данной главе исследуются обратные спектральные задачи для операторов Штурма-Лиувилля с Д-производными. Раздел 1.1 содержит необходимые определения и вспомогательные утверждения. В нём приводятся основные понятия теории уравнений с Д-производными, вводится оператор Штурма-Лиувил-ля на замкнутом множестве и определяются его спектральные характеристики. Получены асимптотические формулы для характеристических функций и решений Вейля, которые необходимы для исследования обратных задач. Основные результаты содержатся в разделе 1.2. В нём сформулированы три обратные спектральные задачи, соответствующие различным типам спектральных данных, и установлена их эквивалентность. Затем доказана теорема единственности 1.2. Результаты данной главы опубликованы в работах [44; 45; 86; 90; 91]. В совместной работе [45] Кузнецовой М.А. были получены асимптотические формулы для характеристических функций и решений Вейля.

1.1 Операторы Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах

1.1.1 Основные понятия теории уравнений с Д-производными

Сначала введём основные понятия теории дифференциальных операторов на замкнутых подмножествах вещественной оси. Определим так называемые функции скачков а и а- на Т следующим образом:

inf{s Е Т : s > х}, х = maxТ,

а(х) :=

max Т, х = max Т,

={" - {

supjs Е Т : s < х], х = min Т,

а-(х):=

min Т, х = min Т.

Здесь и далее знак ":=" обозначает равенство по определению.

а_(х) = х

а_(х) < х

х = а(х)

х

а)

а_(х)

х < а(х)

х

б)

в

а_ (х) < х < а(х)

х

X

а_(х) = х = а (х)

а(х)

а_(х) х а(х) д)

х

е)

Рисунок 1.1 — Виды точек: а) плотная слева; б) изолированная слева; в) плотная справа; г) изолированная справа; д) изолированная; е) плотная.

Точка х E Т называется плотной слева, изолированной слева, плотной справа и изолированной справа, если а_(х) = х, а_(х) < х, а(х) = х и а(х) > х соответственно. Если а_(х) < х < а(х), то х называется изолированной; если а_(х) = х = а(х), то х называется плотной. Примеры точек всех перечисленных типов приведены на рисунке 1.1.

Обозначим Т0 := Т \ {max Т}, если точка max Т изолированна слева, и Т° := Т в противном случае. Симметрично, положим Т° := Т \ {minТ}, если minТ изолированна слева, иначе Т° := Т. Кроме того, обозначим Т°° := (Т°)°. Функция f на Т называется А-дифференцируемой в t E Т°, если для любого £ > 0 существует Ö > 0, при котором

If МО) _ f W _ f A(t)(v(t) _ s)| < e|a(i) _ s\

для всех s E (t _ S,t + 6) П Т. Число f A(t) из данного неравенства называется А-производной функции f в точке t. Впервые понятие А-производной было предложено в работе [23] с целью объединения понятий обычной и разностной производных. В настоящее время она продолжает привлекать внимание многих исследователей (см. работы [26; 30; 39; 40; 93—97] и ссылки в них).

Следующее утверждение содержит необходимые и достаточные условия А-дифференцируемости в точках различных типов.

Утверждение 1.1. 1) Если f (t) является А-дифференцируемой в t, то f (t) непрерывна в точке t.

2) Пусть точка t Е Т изолированная справа. Функция f является А-дифференцируемой в t тогда и только тогда, когда f непрерывна в t. В этом случае

fHt)=щя^т.

а(t) — t

3) Пусть точка t Е Т плотная справа. Функция f является А-дифференцируемой в t тогда и только тогда, когда существует предел

lim т—™ = :/*(,).

s^t, SET t — S

В частности, если (t — e,t + e) С T при некотором £ > 0, то f является А-дифференцируемой в t тогда и только тогда, когда f дифференцируема в t. В последнем случае выполнено равенство f A(t) = f '(t).

Согласно пункту 2) имеем

f И«)) = fA(t)(a(t) — t) + f (t), (1.1)

если точка t изолированна справа. Однако очевидно, что и в случае плотной справа точки формула (1.1) выполняется.

