Линейные и нелинейные двух и трехмерные динамические задачи теории упругости и магнитоупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Сафарян, Юрик Сережаевич

• Сафарян, Юрик Сережаевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сафарян, Юрик Сережаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАГНИТОУПРУГИХ ПЛАСТИН В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ОСРЕДНЕННОЙ

ПОСТАНОВКЕ.

§1.1. Введение

§1.2. Пространственная задача для поперечного магнитного поля.

§1.3. Уравнение частот для поперечного поля в осредненной постановке.

§1.4. Уравнение для частот свободных колебаний магнитоупругих пластин в продольном магнитном поле.

§1.5. Уравнение частот для продольного поля в осредненной постановке.

§1.6. Сравнение с экспериментом.

§1.7. Нелинейные волны модуляции.

§1.8. Экспериментальные исследования амплитуд изгиб — ных магнитоупругих колебаний.

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН МОДУЛЯЦИЙ В ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЕ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

И ОСРЕДНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ.

§2.1. Введение.

§2.2. Частоты колебаний ферромагнитных диэлектрических пластин в продольном магнитном поле.

§2.3. Случай поперечного магнитного поля для пластины из диэлектрического ферромагнетика.

§2.4. Случай ферромагнитной идеально проводящей пластины в продольном поле.

§2.5. Случай поперечного магнитного поля для идеально проводящей ферромагнитной пластины.

§2.6. Расчеты значений частот.:.

§2.7. Устойчивость нелинейных волн модуляций.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК КАСАНИЯ ПРОЗВОЛЬНОЙ ВОЛНЫ С ТОЧЕЧНОЙ ВОЛНОЙ и ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФРАКЦИОННЫМ ЗАДАЧАМ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

§3.1. Введение.

§3.2. Интенсивность волны вдоль луча для произвольной системы линейных гиперболических уравнений с переменными коэффицентами.

§3.3. Определение линейного решения в окрестности точки касания произвольной волны с точечной или дифракционной волной.

§3.4. Определение нелинейного решения в окрестности точки В касания волн.

§3.5. Определение решения на ударных волнах в неоднородной квадратично нелинейный среде.

§3.6. Упрощение решений для однородной среды и плоской волны АВ.

§3.7. Решение пространственной линейной задачи дифракции акустической или упругой волны на препятствиях уголковой формы.

§3.8. Решение нелинейной задачи.

§3.9. Нелинейные решение вблизи точки В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные и нелинейные двух и трехмерные динамические задачи теории упругости и магнитоупругости»

Проблема исследования распространения линейных и нелинейных волн в сплошных средах является актуальной ввиду динамического характера большинства промышленных процессов, работы измерительной аппаратуры, сейсмологических и других геофизических явлений. Среди этих обширных явлений в последное время значительную роль приобретают задачи изучения волн и колебаний в магнитоупрутих средах.

Эти вопросы имеют практическое значение при исследовании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, в магнитогазодинамических генераторах, при создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при разработке методов обработки металлов магнитным полем и т.д. Эти задачи относятся к области динамической магнитоупругости электропроводящих сплошных сред, в частности пластин и оболочек. Не менее важно изучение в указанных процессах линейных и нелинейных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и электропро — водящих пластин и оболочек в магнитном поле. Представляет не только теоретический, но и практический, интерес линейная и нелинейная задача о дифракции акустических и упругих волн в неоднородной плоской среде на экране и уголковой пластине в однородной среде (пространственная задача).

При термоядерных процессах имеет большое значение изучение распространения нелинейных пучков, как в самой плазме, так и в магнитоупрутих конструкциях. Также имеет важное значение изучение фокусирования волн в пластинах, в том числе вблизи огибающей лучей или каустики. Взаимосвя — занность напряженно—деформированного состояния и электромагнитного поля имеет сложный характер. На первых этапах развития теории магнитоупругости принимались упрощающие гипотезы для разработки приближенных математических методов исследования колебаний магнитоупрутих пластин и оболочек [5-8].

Точное решение в рамках осредненной классической теории линейной изгибных задачи о колебаниях магнитоупругой пластины в поперечном магнитном поле дано в [7, 57].

