Принцип неопределенности и неклассическое световое излучение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Трифонов, Алексей Сергеевич

• Трифонов, Алексей Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Трифонов, Алексей Сергеевич

Введение

1 Сжатый свет полупроводникового лазера

1.1 Генерация сжатого света полупроводникового лазера - основные принципы.

1.1.1 Принцип запрета Паули.

1.1.2 Коллективная кулоновская блокада

1.1.3 Насыщение усиления и квантовые корреляции

1.2 Уравнения Ланжевена-Гейзенберга и лазерный шум

1.3 Методы измерения квантового шума - гомодинный балансный детектор

1.4 Экспериментальная установка

1.5 Результаты измерения шумов лазеров в свободном режиме генерации

1.6 Стабилизация продольных мод и сжатие для лазеров 1.3 мкм

1.7 Обсуждение результатов

1.8 Двумодовая модель лазера

1.9 Численные оценки

1.10 Результаты измерений лазеров 0.8 мкм в режиме стабилизации продольных мод

1.11 Учет выжигания спектральных провалов

1.11.1 Стационарное решение

1.11.2 Шум числа фотонов в резонаторе

1.11.3 Шум выходящего потока потока фотонов

2 Оператор относительной фазы

2.1 Некоторые исторические замечания

2.2 Фаза одной моды - может ли она существовать

2.3 Оператор относительной фазы

2.4 Как измерить относительную фазу - квантовый предел точности

2.5 Оператор фазового сдвига

2.6 Распределение вероятности для относительной фазы

2.7 Коммутационные соотношения и соотношение неопределенностей

2.8 Оператор относительной фазы в классическом пределе

2.9 Оператор относительной фазы и принцип соответствия

3 Равнораспределенные состояния и интереферометрия на пределе Гейзенберга

3.1 Введение

3.2 Экспериментальная установка

4 Комплементарные явления в интерферометре и стирание квантовой информации

4.1 Введение, определение видности, обобщение на случай одного фотона

4.2 Определение плеча интерферометра, по которому прошел фотон -различимость «пути»

4.3 Соотношение комплементарности между видностью и различимостью пути

4.4 Экспериментальная проверка соотношения комплементарности

4.4.1 Максимально перепутанные состояния

4.4.2 Частично перепутанное состояние

5 Принцип неопределенности для дискретных операторов

5.1 Обобщение понятия дополнительности для дискретных операторов

5.2 Соотношение неопределенностей типа Гейзенберга-Робертсона

5.3 Комплементарные операторы с двуми собственными состояниями

5.4 Комплементарность и соотношение неопределенностей для одновременных измерений сопряженных величин

6 Минимизация произведения неопределенностей для состояний с дискретным спектром

6.1 Постановка вопроса

6.2 Проблема правильного среднего при неразрушающих измерениях

6.3 Минимизация неопределенностей, выбор правильного базиса для измерений

6.4 Экспериментальная реализация одновременных измерений с минимальным произведением неопределенностей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип неопределенности и неклассическое световое излучение»

Началом эпохи неклассического света, равно как и квантовой физики в целом, явилась успешная попытка Планка объяснения излучения нагретого твердого тела путем введения квантования. Эйнштейн ввел понятие индуцированных и спонтанных переходов и дал первое объяснение явления фотоэффекта. Современной теорией квантовых свойств света мы во многом обязаны Дираку [1] (изложение основ современной теории квантового излучения можно найти в работах [2-12]).

Долгое время, однако, физики обходили стороной проблему квантования света, сосредоточившись на квантовых свойствах вещества. Полуклассическая теория успешно объясняла довольно обширный круг оптических явлений взаимодействия света и вещества. Часто можно встретить утверждение о том, что развитие квантовой оптики началось с появлением лазера. Это не совсем так. Хороший лазер излучает монохроматическую волну большой мощности (т.е. с очень большим числом фотонов в моде) и представляет собой лучшую из возможных аппроксимацию классической электромагнитной волны [8]. Квантовые свойства лазера наиболее очевидно проявляются в поведении атомной системы, а не световой, последняя ответственна лишь за появление дополнительных шумов. Многочисленные исследования, проведенные в последующие открытию лазерного излучения годы, показали, что волновые свойства лазерного излучения в пределах времени когерентности достаточно хорошо описываются уравнениям Максвелла, а шум фотодетектирования может быть объяснен на основе простой модели случайного потока невзаимодействующих частиц — фотонов. С этой точки зрения излучение абсолютно черного тела это более квантовый объект, чем лазерное излучение. Действительно, именно эксперименты Хенбери

Брауна и Твисса, изучавших корреляцию интенсивности (когерентность четвертого порядка), положили начало изучению корреляционных эффектов более высокого порядка, что привело к более глубокому пониманию физики когерентности света, и, как следствие, - к пересмотру сложившихся представлений о дуальной природе света. Другим примером полностью квантового эффекта явилось экспериментальное наблюдение Лэмбовского сдвига - влияние нулевых колебаний электромагнитного поля на структуру спектра атома водорода [3].

В последние годы квантовая теория света переживает бурный подъем. В сущности это уже не просто абстрактная теория, а скорее экспериментальный полигон проверки новых идей квантовой физики. То, что было совсем недавно уделом небольшой группы увлеченных своим делом теоретиков, становится привычным во многих лабораториях. Сжатые состояния, перепутанные состояния, Шредингеровские коты -терминология, которую осваивают экспериментаторы, расширяя круг привычных для оптики явлений.

Основой для квантовой теории, и квантовая теория света не исключение, является принцип неопределенности, имеющий свое математическое выражение в виде соотношения неопределенностей. В наиболее часто встречающемся варианте это соотношение записывается как соотношение для неопределенностей измерения координаты и импульса

8х-8р>(0.1) и известно как соотношение неопределенностей Гейзенберга. Оставив пока в стороне тонкий вопрос различия между неопределенностями, связанными с приготовлением состояния и непосредственно измерением, отметим лишь, что это соотношение трудно непосредственно использовать в оптике, поскольку, ввиду равенства нулю массы покоя фотона, его координата имеет лишь ограниченный физический смысл. В качестве обобщенных координаты и импульса удобно выбрать квадратурные компоненты поля (мы полагаем, что мода поля может быть выделена, исходя из условий задачи), описываемые эрмитовыми операторами ах и аг, которые могут быть непосредственно измерены в эксперименте. Оператор, соответствующий напряженности электромагнитного поля, может быть записан как [3]

E{t) = 2£0г(а1 cosv/ + а2 sinv/), (0.2) где £ определяет поляризацию, и все нормирующие сомножители содержатся в Е0. Поскольку измерение E(t) соответствовало бы одновременному измерению квадратурных компонент, напряженность поля не может быть измерена точно в квантовой оптике, и соответственный оператор неэрмитов. Эрмитовы операторы <я, и а7 подчиняются коммутационному соотношению что приводит к соотношению неопределенностей

8а\8а2 > ^, (0.4) заменяющему соотношение (0.1). Квадратурные операторы играют роль координаты и момента импульса для моды электромагнитного поля. Часто а, + га, также используется операторы уничтожения а — —^ и рождения а' = (а) . Эти операторы неэрмитовы, но их произведение имеет фундаментальный физический смысл числа фотонов в моде п - ауа.