Утверждение 1.1 основывается на теореме 1.16 [24]. Пункт 1) совпадает с пунктом (i) данной теоремы. Пункт 2) является непосредственным следствием пунктов (i) и (ii) теоремы 1.16 [24]. Наконец, пункт 3) содержит в себе пункт (iii) этой теоремы, а также утверждение в частном случае, когда понятие А-производной совпадает с понятием классической производной. Последнее утверждение очевидно, если сравнить определения А-производной и классической производной.

Из утверждения 1.1 ясно, что понятие А-производной обобщает понятия классической производной и разделенной разности, которая является дискретным аналогом классической производной. Если множество Т — отрезок либо вся вещественная ось, то f A(t) = f'(t). Если множество Т дискретно, то А-производная является разделенной разностью. Мы видим, что одно и то же уравнение может описывать дискретный и непрерывный случай в зависимости от структуры замкнутого множества. Таким образом, достаточно доказать какой-либо результат один раз для множества Т общего вида вместо рассмотрения каждого из двух случаев по отдельности.

Для Д-производной справедливы не все факты, имеющие место для классической производной. Пункт 1) утверждения 1.1 является полным аналогом того факта, что для дифференцируемости необходима непрерывность. В то же время пункт 2) является неожиданным результатом, так как для обычной дифференцируемости недостаточно непрерывности. В дальнейшем нам понадобится следующая формула из [24] для вычисления Д-производной произведения, которая обобщает формулу классической производной произведения двух функций:

(/(%М)А = f (t)g A(t) + fA(t)g(a(t)). (1.2)

Из соображений симметричности левой части относительно f (t) и g(t) ясно, что правая часть также должна быть симметричной, то есть имеет место тождество

f (t)g A(t) + fA(t)g(a(t)) = f (a(t))gA(t) + f A(t)g(t),

которое легко проверить также с помощью формулы (1.1).

Введём также производные высших порядков п ^ 2. Пусть (п — 1)-ая Д-производная fА" 1 функции f определена на Т1, где ап = а^^а для любо-

п

го символа а. Если /А" в свою очередь Д-дифференцируема на Т:= (Т°™ )°, то fА" := (/А™ )А называется п-ой Д-производной f на Т. Для п ^ 1 обозначим через СА (Т ) класс функций f, для которых существует n-ая Д-производная / , и

f А" G с(Т°" ). в дальнейшем символ fА (х\,... ,хп) будет обозначать v-ую частную Д-производную функции f (х\,..., хп) по первому аргументу.

Функция F (t) называется Д-первообразной f (t), если существует F A(t) и FA(t) = f (t) для всех t G Т°. В [24, §1.4] установлено, что любая функция из класса С(Т°) имеет Д-первообразные, отличающиеся друг от друга постоянным слагаемым. Для любых чисел a,b G Т формула

f f (*)Д* := F (b) — F (a)

J a

задает определённый Д-интеграл функции f (t) на множестве Т П [а, Ъ]. Как и в классическом случае, очевидна его линейность относительно подинтегральной функции, а также аддитивность как функции множества интегрирования.

Отметим, что Д-интеграл может быть записан в виде интеграла Стилтье-са. Для этой цели введём функцию ограниченной вариации на R :

v(t) := Г хт(s) ds + V(a(s) — s)0(t — s), (1.3)

J° sze

где Хт(s) — характеристическая функция множества Т, 9(х) — функция Хэви-сайда, а множество G является множеством точек, изолированных справа, то есть G := {t G Т: a(t) > t}. Тогда выполнено следующее представление:

¡>Х ¡>Х

/ f(t)ùd= f(t)dv(t). (1.4)

J a J а

Данная формула использовалась в [98], чтобы свести уравнения с Д-производными второго порядка к системам интегральных уравнений с мерами, которые изучались в [48; 99]. Меру на Т, порожденную функцией v(t), рассматривали в работах [97; 100], где с ее помощью были введены обобщения пространств L[a, b] и W2, [а, Ь] на произвольном замкнутом множестве.

1.1.2 Уравнение Штурма—Лиувилля

Рассмотрим следующее уравнение Штурма-Лиувилля с Д-производными на Т :

- уАА(х) + д(х)у(а(х)) = Ху(а(ж)), ж е Т00. (1.5)

Здесь Х — спектральный параметр, а потенциал д(ж) е С(Т00) предполагается вещественнозначным. Функция у называется решением уравнения (1.5), если У е Сд(Т), и выполнено равенство (1.5).

