Продолжение полей в задачах сейсмики с данными на плоских кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.12, кандидат физико-математических наук Тузовский, Александр Алексеевич

• Тузовский, Александр Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тузовский, Александр Алексеевич

-Введение.

Глава I.Обращенное продолжение полей с плоских кривых.

§1. Определение операции обращенного продолжения.

§2. Некоторые свойства продолженного поля

§3. Продолжение полей с плоских кривых.».

Глава II.Асимптотика продолженных с плоских кривых полей.

§1. Продолжение поля плоской волны.

§2. Продолжение поля сферической волны.

§3. Продолжение в однородное полупространство поля с фронтом произвольной формы.

§4. Продолжение в неоднородное полупространство поля с фронтом произвольной формы.

§5. Краевые эффекты операции продолжения полей с плоских кривых.

Глава Ш. Восстановление отражающих границ.

§1. Применение продолженных с плоских кривых полей для восстановления отражающей границы.

§2. Продолжение обменных и кратных волн.

§3. Восстановление отражающей границы в стационарном случае.

§4. Определение отражающих границ и коэффициентов отражения.^. Ю

§5. Определение строения однородно-слоистой среды с гладкими границами раздела. Ю

Глава 1У.Численные эксперименты по восстановлению отражающих границ.

§1. Восстановление отражающей границы в нестационарном 126 случае.

§2. Восстановление'отражающей границы в стационарном случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Продолжение полей в задачах сейсмики с данными на плоских кривых»

В настоящее время широкое развитие получают методы обработки данных сейсмических наблюдений, имеющие целью восстановление трехмерного строения среды. Особое значение при этом имеют обратные динамические задачи сейсмики, позволяющие определять параметры Ламе Л , JH и плотность J) упругих сред по заданным на свободной поверхности полям упругих волн [i] . Наиболее полно исследованы обратные задачи для вертикально-неоднородных сред [2"^] • В трехмерных случаях решение не только обратной, но и прямой задачи связано с серьезными трудностями, что вызывает интерес к различным приближенным методам их решения. Так при расчете волновых полей в сложных средах широко применяются асимптотические методы, в частности лучевой метод [^Х] »основанные на локальном характере распространения высокочастотных колебаний. Основные принципы локальных методов используются и при асимптотической постановке обратных задач [9"*И] • Суть их заключается в следующем [12] : I) колебания распространяются от источника У к точке Р вдоль определенного числа выделенных траекторий;

2) поле вдоль каждой из траекторий зависит лишь от локальных характеристик среды в её окрестности;

3) поле вт. Р равно сумме полей, распространяющихся от ff к Р по всем соединяющим их траекториям.

В f9~M] предложен асимптотический метод решения обратной задачи для волнового уравнения в однородно-слоистой среде по известному в ограниченной области 2) на свободной поверхности волновому полю, созданному в результате действия стационарного точечного источника на частотном интервале С ofy , с4 ). Метод основан на применении приближенных решений уравнения Гельмгольца, сосредоточенных около некоторых заранее выбранных лучей (шнуровые решения или гауссовы пучки). Задача разбивается на два этапа: сначала определяются направления и времена подхода волн к некоторой точке (кинематические характеристики), после чего эта информация используется для получения начальных данных для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих форму границ раздела. После определения положения границы, вгеё точках определяются коэффициенты отражения и параметры J) , среды за границей раздела.

В работах предложен подход к решению трехмерных задач сейсмики по известному в ограниченной области 2) на свободной поверхности полю, созданному в результате действия импульсного точечного источника. Подход основывается на методе продолжения поля в обращенном времени. Его сущность заключается в том, что продолженное поле, которое ищется как решение уравнений Ламе (либо волнового уравнения) с известными Д , JH , J) в обращенном времени t ( Т - некоторый фиксированный момент времени), удовлетворяющее нулевым начальным данным и некоторым граничным условиям на свободной' поверхности, содержит в себе некоторую область фронта отраженной волны. Это позволяет, опираясь на метод полей времен [4?] определить положение отражающих границ (динамический аналог метода полей времен).