Наиболее «классичным» состоянием является так называемое когерентное (Глауберовское) состояние \а), или собственное состояние оператора уничтожения 1«) = — |а). Легко показать, что для когерентного состояния а

8ах = 6а2 = ~. Сжатым [13,14] состоянием называется состояние, для которого

8а,<±. (0.5)

Условие (0.5) определяет узкий класс неклассических состояний. В настоящее время термин «сжатые состояния» принято понимать более широко, в частности к ним относят состояние с определенным числом фотонов (так называемое фоковское состояние). Они будет собственными по отношению к оператору числа фотонов в моде п=а'а. Нетрудно подсчитать, что для фоковского состояния а,=^2п + \, (0.6) т.е. условие (0.5) заведомо не выполняется. Тем не менее, часто фоковское состояние также часто называют сжатым. Оно неклассическое в том смысле, что вигнеровская функция такого состояния принимает отрицательное значение. Другим примером сжатых состояний будет амплитудно-сжатый свет. Для амплитудно-сжатого света флуктуации амплилуты (числа фотонов) на каком-то характерном временном интервале будет меньшим, чем флуктуации для когерентного состояния с равнозначным средним числом фотонов в обозначенном условием задачи временном интервале. Удобно воспользоваться представлением Гейзенберга и перейти к частотному представлению операторов через преобразование Фурье:

Б (со) = } Леш (п' (*)«(0)). (0.7) О

Тогда условием амплитудного сжатия будет снижение спектральной плотности шума (0.7) ниже уровня дробового шума [15,16]

8(а>)<2д1,

0.8) где д - элементарный заряд, а I - средний ток фотодетектирования. Способы генерации амплитудно-сжатого света рассматриваются в первой главе.

Одной из отличительных(если не основных!) черт квантовой теории несомненно будет наличие сопряженных величин (принцип неопределенностей). Обычно это формулируется следующим образом: измерение одной из физических величин несет за собой полную потерю гшформагцш о величине, сопряженной с измеряемой. Соотношение неопределенностей, в каком бы виде оно не было записано, и является математическим выражением этого физического принципа. Возникает законный вопрос о том, какой же величине будет сопряжено число фотонов в моде? Очевидным ответом на этот вопрос обычно считается утверждение о том, что сопряженным по отношению к числу фотонов (т.е. амплитуде волны в определенном смысле) будет оператор фазы волны (или фазы фотона??). Соответсвующее соотношение неопределенностей обычно записывают как основываясь на коммутационном соотношении для оператора числа фотонов п и оператора фазы ф:

Проблема заключается в том, что эрмитова оператора ф, который бы подчинялся соотношению (0.10), не существует [17-20]. Таким образом, соотношение (0.9) может быть использовано только приближенно, с тем большей точностью, чем ближе по своим свойствам рассматриваемое состояние находится по отношению к сильно возбужденному когерентному состоянию. дпёф >—,

0.9)

0.10)

1т а Ие а

Рис. 1 Система координат

По своему существу соотношение (0.9) основано на линеаризации флуктуаций амплитуды и фазы гармонического осциллятора относительно их средних значений и предполагает наличие достаточно сильно возбужденного состояния с хорошо определенными средними значениями амплитудым и фазы. Пример использования такого разложения приведен на Рис. 1. Рассмотрим, следуя [21], вопрос классически и затем перейдем к квантовому рассмотрению. Малые отклонения от среднего значения амплитуды могут быть выражены как где использовалось обозначение 8а = \8а\е1в. В приведенных формулах в( имеет смысл мгновенной фазы поля и в - фазы мгновенного отклонения поля от среднего значения. Для их нахождения удобно развернуть координатную систему на угол в, тогда новые координаты

0.12)

0.11) Ш

0.13) а, и

2(в0) =---• (0-14)

21

Тогда при малых отклонениях от среднего флуктуации в квадратурах можно заменить флуктуациями фазы и амплитуды:

Ц=<Ц(0о) = 5г, (0.15)

8ах = <5а2 (0О) = a tan ~ у/(й)8в . (0.16)

Теперь для перехода в квантовую область достаточно заменить классические амплитуды а и а* на операторы рождения и уничтожения а' и а, а фазу на соответствующее вращение системы координат (легко проверить, что коммутационное соотношение (0.17) сохраняется). Тогда квантовые неопределенности фазы и амплитуды уместно определить как

2) = (5а,2(0о)), (0.18)

8в)2)=^(8а1(в0)}. (0.19)

Используя теперь соотношение (0.4), мы приходим к искомому соотношению неопреденностей для амплитуды и фазы

0.20)

Используя соотношение l(8nf\ - 21(8 f)(«) и извлекая квадратный корень, мы приходим к соотношению неопределенностей фазы и числа фотонов (0.9). Отметим особо, что при выводе мы полагались на соотношение (0.3), а не (0.10). Таким образом такой подход свободен от проблем, связанных с оператором фазы. Однако данный вывод опирается на малость флуктуаций и соответственно имеет ограниченное применение. В частности, при малых числах заполнения им надо пользоваться с осторожностью [22-26]. Оператор фазы обсуждался в литературе очень широко. Предлагалось большое число различных подходов [26-35]. В настоящей работе будет показано, что противоречие снимается, если в качестве оператора использовать не фазу одноводового поля, а разность фаз двух мод. Последовательный и непротиворечивый подход, который основан на использовании оператора относительной фазы, будет рассмотрен в главах 2 и 3. Введенные равнораспределенные состояния создают основу для интереферометрии с чувствительностью, равной пределу Гейзенберга. В главе 3 рассматриваются собственные состояния оператора и приводятся методы создания таких состояний во втором энергетическом многообразии. Показано, что собственные состояния оператора относительной фазы максимально перепутаны и поэтому понятие о фазах отдельных мод не имеет физического смысла. Приведенный эксперимент является демонстрацией возможности осуществления интерферометрии на пределе Гейзенберга. В последние годы в связи с развитием новых информационных технологий получает все большее и большее распространение информационный подход к квантовомеханическим задачам. Примером будут такие новые направления как квантовая криптография и квантовые вычисления [36,37]. Во многом возможность осуществления квантовых вычислений основана на явлении квантовой интерференции [37]. Изучение квантовой интеряференции с позиции теории квантовой информации приобретает особое значение. Принцип комплементарности для фотона в интерферометре формулируется обычно как невозможность одновременного определения плеча, через который прошел фотон («путь» фотона,) и наблюдения интерференционных полос. Этот вопрос обсуждался на заре создания квантовой теории и был предметом ожесточенных дискуссий между Бором и Эйнштейном.

