Асимптотические методы в прямых и обратных задачах высокочастотной динамики упругих сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Боев, Николай Васильевич

• Боев, Николай Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Боев, Николай Васильевич

Введение.

Глава 1. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных бесконечными цилиндрическими поверхностями с направляющими произвольной формы (двумерная задача).

§ 1.1. Рассеяние высокочастотной продольной волны на замкнутом гладком контуре полости, находящейся в упругой плоскости: р-р отражение, р-$ трансформация.

§ 1.2. Однократное отражение поперечной волны от криволинейного контура препятствия: 5 - 5 отражение, 5 - р трансформация.

§ 1.3. Двукратное переотражение упругих волн на плоских контурах препятствий с учетом возможных трансформаций.

§ 1.4. Многократные переотражения продольной волны.

§ 1.5. Многократные переотражения с трансформациями упругих волн.

Глава 2. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях акустически твердых отражателей.

§2.1. Однократное отражение сферической волны от поверхности рассеивателя.

§ 2.2. Двукратное отражение акустической волны.

§ 2.3. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз.

§ 2.4. Предельный случай многократного переотражения акустической волны от системы плоских акустически твердых отражателей в пространственном случае.

Глава 3. Рассеяние высокочастотных волн на полостях в упругой среде.

§ 3.1. Однократное отражение продольной волны от поверхности полости.

§ 3.2. Однократное отражение поперечной волны от поверхности полости.

§ 3.3. Двукратное переотражение упругих волн с учетом возможных трансформаций.

§ 3.4. Многократные переотражения продольной волны.

§ 3.5. Многократные переотражения с трансформациями упругих волн.

Глава 4. Усовершенствованные численные методы, эффективные для высокочастотных прямых и обратных задач колебания упругих

§4.1. Метод граничных интегральных уравнений в задачах высокочастотного рассеяния волн в упругих средах.

§ 4.2. Прямой численный метод в трехмерной задаче дифракции с переотражениями: численное моделирование и сравнение с лучевым методом.

§ 4.3. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде.

Глава 5. Реконструкция формы невыпуклой полости в упругой среде в высокочастотном приближении.

§ 5.1. Асимптотика амплитуды перемещений отраженных волн в случае нормального падения на границу рассеивателя продольной и поперечной волн.

§ 5.2. Восстановление контура препятствий по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области.

§ 5.3. Реконструкция дефекта сложной формы по известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны.

§ 5.4. Реконструкция внутренних частей граничной поверхности препятствия.

§ 5.5. Вывод основного нелинейного дифференциального уравнения относительно функции Минковского.

§ 5.6. Обратная задача коротковолновой дифракции для невыпуклых осесимметричных препятствий.

§ 5.7. Численный метод реконструкции формы неосесимметричной невыпуклой полости в упругой среде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы в прямых и обратных задачах высокочастотной динамики упругих сред»

Математические модели высокочастотной динамической теории упругости находят широкое применение в геофизике, строительной механике, теории машин и механизмов, дефектоскопии, дефектометрии, акустоэлектронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструктивных элементов и сложных конструкций в целом, коротковолновых датчиков различного назначения. Среди многочисленных важных проблем в динамической теории упругости выделим те, различные аспекты которых будут рассмотрены в диссертации. В процессе изготовления или эксплуатации практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: нарушения кристаллической структуры, включения, дефекты различной конфигурации. Распространение волн в таких материалах имеет свои специфические особенности, знание которых может дать объективную информацию о поведении во времени исследуемого элемента конструкции или конструкции в целом. Первой проблемой для реальных материалов является расчет волновых полей при различных видах несплошностей материала элемента конструкции. Эта проблема формулируется в рамках прямых задач математической физики. Другой, более сложной, проблемой является выбор видов воздействий на материал, при которых по результатам откликов на эти воздействия можно определить местонахождение препятствия в материале, его форму, механические и другие характеристики. Такая проблема формулируется в рамках обратных задач математической физики.

Одним из важных технических приложений обратных задач является ультразвуковой неразрушающий контроль (УЗНК). Разработка математических моделей и создание эффективных алгоритмов их решения в настоящее время является актуальной задачей.

По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (установившиеся по времени). Нестационарные постановки задач позволяют получить оценки местонахождения дефекта по времени прихода отраженного сигнала, однако они значительно сложнее с точки зрения анализа математической модели по сравнению со стационарными постановками задач.

В УЗНК материалов [245, 256] используются модели как с нестационарными, так и со стационарными волновыми полями, в зависимости от поставленных целей. Рабочие частоты в УЗНК при использовании моделей установившихся по времени колебаний берутся, в основном, из интервала 2 МГц - 5 МГц.

Расчет волновых полей в упругих средах, содержащих включения, усложняется тем, что в этих средах существуют продольные и поперечные волны, и в связи с этим необходим учет трансформаций и переотражений волн на граничных поверхностях неоднородностей. Поэтому полное изучение родственных скалярных моделей в качестве первого шага является вполне естественным.

Исследованиям по распространению и дифракции линейных упругих и акустических волн посвящена обширная литература. Выделим монографии, в которых освещены основные классические результаты по исследованию волновых процессов в неограниченных средах и в телах конечных размеров Аки К. и Ричардса П. [1], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12], Боровикова В. А. и Кинбера Б. Е. [42], Бреховских Jl. М. [45], Бреховских Jl. М. и Година О. А. [46], Ваганова Р. Б. и Каценеленбаума Б. 3. [57], Галишниковой Т. Н. и Ильинского А. С. [80], Гринченко В. Т. [88], Гринченко В. Т. и Мелешко В. В. [89], Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87], Гузь А. Н. и Головчан В. Т. [90], Гузь А. Н., Кубенко В. Д. и Черевко М. А. [91], Ермолова И. Н. [104], Жария О. Ю. и Улитко А. Ф. [107], Исимару А. [111], Исраилова М. Ш. [112], Кайно Г. [113], Клещева А. А. и Клюкина И. И. [118], Колтона Д. и Кресса Р. [120], Космодамианского А. С. и Сторожева В. И. [123], Купрадзе В. Д. [127], Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. [128], Михлина С. Г., Морозова Н. Ф., Паукшто М. Ф. [140], Нигула У. К., Метсавээра Я. А., Векслера Н. Д.,

Кутсера M. Э. [144], Новацкого В. [145], Панасюка В. В., Саврука М. П. и Назарчука 3. Т. [148], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Петрашеня Г. И. [150], Петрашеня Г. И., Молоткова JL А. и Крауклиса П. В. [151], Поручикова В. Б. [157], Романова В.Г. [163], Сеймова В. М., Трофимчука А. Н. и Савицкого О. А. [169], Слепяна Л. И. [171], Скучика Е. [170], Уайта Дж. [185], Фелсена JL и Маркувица Н. [187], Фока В. А. [190], Хенла X., Мауэ А. и Вестпфаля К. [192], Шендерова Е. Л. [195], Штагера Е. А. [197], Штагера Е. А. и Чаевского Е. В. [198], Яхно В.Г.[199], Achenbach I. D. [200], Achenbachl. D, Gautesen A. К., McMaken H. [202], McNamara D. A., Pistorius C. W. I., Malherbe I. A. G. [252], Pao Y. H., Mow С. С. [260], Ramm A. G. [264], Sumbatyan M. A и Scalia A. [276].

Монографии Бабешко В. A. [10], Бабешко В. А., Глушкова Е. В., Зинченко Ж. Ф. [11], Вайнштейна Л. А. [59], Викторова И. А. [72], Воровича И. И., Александрова В. М., Бабешко В. А. [76], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Воровича И. И., Бабешко В. А. и Пряхиной О. Д. [78], Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82], Калинчука В. В. и Белянковой Т. И. [114], Миттра Р. и Ли С. [139], Сеймова В. М. [168], Jones D. S. [232], Lamb H. [248] посвящены исследованию волновых проблем в полуограниченных областях.

Одной из проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, является проблема рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий в сплошных средах. В этом направлении исследований выделим монографии [1, 12,41,42, 45, 46, 57, 59, 87-91, 104, 105, 111-113, 125, 1170, 185, 194, 195, 197, 198] и работы [63, 70, 74, 81, 85, 98, 106, 117, 121, 137, 146, 191, 201, 205, 206, 227, 230, 246, 251, 253, 257, 267, 269, 291, 296, 297, 302].

Одним из основных подходов в исследовании проблемы рассеяния волн в упругих средах является использование интегрального представления Сомильяны [144] для поля перемещений через граничные значения векторов перемещений и напряжений. Наряду с граничными интегральными уравнениями (ГИУ), полученными на основе формул Сомильяны, существует и другой подход. Он связан с введением в рассмотрение неизвестных плотностей поверхностных потенциалов [46, 48]. Такой метод получения ГИУ принято называть непрямым методом [18], а подход, основанный на формулах Сомильяны, называют прямым методом [18]. Для ограниченных областей оба метода приводят к союзным ГИУ [18].

Аналогом интегрального представления Сомильяны в дифракционных задачах акустики являются формулы Гельмгольца - Кирхгофа [192, 243].

С точки зрения практического решения задач, основное преимущество метода ГИУ заключается в том [44], что он позволяет понизить размерность исследуемой задачи на единицу, а в случае неограниченной области свести к задаче для ограниченной области.

Кроме того, методы исследования построенных ГИУ можно также разделить на два класса - высокочастотные и низкочастотные. Достоинство высокочастотного метода состоит в том, что длина зондирующего импульса имеет тот же или меньший порядок, что и характерный размер препятствия. Это приводит к регистрации интерференционных явлений, которые легко обнаружить и использовать для идентификации препятствия. Достоинства низкочастотного режима зондирующих колебаний состоят в возможности использования квазистатических результатов для решения динамических задач.

Среди рассматриваемых видов дефектов в сплошных средах выделим несплошности в виде трещин и их скоплений и дефекты в виде одиночных полостей, а также их скоплений.

Рассматриваемые в диссертации формулировки и методы решения прямых задач находятся в тесной взаимосвязи с формулировкой геометрических обратных задач динамической теории упругости с приложением их в УЗНК для определения формы невыпуклых препятствий в упругих средах.

В диссертации динамические задачи рассматриваются в рамках высокочастотных монохроматических установившихся колебаний. В связи с этим исследование некоторых из этих прямых задач возможны в рамках теории дифракции. Обзоры методов решения задач дифракции содержится в классической монографии Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К [192]. Среди важных результатов этой теории отметим теорию Зоммерфельда [272] и асимптотические теории Кирхгофа [241] и Келлера [238]. Математическим методам в теории упругих волн посвящен обзор [14]. Точные аналитические решения известны лишь для некоторых задач рассеяния на объектах канонической формы, которые допускают разделение переменных.