Рассмотрим точный вид уравнения (1.5) на конкретных примерах множеств Т.

Пример 1.1. Т = [а, Ь]. Тогда уравнение (1.5) эквивалентно классическому уравнению Штурма-Лиувилля на интервале (а, Ь) :

-у" + q(х)У(х) = ХУ(х).

По обратным задачам для данного уравнения существует обширная теория, см. [5; 8; 14; 18; 101—108].

Пример 1.2. Т = У^ 1{ 1Н}. Тогда уравнение (1.5) эквивалентно разностному уравнению Штурма-Лиувилля:

Ш2 ~ + Ук = (9* - Х)й+1, 1 О ^ М - 2.

Данное уравнение иногда используется для аппроксимации классического уравнения Штурма-Лиувилля. Например, в работе [109] оно рассматривалось для численного решения обратной задачи Штурма-Лиувилля.

Качественная теория дифференциальных уравнений второго порядка на замкнутых множествах общего вида была развита в работах [24; 28—32]. В них получены аналоги классических фактов из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Нам понадобится следующее утверждение, объединяющее в себе теоремы 3.4, 3.7 и 3.13 из [24].

Утверждение 1.2. 1. Задача Коши для уравнения (1.5) с начальными условиями

УЫ = Уо, УАЫ = Уо ,

где 10 Е Т0, имеет единственное решение.

2. Рассмотрим аналог классического вронскиана №:= р(1)'фА{Ь) — -рА(1)г^(1), £ Е Т0. Если функции р и г^ являются решением одного и того же уравнения (1.5), то Wне зависит от Ь.

3. Пусть функции р и ф являются решениями уравнения (1.5), и W= 0, то есть они формируют фундаментальную систему решений. Тогда любое решение у уравнения (1.5) единственным образом раскладывается по р и ф в виде у = ар + где

а = Ж -1 (р,ф), $ = Ж -1(р,ф).

Краевые задачи для уравнения (1.5) и различных видов краевых условий изучались в [24; 28; 36; 38; 41—45; 98; 110—112]. Отметим, что уже при исследовании свойств собственных значений требуются ограничения на замкнутое множество.

Аналогично Д-производной можно ввести понятие У-производной, используя вместо а функцию левого скачка а- и вместо Т0 множество Т0, см. [28]. В [98; 112] рассматривалось следующее выражение с Д и У-производными, обобщающее классическое дифференциальное выражение Штурма-Лиувилля:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецова Мария Андреевна, 2022 год

Список литературы

1. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation / C. S. Gardner [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 1967. - Nov. - Vol. 19, issue 19. - P. 1095-1097.

2. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В. Захаров [и др.]. — М. : Наука, 1980. — 319 с.

3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи; пер. с англ. — М. : Мир, 1987. — 479 с.

4. Ambarzumian V. A. Über eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs. f. Phys. — 1929. - Vol. 53. - P. 690-695.

5. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe: Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte // Acta math. — 1946. - Vol. 78. - P. 1-96.

6. Юрко В. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Матем. заметки. — 1991. — т. 50, вып. 5. — с. 134—146.

7. Buterin S.A., Choque-Rivero A. E., Kuznetsova M. A. On a regularization approach to the inverse transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. - 2020. - Vol. 36, issue 10. - P. 105002.

8. Buterin S., Kuznetsova M. On Borg's method for non-selfadjoint Sturm-Liou-ville operators // Analysis and Mathematical Physics. — 2019. — Vol. 9, issue 4. - P. 2133-2150.

9. Bondarenko N., Buterin S. On a local solvability and stability of the inverse transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. — 2017. — Vol. 33, no. 11. - P. 115010.

10. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. — 1950. — вып. 3, № 72. — с. 457—460.

11. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва. — 1952. — т. 1. — с. 327—420.

12. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. ма-тем. — 1951. — т. 15. — с. 309—360.

13. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. — Киев : Наукова Думка, 1972. — 221 с.

14. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев : Наукова Думка, 1977. — 330 с.

15. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. — 1949. - Vol. 13. - P. 25-30.

16. Лейбензон З. Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды Моск. матем. о-ва. — 1966. — т. 15. — с. 70—144.

17. Лейбензон З. Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды Моск. матем. о-ва. — 1971. — т. 25. — с. 15—58.

