Метод суммирования гауссовых пучков и смежные вопросы теории распространения волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Попов, Михаил Михайлович

• Попов, Михаил Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попов, Михаил Михайлович

ШВДЕНИЕ. лава I. ЗАДАЛА. О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ РАСХОЯДЕШИ В ТРЕХМЕРНЫХ

НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА

§ I. Формулировка задачи , метод решения, основные результаты.

§ 2. Стационарный лучевой метод. Задача о геометрическом расхождении.

§ 3. Пространственно-временной лучевой метод. Задача о геометрическом расхождении.

1АКЛЮЧЕНИЕ. лава П. МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ В

ИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

§ I. Отражение и преломление гауссовых пучков на границе раздела сред.

§ 2. Представление волнового поля в виде интеграла по гауссовым пучкам.

§ 3. Вывод формул для начальных амплитуд гауссовых пучков.

§ 4. Алгоритм метода суммирования гауссовых пучков . 117 лава Ш. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ. РЕЗУЛЬТАТЫ

ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

§ I. Основные формулы метода суммирования гауссовых цучков в двумерном случае.

§ 2. Суммирование гауссовых пучков в квазвдвумерном случае.

§ 3. Примеры скалзфных задач.

§ 4. Примеры векторных задач теории упругости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод суммирования гауссовых пучков и смежные вопросы теории распространения волн»

I. Асимптотические методы находят широкое применение для рас-1ета волновых полей различной физической природы: акустических, уп->угих, электромагнитных. Среди них лучевой метод является одним из гаиболее распространенных. Для уравнений теории упругости этот метода, предложенный Б.М.Бабичем [б, б] , был развит в работах В.М.Ба-5ича, А.С.Алексеева г др. [I, 2, в] . Многочисленные приложения лугового метода можно найти в монографиях [89 , 30, 45] , см. :акже библиографию к ним.

Уже при решении кинематических задач в рамках этого метода цри-:одится, как правило, численно интегрировать уравнения для лучей уравнения Эйлера для соответствующего функционала Ферма). Если :роме времен прихода (эйконалов) нужно знать амплитуды волн, то дя этого необходимо вычислять геометрическое расхождение на каж-;ом луче, описывавдее расходимость лучевой трубки и входящее в ам-литуду лучевых формул. В тех немногих случаях, когда уравнения Эй-:ера для лучей интегрируются в квадратурах, явно описывается и геометрическое расхоащение. В большинстве случаев, однако, это оказнается невозможным. Поэтому весьма актуальной становится задача о ычислении геометрического расховдения на данном изолированном лу-е, когда остаются неизвестными другие лучи, образувдие лучевую рубку.

Работа [18] является, по-видимому, одной из первых, в которой та задача решается в двумерном случае, см. также [ 95] . Ццея реше-ия состоит в том, что вводится дополнительная система дифференци-льных уравнений, интегрирование которой совместно с уравнениями йлера дает возможность находить как луч, так и геометрическое рас-эждение на нем. Эта система получается дифференцированием по лучеому параметру уравнений Эйлера и является линейной. Если данный суч попадает на границу раздела двух сред, то к ней добавляются :ачальные данные в точке падения. Последние также получаются дифференцированием по параметру соотношений, выражающих закон Снеллиуса. 1тот метод нахождения геометрического расхождения обобщается на рехмерный случай [88, 101] . Число и порядок дополнительных дифференциальных уравнений такой же как у системы уравнений для лучей. В трехмерном случае дополнительные уравнения нужно решать дважды ля производных по одному и другому лучевым параметрам.) Правые асти их имеют довольно громоздкий вид.

Ряд работ посвящен уменьшению числа дополнительных уравнений, дя двумерного случая в [94] получено одно дифференциальное урав-ение второго порядка, но не даны начальные данные к нему, возника-щие на границе раздела сред. Это минимально возможный порядок до-олнительного уравнения в случае двух переменных. В [84] рассматривается трехмерная неоднородная среда, но также отсутствуют грани-ы раздела. Число дополнительных уравнений снижено до семи уравне-ий первого порядка, что однако привело к усложнению их правых час-ей.

Второй подход к задаче о геометрическом расхождении основывает-я на вычислении кривизн : волнового фронта. Зная среднюю кривизну оследнего в каждой точке данного луча, можно найти геометрическое асховдение на этом луче. Такой подход развивается в работах [ 33, О, Зо] • При этом выводятся дифференциальные уравнения для коэффи-зентов второй квадратичной формы Гаусса поверхности волнового ронта. В общем случае трехмерной неоднородной среды возникает три елинейных уравнения первого порядка, или матричное уравнение Рик-ати для симметричной матрицы второго порядка. Если данный луч по-эдает на границу раздела сред, то к этим уравнениям надлежит добазить соотношения, выражающие щшвизны отраженного (преломленного) золнового фронта через кривизны поверхности раздела и падапцего фронта в точке падения. Для трехмерной однородной среды такие фор-вуяы впервые были ползгчены В.А.Фоком [81] . Их обобщение на слу-шй неоднородной среды дано в [29] . Эти формулы, однако, оказывается весьма громоздкими.

Рассматриваемый подход приводит к наименьшему порядку дополнительных уравнений, однако он имеет существенный недостаток. На ка-гстиках, как известно, геометрическое расхождение обращается в гуль, а средняя кривизна волнового фронта - в бесконечность. Поэто-!у решение этих уравнений имеет особенности в тех точках, где ис-[одный луч попадает на каустику. Это обстоятельство не позволяет гроходить через каустики при численном интегрировании уравнений. Заметим, что переход от кривизн к радиусам кривизны волнового фрон-:а приводит к аналогичным трудностям в тех точках, где волновой зронт "уплощается", т.е. хотя бы одна из главных кривизн обращает-*я в нуль. Это обстоятельство, а также гршоздкий вид ооответству-зщих формул на границе раздела сред позволяет заключить, что кривизны волнового фронта вряд ли можно считать естественными термина-си, в которых следует решать задачу о геометрическом расхождении.

Автором [58, 71, 9в] дано полное решение задачи о геометричес-:ом расхождении в трехмерной неоднородной среде, содержащей границы раздела: I) выведена дополнительная система из четырех линейных рафференциальных уравнений первого порядка с простыми правыми час-■ями; 2) получены начальные данные к ней на границе раздела сред.

Для вычисления геометрического расхождения на заданном луче ужно знать некоторые два решения этой системы (начальные данные ля них определяются источником, порождающим волновое поле). В дву-:ерном случае система состоит из двух уравнений первого порядка и квжвалентна уравнению, полученному в [94] ; геометричеокое расхождение находится по некоторому одному решению этой системы.

Полученная автором система уравнений имеет простой физический :мысл: она описывает в линейном приближении лучи, близкие к исход-сому, и носит название уравнений в вариациях, или уравнений Якоби да функционала Ферма, см. [28] . Начальные данные на границе раз-;ела двух сред выражают линеаризованный закон отражения (преломлена) для лучей, близких к исходным или центральным лучам лучевой рубки.

В совместной работе с Л.Г.Тюриковым [71] дан элементарный вывод Ифференциа льных уравнений для кривизн волнового фронта, точнее ля величин, пропорциональных коэффициентам второй дифференциальной юрмы Гаусса поверхности волнового фронта. Эти уравнения образуют истему из трех нелинейных уравнений первого порядка, или уравне-ие Риккати для симметричной матрицы второго порядка. В работе по-азано, что если исходный луч не попадает на каустику, то уравне-ия для кривизн волнового фронта и система из четырех уравнений ервого порядка, о которых говорилось выше, эквивалентны и перехо-ят друг в друга о помощью простого преобразования. На каустиках то преобразование теряет смысл. Этим устанавливается эквивалент-ость двух подходов к вычислению геометрического расхождения на за-анном луче и минимальный порядок дополнительных уравнений - четы-е уравнения первого порядка.

На основе полученных автором дополнительных уравнений и начал ь-ях данных к ним на границе раздела сред составлены программы для ЕМ по вычислению геометрического расхождения в нашей стране [4] и ЧССР в Геофизическом институте ЧСАН (И.Пшенчик).