Сравнительно недавно была предложена концепция стирания квантовой информации и предложена расширенная формулировка принципа комплементарности [38-40], что вызвало споры относительно соответствия между принципом неопределенности и комплементарностью. Процедура стирания квантовой информации и количественные характеристики этого процесса будут обсуждаться в главе 4. В частности, будут введены понятия априорной и апостериорной различимости «пути» фотона, и обобщено понятие видности на квантовую область. В главе 4 будет показано, что разность чисел фотонов в модах и относительная фаза между модами являются сопряженными величинами, образующими естественный базис для описания явления интерференции. В главе 5 будет прослежена внутренняя связь между принципом дополнительности (соотношение неопределенностей для операторов разности чисел фотонов и относительной фазы) и комплементарностью (различимость пути фотона и видность интерференционных полос).

В главе 6 рассматривается важный вопрос об отличии между неопределенностями, связанными с приготовлением и с измерением квантового состояния. Для канонической пары координата-импульс этот вопрос был впервые рассмотрен в работах [41]. Оказывается, что попытка измерить обе сопряженные величины одновременно приводит к увеличению неопределенностей обоих величин. В наилучшем случае произведение неопределенностей в четыре раза выше, чем (0.1). Нам удалось обобщить это соотношение на случай неканонических квантовых величин с дискретным спектром собственных значений (глава 4) и впервые провести экспериментальную проверку полученного соотношения.

Актуальность темы диссертации. Оптика всегда считалась одной из наиболее точных областей физики. Возможность использовать свет в качестве измерительного инстумента было и, наверное, всегда будет залогом точности проводимых измерений. Другой областью применений света является использование его в качестве носителя информации в средствах коммуникации и обработки информации. Мы живем в эпоху огромного роста объемов передаваемой и обрабатываемой информации, что диктует, в свою очередь, ужесточение требований к качеству используемого для передачи информации света и совершенствованию техники фоторегистрации. Квантовая оптика накладывает фундаментальные ограничения как на шумовые свойства источников света, так и на точность фото детектирования. Поэтому уже с этой точки зрения исследование квантовых свойств света представаляется актуальным.

Можно указать также другую особенность квантового подхода к оптическим явлениям - богатство многообразия возможных квантовых состояний света по сравнению с состояниями классической электромагнитной волны. Это объясняется значительно большей размерностью гильбертова пространства состояний квантовых объектов по сравнению с обычным трехмерным (или пусть даже четырехмерным) физическим пространством. Именно это обстоятельство лежит в основе новых направлений в квантовой физике - физики квантовых вычислений и квантовой криптографии [25,26].

Целью работы является экспериментальное и теоретическое исследование новых неклассических состояний света и методов снижения флуктуаций в источниках света; разработка фундаментальных основ прецизионной квантовой интерферометрии, а также изучение информационных аспектов интерферометрических явлений.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней проведены экспериментальные и теоретические исследования новых состояний света, в том числе:

1. Впервые показано, что для получения одномодового, сжатого по флуктуациям числа фотонов полупроводникового лазера, необходимо глубокое подавление нелазерных мод, которое может быть практически реализовано введением обратной связи от дифракционной решетки.

2. Предложена теоретическая модель полупроводникового лазера с двумя продольными модами и сформулирован простой критерий для оценки того, в каких случаях можно ожидать одномодового сжатия света, а в каких случаях сжатие будет принципиально многомодовым.

3. Проведены систематические исследования шумов полупроводниковых лазеров различных типов для режимов свободной генерации и стабилизации от внешней дифракционной решетки. Получено сжатое по флуктуациям числа фотонов излучение в режиме стабилизации продольных мод. Показано, что полученное сжатие соответствует одномодовой модели.

4. Впервые проанализировано влияние выжигания спектральных провалов в контуре усиления полупроводникового лазера на степень и полосу сжатия. Показано, что выжигание приводит к снижению как степени, так и полосы сжатия.

5. Введено понятие относительной фазы и построена последовательная теория двумодового оператора относительной фазы. На этой основе:

• найдены собственные состояния оператора относительной фазы и предложен метод экспериментальной проверки теории во втором энергетическом многообразии,

• предложен способ осуществления интерферометрии с чувствительностью, равной пределу Гейзенберга.

6. Реализована процедура стирания квантовой информации с восстановлением видности интерференционных полос при неразрушающем квантовом измерении пути фотона в интерферометре. Экспериментально проверено соотношение комплементарности между информацией о пути и видностью интерференционных полос для широкого круга начальных состояний.

7. Выявлена внутренняя связь между принципом неопределенности и комплементарностью в явлении оптической интерференции.

8. Найдено соотношение неопределенностей при одновременном измерении величин с дискретным спектром собственных значений и условия для получения состояний с минимальным произведением неопределенностей. Полученные соотношения проверены экспериментально. Практическая ценность работы состоит в получении одномодового сжатого света полупроводникового лазера, реализации интерферометрии на пределе Гейзенберга и нахождении способа одновременного измерения сопряженных величин с дискретным спектром собственных значений с минимальным произведением неопределенностей. Полученные результаты могут быть использованы в коммуникационных линиях связи следующего поколения, устройствах квантовой обработки информации и квантовой криптографии.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Подавление флуктуаций накачки полупроводникового лазера в сочетании с подавлением нелазерных продольных мод приводит к эффекту одномодового амплитудного сжатия света.

2. Нелинейное усиление лазерной среды при сильной накачке приводит как к снижению уровня, так и к сужению полосы амплитудного сжатия света полупроводникового лазера.

3. Относительная фаза двух квантовых гармонических осцилляторов может быть выведена непротиворечивым образом путем разделения гильбертова пространства на многообразия с фиксированным общим числом фотонов. Собственными состояниями оператора относительной фазы являются так называемые равнораспределенные состояния.