18. Yurko V. A. Methods of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. — Utrecht : VSP, 2002. — 250 p. — (Inverse and Ill-posed Problems Series).

19. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Дифференц. уравнения. — 1989. — т. 25, № 9. — с. 1540—1550.

20. Юрко В. А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. — 1991. — т. 182, вып. 3. — с. 431—456.

21. Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов на полуоси // Изв. ВУЗов. Математика. — 1991. — № 12. — с. 67—76.

22. Юрко В. А. Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Математические заметки. — 1995. — т. 57, № 3. — с. 451—462.

23. Hilger S. Analysis on measure chains — a unified approach to continuous and discrete calculus // Results in Mathematics. — 1990. — Vol. 18. — P. 18—56.

24. Bohner M., Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales : an Introduction with Applications. — Boston : Birkhauser, 2001. — 358 p.

25. Atici F. M., Biles D. C., Lebedinsky A. An application of time scales to economics // Mathematical and Computer Modelling. — 2006. — Vol. 43. — P. 718-726.

26. Prasad K., Md K. Stability of positive almost periodic solutions for a fishing model with multiple time varying variable delays on time scales // Bulletin of International Mathematical Virtual Institute. — 2019. — Vol. 9. — P. 521-533.

27. Otero D., Giuliani D., Sassano M. Temporal dimension and transition out of chaos // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 1991. — Vol. 178, no. 2. - P. 280-288.

28. Bohner M., Peterson A. Advances in Dynamic Equations on Time Scales. — Boston : Birkhauser, 2003. — 348 p.

29. Zhang Y, Ma L. Solvability of Sturm-Liouville problems on time scales at resonance // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2010. — Vol. 233. - P. 1785-1797.

30. Impulsive Diffusion Equation on Time Scales / T. Gulsen [et al.] // International Journal of Analysis and Applications. — 2018. — Vol. 16, no. 1. — P. 137-148.

31. Erbe L, Mert R. Spectral parameter power series for Sturm-Liouville equations on time scales // Applied Mathematics and Computation. — 2012. — Vol. 218. - P. 7671-7678.

32. Erbe L., Peterson A. Green's functions and comparison theorems for differential equations on measure chains // Dynam. Contin. Discrete Impuls. Systems. - 1999. - Vol. 6, no. 1. - P. 121-137.

33. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И. О стилтьесовском залатывании временных шкал // Математические заметки. — 2009. — т. 86, вып. 5. — с. 733—735.

34. Bohner M, Cebesoy S. Spectral analysis of an impulsive quantum difference operator // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2019. — Vol. 42, no. 16. - P. 5331-5339.

35. Agarwal R., Bohner M, O'Regan D. Time scale boundary value problems on infinite intervals // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2002. - Vol. 141. - P. 27-34.

36. Amster P., De Napoli P., Pinasco J. Eigenvalue distribution of second-order dynamic equations on time scales considered as fractals // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2008. — Vol. 343. — P. 573—584.

37. Kong Q. Sturm-Liouville Problems on Time Scales with Separated Boundary Conditions // Results in Mathematics. - 2008. - Vol. 52. - P. 111—121.

38. Agarwal R. P., Bohner M, Wong P. J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on time scales // Applied Mathematics and Computation. — 1999. — Vol. 99. - P. 153-166.

39. Ozkan A. S. Boundary-value problem for a class of second-order parameter-dependent dynamic equations on a time scale // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2020. - Vol. 43, no. 7. - P. 4353-4359.

40. Kryzhevich S., Nazarov A. Stability by linear approximation for time scale dynamical systems //J. Math. Anal. Appl. — 2017. — Vol. 449. — P. 1911-1934.

41. Ozkan A. S. Ambarzumyan-type theorems on a time scale // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2018. — Vol. 26, no. 5. — P. 633—637.

42. Ozkan A. S., Adalar I. Half-inverse Sturm-Liouville problem on a time scale // Inverse Problems. - 2020. - Jan. - Vol. 36, no. 2. - P. 025015.

43. Yurko V. Inverse problems for Sturm-Liouville differential operators on closed sets // Tamkang Journal of Mathematics. — 2019. — Vol. 50, no. 3. — P. 199-206.

44. Kuznetsova M. A. A Uniqueness Theorem on Inverse Spectral Problems for the Sturm-Liouville Differential Operators on Time Scales // Results in Mathematics. - 2020. - Vol. 75, no. 44. - P. 1-23.

