Оценки и асимптотики собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Владыкина Вероника Евгеньевна

• Владыкина Вероника Евгеньевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Владыкина Вероника Евгеньевна

2.1 Случай п > т

2.1.1 Определение регулярных краевых условий

2.1.2 Основные результаты

2.1.3 Почти регулярные и нормальные краевые условия

2.2 Случай т > п

2.3 Оператор второго порядка

Заключение

Литература

Введение.

Актуальность темы. В первой главе исследуются спектральные свойства оператора Штурма-Лиувилля в дивергентной форме с положительным весом и сингулярным потенциалом:

— (г2(ж)у/(ж))/ + р(х)у^х) + д(х)у(х) = А2р2(х)у(х), х е [а,Ь] С К,

и(у) = а^оу(а) + а 1У[1](а)+ (3^у(Ь) + влУ[1](Ь) = 0, ; = 1,2, (0.0.1)

где у[1](х) = у/(х) — Н(х)у(х), ^(х) = / ^х. Точные условия на

функции д(х), г(х) и р(х) мы сформулируем позднее. Пока что лишь заметим, что первообразную здесь мы пониманием в смысле распределений. Мы начинаем с поиска асимптотических представлений для решений уравнения (0.0.1) при больших (по модулю) значениях спектрального параметра А. Эта тематика хорошо известна и берет начало с работ Биркгофа [38,39]. В частности, известно, что такие представления следует искать в соответствующих секторах комплексной А-плоскости С. Результаты Биркгофа впоследствие обобщались, например, Тамарки-ным [30], Рапопортом [21] и Наймарком [18]. В работах Шкаликова, Савчука, и Неймана-заде [19,20,22,23], было предложено несколько способов определения оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом (через введение квазипроизводной, с помощью квадратичных форм, с помощью мультипликаторов). В работе [23] были получены асимптотические представления ФСР в полосе произвольной фиксированной ширины для уравнения

—у''(х) + q(x)y(x) = Л 2y(x) (0.0.2)

c потенциалом q, являющимся обобщенной функцией из класса W2-1[a, b] (то есть существует u G L2[a,b] такая, что u' = q в смысле обобщенных функций).

теорема [23]. Пусть q G W2—1 [a, b]. Тогда уравнение (0.0.2) имеет два линейно независимых решения вида

ys(х, Л) = sinЛх + ^>(х,Л), ус(ж,Л) = ео8 Лх + ф(х,Л), (0.0.3)

где |^>(х,Л)| + |ф(х, Л)| = o(1) при |Л| ^ то в полосе | Im Л| ^ r равномерно по х G [a,b]. При этом r — произвольное положительное число. Асимптотические представления (0.0.3) нельзя (в общем случае) почленно дифференцировать, однако справедливы асимптотические представления для квазипроизводной у[1](х) = у'(х) — и(х)у(х), где u' = q, и G L2[a, b]

у[1](х, Л) = Л(cosЛх + ^1(х, Л)), уС1](х, Л) = —Л(sinЛх + ф1(х, Л)), где

sup ((х, Л)| + |ф1 (х, Л)|) = o(1)

xG[a,b]

при |Л| ^ то в полосе | Im Л| ^ r.

Отметим, что данные асимптотические представления были получены в [23] только в горизонтальных полосах | Im Л| ^ r. При этом величина r предполагалась произвольной и фиксированной. Эти представления были ключевыми для дальнейших результатов [23]. А именно, с помощью них была найдена асимптотика функции Грина соответствующего оператора, изучены другие спектральные свойства. В последющих работах были исследованы обратные спектральные задачи (см., например, [24]).

В отличии от [23], в первой главе для уравнения (0.0.1) при определенных условиях на коэффициенты удается получить асимптотики ФСР в каждой из полуплоскостей Im Л ^ —r и Im Л ^ r, где r ^ 0 произвольное фиксированное число, что несомненно, полезно для дальнейших

исследований. Кроме того, сам метод получения асимптотических представлений отличается от использованного в [23]. Позднее в работе [25] были независимо получены результаты для систем первого порядка, полностью согласующиеся с приведенным в диссертации результатом.

Во второй части первой главы мы вводим для задачи (0.0.1) понятие регулярных и усиленно регулярных по Биркгофу краевых условий. Далее асимптотические формулы для фундаментальной системы решений, полученные в первой главе, используются для нахождения асимптотики собственных значений краевой задачи (0.0.1) (в случае регулярности краевых условий). Мы также получаем асимптотические формулы для собственных функций задачи (0.0.1) с усиленно регулярными краевыми условиями. Полученные результаты при р = 1, г = 1 совпадают с получеными в [22,23].

В третьей части первой главы исследуются оценки равномерной нормы собственных функций оператора Штурма-Лиувилля (0.0.1) с усиленно регулярными краевыми условиями.

В классическом случае, когда д е Ь1[а,Ь], р е С2[а, Ь], г = 1, легко получить равномерные по п оценки собственных функций:

\\уп\\с[0,1] < С||уп|ир[0,1], Vp > 1. (0.0.4)

При этом в [36] приведены точные оценки для непрерывных весов р:

\\уп\\с[0;1] < С(Р)АП/2\\уп\и2[0;1]

Позднее в [37] было показано, что если р имеет ограниченную вариацию, то для собственных функций задачи (0.0.1) справедливы оценки

\\уп\С[0;1] < С\\уп\¿2[0;1], С = С(р).

Подход работы [37] основан на использовании квадратичных форм, что не позволяет нам обобщить его на случай р ^ 1. Однако мы получаем оценки типа (0.0.4) и в этом случае. Для этого мы используем асимптотики собственных функций при р е АС[0; 1], полученные во второй части первой главы.

Вторая глава посвящена изучению дифференциальных операторов с инволюцией. А именно, мы рассматриваем операторы вида

£у = 7Ру + (0.0.5)

Здесь Р и Q — обыкновенные дифференциальные операторы, заданные на конечном отрезке [а, Ь] (предполагается, что они имеют общую область определения). Оператор J в (0.0.5) является оператором инволюции вида

(/ )(ж) = / (р(ж)),

где ^ — некоторая дифференцируемая биекция отрезка [а,Ь], обладающая свойством ^>(^>(ж)) = х, хотя ^ = х. Достаточно подробное изложение теории операторов с инволюцией читатель найдет, например, в [40, глава 1].