Точные решения были получены в задачах дифракции для кругового цилиндра в акустической среде в виде ряда Ватсона [192], дифракции плоской волны на упругом цилиндре (Pao Y. Н. и Mow С. С. [259]) и на сферической полости (Pao Y. Н. и Mow С. С. [261]). Решения некоторых задач могут быть получены в квадратурах [145, 149]. Наиболее полное изложение подходов, приводящих к точным решениям задач дифракции для акустических сред можно найти в монографиях [170, 132], а для задач дифракции в упругих средах - в монографиях [89-91, 112, 157]. Построенные аналитические решения важны при тестировании алгоритмов приближенных и численных методов решения задач дифракции. Численным методам в задачах дифракции посвящена монография [80].

С появлением ЭВМ начали бурно развиваться численные методы краевых задач. Одно из важных направлений, возникающих при решении широкого класса задач дифракции упругих и акустических волн, состоит в сведении их к сингулярным и регулярным граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Математические методы решения таких уравнений описаны в монографиях Бабешко В. А. [10], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Митра Р. и Ли С. [139], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Сеймова В. М. [168], Угодчикова А. Г. и Хуторянского Н. М. [186] и других. Применение численных методов к решению ГИУ можно найти в монографии [80]. Важной особенностью данного метода ГИУ, в основе которого лежит классическая теория потенциала [127] является сведение краевой задачи в области к решению регулярных и сингулярных ГИУ и систем меньшей размерности. Однако это преимущество достигается за счет определенных потерь, в связи с тем, что получаемые для внешней задачи ГИУ неразрешимы на собственных частотах внутренней краевой задачи. Методы, позволяющие обойти указанную трудность, излагаются в монографии Колтона Д. и Кресса Р. [120]. Вместе с тем описанные ими методы носят больше теоретический характер разрешения вопросов существования и единственности решения и в задачах коротковолновой дифракции неприменимы из-за уплотнения спектра резонансных частот, на которых внешняя задача становится неразрешимой.

За последние годы появилось большое число работ, посвященных вычислительным аспектам решения ГИУ [73, 106, 211, 233, 234]. Численным способам расчета сингулярных интегралов посвящены работы [122, 166]. Методы дискретизации ГИУ в трехмерных задачах имеют существенные отличия от двумерного случая и рассматриваются в работах [73, 106]. Метод ГИУ получил свое развитие в работах Ватульяна А. О. и его учеников [60]. Для широкого круга задач ими сформулированы ГИУ первого рода с гладкими ядрами, основываясь на преобразовании Фурье и анализе характеристического многочлена оператора упругости на полярных многообразиях и не используя понятия фундаментальных решений. Гладкость ядер может нарушаться только на особых множествах задачи (ребрах, углах, точках смены граничных условий). Сочетая классические методы дискретизации МГЭ с методами регуляризации удается построить дискретный аналог ГИУ первого рода, достаточно хорошо аппроксимирующий исходный оператор. При этом обязателен учет структуры решения на этапе дискретизации для эффективного учета окрестностей особых точек. Этот метод применяется в работе Ватульяна А. О., Ворович И. И. и Соловьева А. Н. [61] для решения обратных задач.

Для слоистых сред с полостями и упругими включениями канонических форм методы ГИУ были развиты Ляпиным А. А. и Селезневым М. Г. [136, 137]. Дальнейшее развитие волновые задачи в областях сложной геометрии получили в монографии Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82].

Применение метода ГИУ и основанного на ГИУ метода граничных элементов (МГЭ) [18, 117, 126, 211, 268, 269, 282] для решения высокочастотных задач сопряжено с большими вычислительными трудностями. С уменьшением длины волны необходимо увеличивать число граничных элементов для достижения приемлемой точности, а, следовательно, возрастает размер матрицы алгебраической системы (дискретного аналога ГИУ). Это приводит к резкому увеличению объема памяти, времени счета и ухудшению обусловленности системы. Описанное свойство МГЭ является не столько недостатком метода, сколько вызвано существом проблемы - сама коротковолновая задача неизмеримо сложней длинноволновой.

Пути решения этой проблемы связаны прежде всего с развитием более мощной вычислительной техники и разработкой специальных численно-аналитических [48] подходов в задачах с высокочастотными колебаниями.

Из многочисленных работ, посвященных дифракции на цилиндрических препятствиях с произвольной направляющей [70, 156, 164, 237, 285-289] выделим работы Тобокмана [285-289], в которых решение строится с использованием аппроксимации Паде и метода простых итераций, начинающихся с приближенного решения Кирхгофа. Численные результаты показывают эффективность аппроксимаций только для средних частот.

В работах [156, 164] решение для цилиндрической и осесимметричной полости в упругой среде получено в рядах.

Большое практическое применение в задачах теории дифракции получили приближенные подходы. К ним относятся борновское приближение [87] и приближение по Рытову [134, 165]. Эти подходы основаны на определенных требованиях к среде рассеивающей неоднородности. Так борновское приближение справедливо для слабых рассеивателей, а приближении по Рытову для плавной границы перехода среда - рассеиватель. В высокочастотной области колебаний акустических и упругих сред эффективным является применение методов геометрической оптики [41,81, 121, 124, 189, 208, 230, 299] и асимптотических методов [124, 239, 297, 299].

Развитие асимптотических методов решения задач дифракции неразрывно связанно с теорией, предложенной Кирхгофом. На основе физически ясных предположений основные свойства рассеянного поля находятся без трудоемкой процедуры решения ГИУ. Суть теории в том, что волновое поле в отверстии и на освещенной поверхности экрана принимают равным волновому полю в падающей волне. При этом не принимаются в расчет искажения волнового поля в непосредственной близости от границы отверстия. Предполагается также, что на теневой стороне экрана потенциал скорости и его нормальная производная равны нулю, как если бы экран был полностью поглощающим для дифрагированного поля. Эта теория, изначально предположенная для скалярных задач акустики, впоследствии была применена к задачам дифракции на трещинах в упругих средах [33, 210]. В диссертации эта теория обобщается для задач дифракции на полостях сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде. Теория Кирхгофа дает хорошие результаты в случае, когда диаметр отверстия больше трех длин волн, а точка наблюдения удалена от плоскости экрана. Вблизи края решение Кирхгофа значительно отличается от точного решения. Учет формы дифрагирующего тела возможен при более точном учете граничных условий. При этом можно дополнить значение падающего поля граничными значениями, полученными из решения Зоммерфельда [109, 111].

Геометрической теории дифракции посвящены многочисленные работы [42, 57, 125, 170]. Наиболее полный обзор лучевых методов содержится в монографии [192] и в работах [13, 95]. Основы теории заложены Келлером [238]. Согласно этой теории, кривизна дифрагирующего края была учтена путем введения геометрооптического коэффициента расхождения. Приближение Келлера приводит к аналитическим формулам, которые хорошо согласуются с результатами точных расчетов. Его можно применить для отверстий произвольной формы даже в тех случаях, когда линейный размер отверстия соизмерим с длиной волны. Этот подход можно обобщить на случай рассеяния на цилиндрах с направляющей произвольной формы и на пространственных телах, ограниченных гладкими поверхностями. Метод состоит в том, что отраженное поле вычисляется по законам геометрической оптики, а дифракция на крае учитывается на основе законов дифракции. Дифрагированные лучи образуют конус, вершина которого лежит на дифрагирующем элементе, а осью является касательная к этому элементу. Падающий луч и «дифракционный конус» расположены с противоположных сторон плоскости, нормальной к краю элемента. Считается, что угловое распределение интенсивности дифрагированных лучей имеет точно такой же вид, как и при дифракции на полуплоскости, а для учета кривизны дифрагирующего края предполагается, что дифрагированные лучи расходятся так, как если бы они распространялись перпендикулярно краю.

Общий лучевой подход к решению задач коротковолновой дифракции в акустической среде состоит в том, что потенциал давления представляется в виде ряда по обратным степеням волнового числа [120, 125, 252]. В результате задача сводится к решению уравнений для эйконала и переноса, исследованию которых посвящены работы Рытова С. М. [165], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12]. Особенности лучевой теории упругих волн в твердом теле излагаются в монографии Ландау и Лифшица [133], а также в работах ученых киевской школы [156]. Однако отмеченный подход обладает некоторыми недостатками, к числу которых относится неприменимость лучевой теории для определения дифракционного поля на каустиках. Фок В. А. [190] использует для преодоления этого недостатка асимптотическую теорию ползущих волн. Он разработал подход, использующий функцию Эйри при описании волновых полей, имеющих конечное значение на каустике. Во многих работах методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений волнового уравнения [12, 46, 57, 124]. Основным способом оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический метод эталонных интегралов. Наиболее употребительным его вариантом является метод перевала или седловой точки [188]. Функция Грина в задачах коротковолновой дифракции содержит экспоненту с произведением в показателе большого значения волнового числа и медленно меняющейся функции. Основной вклад в рассеянное поле дает окрестность точки стационарной фазы, определяющий луч, приходящий в точку наблюдения. Фазовая функция в интегральном представлении звукового поля удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда луча - уравнению переноса. Описание применения метода стационарной фазы для расчета локационного отражения волны от гладких выпуклых поверхностей препятствий излагается в монографии [195]. Локационное отражение от полостей с выпуклой гладкой границей в упругой среде исследовано в работах [97, 277].

При исследовании волновых полей в твердых телах важно учитывать, что скорость продольных волн в два раза больше, чем поперечных. В прикладных задачах УЗНК можно считать, что волны указанных двух типов распространяются в упругих средах независимо и взаимодействуют только на границе области. В задачах излучения волн различными датчиками на расстояниях порядка нескольких длин волн продольная и поперечная составляющие волнового поля разделяются и каждая из них определяется своим скалярным потенциалом из соответствующего уравнения Гельмгольца. Если моделировать нестационарную задачу о генерировании ультразвуковых волн в упругую среду датчиками с коротким импульсом (3-4 периода стандартной синусоиды) с помощью гармонического во времени процесса, одновременный учет продольной и поперечной составляющих поля внутри области является некорректным. Это связано с тем, что такой короткий импульс, посылаемый с границы области, порождает упругую волну, продольная компонента которой приходит в точку наблюдения примерно в два раза быстрее поперечной. Значит, во всех внутренних точках среды продольная и поперечная составляющие практически никогда на появляются одновременно. В связи с этим в УЗНК широко используется скалярная (жидкостная) модель.

Наряду с высокочастотными задачами в интегральной постановке в практически важных задачах УЗНК материалов весьма актуальными являются задачи высокочастотного рассеяния на препятствиях в локальной постановке.

Исследованию таких классических задач лучевыми методами в рамках геометрической теории дифракции (ГТД) для акустических сред посвящены монографии [12, 42, 45, 46, 87, 125] и работы [13, 43, 124, 146]. Для упругих сред решение задач рассеяния усложняется, и связано это с существованием в упругих средах двух типов волн: продольных и поперечных. В рамках ГТД рассмотрены задачи однократного отражения в монографиях и работах [81, 89-91, 105, 106, 164, 191, 202, 222, 257] в двумерном случае, а в [189, 191, 252] - в трехмерном. В задачах реконструкции формы невыпуклых препятствий или скопления препятствий в сплошных средах важен учет многократных переотражений высокочастотных волн [111, 240]. Методами ГТД в [197, 198] исследованы задачи двукратного переотражения для некоторых тел канонической формы в скалярной модели. В последних работах [222] задача рассеяния от конечного числа N сфер одинакового радиуса в акустической среде решается с помощью переразложения рядов. В работе [223] обсуждается вопрос ускорения сходимости рядов. В монографии [252] получена формула амплитуды давления в однократно отраженной высокочастотной акустической волне от поверхности акустически твердого рассеивателя произвольной формы.

