Асимптотические методы расчета дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Харитонов, Сергей Иванович

• Харитонов, Сергей Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Харитонов, Сергей Иванович

Введение

1 Представление уравнений Максвелла в произвольной системе координат

1.1 Постановка задачи.

1.2 Математический аппарат.

1.2.1 Многомерные матрицы

1.2.2 Теория представлений.

1.2.3 Применение теории представления для решения операторных уравнений.

1.2.4 Дифракция на тонком слое в рамках скалярной теории (ТЕ-поляризация) и теория "вторичного представления"

1.2.5 Дифракция на периодической структуре (ТМ-поляризация)

1.3 Запись уравнений Максвелла в декартовой системе координат

1.4 Вычисление матричных элементов в случае непрерывного спектра

1.5 Пропагатор электромагнитного поля в свободном пространстве

1.6 Интегральные представления решений системы уравнений Максвелла в анизотропной среде.

1.6.1 Основные уравнения.

1.6.2 Интегральное представление для электрического поля в анизотропной среде.

1.7 Уравнения Максвелла в криволинейных координатах.

1.7.1 Основные формулы

1.7.2 Пример: решение уравнений для продольных компонент полей в параболической системе координат.

1.7.3 Пример: решение уравнений для продольных компонент полей в эллиптической системе координат.

1.7.4 Распространение в неоднородной среде

1.8 Метод связанных волн в криволинейной системе координат

Асимптотические методы расчета одномерных квазипериодических структур

2.1 Асимптотические методы для решения задач дифракции на непериодических структурах и принцип локализации (ТЕ поляризация)

2.1.1 Сведение задачи к интегральному уравнению (пространственно-частотное представление).

2.1.2 Решение в приближении геометрической оптики.

2.1.3 Регуляризация с помощью Гауссова пучка.

2.1.4 Решение интегрального уравнения для эталонного ДОЭ (вторичное представление)

2.1.5 Решение задачи дифракции на эталонном ДОЭ

2.1.6 Пример: расчет когерентного электромагнитного поля с помощью асимптотического метода для ТЕ поляризации

2.2 Асимптотические методы решения задач дифракции на непериодических структурах и принцип локализации (ТМ поляризация)

2.2.1 Сведение задачи к интегральному уравнению (пространственночастотное представление).

2.2.2 Решение интегрального уравнения для эталонного ДОЭ (вторичное представление ).

2.2.3 Решение задачи дифракции для эталонного ДОЭ

2.2.4 Пример: расчет когерентного электромагнитного поля с помощью асимптотического метода для ТМ- поляризации

2.2.5 Пример расчет электромагнитного поля в фокальной плоскости фокусатора в отрезок (отражающий фокусатор)

2.2.6 Пример расчет электромагнитного поля в фокальной плоскости фокусатора в прямоугольник (отражающий фокусатор)

Выводы к главе

3 Асимптотические методы расчета двумерных квазипериодических структур

3.1 Асимптотический метод решения системы интегродифферен

4 Распространение поляризованных пучков через радиально-симметричные циальных уравнений.

3.2 Общий подход к решению эталонной задачи дифракции

3.3 Поле на выходе радиально симметричного ДОЭ . Выводы к главе дрическим волнам.

4.1.1 Метод Релея-Зоммерфельда.

4.1.2 Решения системы уравнений Максвелла в однородной среде в цилиндрической системе координат

4.1.3 Матричное представление решений с определенным значением углового момента.

4.1.4 Разложение электромагнитного поля по функциям с определенным значением орбитального момента в случае непрерывного спектра.:

4.1.4.1 Случай радиальной поляризации.;

4.1.4.2 Случай линейной поляризации.

4.1.5 Разложение электромагнитного поля по функциям с определенным значением орбитального момента в случае дискретного спектра

4.2 Решение задачи дифракции волн с линейной поляризацией с помощью разложения по плоским волнам в цилиндрической системе координат.

4.2.1 Выражения для пространственно-частотных компонент

4.2.2 Выражения для электрического поля.

4.2.3 Пример: дифракция когерентного электромагнитного поля на оптическом элементе, формирующем каустическую линию в виде кольца.

4.3 Метод связанных волн в цилиндрической системе координат

4.3.1 Распространение волн с определенным орбитальным моментом в радиально симметричной среде.

4.3.2 Вычисление матричных элементов

4.3.3 Дифракция на ДОЭ с радиально симметричным распределением диэлектрической проницаемости

4.3.4 Уравнения внутри ДОЭ в асимптотическом пределе

4.3.5 Пример: фокусировка пучка с помощью ДОЭ, расположенного внутри волновода

Выводы к главе

Асимптотические методы расчета фокусаторов в плоские фокальные кривые

5.1 Фокусировка в кривые в рамках геометрической оптики

5.1.1 Фазовая функция фокусатора в криволинейной системе координат

5.1.2 Расчет распределения энергии вдоль линии фокусировки

5.1.3 Итерационный метод решения интегрального уравнения

5.2 Асимптотические интегральные методы расчета электромагнитного поля вблизи каустической линии (особых точек каустической поверхности)

5.2.1 Расчет поля от фокусатора в кольцо в окрестности фокальной линии

5.2.2 Фокусировка в кольцо обыкновенных и необыкновенных лучей .г.

5.2.3 Расчет фокусатора в отрезок.

5.2.4 Расчет поля вдоль отрезка с помощью асимптотического метода.

Выводы к главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы расчета дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена расчету дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах (ДОЭ), основанному на асимптотических методах решения системы уравнений Максвелла, и исследованию на этой основе фокусирующих свойств диэлектрических ДОЭ в широком диапазоне фокусных расстояний и апертур.

Актуальность темы Обзор методов расчета ДОЭ

Задача формирования изображений с заданным распределением интенсивности восходит к работам Gerchberg R.W., Saxton W.D., Fienup J.R [1-4]. В этих работах для формирования изображения предложено использовать голограммы, полученные с помощью компьютера. Bryngdahl О., Lee W.H. в своей работе [5], опубликованной в 1976 году, предложили устройство для сканирования лазерного пучка, в котором использовался голографический элемент, рассчитанный с помощью компьютера.

Появление оптических элементов данного класса было закономерным результатом развития методов цифровой голографии [6-10]. Оптические элементы, осуществляющие интегральные преобразования, предложены в работе [11].

Дифракционная компьютерная оптика развивается более 30 лет, начиная с основополагающих работ А. М. Прохорова, И.Н, Сисакяна, В.А. Сойфера [1226]. ДОЭ представляют собой пропускающие или отражающие пластинки, работающие на основе дифракции на оптическом микрорельефе. За прошедшие годы решены фундаментальные задачи фокусировки и селекции мод лазерного излучения, формирования бездифракционных пучков. ДОЭ нашли широкое применение в лазерных технологических установках, оптических устройствах хранения и записи информации.

Развитие лазерной техники и технологии привело к созданию новых оптических элементов, использование которых позволяло увеличить скорость, улучшить качество лазерной обработки материалов по сравнению с использованием систем линз и дефлекторов. Для решения целого класса практических задач, возникающих в лазерной технике, было предложено использовать фазовые оптические элементы, которые были названы фокусаторами [19-21,23]. Они позволяют сформировать требуемое распределение энергии в заданной области. Ключевой проблемой при создании фокусаторов является одновременное достижение высокой энергетической эффективности и точности формирования заданного распределения интенсивности. Были получены решения задач фокусировки в приближении тонкого оптического элемента и геометрической оптики.

Одним из первых был рассмотрен фокусатор в отрезок, лежащий на оси перпендикулярно к плоскости фокусатора [12], [23]. Использование оптических элементов с повышенной глубиной фокуса актуально для использования в лазерных проигрывателях компакт-дисков [27], для получения оптического разряда в газе [28], лазерных технологических установках [29], для ввода излучения в оптическое волокно[30-31], создания опорной световой линии в метрологии [32-33].

Особое внимание уделяется расчету радиалыю-симметричных ДОЭ [34- 39,40*,41/

Наряду со сферической линзой, фокусирующей свет в точку, широко применяются на практике оптические элементы, фокусирующие свет в кольцо. Имеется ряд работ, посвященных исследованию фокусировки в кольцо на основе ДОЭ с фазовыми функциями, полученными различными методами [34-36].