Необходимо отметить следующее: I) Понижение порядка доподнитель-ой системы уравнений и простой вид их правых частей обусловлен зведением в окрестности луча специальной системы координат. Это требует дополнительных вычислений при численном интегрировании »той системы. В работах [l9, 2о] дан вывод уравнений в вариациях и шчальных данных к ним на границе раздела сред в декартовых коорди-гатах. 2) Обсуждаемая система уравнений в вариациях является мини-шльной дополнительной системой для вычисления геометрического рас-сождения. При этом необходимо знать некоторые два ее решения. В >аботе [вб] путем алгебраических преобразований этих уравнений по-сучена система из пяти уравнений, которую нужно решать одшщштно. )то, однако, привело к усложнению правых частей уравнений и началь-шх данных на границе раздела сред. Численные эксперименты, выпол-[енные в работе [з] , показали, что такого рода преобразования гравнений в вариациях не дают преимуществ.

Аналогичная задача о геометрическом расхождении возникает и [Ш цространственно-временного (ПВ) лучевого метода, который позволяет описывать распространение волновых пакетов или волн, моду-щрованных по амплитуде и частоте. Для уравнений упругости этот ме-'од предложен В.М.Бабичем [7] . В этом случае естественно считать )тражащие границы движущимися.

Отражение волн, описываемых ПВ лучевым методом, от движущейся раницы рассматривалось в ряде работ [б1, 44, 46, 27] . При этом ^пользовались те или иные упрощающие предположения, главным из ко-орых является постоянство скорости распространения волн. Кроме ого, в [5l] предполагалось, что отражающая граница плоская и на ее падает плоская волна. В работе [4б] формулируется принцип ка-ущегося положения границы раздела, относительно которой выполнятся закон отражения в традиционной форме - угол падения равен угу отражения. По известным кривизнам этой границы в точке падения помощью отражательных формул В.А.Фока [ 8l] можно вычислять reoдетрическое расхождение на отраженном луче в случае однородной сре-щ. Работа [27] посвящена асимптотическому обоснованию принципа кажущегося положения границы на основе пространственно-временного лу-I ев ого метода;- соответствующие выкладки приводятся для двух пространственных переменных.

В совместной работе с Н.Я.Кщшичниковой [43] дано полное реше-ше обсуждаемой задачи в трехмерной неоднородной среде и цроизволъ-юй движущейся границей: получена дополнительная система из четырех линейных дифференциальных уравнений (уравнения в вариациях) и 1ачальные данные к ней, возникающие на отражающей границе. Это да-зт возможность находить геометрические расхождения на заданном падающем и отраженном ПВ лучах, так же как и в стационарном лучевом 1етоде. В однородной среде (и в некоторых других частных случаях) /равнения интегрируются явно и приводят к явным формулам для гео-ютрического расхоадения. В работе показано, что задача об отражении лучевых амплитуд (геометрического расхоадения) от движущейся границы однозначно разрешима при естественных предположениях: а)от-эажащая граница времешдеюдобна, б) падащий луч не касателен к 'ранице.

Предложенный в этой работе метод решения задачи и ее результа-?ы легко обобщаются и на случай преломления на движущейся границе, 'акая задача возникает, например, если движется источник волнового соля, а границы раздела неподвижны.

П. Хорошо известно, что лучевой метод не пригоден для описания [ расчетов волновых полей в тех областях, где поле лучей теряет ре-•улярность, т.е. где образуются каустики, так как при этом геометрическое расхождение обращается в нуль, а лучевые амплитуды - в ¡есконечность. В таких ситуациях лучевой метод подправляется введешем специальных функций, В окрестности простой каустики, как из-зестно [9,* 45] , поле описывается функцией Эйри, в окрестности точней возврата каустики - интегралом Пирси, см. [96, 21] . Явный вид шециальных функций для описания волнового поля в областях с нерегулярным поведением лучей следует из канонического оператора В. П. 1аслова [52, 53] . На этом основано применение последнего для чис-генных расчетов волновых полей [бо] .

В результате оказывается, что способ вычисления поля существен-ю зависит от положения точки наблюдения М . Точнее, от того, погадает ли М в окрестность каустики или нет, и каков геометричес-сий характер каустики. Последнее определяет выбор соответствующей шециальной функции. С алгоритмической точки зрения это оказывается неудобным, так как требуются различные алгоритмы в зависимости >т положения точки наблюдения. Кроме того необходимы специальные [сследования, чтобы выяснить, находится ли М в окрестности каус-!ики и какова ее геометрическая структура. Это можно сделать без [редварительных расчетов лишь когда удается проинтегрировать урав-[ения лучей аналитически, т.е. в весьма частных случаях.

В 1973 году в работе В.М.Бабича и Т.Ф.Панкратовой [ 13] , посещенной разрывам функции Грина для волнового уравнения, впервые шо дано описание высокочастотной асимптотики волнового поля в ви-;е интеграла по лучам от сосредоточенных в охфеотности лучей Пришвиных (асимптотических) решений. В литературе по теории лазе-юв такого типа сосредоточенные решения получили более вдаткое наз-ание гауссовых пучков, которым мы также будем пользоваться. Сущес-венной чертой этого интеграла по сравнению с каноническим операто-ом В.П.Маслова является то, что он дает единое представление волевого поля как в области регулярности поля лучей, так и на произвольных каустиках. Последнее объясняется тем, что сосредоточенные решения (или гауссовы пучки) не имеют сингулярностей, сколько бы ах ни продолжать вдоль луча. В цитируемой работе этот интеграл использовался в математических исследованиях разрывов функции Грина смешанной задачи для волнового уравнения. Работа В.М.Бабича и Т.Ф. 1ашфатовой послужила идейной основой предложенного автором нового детода расчета волновых полей в высокочастотном приближении - методе суммирования гауссовых пучков [б9, 60, 9?] . Суть метода оосто-1Т в следующем. Пусть в некоторой ощюотности точки наблюдения М юстроен "веер" лучей, т.е. множеотво лучей, попадающих в окреот-юсть М . Для кавдого луча из этого "веера" строится гауссов пу-юк. Тогда для вычисления волнового поля в точке М нужно цросум-шровать по всем лучам "веера" вклад от каждого гауссова пучка в >той точке М . При этом каждый гауссов пучок берется с некоторой 'амплитудой", вообще говоря, своей для каждого луча. Эти "амплитуда", или начальные данные для гауссовых пучков, определяются источником, порождающим волновое поле. Гауссовы пучки не имеют осо-»енностей независимо от того, попадает ли исходный луч на каустику ели нет. По этой цричине алгоритм вычисления волнового поля не загасит от того, находится ли М на каустике или нет, и не связан с необходимостью вычисления каких-либо специальных функций. Далее, юскольку гауссовы пучки цри больших частотах быстро убывают при делении от луча в ортогональной к нему плоскости, вклад в точку М ;ают лишь те лучи "веера", которые проходят не слишком далеко от М. !ри этом нет необходимости иметь луч, проходящий через М , но точ-:ость вычисления поля, разумеется, зависит от того, сколь плотный веер" лучей построен в о1фестности М .

Метод суммирования гауссовых пучков может быть использован для асчета волновых полей различной физической природы (акустических, гпругих, электромагнитных), описываемых линейными уравнениями.Для изотропной теории упругости этот метод развит в работе автора [60]. )собенности метода в случае уравнений упругости состоят в том,что: [) гауссов пучок является вектором, 2) в окрестность точки М по-щцают лучи, соответствующие как продольной, так и поперечной скоростям, т.е., вообще говоря, возникают два "веера" лучей. Эти об-)тоятельства, не внося принципиальных трудностей, вое же усложняют шгоритм расчета волнового поля по сравнению со скалярными уравнег шями и приводят к большему объему вычислений.

Ошетим, что для уравнений изотропной теории упругости сосредоточенные в окрестности луча решения, или гауссовы пучки, были шервые построены в [ 41, 42] . Гауссовы пучки для уравнений Макс-(елла в связи с теорией открытых резонаторов построены в работе [55]

С теоретической точки зрения очевидно, что метод суммирования 'ауссовых пучков обладает рядом преимуществ, однако не ясно, нас-.олько он эффективен для расчетов волновых полей. Прежде всего десь возникает вопрос, какое число гауссовых пучков нужно просум-ировать для получения удовлетворительной точности вычислений и за-исит ли это число существенным образом от положения точки наблю-ения М , в частности, от геометрической структуры каустики. Пос-олысу метод является асимптотическим по частоте (а)-» ею) , возни-зет естественный вопрос, начиная с каких значений частоты им мож-о пользоваться. Кроме того, цри расцространении вдоль лучей гаус-овы пучки, вообще говоря, расширяются. Это приводит к необходимос-и учитывать в расчетах все более далекие от точки наблюдения лучи, ээтому применение метода на больших расстояниях от источника мо-зт привести к трудностям.