В диссертации на основе модификации интегральных представлений методом стационарной фазы получены формулы для амплитуды переотраженных произвольное конечное число раз акустических волн и упругих волн с учетом их возможных трансформаций на произвольных гладких граничных поверхностях препятствий.

При исследовании различных проблем естествознания закономерным образом возникают два основных подхода в постановке задач - прямой и обратный.

При исследовании 03 математической физики предполагаются известными постановки ПЗ, каждая из которых может быть сопоставлена в рамках идентифицируемой модели с некоторым множеством 03.

В соответствии с принятой в механике математической моделью к причинным характеристикам относят граничные условия и их параметры, начальные условия, коэффициенты дифференциальных уравнений, а также геометрические характеристики области задания уравнений. Тогда следственные характеристики будут описывать состояния исследуемого объекта, под которыми обычно понимают поля физических величин той или иной природы.

Если по определенной информации о физических полях требуется восстанавливать некоторые причинные характеристики, то получаем ту или иную 03. Заметим, что 03, как правило, приводят к математически некорректным задачам [5, 16, 130, 131, 143, 181, 182, 183].

В соответствии с физическим смыслом искомой функции выделяют следующие типы 03 [4]:

1) ретроспективные задачи, заключающиеся в установлении предыстории данного состояния процесса;

2) граничные 03 - восстановление граничных условий или величин, в них входящих;

3) коэффициентные 03 - определение коэффициентов уравнений, описывающих те или иные процессы;

4) геометрические 03 - нахождение геометрических характеристик граничной поверхности.

Возможны комбинированные постановки 03.

Последние годы характеризуются ростом числа публикаций, посвященных обратным задачам дифракции. Этот интерес, особенно возросший в последние 20 лет, объясняется в первую очередь практической важностью таких исследований в радиолокации, акустике океана, медицинской ультразвуковой диагностике, ультразвуковом неразрушающем контроле. Обратным задачам математической физики посвящены монографии [55, 56, 94, 163, 193, 199] и статьи [9, 20, 21, 47, 75, 79, 184, 210, 216, 255, 290, 291, 295]. Решение обратных задач (ОЗ) связано с преодолением трех сложностей принципиального характера: некорректностью, нелинейностью и неединственностью.

Для решения некорректных задач применяется теория регуляризации Тихонова А. Н. [180-182] и подход Лаврентьева М. М. [130, 131], основанный на применении классических итерационных процедур, при этом погрешность входных данных связывается с номером итерации, на котором следует обрывать итерационный процесс. Этот подход использовался при численном решении ОЗ тепло- и массообмена [3, 4, 6-8]. Для решения нелинейных задач в основном применяется метод последовательных приближений Ньютона [147]. На каждом итерационном шаге задача сводится к линейной проблеме. Для решения линейных проблем с большим числом обусловленности используются методы регуляризации, специальные методы для решения плохо обусловленных задач [17] и достаточно универсальный вычислительный алгоритм Пэйджа - Саундерса [258], созданный на основе проекционных методов. В некоторых работах [108, 266] для решения некорректных нелинейных задач применяются методы глобального случайного поиска [108, 173]. Монография [5] посвящена экстремальным методам решения некорректных задач.

Вопросы существования и единственности рассматриваемых в диссертации 03 дифракции изложены в монографии Колтона Д. и Кресса Р. [120]. Численные аспекты решения некорректных задач исследуются в монографиях [4, 16, 86, 119, 180-182] и статьях [48, 141, 142, 258].

В диссертации разрабатываются методы решения одного из самых больших классов обратных задач - это обратные задачи рассеяния (ОЗР) и их приложения в УЗНК. Задача состоит в определении характеристик препятствий в сплошных средах (акустических, упругих) на основе рассеянного или волнового поля. Обзор литературы по ОЗР содержится в монографии Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87]. Важные результаты в ОЗР получены с применением борновского приближения в акустических средах и с использованием геометрической теории дифракции; анализ их содержится в обзорах [49, 50, 95]. Борновское приближение или приближение Кирхгофа [192] вместе с высокочастотной асимптотикой дает возможность применять метод стационарной фазы [188] для получения лучевой формулы. В лучевой теории рассеянное поле обусловлено локальной геометрией [15, 152, 153.] рассеивающей поверхности в стационарных точках. В работах Емеца В. Ф. [99-103] борновское приближение применено для получения лучевой формулы и на этой основе исследуются ОЗР. Однако упрощенные модели не всегда адекватно описывают процесс рассеяния волн на препятствиях в сплошных средах.

Теоретические проблемы в практике УЗНК [77] связаны с геометрической обратной задачей (ГОЗ) дифракции о восстановлении формы препятствия по известному рассеянному на нем волновому полю. В этом направлении выделим статьи [48-54, 62, 64-69, 75, 85, 116 160, 161, 179, 184, 203, 204, 207, 209, 210, 214, 215, 217, 221, 223-226, 229, 235, 242, 247, 248250, 270, 273, 290, 295]. Среди основных подходов к решению ГОЗ можно выделить разложение известной функции рассеяния в дальнем поле в ряд Фурье [167, 231]. Тогда коэффициенты разложения однозначно определяют рассеянное поле в виде сходящегося ряда во внешности наименьшего круга, содержащего отражатель. При этом граница неизвестного препятствия восстанавливается при соблюдении граничных условий. Для восстановления невыпуклых объектов применяется прием последовательного продолжения волнового поля рассеянной волны. Такой подход очень сложен в реализации, так же, как и вычисление суммы ряда рассеянного поля, когда точки лежат вблизи круга его сходимости. В [265] к решению рассматриваемой задачи применяется метод Ньютона и отмечается, что существуют диапазоны изменения длины волны, в которых предложенный метод теряет устойчивость. В [247] применяется подход, основанный на методе штрафных функций при минимизации невязки. Для каждого значения штрафного параметра минимизация осуществляется квазиньютоновским методом. В [217] доказывается некорректность рассматриваемой проблемы. Для ее исследования предлагается метод квазирешения, при котором решение разыскивается на некотором компактном множестве. В результате задача сводится к задаче условной минимизации функционала невязки.

Выделим подход [218, 219], который состоит в использовании целых функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Задача сводится к минимизации неотрицательного функционала на компактном множестве. Применение данного подхода на практике вызывает затруднения, так как нужно знать амплитуду рассеяния в дальнем поле на некотором интервале значений волнового числа. Следует отметить, что методы решения, предложенные в большинстве из перечисленных выше работ, не являются универсальными в смысле их эффективности. Они теряют устойчивость либо при изменении длины волны, либо при изменении характера исходных данных, либо при увеличении вытянутости тела, либо при переходе от выпуклых тел к невыпуклым и т. д.

Существенным недостатком описываемых методов является неприменимость их в случае, когда известен лишь модуль рассеянного поля в дальней зоне. Кроме того, большинство из существующих подходов способны восстанавливать границу только звездной области, их применение к реальным трехмерным задачам в высокочастотной области приводит к существенному увеличению количества определяемых неизвестных, что неприменимо в реальном масштабе времени на используемых в УЗНК персональных компьютерах.

В работе [2] проведено теоретическое исследование практических возможностей алгоритма Новикова - Хенкина решения обратной задачи рассеяния методами функционального анализа.

Количество работ, посвященных ОЗР в упругих средах, значительно уступает количеству ОЗР в акустических средах. В этой связи отметим работы [52, 53, 62, 64-69, 71, 85, 101, 173, 184, 221, 225-228, 274, 275]. В рамках упругих моделей возможно более реально описать физический эксперимент по определению формы дефекта, его месторасположения, упругих констант и плотности. Решение строгих ОЗР связано в основном с алгоритмами, которые основаны в процессе своей реализации на многократном решении строгих прямых задач. Успешное решение прямых задач рассеяния во многом связано с применением аппарата ГИУ и основанного на нем МКЭ [64-69, 79, 174, 236, 278-281] Методы решения строгих геометрических ОЗР также связаны с методом ГИУ. В последнее десятилетие идут поиски выработки общих методов для решения геометрических ОЗР в строгой постановке. Отличительной чертой таких задач было то, что в них восстановлению подлежала сразу вся поверхность рассеивателя.

Одним из первых примеров удачного решения строгой геометрической ОЗР в дифракционной постановке является работа Воровича И. И. и Сумбатяна М. А. [79]. В качестве входной информации рассматривалась круговая диаграмма направленности при всевозможных углах падающего поля. Выделим основные моменты подхода, используемого авторами в этой работе. Во-первых, на основе метода ГИУ формулируются операторные уравнения ОЗ. Во-вторых, производится дискретизация операторных уравнений на основе МГЭ и задача сводится к поиску минимума неквадратичного функционала. Для нахождения минимума применяется классический итерационный метод последовательных приближений. На каждом итерационном шаге решается линейная проблема. Третьим моментом является использование при решении линеаризованного уравнения регуляризирующих алгоритмов. Конкретные примеры реконструкции выпуклых и невыпуклых объектов сложной формы показывают высокую эффективность предложенного алгоритма в области низких и средних частот колебаний.

В диссертации предложенный в статье [79] метод применяется на более сложные задачи реконструкции формы препятствий в упругих средах.

Пожалуй, первой попыткой отказаться от дифракционной постановки при решении строгих ОЗР являются работы японских ученых Танаки М., Накамуры М. и Ямагивы К. [279, 280]. Восстановлению здесь подлежит не только форма дефекта, но и место его расположения в упругой области.

В основе подхода, предложенного японскими авторами, лежит возможность сведения задачи об установившихся колебаниях упругих ограниченных сред к ГИУ. Далее эти ГИУ линеаризуются в окрестности задачи с известным дефектом, который предполагается близким к искомому. В качестве меры близости используется расстояние по нормали между известной границей дефекта и искомой. Эта функция находится из решения линеаризованных уравнений и дает возможность уточнить начальную форму дефекта. Многократное применение линеаризованной схемы предполагает стремление итерационной последовательности получаемых форм к искомой форме. При дискретизации линеаризованных интегральных уравнений, используемых МГЭ, этот метод также эффективен в области низких и средних частот, но при численной реализации требует затрат машинного времени больше, чем [79].

Цель работы состоит в 1) получении в рамках исследования прямых задач высокочастотного рассеяния на основе асимптотических методов аналитических выражений характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах;

2) разработке модификации метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде;

3) развитии метода решения геометрической обратной задачи рассеяния в дифракционной постановке о реконструкции формы невыпуклого препятствия, находящегося в упругой среде;

4) разработке новых методов решения геометрических обратных задач рассеяния в лучевом приближении о восстановлении граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносится модификация метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде; аналитические выражения характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах, полученные на основе асимптотических методов; разработка и развитие методов решения геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке и в лучевом приближении о реконструкции граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.