Мы рассматриваем операторы Р и Q, заданные дифференциальными выражениями вида

Р (у) = у(п) (ж) + Р1(ж)у(п-1)(ж) + • • • + Рп(ж)у(ж), (0.0.6)

Q(y) = ау (т)(ж) + д1(х)у(т-1)(х) + • • • + ?т(ж)у(ж) (0.0.7)

(здесь а — произвольное комплексное число) и системой краевых условий (й = тах(п,т)) в-1

и (у) = Е у(к)(а) + ^у(к)(Ь) = 0, 3 = 1...Й, (0.0.8) к=0

В целом теория обыкновенных дифференциальных операторов с инволюцией пока мало проработана. Одной из первых работ по этой тематике, видимо, является работа Л. Зильберштейна [46], а определение дифференциального уравнения с инволюциями было впервые дано в работе И.Я. Винера [4]. Подробную библиографию по этой теме можно найти в монографии [40].

Краевая задача для дифференциальных уравнений с инволюцией полностью изучена для уравнений первого порядка [40, 3, 4 глава]. Заметим,

что на отрезке при достаточной гладкости коэффициентов в дифференциальных выражениях P(y),Q(y), заменой можно свести задачу с произвольной гладкой инволюцией ^ к уравнению с отражением, то есть с ^>(ж) = —ж на отрезке [-1,1], поэтому краевые задачи с одной инволюцией изучаются для случая ^>(ж) = —ж. Краевые задачи более высоких порядков полностью не решены. Однако в работе Cabada, Tojo [41] для достаточно широкого класса задач (а именно, в тех случаях, когда удается перейти к задачам для обыкновенных дифференциальных операторов) была получена формула для функции Грина. Более точно, были рассмотрены задачи, в которых для дифференциального выражения /(y) с инволюцией существует выражение r(y) того же типа, такое что /(r(y)) = r(/(y)) = s(y), где s(y) - дифференциальное выражение. В таком случае резольвента исходного дифференциального оператора L, порожденного выражением /(y) и краевыми условиями By = 0, выражается с помощью функции Грина оператора S, заданного выражением s(y) и краевыми условиями By = 0, Br(y) = 0. Этот метод подходит для дифференциальных выражений с отражением и постоянными коэффициентами, но в случае непостоянных коэффициентов подобрать соответствующее выражение r(y) удается лишь в некоторых весьма специальных случаях.

Автору известны работы, в которых изучались свойства базисности системы собственных и присоединенных или корневых функций дифференциальных операторов с инволюцией. При этом рассматривались лишь случаи операторов вида (0.0.5), когда n и m равны 1 или 2. В основном изучались операторы с pj = qj = 0, когда младшие члены отсутствуют. В случае n = m = 1 задача (0.0.5) изучена достаточно подробно (см., например, [2,3,14,43]). В случае операторов второго порядка в работах [12,13,15,26,29,44] изучались конкретные краевые задачи. А именно, были рассмотрены дифференциальные выражения вида /(y) = —y/;(—ж) и /(y) = y//(—ж) + ay//(x). При этом, в работах [26,29] впервые был выделен класс регулярных краевых условий (в случае а = 0). В работе [12]

демонстрируется нетривиальность задачи выделения класса регулярных краевых условий при а = 0. В работах [27, 28] изучается задача для оператора Ьу = —у/;(-ж) + q(ж)у(ж) уже общего вида, но лишь с конкретными краевыми условиями. Насколько нам известно, для оператора второго порядка наиболее общий результат был получен в работе [15]. В этой статье рассматривались спектральные задачи с нелокальными интегральными краевыми условиями. Однако в случае двухточечных краевых условий под уловия работы подходят только краевые условия Дирихле. Отметим еще работу [13], где был получен критерий базисности системы корневых функций. Этот критерий сводит вопрос к изучению равномерной минимальности системы для операторов второго порядка с нулевыми коэффициентами при производных первого порядка.

Таким образом, во второй главе мы проводим классификацию операторов вида (0.0.5) в зависимости от краевых условий. Кроме того, мы исследуем свойства базисности системы корневых функций таких операторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки и асимптотики собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов»

Цель работы.

• Найти асимптотические представления для фундаментальной системы решений задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом и сингулярным потенциалом.

• Определить класс регулярных и усиленно регулярных краевых условий для задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом и сингулярным потенциалом. Получить асимптотики для собственных значений данной задачи с регулярными краевыми условиями и для собственных функций задачи с усиленно регулярными краевыми условиями.

• Исследовать оценки норм собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом и сингулярным потенциалом и усиленно регулярными краевыми условиями.

• Изучить спектральные свойства дифференциальных операторов с инволюцией, предложить определение регулярных краевых условий, исследовать базисные свойства системы корневых функций таких операторов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены асимптотические формулы для фундаментальной системы решени задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом и сингулярным потенциалом.

2. Получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом, сингулярным потенциалом и регулярными и усиленно регулярными краевыми условиями соответственно.

3. Показана эквивалентность Ьр-норм и равномерной нормы для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с абсолютно непрерывным весом, сингулярным потенциалом и усиленно регулярными краевыми условиями.

4. Исследованы два типа обыкновенных дифференциальных операторов с инволюцией. Дано два определения регулярности для случая п > т и показана их эквивалентность. Доказаны теоремы о безусловной базисности корневых функций регулярных операторов.

5. Проведена полная классификация краевых условий для оператора Ьу = —у//(—ж) и возмущений этого оператора.

Методы исследования. В диссертации используются методы спектральной теории дифференциальных операторов, функционального анализа и комплексного анализа, теории возмущений, а также ряд оригинальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах спектральной теории дифференциальных оператров, уравнений математической физики и функциональго анализа. Результаты и методы работы будут востребованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Саратовском государственном университете, Воронежском государственном университете.

Соответствие паспорту научной специальности. В диссертации изучаются спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с инволюцией, в силу чего диссертация соответствует паспорту специальности 01.01.01 "Вещественный, комплексный и функциональный анализ"по направлению "функциональный анализ".

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказательство асимптотических формул для фундаментальной системы решений общей задачи Штурма-Лиувилля в дивергентной форме с коэффициентами-распределениями.