4. Равнораспределенные состояния относятся к классу перепутанных состояний и не могут быть представлены в виде суперпозиции двух гармонических осцилляторов. Как следствие, оператора фазы отдельного осциллятора при этом не существует.

5. Равнораспреденные состояния образуют опимальный базис для квантовой интерферометрии. Чувствительность квантовых измерений определяется фундаментальным квантовым пределом -пределом Гейзенберга, который может быть достигнут при использовании равнораспределенных состояний.

6. Описание комплементарных оптических явлений в оптическом интерферометре с помощью величин различимость и видность полностью аналогично соответствующему описанию в терминах соотношения неопределенностей сопряженных физических величин и принципу неопределенности, соответственно.

7. Одновременное измерение двух квантово-сопряженных физических величин может быть произведено только за счет увеличения их неопределенностей. Правильный выбор степени перепутанности объекта измерения и вспомогательного квантового прибора позволяет производить измерения с минимальным произведением неопределенностей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях по волоконной оптике (18ЕОС-92, 93, Санкт-Перербург), по когерентной и нелинейной оптике (С.-Петербург, 1995), Международном семинаре «Проблемы квантовой оптики» (Дубна, 1993), Семинаре по квантовой оптике, Репино (С.-Петербург, 1993), Наноструктуры: физика и технолигия (С.-Петербург, 1994), 8Р1Е-95 (Сан-Хосе, США, 1995), СММ (Ливерпуль, Великобритания, 1995), СЪЕО/^ЕС (Гамбург, Германия, 1996; Глазго, Великобритания, 1998; Ницца, Франция, 2000), Международных семинарах по квантовой оптике (1994, 1996, 1998, 2000, Минск, Беларусь), Четвертой международной конференции по квантовым коммуникациям, измерениям и вычислениям ((5СМ'98), (Эванстон, США, 1998), Европейских конференциях по квантовой оптике (Кастельвеккио Пасколи, Италия, 1997, 1998, Майорка, Испания, 1999), 14-ой Международной конференции по лазерной спектроскопии (1СОЕ899) (Иннсбрук, Австрия, 1999), Международной конференции по квантовой электронике (К^ЕС 2000) (Ницца, Франция, 2000), Пятой международной конференции по квантовым коммуникациям, измерениям и вычислениям (<ЗСМ&С-У2К), (Капри, Италия, 2000), ОЕЬБ 2000, (Сан-Франциско, США, 2000), Шведско-российском семинаре по перепутанным квантовым системам (С.-Петербург, 2000), встрече Оптического общества Америки (Провиденс, США, 2000), а также обсуждались на научных семинарах отделов и групп Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН (С.Петербург), Санкт-Петербургского государственного технического университета (С.-Петербург), Королевского технологического института (Стокгольм, Швеция), Техасского АМ университета (Колледж Стэйшн, США), Университета г. Эссен (Эссен, Германия) и на заседаниях Городского семинара по квантовой оптике на базе Российского педагогического университета им. А.И. Герцена (С.-Петербург).

Основное содержание диссертации опубликовано в 24 научных публикациях в отечественных и зарубежных журналах, а также в трудах и тезисах российских и международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём работы составляет 216 страниц, включая 44 рисунка и 4 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 184 библиографические ссылки.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Трифонов, Алексей Сергеевич

Основные результаты работы заключаются в том, что в ней проведены экспериментальные и теоретические исследования новых состояний света, в том числе:

1. Впервые показано, что для получения одномодового, сжатого по флуктуациям числа фотонов полупроводникового лазера, необходимо глубокое подавление нелазерных мод, которое может быть практически реализовано введением обратной связи от дифракционной решетки.

2. Предложена теоретическая модель полупроводникового лазера с двумя продольными модами и сформулирован простой критерий для оценки того, в каких случаях можно ожидать одномодового сжатия света, а в каких случаях сжатие будет принципиально многомодовым.

3. Проведены систематические исследования шумов полупроводниковых лазеров различных типов для режимов свободной генерации и стабилизации от внешней дифракционной решетки. Получено сжатое по флуктуациям числа фотонов излучение в режиме стабилизации продольных мод. Показано, что полученное сжатие соответствует одномодовой модели.

4. Впервые проанализировано влияние выжигания спектральных провалов в контуре усиления полупроводникового лазера на степень и полосу сжатия. Показано, что выжигание приводит к снижению как степени, так и полосы сжатия.

192

5. Введено понятие относительной фазы и построена последовательная теория двумодового оператора относительной фазы. На этой основе:

• найдены собственные состояния оператора относительной фазы и предложен метод экспериментальной проверки теории во втором энергетическом многообразии,

• предоложен способ осуществления интерферометрии с чувствительностью равной пределу Гейзенберга.

6. Реализована процедура стирания квантовой информации с восстановлением видности интерференционных полос при неразрушающем квантовом измерении пути фотона в интерферометре. Экспериментально проверено соотношение комплементарное™ между информацией о пути и видностью интерференционных полос для широкого круга начальных состояний.

7. Выявлена внутренняя связь между принципом неопределенности и комплементарностыо в явлении оптической интерференции.

8. Найдено соотношение неопределенностей при одновременном измерении величин с дискретным спектром собственных значений и условия для получения состояний с минимальным произведением неопределенностей. Полученные соотношения проверены экспериментально.

Заключение

В заключении подведем итог и перечислим основные научные результаты данной работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Трифонов, Алексей Сергеевич, 2000 год

1. Dirac РАМ: The quantum theory of the emission and absorption ofradiation. Proceedings Royal Society London Ser.A 1927;114:243

2. Файн B.M. Фотоны и нелинейные среды. 1, 1972. Москва, Советское

3. Радио. Квантовая радиофизика.

4. Scully МО, Zubairy MS: Quantum optics. Cambridge ; New York,

5. Cambridge University Press, 1997.

6. Klyshko DN: Quantum optics quantum, classical, and metaphysicalaspects. Uspekhi Fizicheskikh Nauk 1994; 164:1187-1214.

7. Yamamoto Y, imamoglu A: Mesoscopic quantum optics. New York, John1. Wiley, 1999.

8. Walls DF, Milburn GJ: Quantum optics. Berlin ; New York, Springer,1994.

9. Mandel L, Wolf E: Optical coherence and quantum optics. Cambridge ;

10. New York, Cambridge University Press, 1995.

11. Loudon R: The quantum theory of light. Oxford, Clarendon Press, 1973.

12. Килин С.Я.: Квантовая оптика: поля и их детектирование. Минск,1. Навука и Тэхника, 1990.