Методика исследований поставленных в диссертации прямых и обратных задач высокочастотной динамики упругих сред основана 1) на интегральных представлениях их основных искомых характеристик и применении к их анализу асимптотических методов;

2) на методе граничных уравнений и его модификации в высокочастотной области колебаний с учетом механических особенностей взаимодействия волнового поля с граничной поверхностью объекта сложной невыпуклой формы;

3) на сведении геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке к нелинейным системам интегральных уравнений, для которых разрабатывается метод градиентного спуска с квадратичной аппроксимацией на каждом шаге;

4) на сведении геометрических обратных задач высокочастотного рассеяния в лучевом приближении к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка известной геометрической проблемы Минковского в специальной системе координат, для которого построены точные аналитические решения и разработаны численные методы.

В первых трех главах диссертации исследуется классическая задача рассеяния высокочастотной волны от точечного источника, находящегося в акустической или упругой среде на поверхности одного рассеивателя или поверхностей системы рассеивателей с учетом возможных переотражений.

В главе 1 рассматривается двумерная задача о рассеянии высокочастотных продольных и поперечных волн на криволинейных контурах полостей, находящихся в упругой среде.

1. В рамках двумерной задачи динамической теории упругости исследовано высокочастотное рассеяние продольной и поперечной волн на криволинейной замкнутой гладкой границе полости, находящейся в изотропной упругой среде. Падающая высокочастотная круговая волна обусловлена сосредоточенной силой, изменяющейся во времени по гармоническому закону. На основе оценки дифракционного интеграла Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики перемещений в отраженных продольной и поперечной волнах.

2. Исследовано высокочастотное рассеяние упругих волн на граничных контурах системы двух полостей, находящихся в безграничной упругой среде. Для двукратно отраженных волн изучены все случаи переотражений с учетом возможных трансформаций волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную.

3. На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получены главные члены асимптотики перемещений в переотраженных произвольное конечное число раз упругих волн с учетом их возможных трансформаций на граничных поверхностях систем полостей, находящихся в упругой среде.

Глава 2 посвящена развитию лучевой теории дифракции применительно к произвольным невыпуклым гладким препятствиям в скалярном случае. Рассматривается трехмерная задача. Излагается асимптотический метод оценки дифракционных интегралов, основанный на методе многомерной стационарной фазы. Дифракционные интегралы получены на основе обобщения физической теории дифракции Кирхгофа. Получены явные формулы для давления в отраженной волне в случаях её однократного, двукратного и произвольного конечного числа переотражений.

В главе 3 рассматривается классическая задача рассеяния высокочастотных волн от точечного источника в упругой среде на расположенной в ней полости или системе полостей. Полости ограничены произвольными гладкими поверхностями. Изучены случаи однократного отражения продольной и поперечной волн с учетом их трансформаций на граничной поверхности и многократные отражения с различными возможными трансформациями упругих волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную. Для исследования задачи развит метод, основанный на оценке дифракционных интегралов методом многомерной стационарной фазы. На основе разработанного метода получены в замкнутом виде главные члены асимптотики перемещений дифрагированного поля в случаях однократных и многократных отражений.

В главе 4 разработаны усовершенствованные численные методы, эффективные для высокочастотных прямых и обратных задач рассеяния динамической теории упругости

В параграфе 4.1 разрабатывается модификация метода граничных интегральных уравнений для исследования двумерных задач высокочастотного рассеяния на препятствиях с произвольным гладким контуром, находящихся в упругой среде.

В параграфе 4.2. на основе четырехкратного дифракционного интеграла Кирхгофа разработан прямой численный метод в трехмерной задаче коротковолновой дифракции сферической волны с учетом её двукратного переотражения на системе двух абсолютно твердых шаровых препятствий, находящихся в безграничной акустической среде.

В параграфе 4.3 рассматривается обратная задача дифракции о восстановлении формы полости по рассеянному на ней волновому полю. Задача в такой постановке относится к геометрическим обратным задачам рассеяния (ОЗР) и имеет важные прикладные приложения в ультразвуковом неразрушающем контроле (УЗНК). Задача сведена к системе трех нелинейных уравнений относительно трех неизвестных функций. В связи с тем, что соотношение для рассеянной волны в дальнем поле является интегральным уравнением 1-го рода с гладким ядром, задача является некорректной по Тихонову. Поэтому для решения задачи следует применять один из методов регуляризации. Алгоритм реконструкции состоит в минимизации неквадратичного функционала невязки уравнений. Минимизация осуществляется итерационным методом градиентного спуска с использованием для него на каждом шаге квадратичной аппроксимации. Показывается, что предложенный подход не совпадает ни с методом Левенберга - Маркардта, ни с методом регуляризации Тихонова, ни с другими известными методами.

В главе 5 разрабатываются новые методы реконструкции полостей невыпуклой формы, находящихся в упругой среде. Эти методы базируются на реально измеряемых в процессе практического сканирования двух величинах. Предполагается, что при облучении полости в эхо-режиме высокочастотными монохроматическими волнами в любом направлении известными являются время прихода эхо-сигнала и вещественная амплитуда отраженной волны. Обратная задача высокочастотного рассеяния формулируется с использованием методов дифференциальной геометрии. Форма неизвестной граничной поверхности полости задается опорной функцией Минковского в координатах нормали к поверхности. Относительно функции Минковского [19, 154, 155] дан вывод основного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Для осесимметричных поверхностей препятствий получено точное аналитическое обращение оператора обратной задачи в форме повторного интеграла по угловой координате. В общем случае граничных поверхностей предлагается численный метод решения основного уравнения. Приведены примеры восстановления формы как осесимметричных полостей, так и полостей сложной невыпуклой формы.

В заключении представлены основные результаты и выводы по исследованиям, изложенным в диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ [22-40, 174-178, 274-275, 294], из них 11 работ [25, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 174, 175] в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций и 3 [274, 275, 294] работы в ведущих западных журналах (список публикаций приводится в конце автореферата). Часть из этих основных работ выполнена в соавторстве с коллегами.

В работах [36, 174, 175], посвященных разработке методов восстановления формы дефекта по рассеянному волновому полю в упругой среде, Сумбатяну М. А. принадлежит формулировка обратной задачи и разработка метода ее решения для скалярной модели. Диссертанту принадлежит постановка и разработка аналитических и численных методов решения геометрической обратной задачи о реконструкции формы полости, находящейся в упругой среде в двумерном, осесимметричном, пространственном случаях, а также численная реализация построенных алгоритмов. В работах [35, 274], посвященных высокочастотному рассеянию акустических и упругих волн на препятствиях в сплошных средах, Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи коротковолновой дифракции акустических волн и исследование двумерной скалярной задачи с учетом переотражений. Диссертанту принадлежит постановка и исследование двумерной задачи в случае однократного и двукратного отражения упругих волн с учетом трансформаций на граничном контуре, а также решение пространственной задачи дифракции акустических волн при произвольном числе переотражений.

В работах [33], [294], посвященных прямым и обратным геометрическим задачам в сплошных средах академику РАН Воровичу И. И. принадлежит выбор методов исследования. Сумбатяну М. А. принадлежит разработка модификации метода ГИУ для объектов, находящихся в акустической среде, сведение обратной задачи к проблеме Минковского в декартовых координатах нормали к поверхности. Диссертанту принадлежит разработка модификации метода ГИУ для полостей в упругой среде, получение основного дифференциального оператора Минковского в географической системе координат и точное обращение оператора обратной задачи в двумерном и осесимметричном случаях, а также разработка пошагового численного метода решения пространственной обратной задачи и численная реализация алгоритмов.

В работе [32], посвященной восстановлению контура невыпуклых препятствий в коротковолновой области, Сумбатяну М. А. принадлежит сведение обратной задачи к задаче дифференциальной геометрии. Ватульяну А. О. принадлежит метод фильтрации квадрата амплитуды отраженной волны. Диссертанту принадлежит разработка метода решения двумерных обратных задач и его численная реализация для полостей сложной невыпуклой формы.

В работе [34], посвященной реконструкции дефекта сложной формы по известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны, диссертанту принадлежат идея и метод решения задачи, метод реконструкции и получение аналитических формул выпуклой оболочки полости, разработка численного метода использования этих формул для реконструкции формы полости при практическом сканировании. Зотову В. М. принадлежит проведение эксперимента и получение экспериментальных данных. Трояну Э. А. принадлежит реализация численного метода.

В работе [275], посвященной математическому моделированию в практике УЗНК, Сумбатяну М. А. принадлежит разработка метода точного расчета волнового поля преобразователя, работающего на продольных волнах и расчет АРД-диаграмм для монетообразной трещины при ее озвучивании наклонным преобразователем, работающем на поперечных волнах. Диссертанту принадлежит разработка модификации метода ГИУ в двумерной задаче высокочастотного рассеяния контуром полости сложной невыпуклой формы, находящейся в упругой среде.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (коды проектов - 95-01-00240а, 97-0100633, 00-01-00313, 05-01-00155а), гранта ШТАЗ/А^Ьив № 04-80-7043, гранта Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ № НШ-2113.2003.1 и государственного контракта № 02.445.11.7042 (Федеральное агентство по науке и инновациям, Ведущая научная школа, шифр работы РИ - 112 / 001 / 428).

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, доктору физико-математических наук, профессору Устинову Ю. А. и доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику Сумбатяну М. А. за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Боев, Николай Васильевич

Основные результаты и выводы исследований, изложенных в диссертации

1. В рамках двумерной и трехмерной задач динамической теории упругости на основе интегральных представлений исследована задача в локальной постановке о высокочастотном рассеянии волн на граничных поверхностях системы полостей, находящихся в бесконечной изотропной упругой среде, в замкнутом виде получены главные члены асимптотики перемещений в отраженной волне, претерпевшей конечное число отражений.

2. Асимптотической оценкой дифракционных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы в замкнутом виде получен главный член асимптотики решения в отраженной произвольное конечное число раз высокочастотной акустической волне от поверхности рассеивателя в скалярном случае.

3. Разработана модификация метода граничных интегральных уравнений для исследования двумерных задач высокочастотного рассеяния на полостях с произвольным невыпуклым гладким контуром, находящихся в упругой среде.

4. Численным и асимптотическим методами исследовано высокочастотное двукратное переотражение сферической волны от двух сферических рассеивателей в скалярном случае, показана эффективность асимптотического решения в области высоких частот.

5. На основе граничных интегральных уравнений развит метод геометрической обратной задачи рассеяния в дифракционной постановке о реконструкции формы невыпуклого препятствия, находящегося в упругой среде.