С целью выяснения эффективности метода суммирования гауссовых гпсов он был применен к различным модельным задачам теории расустранения волн.

Первые расчеты по этому методу были выполнены автором совместно з И.Пшенчиком и ВЛервены для двумерного уравнения Гельмгольца с сочечным источником как в области регулярности поля лучей, так и в яфестности простой каустики. Результаты анонсированы в [ юо] , юдробное изложение юс опубликовано в [90] . В совместных работах ) А .П.Качаловым [36] и В.Э.Грикуровым [92] метод был применен к полноводным задачам с более сложной структурой каустик, результаты грименения метода суммирования гауссовых пучков к некоторым модель-шм задачам распространения упругих волн изложены в совместной работе с А.П.Качаловым [з?] . В.А.Еременко и Ю.НЛеркашиным гауссовы гучки использовались в расчетах по распространению волн в атмосфе->е [32] .

На основании проведенных численных экспериментов можно сделать )ывод, что метод суммирования гауссовых пучков может эффективно [рименяться для расчета волновых полей в высокочастотном приближе-□ш. Оказывается, что достаточно просуммировать порядка 20-30 гаус-ювых пучков для получения удовлетворительной точности вычислений погрешность ^ 5%), и это число практически не зависит от геомет-»ической структуры каустик. Что касается других параметров (часто-'а, расстояние от источника и т.п.), то его можно применять в том ;е диапазоне изменения параметров, что и лучевой метод. Это провеялось на конкретных примерах путем сравнения результатов, получа-мых лучевым методом и методом суммирования гауссовых пучков.

Ш. Если волны распространяются в неоднородной среде, содержащей раницы раздела, всегда, вообще говоря, имеются лучи, падающие на раницу под предельными и запредельными углами, а также касающиеся е. В этих случаях волновое поле имеет сложную структуру, см. ,на-ример, [56, 8l]l и описать его одними только формулами лучевого мегода нельзя. В равной степени это относится и к методу суммирова-шя гауссовых пучков. Такие ситуации порождают много актуальных задач о распространении и возбуждении волн, удерживаемых границей, шевдих большую литературу, см. обзор [12] , монографии [9, II. 21, 39] . Помимо теоретического они имеют, очевидно, и большой цракти-хеский интерес.

Среди многообразия этих задач остановимся на одной из актуальнее - задаче о расцространении волн шепчущей галереи в окрестности ?очек границы, где кривизна последней обращается в нуль. Хорошо из-юстно, что вдоль вогнутой (со стороны волнового поля) части отражающей границы в однородной среде могут распространяться волны ти-& шепчущей галереи. Если же граница выпукла, то в этом случае мо-ут возникать и распространяться волны соскальзывания. Для этих тисов волн построены асимптотические разложения при высоких частотах, ¡и. [9, II] , если кривизна границы строго больше нуля. Если же :ривизна границы в некоторой точке обращается в нуль, то упомянутые изложения теряют смысл в окрестности этой точки, так как их член, начиная со второго, становятся сингулярными. Главный член ос-ается ограниченным, но производные от него обращаются в бесконеч-:ость. Эти разложения тем самым не позволяют проследить за поведе-ием волн в окрестности таких точек границы. Аналогичная ситуация меет место и в случае переменной скорости распространения волн, ри этом роль кривизны берет на себя так называемая эффективная ривизна границы [э] . Возникает задача о поведении волн шепчущей алереи, набегающих на точку границы, где обращается в нуль эффек-ивная здивизна последней. Эта задача представляет большой теоре-ический и практический интерес, внимание к ней привлекали в 70-х одах Дж. Келлер и чл.-корр.АН СССР Л.А.Вайнштейн. Исследованию ее освящены работы автора [б1-70] , а также [23, 26, 14] . При этом задача рассматривается в известном смысле в модельной ситуации: гредполагается, что волновое поле удовлетворяет уравнению Гельмголь-да с переменной скоростью, а на границе выполняются условия Дирих-ге или Неймана. Такие исходные предположения естественны в акустисе, для теории упругости их следует рассматривать как модельные. 1е вызывает сомнения, впрочем, что основные черты рассматриваемой »адачи сохранятся и в теории упругости. Поскольку задача носит локальный характер, то неоднородность среды не оказывает цринципи-(льного влияния ни на методы исследования, ни на результаты. Если кривизна границы в некоторой точке имеет нуль первой 1фатности, то »то точка перегиба: вогнутый участок границы переходит в выпуклый, '»ели кривизна имеет нуль второй кратности, то граница остается вог-сутой по обе стороны от этой точки, в самой же точке происходит уплощение" границы. Будем говорить, что это точка распрямления югнутой границы. Если же кривизна имеет нуль более высокой краткости, то в качественном отношении мы приходим к одному из двух 'Писанных выше случаев (в зависимости от того, нечетным или четным вляется кратность корня). Эти случаи вряд ли нуждаются в отдель-:ом рассмотрении. Вцрочем, как будет видно из дальнейшего, методы :сследования могут быть перенесены и на эти случаи.

К данным задачам естественно применить метод параболического равнения,- восходящий к работам М.А.Леонтовича и В.А.Фока [49,81], оскольку основной "процесс" цроисходит в окрестности точки, где бращается в нуль кривизна границы. Естественные координаты - дли-а дуги границы, отсчитываемая от нуля эффективной кривизны, и дли-а нормали к границе. В рамках этого метода автором дана математи-еская постановка возникающих задач [ 61, бб] . В некоторых безраз-ерных "растянутых" координатах Ь, х , где - пропорциональна лине дуги, а х - длине нормали к границе, окрестность рассматризаемой точки превращается в полуплоскость Х-?-^ - ©о <г Ь ^ + &о . Еараболическое уравнение принимает вид: I Нм^тде Н(*)=~2 случае точки перегиба потенциал , а для точки расфямления вогнутой границы На границе волноюе поле удовлетворяет условию Дирихле или Неймана, при каждом ^ г оо оно должно убывать, точнее должно быть интегрируемым ю х с квадратом модуля. При задается асимптотика функции Ф , которая следует из асимптотического разложения для 50лны шепчущей галереи, набегающей на рассматриваемую точку границы со стороны отрицательных значений ~Ь . Такие задачи классифицируются как задачи рассеяния для нестационарного уравнения Шре-дангера, роль времени играет t .

Несмотря на цростой вид возникающего "параболического" уравне-шя, построить в явном виде решение этих задач не удается. С этим >бстоятельством и связана трудность в их исследовании.

В работе автора [62] доказана корректность этих задач рассея-[ия. Делается это следущим образом. С помощью некоторой замены [временных и искомой функции при Ь - с» ' выделяется главная састь гамильтониана Но , не зависящая от Ь , и оператор возцу-1ения , который уже убывает при Ъ. Затем доказывает

Я существование волнового оператора И0) . Отсюда уже олеует существование и единственность решения (вообще говоря, обоб-[енного) исходных задач. В недавней работе В.М.Бабича и В.П.Смышляева [м] анонсируется утверждение о том, что решение является ¡есконечно дифференцируемым.

В совместных работах с ИЛшенчиком [66-70] построено численное ешение этих задач методом конечных разностей. Результаты расчетов, :олученные с ЭВМ в виде теневых рисунков, в наглядной форме описызают процесс разрушения волн шепчущей галереи в окрестности нуля )ффективной кривизны границы. В связи с неудачей в построении явных >ешений можно ожидать, что лишь численные методы дадут возможность шисать волновое поле в этих задачах в тех областях, где оно не шппком мало. Отметим следующее обстоятельство. В работе [ 63] авто-)ом рассмотрены два примера точно решаемых задач рассеяния .для не-¡тационарного уравнения Шредингера с потенциалом = х-2 ~Е и б^Сх,-*) = 2сг1г .По характеру поведения первый из них аналогичен (адаче с точкой перегиба границы, второй - задаче с точкой распрям-:ения вогнутой границы. Интересно отметить, что качественное пове-;ение их точных решений такое же, как у решений рассматриваемых за-;ач, полученных численным мет одом.