За рубежом методы продолжения поля (волновая миграция) также используются при решении задач сейсмики [11'20] . При этом, наряду с интергальными представлениями продолженных полей [20] , применяются конечно-разностные методы рещения задач продолжения , При этом волновое уравнение заменяется некоторым параболическим уравнением, приближенно описывающим процесс распространения волн в направлениях близких к вертикальному. Следует отметить, что реализация конечно-разностных методов в трехмерных случаях связана с серьезными трудностями, вызванными необходимостью продолжения поля на большие расстояния, что влечет за собой резкое увеличение точек

- б сетки, в которых рассчитывается поле, а это приводит к очень большому объему вычислений.

В работах [2f"*2&] в рамках волнового уравнения развивается динамическое направление решения обратных задач теории распространения волн. Задача обращенного продолжения поля здесь связана с задачей восстановления (визуализации) распределенных по поверхности или объему объектов, излучением которых моделируется рассеянное этими объектами поле. При этом предполагается, что картина распределения вторичных источников соответствует пространственно-геометрической структуре объекта, т.е. является его изображением. Формирование такого изображения рассматривается как решение

1. прямой задачи продолжения поля;

2. обратной задачи для соответствующего дифференциального уравнения о восстановлений источника (правой части оператора). Причем решение I является регуляризованным решением условно-корректной задачи 2.

В [2.3~31] рассматривается кинематический аспект задачи продолжения поля. Осуществлена формализация операции продолжения. Введены кинематически-эквивалентные дифференциальные операторы и кинематически-эквивалентные операторы продолжения поля, при помощи которых обосновывается возможность замены уравнения Ламе более простым (например, волновым). Показано, что продолжение поля на некоторую поверхность позволяет "развязать" петли на годографах, что делает возможном три последующей обработке использование традиционных методов решения обратных кинематических задач.

Как видно из вышеупомянутых работ, при решении трехмерных обратных задач сейсмики существенным обстоятельством является то, что поля фиксируются в некоторых двухмерных областях на свободной поверхности. При практической реализации таких экспериментов в некоторых случаях возникают существенные трудности. Более того, иногда оказывается невозможным осуществить сейсмические работы на традиционных прямых профилях. В связи с этим представляет интерес рассмотреть задачу восстановления строения среды с данными, зафиксированными на криволинейном профиле. В [3£~33] предложен способ обработки таких данных, зафиксированных методом многократных перекрытий, являющийся модификацией метода ОГТ применительно к данному случаю. В его основу положен тот экспериментальный факт, что в методе ОГТ допустим вынос на некоторые ограниченные расстояния точек расположения приемников и источников с прямолинейной линии профиля, или, что эквивалентно, вынос общих глубинных точек с прямой линии в пределах некоторой полосы.' Опираясь на это, в [52~33] строится несколько таких полос общих глубинных точек с помощью априорных представлений о горизонтальном положении отражающих границ, и каждая из них обрабатывается "двумерным" методом ОГТ. Последующая обработка заключается в том, что полученные вдоль полос разрезы суммируются с учетом предполагаемых поперечных наклонов отража-щих границ с целью получения окончательного разреза вдоль некоторой "средней" линии.Предложенный метод не использует динамические характеристики полей при построении отражающих границ и опирается на кинематические построения.

В данной работе вводятся продолженные с плоских кривых поля и предлагаются методы восстановления трехмерного строения среды по данным, зафиксированным на криволинейном профиле, основанные на использовании как кинематических, так и динамических характеристик таких полей.

В главе I рассматриваются операции обращенного продолжения полей, результатом которых являются некоторые продолженные поля. Наряду с определением продолженного поля, предложенным в [f3] , как решения уравнения Ламе с нулевыми начальными данными и граничными условиями на свободной поверхности, вводится представление такого поля в виде некоторого интеграла типа "динамического" потенциала двойного слоя. Показано, что таким образом введенное продолженное поле удовлетворяет уравнению Ламе с нулевыми начальными дан7 ными и испытывает заданный разрыв при переходе через плоскость, совпадающую со свободной поверхностью. Учитывая специфику задания полей в рассматриваемых задачах (в точках плоских кривых) предлагается ввести решения уравнения Ламе, осуществляющие операции обращенного продолжения с плоских кривых. Таким образом определенные продолженные поля можно рассматривать как результат действия то -чечных источников, расположенных в точках плоской кривой.