В лучевом приближении обратная задача о реконструкции формы невыпуклого препятствия в упругой среде сведена к проблеме Минковского о восстановлении формы поверхности рассеивателя по известной гауссовой кривизне. В двумерном и осесимметричном случаях получено точное обращение оператора обратной задачи. Разработан алгоритм восстановления формы невыпуклых двумерных препятствий с негладким граничным контуром положительной кривизны в лучевом приближении.

На основе опорной функции Минковского построены аналитические выражения для декартовых координат точек выпуклой оболочки рассеивателя. Для случая практического кругового сканирования в эхо-режиме разработан алгоритм, позволяющий построить выпуклую оболочку дефекта невыпуклой формы в упругом теле по времени прихода обратной волны, известному для различных углов сканирования.

Разработан пошаговый численный метод реконструкции формы неосесимметричного невыпуклого препятствия, замкнутая поверхность которого составлена из кусков выпуклых поверхностей, имеющих общую линию пересечения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Боев, Николай Васильевич, 2005 год

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир. - 1983. -Т. 1.-520 е.; Т. 2.-360 с.

2. Алексеенко Н. В., Буров В. А., Румянцева О. Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова Хенкина. // Акуст. журн. - 2005. - 51, N 4. - С. 437 - 446.

3. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена и исследование тепловых процессов в проектировании технических систем. // Инженерно-физический журнал. 1977. - 33, N 6. - С. 972 - 981.

4. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). -М.: Машиностроение. 1979. - 216 с.

5. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.: Наука. - 1988. - 288 с.

6. Алифанов О. М., Егоров Ю. В. Алгоритмы и результаты решения граничной обратной задачи теплопроводности в двумерной постановке. // Инженерно-физический журнал: ИФЖ. 1985. - 48, N 4. -С. 658-666.

7. Алифанов О. М., Керов Н. В. Определение параметров внешнего теплового нагружения из решения двумерной обратной задачи теплопроводности. // Инженерно-физический журнал: ИФЖ. 1981. -41, N4.-С. 581 -586.

8. Алифанов О. М., Румянцев С. В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач. // Докл. АН СССР. -1979. 248, N 6. - С. 1289 - 1291.

9. Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Градиентный метод нахождения гладких решений граничных обратных задач. // Инженерно-физический журнал: ИФЖ. 1980. - 39, N 2. - С. 259 - 263.

10. Бабешко В. А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука. -1984.-256 с.

11. Бабешко В. А., Глушков Е. В, Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука. - 1989. - 343 с.

12. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. - 1972. - 456 с.

13. Бабич В. М., Булдырев В. С., Молотков И. А. Пять лекций по асимптотическим методам в задачах дифракции и распространения волн. Изд.-во ЛГУ. - 1972. - 76 с.

14. Бабич В. М., Молотков И. А. Математические методы в теории упругих волн. // Итоги науки и техники. Т. 10. - Сер. Мех. твердого деформ. тела. - М.: ВИНИТИ АН СССР. - 1977. - С. 5 - 62.

15. Бакельман И. Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. М.: Наука. - 1965. - 340 с.

16. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: МГУ. - 1989. - 199 с.

17. Бахвалов Н. С. Численные методы. М: Наука. - 1973. - 631 с.

18. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир. - 1984. - 494 с.

19. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. 1. - М.-Л.: Объединенное науч.-тех. изд.-во НКТП СССР. Глав. ред. общетех. лит. и номографии. - 1935.-330 с.

20. Бобровницкий Ю. И. Задача восстановления поля в структурной интенсимметрии: постановка, свойства, численные аспекты. // Акуст. журн. 1994. - 40, N3.-0. 367 - 376.

21. Бобровницкий Ю. И., Коротков М. П., Кочкин А. А., Томилина Т. М. Постановка и решение задачи восстановления волнового поля вупругой конструкции. // ДАН. Механика. 1998. - 359, N 2. -С. 190- 193.

22. Боев Н. В. Восстановление формы препятствия в сплошной среде на основе функции Минковского. // Междунар. шк.-семинар по геом. и анализу, посвящ. 90-летию Н. В. Ефимова: Тез. докл. Ростов-на-Дону. -2000.-С. 188- 189.

23. Боев Н. В. Двукратное отражение высокочастотных волн на полостях в упругой среде. // В кн.: Тр. участников Междунар. шк.- семинара по геом. и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. - 2004. -С. 174- 176.

24. Боев Н. В. Переотражения высокочастотных волн в упругой среде на системе полостей. // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2004. - С. 13 - 18.

25. Боев Н. В. Рассеяние высокочастотной волны на поверхностях в сплошных средах. // В кн.: Соврем, пробл. мех. сплошной среды: Тр. VIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Новая книга. - 2003. -С. 46-48.

26. Боев Н. В. Рассеяние высокочастотной поперечной волны на полости в упругой среде. // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. - N 3. - С. 29 - 34.

27. Боев Н. В. Рассеяние высокочастотной продольной волны на свободной неплоской граничной поверхности упругого тела. // В кн.: Труды III Всеросс. конф. по теории упругости с междунар. участием. -Ростов-на-Дону: Новая Книга. 2004. - С. 87 - 89.

28. Боев Н. В. Рассеяние высокочастотных волн на поверхностях в сплошных средах с учетом переотражений. //Акуст. журн. 2004. - 50, N6.-0.756-761.

29. Боев Н. В. Рассеяние высокочастотных волн на произвольной невыпуклой граничной поверхности упругого тела с учетом переотражений. // Изв. РАН. МТТ. 2005. - N 5. - С. 65 - 80.

30. Боев Н. В. Численный метод реконструкции трехмерных невыпуклых препятствий в коротковолновой области. // В кн.: Соврем, пр. мех. сплошной среды: Тр. IV Междунар. конф. Ростов-на-Дону. - 1998. -С. 61-64.

31. Боев Н. В., Ватульян А. О., Сумбатян М. А. Восстановление контура невыпуклых препятствий в коротковолновой области. // Акуст. журн. -1997.-43, N4.-С. 458-462.

32. Боев Н. В., Ворович И. И., Сумбатян М. А. Метод граничных интегральных уравнений в задачах коротковолновой дифракции. // Изв. РАН. Механика твердого тела: МТТ. 1992. - N 5. - С. 38 - 42.

33. Боев Н. В., Зотов В. М., Троян Э. А. Реконструкция дефекта сложной формы по известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны. // Акуст. журн. 2003. - 49, N5.-0. 585 - 589.

34. Боев Н. В., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью. // Доклады РАН. -2003. 392, N 5. - С. 614 - 617.

35. Боев Н. В., Сумбатян М. А. Обратная задача коротковолновой дифракции для невыпуклых осесимметричных препятствий. // Акуст. журн. 1999. - 45, N 2. - С. 164 - 168.

36. Боев Н. В., Сумбатян М. А. Реконструкция формы невыпуклых дефектов в упругих средах на основе лучевой теории дифракции ультразвуковых импульсов. // В кн.: Соврем, пробл. мех. сплошной среды. Междунар. конф.: Тез. докл. Ростов-на-Дону. - 1995. - С. 52.

37. Боев Н. В., Устинов Ю. А. Геометрическая теория дифракции на поверхности препятствия в сплошной среде. // В кн.: Тр. участников Междунар. шк.-семинара по геом. и анализу памяти Н. В. Ефимова. -Ростов-на-Дону. 2002. - С. 178 - 179.

38. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. - 1973. - 720 с.

39. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теории дифракции. -М.: Связь.-1978.-248 с.

40. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Некоторые вопросы асимптотической теории дифракции. // ТИИЭР. 1974. - 62, N 11. - С. 6 - 29.

41. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-525 с.

42. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. - 1973. -344 с.

43. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука. -1989.-412 с.

44. Булычев Е. В., Гласко В. Б., Фёдоров С. М. О восстановлении начальной температуры по её измерениям на поверхности. // Журнал вычислительной математики и математической физики: ЖВМ и МФ. -1983.-23, N6.-С. 1410-1416.

45. Буров В. А., Глазков А. В., Горюнов А. А., Прудникова И. П., Румянцева О. Д., Тягунов Е. Я. Численное и физическоемоделирование двумерных обратных граничных задач рассеяния скалярных волн. // Акуст. журн. 1990. - 36, N 5. - С. 832 - 839.

46. Буров В. А., Горюнов А. А., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратная задача рассеяния в ультразвуковой технике и медицине (обзор). // Вопросы судостроения. 1985. - N 1. - С. 32 - 46.

47. Буров В. А., Горюнов А. А., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратные задачи рассеяния в акустике (обзор). // Акуст. журн. 1986. - 32, N 4. -С. 433-449.

48. Буров В. А., Касаткина Е. Е., Румянцева О. Д. Обратная задача статистического оценивания характеристик рассеивателя и модельные примеры её решения. // Акуст. журн. 2003. - 49, N 3. - С. 348 - 358.

49. Буров В. А., Прудникова И. П. Итерационный алгоритм решения обратной граничной задачи рассеяния ультразвука на полости в изотропном твердом теле. // Акуст. журн. 1999. - 45, N 6. -С. 759-766.

50. Буров В. А., Прудникова И. П., Сироткина Н. С. Обратная задача рассеяния ультразвука на полости в изотропном твердом теле. // Акуст. журн. 1992. - 38, N 6. - С. 1013 - 1018.

51. Буров В. А., Рычагов М. Н. Дифракционная томография как обратная задача рассеяния. Интерполяционный подход. Учет многократных рассеяний. // Акуст. журн. 1992. - 38, N 5. - С. 844 - 855.

52. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука.- 1988.- 183 с.

53. Бухгейм А. Л. Уравнение Вольтера и обратные задачи. Новосибирск: Наука, - 1983.-207 с.

54. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. -М.: Наука.-1982.-272 с.

55. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука. - 1986. - 179 с.

56. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. -М.: Советское радио. 1966. - 431 с.

57. Ватульян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости. // Докл. РАН. -1993.-333,N3.-С. 312-314.

58. Ватульян А. О., Ворович И. И., Соловьев А. Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости. // Прикладная математика и механика: ПММ. 2000. - 64, вып. 3. - С. 373 - 380.

59. Ватульян А. О., Гусева И. А. О восстановлении формы полости в ортотропной упругой полуплоскости по заданному на границе волновому полю. // Прикладная математика и механика: ПММ. 1993. -N4.-С. 149- 152.

60. Ватульян А. О., Кацевич А. Я. Колебания упругого ортотропного слоя с полостью. // Прикладная математика и техническая физика: ПМ и ТФ. -1991.-N1.-С. 95-97.

61. Ватульян А. О., Корейский С. А. Метод линеаризации в геометрических обратных проблемах теории упругости. // ПММ. -1997. 61, вып. 4. - С. 639 - 646.

62. Ватульян А. О., Корейский С. А. Метод линеаризации в обратной задаче для среды со свободной границей. // Акуст. журн. 1995. - 41, ЫЗ.-С. 395-399.

63. Ватульян А. О., Корейский С. А. Об определении формы включения в упругом полупространстве по известному волновому полю на его границе. // Дефектоскопия. 1994. - N 2. - С. 64 - 70.