Далее появилось множество работ, посвященных фокусировке когерентного излучения в произвольную фокальную кривую в приближении геометриче

1 Символом * обозначены работы с участием авторл ской оптики [12-26]-[43-53*]. Фокальные кривые представляют собой огибающие семейства лучей. В данном приближении прохождение света через дифракционный оптический элемент описывается в рамках геометрической оптики, и кривая, в окрестности которой происходит фокусировка, представляется как полоса, имеющая нулевую ширину. Распределение энергии в фокальной области в этом случае характеризуется линейной плотностью. Понятие линейной плотности является математической абстракцией и не учитывает дифракционные эффекты.

Работы [48]-[49], [54] посвящены расчету фокусаторов когерентного излучения в набор кривых. Позднее появились работы по фокусировке монохроматического излучения в набор кривых, состоящих из дуг окружностей и отрезков прямой [48-49]. Решению задач фокусировки немонохроматического излучения в набор кривых посвящены работы [55*-57]. Доказательства теорем существования решения задачи фокусировки в произвольную фокальную кривую рассмотрены в работах [28]-[31].

Для решения различных задач лазерной технологии требуются оптические элементы, фокусирующие в различные двумерные области с заданным распределением интенсивности [57-60]. При попытке сфокусировать излучение в двумерную область задача резко усложняется, так как её решение сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных производных (уравнения Монжа-Ампера). В работах [59*-61*] приведено решение для случая фокусировки в прямоугольник с равномерным распределением интенсивности. Предложен численный метод решения уравнения Монжа-Ампера в случае фокусировки в более сложные области на базе решения задачи фокусировки в прямоугольник. Имеются работы, посвященные расчету ДОЭ, создающих заданное распределение интенсивности на двухмерной поверхности, поверхности вращения [62*].

Имеется также ряд работ, посвященных расчету дифракционных и френе-левских элементов, создающих заданную диаграмму направленности [54*,64*-65*].

Развитие методов расчета привело к появлению алгоритмов, учитывающих дифракционную ширину кривой. В работах [68*-76*] был предложен метод расчета фокусатора в фокальный отрезок на основе дифракционной аппроксимации оператора распространения света.

Кроме ¿методов расчета, основанных на приближении геометрической оптики, существует большое количество работ, основанных на различных итерационных алгоритмах [76*-94, 95*-98*]. Методы данного класса носят достаточно универсальный характер. Они позволяют рассчитать ДОЭ, фокусирующие в области сложной формы. Основное достоинство состоит в том, что эти методы легко поддаются алгоритмизации. Однако при реализации возникают трудности, связанные с многократным выполнением операции двумерного преобразования Фурье (или Френеля) для больших массивов данных. Кроме того, полученное решение не обладает достаточной степенью гладкости, что, в свою очередь, затрудняет изготовление ДОЭ.

Другой часто применяемый метод решения обратных задач фокусировки электромагнитного излучения заключается в решении исходного нелинейного интегрального уравнения, связывающего распределение интенсивности в фокальной плоскости с фазовой функцией оптического элемента, методом минимизации функционала невязки [92-94, 95 - 98 99-106].

Обзор методов расчета электромагнитных полей в оптике Аналитические методы

Использование ДОЭ для решения задач лазерной технолопш требует развития новых методов моделирования работы дифракционных оптических элементов. Аналитическое решение задач дифракции в терминах специальных функций возможно только для простейших случаев, например, дифракции на полуплоскости, щели в проводящем экране, проводящей ленте. Для расчета дифракции электромагнитных волн на шаре, цилиндре, эллипсоиде применяются методы, основанные на разделении переменных. Однако эти подходы эффективны для ограниченного класса задач.

Методы решения и результаты расчетов трехмерного распределения света в скалярном приближении для линзы приведены в классической работе [107]. Эти исследования позволили выявить тонкую структуру распределения интенсивности в окрестности фокальной плоскости. Аналогичные результаты имеются для фокусировки Гауссовых пучков.

Существует ряд работ, посвященных расчету дифракции на ДОЭ аналитическими методами: [39], [107, 108], [109*- 112*].

Они позволяют найти зависимость характеристик поля, таких как ширина фокальной линии, интенсивность на фокальной кривой и т. д. Эти методы используются в основном для расчета поля от ДОЭ, обладающих гладкой фазовой функцией, в рамках скалярной теории. Однако на практике ДОЭ имеют конечное число градаций фазы. Для того чтобы исследовать зависимость характеристик поля от числа уровней квантования, был разработан метод нелинейного предыскажения [54], [70*], [74*]. Этот метод применяется в рамках приближения тонкого оптического элемента, которое, в свою очередь, базируется на лучевом приближении для поля внутри ДОЭ. Приближение тонкого оптического элемента становится неприменимым в случае, когда ДОЭ представляет собой решетку с периодом, сравнимым с длиной волны. Нарушение применимости приближения тонкого элемента ведет за собой нарушение условий, при которых можно использовать приближение скалярной оптики.

Численные методы

В литературе принята следующая классификация методов расчета

- интегральные методы (Релея-Зоммерфельда, Кирхгофа, Кирхгофа-Котлера)

- дифференциальные,

- разностные,

- вариационные,

- дискретных источников,

- метод Т матрицы,

- метод множественных мультинолей,

- метод объемных интегральных уравнений.

Популярность интегральных методов основана на их возможности находить поле в пространстве, зная распределение тангенциальных компонент поля на некоторой поверхности. Существует несколько модификаций методов, основанных на этом принципе, например, метод Кирхгофа [107-108], интегральные представления Релея-Зоммерфельда [113] (для скалярных и векторных полей), формулы Стреттона-Чу, метод Кирхгофа-Котлера [113-115].

Метод Кирхгофа основан на решении скалярного уравнения Гельмгольца методом функций Грина

Для решения задачи этим методом следует выделить три области. Первая область - это область до оптического элемента. Поле в этой области полагается равным полю в отсутствие ДОЭ. Вторая область - это область внутри ДОЭ.

В этой области задача распространения света решается в приближении геометрической оптики (лучевой метод). В результате применения лучевого метода находится поле на выходе ДОЭ.

И, наконец, третья область - это область за ДОЭ-.

Поле в этой области находится непосредственно с помощью вычисления интеграла Кирхгофа [108-109] или Релея-Зоммерфельда [113]. Задача сводится к вычислению двумерного интеграла по плоскости, непосредственно прилегающей к ДОЭ.

Для дальнейшего повышения точности расчета необходимо вместо интегральных представлений решения уравнения Гельмгольца использовать соответствующие представления решений уравнений Максвелла. В этом случае для описания распространения света внутри ДОЭ необходимо использовать векторную геометрическую оптику.

Метод Стреттона-Чу [115] основан на использовании векторных формул Грина для векторного уравнения Гельмгольца.

Метод Кирхгофа-Котлера [116] основан на формулах Стреттона-Чу , но имеет некоторые особенности. Дело в том, что мы не можем произвольно задавать значения электрического и магнитного полей на некоторой поверхности. Если мы будем поступать таким образом, то можем получить решение, которое не удовлетворяет системе уравнений Максвелла. Это наблюдается, например, если заданное распределение тангенциальных компонент описывается разрывной функцией. Разрывность функции обеспечивается протеканием тока на границе области линейного тока. Учег влияния этого тока приводит к формулам Кирхгофа-Котлера, отличным от формул Стреттона-Чу.

Наиболее просто интегральные методы расчета (Кирхгофа, Релея-Зоммерфельда) реализуются в рамках скалярной теории для радиально-симметричных элементов. Этому посвящено много работ.

В статье [34] исследуется фокусировка в кольцо с помощью оптического элемента с бинарной фазовой структурой, который является дополнением к линзе. В статьях [35-36] было получено распределение интенсивности в фокальной плоскости (вблизи кольца) пары аксикон-линза. В работах [37,38] предложено несколько видов функций комплексного пропускания, описывающих оптический элемент с кольцевым импульсным откликом, получены интегральные представления для интенсивности светового поля в фокальной плоскости вблизи кольца.