45. Kuznetsova M. A., Buterin S. A., Yurko V. A. On inverse spectral problems for Sturm-Liouville differential operators on closed sets // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2021. - Vol. 42, issue 6. - P. 1201-1209.

46. Hochstadt H. On the construction of a Jacobi matrix from spectral data // Linear Algebra and its Applications. — 1974. — Vol. 8, no. 5. — P. 435—446.

47. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. — 2-е изд. — М.; Ленинград : Гос. изд. тех.-теорет. лит-ры, 1950. — 359 с.

48. Аткинсон Ф. В. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М. : Мир, 1968. — 749 с.

49. Yurko V. A. An inverse problem for operators of a triangular structure // Results in Mathematics. - 1996. - Vol. 30. - P. 346-373.

50. Aptekarev A., Branquinho A., Marcellan F. Toda-type differential equations for the recurrence coefficients of orthogonal polynomials and Freud transformation // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1997. — Vol. 78, no. 1. - P. 139-160.

51. Гусейнов Г. Ш. Определение бесконечной несамосопряженной матрицы Якоби по ее обобщенной спектральной функции // Математические заметки. — 1978. — т. 23, № 2. — с. 237—248.

52. Guseinov G. S., Tuncay H. On the inverse scattering problem for a discrete one-dimensional Schrodinger equation // Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1. - 1995. - Vol. 44. - P. 95-102.

53. Aktosun T, Papanicolaou V. G. Inverse problem with transmission eigenvalues for the discrete Schrodinger equation // Journal of Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 56. - P. 82-101.

54. Ханмамедов А. Х. Обратная задача рассеяния для возмущенного разностного уравнения Хилла // Матем. заметки. — 2009. — т. 85, вып. 3. — с. 456—469.

55. Коротяев Е. Л. Обратные задачи для конечных векторнозначных операторов Якоби // Функциональный анализ и его приложения. — 2019. — т. 53, вып. 3. — с. 23—32.

56. Aptekarev A. I. On direct and inverse spectral problems for a class of selfadjoint difference operators on the graph-tree // AIP Conference Proceedings. - 2019. - Vol. 2153, no. 1. - P. 020003. - URL: https: //aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5125068.

57. Freiling G., Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville equations with boundary conditions polynomially dependent on the spectral parameter // Inverse Problems. - 2010. - Apr. - Vol. 26, no. 5. - P. 055003.

58. Yang C.-F., Bondarenko N. P., X.-Ch. X. An inverse problem for the Stur-m-Liouville pencil with arbitrary entire functions in the boundary condition // Inverse Problems & Imaging. — 2020. — Vol. 14, no. 1. — P. 153—169.

59. Binding P. A., Browne P. J., Watson B. A. Sturm-Liouville problems with boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter, II // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2002. — Vol. 148, no. 1. — P. 147-168.

60. Guliyev N. J. Schrödinger operators with distributional potentials and boundary conditions dependent on the eigenvalue parameter // Journal of Mathematical Physics. - 2019. - Vol. 60, no. 6. - P. 063501.

61. Chugunova M. V. Inverse Spectral problem for the Sturm-Liouville Operator with Eigenvalue Parameter Dependent Boundary Conditions // Operator Theory, System Theory and Related Topics / ed. by D. Alpay, V. Vinnikov. -Basel : Birkhäuser, 2001. - P. 187-194.

62. Chernozhukova A., Freiling G. A uniqueness theorem for the boundary value problems with non-linear dependence on the spectral parameter in the boundary conditions // Inverse Problems in Science and Engineering. -- 2009. -Vol. 17, no. 6. - P. 777-785.

63. Bondarenko N., Yurko V. An inverse problem for Sturm-Liouville differential operators with deviating argument // Applied Mathematics Letters. -2018. - Vol. 83. - P. 140-144.

64. Djuric N., Buterin S. On an open question in recovering Sturm-Liouville-type operators with delay // Applied Mathematics Letters. — 2021. — Vol. 113. — P. 106862.

65. Wang Y. P., Shieh C. T., Miao H. Y. Reconstruction for Sturm-Liouville equations with a constant delay with twin-dense nodal subsets // Inverse Problems in Science and Engineering. — 2019. — Vol. 27, no. 5. — P. 608—617.