В главе II исследуется обращенное продолжение.;с плоских кривых полей плоских и сферических волн, а также волн с фронтом произвольной формы в однородные и неоднородные среды. Устанавлявает-ся общее свойство продолженных с плоских кривых полей - наличие, поверхностей (каустик), в окрестности которых происходит фокусировка поля. Определяется положение каустик в пространстве, и находится высокочастотная асимптотика поля в их окрестности.

Факт наличия каустик в продолженных полях предлагается использовать при восстановлении отражающих границ. С этой целью в главе Ш посредством полей, зафиксированных на плоской кривой, формируется некоторое поле, над которым осуществляется операция продолжения. Для продолженного поля подучено представление в виде четырехмерного интеграла. Исследование его асимптотики доказывает существование в нем характерной структуры, позволяющей восстанавливать отражающие границы. Ж именно: установлено наличие двух непересекающихся каустических поверхностей, одна из которых (/?) является неособой каустикой, а другая состоит из точек возврата (0.) * fl пересекает отражающую границу $ вдоль линии L , являющейся проекцией на S плоской кривой, лежащей на свободной поверхности.-Если поля в среде возбуждались импульсными кратковременными источниками колебаний, то продолженное поле в соответствующие моменты времени будет отлично от нуля в тонком слое,

1 / k содержащем линию Ь и прилегающую к ней некоторую область . Так как в окрестности ,fl наблюдается наиболее "сильная" фокусировка продолженного поля (это следует из рассмотрения его асимптотики в окрестностях /7 , ), то исследование распределения интенсивности поля вдоль слоя позволяет с некоторой степенью точности определить положение L и S0

Далее рассматривается аналогичная задача для стационарных источников. Её решение основано на использовании структуры семейства лучей продолженных полей: лучи образуют семейство конусов с вершинами, лежащими на кривой; осями, являющимися касательными к кривой; образующими, совпадающими с лучами, отраженными границей и попавшими на кривую (как и при дифракции на криволинейных ребрах [M'l] ). С помощью введения некоторого поля, удается определить положение таких конусов, что, в свою очередь, позволяет сформулировать задачу Коши для обыкновенного"дифференциального уравнения первого порядка, решением которой является линия, принадлежащая отражающей границе (для фиксированного источника). В качестве начальных данных должны быть заданы координаты точки, лежащей на этой линии. При изменении положения источника, определяется некоторая область SgcS . После чего в точках &0 вычисляются значения коэффициентов отражения. Следует отметить, что предложенные выше методы определения So основываются на кинематических свойствах полей. Но, как,это следует из рассмотрения I асимптотики продолженного поля, его динамические характеристики содержат информацию как о коэффициентах отражения, так и о форме отражающей границы. Это позволяет восстановить строение слоисто-однородной упругой среды по данным, заданным в точках плоской кривой в виде множества полей, возбужденных источниками гармонических колебаний, расположенными также в точках этой кривой. Причем, как ив [9 ~1о] , поля задаются на частотном отрезке [u2f,u?e] Для решения этой задачи введены приближенные представления продолженных полей в виде многомерных интегралов. Исследование их асимп- . тотики позволило построить, полученную ранее в [9""И] » систему обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих форму границ раздела, а также определить значение коэффициента отражения в точках этих границ. Для получения начальных данных для этой системы, в которые входят координаты некоторой точки искомой поверхности и нормаль к ней в этой точке, используются результаты уже рассмотренной кинематической обратной задачи, а также возможность определения времени распространения отраженной волны, появляющуюся за счет задания полей на . Предложенным методом также получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих форму границ раздела, в постановке аналогичной рассмотренной в [9~Н] > то есть в случае, когда имеется единственный точечный источник, и поле регистрируется в некоторой двумерной области на свободной поверхности.

В главе 1У приводятся результаты численных экспериментов по восстановлению границ раздела и коэффициентов отражения, проведенных на основе предложенных методов; и результаты обработки реального сейсмического материала.

Основные положения, которые выносятся на защиту, заключаются в следующем:

1).Введены продолженные с плоских кривых поля, определена их лучевая структура и установлено наличие в них каустик;

2).Получены приближенные интегральные представления продолженных полей и исследована их асимптотика, что позволило: а) доказать существование характерной структуры, связанной с пространственным положением каустик, которая может быть использована для восстановления отражающих границ; б) определить конуса возможных направлений подхода волн, на основании чего сформулирована задача Коши для обыкновенного диффен-циального уравнения первого порядка, решением которой являются линии, принадлежащие отражающей границе; в) сформулировать задачи Коши для двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих форму границ раздела; г) в точках отражающих границ определить коэффициенты отражения.