Поле от ДОЭ с повышенной глубиной фокуса (фокусатор в отрезок на оптической оси) было впервые исследовано в работе [12]. В дальнейшем было предложено несколько вариантов расчета, совершенствования, исследования полей, формируемых радиально-симметричными ДОЭ [22, 32-39, 40*,41 - 43].

В работах Н.Л. Казанского и автора настоящей работы был проведен анализ дифракции когерентного излучения на различных ДОЭ [117,118, 119*134 ,135], в том числе ДОЭ с квантованной фазовой функцией, были разработаны методы решения задач дифракции при освещении ДОЭ некогерентным излучением.

Дифракция на апертурах различной формы и простейших ДОЭ в рамках электромагнитной теории рассмотрена в работах [136-140].

Результаты расчетов пространственного распределения поля от короткофокусных элементов, полученные в приближении геометрической оптики внутри ДОЭ, отличаются от результатов, полученных в рамках строгой электромагнитной теории. В этой связи методы расчета, основанные на лучевом приближении (а также скалярной теории дифракции), становятся неадекватными, что приводит к постановке задачи решения уравнений Максвелла в векторной форме. Это обусловливает актуальность расчета дифракции когерентного оптического излучения на ДОЭ в рамках строгой электромагнитной теории с учетом влияния толщины оптического элемента и дифракции "в теле" ДОЭ. В настоящее время наблюдаются тенденции к миниатюризации ДОЭ и интеграции их с другими оптическими и электронными компонентами различных устройств. Это также приводит к необходимости более детального описания дифракции оптического излучения на ДОЭ.

Различные численные методы решения уравнений Максвелла дают возможность анализа дифракции оптического излучения на ДОЭ. Разностный метод решения уравнений Максвелла для анализа дифракции на ДОЭ был первые применен в работах A. Taflove и Д.Л. Головашкина [141-145]. Достоинством этого метода является универсальность, а недостатком - вычислительная сложность алгоритма. Кроме того, метод не адаптирован для решения стационарных задач дифракции, рассмотренных в диссертации. Недостатком этих методов является необходимость искусственно ограничивать область, в которой рассчитывается поле. На границе выделенной области необходимо задавать искусственные граничные условия типа условий Берингера [142] или ограничивать область поглощающей средой с тензорными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Это, в свою очередь, приводит к увеличению размерности задачи. Решение уравнений Максвелла разностными методами для решеток рассматривалось в работах [144-145].

В отличие от разностных методов решения уравнений Максвелла, интегральные и вариационные методы не требуют конструирования сложных поглощающих граничных условий [146-154].

Вариационый метод, метод конечных элементов, метод Галеркина использовался в работах D.W. Prather и B.B. Котляра для решения двухмерных задач дифракционной оптики [146-154].

Вариационные методы в задачах с ограниченным объемом определяют решения уравнений Гельмгольца путем минимизации функционального соотношения. В работе [152-153] уравнение Гельмгольца решается с помощью метода конечных элементов Галеркина с использованием граничных условий сложного вида, что потребовало применения границы определенной формы. Его формулировка проста и может быть применена к произвольной неоднородной среде, однако он не включает в себя условия излучения Зоммерфельда.

В работе [154] представлен гибридный метод на основе метода конечных элементов, сформулированного через метод Ритца, и метода граничных элементов. В данном случае метод конечных элементов применяется для решения уравнения Гельмгольца во внутренней области неоднородного оптического элемента. Далее применяется интегральный метод и метод граничных элементов к области, внешней по отношению к оптическому элементу, где должны выполняться условия излучения. Решения, полученные для двух областей, сшиваются на границе оптического элемента. При этом должны выполняться условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей. Использование метода конечных элементов для определения поля внутри ДОЭ приводит к решению системы уравнений с трех-диагональной матрицей. Решение системы линейных уравнений с трехдиа-гональной матрицей требует меньше вычислительных ресурсов, чем методы, основанные на вычислении объемных интегралов [151].

Однако при использовании этих методов для решения векторных задач дифракции в 3-х мерном случае возникают трудности, связанные с увеличением размерности получаемых систем линейных уравнений.

Метод связанных воли (Rigorous Coupled Waves Analysis- RCWA), разработанный в работах R. Petit, M.G. Moharam, Т.К. Gaylord [155-162], изначально применялся для расчета дифракции только на периодических структурах. JI.JI. Досколович в своих работах использовал этот метод для исследования дифракции на непериодических ДОЭ [165*-166*]. В качестве базиса для представления электромагнитного поля в методе связанных волн используются Фурье-моды, соответствующие плоским волнам вне структуры. Данный базис не всегда является наилучшим, например, при описании дифракции на радиально-симметричных структурах. Классические методы RCWA имеют много недостатков, в особенности в задачах дифракции ТМ-поляризованной волны на металлических решетках. Однако в последнее время появились алгоритмы, лишенные недостатков. Это позволяет использовать метод связанных волн для решения многих практических задач дифракции на гетеро-структурах, содержащих металлические и диэлектрические периодические структуры с тензорными диэлектрической и магнитной проницаемостями. В отличие от сеточных методов и методов, основанных на интегральных уравнениях, методы связанных волн обладают меньшей вычислительной сложностью. Это, в свою очередь, снижает требования к вычислительной мощности используемых компьютеров. Недостатками метода являются сложность его применения в случае непериодической структуры, а также рост вычислительной сложности с увеличением размера апертуры.

Следует также отметить, что все изложенные методы не учитывают специфику задачи дифракции на ДОЭ, обладающим зонной структурой, позволяющей упростить решение задачи дифракции по сравнению с общим случаем.

В настоящее время разработан ряд эффективных методов и численных подходов к решению уравнений Максвелла в внутри наночастиц и наностуктур, которые позволяют найти плазмонные резонансы.

Краткая характеристика асимптотических методов в оптике

Асимптотические методы в оптике появились давно и прошли несколько стадий развития. Они обычно ассоциируются с приближением геометрической оптики, которое основано на замене решения волнового уравнения на решение уравнений эйконала и переноса. Эти уравнения были получены У. Р. Гамильтоном, доказавшим в 1834, что общее уравнение механики (уравнение Гамильтона - Якоби) но форме подобно оптическому уравнению эйконала. Асимптотические методы решения волновых уравнений были развиты в работах математиков В.П. Маслова и М.В. Федорюка [167-169]. Работы этих авторов были посвящены вычислению быстроосциллирующих интегралов методами стационарной фазы и перевала, тесно связанных с приближением геометрической оптики. Обычно в оптике указанные методы использовались для вычисления интеграла Релея-Зоммерфельда, который в свою очередь является интегральным представлением решения уравнения Максвелла в однородной среде. Метод, основанный на решении уравнений эйконала и переноса[170,171], впоследствии был распространен на решение задач дифракции вблизи неособых точек каустических поверхностей Бабичем В.М. и Булдыревым В.С [171]. Набор асимптотических методов, используемых в оптике, ограничивается этим списком. Сфера применения указанных методов существенно ограничена. Все они применимы для расчета дифракции в среде с медленно изменяющимся показателем преломления. Следует отметить, что все приведенные асимптотические методы, используемые для решения задач дифракции в оптике, были разработаны без учета специфики дифракции когерентного излучения на ДОЭ. Типичным представителем ДОЭ является зонная пластинка Френеля. ДОЭ можно также представить в виде набора дифракционных решеток с различным периодом и ориентацией штрихов, изменяющимся от точки к точке. Подход, основанный на локальной аппроксимации ДОЭ дифракционной решеткой, впервые предложен в работах Грейсуха Г.И., Ефимснко И.М., Степанова С.А. [172]. В работах этих авторов предлагается в рамках метода трассировки лучей рассчитывать направление и интенсивность лучей, прошедших через дифракционную решетку. В этом случае луч, падающий на элемент, расщепляется на несколько лучей. Интенсивность каждого из лучей вычисляется из строгой теории дифракции на одномерной дифракционной решетке. Однако строгого обоснования данного метода в работах указанных авторов нет.

Асимптотические методы в оптике играют исключительную роль при анализе волновых полей. Они обеспечивают хорошее качественное описание чрезвычайно широкого класса различных физических явлений. В оптике асимптотические методы можно разделить на несколько основных групп:

- основанные на лучевом методе;

- асимптотические методы для поиска собственных значений и функций;

- основанные на методе стационарной фазы и методе перевала;

- основанные на теории возмущений.