Для тонких оболочек и пластин конечной электропро — водности, находящихся во внешнем магнитном поле авторы работ [6 — 8] сформулировали гипотезу магнитоупругости тонких тел, позволящую свести трехмерную задачу к двумерной. Эта гипотеза, помимо известной гипотезы осредненной теории изгиба упругих пластин и оболочек, а именно, гипотезы неде — формированных нормалей, состоит в предположении, что нормальная компонента вектора напряженности индуцированного магнитного поля и тангенциальнья компонента вектора напряженности электрического поля остаются неизменными по толщине пластин или оболочек. Исследования в области теории упругих пластин и оболочек часто посвящаются построению уточненных теорий, в которых отказываются от основной гипотезы классической теории [1—4, 91]. Это связяно с тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы при решении прикладных задач. В работах [5, 15, 92] на основе предположения о линейном законе изменения по толщине пластинки нормальной компоненты индуцированного магнитного поля и тангенциальных компонент электрического поля получены уравнения магнитоупрутих колебаний проводящих пластин, позволяющие уточнить гипотезу магнитоупругости для случая поперечного магнитного поля. Для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной в [40] используется асимптотический метод [1] интегрирования трехмерных уравнений. В работе [40] дано сравнение разных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких пластин и оболочек. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости предложено уточненное уравнение для исследования задач колебаний во внешнем продольном поле в проводящей пластинке, установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. На основе гипотезы Кирхгофа в работе [75] дано сравнение различных моделей задач магнитоупругости пластин. В работе [5] дается рассмотрение широкого аспекта задач о колебании электропроводящих пластин в магнитном поле, в рамках осредненного классического подхода, рассмотрены определения частот линейных изгибных колебаний как для бесконечных, так и для конечных пластин. Для последних развит асимптотический метод определения связи волновых чисел с размерами пластинки в случае консольного и жесткого опи — рания. Кроме того найдены амплитуды вынужденных колебаний пластинок как в постоянном, так и в переменном магнитном поле. В [93, 94] рассмотрена задачи о трещине в ферроупругой пластине.

В работах [33 —35, 71, 85] дается теоретическое исследование проблемы колебаний магнитоупругих электропроводящих пластин в продольном и поперечном магнитных полях. 1

Развивается пространственный подход к проблеме определения линейных частот изгибных колебаний. Показано, что для большой электропроводности решения в пространственном подходе и по гипотезе Кирхгофа для продольного поля совпадают, а для поперечного поля пространственный подход дает уменьшение частоты за счет поля, а осредненный классический подход дает увеличение частоты.

В [85] показано, что эксперимент подтверждает пра — вильность пространственной теории. В работах [68, 69, 71] показано, что для конечной проводимости значения линейных частот по пространственной и осредненной теории существенно различны как для продольных так и для поперечных полей.

В работах [16], [18] рассмотрен широкий круг задач о колебаниях (свободных и вынужденных) ферромагнитных диэлектрических и проводящих пластин на основе классической теории Кирхгофа.

В статьях [59, 60] изучены теоретически и экспериментально колебания стержня — полосы из ферромагнетика в поперечном магнитном поле. Показано, что магнитное поле уменьшает частоту колебаний.

В работе [33] развит пространственный подход к изучению изгибных волн модуляций в магнитоупругих проводящих пластинах. В статье [85] изучены теоретически и экспериментально линейные частоты изгибных колебаний магнитоупругих пластин, причем показано, что эксперимент [34, 36] подтверждает правильность пространственного, а не осредненного по классической теории подхода. В работе [68] дается подробный вывод значений частот изгибных колебаний магнитоупругих пластин на основании пространственного подхода для большой и конечной электропроводности.

В работе [84] проводится вычисление на основе прос — транственного подхода линейных частот собственных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и идеально проводящих пластин, и дано сравнение с осредненным подходом [16, 18]. В [38] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропро — водящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0.05 Тл для продольного и порядка 0.5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд.

В книге [23] и статьях [21, 29] дается линейное и нелинейное решение дифракционных плоских задач об определении окрестности точки касания произвольной волны с точечной волной для произвольной идеальной сплошной среды, описываемой квазилинейной системой гиперболических уравнений. В [22, 30] рассмотрены соответствующие задачи пространственной дифракции волн.

В работах [90, 23, 41] изучено линейное решение для монохроматической и нестационарной волн вблизи каустики в случае волнового уравнения с переменной скоростью волн. В [23, 24, 27, 87] изучены соответствующие нелинейные задачи, в том числе для магнитогазодинамоческих волн и волн в пластинах.

В работе [13] дается численный расчет нелинейных газодинамических пучков.

• В работах [25, 31] развит метод аналитического решения нелинейных задач для пучков на основе получения эволюционного уравнения для данной среды, вывод из него для значительной дисперсии нелинейного уравнения Шредингера для амплитуды первой гармоники и получения его решения в виде узких гауссовских пучков. Решена задача для двух пучков в резонаторе. В [32] этот метод обобщен для случая малой дисперсии.

В работах [50 — 55, 64 — 67] рассматриваются исследования соударения упругих тел, решения которых приводятся аналитическими методами граничных задач динамической теории упругости.

В [50, 51, 54] рассматриваются соударения тел ограниченных спереди равными двугранными углами, которые движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, которые имеют применения в сейсмологических задачах. В [51, 54, 67] рассмат — риваются соударения тел конечной высоты со смешанными граничными условиями. Определено решение линейной задачи в виде пластинчатых продольных волн, получена формула для асимптотики решения и определено решение вблизи фронтов волн.