66. Ignatiev M. Y. On an inverse Regge problem for the Sturm-Liouville operator with deviating argument [Об обратной задаче Редже для оператора Штурма-Лиувилля с отклоняющимся аргументом] // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2018. — т. 22, № 2. — с. 203—213.

67. Bondarenko N. P., Yurko V. A. Partial inverse problems for the Sturm-Liou-ville equation with deviating argument // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2018. - Vol. 41, no. 17. - P. 8350-8354.

68. Djuric N., Vladicic V. Incomplete Inverse Problem for Sturm-Liouville Type Differential Equation with Constant Delay // Results in Mathematics. — 2019. - Vol. 74, no. 161. - P. 1-13.

69. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. — М. : Наука, 2012. — 233 с.

70. Lomov I. S. Loaded differential operators: Convergence of spectral expansions // Differential Equations. - 2014. - Vol. 50, issue 8. - P. 1070-1079.

71. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М. : Наука, 1951. — 256 с.

72. Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. — New York : Springer-Verlag, 1977. — 366 p.

73. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. — М. : Наука, 1965. — 356 с.

74. Buterin S. A., Vasiliev S. V. On recovering a Sturm-Liouville-type operator with the frozen argument rationally proportioned to the interval length // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2019. — Vol. 27, issue 3. — P. 429-438.

75. Bondarenko N. P., Buterin S.A., Vasiliev S. V. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with frozen argument // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2019. — Vol. 472, issue 1. — P. 1028—1041.

76. Reconstruction for Sturm-Liouville operators with frozen argument for irrational cases / Y. P. Wang [et al.] // Applied Mathematics Letters. — 2021. — Vol. 111. - P. 106590.

77. Buterin S., Kuznetsova M. On the inverse problem for Sturm-Liouville-type operators with frozen argument: rational case // Computational and Applied Mathematics. - 2020. - Vol. 39, no. 5. - P. 1-15.

78. Albevirio S., Hryniv R. O, Nizhnik L. P. Inverse spectral problems for non-local Sturm-Liouville operators // Inverse problems. — 2007. — Vol. 23. — P. 523-535.

79. Nizhnik L. Inverse nonlocal Sturm-Liouville problem // Inverse Problems. — 2010. - Nov. - Vol. 26, no. 12. - P. 125006.

80. Hu Y.-T., Bondarenko N. P., Ch.-F. Y. Traces and inverse nodal problem for Sturm-Liouville operators with frozen argument // Applied Mathematics Letters. - 2020. - Vol. 102. - P. 106096.

81. Nizhnik L. Inverse eigenvalue problems for nonlocal Sturm-Liouville operators // Meth. Func. Anal. Top. - 2009. - Vol. 15, no. 1. - P. 41-47.

82. Buterin S., Hu Y. Inverse spectral problems for Hill-type operators with frozen argument // Anal. Math. Phys. — 2021. — Vol. 11, no. 75.

83. Кузнецова М. А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на временных шкалах // Мат. заметки. — 2021. — т. 109, вып. 1. — С. 82—100. — (Engl. transl.: Kuznetsova M. A. On Recovering the Sturm-Liouville Differential Operators on Time Scales // Math. Notes. — 2021. —Vol. 109, issue 1. — P. 74-88.)

84. Бутерин С. А., Кузнецова М. А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на единичном интервале с рациональным замороженным аргументом по спектру // Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2019. — Симферополь : ПОЛИПРИНТ, 2019. — с. 53—55.

85. Кузнецова М. А. Алгоритм решения обратной спектральной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах вещественных чисел // Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КР0МШ-2020): сборник материалов международной конференции, посвященной памяти Н.Д. Копачевского. — Симферополь : ПОЛИПРИНТ, 2020. — с. 57—60.

86. Кузнецова М. А. Спектральный анализ операторов Штурма-Лиувилля на структурах из отрезков // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й международной Саратовской зимней школы. — Саратов : ООО Изд-во «Научная книга», 2020. — с. 221—224.

87. Kuznetsova M. A. Sturm-Liouville differential operators on time scales and properties of their spectral characteristics // Сборник тезисов международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа-2020». — Уфа : Научно-издательский центр «Аэтерна», 2020. — с. 60—62.