13. Braginsky, V. В. and Khalili, F. A. Quantum Measurement. 1992.

14. Cambridge, Cambridge University Press.

15. Клышко ДН: Фотоны и нелинейная оптика. М., Наука, 1980.

16. Килин СЯ: Квантовая информация. Успехи физических наук1999;169:507-526.

17. Rarity J: Dreams of a quiet light. Physics World 1994;7:46-51.

18. Loudon R, Knight PL: Squeezed Light. Journal of Modern Optics1987;34:709-759.

19. Yamamoto Y, Machida S: High-Impedance Suppression of Pump

20. Fluctuation and Amplitude Squeezing in Semiconductor-Lasers. Physical Review A 1987;35:5114-5130.

21. Yamamoto Y: Generation of squeezed light from semiconductor lasersand its application to precision measurements. Physica Scripta 1998;T76:103-109.

22. Susskind L, Glogower J: Quantum mechanical phase and time operator.1. Physics 1964; 1:49

23. Louisell WH: Amplitude and phase uncertainty relations. Physics Letters1963;7:60-61.

24. Carruthers P, Nieto MN: Phase angle variables in quantum mechanics.

25. Revue Modern Physics 1968;40:411

26. Трифонов ЕД, Трошин AC: Об операторе фазы осциллятора.

27. Вестник Ленинградского университета 1966;4:69-74.

28. Sargent М, Scully МО, Lamb WE: Laser physics. Reading, Mass.,

29. Addison-Wesley Pub. Co. Advanced Book Program, 1974.

30. Torgerson JR, Mandel L: Measuring the quantum phase of the EM fieldby interference as <n>->0. Physica Scripta 1998;T76:110-114.

31. Torgerson JR, Mandel L: Is there a unique operator for the phasedifference of two quantum fields? Physical Review Letters 1996;76:3939-3942.

32. Fougeres A, Monken CH, Mandel L: Measurements of the probabilitydistribution of the phase difference between 2 quantum-fields. Optics Letters 1994;19:1771-1773.

33. Fougeres A, Noh JW, Grayson TP, et al: Measurement of phasedifferences between 2 partially coherent fields. Physical Review A 1994;49:530-534.

34. Noh JW, Fougeres A, Mandel L: Operational approach to the phase of aquantum field. Physical Review A 1992;45:424-442.

35. Ban MS: Phase operator in quantum optics. Physics Letters A1993;176:47-53.

36. Barnett SM, Dalton BJ: Conceptions of quantum optical-phase. Physica1. Scripta 1993 ;T48:13-21.

37. Korolkova NV, Chirkin AS: Phase-photon-number uncertainty relationfor the field of optical pulses. Quantum Electronics 1998;28:285-287.

38. Luis A, SanchezSoto LL: Phase-difference operator. Physical Review A1993;48:4702-4708.

39. Freyberger M, Schleich W: Photon counting, quantum phase, and phasespace distributions. Physical Review A 1993;47:R30-R33

40. Ban MS: Relative number state representation and phase operator forphysical systems. J. Math. Phys. 1991;32:3077-3087.

41. Ban M: Relative-state formulation of quantum systems. Physical Review1. A 1993;48:3452-3465.

42. Leonhardt U, Vaccaro JA, Böhmer B, et al: Canonical and measured phase distributions. Physical Review A 1995;51:84-95.

43. Barnett SM, Pegg DT: Phase in quantum optics. J.Phys. A 1986; 19:38493862.

44. Bowmeester, Dirk, Ekert, Artut, and Zeilinger, Anton. The Physics of

45. Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computation. 2000. Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag. 2000.

46. Ekert A: Quantum Interferometers as Quantum Computers. Physica1. Scripta 1998;T76:218-222.

47. Englert BG, Scully MO, Walther H: Complementarity and uncertainty.1. Nature 1995;375:367-368.

48. Englert BG, Scully MO, Walther H: The duality in matter and light.

49. Scientific American 1994;271:86

50. Englert BG, Scully MO, Walther H: Quantum erasure in double-slitinterferometers with which-way detectors. American Journal of Physics 1999;67:325-329.

51. Arthurs E, Goodman MS: Quantum Correlations: A Generalized

52. Heisenberg Uncertainty Relation. Physical Review Letters 1988;60:2447-2449.

53. Nyquist: . Physical Review 1928;32:110

54. Liu RC, Yamamoto Y: Suppression of quantum partition noise inmesoscopic electron branching circuits. Physical Review B 1994;49:10520

55. Kim JS, Kan HF, Yamamoto Y: Macroscopic Coulomb-Blockade Effectin a Constant-Current- Driven Light-Emitting Diode. Physical Review B 1995;52:2008-2012.

56. Голубев ЮМ, Соколов ИВ: Анти группировка фотонов в источникекогерентного света и подавление шумов фоторегистрации. ЖЭТФ 1984; 87:408

57. Lathi, S., Tanaka, К., Morita, Т., Inoue, S., Kan, H., and Yamamoto, Y.

58. Transverse-junction-stripe GaAs-AlGaAs lasers for squeezed light generation. IEEE Journal of Quantum Electronics. 35(3), 387-394. 99. (GENERIC)

59. Inoue S, Yamamoto Y: Longitudinal-mode-partition noise in asemiconductor-laser-based interferometer. Optics Letters 1997;22:328-330.

60. Henry CH, Henry PS, Lax M: . J. Lightwave Tech. 1984;2-3:209-216.

61. Agrawal GP: Mode-partition noise and intensity correlation in a twomode semiconductor laser. Physical Review A 1988;37:2488-2494.

62. Marin F, Bramati A, Giacobino E, et al: Squeezing and Intermode

63. Correlations in Laser-Diodes. Physical Review Letters 1995;75:4606-4609.

64. Inoue S, Lathi S, Yamamoto Y: Longitudinal-mode-partition noise andamplitude squeezing in semiconductor lasers. Journal of the Optical Society of America B-Optical Physics 1997;14:2761-2766.

65. Petermann K: Laser Diodes Modulation and Noise. Kluwer, 1991.

66. Su CB, Schlafer J, Lauer RB: . Appl. Phys. Lett. 1990;57:849-851.

67. Bogatov AP, Eliseev PG, Sverdlov BN: . IEEE J. Quantum Electron.1975; 11:510

68. Kazarinov RF, Hemy CH, Logan RA: . J. Appl. Phys. 1982;53:4631

69. Козлов ВВ, Трифонов АС: Сжатие шумов в полупроводниковомлазере с неоднородно уширенной линией усиления. ЖЭТФ 1997;2:429-440.