3).На основе предложенных методов проведены численные эксперименты подтверждающие справедливость теоретичёских выводов.

Автор выражает благодарность А.С.Алексееву за руководство и внимание к работе.

-I2

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Тузовский, Александр Алексеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены трехмерные задачи восстановления строения слоисто-однородной среды по данным, зафиксированным на криволинейном профиле, полученным в результате действия точечных источников колебаний, расположенных в точках того, же профиля. При решении таких задач предложено использовать продолженные поля. При этом, в отличие от случая, когда данные фиксируются в некоторой двумерной области свободной поверхности, введены поля, продолженные с плоских кривых.

Для исследования свойств таких полей и выяснения возможности их использования при восстановлении отражающих границ и коэффициентов отражения рассмотрена высокочастотная асимптотика продолженного поля при продолжении с плоских кривых полей плоской, сферической волны и волны с фронтом произвольной формы. Установлено наличие в этих полях каустик. Получены главные члены асимптотики продолженных полей в их окрестности. Показано, что продолженное поле образуется лучами, исходящими из точек кривой по поверхностям кону- . сов, с осями совпадающими с касательными к кривой в рассматриваемых точках, причем лучи исходного поля, попавшие на кривую, также лежат на поверхностях этих конусов.

Опираясь на свойства продолженных с плоских кривых полей, решена задача восстановления границы раздела однородных упругих сред. При4этом для продолженного поля получено приближенное представление в виде четырехмерного интеграла, исследование асимптотики которого позволяет установить наличие в продолженном поле двух непересекающихся каустических поверхностей. Причем поверхность состоящая из точек возврата каустики, в окрестности .которой наблюдается наиболее сильная фокусировка, пересекает отражакщутр:; границу $ вдоль линии4 L ,являющейся проекцией на $ плоской кривой. Этот факт используется при восстановлении некоторой'области

S в случае, когда среда возбуждается импульсными источниками колебаний.

Аналогичная задача решена для стационарных источников. Её решение основано на использовании структуры семейства лучей продолженных с плоских кривых полей. С помощью введения некоторого поля, определено положение лучевых конусов, что позволило сформулировать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, решением которой являются линии, принадлежащие отражающей поверхности. В точках восстановленной области S определены коэффициенты отражения.

Решена задача восстановления строения слоисто-однородной упругой среды с исходными данными в виде множества полей, зафиксированных в точках плоской кривой, возбужденных стационарными точечными источниками, расположенными также в точках этой кривой. В предположении-, что при восстановлении некоторой границы выделена отраженная продольная волна, испытывающая только преломления на остальных границах. Для решения этой задачи введены приближенные представления продолженных полей в виде многомерных интегралов. Исследована асимптотика таких интегралов, что позволило сформулировать задачи Коши для двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих форму границ раздела; в точках границ определить коэффициенты отражения.

На основе предложенных методов проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические 'выводы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тузовский, Александр Алексеевич, 1983 год

1. Алексеев А.С. Основные тенденции и результаты развития теориии численных моделей сейсмических методов исследования. -Геология и геофизика,1983,№1,с.II0-I24.

2. Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространенияволн. I, II. -Изв.АН СССР.■ Сер.геофиз.1962,№11,с.1514 --1531.

3. Алексеев А,С. Обратные динамические задачи сейсмики. -В кн.:

4. Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, М.,"Наука",1967,с.9-84.

5. Алексеев А.С.,Добринский В.Н. Некоторые вопросы практическогоиспользования обратных динамических задач сейсмики. -В сб.:Математические проблемы геофизики,Новосибирск, ВЦ СО АН СССР,1975,Вып.6,с.7-53.

6. Алексеев А.С.,Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела.-В сб.: Вопросы динамической теорий распространения сейсмических волн, Л.,из-во ЛГУ,1959, №3, с.107-160.

7. Алексеев А.С.,Бабич В.М.,Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. -В сб.:Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.,из-во ЛГУ,1961,№5,с.З-24.