Наибольший интерес в задаче с точкой распрямления вогнутой гра-шщ цредставляет нахождение коэффициентов возбувдения волн шепчущей галереи, возникающих за этой точкой. В работе [ бб] предложен :етод расчета этих коэффициентов и сосчитаны модули первых из них. етод основывается на численном решении задачи с помощью конечных азностей. Из результатов работы следует, например, такой факт. Для абегающей первой волны шепчущей галереи наибольшая часть ее энер-ии (27$) переходит в первую же волну и 86% - в пять первых волн, ля второй волны имеем соответственно 23$ и 35$, т.е. и в этом слу-ае основная часть энергии волны переходит опять же в первую волну а точкой распрямления. Коэффициенты возбуждения зависят от номера олны не монотонным образом. Отметим, что такой же осциллирующий арактер имеют и коэффициенты матрицы рассеяния в модельной задаче потенциалом вычисленной в [63].

Параболическое уравнение в обсуждаемых задачах не содержит до-элнительннх параметров и большой интерес цредставляет построение эординатных асимптотик решений, т.е. когда велики эс, £ .В аботе [б4] для задачи о точке перегиба установлено существование яустической тени при х ■«■ с>о и ограниченных I , где волно-ое поле быстро убывает, и построено формальное асимптотическое разорение решения в ней. Характерной чертой этого разложения является о, что оно не содержит никаких неопределенных постоянных и целиком цределяется задаваемой при - 00 асимптотикой. Соответствую-ие формулы являются явными и имеют простой вид, однако они описы-ают поле там, где оно мало. В уже упоминавшейся работе В.М.Бабича В.П.Смышляева эти результаты автора существенно обобщены. Показа-о, что каустическая тень возникает в значительно более широкой об-асти и "почти доходит" до цредельного луча, т.е. луча, касающегося раницы в самой точке перегиба. Построено формальное асимптотичес-ое разложение решения во всей области каустической тени. При огра-иченных t и эс +■ оо оно совпадает с асимптотикой, полученной втором. Метод построения отличен от использованного в [64] . Тако-о же типа асимптотики могут быть получены в задаче с точкой рас-рямлешая границы.

Наибольший интерес в задаче с точкой перегиба границы представ-яет описание рассеянного поля при Ь в той области, где е возникает ни. геометрической, ни каустической тени. Первыми в том направлении являются работы В.С.Булдырева [23, 2б] , в которых рёдложена некоторая специальная функция для описания рассеянного оля в окрестности цредельного луча. В [26] приведены результаты асчета на ЭВМ этой функции. Вывод спецфункции основываетоя на фор-уяе Кирхгофа, при этом неизвестный на границе ток получается в ре-ультате распространения задаваемой при 00 асимптотики оля вплоть до точки Ь - 0 и аналитического продолжения ее на об-асть t > О

Другой подход предложен автором [б5, 67] . Предполагается,что ок на гранще цри + 00 убывает достаточно быстро (сверхсте-енным образом). Это предположение основывается на том, что рас-матриваемая часть границы попадает в геометрическую тень. Тогда ля семейства лучей соскальзывания, т.е. лучей, касающихся выпук-ой части границы, удается построить асимптотику поля при "6-*+ оэ . симптотика представляет собой лучевое разложение, коэффициенты в отором являются функционалами от тока на границе, и потому оста-тся неизвестными. Однако, если привлечь результаты решения задачи етодом конечных разностей, можно надежно вычислить эти коэффициент ы и тем самым уже эффективно описать асимптотику рассеянного волевого поля. Такие вычисления для первого коэффициента выполнены работе [б?] и проведено сравнение с результатами, полученными в 26] .

IV. Диссертация посвящена рассмотренным выше актуальным цробле-ам в теории расцространения волн. Помимо теоретического, они пред-тавляют большой црикладной интерес, особенно в геофизике, в связи широким использованием численных методов расчета волновых полей, диссертацию включены упомянутые выше работы автора [36-38, 43, 8-71, 90, 92, 97-100 ^ Основные результаты, изложенные в диссер-ации, состоят в следующем:

1) Полностью решена задача о вычислении геометрического расхож-ения на данном фиксированном луче в трехмерных неоднородных сре-ах с гладкими границами раздела для стационарного и цространствен-о- временного лучевого метода: получена минимальная дополнительная истема дифференциальных уравнений и начальные данные к ней в ис-очнике и на границах раздела. В случае пространственно-временного учевого метода отражающие границы считаются .движущимися цроизволь-ым образом.

2) Предложен новый метод расчета упругих волновых полей в трех

1ерных неоднородных средах, имеющих границы раздела, - метод сумми-ювания гауссовых пучков. Этот метод позволяет единым образом вы-шслять волновое поле как в области регулярности поля лучей, так и га каустиках произвольной геометрической структуры и не требует шедения каких-либо специальных функций.

3) Доказана эффективность метода суммирования гауссовых пучков $ ряде численных экспериментов. Удовлетворительная точность расчетов имеет место цри суммировании 20-30 гауссовых пучков и это чис-[о практически не зависит от того, находится ли точка наблюдения области регулярности поля лучей или на каустике, а также от гео-гетрической структуры каустик.

4) Исследован процесс распространения волн шепчущей галереи в жрестности точек границы, где кривизна последа ей обращается в нуль. О Получено численное решение возникающих задач, результаты расче-:ов, представление в виде теневых рисунков, дают наглядное пред-¡тавление о разрушении волн шепчущей галереи в о1фестности этих тосек. б) Предложен метод расчета коэффициентов возбуждения волн шеп-сущей галереи за точкой распрямления вогнутой границы и вычислены сервые из них. в) Установлено возникновение каустической тени при далении по нормали от границы и получена формальная асимптотика юлнового поля в ней. г) Получена асимптотика волнового поля вдоль учей соскальзывания, которая в совокупности с численным решением юзволяет эффективно описать рассеянное поле в задаче с точкой перегиба границы.

Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на Всесо-(зннх симпозиумах по дифракции и распространению волн (Ростов-на-;ону, 1977 г., Львов, 1981 г.), на Всесоюзных афотических конфе-енциях (Москва, 1977 г., 1983 г.), на Международном математическом онгрессе (Варшава, 1983 г.), на Всесоюзном совещании "Численные нетоды обработки сейсмических наблюдений" (Новосибирск, 1979 г.), т Международной геофизической школе "Численные методы интерпрета-щи сейсмических данных" (Суздаль, 1980 г.), на П Дальневосточной акустической конференции (Владивосток, 1978 г.), на Международном ¡еминаре "Решение прямых и обратных задач нестационарных полей и ¡ыбор оптимальных программ" (Новосибирск, 1984 г.), а также на се-шнарах по теории дифракции и распространения волн ЛОМИ-ЛГУ.

V. Диссертация соотоит из четырех глав. В главе I дано решение ¡адачи о геометрическом расхождении для стационарного (§ 2) и [ространственно-временного (§ 3) лучевого метода. В связи с относи-'ельной сложностью возникающих формул в § 3 приведена в качестве римера редукция этих формул на случай двух пространственных пере-[енных. В главе П излагается метод суммирования гауссовых пучков в :зотропной теории упругости. Описывается построение отраженных и реломленных на границе раздела сред гауссовых пучков; вычислены ачальные амплитуды пучков, возбуждаемых центром расширения и цен-ром вращения. В главе Ш приведены результаты численных эксперимен-ов по применению метода суммирования гауссовых пучков. Предвари-ельно в § I дается редукция формул МСГП на двумерный случай. В 2 этой главы описан МСГП в частном случае трехмерной задачи,ког-а параметры Ламэ и плотность среды не зависят от координаты у , источник и точка наблюдения лежат в одной плоскости у = 0 .В паве 1У рассматриваются задачи о распространении волн шепчущей алереи в о!фестности точек границы, где кривизна последней (в не-днородной среде - эффективная кривизна) обращается в нуль.

Нумерация формул в диссертации двойная: первое число означает змер параграфа, второе - порядковый номер формулы в этом парагра-з. Нумерация формул во всех главах независимая.