Построение асимптотических разложений с помощью лучевого метода [170] возможно только при соблюдении некоторых условий:

- якобиан перехода от декартовых координат х, у, г к лучевым координатам и, V, ( отличен от нуля;

- свойства среды меняются на расстоянии, сравнимом с длиной волны;

- освещающая волна имеет гладкий волновой фронт.

Если семейство лучей имеет огибающую линию, то якобиан преобразования становится равным нулю, и поэтому лучевой метод неприменим. В физике огибающую поверхность семейства лучей называют каустикой. Для волнового поля в окрестности каустики, не имеющей особых точек, удается получить асимптотическое разложение, содержащее функции Эйри [171]. Лучевой метод, дополненный некоторыми результатами, позволяет также находить асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений краевых задач, связанных с уравнением Гельмгольца. Простота и наглядность лучевого метода делают его незаменимым инструментом для расчета коротковолновых полей. Касаясь методов решения прямой задачи вычисления поля, нельзя обойти вниманием целый ряд работ, посвященных геометрической теории дифракции [173]. Эти работы были посвящены,получению коротковолновых асимптотических разложений для полей, однако все эти методы работоспособны вдали от каустических линий и фокальных точек. Подробное описание методов расчета поля вблизи каустических поверхностей приведено в книге [173]. В основном лучевой метод используется для расчета полей, созданных в результате прохождения света через различные преломляющие поверхности или в результате отражения от поверхностей сложной формы.

Лучевой метод, дополненный некоторыми результатами, позволяет находить асимптотические формулы для получения собственных функций и соответствующих собственных значений краевых задач, связанных с уравнением Гельмгольца. Лучевые представления для получения асимптотик собственных значений оператора Лапласа применены в работе Келлера и Рубинау [174-175]. Метод основан на предположении существования инвариантных относительно отражений конгруэнций лучей. Такие конгруэнции удалось найти в плоском случае для круга, сферы, эллипса, трехосного эллипсоида. К сожалению, метод Келлера-Рубинау в своем первоначальном изложении имеет очень ограниченную область применимости. Попытки применить этот метод в более общих случаях наталкиваются на принципиальные трудности, связанные с существованием зон неустойчивости решений.

Собственные функции, сосредоточенные в окрестности границы двумерной области, получили название собственных функций шепчущей галереи. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности луча (математического луча), инвариантного по отношению к отражениям, получили название собственных функций прыгающего мячика.

Оказывается, что асимптотика собственных функций шепчущей галереи и прыгающего мячика может быть получена с помощью метода, который представляет собой видоизменение метода Келлера-Рубинау.

Построение асимптотических разложений привело к созданию, так называемого, метода эталонных задач. Метод эталонных задач представляет собой обобщение на краевые задачи теории дифракции метода эталонных уравнений, который в настоящее время широко используется для получения асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений [167], [169]. В основе этого метода лежит утверждение: сходная геометрия лучей приводит к сходным асимптотическим формулам. Таким образом, если эталонное уравнение в асимптотической теории дифференциальных уравнений - это простейшее уравнение с теми же особенностями коэффициентов, что и у исходного уравнения, то эталонная задача в теории дифракции - это простейшая задача, в которой поле лучей обладает теми же особенностями, что и исходная задача. Схема метода эталонных задач состоит в следующем. Рассматриваемая исходная задача заменяется простейшей эталонной задачей, допускающей точное решение обычно с помощью метода разделения переменных. Точное решение исследуется в коротковолновом случае, и из него выделяется выражение, которое асимптотически описывает волновое поле в интересующей нас области, где поле лучей обладает специфическими для нас особенностями. Обычно это выражение представляет собой произведение специальных функций или контурный интеграл от специальных функций. Волновое поле в исходной задаче ищется в аналогичном виде, но с другими коэффициентами асимптотических рядов. Иными словами, найденное при исследовании эталонной задачи аналитическое выражение для волнового поля переносится на исходную задачу. Коэффициенты асимптотических рядов последовательно определяются при подстановке этого выражения в уравнение Гельмгольца и граничные условия исходной задачи. Чем больше найдено членов в асимптотических рядах, тем быстрее должна стремиться к нулю невязка в уравнении Гельмгольца и граничных условиях с ростом частоты освещающего пучка.

Методы, основанные на методе стационарной фазы и перевала [168], тесно связаны с интегральными методами, основанными на вычислении интеграла Кирхгофа [107-108], интеграла Релея-Зоммерфельда [113], формул Стретопа-Чу [115], интеграла Кирхгофа-Котлера [116] . В этом случае интегралы вычисляются методом стационарной фазы или перевала. Они представляют собой разновидности метода эталонных задач для вычисления быстро осциллирующих интегралов. Суть состоит в замене подынтегральной функции на эталонную, от которой интеграл берется аналитически. Комплексная подынтегральная функция представляется в виде произведения модуля и экспоненты от фазы. Фаза разлагается в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка в стационарной точке, где производная равна нулю. Функция модуля заменяется ее значением в стационарной точке. Полученные интегралы легко берутся аналитическими методами.

Однако, лучевой метод, а также метод стационарной фазы, можно использовать для расчета полей, создаваемых ДОЭ. Применение этих методов возможно при выполнении следующих условий:

- ДОЭ освещается волной с гладким волновым фронтом;

- точки пространства, в которых рассчитывается поле, находятся вдали от каустических поверхностей;

- поле на выходе ДОЭ описывается функцией с дважды дифференцируемой фазой.

Первое условие выполнимо практически всегда. Применимость второго условия обсуждалась выше. Третье условие нарушается в случае, когда оптический элемент рассчитывается с помощью итерационных алгоритмов типа Герчберга-Секстона, а также в случае ДОЭ с квантованными значениями фазы.

Методы, основанные на теории возмущений, можно подразделить на три класса:

- методы возмущения для уравнения эйконала в рамках лучевого метода;

- методы возмущения для нахождения траекторий в рамках лучевого метода;

- методы теории возмущения для нахождения поправок к собственным значениям.

Первые два используются в рамках приближения геометрической оптики. Третий - при решении задачи дифракции на периодической структуре в рамках метода связанных волн. Этот метод подразумевает решение системы линейных дифференциальных уравнений. Оно в свою очередь требует приведения матрицы к диагональному виду и поиск собственных значений.

В данном случае можно значительно упростить процедуру поиска собственных значений матрицы, если известны собственные значения и векторы матрицы со слабо отличающимися матричными элементами.

Резюмируя, подчеркнем, что во всех перечисленных работах:

1. Существующие интегральные методы вычисления полей, сформированные ДОЭ, основанные на интегралах Кирхгофа и Релея-Зоммерфельда, не позволяют учитывать распространение света внутри ДОЭ в рамках строгой электромагнитной теории. Поля внутри и на выходе ДОЭ рассчитываются в приближении геометрической оптики. Приближение геометрической оптики можно использовать только в случае, если размер зоны на ДОЭ намного больше длины волны освещающего пучка. В случае короткофокусных элементов, которые используются для острой фокусировки, размер зоны сравним с длиной волны и приближение геометрической оптики несправедливо.

2. Интегральные методы, основанные на вычислении интеграла Релея-Зоммерфел! применимы только для расчета поля в однородной среде. Их нельзя применить, даже если на пути находится многослойное покрытие или дифракционная решетка.

3. Методы связанных волн, разработанные для расчета полей от дифракционных решеток, трудно применить к решению задач, обладающих радиальной симметрией. Это связано с тем, что периодические структуры сложно описать в любой системе координат, кроме декартовой. Для решения задач требуется брать много членов разложения, и это, в свою очередь, требует больших вычислительных мощностей. Кроме того, поле от периодической структуры, периодом которой является исходный ДОЭ, отличается от поля, созданного одним периодом.

4. Методы, основанные на лучевом приближении, и методы, основанные на' вычислении интегралов Релея-Зоммерфельда, неприменимы в области каустических поверхностей. Фокальные кривые, созданные геометрооптически-ми фокусаторами, являются частным случаем вырожденных каустических поверхностей.