8. Бабич В.М.,Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачахдифракцщт коротких волн. -М.,"Наука",1972,-456с.

9. Боровиков В.А.,Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции.-М.,"Связь",1978,-247с.

10. Бабич В.М. О "соображениях" локальности в задачах дифракциикоротких волн,-Тр.Ш Всесоюзного симпозиума по дифракции волн, 1964,с.78-79.

11. Петрашень Г.И.,Нахамкин С.А.: Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки.-Л.,"Наука",1973,-170с.

12. Тимошин Ю.В. Импульсная сейсмическая голография.-М.,"Недра", 1978,-286с.

13. Васильев С.А. Некоторые вопросы теории продолжения волнового поля в сторону источника.-Изв.АН СССР.Физика Земли, 1973,№3,с.35-47.

14. Васильев С.А. О возможности продолжения сейсмического поля внутрь Слоисто-однородной среды.-Изв.АН СССР.Шизика Земли,1975,№9,с.28-39.

15. Ризниченко Ю.В. Геометрическая сейсмика слоистых сред.-Тр. инст.теор.геофизики АН СССР,М.,1946,т.II.

16. Qtazihoud y.F.^oke'ilfrS.M. Qoioti-uaid CotUiwcdion*of mowut- QMVLeztecL lelzwo^wns-GeophlsuLg,1. ЩП, У.ЪT-,/S5,pf>. W-M.

17. Клаербоут Дж.Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации с приложением к разведке нефти.-Пер.с англ.

18. М.,Недра, 1981,-Пер.изд. :С1ПА, 1976,-304с.

19. Sckneldet к A. Inteaiat fowuktoh, fob m^tiowiVL tVrO IkVLZmi, v. ti, vi, p/>. 49-16.

20. Цибульчик Г.М. 0 формировании сейсмических изображений на основе голографического принципа.-Геология и геофизика,1975, №11,с.97-106.

21. Цибульчик Г.М. Анализ решения краевой задачи,моделирующей процесс формирования изображения в сейсмогографии,-Геология и геофизика,1975,№12,с.22-31.

22. Алексеев А.С.,Цибульчик Г.М. О связи обратных задач теории распространения волн с задачами визуализации волновых полей.-ДАН СССР,1978,т.242,№5,с.1030-1033.

23. Алексеев А.С.,Цибульчик Г.М.,Хайдуков В.Г.О разрешающей способности фокусирующих систем с точки зрения обратных задач теории распространения волн.-Геология и геофизика,1978, №I2,c.I07-I2I.

24. Алексеев А.С.,Жерняк Г.В. Многочастотный метод визуализации объектов и его опробование на полевом материале.-Геология и геофизика,1980,№4,с.58-67.

25. Алексеев А.С.,Кремлев А.Н.,Жерняк Г.Ф. Об обратной задаче дифракции акустических волн и методах визуализации и волновой миграции.-Геология и геофизика, I98I,№I,c.III--118.

26. Цибульчик Г.М. О решениях некоторых обратных задач для волнового уравнения методом визуализации источников.-Геоло-гия и геофизика, I98I,№2,c.I09-II9.

27. Елинов В.Д. Об одной обратной задаче дифракции. -В сб.Условно-корректные задачи математической физики в интерцретации геофизических наблюдений. Новосибирск,ВЦ СО АН СССР,1978,с.52-63.

28. Гольдин С.В. Кинематический аспект задачи продолжения сейсмических волновых полей.-Геология и геофизика,1982,№2, с.107-116.

29. Гольдин С.В. Оценка кинематических параметров сейсмических волн по методу фокусировки.-Геология и геофизика, 1982, №4,с.71-80.

30. Гольдин С.В. Обратные кинематические задачи для обращенного продолжения волновых полей.-Геология и геофизика, 1983, №6,с.108-116.

31. Miehon Ю. Exptoilaiuon de profit SiSMtyut поп tettifynt.stdm fa*". Assodjwm. UtU. petiol, ms,1. У232, c. 23-29.

32. PaiLLiet®. SMowUnes meikcd aids cLihL Udeipidofo^,

33. OU and Gas .•> Ш, 73, A^ f>p. 10-П.

34. Клем-%сатов К.Д.Теория краевых волн и её применение в сейс-мике.-Новосибирск,"Наука",1980,-296с.