70. Richardson WH, Machida S, Yamamoto Y: Squeezed Photon-Number

71. Noise and Sub-Poissonian Electrical Partition Noise in a Semiconductor-Laser. Physical Review Letters 1991;66:2867-2870.

72. Richardson WH, Yamamoto Y: Quantum Measurement of the Photon

73. Number via the Junction Voltage in a Semiconductor-Laser. Physical Review A 1991;44:7702-7716.

74. Richardson WH, Shelby RM: Nonclassical Light From a Semiconductor1.ser Operating at 4-K. Physical Review Letters 1990;64:400-403.

75. Richardson WH, Yamamoto Y: Quantum Correlation Between the

76. Junction-Voltage Fluctuation and the Photon-Number Fluctuation in a Semiconductor-Laser. Physical Review Letters 1991 ;66:1963-1966.

77. Yamamoto, Y., Richardson, W. H., and Machida, S. Quantum

78. Measurements in Optics, ed. by P.Tombesi and D.F. Walls. 282, 65. 92. New York, Plenum Press.

79. Трифонов AC, Урих КИ, Пихтин НА: Измерение времени жизнинеосновных носителей в активной области полупроводникового лазера. Письма в ЖТФ 1994;20:75-78.

80. Yamamoto Y, Machida S, Imoto N, et al: Generation of Number-Phase

81. Minimum-Uncertainty States and Number States. Journal of the Optical Society of America B-Optical Physics 1987;4:1645-1662.

82. Machida S, Yamamoto Y: Observation of Amplitude Squeezing From

83. Semiconductor-Lasers By Balanced Direct Detectors With a Delay-Line. Optics Letters 1989;14:1045-1047.

84. Machida S, Yamamoto Y: Ultrabroadband Amplitude Squeezing in a

85. Semiconductor-Laser. Physical Review Letters 1988;60:792-794.

86. HaugH: . Physical Review 1969;184:338

87. Trifonov AS, Usachev PA: Quantum correlation between intensity noiseof a semiconductor laser and junction-voltage noise near the threshold. Laser Frequency Stabilization and Noise Reduction, Yaakov Shevy, Editor, Proc. SPIE, 1995 1995;2378:122-127.

88. Трифонов AC, Урих КИ: Измерение шумов обратной связи исобственных шумов полупроводникового лазера. Письма ЖТФ 1992;18:73-75.

89. Yuen HP, Chan VWS: . Optics Letters 1983;8:177

90. Трифонов AC, Урих КИ: Поляризационно-независимый оптическийциркулятор для оптических систем связи. Письма в ЖТФ1994;20:55-58.

91. Трифонов АС, Усачев ПА: Квантовые корреляции шумов накачки иизлучения полупроводникового лазера в околопороговой области. ЖЭТФ 1995;108:1253-1262.

92. Rafailov EU, Khalfin VB, Livshits DA, et al: Nonlinear mode interactionin ridge waveguide diode lasers. Laser Diodes and Applications, Kurt J. Linden and Prasad R. Akkapeddi, Editors, Proc. SPIE, 1995 1995;2382:288-292.

93. Trifonov AS, Usachev PA, Ivanov MI, et al: Longitudinal modestabilisation and photon flux noise of quantum well semiconductor laser. CMMP-95 Programme and Abstracts, 1995, Liverpool 1995;63-64.

94. Livshits DA, Rafailov EU, Studenkov PV, et al: Spectral collapse in highpower single mode InGaAsP/GaAs (lambda=0.98mkm) lasers. Proceed, of the Nanostructures: Physics and Technology, StPetersburg, Russia, 1994 1994; 193-196.

95. Лившиц ДА, Марьинский BM, Рафаилов ЭУ, и др.: Развал спектрапродольных мод и нелинейные межмодовые взаимодействия в мощных одномодовых InGaAs/GaAs лазерах. Письма в ЖТФ 1994;20:80-84.

96. Trifonov AS, Usachev PA, Lutetskiy AV, et al: Squeezed light from aquantum well laser with an external grating. EQEC-96 Technical Digest, QMC6, 1996, Hamburg 1996; 12

97. Трифонов AC: Сжатый свет полупроводникового лазера. Оптика испектроскокия 1997;82:889-895.

98. AgrawalGP: . IEEE J. Quantum Electron. 1990;26:1901

99. Poizat JP, Chang T, Ripoll O, et al: Spatial distribution of noise in a laserdiode beam. Annales de Physique 1998;23:103-110.

100. Chang TJ, Poizat JP, Grangier P: Intensity noise reduction using phaseamplitude coupling in a DFB diode laser. Optics Communications 1998;148:180-186.

101. Poizat JP, Chang TJ, Ripoll O, et al: Spatial quantum noise of laserdiodes. Journal of the Optical Society of America B-Optical Physics 1998;15:1757-1761.

102. Wang HL, Freeman MJ, Steel DG: Squeezed-Light from Injection1.cked Quantum-Well Lasers. Physical Review Letters 1993;71:3951-3954.

103. Freeman MJ, Kilper DC, Steel DG, et al: Room-Temperature Amplitude

104. Squeezed Light From an Injection- Locked Quantum-Well Laser With a Time-Varying Drive Current. Optics Letters 1995;20:183-185.

105. Freeman MJ, Wang H, Steel DG, et al: Wavelength-Tunable Amplitude

106. Squeezed Light From a Room- Temperature Quantum-Well Laser. Optics Letters 1993;18:2141-2143.

107. Freeman M J, Wang H, Steel DG, et al: Amplitude-Squeezed Light From

108. Quantum-Well Lasers. Optics Letters 1993;18:379-381.

109. Kitching J, Provenzano D, Yariv A: Generation of amplitude-squeezedlight from a room-temperature Fabry-Perot semiconductor laser. Optics Letters 1995;20:2526-2528.

110. Poizat JP, Grangier P: Observation of anticorrelated modal noise in aquasi-single- mode laser diode with a Michelson interferometer. Journal of the Optical Society of America B-Optical Physics1997;14:2772-2781.

111. Zhang T, Poizat J-P, Grelu P, et al: Quantum noise of free-running andexternally-stabilized laser diodes. Quantum and Semiclassical Optics 1995;7:601-613.

112. Kitching J, Yariv A, Shevy Y: . Proc. SPIE-Int. Soc. Otp. Eng.1995;2378:

113. Kitching J, Yariv A, Shevy Y: Room Temperature Generation of

114. Amplitude Squeezed Light from a Semiconductor Laser with Weak Optical Feedback. Physical Review Letters 1995;74:3372-3375.