64. Ватульян А. О., Коренский С. А. Об учете влияния свободной границы при расчете акустического поля в среде с приповерхностным дефектом // Дефектоскопия. -1993.-N3.-C.19-2!.

65. Ватульян А. О., Коренский С. А. О восстановлении формы цилиндрического дефекта в полупространстве. // Дефектоскопия. -1993.-N5.-С. 30-34.

66. Ватульян А. О., Корейский С. А. О реализации метода граничных интегральных уравнений в геометрической обратной задаче для упругой среды. // Деп. в ВИНИТИ 12. 05. 04. N 1189 - В 94.

67. Ватульян А. О., Потетюнко А. Э. О сдвиговых колебаниях полупространства с цилиндрической полостью произвольной формы. // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы: СКНЦ ВШ. Естественные науки. — 1991. — N 1. — С. 57 — 58.

68. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Об определении размеров дефекта в составном упругом теле. // Дефектоскопия. 2004. - N 5. - С. 15 - 23.

69. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. -М.: Наука, 1981.-287 с.

70. Вопилкин А. X. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. I. Физические закономерности волн дифракции. // Дефектоскопия. 1985. - И 1. - С. 20 -34.

71. Вопилкин А. X. Методы распознавания типа и измерения размеров дефектов в ультразвуковой дефектоскопии (обзор). // Дефектоскопия. -1990.-К 1.-С.З-22.

72. Ворович И. И., Александров В. М, Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. - 1974. - 455 с.

73. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. - 1979. - 319 с.

74. Ворович И. И., Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный Мир. - 1999.-246 с.

75. Ворович И. И., Сумбатян М. А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела: МТТ. 1990. -Ы 6. - С. 79 - 84.

76. Галишникова Т. Н., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. -М.: Изд-во МГУ. 1987.-207 с.

77. Гельчинский Б. Я. Отражение и преломление упругой волны произвольной формы в случае криволинейной границы раздела. // ДАН СССР. 1958. - 118, N 3. - С. 458 - 460.

78. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд.-во РГУ. - 1993. - 144 с.

79. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. -М.: Мир.- 1985.-509 с.

80. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ. -1984.- 112 с.

81. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Ехлаков А. В. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин. // Прикладная математика и механика: ПММ. 2002. - 66, вып. 1. -С. 147- 156.

82. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука. - 1978. - 336 с.

83. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд.-во МГУ. - 1989. - 152 с.

84. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наукова Думка. - 1978. - 264 с.

85. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. - 1981. - 284 с.

86. Гузь А. Н., Головчан В. Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наукова думка. — 1972. - 254 с.

87. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко М. А. Дифракция упругих волн. -Киев: Наукова думка. 1978. - 308 с.

88. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее приложение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат. - 1953. - 416 с.

89. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Пер. с англ. -М.: Радио и связь. 1985. - 304 с.

90. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд.-во МГУ. - 1994.-206 с.

91. Дешамп Г. Лучевые методы в теории электромагнетизма. // ТИИЭР. -1972.-60, N9.-С. 5-20.

92. До Дык Тханг, Кюркчан А. Г. Эффективный метод решения задач дифракции волн на рассеивателях, имеющих изломы границы. // Акуст. журн. 2003. - 49, N 1. - С. 51 - 58.

93. Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на телах с произвольной гладкой границей в двумерном случае. // Акуст. журн. 1992. - 38, N 3. - С. 470 - 476.

94. Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Численно-аналитический метод в задачах коротковолновой дифракции. // Акуст. журн. 1990. - 36, вып. 2.-С. 269-275.

95. Емец В. Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонким однородным включением. // Прикладная математика и механика: ПММ. 1986. - 50, N 2. - С. 303 - 308.

96. Емец В. Ф. Обратная задача рассеяния акустических волн недеформируемым замкнутым препятствием. // Акуст. журн. 1991. -37, N3.-С. 469-476.

97. Емец В. Ф. Обратная задача рассеяния упругих волн замкнутой гладкой полостью. // Дефектоскопия. 1988. - N 2. - С. 59 - 67.

98. Емец В. Ф. О дистанционном определении свойств тонких акустических рассеивателей при помощи звуковых волн. // Акуст. журн. 1985. - 31, N 3. - С. 332 - 337.

99. Емец В. Ф. Решение одной обратной задачи рассеяния в линеаризованной постановке. // Журнал вычислительной математики и математической физики: ЖВМ и МФ. 1984. - 24, N 4. - С. 615 - 619.

100. Ермолов И. Н. Методы ультразвуковой дефектоскопии. М.: МГИ. -1966. -Ч. 1.-267 е.; Ч. 2.- 116 с.

101. Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля. -М.: Машиностроение. 1981. -240 с.

102. Ершов Н. Е., Смагин С. И. Решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов. // Дифференц. уравнения. 1993. -29, N 9. - С. 1517- 1525.

103. Жарий О. Ю., Улитко А. Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Выща Школа. - 1989. - 184 с.

104. Жиглявский А. А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: Изд-во ЛГУ. - 1985. - 295 с.

105. Залгаллер В. А. Теория огибающих. -М.: Наука. 1975. - 104 с.

106. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики: Пер. с нем. М.: ИЛ. - 1950. - 456 с.

107. Исраилов М. Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. -М: Изд-во МГУ. 1992. - 208 с.

108. Кайно Г. Акустические волны. -М.: Мир. 1990. - 656 с.

109. Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: Физматгиз. - 2002. - 240 с.

110. Каппелини В., Константинидис А. Д. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат. - 1983. - 360 с.

111. Кинбер Б. Е. Решение обратной задачи геометрической акустики. // Акуст. журн. 1955. - 1, N 3. - С. 221 - 228.

112. Кит Г. С., Михаськив В. В., Хай О. М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов. // Прикладная математика и механика: ПММ. 2002. - 66, вып. 5. - С. 855 - 863.

113. Клещев А. А., Клюкин И. И. Основы гидроакустики. -Д.: Судостроение. 1987. - 224 с.

114. Коздуба J1. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка. - 1982. - 359 с.

115. Колтон Д. и Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. - 1987.-311 с.

116. Конторович М. И., Муравьев Ю. К. Вывод законов отражения геометрической оптики на основе асимптотической трактовки задачи дифракции. // Журнал технич. физики. 1952. - 22, N 3. - С. 394 - 409.

117. Корнейчук JI. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука. - 1964. - С. 64 - 74.

118. Космодамианский А. С., Сторожев В. И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Думка. - 1985. -175 с.

119. Кравцов Ю. А. О двух новых асимптотических методах в теории распространения волн в неоднородных средах. // Акуст. журн. 1968. -14,N 1.-С. 1-24.

120. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука. - 1980. - 304 с.

121. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. - 1987. - 256 с.

122. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. -М.: Физматгиз. 1963. - 472 с.

123. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. - 1976. - 664 с.

124. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. 3-е изд. -M.-JI.: Гостехиздат. 1951.-476 с.

125. Лаврентьев М. М. О некорректных задачах математической физики. -Новосибирск: СО АН СССР. 1962. - 68 с.

126. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. - 1980. - 288 с.

127. Лаке П. Д., Филипс Р. С. Теория рассеяния. М. Мир. - 1971. - 312 с.

128. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. Т. VII. М.: Наука. -1978.-248 с.

129. Левин М. Л., Рытов С. М. О переходе к геометрическому приближению в теории упругости. // Акуст. журн. 1956. - 2, N 2. - С. 173 - 179.

130. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. 1. -М.: Наука.- 1982.-352 с.

131. Ляпин А. А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом. // ПМТФ. 1994. - 35, N 5. - С. 87 - 91.

132. Ляпин А. А., Румянцев А. Н., Селезнев М. Г. Динамическая контактная задача для двуслойного полупространства со сферической полостью. // ПМТФ. 1991.-N3.-С. 125- 129.

133. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд.-во ЛГУ. - 1955. - 656 с.

134. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.: Мир.- 1974.-328 с.

135. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. Ф. Граничные интегральные уравнения и задачи теории упругости. Л.: Изд.-во ЛГУ. - 1986. - 88 с.

136. Мишин В. П., Алифанов О. А. Повышение качества отработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена.

137. Общие вопросы теории. // Машиноведение. 1986. - N 5. -С. 19-29.

138. Мишин В. П., Алифанов О. А. Повышение качества отработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена.1.. Практические приложения. // Машиноведение. 1986. - N 6. -С. 11-21.

139. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач. -М.: Изд.-во МГУ. 1974. - 359 с.

140. Нигул У. К., Метсавээр Я. А., Векслер Н. Д., Кутсер М. Э. Эхо-сигналы от упругих объектов. Таллин: Инст. Кибернетики АН ЭССР. - 1974. -Т. 1.-345 с.

141. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. - 1975. - 872 с.

142. Орлов Ю. И., Орлова Н. С. Асимптотической метод определения полей дифракции волн на выпуклых телах вращения. // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. -21, N7. -С. 1011 - 1018.

143. Ортега Д., Реинболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многих неизвестными. М.: Мир. - 1975. - 558 с.

144. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук 3. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова Думка, - 1984. - 344 с.

145. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука.- 1977.-312 с.

146. Петрашень Г. И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука. - 1980. - 280 с.

147. Петрашень Г. И., Молотков JI. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Д.: Наука. - 1982. - 289 с.

148. Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. -М.: Наука. 1969.-759 с.

149. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. - 1969. -176 с.

150. Погорелов А. В. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука. -1975.-96 с.

151. Погорелов А. В. Многомерное уравнение Монжа-Ампера. М.: Наука.- 1988.-96 с.

152. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К., Сорока П. Н. Распространение упругих волн от криволинейной цилиндрической полости. // Прикладная механика: ПМ. 1985. - 21, N 12. - С. 21 - 26.

153. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука.- 1986.-328 с.

154. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир.- 1989.-480 с.

155. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука. -1978.-384 с.

156. Рамм А. Г. Определение формы отражающего тела по характеристике рассеяния. // Изв. ВУЗов. Сер. Радиофизика. 1970. - 13, N 5. -С. 727-731.

157. Рамм А. Г. Численный метод решения обратных задач рассеяния. // Докл. РАН. 1994. - 337, N 1. - С. 20 - 22.

158. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Госуд. изд.-во тех.-теор. лит. - 1956. - 420 с.

159. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. -1984.-261 с.

160. Рубцов Ю. К., Сорока П. Н. Распространение высокочастотных гармонических упругих волн от осесимметричной полости. // Теорет. и прикл. механика. 1987.-N 18.-С. 87-95.

161. Рытов С. М. О переходе от волновой к геометрической оптике. // Докл. АН СССР. 1938. - 18, N 4 - 5. - С. 263 - 266.

162. Саникидзе Д. Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов. // Дифференц. уравнения. -1993. 29, N 9. - С. 1517 - 1525.