2. Доказательство асимптотических формул для собственных значений и собственных функций для операторов Штурма-Лиувилля общего вида с регулярными краевыми условиями. Оценки чебышев-ских норм собственных функций через ^р-нормы.

3. Выделение типов задач для обыкновенных дифференциальных операторов с инволюцией. Определения регулярности спектральных задач с инволюцией. Полная классификация операторов с инволюцией порядка п = 2.

4. Доказательство основной теоремы о безусловной базисности со скобками для регулярных задач с инволюцией произвольного порядка

n ^ 2.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях.

1. Международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвященная столетию Б.М. Левитана (Москва, МГУ, 2014г.),

2. Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского (Москва, МИАН, 2015 г.),

3. 4-я международная конференция «Вероятность, анализ и геометрия» (Москва, МГУ, 2016г.),

4. Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VIII (0THA-2018) (Ростов-на-Дону, 2018г.),

5. Международная конференция «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIX», посвященная 90-летию В.А. Ильина (Москва, МГУ, 2018г.),

6. XXVI Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» (Дюрсо, 2018),

7. VII международная конференция «Математические модели в физических науках» (Москва, 2018),

8. Международная конференция КР0МШ-2020 «XXXI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», посвещенная памяти Н.Д. Копачевского (Крым, 2020).

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих научно-исследовательских семинарах:

1. Научно-исследовательский семинар «Операторные модели в математической физике» под руководством проф. А.А. Шкаликова, проф. В.В. Власова, проф. К.А. Мирзоева, проф. И.А. Шейпака, проф. А.М. Савчука, д.ф.-м.н. И.В. Садовничей, д.ф.-м.н. А.А. Владимирова (МГУ, многократно, 2014-2020г.)

2. Научно-исследовательский семинар "Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физи-ки"под руководством академика Е.И. Моисеева и проф. И.С. Ломова (МГУ, 2020).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора ( [47-51]) общим объемом 2,75 п. л. в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, входящих в базы данных SCOPUS, Web of Sciense и RSCI.

Работа [47] (0,63 п.л.) выполнена совместно с А.А. Шкаликовым, которому принадлежит постановка задачи и лемма, обозначенная в тексте диссертации как Лемма 1.1.4. Все остальные фрагменты доказательства результатов этой совместной работы получены автором диссертации лично. Работы [48](0,3 п.л.), [51] (0,38 п.л.) выполнены автором диссертации самостоятельно. Работы [49](0,38 п.л.) и [50] (1,06 п.л.) выполненны совместно с А.А. Шкаликовым. А.А. Шкаликову принадлежит постановка задач и оба определения понятия регулярности операторов, которые были изучены в работах. Все доказательства полученных результатов проведены автором диссертации лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 59 наименований. Общий объем работы составляет 81 страницу.

Краткое содержание диссертации. Нумерация приводимых здесь результатов соответствует нумерации в основном тексте работы.

В первой главе исследуются спектральные свойства оператора Штурма-Лиувилля с положительным весом и сингулярным потенциалом. Резуль-

таты, полученные в первой части диссертации опубликованы в работах [47,48,51]. В первой части этой главы получены асимптотические формулы для фундаментальных решений уравнения (0.0.1).

Основным результатом первой части главы является следующее. На конечном отрезке x £ [a, b] рассмотрим уравнение вида

— (r2(x)y/(x))/ + p(x)y/(x) + q(x)y(x) = A2p2(x)y(x).

Здесь A2 — спектральный параметр, r(x) и p(x) — положительные функции, а p(x) и q(x) могут принимать комплексные значения. Мы будем предполагать, что

p(-) £ Li[a,b], q(•) £ W2_1[a,b], p(-), r(0 £ AC[a,b].

Если обозначить через u(x) обобщенную первообразную функции q, то второе условие примет вид u(-) £ L2[a,b]. Мы дополнительно предположим, что

p/u, ru, pu £ L1[a, b].

Теорема 1.1.1. Пусть функции p, q, r и p удовлетворяют условиям, приведенным выше. Тогда уравнение (0.0.1) имеет в полуплоскости П+ = {A £ C| Im A ^ _s} при |A| > R фундаментальную систему решений вида

y±(x, A) = exp iХ Ш ± iA Г ^ dA (1 + p±(x, A)).

x/r(x)p(x) \2 J a r2(^) Ja r(0 )

Остаточные члены (функции голоморфны в указанной области и

sup (|^+ (x,A) | + |^_(x,A)|) = o(1) при |A| ^ то, A £ П+.

x£[a,b]

При этом число s можно взять произвольным (положительным или отрицательным). Для квазипроизводных

([i](x)_ ^„q(x)

y[ ](x) = y/(x) _ h(x) y(x), где h/(x) =

r(x) ' r(x)p(x)

также справедливы асимптотические представления. А именно,

¿1](x, А) = Щ exp g jfХ ig «if ± Х Pjg ¿i) I1 + V±(x, A))

где функции обладают теми же свойствами, что и функции Утверждение теоремы сохраняется при замене верхней полуплоскости П+ на нижнюю П— = {Л е С| 1т Л ^ й}.

Во второй части первой главы дано определение регулярных краевых условий для задачи (0.0.1). Если ввести для удобства следующие обозначения

ад = 7РШИ' Р (х) = ехр (11а П «) ■

X

а

Р (Х)

Ро(х) = Я(ж)Р(х), Рх(ж) = , = г, = -г,

Я(ж)г2(ж)

[А] := А + о(1) при Л ^ то, V? — порядок краевого условия Л?.

то регулярные краевые условия для задачи (0.0.1) определяются следующим образом:

Определение. Рассмотрим связанный с краевыми условиями определитель

(Р

+ 5^2 (6)^2*2 (Р

-

= 1 + -о + 01«. й

Если оба числа -1 и -—1 отличны от нуля, то краевые условия Л?, ] = 1, 2 будем называть регулярными. Регулярные краевые условия называют усиленно регулярными, если -0 — 4-—1-1 = 0.

Для задачи (0.0.1) с регулярными краевыми условиями получены асимптотики собственных значений.

Теорема 1.2.1. Собственные значения задачи (0.0.1) с регулярными краевыми условиями в предположениях Теоремы 1.1.1 образуют две последовательности

Л2,=т (1 - ^+«н •

ЛЬ = (¥)2 (1 — ^ + «(1/к)),

где £2 — корни уравнения -1й2 + -0й + -—1 = 0. Если условия усиленно регулярны, то = и все собственные значения начиная с некоторого просты. В случае, когда условия регулярны, но усиленной регулярности нет, имеем = £2. В этом случае собственные значения расположены парами и могут быть как простыми, так и двукратными.