Большинство совместных статей содержат результаты вычислений а ЭВМ. В них мои соавторы брали на себя труд по составлению цро-?рамм и проведению расчетов. Я глубоко благодарен всем моим соавторам и особенно А.П.Качалову, И.Пшенчику и В.Э.Грикурову.

В.М.Бабич оказал большое влияние на всю мою научную работу и, [ользуясь этим случаем, приношу ему мою глубокую благодарность.

Я глубоко благодарен всем сотрудникам лаборатории Математически проблем геофизики ЛОМИ за обсуждение результатов этой работы [а семинарах и особенно П.В.Крауклису за оказанную помощь и поддержу. лава I. ЗАДАЧА. О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ РАСХОЖДЕНИИ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА

§ I. Формулировка задачи, метод решения, основные результаты.

Пусть волновой процесс ^ ~ ^Л*,^»"2") описывается уравнением ельмгольца

Д +■ С (м) ) V = О . (1Л) де А - оператор Лапласа, № - частота, скорость распростране-ия волн С(м) = С предполагается достаточно гладкой функцией, учами для рассматриваемого уравнения называются экстремали функ-ионала Ферма ^ С ^ ¿х^Л^ + Аг7- ' (1.2) главный член лучевого разложения (при СО-* со ) для решения V юеет вид

1.3) це V - эйконал (или набег фазы вдоль луча), 3 - геометрическое асхождение («7>0) . Если через С", обозначим лучевые коордиаты ( - длина дуги вдоль луча, ^ 9 - некоторые параметры, госирувдие луч), то геометрическое расхождение может быть преде-*влено как модуль якобиана перехода от декартовых к лучевым коор-шатам, т.е. а =

I (1.4)

1дя вычисления волнового поля в точке наблюдения И нужно, как следует из формулы (1.3), знать луч, проходящий через М (или в ее галой ощюстности) и геометрическое расхождение на этом луче. Уже ш первом этапе - построении лучей - приходится, как правило, чио-[енно интегрировать уравнения Эйлера для функционала Ферма. Поэто-1у возникает задача о вычислении геометрического расхождения на [анном луче, когда остаются неизвестными остальные лучи, образую-ще лучевую трубку. (В тех немногих случаях, когда уравнения Эйле-)а интегрируются в элементарных функциях, выражение для геометри-[еского расхождения также находится в явном виде.)

Прямой путь решения этой задачи - дифференцирование уравнений )йлера по лучевым параметрам с целью получения дифференциальных сравнений для элементов функционального определителя (1.4) - цри-юдит к относительно большому числу уравнений с довольно громоздки-ш правыми частями, см., например, [18, 88, 95] . Предпринимались гсилия уменьшить число и упростить сами возникающие уравнения, см. [ 84, 94] . Кроме того, если рассматриваемый луч попадает на границу раздела двух сред (или отражающую границу), то к этим уравнениям сеобходимо добавить соответствующие начальные условия в точке падения.

Более естественный подход к решению этой задачи основан на ¡ледущих, соображениях. Если известен луч, проходящий через точку [аблщдения, то геометрическое расхождение на нем определяется по-»едением сколь угодно близких к нему лучей, дифференциальные урав-сения для которых можно упростить, сохранив в них лишь линейные иены. Поскольку при этом близкие к исходному лучи описываются в •ерминах отклонения от исходного луча, то удается понизить и число возникающих дифференциальных уравнений. Именно на этом пути в работе автора [58] получена оиотема четырех линейных дафференциаль-шх уравнений и начальные условия к ней на границе раздела двух )ред, позволяющие в совокупности находить геометрическое расхождение на данном луче.

В этом пункте далее приведем вывод упомянутых выше дифференциальных уравнений. Пусть исходный луч известен и описывается вектор-пункцией Ъ « ЪЦ) 9 где S - длина дуги луча, отсчитываемая от секоторой точки (обозначение <Г сохраним для остальных лучей, кро-te выделенного), и пусть ему соответствуют значения fc^ifco , А2, [учевых параметров. В окрестности данного луча введем координаты >/ f*> f* формулой гм - и* + (1.5) которой Ън - радиус-вектор произвольной точки М , лежащей в крестности рассматриваемого луча, £¿(5) , два взаимно ртогональных единичных вектора, расположенных при каждом 5 в ормальной к лучу плоскости. Опишем связь векторов в¿ (sj с главой нормалью И (sb и бинормалью луча. Пусть 7Ь кручение уча и $ Tcs)Js + V^So)

1.6) s. о эгда положим . „ 7? ■ . ъ.

53 = OKVCS) - Ь(£) tjth VtS)

1.7) зли фиксщювать значение &(£<>) в (1.6), то равенства (1.7) одноючно определяют при При движении вдоль луча векто г ли вращаются относительно касательного к лучу век

- 26

7* J у*/-г V -у ора ms) =■ — » тогда как и e2cs) не вращаются (они ереносятся параллельно в смысле метрики, определяемой функциона-ом Ферма), Действительно, используя формулы Френе = Kin , "yg-^i , ££ и равенства (1.7), находим

Г - -Ксл&-?} £ (1-8) це K=K(s) кривизна луча. Таким образсйл, производные векторов Да имеют составляющие только на касательный вектор ~t . Введенная система координат, очевидно, ре1улярна в некоторой рубчатой окрестности исходного луча и ортогональна в ней, посколь-у из (1.5) и (1.8) следует h = i ' К(fi + fz^

1.9) равнение исходного луча в ней имеет вид

Этой системой координат будем неоднократно пользоваться в даль-ейшем и ниже^ будет дано ее описание вне связи с нормалью Я и шормалью & исходного луча. Заметим, что она была введена ранее втором в связи с исследованием открытых резонаторов [57] .

Для описания лучей, близких к данному, воспользуемся каноничес-ами переменными. Обозначим через импульс, соцряженный кооринате , тогда

- 27 к функция Гамильтона Н ~ И (5, ^¿^р^р») принимает нвд де 1п - коэффициент Ламэ используемой системы координат. Лучи, >лизкие к рассматриваемому, являются решениями канонической систе-1ы уравнений с1в Ь 1)рс г«- ; сходный луч также является решением системы (1.12), а, с другой (тороны, его уравнение в канонических переменных имеет виц ^ = ~ рс =0, 2 • Отсюда следует, что при ¿=¿,2 , равые части уравнений (1.12) тождественно по £ обращаются в нуль, •ычисляя соответствующие цроизво,цные от функции Гамильтона и приравнивая их к нулю, получаем следующие тождества относительно £ равнивая (1.8) и (1.13) находим, что векторы ^(ц и удовлет-оряют уравнениям

I е. =эе£ Г; *£ ) = Н ^ 5 а.м) равнения (1.14) можно рассматривать как независимое от нормали и шормали описание ортов в£ , локальной системы координат $ , ^ ^ в окрестности исходного луча. Если уравнения для лучей не ин-згрируются в.явном виде, то и для построения этих локальных коор-шат придется уравнения (1.14) интегрировать численно. Один из споообов построения координат в этом случае предложен в работах [з,9э].

Обратимся к функциональному определителю (1.4), описывагацему геометрическое расхождение. Лучи, образующие лучевую трубку в окрестности исходного луча, описываются функциями ^ = р.) , Рс ~рс р, )ГО » К0Т°Рые Удовлетворяют системе (1.12) цри любых значениях лучевых параметров ^ из некоторой окрестности точен ^-¡¡1о » ^"Г20 (соответствующей исходному лучу). Длина цгги (Г каждого из этих лучей и 5 связаны соотношением оторое определяет 5 как функцию С

1.15) читывая (1.15) и свойства функциональных определителей, нахо,дим

1.16) ели в (1.16) положим =([го , 2. , т.е. рассмотрим этот цределитель на исходном луче ^ - =• 0, = I, 2. , то для геомет-ического расхождения на этом луче получаем определитель вто-ого порядка

1>СЬ, «М = = Г"

1.17) ведем дополнительные обозначения к ш ^Л V 1

Г1" [<°'

Сифференцируя равенства (1.12) по лучевым параметрам и полагая $¿'([¿0» (т.е. = о, ¿=1,2 ) приходим к следующей систеге уравнений для вновь введенных функций

1.18) ри каждом ^ - равенства (1.18) представляют собой систему етырех (¿=1,2) линейных уравнений первого порядка относительно

Ь). Эта система называется уравнениями в ва-иациях по отношению к уравнениям (1.12), является в свою очередь амшгьтоновой и описывает в линейном приближении лучи, близкие к сходному.