163. Свешников А. Г., Ильинский А. С., Еремин Ю. А., Чивилев А. В. Некоторые аспекты исследования задачи восстановления формы идеального рассеивателя. // Вычислит, методы программир. М.: Изд.-во МГУ. - 1982. - N 36. - С. 126 - 134.

164. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова думка. - 1976.-283 с.

165. Сеймов В. М., Трофимчук А. Н., Савицкий О. А. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наукова думка. - 1990. - 222 с.

166. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир. - 1976. - Т. 1. - 520 е.; Т. 2. -542 с.

167. Слепян J1. И. Нестационарные упругие волны. Д.: Судостроение. -1972.-371 с.

168. Стайнберг Б. Д., Карлсон Д. Д., Ву Сэн Ли. Экспериментальное определение ЭПО отдельных отражающих частей самолета. // ТИИЭР. -1989.-77, N5.-С. 35-42.

169. Сумбатян М. А. Метод глобального случайного поиска в обратных задачах с приложениях к проблеме распознавания образа дефекта. // Прикладная математика и механика: ПММ. 1992. - N 5. -С. 873 - 876.

170. Сумбатян М. А., Боев Н. В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде. // ДАН СССР. 1991.-318, N4.-С. 880-882.

171. Сумбатян М. А., Боев Н. В. Обратная задача коротковолновой дифракции на препятствиях в сплошных средах. // Известия СевероКавказского научного центра высшей школы: СКНЦ ВШ. Естественные науки. 2000. - N3.-C. 161-163.

172. Сумбатян М. А., Боев Н. В. Переотражения высокочастотных волн на поверхностях сложной формы. // В сб.: «Проблемы механики деформируемых тел», посвященном 90-летию акад. HAH РА Н. X. Арутюняна. Ереван: Гитутюн. -2003. - С. 331 -339.

173. Сумбатян М. А., Боев Н. В. Точные решения задач акустики на основе пространственной симметрии. // В кн.: Соврем, пробл. мех. сплошной среды: Тр. V Междунар. конф. Ростов-на-Дону. - 2000. - С. 175 - 179.

174. Сумбатян М. А., Троян Э. А. Восстановление формы выпуклого дефекта по рассеянному волновому полю в лучевом приближении. // Прикладная математика и механика: ПММ. 1992. - 56, вып. 3. -С. 552-556.

175. Тихонов А. Н. О регуляризиции некорректно поставленных задач. // Докл. АН СССР. 1963. - 153, N 1. - С. 49 - 52.

176. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризиции.//Докл. АН СССР. 1963. - 151, N 3. - С. 501 -504.

177. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука.- 1986.-287 с.

178. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. - 1990. -230 с.

179. Троян. Э. А. К проблеме реконструкции дефектов сложной формы. // Дефектоскопия. 2000. - N 1. - С. 72 - 75.

180. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. -М.: Недра.-1986.-261 с.

181. Угодчиков А. Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд.-во КГУ. -1986.-296 с.

182. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир. -1978.-Т. 1.-547 е.; Т. 2.-555 с.188189190191192193,194,195.196.197.198.199.200.201.

183. Федорюк M. В. Метод перевала. М.: Наука. - 1977. - 368 с.

184. Фок В. А. Обобщение отражательных формул на случай отраженияпроизвольной волны от поверхности произвольной формы. // Журн.экспер. и теор. физики. 1950. - 20, вып. 11. - С. 961 - 978.

185. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитныхволн. М.: Советское радио. - 1970. - 520 с.

186. Фукс И. М. Отражение и преломление волны произвольной формы на криволинейной границе раздела. // Изв. вузов. Радиофизика. 1965. -8, N6.-С. 1078- 1088.

187. Хенл X., Мауэ JL, Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир. - 1964.- 428 с.

188. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир. - 1983. - 352 с. Численные методы теории дифракции: Сб. статей. Пер. с англ. -М.: Мир. - 1982.-200 с.

189. Шендеров Е. JI. Волновые задачи гидроакустики. Д.: Судостроение. -1972.-352 с.

190. Шкарлет Ю. М. Бесконтактные методы ультразвукового контроля. -М.: Машиностроение. 1974. - 57 с.

191. Штагер Е. А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. -М.: Радио и связь. 1986. - 184 с.

192. Штагер Е. А., Чаевский Е. В. Рассеяние волн на телах сложной формы.- М.: Советское радио. 1974. - 240 с.

193. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука. - 1990. - 303 с.

194. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam / New York: North-Holland. - 1973.

195. Achenbach J. D., Gautesen A. K. Geometrical theory of diffraction for three-D elastodynamics. // J. Acoust. Soc. Amer. 1977. - 61, N 2. -P. 413 -421.

196. Achenbach J. D., Gautesen A. K., McMaken H. Ray methods for waves in elastic solids; with applications to scattering by cracks. New York: Pittman. - 1982.

197. Angell T. S., Kleinman R. E., Kok B., Roach G. F. A constructive method for identification of an impenetrable scatterer. // Wave Motion. 1989. - 11. -P. 185-200.

198. Angell T. S., Kleinman R. E., Kok B., Roach G. F. Target reconstruction from scattered far field data. // Annales des Telecomm. 1989. - 44. -P. 456-463.

199. Banaugh R. P., Goldsmith W. Diffraction of steady acoustic waves by surfaces of arbitrary shape. // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. - 35, N 10. -P. 1590- 1601.

200. Bayliss A. On the use of co-ordinate stretching in the numeral computation of high frequency scattering. // J. Sound Vibr. 1978. - 60, N 4. -P. 543 -553.

201. Bell A., Meyer W. L., Zinn B. T. Predicting the acoustics of arbitrarily shaped bodies using an integral approach. // AIAA J. 1977. - 15, N 6. -P. 813-820.

202. Boag A., Mittra R., Complex multipole beam approach to electromagnetic scattering problems. // IEEE Trans. Anten. and Prop. 1994. - 42, N 3. -P. 366-372.

203. Bojarski N. N. A survey of the physical optics inverse scattering identity. // IEEE Trans. Anten. and Prop. 1982. - AP - 30, N 5. - P. 980 - 988.

204. Bostrom A. The null-field approach in series form The direct and inverse problems.//J. Acoust. Soc. Amer. - 1986. - 79, N 5. - P. 1223- 1229.

205. Brebbia C. A. New Developments in Boundary Element Method. Ed. Butterworths, London. - 1980.

206. Burton A. J., Miller G. F. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary value problems. // Proc. R. Soc. London. - 1971.-A 323.-P. 201-210.

207. Carl de Boor. A practical guide to splines. New York Heidelberg - Berlin: Springer - Verlag. - 1978.

208. Certo M. Mathematical modeling of ultrasonic inspection. // In.: 3 rd Europ. Conf. Nondestr. Testing. Florence. - 1984. - P. 345 - 354.

209. Chen Y. M., Wang S. L. An efficient numerical method for determination of shapes, sizes and orientations of flaws for nondestructive evaluation. // Review Progr. in QNDE. 1984. - 4A. - P. 543 - 549.

210. Chiou C.-P., Schmerr L. W. New approaches to model-based ultrasonic flaw sizing. // J. Acoust. Soc. Amer. 1992. - 92, N 1. - P. 435-444.

211. Colton D. The inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves. // SI AM Review. 1984. - 26, N 3. - P. 323 - 350.

212. Colton D., Kress R. The unique solvability of the null field equations of acoustics. // Q. J. Mech. Appl. Math. 1983. - 36. - P. 87 - 95.

213. Colton D., Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region II. // SIAM J. Appl. Math. 1986. - 45, N 6. - P. 1039 - 1053.

214. Colton D., Monk P. A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region. // SIAM J. Appl. Math. 1985. - 46, N 3. - P. 506 - 523.

215. Fata S. N., Guzina B. B. A linear sampling method for near-field inverse problems in elastodynamics. // Inverse Problems. 2004. - 20. -P. 713-736.

216. Gordon W. B. High frequency approximations to the physical optics scattering integral. // IEEE Trans. Anten. and Prop. 1994. - 42, N 3. -P. 427-431.

217. Gumerov N. A., Duraiswami R. Computation of scattering from N spheres using multipole reexpansion. // J. Acoust. Soc. Am. 2002. - 12, N 6. -P. 2688-2701.

218. Gumerov N. A., Duraiswami R. Computation of scattering from clusters of spheres using the fast multipole method. // J. Acoust. Soc. Am. 2005. - 17, N4. -Pt. l.-P. 1744-1761.

219. Guzina B. B., Lu A. Coupled waveform analysis in dynamic characterization of lossy solids. // J. Eng. Mech. ASCE. 2002. - 128, N 4. - P. 392 - 402.

220. Guzina B. B., Nintcheu S. F., Bonnet M. On the stress-wave imaging of cavities in a semi-infinitive solid. // Int. J. Solids Struct. 2003. - 40, N 6. -P. 1505- 1523.

221. Haines N. F., Langston D. B. The reflection of ultrasonic pulses from surfaces, // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. - 67, N 5. P. - 1443 - 1454.

222. Hariharan S. I. Inverse scattering for an exterior Dirichlet problem. // Quart. J. Appl. Math. 1982. - 40. - P. 256 - 273.

223. Hsu D. K., Thompson D. O., Wormley S. J. Reliability of reconstruction of arbitrarily oriented flaws using multiview transducer. // IEEE Trans. Ultras. Ferroelectr. and Frequency Control. 1987. - 34, N 5. - P. 508 - 514.

224. Ikuno H., Felsen L. B. Complex ray interpretation of reflection from concave convex surfaces. // IEEE Trans. Anten. and Prop. - 1988. - 36, N9.-P. 1260- 1271.

225. Imbriale W. A., Mittra R. The two-dimensional inverse scattering problem. // IEEE Trans. Antennas, and Propogation. 1970. - AP - 18. -P. 633 - 642.

226. Jones D. S. Acoustic and electromagnetic waves. Oxford: Clarendon Press. - 1986.

227. Jones D. S. Boundary integrals in elastodynamics. // IMA J. Appl. Math. -1985. -34,N l.-P. 83-97.

228. Jones D. S. Integral equations for the exterior acoustic problem. // Q. J. Mech. Appl. Math. 1974. - 27. - P. 129 - 142.

229. Kapodistrias G., Dahl P. H. Effects of interaction between two bubble scatterers. // J. Acoust. Soc. Am. 2000. - 107, N 6. - P. 3006 - 3017.

230. Kawamura Shoro, Ibuki Tatsuhiro, Iwatsubo Takuzo. Selection of satisfactory fundamental solution in boundary value inverse analysis by B.E.M. // JSME Int. J. A. 1999. - 42, N 3. - P. 342 - 347.

231. Keller I. B. Diffraction by a convex cylinder. // IRE Trans. Antennas Propagat. (Symposium on Electromagnetic Wave Theory). 1956. - AP - 4. -P. 312 — 321.

232. Keller J. B. Geometrical theory of diffraction. // J, Opt. Soc. Amer. 1962. -52, N2.-P. 116-128.

233. Keller I. B., Lewis R. M., Seckler B. D. Asymptotic solution of some diffraction problems. // Comm. Pure Appl. Math. 1956. - 9, N 2. -P. 207-219.