Цель работы

Целью работы является расчет дифракции когерентного электромагнитного излучения на диэлектрических ДОЭ на основе разработки приближенных методов решения уравнений Максвелла, которые должны учитывать зонную структуру микрорельефа ДОЭ и быть работоспособными в широком диапазоне фокусных расстояний и апертур.

Основные задачи

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1.Разработка асимптотического метода решения задач дифракции на квазипериодических структурах;

2.Создание модифицированного метода связанных волн для задач с произвольной симметрией;

3.Исследование дифракции на радиально-симметричных ДОЭ;

4.Разработка асимптотического метода для вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей;

5.Исследование дифракции вблизи особых точек каустических поверхностей. Научная новизна работы

1. Метод представления уравнений Максвелла в произвольной ортогональной системе координат позволяет получить решения системы уравнений Максвелла в единой форме для различных типов сред, включая неоднородные и анизотропные среды. Новизна состоит в переходе от системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, за счет разложения решения по базису в криволинейной системе координат.

2. Для решения задач дифракции в неоднородной среде предложен модифицированный метод связанных волн. Метод отличается тем, что решение системы уравнений Максвелла представлено в виде разложения по базису в криволинейной системе координат, отличному от базиса плоских воли, что обеспечивает снижение размерности решаемой задачи в несколько раз.

3. Для диэлектрических квазипериодических структур предложен асимптотический численно-аналитический метод, заключающийся в многократном решении задачи дифракции на одномерной решетке в конечном числе точек на апертуре ДОЭ и интерполяции на всей области. Метод позволяет представить поле в плоскости, непосредственно прилегающей к плоскости ДОЭ, в аналитической форме. Это обеспечило снижение вычислительной сложности решения задач дифракции.

4. Для радиально и линейно поляризованных волн, падающих на ДОЭ, впервые получены выражения для поля в плоскости, непосредственно прилегающей к плоскости радиально-симметричного оптического элемента.

5. Получены асимптотические представления для поля линейно поляризованной электромагнитной волны, прошедшей через оптический элемент, фокусирующий излучение в кольцо, основанные на вычислении спектра плоских волн в цилиндрической системе координат с использованием метода стационарной фазы. Полученные выражения впервые позволили проанализировать эффекты, связанные с деполяризацией падающего излучения и отсутствием радиальной симметрии в результирующем поле.

6. Впервые получено аналитическое представление эйкональной функции оптического элемента, фокусирующего излучение в произвольную кривую в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента. Представление позволяет получить выражение для эйкональной функции по известной функции раствора светового конуса лучей, приходящих в данную точку фокальной кривой.

7. Получено интегральное уравнение для определения функции раствора светового конуса лучей, приходящих в данную точку фокальной кривой, по известной функции линейной плотности энергии.

В пунктах 2-5 выражения отличаются от ранее полученных другими авторами в приближении геометрической оптики, поскольку, учитывают дифракцию внутри оптического элемента.

На защиту выносятся асимптотический метод решения задач дифракции на квазипериодических структурах; модифицированный метод связанных волн для задач с произвольной симметрией; результаты исследования дифракции на радиально-симметричных ДОЭ с учетом дифракции внутри оптического элемента, включая выявленное нарушение в фокальной области радиальной симметрии и деполяризацию входного пучка; асимптотический метод вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей; результаты исследования дифракции вблизи особых точек каустических поверхностей (фокальных кривых), включая зависимость дифракционной ширины фокальной кривой от длины слоя, формирующего поле в окрестности данной точки.

Практическая ценность работы

Асимптотические методы решения уравнений Максвелла доведены до простых выражений для поля на выходе оптического элемента. Сложная задача вычисления поля на выходе радиально-симметричного оптического элемента сведена к решению задачи дифракции на одномерной дифракционной решетке в конечном числе точек на апертуре. В работе получены простые выражения для декартовых компонент поля, прошедшего через радиально-симметричный дифракционный оптический элемент. Получены интегральные представления поля от радиально-симметричного оптического элемента в виде одномерных интегралов. Практическая ценность полученных результатов состоит в существенном (на порядок) сокращении времени расчета электромагнитного поля, формируемого оптическими элементами, по сравнению с разностными методами и классическим методом связанных волн. Получены простые выражения для эйконалыюй функции оптических элементов, фокусирующих излучение в окрестности произвольной кривой, лежащей в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента. Эти выражения позволяют легко рассчитать и изготовить соответствующие оптические элементы. Получены интегральные представления для компонент электрического поля вблизи фокальной кривой (вырожденной каустической поверхности). Интегральные представления для поля выражаются через одномерные интегралы, что снижает вычислительную сложность задачи на 1-2 порядка. Разработанные методы были использованы при проектировании и изготовлении 12 фо-кусаторов лазерного излучения и ряда оптических устройств, содержащих ДОЭ.

Достоверность работы

Достоверность полученных результатов обеспечивается физической адекватностью используемых математических моделей, корректностью математических выкладок и подтверждается сравнением с результатами численного расчета по методу связанных волн. Полученные аналитические выражения для дифрагированных полей в пределе переходят в известные решения скалярной теории дифракции. Результаты решения задач дифракции, полученные с помощью интегральных представлений, верифицировались путем удвоения числа узлов интегрирования. При этом отклонение результатов в среднем составляет не более 5%.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях. Всесоюзные совещания по компьютерной оптике (г. Москва, 1987; г. Сухуми, 1988 г.; г. Тольятти, 1990г.; г. Самара 1993 г.); Четвертый Европейский конгресс по оптике "ЕСО-4" (г. Гаага, Голландия, 1991); Конференция "Miniature and Micro-Optics and Micromechanics" (Сан-Диего, США, 14-15 июля 1993 г.); 5-ый Международный семинар по цифровой обработке изображений и компьютерной оптике "Image Processing and Computer Optics" (22-26 августа 1994, Самара); Международный симпозиум "Информационная оптика. Научные основы и технологии" (Москва, 27-30 августа 1997); Международная конференция "Математическое моделирование - 2001" (Самара: СГАУ, 2001); Международная конференция "Automation, Control, and Information Technology" (Новосибирск, 10-13 июня 2002); Международный оптический конгресс "Оптика - XXI век" (Санкт-Петербург, 20-24 октября 2008); Научно-практическая конференция "Голография в России и за рубежом. Наука и практика" (Киев, Украина, 1-2 июля 2009 г.); 6-ая международная конференция "0птика-2009" (Санкт-Петербург, 19-23 октября 2009 г.); научные семинары Института систем обработки изображений РАН, кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета. Результаты, изложенные в диссертации, использованы при выполнении хозяйственных договоров с ОАО "АВТОВАЗ", Исследовательским центром "ФИАТ" (Италия), "LG Electronics" (Южная Корея).

Связь с государственными программами

Результаты, изложенные в диссертации, получены при выполнении работ в рамках Российско-американской программы "Фундаментальные исследования и высшее образование" (BRHE), государственных контрактов с Федеральным агентством по науке и инновациям, с Федеральным агентством по образованию. Большинство результатов было получено при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (95-01-00562, 96-01-10021-ГФЕНА, 98-01-00894-а, 01-01-00097-а, 04-01-96517-р2004, 04-07-90149-в, 07-07-00210-а, 07-07-91580-асп-а, 07-07-97601-р-офи, 08-07-99005-р-офи, 09-07-12147-офи-м, 09-07-92421-кэ-а), грантов Президента РФ (НШ-7414.2010.9, НШ-1007.2003.01, НШ-3086.2008.9) и программы развития Национального Исследовательского университета - СГАУ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Приложения, списка использованных источников из 219 наименований, изложенных на 228 страницах, содержит 12 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Харитонов, Сергей Иванович

Выводы к главе 5

1. С использованием специальной системы координат, связанной со слоями на фокусаторе, получен общий вид эйкональной функции ДОЭ; фокусирующего когерентное электромагнитное излучений в произвольную фокальную кривую, лежащую в плоскости параллельной плоскости фокусатора. В качестве параметра эйкональная функция содержит функцию, представляющую собой угол раскрыва конуса световых лучей, приходящих в данную точку на фокальной кривой.