В случае усиленно регулярных краевых условий получены асимптотики собственных функций задачи (0.0.1).

Теорема 1.2.2. Собственные функции задачи (0.0.1) с усиленно регулярными краевыми условиями в предположениях Теоремы 1.1.1 образуют две последовательности

Vj,k = -po(x)(-i)V1 t(x) ( o^pvi (a) + ^ Av^ (b) + o(l) ) +

+ ро(х)г"1 е—гЛ0,к*(х) (о^1 (а) + &(6) + о(1)), (0.0.9)

где использованы те же обозначения, что в теореме 1.2.1.

В третьей части первой главы получены оценки норм собственных функций задачи (0.0.1) с усиленно регулярными краевыми условиями.

Теорема 1.3.1. Для собственных функций у?,*(х) задачи (0.0.1), с усиленно регулярными краевыми условиями в предположениях Теоремы 1.1.1 верна оценка

Ну?,*Усм < С||у^\\Ь [а,Ь], ^Р > 1, 2 = 1 2.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные операторы с инволюцией вида Ly = JPy+QV, где операторы P, Q определены (0.0.6), (0.0.7), (0.0.8) при инволюции-отражении ^>(ж) = —ж. В этой главе отдельно рассматриваются случаи n > m и m > n для этих случаев даются определения регулярности и формулируются соответствующие теоремы о базисности системы корневых функций. Случай m = n в диссертации

не рассматривается. Результаты, полученные в главе 2 опубликованы в работах [49,50].

В первой части второй главы рассматривается случай n > m. Для этого типа операторов дается два эквивалентных определения регулярных краевых условий.

Далее будем обозначать через L(y) дифференциальное выражение вида (2.0.1), а через Ly — действие оператора L на функцию y £ D(L).

В соответствии с [18] число Kj называется порядком краевого условия вида (0.0.8), если хотя бы один из коэффициентов при y(Kj)(1) или y(Kj) (—1) отличен от нуля, а все коэффициенты при производных порядка k > Kj равны нулю. Суммарным порядком краевых условий вида (0.0.8) называется число к = к1 + • • • + Ks. Краевые условия называются нормированными, если суммарный порядок нельзя понизить, рассматривая их произвольные линейные комбинации. Далее будем считать краевые условия нормированными, в частности, что в (0.0.8) суммирование ведется до числа Kj .

Выделим главные части функционалов Uj, определяющих краевые условия (0.0.8):

U0(y) = ajy(Kj)(_1) + fty(Kj)(1), j = 1, 2,..., n, (0.0.10)

где aj := ajKj, в := fijKj. Рассмотрим оператор Poo, определенный дифференциальным выражением P00(y) = y(n) на области определения

D(Poo) = {y £ Wn,2[_1,1] | U0(y) = 0, j = 1,... ,n}.

Рассмотрим оператор T0 = JP00 и вычислим для него для него характеристический определитель. В тексте главы подробно вычисляется этот определитель для случая четного n.

Д0(р) = рк ^ к = Ki + • • • + кп. (0.0.11)

т

В соответствии с [33] рассматриваем наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все дт, это правильный 2п-угольник. Легко видеть, что

если занумеровать его вершины по часовой стрелке, то коэффициенты —1 при вершинах с нечетными номерами будут совпадать с точностью до множетеля, равного по модулю единице. То же касается и . Тогда аналогично классификации, данной в [33] дается первое определение регулярных краевых условий.

Определение 2.1.1. Краевые условия (0.0.8) для оператора Ь, определенного дифференциальным выражением Ь(у) и краевыми условиями (0.0.8), назовем регулярными, если числа и ^2 отличны от нуля.

Для того чтобы дать второе определение рассмотрим оператор Ро, заданный дифференциальный выражением Р0(у) = у(п) и областью определения В(Р0) = В(Ь). Определим оператор Т = JP0. Заметим, что

Т 2

является обыкновенным дифференциальным оператором (без инволюции), а его область определения задется равенством

Р(Т2) = {у е Ж2п,2[—1,1] | и?(у) = 0, и?(у(п)(—х)) = 0, 2 = 1,...,п}.

(0.0.12)

Определение 2.1.3. Краевые условия (0.0.8) назовем регулярными для оператора Ь, если краевые условия в (0.0.12) регулярны по Биркгофу для дифференциального выражения Т2 (у) = у(2п)

Лемма 2.1.4. Определения регулярности 2.1.1 и 2.1.3 эквивалентны.

Далее для оператора Т с регулярными краевыми условиями находятся асимптотики собственых значений.

Утверждение 2.1.2. Собственные значения оператора Т определяются асимптотическими формулами

Л*,1 = (рм + 0(к—1))п , Л*,2 = (рм + 0(к—1))п ,

где р*,1, р*,2 определены следующими выражениями

Р*,2 = егп/п (пк — 11п , 6 = —^, к = 1, 2,....

Оператор T будем называть спектральным, если его собственные значения, кроме быть может конечного числа, полупростые (то есть геометрическая кратность совпадает с алгебраической), а его корневые векторы образуют безусловный базис в пространстве H, где действует оператор. Понятие спектрального оператора ранее вводил Н.Данфорд, но для операторов с дискретным спектром данное определение существенно проще и эквивалентно определению Данфорда.

Оператор T имеет порядок а, если его собственные значения подчинены оценке

|Aj| ^ Cja, j = 1,2,.... (0.0.13)

Оператор B называется p-подчиненным оператору T (при 0 ^ p < 1), если D(B) D D(T) и найдутся постоянные b, M при которых выполнена оценка

||Bx|| < b||Tx||p ||x||1—p + M||x||, Vx £ D(T).

Далее доказывается следующая теорема теории возмущений, являющаяся основным инстурментом для дальнешего исследования базисных свойств корневых функций оператора L:

Теорема 2.1.6. Пусть T — спектральный оператор, его порядок равен a, а его спектр, кроме быть может конечного числа собственных значений, лежит внутри двойной параболы (полосы при p = 0)

Пр = {A = а + iT £ C : а £ R, |т| ^ h|a|p}, h = const.