Выводятся нелинейные уравнения в окрестностях волны для продольных упругих волн в пластинках, которые соответствуют полученной асимптотике. В указанных линейных задачах решения находятся методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа, а затем приводятся к форме записи через аналитиеские функции, введенной Смирновым и Соболевым [77].

В настоящей диссертации рассмотрены линейные и нелинейные задачи: об колебаниях магнитоупрутих пластин в магнитных полях, о дифракции звуковых и упругих волн на экране в плоской и пространственной постановке, о нелинейных решениях вблизи каустик для изгибных волн в магнитоупругих пластинах, о нелинейных гауссовых пучках в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с дисперсией и диссипацией, о соударении упругих двугранных углов. Диссертация состоит из шести глав, введения, заключения и списка литературы.

В главе 1 рассмотрен новый пространственный подход к исследованию собственных частот колебаний электропроводящей упругой пластины.

В §1.1 дается обзор литературы по осредненному классическому подходу.

В §1.2 приводится получение частот собственных колебаний бесконечной упругой электропроводящей пластины в поперечном магнитном поле. На основании нового пространственного подхода для упругих пластин предложенного в [33], получены дисперсионные соотношения (o±co{k) для большой и конечной электропроводности. Показано, что для большой электропроводности <у-й)00(/г)<0, где com{k) есть упругая частота изгибных колебаний, в то время, как по осредненному подходу со-сот(1г)>0. Дается вывод более общей формулы частоты для случая конечной электропроводности. Показано, что для нее значение частоты не совпадает с рёзультатом осредненной теории, вывод которого приведен в §1.3.

В §1.4 рассмотрены пространственный и осредненный подходы к определению частот колебаний в продольном поле. Показано, что для большой электропроводности значения частот и декремента затухания для обоих подходов совпадают.

В §1.5 рассмотрен случай конечной электропроводности и показано, что указанные подходы дают разные результаты.

В §1.6 даны результаты экспериментальных исследований по определению частот изгибных колебаний для магнитоупрутих (алюминий, латунь) пластин. Показано хорошее соответствие с новым пространственным подходом. Затем в §1.7 использованием полученных значений линейных частот развивается нелинейная теория распространения волн модуляций в магнитоупрутих пластинах и исследована их устойчивость.

В §1.8 на основе экспериментального исследования и теоретического анализа показано, что постоянное магнитное поле приводит к сдвигу собственной частоты консольный пластинки — полосы. Выяснено, что при сравнительно небольших постоянных продольных и поперечных полях имеется значительное увеличе — ние амплитуд.

В главе 2 проводятся аналогичные исследования для ферромагнитных диэлектрических и идеально проводящих упругих пластин. Показано, что во всех случаях как для продольного так и поперечного магиитиого поля значения частот по пространственному подходу отличаются от значений по осредненному подходу.

Дается сравнение с результатами эксперимента по изгиб — ным колебаниям ферромагнитных пластин. Определены частоты собственных колебаний и дано сравнение с теорией. Определены амплитуды вынужденных колебаний электропроводящей и ферромагнитных пластин и влияние на них магнитного поля. Дано сравнение с теоретическими выводами [5].

В главе 3 получаются аналитические решения линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач дифракции упругих волн на экранах. Полученные замкнутые решения годятся также для задач по определению окрестности точек (линий) касания произвольных волн, отраженных от клина, с точечной или дифракционной волной, произведенной его вершиной.

Приведены графики распределения решения вдоль ударных волн. Дано аналитическое решение линейных и нелинейных трехмерных задач дифракции плоской акустической или продольной упругой волны на плоском экране, имеющем форму утроенного прямого угла.

В приложении к главе 3 дается рассмотрение линейной и нелинейной задачи дифракции в общей квадратично и кубично нелинейной среде. В качестве примеров взяты волны в сегнето — электрике или феррите. Рассмотрены случаи, когда распространяющая волна является ударной и когда непрерывной, причем в последнем случае имеется висячая ударная волна.

В главе 4 исследуются линейные и нелинейные решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для волн изгиба в электропроводящей упругой пластине. Выведено нелинейное обыкновенное дифферсциальное уравнение для амплитуды волны и дано его численное решение, сращиваемое с линейным. Рассмотрен также случай комплексной нелинейности (для конечно — проводящих пластин).

В главе 5 выводятся нелинейные уравнения модуляций для амплитуд первой и второй гармоник квазимонохроматических волн в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с диссипацией и дисперсией. В случае задачи о гауссовых узких пучках выводятся восемь обыкновенных дифференциональных уравнений.

Дется их численный расчет на компыоторе и дано сравнение с результатами упрощенной теории, когда пренебре — гаются в уравнении для второй гармоники членами с ее производными и удается получить аналитическое решение, аналогичное решению нелинейных оптики [9].

В главе 6 исследуются линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел, ограниченных спереди равными двугранными углами.