2. Получено асимптотическое выражение для линейной плотности вектора Умова-Пойтинга на фокальной кривой. Выражение имеет вид интегрального преобразования, которое в качестве параметра содержит функцию, представляющую собой угол раскрыва конуса световых лучей, приходящих в данную точку на фокальной кривой. Получено, что функция раскрыва конуса световых лучей определяет линейную плотность излучения на фокальной кривой. Это позволяет свести решение задачи фокусировки в кривую к решению интегрального уравнения.

3. Получены асимптотические представления для поля в фокальной плоскости фокусатора в отрезок. Результаты моделирования распределения интенсивности, формируемого ДОЭ, на основе непосредственного вычисления интеграла Релея-Зоммерфельда показали работоспособность предложенного асимптотического метода.

4. Разработан асимптотический метод вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей (фокальных кривых), исследована дифракция вблизи особых точек каустических поверхностей. Получена связь между длиной слоя на фокусаторе и дифракционной шириной фокальной кривой.

5. Получено выражение для эйкональной функции волнового фронта, имеющего каустику в виде кольца, которая образована необыкновенными лучами, распространяющимися в одноосной анизотропной среде.

6. Полученные результаты расчета были использованы при создании ряда фокусаторов, приведенных в приложении 1.

Заключение

В диссертации проведен расчет дифракции когерентного электромагнитного излучения на ДОЭ, базирующийся на разработанных асимптотических методах решения уравнений Максвелла с учетом зонной структуры микрорельефа. Методы позволили исследовать фокусирующие свойства диэлектрических ДОЭ с толщиной несколько длин волн в широком диапазоне фокусных расстояний и апертур с погрешностью не превышающей 5%.

Основными результатами работы являются:

1. Для решения задач дифракции в неоднородной среде предложен модифицированный метод связанных волн. Предложенный метод отличается тем, что решение системы уравнений Максвелла представлено в виде разложения по базису в криволинейной системе координат, отличному от базиса плоских волн.

2. Разработан асимптотический метод решения задач дифракции на квазипериодических диэлектрических структурах. Метод позволил свести решение задачи дифракции на диэлектрических квазипериодических структурах к решению задачи дифракции на одномерной дифракционной решетке и представить поле в плоскости, прилегающей к ДОЭ, в аналитической форме. Это обеспечило снижение вычислительной сложности решения задач дифракции на порядок.

3. Получены выражения для поля в плоскости, непосредственно прилегающей к плоскости оптического элемента, который обладает радиальной симметрией. Полученные выражения отличаются от аналогичных выражений, полученных в приближении геометрической оптики. Они учитывают дифракцию при распространении поля внутри оптического элемента.

4. Получены асимптотические представления для поля линейно поляризованной электромагнитной волны, прошедшей через оптический элемент, фокусирующий излучение в кольцо. Полученные выражения позволили проанализировать эффекты, связанные с деполяризацией падающего излучения и отсутствием радиальной симметрии в результирующем поле.

5. Получено аналитическое выражение эйкональной функции оптического элемента, фокусирующего излучение в произвольную кривую в плоскости, параллельной плоскости оптического элемента.

На основе полученных формул и приведенных исследований создан ряд ДОЭ и оптических устройств, содержащих ДОЭ.

6. Разработан асимптотический метод вычисления поля вблизи особых точек каустических поверхностей, исследована дифракция вблизи особых точек каустических поверхностей. Получена связь между длиной слоя на фокусаторе и дифракционной шириной фокальной кривой.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Харитонов, Сергей Иванович, 2010 год

1. Gerchberg R.W. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures / R.W.Gerchberg, W.D. Saxton. // Optik. 1972. - Vol.35. - R237-246.

2. Fienup J.R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform //J.R. Fienup / Opt. Lett., 1973. Vol.3, N 1. - P.27-29.

3. Fienup J.R. Iterative method applied to image reconstruction and to computergenerated holograms/ J.R. Fienup // Optical Engineering, 1980. Vol.19, N 3. - P.297-305.

4. Fienup J.R. Phase retrieval algorithm: a comparison /J.R. Fienup // Appl. Opt., 1982. Vol.21, N 15. - P.2758-2769.

5. Bryngdahl O. Laser beam scanning using computer generated holograms/O. Bryngdahl, W.H. Lee // Applied Optics. 1976. - Vol.15, N 1. - P. 183-194.

6. Case, S.K. Portioned holographic optical elements/S.K. Case, P.R. Haugen. // Optical Engineering. 1982. - Vol.21, N 2. - P.352-353

7. Ярославский, Л.П. Цифровая голография. /Л.П. Ярославский, Н.С. Мерзляков. // М.: Наука, 1982. 219 с.

8. Ярославский, Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику. /Л.П. Ярославский // М.: Радио и связь,- 1987. 296с.

9. Simpson, M.J. Diffraction pattern sampling using a holographic optical element in an imaging configuration/M.J. Simpson // Applied Optics. -1987. Vol.26, N 9. - P. 1786-1791.

10. Morkry, P. Unique applications of computer-generated diffractive optical elements/P. Morkry // Proceedings SPIE. 1989. - Vol.1052 "Holographic Optics: Optically and Computer Generated". - P.163-170.

11. Березный, A.E. Синтезированные фазовые элементы для интегральных преобразований когерентных оптических полей /А.Е. Березный, И.Н. Сисакян // Компьютерная оптика. 1989. Вып.4. - С.9-37.

12. Голуб, М.А. Фокусировка когерентного излучения в заданную область пространства с помощью синтезированных на ЭВМ голограмм / М.А. Голуб, C.B. Карпеев, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Письма в ЖТФ. 1981. - Т.7, вып.Ю. - С.618-623.

13. Голуб, М.А. Машинный синтез оптических компенсаторов для получения асферических волновых фронтов / М.А. Голуб, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Препринт ФИАН СССР N 29. М.: 1981.

14. Голуб, М.А. Машинный синтез фокусирующих элементов для С02-лазера /М.А. Голуб, В.П. Дегтярева, А.Н. Климов, В.В. Попов, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, Сойфер В.А. // Письма в ЖТФ. 1982. - Т.8, вып.13. -С.449-451.

15. Гончарский, A.B. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую / A.B. Гончарский, В.А.Данилов, В.В. Попов, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, В.В. Степанов // Доклады АН СССР. 1983. - Т.273, N 3. - С.605-608.

16. Данилов, В.А. Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы / В.А. Данилов, В.В. Попов, A.M. Прохоров, Д.М. Сагателян, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Письма в ЖТФ. 1982. - Т.8, N 13. - С.810-815.

17. Гончарский, А.В. Фокусаторы лазерного излучения, падающего под углом / А.В. Гончарский , В.А. Данилов , В.В. Попов, A.M. Прохоров, ■ И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, В.В. Степанов // Квантовая электроника (Москва). 1984. - Т.11, N 1. С.166-168.

18. Гончарский, А.В. Плоские фокусирующие элементы видимого диапазона. /А.В. Гончарский, В.А. Данилов, В.В. Попов, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер , В.В. Степанов // Квантовая электроника (Москва). 1986. -Т.13, N 3. - С.660-662.

19. Данилов, В.А. Теория когерентных фокусаторов /В.А. Данилов, Б.Е.Кинбер, А.Е.Шилов.// Компьютерная оптика. 1987. - Вып.1. - С.40-52

20. Голуб, М.А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики / М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Автометрия. 1988. - Вып 1. - С. 70-82.

21. Сойфер, В.А. К расчету фокусатора в соосный отрезок /В.А. Сойфер // Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев: КуАИ, 1988.- С.45-52.

22. Sisakian, I.N. Focusators computer generated optical elements /I.N. Sisakian, V.A. Soifer // Proceeding book of 1-st International Exhibition and Conference "Holographies 1990м. - P.99-100.

23. Soifer, V.A. Diffractive micro-optical elements with non-point response /V.A. Soifer, M.A. Golub // Proceedings SPIE. 1992. - Vol.1751. - P.140-154.

24. Sisakyan, I.N. Infrared focusators, new optical elements /I.N. Sisakyan, V.A.Soifer Infrared Physics. 1991. - Vol.32. - P.435-438.