Из формулы (Т.17) следует, что для вычисления геометрического асходдения на исходном луче достаточно знать некоторые два реше-ия системы уравнений (1.18). Начальные данные для этих решений опт-еделяются источником, порождающим поле лучей.

Пусть при некотором 5 = исходный луч падает на границу раз-ела двух сред, которая предполагается достаточно гладкой в окрест-ости точки падения. На отраженном (преломленном) луче имеет место эрмула вида (1.17) для геометрического расхождения и система урав-ений в вариациях типа (1.18) (она, очевидно, имеет вцц (1.18),где од С нужно понимать скорость, связанную с отраженным или пре-амленным лучом). Поэтому для вычисления геометрического расхожде-ш на отраженном (преломленном) луче нужно найти начальные данные эи 5 = для пары решений уравнений в вариациях типа (1.18), че-ез которые выражается геометрическое расхождение.

Обозначим через Х:(5) 1 ], ^ - 1,2 решения равнений (1.18), определяющие геометрическое расхождение (1.17) на адащем луче, а через (5) , ¿^^¡^ » соответствующую пару рвений на отраженном (преломленном) луче. В работе автора [бв] пока-ано, что начальные данные для * )(.•($) при 5= имеют виц с) Х^ =°И Х^- ы , ¿ = (1.19)

Де°РМ ~ матрица четвертого порядка, которая описывает в линейном риближении отражение (преломление) лучей, близких к исходным. В 8] дано явное выражение для ЦЧ , полученное с помощью вариаци-нного исчисления, которое, однако, сейчас мы не будем приводить, аким образом, уравнения в вариациях (1.18) и начальные условия 1.19) на границе раздела двух сред дают возможность однозначно най-и геометрическое расхожцение на заданном луче. Поэтому они в сово-упности дают полное решение задачи о геометрическом расхождении.

Ниже мы цриведем другой метод решения задачи о геометрическом асхождении и получим как уравнения (1.18), так и матрицу °[М в 1.19). Он основывается на непосредственном решении уравнений эйко-ала и переноса в координатах £ • ^ • ^ , введенных выше, и ледупцих соображениях. Пусть, например, Ась,^,^а)- решение урав-ения переноса. Амплитуда, тем самым и геометрическое расхождение а данном луче} получается при ^ ,= .Но тогда о самого ачала можно искать А в виде ряда по степеням ^, , ричем нам достаточно найти лишь первый, не зависящий от ^ , лен этого разложения.

Этот метод, не связанный непосредственно с техникой вариацион-ого исчисления, представляется более простым» Он легко обобщается а случай пространственно-временного лучевого метода и движущихся раниц раздела.

В заключение приведем некоторые известные свойства решений ли-эйной гамильтоновой системы (1.18), которые нам потребуются в альнейшем.

Под , ¿1 ~ ^ ■ будем пойимать какие-либо решения зашений (1.18). Обозначим через } следущую матрицу четвертого эрядка

О Е\

-Е О iß Е - единичная матрица второго порядка, и пусть Х2) -■салярное произведение Х£0) и Х2(5) , т.е.

L = t зпользуя уравнения (I.I8), можно убедиться, что для любых двух зшений Х£(£) и X2(s) этих уравнений имеем ¿^(/Х, ^а) следовательно,

JX X ) - oond.

1.20)

•сть W(s) - фундаментальная матрица системы (I.I8) такая, что WtM = I » где I - единичная матрица четвертого пордцка зтолбцы образованы линейно независимыми решениями (I.I8)). зли теперь ^J , j - t,2,. - какие-либо постошые векторы, то Xj (s) - Vcs) z*- будет решением (I.I8), удовлетвошщш начальному условию Xj(sj = 2 • . Из свойства (1.20) и усэвия Wcs.) = Г нетрудно вывести, что UA J , где * значает транспонирование, т.е. V - вещественная симплектическая атрица. Поэтому для любых решений Ki (s) и X; (&) имеем с

ОМ) Ч^^ММ/М)- (1-21)

Сели в качестве 2 взять вектор с комплексными составлявшими ^ 2г, 23 , , то решение Х(ь) ? будет также комплексным. В |;альнейшем нам потребуются не только вещественные, но и комплекс-ше решения уравнений в вариациях (1.18).

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Попов, Михаил Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенные в главе 1У результаты дают достаточно полную картину - по крайней мере с физической точки зрения - процесса распространения волн шепчущей галереи в окрестности точек границы, в которых кривизна последней (в неоднородной среде эффективная кривизна) обращается в нуль. Остановимся в заключение на основных результатах этой главы, их дальнейшем развитии, а также на нерешенных задачах.

I. В рамках метода параболического уравнения Леонтовича-Фока (или метода погранслоя) поставлены задачи, описывающие распространение волн шепчущей галереи в окрестности точки перегиба и точки распрямления вогнутой границы в главном члене высокочастотной асимптотики. Они представляют собой задачи рассеяния для нестационарного уравнения Шредингера, роль времени играет безразмерная координата Ь , пропорциональная длине дуги, границы. Доказано существование волнового оператора К,) при в этих задачах, откуда следует их корректность. При этом, однако, остается открытым вопрос о гладкости их решений. Как уже упоминалось, В.М.Бабичу и В.П.Смышляеву удалось доказать, что решение задачи (1.10)-(1.12) о точке перегиба границы является бесконечно дифференцируемым по х , ~Ь . При этом существенным образом используется построенное в § 5 формальное асимптотическое разложение при Ъ о . не вызывает сомнения, что на этом же пути может быть доказана гладкость решения задачи (1.28) -(1.30) с точкой распрямления вогнутой границы.

Интерес представляет исследование последующих членов асимптотического разложения при Ь) в этих задачах. Для них возникает рекуррентная последовательность задач рассеяния с неоднородным уравнением Шредингера.

2. С помощью метода конечных разностей построено численное решение сформулированных задач. Проведенные расчеты при различных параметрах разностной схемы показывают, что используемый метод позволяет вычислять волновое поле в тех областях, где оно не слишком мало. Результаты вычислений, представленные в виде теневых рисунков, в наглядной форме демонстрируют процесс разрушения волны шепчущей галереи в окрестности рассматриваемых точек границы. В задаче с точкой перегиба волновое поле "отрывается" от границы при Ь и основная его энергия уходит приблизительно в направлении предельного луча. В задаче с точкой распрямления границы характерной чертой в поведении волнового поля является возникновение интерференционной картины при .

Это означает, что одна набегающая волна порождает за точкой распрямления серию волн шепчущей галереи. Предложен метод расчета коэффициентов возбуждения этих волн, опирающийся на метод конечных разностей, и вычислены первые пять из них для набегающих волн с номерами I и 2. Можно было ожидать, что с наибольшей энергией возбуждается волна шепчущей галереии того же номера, что и набегающая. Проведенные расчеты показывают, что это не так; оказывается, что наибольшая часть энергии как первой, так и второй волны переходит в первую волну шепчущей галереи за точкой распрямления границы. Модули коэффициентов возбуждения при'Ш=2 зависят от номера И не монотонно. Интересно отметить, что в качественном отношении вычисленные коэффициенты ведут себя так же, как соответствующие элементы ( и ) матрицы ч / 2. рассеяния в точно решаемой задаче с потенциалом О(х^) =1 С.

С увеличением номера набегающей волны шепчущей галереи усложняется проведение расчетов методом конечных разностей в связи с необходимостью увеличения числа узлов сетки по х .С другой стороны, поскольку не удается построить решение задач в явном виде, численные методы остаются единственными приемами для получения важных с физической точки зрения результатов. Поэтому актуальным являеъ-оя дальнейшее развитие и усовершенствование численных методов решения этих задач.