Указанные задачи возникают при изучении практических задач связанных с запросами техники такими, как задача о направленном взрыве с перемещением масс грунта [81], задача о сварке взрывом, задача стыкования металлических и, вообще, строительных конструкций (Еремянц В. Э., Модели продольных колебаний в ударных системах машин: Тезисы, докл. X междунар. конф. По нелинейн. Колебаниям., Варна, 1984, с. 76). В строительной технике может возникнуть также и задача о соударении тел при смешанных граничных условиях, которая может иметь приложения в сейсмологических задачах и к задаче удара летящих тел об объекты, которые находятся на земле (или на воде), при подземных работах, при проходке тоннелей.

Для получения эффективного решения рассматриваемых задач используется метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье, в сочетании с методами Винера — Хопфа [62] (при смешанных граничных условиях), причем удается с помощю контурного интегрирования привести окончательные формулы к форме записи через аналитические функции, предложенной Смирновым и Соболевым [77], который по идее близок к методу Каняра [88], введенному для изотропной упругой среды в задаче о точечном источнике, действующем в одном из контакируюшах полупространств. Отличие состоит в том, что в [88] предположено, в отличие о применяемого нами метода, что действительное значение имеет не частота со, а параметр преобразования Лапласа S=-ico, поэтому соответствующие гиперболы, на которые заменяется контур интегрирования повернуты на 90° и при вычислении интегралов приходится учитывать все особенности подинтегральной функции. При этом вычисление интегралов в [88] дает все имеющиеся волны, и в этом смысле метод [88] является более эффективным. Но следует отметить, что необходимость учета всех особенностей при получении решения ограничивает применимость прямого метода [88]. В применяемом нами методе [51—54] процесс получения решения не связан с учетом особенностей подынтегральных функций, которые находятся на действительной оси вне замкнутых контуров, используемых при замене интегралов по действительной оси в преобразовании Фурье на интегралы по контурам, проходящим через точки Смирнова —Соболева. Решение во всех рассматриваемых задачах находятся в форме суммы решений, записанных через аналитические функции, а исследование особых точек решения проводится после получения решения в общей форме Смирнова —Соболева путем выделения соответствующих особенностей около волн [51—55].

Ясное представление о связи метода контурных интегралов с формой записи Смирнова —Соболева позволяет включить точки разрезов в вышеуказанные контуры, что дает единую форму записи решения во всей области в форме аналитических функций, а также получить обобщение для произвольной гиперболической системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Особенно эффективно применение обсуждаемого метода в задачах со смешанными граничными условиями, в которых для изображений применяется простой метод Винера —Хопфа [62] а затем проводится обращение преобразований Лапласа и Фурье, решение записывается в форме Смирнова —Соболева.

Метод интегральных преобразований особенно удобен при получении асимптотического решения для больших моментов времени. В работе [Малков М.А. Асимптотика двумерной задачи об упругом соударении стержней. — ПММ, 1968 —Т32, выпЗ, с. 467 — 479]* получается для задачи соударения полуполос асимптотическое решение из общего решения в форме [77] весьма длинным способом. С другой стороны при применении метода интегральных преобразований асимтотическое решение задачи получается просто путем вычисления вычета в интеграле дающим обратное преобразование Фурье в точке, соответствующей продольным волнам в упругой пластине.

В §6.1 главе 6 рассмотрена, имеющая приложение в сейсмологии, задача соударения двугранных бесконечных вверх и вниз углов. Решение получено методом интегральных преобразований и приведено к форме Смирнова —Соболева.

В §6.2 с помощью решения §6.1 поставлена и решена задача соударения полубесконечных двугранных углов.

В §6.3 решается линейная задача соударения тел конечной высоты со свободными поверности. Выделяется двумерное решение задачи соударения безграничных по высоте тел, которое позволяет для добавочных смещений в слое записать нулевые начальные условия. Решение трехмерной задачи находится методом интегральных преобразований и получено асимптотическое решение в виде двухмерных волн в пластине для объемного расширения. Вблизи плоских и точечных воли получены простые формулы, а всюду в области решение имеет форму Смирнова — Соболева.

В §6.4 проводится устранение особого характера решения линейной задачи, учетом геометрического характера нелинейных эффектов. На основе порядков величин и размеров волновой области вблизи точки касания плоской и точечной волны, которое следует из формы линейного решения, получаются упрощенные нелинейные уравнения, которые по форме совпадают с системой уравнений коротких волн [20, 56], для жидкости. Отличие состоит в том, что нелинейные коэффиценты имеют обратный знак по отношению к жидкости и имеют место ударные волны разрежения. Для этого случая около волны вводятся нелинейные уравнения, подобные уравнения м гл. 3 для случая а°у<0.

В §6.5 вводятся нелинейные уравнения при учете физической нелинейности. Показано, что уравнения по форме те же, но характер нелинейности различен для металлов [43] и жидко — подобной нелинейной среды. Для жидкости знак коэффицента при нелинейном члене уравнений обратный по сравнению со случаем геометрического вида нелинейности. При этом будут ударные волны сжатия, что соответствует плоской и точечной волнам, впереди которых возмущение равно нулю. Позади плоской ударной волны решение постоянно. При этом условия на ударной волне удовлетворяются достаточно точно (рис. 9).