115. Kitching J, Yariv A, Shevy Y: Laser frequency stabilization and nosiereduction,ed. by A. Shevy. Proc. SPIE 1995;77:2378

116. Inoue S, Ohzu H, Machida S, et al: Quantum Correlation Between1.ngitudinal-Mode Intensities in a Multimode Squeezed Semiconductor-Laser. Physical Review A 1992;46:2757-2765.

117. Eschmann A, Gardiner CW: Master-equation theory of multimodesemiconductor lasers. Physical Review A 1996;54:760-775.

118. Трифонов AC: В каких случаях полупроводниковый лазер можносчитать одномодовым с точки зрения квантовой механики? Оптика и спектроскопия 1999;86:126-132.

119. Трифонов, А. С. и Усачев, П. А. Измерение амплитудно-сжатогоизлучения полупроводникового лазера методом гомодинного балансного детектирования. SQuO VII 7th International Seminar on Quantum Optics. Books of Abstracts and Programme. 7. 98.

120. Усачев ПА, Трифонов AC: Подавление продольных боковых мод исжатие шума излучения в квантоворазмерных лазерах. Оптика и спектроскопия 1999;87:661-665.

121. Трифонов, А. С. Сжатые состояния света, их получение иприменение. Российская наука: выстоять и возродиться. 119125. 97. Москва, Наука. Физматлит.

122. Trifonov AS, Urikh KI, Garbuzov DZ, et al: Noise Characteristics of

123. Semiconductor Lasers with Different Spectrum of Longitudinal Modes. Proceed, of ISFOC'92, St.Petersburg, Russia, October 5-9, 1992 1992;156-160,

124. Garbuzov DZ, Gorbachev AYu, Stankevich AL, et al: Noise andreliability of high-power 0.8 mkm buried InGaAsP/GaAs SCH SQW laser diodes. Proceed, of the ISFOC'93, St. Petersburg, Russia, 1993 1993; 134

125. Olshansky R, Su CB, Manning J, et al: . IEEE J. Quant. Electron.1984;20:838

126. London F: Winkelvariable und kanonische Transformationen in der

127. Undulationmechanik. Z.Phys. 1927;40:193

128. London F: Über die Jacobischen Transformationen der Quantenmechanik.1. Z.Phys. 1926;37:915

129. Pegg DT, Barnett SM: Quantum optical phase. Journal of Modern Optics1997;44:225-264.

130. Perinovä V, Luks A, Perina J: Phase in optics. River Edge, N.J., World1. Scientific, 1998.

131. Barnett SM, Pegg DT: Phase measurements. Physical Review A 1993;47:4537-5440.

132. Bjork G, Trifonov A, Tsegaye T, et al: Quantum phase resolution andphase distribution. Quantum and Semiclassical Optics 1998;10:705-721.

133. Lynch R: The Quantum Phase Problem a Critical Review. Physics

134. Reports-Review Section of Physics Letters 1995;256:368-436.

135. Barnett SM, Pegg DT: . Journal of Modern Optics 1992;39:2121

136. Soderholm, J., Trifonov, A., Tsegaye, T., and Bjork, G. Quantized phasedifference. 4th international conference on Quantum Communication, Measurement and Computing (QCM'98). 98.

137. Horesh N, Mann A: Intelligent states for the Anandan Aharonovparameter-based uncertainty relation. Journal of Physics A:Mathematical and General 1998;3 l:L609-L611

138. Margolus N, Levitin LB: The maximum speed of dynamical evolution .

139. PhysicaD 1998;120:188-195.

140. Soderholm, J., Bjork, G., Trifonov, A., and Tsegaye, T. The phasedifference between two quantized harmonic oscillators and the associated minimum uncertainty states. Quantum Optics conference. 98.

141. Soderholm J, Bjork G, Tsegaye T, Trifonov A: States that minimize theevolution time to become an orthogonal state. Physical Review A 1999;59:1788-1790.

142. Luis A, Perina J: Optimum phase-shift estimation and the quantumdescription of the phase difference. Physical Review A 1996;54:4564-4570.

143. Luis A, SanchezSoto LL: Canonical-transformations to action and phaseangle variables and phase operators. Physical Review A 1993;48:752-757.

144. Luis A, SanchezSoto LL: Phase and statistical properties of multiphotonstates. Quantum Optics 1993;5:33-41.

145. Luis A, SanchezSoto LL: . Optics Communications 1994; 105:84

146. Luis A, SanchezSoto LL: Probability distributions for the phasedifference. Physical Review A 1996;53:495

147. Lalovic DI, Dacidovic DM, Tanicic AR: Quantum Phase from the

148. Glauber Model of Linear Phase Amplifiers. Physical Review Letters 1998;81:1223-1226.

149. Grangier P, Roger G, Aspect A: . Europhysics Letters 1986; 1:173

150. Трифонов AC, Тсегайе T, Бьорк Г, и др.: Экспериментальнаяреализация оператора разности фаз. Оптика и спектроскопия 1999;87:666-671.

151. Trifonov, A., Tsegaye, Т., Björk, G., Söderholm, J., and Goobar, E.

152. Experimental realization of phase-difference states. SQuO-VII 7th International Seminar on Quantum Optics, Book of Abstracts and Programme. 3. 98.

153. Trifonov, A., Tsegaye, Т., Björk, G., and Goobar, E. Heisenberg limitedinterferometry. EQEC'98 Technical Digest. 185. 98.

154. Trifonov, A., Tsegaye, Т., Björk, G., and Goobar, E. Experimentalrealisation of phase-difference states. Quantum Optics conference. 98.

155. Trifonov, A., Björk, G, Tsegaye, Т., and Söderholm, J. Equipartitionstates synthesis and Heisenberg limited spectroscopy. 14th1.ternational Conference on Laser Spectroscopy (ICOLS99). 99.

156. Söderholm, J., Trifonov, A., Tsegaye, Т., and Björk, G. Quantized Phase

157. Difference. Quantum Communication, Computing, and Measurement 2. 215-220. 2000. New York. eds. Kumar, P., D'Ariano, G. M., and Hirota, О.

158. Trifonov A, Tsegaye T, Björk G, et al: Experimental demonstration of therelative phase operator. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 2000;2:105-112.

159. Tsegaye, Т., Trifonov, A., Björk, G., Söderholm, J., Atatüre, M.,

160. Sergienko, A. V., Goobar, E., Saleh, В. E. A., and Teich, M. C. High visibility experimental demonstration of the relative-phase operator. QELS 2000. QMI6. 2000.

161. Холево, А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовоймеханики. 320. 80. М., Наука.