35. Зб.Петрашень Г.И. Основы математической теории распространения сейсмических волн.-В сб.:Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л,"Наука",1978,вып.ХУШ, -248с.

36. Смирнов В.Н. Курс высшей математики.-М.,ГИТТЛ,т.4,1957.

37. Ладыженская О.А. 0 решении общей задачи дифракции.-ДАН СССР, 1954,т.96,№3,с.433-436.

38. Купразде В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.-М.-Л.,Гостехиздат,-280с.

39. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости,-М. ,<Еиз-матгиз,I963,-472с.

40. Тузовский А.А. О решениях уравнения Ламе с заданными разрыва-~ми.-Краснощек, 1983.-19с. (Препринт/ВЦ СО АН СССР,№11).41 .-Смирнов В.М. Курс высшей математики.т.I,-М.,Физматгиз, 1958, ^ -478с.

41. Амензаде Ю.А. Теория упругости.-М./'Высшая школа",1976,-272с.

42. Партон В.З.,Перлин П.И.Интегральные уравнения теории упругости. -М.,"Наука",1977,-312с.

43. Тузовский А.А. Обращенное продолжение векторов упругих смещений с плоских кривых.-В сб.:Численные методы в итерпре-тации геофизических наблюдений.Новосибирск,ВЦ СО АН СССР,1981,с.124-143.

44. Федорюк М.В. Метод перевала.-М.,"Наука",1977,-368с.

45. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах.-М.,"Наука", 1973,-343с.

46. Бабич В.М.,Алексеев А.С. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов.-Изв.АН СССР.,сер.геофиз., 1958, №1,с.17-31.

47. Гельчинский Б.Я. Отражение и преломление упругой волны произвольной формы в случае криволинейной границы раздела. -ДАН СССР, 1959,т.П8,№3,с.458-460.

48. Тузовский А.А.Обращенное продолжение с плоских кривых волн с фронтом произвольной формы. -В сб.:Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики.Новосибирск ВЦ СО АН СССР,1981,с.105-122.

49. Гельчинский Б.Я. Формула для геометрического расхождения.-В сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, Л.,1961,вып.У,с.47-54.

50. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.-М,,"Наука",1974, -176с.

51. Тузовский А.А. Восстановление границы раздела в упругой среде по отраженным полям, зафиксированным на плоской кривой. -Красноярск,1983,-19с.(Препринт/ВЦ СО АН СССР,№12).

52. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны.-М.,"Недра",1972,-293с.54.&едорюк М.В. Метод стационарной фазы для многомерных интегралов.-ЖВМ и М$, 1962,№1,с.145-150.

53. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений.-УШ,1968,т.23, №1,с.3-44.

54. Арнольд В.И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера.-УМН,1973,т.28,№5,с.17-44.

55. Милнор Дж. Теория Морса. -М.,"Мир",1965,

56. Курош А.Г.Курс высшей алгебры.-М.,"Недра",1971,-431с.

57. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в многомерном случае.-ЖВМ и Ш>, 1964, 4,М, с.671-681

58. Кравцов Ю.А.,Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред.-М.,"Наука", 1980,-304с.

59. Функциональный анализ, под ред.Крейна С.Г.,-М.,"Наука",1972, -544с.

60. Тузовский А.А. Обратная задача дифракции с данными на плоской кривой.-Красноярск, 1983,-22с.(Препринт /Щ СО АН СССР, №13).

61. Бабич В.М. Принципы взаимности для динамических уравнений теории упругости.-В сб.:Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.,из-во ЛГУ,1962,№6,с.60-74.

62. Тузовский А.А.Асимптотический метод решения обратной динамической задачи для однородно-слоистой упругой среды.-Красноярск, 1983, -19с. (Препринт/ВЦ СО АНС СССР,№14).

63. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности.Курс лекций. -Новосибирск,иэво НГУ,1968,-336с.

64. Крылов В.И.,Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию .-М.,?Наука",1966,-370с.

65. Марчук Г.И.Методы вычислительной математики.-М.,"Наука",1980, -535с.

66. Годунов С.К.,Рябенький B.C. Разностные схемы.-М.,"Наука",1973,-400с.I