В §6.6 находятся асимтотнческне решения линейной задачи о соударении рассматриваемых тел при наличии твердого опирания на части границ. Вершины углов соединившихся тел находятся на краю опоры. Решается уравнение Винера —Хопфа и получено решение в форме записи через аналитические функции, которое упрощается вблизи волн. Вблизи точки касания плоской и точечной волн получается решение в виде, подобном задаче соударения при свободных границах.

Далее приведены основные выводы и литература.

Формулировка задачи о соударении упругих тел

Пусть упругие тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями Va+V',-V0 направленными вдоль оси х', сливаются в момент £ = 0. В предположении, что после соударения они образуют одно целое, из уравнения сохранения количества движения(при равных массах, что неограничевает общности рассмотрения) можно получить для скорости частиц упругой среды: где V'/2 есть скорость образовавшегося тела после соударения.

Интегрируя, можно получить при x'<-at, UQ=(V„+V')t, при \x'\<at: х' \ V'f л:'^ U0=—(Уо+Vj+rr- t+— , при x'>-at, U0=-V0t, или

2 V а) а

U0={V0+V')ta(-x'-at)-V0tcj(x'-at)+ — t-—\V'+—) a(at-\x'\);

Vx'f

В дальнейшем рассматриваются задачи при V' = 0, что не уменьшает общности рассмотрения. При V' = -V0 получим задачу удара об упругую преграду. Отметим, что удар о жесткую преграду х'<0 [26] соответствует:

U0 =-V0ta(x'-atyV0^-a(at-x'), а дх а что вдвое превышает значение при ударе об упругую преграду и совпадает с задачей симметричного соударения стержней, которая дается приведенными формулами при V'=0.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Сафарян, Юрик Сережаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассматривается широкий круг линейных и нелинейных волновых задач. Основную часть работы составляют аналитические иследования, которые дополняются численными расчетами, в основном, путем решения полученных обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Рассмотрена теоретическая задача применения пространственного подхода к получению линейных частот колебаний магнитоупрутих пластин. Единым методом получены частоты магнитоупрутих колебаний в поперечном и продольном магнитном поле, для больших и конечных электропроводностей. Показано, что для большой электропроводности в поперечном поле имеется качественное отличие от результатов осредненного подхода. Получена также пространственным подходом частота для конечной электропроводности.

В продольном поле для большой электропроводности пространственный и осредненный подходы дают совпадающие частоты, а для конечной электропроводности пространственный и осредненный подход дают существенно различные значения частот.

2. Применен пространственный подход к получению линейных частот изгибных колебаний - ферромагнитных магнитомягких пластин в продольном и поперечном поле. Задача осложняется наличием начальных напряжений за счет магнитных полей и более сложными граничными условиями на границе диэлектрика и для ферромагнитных пластин. Получена пространственным подходом линейная частота в продольном магнитном поле для диэлектрических и идеально проводящих ферромагнитных пластин. Качественно полученные результаты согласуются с магнитоупрутими пластинами. Также получена линейная частота в поперечном магнитном поле. И здесь пространственный подход даеты результаты, качественно согласутциеся с магнитоупругим случаем. Осредненный подход дает количественно, а в ряде случаев, и качественно другие результаты.

3. Проведены аналитические исследования задач дифракции акустических и упругих волн на крае непрозрачного экрана и в других дифракционных задач, где имеется точка касания распространяющейся волны и точечной волны. Рассмотрение ведется для общего случая неоднородной среды и произвольной распространяющейся волны, а затем дается применение- полученных результатов на однородную среду и плоскую волну. Для этого случая построено численное решение на ударной волне путем решения обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрен также случай висячей ударной волны, который имеет место для волны сжатия в упругой среде.

4. Проведены аналитические и численные исследования по определению решения для квазимонохроматической волны в нелинейно упругой и магнитоупругой пластиные вблизи каустики.

5. Выведено эволюционное уравнение для магнитоупругой среды в общем случае направления магнитных полей. Из него получены для амплитуд первой и второй гармоник уравнения модуляций. Для случая узких пучков получены 8 обыкновенных дифференциальных уравнений, которые численно решены. При этом постоянные в этих уравнениях взяты из подобной по математической постановке задачи о движении плазмы в звездах и термоядерном синтезе.

6. Решена задача соударения упругих двугранных углов, важная для сейсмологии.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сафарян, Юрик Сережаевич, 2003 год

1. Агаловян Л А. О некоторых соотношениях классической линейной теории анизотропных оболочек и возможностях их уточнения. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, N1, с. 109-120.

2. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М., Наука, Физматгиз., 1997, 414с.

3. Алфутов Н.А. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин. Изв.АН СССР, МТТ, 1992, N3, с. 65-72.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М., Наука, 1987, 360с.

5. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле. М., Наука, 1996, 286 с.

6. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М. В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. Изв.АН СССР, МТТ, М., Наука, 1977, с. 272

7. Амбарцумян С.А., Белубекян М.Б. Колебания и устойчивость токонесущих упругих пластин. Изд —во АН Армении, 1992, 123с.

8. Амбарцумян С.А., Белубекян М.Б., Минасян М.М. Осесимметричные колебания нелинейно — упругих цилиндрических оболочек в продольном магнитном поле. Изв.АН Армении, Механика, 1995, т. 48,N2, , с. 3—12

9. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.Б. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде. Усп. физ. наук, 1967. т. 93 N1.

10. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. Матем. сб.: 1960. т. 52 (94) N2

11. Бабич Б.М. Распростронение нестационарных волн и .каустики

12. Уч. зап. ЛГУ. 1958. вып. 32. с. 228-260

13. Бабаков И. М. Теория колебаний. М. Изд. Физ. Мат. Лит. 1968, 559 с.

14. Бахвалов Н.С. Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков Серия " Современные проблемы физики",. М., Наука, 1982. 176с.

15. Багдасарян Г.Е. Уравнения магнитоупрутих колебаний тонких идеально —проводящих пластин. Прикладная механика, 1983, XIX N12, с. 87-91.

16. Багдасарян Г.Е. Об учете влияния индуцированного электромагнитного поля на колебание проводящих пластин в поперечном магнитном поле. Механика, Межвуз. сб. науч. трудов, вып. 6, Изд—во ЕГУ, 1987, с. 49 — 57.

17. Багдасарян Г.Е. Колебания и устойчивость магнитоупрутих систем. ЕГУ, Изд-во "Тигран Мец", 1999, 483с.

18. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Основные уравнения и соотношения нелинейных магнитоупрутих колебаний электропроводящих пластинок. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1985, т. 38, N12, с. 17 — 29.

19. Багдасарян Г.Е., Микилян М.А. Математическое моделирование магнитоупрутих колебаний проводящих ферромагнитных пластин. Изв. НАН Армении. Механика 1996, т. 49 N4, с. 3— 18.

20. Багдоев А.Г. Определения решения на фронте вблизи точкй поворота. Изв. АН Арм. ССР, Серия технических наук. 1967, т.20 N3, с.26-29

21. Багдоев А.Г., Гургенян А.А. Приближенное решения ряда нелинейных задач определения ударных волн в сжимаемой жидкости. Изв. АН Арм ССР. Механика, 1968, т. 21, с.39 —56.

22. Багдоев А.Г., Даноян З.Н. Исследование движения среды вокрестности точки касания ударных волн в линейной и нелинейной постановке. Журнал вычис. матем. и матем. физики. М.1972,. т. 12, N6, с. 1512-1529

23. Багдоев А.Г. Определение параметров движения жидкости в задаче отражения ударной волны от пластинки в линейной и нелинейной постановке. Изв.АН Арм. ССР. Механика, 1974, т. 27, N6, с. 18-31

24. Багдоев А.Г., Распространение волн в сплошных средах. Ереван, 1981. 307с.

25. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Нелинейные колебания пластин в продольном магнитном поле. Изв.АН Арм. ССР. Механика, 1982, т.35, N1, с. 16-22.

26. Багдоев А.Г., Шекоян А.В. Нелинейные волны в твердой вязкой среде с полостями. Акустический журнал, 1999, т. 45, N2, стр. 149.

27. Багдоев А.Г.,Мартиросян А.Н., Сафарян Ю.С. Антиплоская задача для трещины движущейся произволной . скоростью в анизотропной упругой однородной среде. Изв. НАН Армении, Механика, 1998,т. 51, N1, с.16-20.

28. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Нелинейные уравнения для квазимонохроматичных волн вблизи каустики в дисперсионной диссипативной среде с кубической или квадратичной нелинейностью. Акустический журнал, 2000, т. 46, N3, с. 249 — 255.

29. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Квазимонохроматические волны изгиба в нелинейно— упругих пластинах. Изв.АН СССР, МТТД981. N4 с. 169-176.

30. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Определение нелинейного решения в дифракционной волновой области для неоднородной упругой среды. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван:

31. Энциклопедия Арменика" 1999, N4., с. 29-34.

32. Багдоев А.Г., Мартиросян Г.А. , Сафарян Ю.С. Нелинейная нестационарная задача пространственной дифракции в ферритовой среде. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван: "Энциклопедия Арменика"2001, N3, с. 197 — 216.

33. Багдоев А.Г., Седракян Д.М. Волновые пучки в неоднородной плазме в поперечном магнитном поле. Астрофизика. 2002, т. 45, вып. I.e. 65 — 68.

34. Багдоев А.Г., Мкртчян А.Р., Сафарян Ю.С. Нелинейные звуковые пучки в газопарожидкостном облаке. Изв. НАН Армении, Механика, 2001, т. 54, N4. с. 34-40.