88. Кузнецова М. А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля с замороженным аргументом на временной шкале // материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XXXII» (3-9 мая 2021 г.) — Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2021. — с. 154—156.

89. Kuznetsova M. Inverse problem for Sturm-Liouville operators with frozen argument on closed sets. — 2021. — URL: https://arxiv.org/pdf/2107. 05125.pdf. arXiv:2107.05125 [math.SP].

90. Kuznetsova M. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on time scales // Tenth International Scientific Conference «Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis —X» : Book of Abstracts. - Rostov-on-Don, 2021. - P. 33. - URL: http://otha. sfedu.ru/upload/documents/abstracts/_tethis_conf_2021_SFEDU.pdf.

91. Кузнецова М. А. Обратные спектральные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах // Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2021. — Симферополь : ПОЛИПРИНТ, 2021. — с. 19.

92. Кузнецова М. А. Характеризация спектра оператора Штурма-Лиувил-ля с замороженным аргументом // Уфимская осенняя математическая школа-2021 : Материалы международной научной конференции. Т.1. — Уфа : Научно-издательский центр «Аэтерна», 2021. — с. 48—50.

93. On Cauchy-Schwarz inequality for N-tuple diamond-alpha integral / X.-M. Hu [et al.] // Journal of Inequalities and Applications. — 2020. — Vol. 2020, no. 8. - P. 1-15.

94. Bohner M, Saker S. H. Gehring inequalities on time scales // Journal of Computational Analysis and Applications. — 2020. — Vol. 28, no. 1. — P. 11-23.

95. Some dynamic inequalities on time scales and their applications / A. A. El-Deeb [et al.] // Advances in Difference Equations. — 2019. — Vol. 2019, no. 130. - P. 1-19.

96. Shannon type inequalities via time scales theory / I. Ansari [et al.] // Advances in Difference Equations. - 2020. - Vol. 2020, no. 135. - P. 1-15.

97. Skrzypek E, Szymanska-Dçbowska K. On the Lebesgue and Sobolev spaces on a time-scale // Opuscula Math. — 2019. — Vol. 39, no. 5. — P. 705—731.

98. Eckhardt J., Teschl G. Sturm-Liouville operators on time scales // Journal of Difference Equations and Applications. — 2012. — Vol. 18, no. 11. — P. 1875-1887.

99. Volkmer H. Eigenvalue problems of Atkinson, Feller and Krein, and their mutual relationship // Electronic Journal of Differential Equations. — 2005. — Vol. 2005, no. 48. - P. 1-15.

100. Rynne B. L2 spaces and boundary value problems on time-scales // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2007. — Vol. 328. — P. 1217-1236.

101. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. — М. : Наука, 1984. — 240 с.

102. Жорницкая Л. А., Серов В. С. Об одной теореме единственности для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с сильно сингулярным потенциалом // Докл. РАН. — 1994. — т. 334, № 4. — с. 424—426.

103. Коротяев Е. Л, Челкак Д. С. Обратная задача Штурма-Лиувилля со смешанными краевыми условиями // Алгебра и анализ. — 2009. — т. 21, вып. 5. — с. 114—137.

104. Макин А. С. Характеристика спектра регулярных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. — 2008. — т. 44, № 3. — с. 329—335.

105. Il'yasov Y., Valeev N. On inverse spectral problem and generalized Sturm nodal theorem for nonlinear boundary value problems // Ufimsk. Mat. Zh. — 2018. - Vol. 10, issue 4. - P. 123-129.

106. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость // Функциональный анализ и его приложения. — 2010. — т. 44, вып. 4. — с. 34—53.

107. Макин А. С. Характеризация спектра оператора Штурма-Лиувилля с нерегулярными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. — 2010. — т. 46, № 10. — с. 1421—1432.

108. Kravchenko V. V. Direct and Inverse Sturm-Liouville problems. — Basel : Birkhäuser, 2020. — 154 p. — (Frontiers in Mathematics).

109. Ignatiev M., Yurko V. Numerical Methods for Solving Inverse Sturm-Liouville Problems // Results in Mathematics. - 2008. - Vol. 52. - P. 63-74.

110. Bohner M, Kemaloglu (Koyunbakan) H. Inverse problems for Sturm-Liouville difference equations // Filomat. - 2016. - Vol. 30. - P. 1297-1304.