3. Показано, что в задаче с точкой перегиба границы при ограниченных Ь и х-* возникает зона каустической тени, где волновое поле мало, и построено формальное асимптотическое разложение решения в этой области. Асимптотика (5.27) пригодна и при [ ос , но при этом должно быть X >> £ £ ** .В действительности, асимптотика построена в более широкой области: Х>? ¿ЩЖ , где сГ>0 и может быть сколь угодно мало. Для этого, как отмечено в § 5, нужно сохранить под знаком экспоненты егр^б б" ($"*.)] достаточно большое число членов разложения по степеням £ = функции СТ(<Г*) , см. формулы (5.18), (5.17). Следует отметить, что построенная асимптотика имеет простой вид и не содержит неопределенных постоянных, она определяется целиком по асимптотике (5.6) при ~Ь . В недавней работе В.М.Бабича и В.П.Смышляева^н] построено формальное асимптотическое разложение решения в более широкой области, но также в каустической тени, т.е. где поле экспоненциально мало. Она сращивается с асимптотикой (5.6), полученной автором при , и при ограниченных и х-* совпадает с разложением (5.27).

Интересной задачей является оправдание асимптотики в зоне каустической тени.

4. В задаче с точкой перегиба построена асимптотика рассеянного поля на больших расстояниях от границы. Она имеет вид лучевого разложения, связанного с семейством лучей, касающихся выпуклой части границы, и содержащим предельный луч. Коэффициенты в этом разложении являются функционалами от тока на границе и остаются поэтому неизвестными. Однако в комбинации с численным решением задачи эта асимптотика позволяет эффективно описать рассеянное поле на больших расстояниях от границы. Проведенные расчеты первого из этих коэффициентов показывают, что основная энергия поля рассеивается за предельным лучом со стороны выпуклой части границы. На диаграмме направленности рассеянного поля имеются медленные осцилляции, число максимумов совпадает с номером набегающей волны шепчущей галереи. Описание рассеянного поля при + оо представляет, пожалуй, наибольший интерес в данной задаче. На его формирование существенное влияние оказывает поведение тока в окрестности точки перегиба.

Асимптотика построена в предположении, что ток при ~Ь убывает сверхстепенным образом. Это предположение представляется естественным, но требует доказательства. Большой интерес в данной задаче представляет также переход к волнам соскальзывания, которые возникают при ~Ь + оо в ЗСШе тени. Для этого нужно построить асимптотику точка при ^ что остается пока нерешенной задачей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Попов, Михаил Михайлович, 1984 год

1. Алексеев A.C., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. - В кн.: Вопросы динам, теории распр. сейсмических волн, 1961, т.5, с.3-24.

2. Алексеев A.C., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела. В кн.; Вопросы динам, теории распр. сейсмических волн, 1959, т.З, с.107-160.

3. Азбель И.Я., .Дмитриева Л.А., Яновская Т.Б. Методика расчета геометрического расхождения в трехмерно-неоднородной среде.-В кн.: Вычислительная сейсмология, вып. 13, М., Наука, 1980, с.26-40.

4. Азбель И.Я., .Дмитриева Л.А., Яновская Т.Б. Алгоритмы и программы для решения прямых задач кинематики и динамики сейсмических волн в трехмерно-неоднородных средах. АН СССР, Кольский филиал, Апатиты, 1980, 57 с.

5. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. Докл. АН СССР, 1956, т.НО, № 3, с.355-357.

6. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды.

7. В кн.: Вопрооы .динам, теории распр. сейсмических волн, 1961, т.5, с.36-46.

8. Бабич В.М. О пространственно-временном лучевом методе в теории упругих волн. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1979, № 2, с.3-13.

9. Бабич В.М., Алексеев A.C. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов. Изв. АН СССР, сер. Геофиз., 1958, № I, с.17-31.

10. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., 1972, 456 с.

11. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Метод возмущений в теории распространения волн. В кн.: Теория распространения волн в неоднородных и нелинейных средах, т.З, изд-во ИРЭ, М., 1979, с.26-143.

12. Бабич В.М., Кщшичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л., 1974, 124 с.

13. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн. В кн.: Механика деформируемого тела (Итоги науки и техники), 1977, т.10, с.5-62.

14. Бабич В.М., Панкратова Т.Ф. О разрывах функции Грина смешанной задачи для волнового уравнения с переменным коэффициентом. В кн.: Проблемы математической физики, вып.6, изд-во ЛГУ, Л., 1973, с.9-27.

15. Бабич В.М., Смышляев В.П. О задаче рассеяния для уравнения Шредингера в случае линейного по времени и координате потенциала. I Асимптотика в зоне тени. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1984, т.140, с.6-17.

16. Бабич В.М., Улин В.В. Комплексные лучевые решения и собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.104, с.6-13.

17. Сб. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М., 1968, 382 с.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., Наука, 1974, 295 с.

19. Белоносова A.B., Таджимухамедова С.С., Алексеев A.C. К расчету годографов и геометрического расхождения лучей в неоднородных средах. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, Новосибирск, Наука, 1967, с.124-136.

20. Белоносова A.B., Цецохо В.А. Вычисление геометрического расхождения в декартовых координатах. В кн.: Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1979, с.5-19.

21. Белоносова A.B., Цецохо В.А. К вопросу о вычислении геометрического расхождения в нео,дноро,дных средах с гладкими границами раздела. В кн.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений, Новосибирск, 1980, с.14-24.

22. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1957, 502 с.

23. Булдырев B.C. Поле тотечного источника в волноводе. Труды МИАН, 1971, т.115, с.78-102.

24. Булдырев B.C. Распространение волн шепчущей галереи над вогнуто-выпуклой границей. В кн.: Краткие тезисы докладов.

25. УШ Всесоюзный симпозиум по .дифракции и распространению волн., т.1, М., 1977, с.33-36.

26. Булдырев B.C., Грикуров В.Э., Саликов С.П. Горизонты прямой видимости и границы применимости метода нормальных волн при сверхрефракции. Радиотехника и электроника, 1979, т.24,7, с.1323-1331.

27. Булдырев B.C., Ланин А.И., Янсон З.А. Вычисление поля на оси симметричного волновода. В кн.: Вопросы динам, теории распространения сейсмических волн, 1974, т.14, с.84-93.

28. Булдырев B.C., Ланин А.И. Поле излучения волн шепчущей галереи нал вогнуто-выпуклой границей. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.104, с.49-65.

29. Булдырев B.C., Ma слова Г.Н. Отражение модулированной волны от .движущейся поверхности произвольной формы. В кн. : Волны и дифракция, краткие тезисы докладов Ш Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн., т.З, M., 1981, с.280-283.

30. Гельфант И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. M., 1961, 228 с.

31. Гельчинский Б.Я. Формула для геометрического расхождения. -В кн.: Вопросы динам, теории распространения сейсмических волн, 1961, т.5, с.47-53.

32. Гольдин C.B. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн. М., Наука, 1979, 304 с.

33. Грикуров В.Э. Явление перекрытия прикаустических зон в приповерхностном волноводе и связанное с ним обобщение лучевого метода. Изв. вузов Радиофизика, 1980, т.23, № 9, с.1038-1045.

34. Еременко В.А., Черкашин Ю.Н. К развитию метода параболического уравнения для расчета волновых полей в неоднородных средах. Краткие тезисы докладов УШ Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. M., 1981, т.2, с.257-260.

35. Зверинский К.Н. О геометрии поверхности фронта волны и лучевом расхождении. Препринт 122, ВЦ СО АН СССР, 1978, 14 с.

36. Като Т. Интегрирование эволюционного уравнения в банаховомпространстве. Сб. переводов Математика, 1958, т.2, № 4, с.117-135.

37. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М., 1972, 740 с.

38. Качалов А.П., Попов М.М. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчета высокочастотных волновых полей.-Докл. АН СССР, 1981» т.258, В 5, с.1097-1100.

39. Качалов А.П., Попов М.М. Применение гауссовых пучков в изотропной теории упругости. Препринт ЛОМИ Р-9-82, Л., 1982, 14 с.

40. Качалов А.П., Попов М.М., Пшенчик И. О применимости метода суммирования гауссовых пучков к задачам с угловыми точками на границах. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983, т.128, с.65-71.

41. Киселев А.П. О начальных данных для лучевых формул, описывающих поля точечных источников в неоднородных упругих средах. В кн.: Воцросы динам, теории распространения сейсмических волн, 1975, т.15, с.6-27.