25. Brenden, В.В. Optical playback apparatus focusing system for producing a pre-scribed energy distribution along an axial focal zone/B.B. Brenden, J.T.Russel // Applied Optics. 1984. - Vol.23, © 19. - P.3250-3253.

26. Tremblay, R. Laser plasmasoptically pumped by focusing with axicon a C02-TEA laser beam in a high-pressure gas / R. Tremblay, Y. D'Astons, G. Roy, M. Blanshard // Optics Communications. 1979. - Vol.28, N 2. - P.193-196.

27. Rioux, M. Linear, annular and radial focusing with axicons and applications to laser machining /М. Rioux, R. Tremblay, P.A.Belanger //Applied Optics.- 1978. Vol.17, N 10. - P.1532-1536.

28. Schweicher E. Introductory review to diffraction optics// Phis. Rev. X, 1985.-N. 1-16.

29. Swanson G., Veldkamp W. Binary lenses for use at 10.6 micrometers // Opt. Eng.-1985.- Vol. 24.-N. 5.-P. 791-795.

30. Kolodziejczyk A. The light sword optical element a new diffraction structure with extended depth of focus / A.Kolodziejczyk, S. Bara, Z. Jaroszewicz, M. Sypek // Journal of Modern Optics. - 1990. - Vol.37, N 8. - P.1283-1286.

31. Пальчикова, И.Г. Киноформные оптические элементы с увеличенной глубиной фокуса /И.Г. Пальчикова // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1989. - Вып.6. - С.9-19.

32. Fedotowsky, A. Optimal filter design for annular imaging /А. Fedotowsky, K. Lehovec // Applied Optics. 1974. - Vol. 13, N 12. - P.2919-2923.

33. Belanger, P.A. Ring pattern of a lens axicon doublet illuminated by a Gaussian beam /Р.А. Belanger, M. Rioux // Applied Optics. - 1978. - Vol. 17, N 7. - P.1080-1086.

34. Belanger, P.A. Diffraction ring pattern at the focal plane of a spherical lens- axicon doublet /Р.А. Belanger, M. Rioux // Journ. Canadien de Physique.- 1976. Vol.54. - P. 1774-1780.

35. Michaltsova, I.A. Kinoform axicon/ I.A. Michaltsova, V.I. Nalivaiko, I.S. Soldatenkov // Optik. 1984. - Vol.67, © 3. - P.267-270.

36. Казанский, Н.Л. Исследование дифракционных характеристик фокуса-тора в кольцо методом вычислительного эксперимента/ Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1992. - Вып.10-11. - С.128-144.

37. Doskolovich, L.L. Fociisators into a ring / L.L. Doskolovich, S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky, V.A. Soifer, G.V. Uspleniev // Optical and Quantum Electronics. 1993. - Vol.25. - P.801-814.

38. Khonina, S.N. Calculation of the focusators into a longitudinal line-segment and study of a focal area /S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // Journal of Modern Optics. 1993. - Vol.40. - P.761-769.

39. Гончарский, A.B. О существовании гладких решений в задачах фокусировки электромагнитного излучения /A.B. Гончарский, В.В. Степанов // Доклады АН СССР. 1984. - Т.279, N 4. - С.788-792.

40. Гончарский, A.B. Обратные задачи когерентной оптики. Фокусировка в линию /A.B. Гончарский, В.В.Степанов //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. - Т.26, N 1. - С.80-91.

41. Гончарский, A.B. Математические модели в задачах синтеза плоских оптических элементов /A.B. Гончарский // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1987. - Вып.1. - С.19-31.

42. Гончарский, А.В. Введение в компьютерную оптику./А.В. Гончарский ,

43. B.В. Попов, В.В. Степанов // М.: Изд-во МГУ, 1991.- 309 с.

44. Doskolovich, L.L. Focusators for laser-branding / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, G.V. Usplenjev // Optics and Lasers in Engineering.- 1991. Vol.15, N 5. - P.311-322.

45. Голуб, М.А. Математическая модель фокусировки излучения элементами компьютерной оптики /М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер // Научное приборостроение. 1993. - Т.З, N 1. - С.9-23.

46. Doskololovich, L.L. Design of Does for Focusing Different wavelengths/L.L. Doskololovich, M. Repetto. // Optical Memory and Neural Network. 2000.- Vol.9, N1. P. 13-23.

47. Досколович, JI. JI. Расчет дифракционных оптических элементов для фокусировки различных длин волн / Л.Л. Досколович // Автометрия. 2000.- Вып.З. С.99-108.

48. Farn, M.W. Effect of VLSI fabrication errors on kinoform efficiency /M.W. Farn, J.W. Goodman // Proceedings SPIE. 1990. - Vol.1211. - P. 1256-136.

49. Воронцов, M.A. Принципы адаптивной оптики. /М.А. Воронцов, В.И. Шмальгаузен М.: Наука, 1985. - 335с.

50. Воронцов, М.А. Оптимальное управление волновым фронтом в задачах фокусировки излучения в произвольную область /М.А. Воронцов, А.Н. Матевеев, В.П. Сивоконь // Доклады АН СССР. 1986. - Т.270, N 6. -С.1354-1358.

51. Воронцов, М.А. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении /М.А. Воронцов, А.Н. Матевеев, В.П. Сивоконь // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1987. - Вып.1. - С.74-79.

52. Turunen, J. Kinoform phase relief synthesis / J. Turunen, A. Vasara // Optical Engineering. 1989. - V. 28, N 11. - P.1162-1167.

53. Turunen, J. Stripe-geometry for two-dimensional Dammann gratings / J. Turunen, A. Vasara, J. Westerholm // Opt. Commun. 1990. - Vol. 74. -P.245-252.

54. Mait, J.N. Design of binary-phase and multiphase Fourier gratings for array generation / J.N. Mait // J. Opt. Soc. Am. A 1990. - Vol. 7, N 8. - P. 15141528.

55. Khonina, S.N. Fast Hankel transform for focusators synthesis / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // Optik. 1991. - V.88, N4. - P. 182-184.

56. Kotlyar, V.V. . Adaptive iterative algorithm for focusators synthesis/ V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky, V.A. Soifer // OpNtik. 1991. - Vol.88, N1. - P.17-19.

57. Kotlyar, V.V. Iterative computing of transmittance of optical elements focusing at a predetermined aria / V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky // Opt. Las. Eng. -1991. Vol.15, N 5. - P.323-330.

58. Morrison, N.L. Beam array generation and holographic interconnections in a free-space optical network/ N.L. Morrison , S.L. Walker , T.J. Cloonan // Applied Optics. 1993. - Vol.32. - P.2512-2518.

59. Yang, G. Iterative optimization approach for the design of diffractive phase elements simultaneously implementing several optical functions/ G. Yang, B. Gu, X. Tan, M.-P. Chang, B. Dong, O.K. Ersoy // J. Opt. Soc. Am. A. -1994, Vol.11. -P. 1632-1640.

60. Chang, M.P. Iterative optimization of diffractive phase elements simultaneously implementing several optical functions /M.P. Chang, O.K. Ersoy, B. Dong, G. Yang, B. Gu. I// Appl. Opt. 1995, Vol.34. -P. 3069-3076.

61. Soifer V. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich Taylor&Francis LTD, 1997.- 244 p.

62. Казанский, Н.Л. Процедура корректировки фазовой функции фокуса-тора по результатам вычислительного эксперимента /Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1987. - Т.1. - С.90-96.

63. Doskolovich, L.L Analysis of quasiperiodic and geometric optical solutions of the problem of focusing into an axial segment / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer, A.Ye. Tzaregorodtzev // Optik. 1995. - Vol.101, N 2. - P.37-41.

64. Досколович, Л.Л. Анализ квазипериодических и геометрооптических решений задачи фокусировки в продольный отрезок /Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, А.Е. Царегородцев // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, 1996. - Вып.16. - С.4-8.

65. Johnson, E.G.Microgenetic-algorithm optimization methods applied to dielectric gratings / E.G. Johnson, M.A.G Abushagur // Journal of Optical Society of

66. America A. 1995. - Vol.12,N5. - P.1152-1160.

67. Zhou, G. Genetic local search algorithm for optimization design of diffractive optical elements / G. Zhou, Y. Chen, Z. Wang, II. Song. // Applied Optics. 1999. - Vol.38, N 20. - P.4281-4290.