35. Багдоев А.Г., Саакян С.Г. Устойчивость нелинейных волн модуляций в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи. Изв. РАН, МТТ, N5, 2001, с. 35-42.

36. Багдоев А.Г., Ванцян А.А., Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи й устойчивость волн модуляции. Изв. РАН МТТ. 2003г., N3, с.

37. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках ; и многогранниках. М.: Наука Мир. 1966г., 455с.

38. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М. "Наука", 1970г. 343с.

39. Ванцян А.А., Григорян Н.К., Сафарян Ю.С. Экспериментальноеисследование влияния постоянного магнитного поля на вынужденные поперечные колебания пластин. Изв. НАН Армении, Механика, 2002. т.55, N2, с. 63 — 67.

40. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М."Наука" 1979, 389с.

41. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Погрешности в области применимости уравнений магнитоупругости тонких оболочек. Тез. IV симпозиума "Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван: Изд-во ЕГУ, 1989, с. 62-67

42. Газарян Ю.Л. О распространении звука в неоднородных средах. В. сб. "Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн". 1961. ЛГУ, с. 73—114.

43. Рыжов О.С., Христианович С.А. О нелинейном отражении слабых ударных волн. ПММ. 1958. т. 22 Н 5, с. 586 —599.

44. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М. "Наука". 1966г. 290 с.

45. Григорян С. С. Кандидатская диссертация. МГУ. 1957г.

46. Григорян Э.Х. О колебании магнитоупругой среды, возбуждаемой сосредоточенной гармонической силой. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1978, т.31, N5, с. 48-52.

47. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд —во иностр. лит., 1961, 777с.

48. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики. Радиофизика. 1964, т. 7, N4.

49. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Магнитотермоупрутость. В кн.: Итоги науки и техники, МДТТ, М., ВИНИТИ, 1981, т. 14, с. 3-59.

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982, 624с.

51. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение тел конечнойвысоты, ограниченных равными двугранными углами и параллельными поверхности. Изв. АН Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N1, с.3-11.

52. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Решение смешанной задачи соударения тел ограниченных упругими полуплоскостями, Изв.АН, Арм ССР, Механика, 1985г. т.38, N3, с.25-32.

53. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Соударение пластин и стержней граничащих с магнитной жидкостью. Сб.: Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Иваново, 1985г.,с.200 — 201.

54. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Решение смешанной задачи о соударении тел между упругими полуплоскостями. Изв.АН СССР, МТТ, 1985г., N6, с.90 —95.

55. Мартиросян А.Н, Сафарян Ю.С., Линейные и нелинейные задачи соударения упругих тел конечной высоты, ограниченных спереди двугранными углами и параллельными плоскостями. Изв.АН Арм ССР Механика, 1986г., т.39, N1, с.25-37

56. Минасян М.М. О Распространение слабых возмущений в магнитогазодинамике Докл.АН Арм ССР. 1972 т.4 N5. с. 273 — 280.

57. Мкртчян П.А. Колебания электропроводящей пластинки в поперечном магнитном поле. Изв АН Арм.ССР, XXXVI N6, 1983, с. 39-49.

58. Мовсисян Л.А. Волны изгиба и другие для одной пьезоэлектрической пластинки. Изв. НАН Армении, Механика,1997, т. 50, с. 21-26.

59. Мун Ф., ПаоИ.— Синь. Колебания и динамическая неустойчивость стержня— пластины в поперечном магнитном поле. Тр. Американского общества инженеров — механиков, серия Е, Прикладная механика, 1969. N1, с. 98 — 108.

60. Мун Ф., Пао И.— Синь. Магнитоупрутое выпучивание тонкой пластинки. Тр. Американского общества инженеров — механиков, серия Е, Прикладная механика. 1970, N1, с. 160— 166.

61. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с.

62. Нобл Б. Применение метода Винера—Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными.— М.ИЛ, 1962г. с.

63. Сагомонян А.Я., Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М: Изд —во МГУ, 1970, 119с.

64. Сафарян Ю.С., Решение нелинейной дифракционной задачи для пространственной теории упругости. Прикладная математика и механика. 2003. принято к печати.

65. Сафарян Ю.С., Решение некоторых нестандартных задач теории упругости. Сб статей деформируемого твердого тела. Ереван, Изд. АН Арм ССР, Механика, 1986г., с. 151 160.

66. Сафарян Ю.С., Решение некоторых задач соударения упругих четверть плоскостей, ограниченных полуплоскостью. Ереван. Изв. АН Арм ССР, Механика, 1986, т.39, N5, с.37-49.

67. Сафарян Ю.С., Решение некоторых граничных задач динамической теории упругости. Сб.: "Проблемы дин. взаимодействия деформируемых сред". ЕР., Изд. АН Арм. ССР, Механика, 1987г. с.249 —251.