Если оператор B является p-подчиненным оператору T и выполнено условие a-1 ^ 1 _ p, то спектр оператора T + B дискретный и его корневые векторы образуют безусловный базис со скобками. Если дополнительно выполняется условие сильной отделенности собственых значений

IAj+1 (T) _ Aj(T)| j_ap ^ то при j ^ то,

то оператор T + B спектральный и его собственные значения асимптотически простые.

После этого с помощью оценок функции Грина оператора Т и исследования асимптотик его собственных функций доказывается, что при регулярных краевых условиях он является спектральным.

Теорема 2.1.9. В случае регулярных краевых условий оператор Т = 7Ро спектральный, а его спектр лежит внутри области Пр при р = (п — 1)/п.

Из теорем 2.1.6 и 2.1.9 вытекает основной результат второй главы.

Теорема 2.1.11.Пусть п > т и краевые условия (0.0.8) регулярны в смысле Определения 2.1.1 или 2.1.3. Тогда корневые функции оператора Ь, определенного диффиренциальным выражением Ь(у) и краевыми условиями (0.0.8), образуют безусловный базис со скобками в пространстве Ь2 (—1, 1). Если порядок дифференциального выражения ^ меньше п — 1, а коэффициент р1 в дифференциальном выражении Р равен нулю, то оператор Ь является спектральным.

Для операторов вида Ь = JP можно также определить понятие почти регулярности и нормальности.

Определение 2.1.12. Пусть коэффициенты pj дифференциального выражения (2.0.2) являются достаточно гладкими функциями. Оператор Ь = JP будем называть почти регулярным порядка р (нормальным), если оператор Ь2 является почти регулярным порядка р (нормальным).

Для системы корневых функций таких операторов можно получить свойства, аналогичные свойствам обыкновенных дифференциальных операторов [33].

Теорема 2.1.14. Пусть оператор Ь = JP почти регулярен порядка р ^ п. Тогда система его корневых функций образует безусловный базис со скобками в пространствах Ж^'2 при всех к = р,..., п, относительно нормы пространств Ж^-р'2 соответственно, т.е. любая функция / £ Ж^'2 при р ^ к ^ п разлагается в безусловно сходящийся по норме пространства р'2 ряд по корневым функциям оператора Ь.

Теорема 2.1.13. Система корневых функций нормального операто-

ра Ь = образует полную и минимальную систему в пространствах Ь2 = Ж0'2, Ж^'2,..., жЦк'2 при всех к = 0,1,...,п где жЦк'2 - подпространство функций /(х) е Жк'2, удовлетворяющих нормированным краевым условиям (2.0.4), имеющих порядок ^ к — 1.

Во второй части второй главы рассматривается случай т > п.

В этом случае свойства оператора определяются главной частью оператора ф.

Определение 2.2.1. Краевые условия (0.0.8) назовем регулярными для оператора Ь = + ф (и соответствующий оператор Ь назовем регулярным), если краевые условия (0.0.8) регулярны по Биркгофу.

Теорема 2.2.2. Пусть т > п и а = 0. Пусть оператор аф0у = у(т), порожденный краевыми условиями (2.0.4), регулярен. Тогда корневые функции оператора Ь = + ф образуют безусовный базис со скобками в пространстве Ь2[а, Ь].

Исследовать свойства оператора не приходится, поскольку они известны.

В третьей части второй главы в качестве примера исследуется оператор второго порядка

Ьу = —yll(—x)+pl(x)yl(—x)+p2(x)y(—x)+ql(x)yl(x)+q2(x)y(x) = р2у(х),

(0.0.14)

и? (у) = а?1у(—1) + а?2у/(—1) + А-1у(1) + 0^(1) = 0, 2 = 1, 2. (0.0.15)

Будем обозначать минор матрицы коэффициентов краевых условий (0.0.15), составленный из 2-го и к-го столбцов. Удобно ввести обозначения

а := >21 + >14 + >32 + >43, Ь := J21 — Jl4 — >32 + >43.

С помощью полученных ранее результатов можно определить регулярные краевые условия для этой задачи:

Теорема 2.3.1. Пусть краевые условия (0.0.15) таковы, что выполнено одно из условий:

1) они эквиваленты условиям Дирихле;

2) минор </24 отличен от нуля;

3) число (—¿а + Ь)(га + Ь) отлично от нуля, где а,Ь определены выше.

Тогда корневые функции задачи (0.0.14), (0.0.15) образуют безусловный базис со скобками, а в случае нулевых коэффициентов р1 и безусловный базис без скобок.

Для случая р1 = р2 = = д2 = 0 можно также выделить почти регулярные и нормальные краевые условия первого порядка:

1. Краевая задача почти регулярна порядка 1, если </13 = 0, один из множителей ¿а + Ь и —¿а + Ь равен нулю, а второй — нет.

2. Краевая задача почти регулярна порядка 2, если </13 = 0, а = Ь = 0.

3. Краевая задача нормальная, если </13 = 0, один из множителей ¿а+Ь и —¿а + Ь равен нулю, а второй — нет.

4. Краевая задача вырожденная, если </13 = 0, а = Ь = 0.

Автор глубоко благодарна своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Андрею Андреевичу Шкаликову за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе. Также автор благодарит всех участников семинара «Операторные модели в математической физике» за плодотворные дискуссии.

Глава 1

Оператор Штурма-Лиувилля в дивергентной форме с весом и сингулярным потенциалом

1.1 Асимптотические формулы для фундаменталь-

«_» «_» _ _ 1

ной системы решении в полуплоскостях 1

Цель этой части - получить асимптотические представления для решений уравнения вида

— (г2^^^)) + р^у^) + q(x)y= А2р2^)уx е [а, Ь] С К,

хПри подготовке данного раздела диссертации использованы следующие публикации, выполненные автором лично или в соавторстве, в которых, согласно Положению о присуждении ученых степенй МГУ, отражены основные результаты, положения и выводы исследования:

Владыкина В.Е., Шкаликов А. А. Асимптотика решений уравнения Штурма-Лиувилля с сингулярными коэффициентами // Математические заметки. - 2015 - Т. 98 - №6 - С. 832-841. 0,63 п.л./0,5 п.л.