68. Kotlyar V. V., Nesterenko D. V. Design of subwavelength binary microoptics using a gradient optimization method // Proceedings of SPIE. -2001. -Vol. 4436. -P. 171-178.

69. Котляр В. В., Нестеренко Д. В. Градиентный метод оптимизации в задаче синтеза бинарной микрооптики // Известия СНЦ РАН. 2001, -Том. 3. -N1. - С. 104-110.

70. Борн М. Основы оптики: Пер. с англ./М. Борн, Э. Вольф.- М.: Наука, 1973,- 720 с.

71. ИЗ. Зоммерфельд А. Оптика: Пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1953. -486 с.

72. Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering theory // New York: John Wiley&Sons, 1983.-308p.

73. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики.- М.: Высшая школа, 1991. -223 с.

74. Виноградова М.В. Теория волн/М.В. Виноградова О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. -М.: Наука, 1979.-306 с.

75. Голуб М.А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики / М.А Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Автометрия. 1988. - N 1. - С. 70-82.

76. Kazanskiy N.L. Investigation of Lighting Devices Based on Diffractive Optical Elements / N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, V.A. Soifer, A.V. Volkov // Optical Memory & Neural Networks, 2000, vol. 9, 4, pp. 301-312

77. Hirayama К., Glytsis E. N., Gaylord Т. K. and Wilson D.W. Rigorous electromagnetic analysis of diffractive cylindrical lenses // Journal of Optical Society of America. 1996,- Vol. 13.-P. 2219-2231.

78. Marathay S. Vector diffraction theory for electromagnetic waves / S. Marathay, J. F. McCalmont // J. Opt. Soc. Am. A 18, 2585-2593 (2001).

79. Marathey, A.S. On the usual approximation used in the Rayleigh-Sommerfeld diffraction theory/A.S. Marathey J.F. McCalmont// J. Opt. Soc. Am. -21.-P. 510-516

80. Romero, J. A. Vectorial approach to Huygenss principle for plane waves: circular aperture and zone plates /J. A. Romero, L. Hernndez //J. Opt. Soc.Am. -2006. -A 23. -P. 1141-1145 .

81. Romero, J. A. Diffraction by circular aperture an application of the vectorial theory of Huygens principle in the near field / J. A. Romero, L. Hernndez,// J. Opt. Soc. Am. A 25, 2040-2043 (2008).

82. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Arthech House Publishers, Boston, 2nd ed., 2000, 852 p.

83. Berenger Jean-Pierre. A perfectly matched layer for the absorption of electromagne waves // Journal of computational physics, 1994, N. 114. P. 185-200.

84. Yee K. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media// IEEE Trans. Antennas Propag., 1966, AP-14, p. 302-307.

85. Головашкин Д. JI. Дифракция Н-волны на двумерной диэлектрической решетке// Математическое моделирование. 2004. -Т. 16, N 9. - . С. 83-91.

86. Головашкин Д. Л. Дифракции Н-волны на двумерной идеально проводящей решетке // Математическое моделирование. 2005. Т.17. N 4. С. 53-61.

87. Mirotznik М., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // Journal of Modern Optics. -1996. Vol. 43. - N. 7. - P. 1309-1321.

88. Prather D., Shi S. Combined scalar-vector method for the analysis of diffractive optical elements // Opt. Eng.-2000.- Vol. 39.-N. 7.-P. 1850-1857.

89. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. -512 с.

90. Prather D. W., Shi S., Bergey J. S. Field stitching algorithm for the analysis of electrically large diffractive optical elements // Optical Letters.-1999.- Vol. 24.-N. 5.-P. 273-275.

91. Lichtenberg В., Gallagher N. Numerical modeling of diffractive devices using the finite element method // Optical Engineering. -1994. Vol. 33, No. 11. -P. 3518.

92. Prather D. W., Mirotznik M. S., Mait J. N. Boundary integral methods applied to the analysis of diffractive optical elements // Journal of Optical Society of America. 1997.- Vol. 14.-P. 34-43.

93. Kotlyar V. V., Nesterenko D. V. A finite element method in the problem of light diffraction by micro-optics // Optical Memory and Neural Networks. -2000. -V. 9, N 3.- P. 209-219.

94. Kotlyar V. V., Nesterenko D. V. Analysis of light diffraction by binary micro-optics using a combination of boundary element method and finite element method // Proceedings of SPIE. -2001. -Vol. 4242. -P. 125 132.

95. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics, 22, Ed. by R.Petit, N.Y.: Verlag: Springer, 1980.-500 p.

96. Moharam, M.G. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings / M.G. Moharam, Т.К. Gaylord. // Journal of OptiNcal Society of America A. 1982, V.72, N 10. - P.1385-1392.

97. Pommet, A.D. Limits of scalar diffraction theory for diffractive phase elements / A.D. Pommet, M.G. Moharam, E.B. Grann // Journal of Optical Society of America A. 1994. - Vol.11, N 6. - P. 1827-1824.

98. Leger, J.R. Diffractive optics: an introduction to the feature issue /J.R. Leger, M.G. Moharam, T.K.Gaylord // Applied Optics. 1995. - Vol.34, N 14. -P. 2399-2400.

99. Moharam, M.G. Diffractive optics modeling: Introduction /M.G. Moharam, T.K. Gaylord, J.R. Leger // Journal of Optical Society of America A. 1995. - Vol.12, N5. P. 1026

100. Moharam, M.G. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach / M.G. Moharam and other. //J. Opt. Soc. Am. A. 1995. Vol. 12(5). - p. 10771086.

101. Li, L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures / L. Li // J. Opt. Soc. Am. A. -1996. Vol. 13(9) - p. 1870-1876.

102. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений./ В.П. Маслов-М.: Наука, 1988. -378 с.

103. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. /М. В. Федорюк -М.: Наука, 1987. 544 с.

104. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

105. Кравцов Ю.А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю.А Кравцов, Ю.И Орлов ~М. Наука 1980.

106. Бабич В.М. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн /В.М. Бабич, B.C. Булдырев М.: Наука, 1972.- 456 стр.

107. Грейсух Г.И., Ефименко И.М., Степанов С.А. Оптика градиентных и дифракционных элементов. -М.: Радио и связь, 1990 136 с

108. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. -М.: Связь, 1978.- 248 с.

109. Rubinow, S. I. Asymptotic solution of the Dirac equation/S. I. Rubinow, J. B. Keller// Phys. Rev.- 1963.-V.2.- P.131.

110. Dirac Р.А.М. Principles of Quantum Mechanics. /Dirac P.A.M. Oxford, 1958.- p 324.

111. Боголюбов H.H. Квантовые поля/ H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков.-М.: Физматлит, 1992,- 321 с.

112. Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. Квантовая механика/Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц -М.: Физматлнт, 2004.- 800 с.

113. Veldkamp W. B. High efficiency binary lenses/G. C. Swanson, D. C. Shaver // Optics Commun. -1984. V5 (6). - P. 353-358

114. Leger J.R. Coherent addition using binary phase gratings /J.R. Leger, G.J. Swanson W.B. Veldkamp// Applied Optics.- 1987. V26. -P. 4391-4399

115. Vahimaa, P. Electromagnetic analysis of nonparaxial Bessel beams generated by diffractive axicon / P.Vahimaa, V. Kettunen, M.Knittmm, J.Turunen // J.Opt.Soc.Am. A. 1997. - Vol. 4. -N 8. - P.1817-1824.

116. Khonina, S.N. Astigmatic Bessel laser beams / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, K. Jefimovs, P. Paakkonen, J. Turunen //Journal of Modern optics. 2004. -V 51(5). - P. 677-686 .

117. Khonina, S.N. Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements/S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, R.V. Skidanov, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J. Simonen, J. Turunen // Journal of Modern optics. -2004. -V51(14). P. 2167-2184 .

118. Skidanov, R.V. Micromanipulation in Higher-Order Bessel Beams/ R.V.Skidanov, V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.V. Volkov, V.A. Soifer // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). -2007. V. 16(2).- P. 91-98 .