68. Сафарян Ю.С. Исследование колебаний магнитоупрутих пластинв пространственной и осредненной постановке. Сб. "Информационные технологии и управление". Ереван "Энциклопедиа — Арменика" 2001. N2. с. 17-49.

69. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследование . изгибных волн в пластинах в магнитном поле для пространственной и осредненной задачи. Сб. ГИУА Ереван, 2000г. т. I, с. 230-232

70. Сафарян Ю.С. Решение эволюционного уравнения для узких пучков.//. Сб. ГИУА. Ереван.изд. ГИУА. 2001г. т.1 с. 232-234

71. Сафарян Ю.С. Определение частот изгибных магнитоупругих колебаний пластин в пространственной и осредненной постановках задачи.М(Доклады Академии наук, РАН, Механика, 2002г. т.383, N6 с. 767-770.

72. Сафарян Ю.С. Решение нелинейной дифракционной задачи для неоднородной упругой среды. Изв. НАН Армении, Механика, 2002г. т. 55. N1 с. 23-31

73. Сафарян Ю.С., Погосян С.М. Аналитическое и численное решение конкретных задач об узких пучках для электропроводящей магнитозвуковой релаксирующей среды. Ер. Докл. НАН РА, Механика, 2003. т. 103, N2, с.

74. Сафарян Ю.С. Теоретические и экспериментальные исследования изгибных волн для пространственной и осредненной задачи и устойчивость волн модуляции. Акустический журнал. М. в печати.

75. Селезов И.Т. Некоторые приближенные формулы уравнений движения магнитоупругих сред. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, N5, с. 86-91.

76. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976, 616 с.

77. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральныеуравнения математической физики. —М: ОГИЗ, 1996. 998с.

78. Фриндлендер Ф. Звуковые импульсы. М. ИЛ, 1962г. 232с.

79. Шефтер Г.М. О влиянии вязкости и теплопроводности на распространении звуковых импульсов в неоднородной движущейся среде. ПММ, 1969г. т. 33. N1. с. 162-168

80. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М. "Мир". 1964. 428 с

81. Чебан В.Г. Двумерные нестационарные задачи о распространении волн в деформируемых твердых средах: Док. дисс. —М., 1982, 286с.

82. Ambartsumian S.A. Some new problems of magnetoelasticity of thin shells and plats. The mecanical Behavior of Electromagnetic Solid Continius. IUTAM — IUAPAP, Edit. G.A. Maugin: North-Holland, 1984, p. 359-367.

83. Bagdoev A.G., Movsisyan L.A. Thermomagnetoelastic modulation waves in a non —linear plate. Izv. of NAS Armenia. Mechanica. 1999. v.52. N1. p.25 —29.

84. Bagdoev A.G., Safaryan Ju.S. The determination of frequences of free bending vibrations of ferromagnetic plates in space and averaged treatment. Information technologies and management. Yerevan: "Encyclopedia-Armenica ",2001, N4, p. 106-121.

85. Bagdoev A.G., Vantsyan A.A. Theoretical and experimental investigations of waves in plate in magnetic field for space and averaged treatment. International Journal of solids and structures. 2002.V. 39.

86. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Determination of non — liner solution near caustic for quasymonochromatic wave Information technologies and management. Yerevan: "Encyclopedia — Armenica ",2003, N1-2, p. 52-66.

87. A.G. Bagdoev, Ju.S. Safaryan, S.M. Pogosyan Analiticaly and numerical solutions of thewo nonlinear diffraction problems. Conference of NATO Advansed reseapch. Worcshop 2002, September 22-25. Yerevan.

88. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismiques progressives. Paris, Gautheir—Villards, 1939.

89. Kaliski S. Magnetoelastic vibration of a perfectly conducting plates and bars assuming the principle of plan sections. Proc. of Vibr.,• Probl., 1962, v.3, N4, p. 225-234.

90. Ludwig D. Uniform asymptotic expansions at a caustic. Communs. on pure and Appl. Math., 1966. v. 19, N2, p. 215.

91. Reissner E. Reflactions on the theory of elastic plates. Appl. mech. Revs., 1985, v. 38, N11, p. 1453-1464.

92. Rudnicki M. Eigenvalue solutions for free motion of electro — conductive plate in magnetic field. Int. J. Eng. Sci., 40, 2002, p. 93 — 107.

93. Shindo Y., Ohnishi J., Tohyama S. Flexural wave scattering at a through crack in a conducting under a uniform magnetic field. Trans. ASME Journal of Appl. Mech., vol. 64, N4, 1997, p. 828-834.

94. Shindo Y., Ohnishi J., Tohyama S. Dynamic singular moments in a perfectly conducting Mindlin plate with a through crack under a magnetic field. Trans. ASME Journal of Appl. Mech., vol. 67, 2000, September, p. 503 — 510.

95. Skalak R. Longitudinal impact of Some infinite bars.—Journal of Applied Mechanics, 1957, 24, 1, 59-64.