Эта работа выполнена совместно с А.А. Шкаликовым, которому принадлежит постановка задачи и лемма, обозначенная в тексте диссертации как Лемма 1.1.4. Все остальные фрагменты доказательства результатов этой совместной работы получены автором диссертации лично.

Владыкина В. Е. Асимптотика фундаментальных решений уравнения Штурма-Лиувилля по спектральному параметру // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. - 2019 - №1 - С. 57-61. 0,3 п.л.

где

p £ L1[a,b], q £ W2—1[a, b], p,r £ AC [a, b],

p(x) > 0, r(x) > 0 при x £ [a,b]. (1.1.2)

Под пространством W2—1[a, b] понимается множество обобщенных функций, для которых существует функция u £ L2[a,b] такая, что u' = q в смысле обощенных функций. Функции p и q — комплекснозначные. Наложим также на коэффициенты дополнительное условие

p'u,r'u,pu £ L1[a,b], где u' = q. (1.1.3)

Теорема 1.1.1. Пусть функции p, q, r и р удовлетворяют условиям (1.1.2) и (1.1.3). Тогда уравнение (1.1.1) имеет в полуплоскости П+ = {A £ C| Im A ^ —s} при |A| > R фундаментальную систему решений вида

ы. A>=exp (2 Г П±iA i Ш«)(1+*±<x-A»

(1.1.4)

Остаточные члены (функции голоморфны в указанной области и sup (x,A) | + (x, A)|) = o(1) при |A| ^ то, A £ П+.

x£[a,b]

При этом число s можно взять произвольным (положительным или отрицательным). Для квазипроизводных

,[1](x) = y'(x) _ uf„\p(x)„.f„\ „^ q(x)

y[1](x) = y'(x) — h(x) —— y(x), где h'(x) =

r(x) ' r(x)p(x)

также справедливы асимптотические представления. А именно,

»£'(*, А) = еХР 6 [' ^ ± ¿А /1 (1 + А))

° ° (1.1.5)

где функции обладают теми же свойствами, что и функции ф±. Утверждение теоремы сохраняется при замене верхней полуплоскости П+ на нижнюю П— = {А £ С| 1т А ^ й}.

В случае г = 1, р Е Ь2[а,&] это утверждение доказано в работе [47], в произвольным г и более общими условиями (1.1.2) и (1.1.3) теорема была доказана в работе [48]

Доказательство. Шаг 1. Проведем формальные преобразования уравнения. Имеем

2 // II ! 2 2

—г у — 2гг у + ру + ду = Ару

-у" + (—2Г + 4) у1 + 4 = А2у

г г2 г2 г2

Используем стандартную замену

х

г _/РЦ (1.1.б)

а

Тогда

/ _ у /./ _ /р

ух _ у^х _ ,

г

2

ух/х _ (у г )х _ <у; )х р+у; (Г) X _ у« Р2+у; (?); р-

2

Подставим эти выражения в уравнение и раздедим на ^. Получим

—у;; + (— (р)/- Р—2 Г + + 4 у _ А2у. (1.1.7)

;; г ; р г гр ; р2

ь

Здесь все производные берутся по переменной t Е [0, Н], где Н _ / .

а

Заметим, что по условию функции р, р1 и г1 от переменной х принадлежат пространству ЬЛа, Ь]. В силу равенства ^ _ 4х)>х эти свойства сохраняются, если их рассматривать как функции от переменной t Е [0, Н]. Отметим также, что из абсолютной непрерывности функций р и г и условий р(х) > 0, г(х) > 0 при х Е [а,Ь] следует ограниченность функций р и г и их равномерная отделенность от нуля. Шаг 2. Рассмотрим функцию

1 Ж) Л>

где первообразная берется по переменной t в смысле обобщенных функций. Заметим, что а Е Ь2[0,Н]. Действительно, по условию (1.1.2) и _

/ д(х) >х Е Ь2[а,6]. Тогда //

/ ^ / "и \ г ^ их игх "ирх ^ г д игх рхи ^^ ^

\гр/; х р \гр г2р гр^ р р2 гр2 р3

Функция и/рг Е Ь2[а,Ь], поскольку является произведением функции из Ь2 и ограниченной измеримой функции. В силу замены (1.1.6) и/рг Е Ь2[0, Н], поэтому левая часть последнего равенства принадлежит Ж2—1[0, Н]. Так как по условию (1.1.3)

иг/ р/ и

рхи,гхи Е Ь1[0, Н], следовательно —х + Е Ь1[0; Н] С Ж2—1[0, Н].

гр р

Отсюда следует, что д/р2 Е Ж2—1[0, Н], а значит а Е Ь2[0, Н]. Воспользуемся приемом из [22]. Введем квазипроизводную

у[1] _ у1 — ау (1.1.9)

и перепишем уравнение (1.1.7) в виде

р V. г _ 2 г + уц].

1 + — П ■ 1 — 2- + — а у[1] +

г/; р г гр у

+ 1 —а2 + ( — (р)/- ^ — 2 ^ + "Ну _ А2у. (1.1.10) \ \ \г/; р г гр/ )

Обозначим

р\1 г ог\ р ^рд1 г ог\ р \ _ _2

/ _ — Ч ■ - — 2- + д _ — Ч ■ - — 2- + ^ а — а2.

\г/; р г гр \ \г/; р г гр/

Очевидно, / Е Ь1[0, Н]. Покажем, что д Е [0, Н]. Это следует из (1.1.2), (1.1.3). Единственное, что остается проверить, это

г1 / р)/ г

—а, - — а Е г \г/; р

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что р;а Е Ь1[0, Н] и г;а Е Ь1[0,Н]. Действительно, аналогично (1.1.8), имеем

р'а _ р; [—>х _ р; [ (—^ >х+р; [ и(гр)х >х _ р;—+р; [ и(гр)х >х. у рг 7 \рг/х 7 гр рг 7 гр

Из (1.1.3) и (1.1.6) первое слагаемое в правой части лежит в Ь1[0, Н], это же справедливо и для второго слагаемого, поскольку оно представимо как произведение функции из Ь1[0, Н] и функции из Н] = АС[0, Н].

Аналогично получим, что т[а £ Ь1[0, Н]. Следовательно, д £ Ь1[0, Н]. Уравнения (1.1.9) и (1.1.10) эквивалентны системе уравнений

У

У

[1]

= Л

У

У

[1]

где Л =

а

1

—А2 + д / — а

(1.1.11)

Здесь коэффициенты /, д £ Ь1[0; Н], а £ Ь2[0; Н].