111. Davidson F. A., Rynne B. P. Global Bifurcation on Time Scales // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2002. — Vol. 267, no. 1. — P. 345--360.

112. Davidson F. A., Rynne B. P. Self-adjoint boundary value problems on time scales // Electronic Journal of Differential Equations. — 2007. — Vol. 2007, no. 175. - P. 1-10.

113. Bondarenko N. P. An inverse problem for the non-self-adjoint matrix Stur-m-Liouville operator // Tamkang Journal of Mathematics. — 2018. — Vol. 50, no. 1. - P. 71-102.

114. Юрко В. А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Математические заметки. — 2019. — т. 79, вып. 4. — с. 619—630.

115. Yurko V. A. Boundary value problems with discontinuity conditions in an interior point of the interval // Differential Equations. — 2000. — Vol. 36. — P. 1266-1269.

116. Kuznetsova M. A. Asymptotic formulae for weight numbers of the Sturm-Liouville boundary problem on a star-shaped graph [Асимптотические формулы для весовых чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2018. — т. 18, вып. 1. — с. 40—48.

117. Гусейнов И. М., Достуев Ф. З. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с условиями разрыва // Математические заметки. — 2019. — т. 105, вып. 6. — с. 932—936.

118. Bondarenko N. Recovery of the matrix quadratic differential pencil from the spectral data // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. -- Berlin, Boston, 2016. - Vol. 24, no. 3. - P. 245-263.

119. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Обратная задача Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями на геометрическом графе // Дифференциальные уравнения. — 2019. — т. 55, № 2. — с. 193—202.

120. Валеев Н. Ф., Мартынова Ю. В., Султанаев Я. Т. Решение модельной обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на графе // Вычислительные методы и программирование. — 2016. — т. 17, вып. 3. — с. 204—211.

121. Zhabko A. P., Nurtazina K. B., Provotorov V. V. Uniqueness solution to the inverse spectral problem with distributed parameters on the graph-star // Vestnik of St Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. - 2020. - Vol. 16, issue 2. - P. 129-143.

122. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный [и др.]. — M. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с.

123. Pivovarchik V. Inverse problem for the Sturm-Liouville equation on a star-shaped graph // Math. Nachr. - 2007. - Vol. 280, no. 1314. -P. 1595-1619.

124. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Applications. — New York : NOVA Science Publishers, 2001. — 305 p.

125. Zhou J., Li Y. Sobolev's spaces on time scales and its applications to a class of second order Hamiltonian systems on time scales // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 2010. - Vol. 73, no. 5. - P. 1375-1388.

126. Buterin S. A., Freiling G., Yurko V. A. Lectures on the Theory of Entire Functions [электронный ресурс]. —2014. —37 p. —URL: https://www.uni-due.de/imperia/md/content/mathematik/buterinfreilingyurko2014.pdf.

127. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд. — М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 432 с.

128. Bondarenko N. P. An inverse problem for Sturm-Liouville operators on trees with partial information given on the potentials // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2019. - Vol. 42. - P. 1512-1528.

129. Buterin S. A., Yurko V. A. Inverse problems for second-order differential pencils with Dirichlet boundary conditions //J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2012. - Vol. 20, issue 5/6. - P. 855-881.

130. Поляков Д. М. О нелокальном возмущении периодической задачи для дифференциального оператора второго порядка // Дифференциальные уравнения. — 2021. — т. 57, № 1. — с. 14—21.

131. Ломов И. С. Спектральный метод В. А. Ильина. Несамосопряженные операторы. I. Оператор второго порядка. Базисность и равномерная сходимость спектральных разложений : монография. — М. : Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М. В. Ломоносова (лицензия ИД №05899 от 24.09.2001 г.); МАКС Пресс, 2019. — 132 с.

132. Nizhnik L. Inverse spectral nonlocal problem for the first order ordinary differential equation // Tamkang Journal of Mathematics. — 2011. — Vol. 42, no. 3. - P. 385-394.

133. Buterin S. A., Vasiliev S. V. On recovering Sturm-Liouville operators with frozen argument // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 18-й международной Саратовской зимней школы. — Саратов : ООО Изд-во «Научная книга», 2016. — с. 7—9.

134. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с.

135. Niven I. Irrational numbers. — New Jersey : The Mathematical Association of America, 1956. — 164 p.