42. Кириллов В.В. Риманова геометрия в задаче об определении амплитуды волнового поля методом геометрической оптики. -В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн, вып. 17, изд-во ЛГУ, 1979, с.101-121.

43. Кирпичникова Н.Я. О построении сосредоточенных вблизи лучей решений уравнений теории упругости для неоднородного изотропного пространства. Труды МИАН, 1971, т. 115, с.ЮЗ-ПЗ.

44. Кирпичникова Н.Я. О распространении сосредоточенных вблизи лучей поверхностных волн в неоднородном упругом теле произвольной формы. Труды МИАН СССР, 1971, т.115, с.114-130.

45. Кирпичникова H.H., Попов М.М. Отражение пространственно-временннх лучевых амплитуд от .движущейся границы. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 1983, т.128, с.72-88.

46. Класс В.А., Красильников В.Н. Коротковолновая асимптотика поля, отраженного от сферы или цилиндра с изменяющимися во времени радиусами. Изв. вузов,Радиофизика, 1976, т. 19,2, с.244-255.

47. Кравцов Ю.А., Орлов В.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М., Наука, 1980, 304 с.

48. Красильников В.Н., Лутченко Л.Н. Принцип кажущегося положения границы раздела и обобщение отражательных формул В.А.Фока на случай движущихся поверхностей. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн, вып.ХП, ЛГУ, 1973, с.150-158.

49. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973, 407 с.

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963, 702 с.

51. Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн. Изв. АН СССР, сер. физ., 1944, т.8, 16 I, с.16-22.

52. Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М., изд-во МФТИ, 1982, 159 с.

53. Льюис Р. Формальная теория бегущей волны. В кн.: Квазиоптика. Избранные доклады на международном симпозиуме. М. ,Мир, 1966, с.80-118.

54. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. М., изд-во МГУ, 1965, 549 с.

55. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение .для- 262 Iуравнений квантовой механики. М., Наука, 1976, 296 с.

56. Материалы количественного изучения динамики сейсмических волн Т.2, Л., Наука, 1957, 153 с.

57. Панкратова Т.Ф. О собственных колебаниях в кольцевом резонаторе. Векторная задача. Зап. научн.семин.ЛОМИ, 1969, т.15, с.122-141.

58. Петрашень Г.И. Элементы динамической теории распространения сейсмических волн. В кн.: Вопросы динам, теории' расцростра-нения сейсмических волн. Л., 1959, т.З, с.11-106.

59. Попов М.М. Собственные колебания многозеркальных резонаторов. Вестник ЛГУ, 1969, вып.4, № 22, с.42-54.

60. Попов М.М. Об одном методе вычисления геометрического рас-ховдения в неоднородной среде, содержащей границы раздела.-Докл. АН СССР, 1977, т.237, £ 5, с.1059-1062.

61. Попов М.М. Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном приближении. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.104, с.195-216.

62. Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков в изотропной теории упругости. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1983, £ 9, с.39-50.

63. Попов М.М. К задаче о волнах шепчущей галереи в окрестности простого нуля эффективной кривизны границы. Зап.научн.семин. ЛСМИ, 1976, т.62; с.197-206.

64. Попов М.М. Корректность задачи о волнах шепчущей галереи в окрестности точек распрямления границы. Зап.научн.семин. ЛСМИ, 1979, т.89, с.261-269.

65. Попов М.М. Примеры точно решаемых задач рассеяния для параболического уравнения теории дифракции. Зап.научн.семин.

66. ЛОМИ, 1978, т.78, с.184-202.

67. Попов М.М. Волновое поле в каустической тени в окрестности точки перегиба границы. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1979, т.89, с.246-260.

68. Попов М.М. Шепчущая галерея в окрестности точки перегиба границы. Асимптотика волнового поля при 00 . Зап. научн.семин.ЛОМИ, 1984, т.140, с.151-166.

69. Попов М.М., Красавин В.Г. Коэффициенты возбуждения волн шепчущей галереи в окрестности точки расцрямления вогнутой границы. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1980, т.99, с.138-145.

70. Попов М.М., Красавин В.Г. Диаграмма направленности излучения в задаче с точкой перегиба границы. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1984, т.140, с.167-173.

71. Попов М.М., Пшенчик И. Волны шепчущей галереи в окрестности точки перегиба границы. Докл.АН СССР, 1976, т.230, № 4, с.822-825.

72. Попов М.М., Пшенчик И. Численное решение задачи о волнах шепчущей галереи в окрестности простого нуля эффективной кривизны границы. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1976, т.62, с.207-219.

73. Попов М.М., Пшенчик И. Волны шепчущей галереи в окрестности точки расцрямления вогнутой границы. Зап.научн. семин.ЛОМИ, 1978, т.78, с.203-210.

74. Попов М.М., Тториков Л.Г. 0 двух подходах к вычислению геометрического расхождения в неоднородной изотропной среде. В кн.: Воцросы динам, теории распространения сейсмических волн, 1981, т.20, с.61-68.

75. Распространение волн и подводная акустика. Под ред. Дж.Б.Келлера и .йд.С.Пападакиса. М., Мир, 1980, 229 с.

76. Рихтмайер P.O. Разностные методы решения краевых задач. М., I960, 262 с.

77. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных охем. М., Наука, 1973, 407 с.

78. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.1У, М., 1958.

79. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.П, М., 1974.

80. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.Ш, часть I, М., 1967.

81. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.Ш, часть П, М., 1963.

82. Федорж М.В. Метод перевала. М., 1977, 368 с.

83. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М., 1968, 382 с.

84. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, М., 1970, 517 с.

85. Хенл: X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции, М., Мир, 1964, 428 с.

86. Яфаев Д.Р. Об асимптотическом поведении решений нестационарного уравнения Шредингера. Мат. сборник, 1980, т.ПК 153), № 2, с.187-208.

87. Chen К.С., Ludvig D. Calculation of wave amplitudes by ray tracing. J.Acoust.Soc.Am., 1973, v.54, p.431.85. £erveny V. Ray amplitudes in a three-dimentional iivhomogene-ous medium.- Studia geoph. et geod., 1976, v.20, p.401-406.V

88. Cerveny V. Syntethic body wave seismograms for laterally varying structures by the Gaussian beam method. Geophys. J.R.astr. Soc., 1983, v.73, p.389-426.V

89. Cerveny V., Hron F. The ray series method and dynamic ray tracing system for three-dimensional in^homogeneous media. -Bull, of the Siesmol.Soc.of America, 1980, v.70, N 1, p.47-77.y/ M v

90. Grikurov V.E., Popov M.M. Summation of Gaussian beams in a surface waveguide.- Wave motion, 1983 , v. 5, p.225-233.

91. Hubral P. A wave-front curvature approach to computing ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces.-Studia geoph et geod., 1979, v.23, p.131-140.

92. Kay I. New equation for the asymptotic field amplitude in a two-dimensional inhomogeneous medium.- J.Acounst.Soc.Am., 1961,v.33, p.1085.

93. Lazareva A.P., Yanovskaya T.B. The effect of the lateral velocity on the surface wave amplitudes.- Veroff.Zentr.Inst.Phys. Erde, 1975, N 31, p.433-440.

94. Pearcey T. The structure of an electromagnetic field in the neighbourhood of a cusp of a caustic.- Phil.Mag., 1946, v.37, p.311-317.

95. Popov M.M. A new method of computation of wave fields using Gaussian beams.- Wave motion, 1982, v.4, p.85-97.

96. Popov M.M., Psencik I. Ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces.- Geofyzikalni Sbornik XXIV (1976), Praha, 1978, p.111-129.

97. Popov M.M., Psencik I. Computation of ray amplitudes in inhomogeeous media with curved interfaces.- Studia geoph. et geod., 1978,v.22, p.248-258.v </ v

98. Popov M.M., Psencik I., Cerveny V. Uniform ray asymptotics for seismic wave fields in laterally inhomogeneous media.- EGS Meeting, Budapest, 1980.

99. Wesson R.L. A time integration method for computation of intensities of seismic rays.- Bull.Seism.Soc.Am., 1970, v.60,p.307.

100. Zahradnik J. On the possibilities of studing impulsive elastic waves in an inhomogeneous medium by the finite difference method.- Studia geoph. et geod, 1977, v.18, p.339-357.