Известно (см., например [18, §18]), что такая система уравнений (при условии, что все элементы матрицы суммируемые функции) имеет два линейно независимых решения, причем обе компоненты у и у[1] этих решений абсолютно непрерывны. Решением исходного уравнения (1.1.3) будем называть функцию у = у(£(ж)), где у(£) - решение задачи (1.1.11).

Шаг 3. Положим у = у1, у[1] = у2 и перепишем систему (1.1.11) в виде

= Ло

М +Л1

у2 у

где Ло =

01 А2 0

Л1 =

а

0

,д / — а (1.1.12)

Решение системы у = Л0у находим явно

У :=

= М

С1 С2

М=

де^ —де ^

д = —¿А,

где С1, С2 - произвольные постоянные. Далее воспользуемся методом вариации постоянных. Найдем функции С1 = С1(^), С2 = С2(£), которые являются решениями системы

М

С1

= Л1

С2

Тогда

а

0

д / — а

м—1 = —

2д

де ^ е ^

де^^ — е^

СМ = м—1ЛЛ у1

С2 1 у2

= к

к =1 /е—^(а + д—1д) д—1е—^(/ — а) И е^(а — д—1д) —д—1е^(/ — а)

Следовательно, решение системы имеет вид

уи = м(¿) (^) = м(¿) ( С0) + м(¿) / к(е) ( уМ ае, (1.1.13)

у2

С2 (¿)

С20

у2

где С10, С20 - произвольные постоянные.

Положим С0 = 1,С0 = 0 и сделаем замену у1 = емг1,у2 = дем:2. Тогда уравнение (1.1.13) запишется в виде

^ = м—11 мм о (0) + мо—1(«)м (<) I к (е )мь(е ^ ^)1 ^

Здесь

м0=

ем 0 0 де

мь

м0—1м =

1 е—2м^ 1 _е—2м^

км0 = -

1/ (а + д—1д) (/ — а) 2 1е2м£ (а — д—1д) —е2м^ (/ — а)

Перепишем последнее уравнение в виде

где

Л

:1

:2,

1 2

t

0+4:

а + д 1д / — а ,а + д—1д / — а

+

:1 :2

:1(е)

,:2(е)

ае,

(1.1.14)

(1.1.15)

В

ае.

:Л =1Г( е-2м(^(а — д-1д) — е-2м(^(/ — а Л /:х(е) г2) 2 У е-2м(^)(а — д-1д) е-2м(^(/ — а) ^ ^(е)

(1.1.16)

Шаг 4. Далее докажем некоторые вспомогательные предложения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Владыкина Вероника Евгеньевна, 2021 год

Литература

[1] Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Учен. зап. МГУ. - 1951 - Т. 148 - №4 - С. 69-107

[2] Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Смешанная задача для простейшего гиперболического уравнения первого порядка с инволюцией. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014 - Т. 14 - №1 - С. 10-20

[3] Бурлуцкая М. Ш. О смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией и с периодическими краевыми условиями. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2014 -Т. 54 - №1 - С. 3-12

[4] Винер И. Я. Дифференциальные уравнения с инволюциями. // Дифференциальные уравнения. - 1969 - Т. 5 - №6 - С. 1131-1137

[5] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва. Наука. 1965

[6] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральные орператоры. Москва. Мир. 1974 (N. Danford and J.Schwarts. Linear Operators. Part III. Spectral Operators. New York - London - Sydney -Toronto. Wiley-Interscience. 1971)

[7] Евзеров И. Д. Области определения степеней обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве Lp. // Математические заметки. - 1977 - Т. 21 - №4 - С. 509-518

[8] Евзеров И. Д., Соболевский П. Е. О дробных степенях обыкновенных дифференциальных операторов. // Дифференциальные уравнения. - 1993 - Т. 9 - №2 - С. 228-240

[9] Кальменов Т. Ш., Искакова У. А. Критерий сильной разрешимости смешанной задачи Коши для уравнения Лапласа. // ДАН. - 2007 -Т. 414 - № 2 - С. 168-171

[10] Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. // Изв. ВУЗов. - 1964 - №2 (39) - С. 82-93

[11] Красносельский М.А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Москва. Наука. 1966

[12] Крицков Л. В., Сарсенби А. М. Спектральные свойства одной нелокальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией. // Дифференциальные уравнения. - 2015 - Т. 51 - №8 - С. 990-996

[13] Крицков Л. В., Сарсенби А. М. Базисность Рисса системы корневых функций дифференциального оператора второго порядка с инволюцией. // Дифференциальные уравнения. - 2017 - Т. 53 - №1 - С. 35-48

[14] Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения. // Дифференциальные уравнения. - 2008 - Т. 44- №2- С. 196-204

[15] Курдюмов В. П. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и интегральными краевыми условиями. // Изв. Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2015 - Т. 15 - №4 - С. 392-405

[16] Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев. Штиинца. 1986

[17] Мотовилов А. К., Шкаликов А. А. Сохранение свойства безусловной базисности при несамосопряженных возмущениях самосопряженных

операторов // Функциональный анализ и его приложения. - 2019 -Т.53 - №3 - С. 45-60

[18] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Физ-матлит. 2010 - 528 с.

[19] Нейман-заде М.И., Шкаликов А. А. Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов // Математические заметки. - 1999 - Т. 66 - №5 - С. 723-733

[20] Нейман-заде М.И., Савчук А. М. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами// Тр. МИАН. - 2002 - Т.236 - С. 262-271

[21] Рапопорт И.М.. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР. 1954 - 290 с.