234. Kildal P. S. Synthesis of multireflector antennas by kinematic and dynamic ray tracing. // IEEE Trans. Anten, and Prop. - 1990. - 38, N. 10. -P. 1587- 1599.

235. Kirchhoff G. Zur Theorie der Lichtstrahlen. Sitz. - Ber. kgl. preub. Akad. Wiss.,22 Juni. - 1882.-611 p.

236. Kirsh A., Kress R., Monk P., Zinn A. Two methods for solving the inverse acoustic scattering problem. Inverse Problems. - 1988. - 4. - P. 749 - 770.

237. Kleinman R. E., Roach G. F. On modified Green's functions in exterior problems for the Helholtz equation. // Proc. R. Soc. London. 1982. -A 383. - P. 313 - 332.

238. Kobayashi S. Some problems of the boundary integral equation method in elastodynamics. // Boundary Elem. Proc. 5th. Int. Conf. Hiroshima. 1993. -P. 775-784.

239. Krautkramer J., Krautkramer H. Ultrasonic testing of materials. Berlin, Heidelberg, New York: Springer - Verlag. - 1983. - 667 p.

240. Kristensson G., Ramm A. G., Strom S. Convergense of T- matrix approach in scattering theory. II. // J. Math. Phis. 1983. - 24, N 11. -P. 2619-2631.

241. Kristensson G., Vogel C. R. Inverse problems for acoustic waves using the penalized likelihood method. // Inverse Problems. 1986. - 2, N 4. -P. 461 -479.

242. Lamb H. Hydrodynamics. Cambridge. - 1932.

243. Langenberg K. J. Introduction to the special issue on inverse problems. // Wave Motion. 1989. - 11. - P. 99 - 112.

244. Lewis R. M. Physical optics inverse diffraction. // IEEE Trans. Anten. and Prop. 1969. - AP - 17, N 3. - P. 308 - 314.

245. Marks R. B. An iterative method for high frequency scattering. // Wave Motion. 1990. - 12. - P. 461 - 474.

246. McNamara D. A., Pistorius C. W. I., Malherbe I. A. G. Introduction to the uniform geometrical theory of diffraction. Norwood: Artech House. -1990.-372 p.

247. Miles J. W. On Rayleigh scattering by a grating. // Wave Motion. 1982. -4.-P. 285-292.

248. Monch Lars On the inverse acoustic scattering problem by an open arc: The sound-hard case. // Inverse Probl. 1997. - 13, N 5. - P. 1379 - 1392.

249. Mundry E., Wustenberg H. Theory and experiments of ultrasonic defect size determination with the double-probe and the single probe - technique. // Vortrag 5. Int. Conf. on Non-destructive Testing. - 1967.

250. Mundry E. Defect evaluation by ultrasonics. // Welding and Metal Fabrication. 1972. - April. - P. 135 - 142.

251. Opsal J. Theory of elastic wave scattering: Applications of the method of optimal truncation. // J. Appl. Physics. 1985. - 58, N 3. - P. 1102 - 1114.

252. Paige C. C., Saunders M. A. An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares. // ACM. Trans. Math. Softw. 1982. - 8. - P. 43 - 71 and 195-209.

253. Pao Y. H., Mow C. C. Dynamic stress concentration in an elastic plate with rigid circular inclusion. // Proc 4-th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech.,

254. Pergamon Press. Oxford London - New York - Paris. - 1862. -P. 493-499.

255. Pao Y. H., Mow C. C. The diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations. New York: Crane Russak. - 1973.

256. Pao Y. H., Mow C. C. Scattering of plane compressional waves by a spherical obstacle. // J. Apple. Phys. 1963. - 34, N 3. - P. 493 - 499.

257. Pao Y. H. Elastic waves in solids. // J. Apple. Mech. 1983. - 50. -P. 1152- 1164.

258. Piana M., Bertero M. Projected Landweber method and preconditioning. // Inverse Probl. 1997. - 13, N 2. - P. 441 - 463.

259. Ramm A. G. Scattering by obstacles. Dordrecht (Holland): D. Reidel. -1986.

260. Roger A. Newton Kantorovich algorithm applied to an electromagnetic inverse problem. - IEEE Trans. Antennas and Propogation. - 1981. -AP-29. — P. 232-238.

261. Rosenbroch H. H. An automatic method for finding the greatest or least value of a function. //Comp. J. 1960. - 3 (3). - P. 175- 184.

262. Sachse W., Golan S. The scattering of elastic pulses and the non-destructive evaluation of materials. // In: "Elastic Waves and Non-Destructive Testing of Materials". -N. Y.: Amer. Soc. Mech. Eng. 1978. - P. 11 - 29.

263. Schafbuch P. J., Thompson R. B., Rizzo F. J. Application of the boundary element method to elastic wave scattering by irregular defects. // J. Nondestr. Eval. 1990. - 9, N. 2/3. - P. 113 - 127.

264. Schenk H. A. Improved integral formulation for acoustic radiation problems. // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. - 44, N. 1. - P. 41 - 58.

265. Schmitz V., Holler P., Langenberg K. J. Reconstruction of defect geometries in ultrasonic NDT. Review of Progress in QNDE. - 5 A. - P. 509 - 520.

266. Sedov A., Schmerr L. W., Song S. J. Ultrasonic scattering by a flat-bottom hole in immersion testing: An analytical model. // J. Acoust. Soc. Amer. -1992.-92, N. l.-P. 478-486.

267. Sommerfeld A. Die Greenshe Funktion der Schwingungsgleichung. // Jder. Deutsch. Math. Verein. 1912. - Bd. 21. - S. 309 - 353.

268. Sumbatyan M. A., Solokhin N. V., Trojan E. A. Reconstruction of convex flaws using back-scattered ultrasound. // NDT & E International. 1993. -26, N5.-P. 227-230.

269. Sumbatyan M. A., Boyev N. V. High-frequency diffraction by nonconvex obstacles. // J. Acoust. Soc. Am. 1994. - 95, N 5. (Part 1). -P. 2347-2353.

270. Sumbatyan M. A., Boyev N. V. Mathematical modelling for the practice of ultrasonic inspection. // Ultrasonics. -1994. 32, N 1. - P. 5 - 11.

271. Sumbatyan M. A., Scalia A. Equations of mathematical diffraction theory. -Boca Raton, Florida: CRC Press. 2004. - 291 p.

272. Sumbatyan M. A., Solokhin N. V., Trojan E. A. Reconstruction of convex flaws using backscattered ultrasound. // NDT & E Intern. 1993. -26, N. 5. -P. 227-230.

273. Tanaka M., Masuda Y. Boundary element method applied to some inverse problems. // Engineering analysis. 1986. - 3, N 3. - P. 138-143.

274. Tanaka M., Nakamura M., Ochiai R. Analysis method for elastodynamic ineverse problems using extended Kalman filter and boundary element method. // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. - 59, N 564. - P. 1868 - 1873.

275. Tanaka M., Nakamura M., Yamagiwa K. Application of boundary element method for elastodynamics to defect shape identification. // Math. Comput. Modelling 1991. - 15, N 3 - 5. - P. 295 - 309.

276. Tanaka M., Yamagiwa K. Application of boundary element method to same inverse problems in elastodynamics. // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1988. - 54, N 5501. - P. 1054 - 1059.

277. Telles J. C. F., Brebbia C. A. Boundary element solution for half-plane problems. // Int. J. Solids Structures 1981. - N 17. - P. 1149 - 1158.

278. Thiele G. A., Newhouse T. H. A hydrid technique for combining moment methods with the geometrical theory of diffraction. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1975. - AP - 23, N 1. - P. 62 - 69.

279. Thompson R. B. Quantitative ultrasonic nondestructive evaluation methods. //J. Applied Mechanics. 1983.-50.-P. 1191-1201.

280. Tobocman W. Calculation of acoustic wave scattering by means of the Helmholtz integral equation. I. // J. Acoust. Soc. Am. 1984. - 76, N 2. -P. 599-607.

281. Tobocman W. Calculation of acoustic wave scattering by means of the Helmholtz integral equation. II. // J. Acoust. Soc. Am. 1984. - 76, N 5. -P. 1549- 1554.

282. Tobocman W. Extension of the Helmholtz integral equation method to shorter wavelengths I. // J. Acoust. Soc. Amer. 1986. - 80, N 6. -P. 1828- 1837.

283. Tobocman W. Extension of the Helmholtz integral equation method to shorter wavelengths II. // J. Acoust. Soc. Amer. 1987. - 82, N 2. -P. 704 - 706.

284. Tobocman W. Inverse acoustic wave scattering in two dimensions from impenetrable targets. // Inverse Problems. 1989. - 5. - P. 1131-1144.

285. Tsao S. J., Varadan V. V., Varadan V. K., Cohen-Tenoudji F., Tittman B. R. Image reconstruction of flaws using theoretical and experimental impulse response data. // In: IEEE Ultrasonic Symposium. Proceedings. Dallas. -1984.-P. 975-978.

286. Twersky V. On the scattering of waves by an infinitive grating. // IEEE Trans. Anten. and Prop. 1956. - AP - 4. - P. 330 - 345.

287. Ursell F. On the exterior problems of acoustics. // Proc. Cambrige Philos. Soc.-1973.-74.-P. 117-125.

288. Uslengni P. L. Theory of the Scattering Waves. N.Y.:Acad. Press. - 1978. - 514 p.

289. Vorovich I. I., Boyev N. V., Sumbatyan M. A. Reconstruction of the obstacle shape in acoustic medium under ultrasonic scanning. // Inverse Problems in Engineering. 2001. - 9, N 4. - P. 315 - 337.

290. Wang S. L., Chen Y. M. An efficient numerical method for exterior and interior inverse problems of Helmholtz equation. // Wave Motion. 1991. -13.-P. 387-399.

291. Waterman P. C. New formulation of acoustic scattering. // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. - 45. - P. 1417- 1429.

292. Wickham G. R. Short-wave radiation from a rigid strip in smooth contact with a semi-infinitive elastic solid. // Quart. J. Mech. and Appl. Math. -1980.-33, N4.-P. 409-434.

293. Williams E. G. Numerical evaluation of the radiation from unbaffled, finite plates using the FFT. // J. Acoust. Soc. Amer. 1983. - 74. - P. 343 - 347.

294. Zemanek J. Beam behavior within the nearfield of a vibrating piston. // J. Acoust. Soc. Amer. 1970.-49, N 1.-P. 181-191.

295. Zhang H., Bond L. J. Ultrasonic scattering by spherical voids. // Ultrasonics. 1988.-27.-P. 116-119.

296. Zhu H. Slowly varying method for high-frequency scalar scattering problems. // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. - 90, N 2.- P. 1138 - 1143.

297. Zinn A. Full- and limited-aperture problem in inverse acoustic scattering. -1989.-5, N. 2.-P. 239-253.