[22] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. - 1999 - Т. 66-№6-С. 897-911

[23] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды московского матем. общества - 2003 - Т. 64 - С. 159-212

[24] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Обратная задача для опеператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость. // Функциональный анализ и его приложения - 2010 - Т. 44 - №4 - С. 34-53

[25] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями // Матем. Сб. - 2020 - Т. 211 - №11 - С. 129-166

[26] Садыбеков М. А., Сарсенби А. М. Критерий базисности системы собственных функций оператора кратного дифференцирования с инволюцией. // Дифференциальные уравнения. - 2012 - т. 48 - № 8 - С. 1126-1132

[27] Сарсенби А. А. Некорректная задача для уравнения типа теплопроводности с инволюцией. // Журнал СВМО. - 2019 - Т. 21 - №1 - С. 48-59

[28] Сарсенби А. А., Турметов Б.Х.. Базисность системы собственных функций дифференциального оператора второго порядка с инволюцией. // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. -2019 - Т. 29 - №2 - С. 183-196

[29] Сарсенби А. М. Безусловные базисы, связанные с неклассическим дифференциальным оператором второго порядка. // Дифференциальные уравнения. - 2010 - Т. 46 - №4 - С. 506-511

[30] Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград: Типография М. П. Фроловой. 1917.

[31] Трещев Д. В., Шкаликов А. А. О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве. // Математические заметки. - 2017 - Т. 101 - №6 - С. 911-918

[32] Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора. // УМН. - 1979 - Т. 34 - №5 (209) -С. 235-236

[33] Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 1983 - Т. 9 - С. 190-229

[34] Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 2007 - Т. 9 - С. 190-229

[35] Шкаликов А. А. Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром. // Успехи математических наук. -2016 - Т. 71 - №5 (431) - С. 111-174

[36] Якубов В. Я. Неклассические двусторонние точные оценки для нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. - 1993 - №4 - С. 37-44

[37] Якубов В. Я. Ограниченность нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля при минимальных ограничениях на гладкость коэффициентов. // Дифференциальные уравнения - 1994 - Т. 30 - №8-С. 1465-1467

[38] Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solution of certain linear differential equations containing parameter // Trans. Amer. Math Soc. - 1908 - V. 9 - P. 219-231

[39] Birkhoff G. D. Boundary value and expansion problem of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math Soc. - 1908 - V. 9 - P. 373395

[40] Cabada A., Tojo F.A. F. Differential Equations with Involutions. Atlantis Press. 2015

[41] Cabada A., Tojo F. A. F. Green's Functions for Reducible Functional Differential Equations. // The Bulletin of the Malaysian Mathematical Society. - 2016 - V. 40 - N.3 - P. 1071-1092

[42] Kato T. Perturbation Theory of Linear Operators. Berlin - Heildelberg - New York. Springer - Verlag. 1995

[43] Kopzhassarova A. A., Lukashov A. L., Sarsenbi A.M.. Spectral Properties of Non-Self-Adjoint Perturbations for a Spectral Problem with Involution. // Abstr. Appl. Anal. - 2012 - Article ID 590781

[44] Kopzhassarova A., Sarsenbi A. Basis Properties of Eigenfunctions of Second-Order Differential Operators with Involution. // Abstr. Appl. Anal. - 2012 - Article ID 576843

[45] Levin B.Ya. Lectures on entire functions. Providence. Rhode Island. Amer. Math. Soc. 1996

[46] Silberstein L.. Solution of the equation f (x) = f (1/x). // Lond. Edinb. Dubl. Phil. Mag. - 1940 - V. 30 - N.200 - P. 185-186

Работы автора по теме научно-квалификационной работы:

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[47] Владыкина В.Е., Шкаликов А. А. Асимптотика решений уравнения Штурма-Лиувилля с сингулярными коэффициентами // Математические заметки. - 2015 - Т. 98 - №6 - С. 832-841 (импакт-фактор WoS 0.425) 0,63 п.л./0,5 п.л.

[48] Владыкина В. Е. Асимптотика фундаментальных решений уравнения Штурма-Лиувилля по спектральному параметру // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. - 2019 - №1 - С. 57-61 (импакт-фактор SJR 0.200) 0,3 п.л.

[49] Владыкина В.Е., Шкаликов А. А. Спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов с инволюцией. // ДАН. -2019 - Т. 484 - №1 - С. 12-17 (импакт-фактор WoS 0.548) 0,38 п.л./0,29 п.л.

[50] Владыкина В.Е., Шкаликов А. А. Регулярные дифференциальные операторы с инволюцией. // Математические заметки. - 2019 - Т. 106 -№ 5 - С. 643-659 (импакт-фактор WoS 0.626) 1,06 п.л./0,85 п.л.

[51] Владыкина В.Е., Спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля при минимальных условиях на гладкость коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. - 2019. - №6. - С. 23-28 (импакт-фактор SJR 0.200) 0,38 п.л.

Тезисы докладов на научных конференциях

[52] Владыкина В. Е. Об асимптотиках и оценках норм собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с весом и сингулярным потенциалом// Сборник тезисов докладов международной конференция "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", по-свящённой 100-летию Б. М. Левитана. Москва. - 2014. - С. 66-67.

[53] Владыкина В.Е. О свойствах собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом // Сборник тезисов докладов международной конференции "Функциональные пространства и теория приближения функций посвященной 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского. Москва. -2015. - С. 117-118.

[54] Владыкина В. Е. Asymptotic representations of the solutions of the Sturm-Liouville equation with singular coefficients// Сборник тезисов докладов на международной конференции, 4th International Workshop "Analysis, Geometry, and Probability"- Москва, МГУ. - 2016.

- P. 64-65.

[55] Savchuk A., Shkalikov A., Vladykina V. Asymptotics for ordinary differential operators with distribution coefficients// Международная конференция "XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (КРОМШ-2017): сборник материалов. Секции 1-4. - ДИАЙПИ Симферополь.

- 2017. - P. 49-51.

[56] Владыкина В. Е. Регулярные дифференциальные операторы с инволюцией // Сборник тезисов докладов на международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложений - VIII. Ростов. - 2018. - С. 36.

[57] Владыкина В.Е. Базисные свойства корневых функций некоторых дифференциальных операторов с инволюцией// Сборник тезисов докладов международной конференции "XXVI Международная конференция Математика. Экономика. Образование. X международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения. Ростов. - 2018. - С. 25-26.

[58] Владыкина В. Е. Спектральные асимптотики задачи Штурма-Лиувилля при минимальных условиях на гладкость коэффиициен-тов. // Современне проблемы математики и механики. - Материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика В.А. Садовничего. - МАКС Пресс Москва. - 2019. - С. 38-41.

[59] Владыкина В. Е. Базисные свойства корневых функций регулярных дифференциальных операторов с инволюцией // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020. - ПОЛИПРИНТ Симферополь. - 2020. - С. 50-53.