162. Merzbacher Е: Quantum Mechanics. New York, Wiley, 1970.

163. Robertson HP: A general formulation of the uncertainty principle and itsclassical interpretation. Physical Review 1930;35:667A

164. Robertson HP: An Indeterminacy Relation for Several Observables and1.s Classical Inerpretation. Physical Review 1934;46:7941

165. Puri RR: Minimum-uncertainty states for noncanonical operators.

166. Physical Review A 1994;49:2178-2180.

167. Barnett SM, Imoto N, Huttner B: Photonic de Broglie waveinterferometers. Journal of Modern Optics 1998;45:2217-2232.

168. Pegg DT, Barnett SM: Unitary Phase Operator in Quantum Mechanics.

169. Europhysics Letters 1988;6:483-487.

170. Barnett SM, Pegg DT: Phase Measurement by Projection Synthesis.

171. Physical Review Letters 1996;76:4148-4150.

172. Shih YH, Sergienko AV, Pittman TB, et al: EPR and 2-photoninterference experiments using type-ii parametric downconversion. Annals of the New York Academy of Sciences 1995;755:40-60.

173. Ekert A, Knight PL: Entangled quantum-systems and the Schmidtdecomposition. American Journal Of Physics 1995;63:415-423.

174. Brendel J, Möhler E, Martienssen W: Experimental test of Bell inequalityfor energy and time. Europhysics Letters 1992;20:575-580.

175. Jacobs K, Knight PL: Conditional probabilities for a single photon at abeamsplitter. Physical Review A 1996;54:R3738-R3741

176. Kuzmich A, Branning D, Mandel L, et al: Multiphoton interferenceeffects at a beam splitter. Journal of Modern Optics 1998;45:2233-2243.

177. Rarity JG, Tapster PR: Three-particle entanglement from entangledphoton pairs and a weak coherent state. Physical Review A 1999;59:R35-R38

178. Brendel J, Gisin N, Tittel W, et al: Pulsed energy-time enangled twinphoton source for quantum communication. Physical Review Letters 1999;82:2594-2597.

179. Weihs G, Jennewein T, Simon C, et al: Violation of Bell's Inequality

180. Under Strict Einstein Locality Conditions. Physical Review Letters 1998;81:5039-5043.

181. Fujikawa K: Phase operator for the photon field and an index theorem. Physical Review A 1995;52:3299-3307.

182. Yu S: Phase operators and a special kind of transformation in the Hilbertspace of a two-mode boson. Physical Review A 1997;56:3464-3470.

183. Tsegaye, T, Usachev, P., Soderholm, J., Atature, M., Trifonov, A., Bjork,

184. G., Sergienko, A. V., Saleh, B. E. A., and Teich, M. C. Polarization in Quantum Optics: A New Formalism and Two Experiments. 5th International Conference on Quantum Communication, Measurement and Computing (QCM&C-Y2K). 2000.

185. Bjork, G., Soderholm, J., Tsegaye, T., and Trifonov, A. Equipartitionstates and Heisenberg-limited interferometry. OSA Annual Meeting and Exhibit 2000, Conference Program. 99. 2000. Providence, Rhode Island, USA.

186. Appleby DM: Maximal accuracy and minimal disturbance in the Arthurs

187. Kelly simultaneous measurement process. Journal of Physics A-Mathematical and General 1998;31:6419-6436.

188. Appleby DM: Concept of experimental accuracy and simultaneousmeasurements of position and momentum. International Journal of Theoretical Physics 1998;37:1491-1509.

189. Bjork G, Soderholm J, Trifonov A, et al: Complementarity and theuncertainty relations. Physical Review A 1999;60:1874-1882.

190. Scully MO, Druhl K: Quantum eraser: A proposed photon correlationexperiment concerning observation and "delayed choice" in quantum mechanics. Physical Review A 1982;25:394-399.

191. Scully MO, Walther H: Quantum optical test of observation andcomplementarity in quantum-mechanics. Physical Review A 1989;39:5229-5236.

192. Bjork G, Karlsson A: Complementarity and quantum erasure in welcher

193. Weg experiments. Physical Review A 1998;58:3477-3483.

194. Kwiat PG, Steinberg AM, Chiao RY: 3 Proposed Quantum Erasers.

195. Physical Review A 1994;49:61-68.

196. Herzog TJ, Kwiat PG, Weinfurter H, et al: Complementarity and the

197. Quantum Eraser. Physical Review Letters 1995;75:3034-3037.

198. Kwiat PG, Steinberg AM, Chiao RY: Observation of a quantum eraser arevival of coherence in a 2-photon interference experiment. Physical Review A 1992;45:7729-7739.

199. Zajonc AG, Wang LJ, Zou XY, et al: Quantum eraser. Nature1991;353:507-508.

200. Mandel L: Indistinguishability in one-photon and 2-photon interference.

201. Foundations of Physics 1995;25:211-218.

202. Mandel L: Quantum effects in one-photon and two-photon interference.

203. Reviews of Modern Physics 1999;71:S274-S282

204. Trifonov, A., Bjork, G., Söderholm, J., and Karlsson, A. Complementarityand intelligent state simultaneous measurements. Quantum Optics conference. 99.

205. Trifonov, A., Björk, G., and Söderholm, J. Complementarity and1.telligent State Simultaneous Measurements. International Quantum Electronics Conference (IQEC 2000). QThD81. 2000.

206. Jaeger G, Shimony A, Vaidman L: 2 Interferometric Complementarities.

207. Physical Review A 1995;51:54-67.

208. Jaeger G, Home MA, Shimony A: Complementarity of One-Particle and 2-Particle Interference. Physical Review A 1993;48:1023-1027.

209. Englert BG: Fringe visibility and which-way information: an inequality.

210. Physical Review Letters 1996;77:2154-2157.

211. Mandel L: Coherence and indistinguishability. Optics Letters1991;16:1882-1883.

212. Greenberger DM, Home MA, Zeilinger A: Multiparticle Interferometryand the Superposition Principle. Physics Today 1993;46:22-29.

213. Luis A, SanchezSoto LL: Randomization of quantum relative phase inwelcher Weg measurements. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 1999;1:668-677.

214. Luis A, SanchezSoto LL: Complementarity enforced by random classicalphase kicks. Physical Review Letters 1998;81:4031-4035.

215. Klauder, John R. and Sudarshan, E. C. G. Fundamentals of quantumoptics. 68. New York, W. A. Benjamin. The Mathematical physics monograph series.

216. Schwindt P.D.D., Kwiat PG, Englert BG: Physical Review A1999;60:4285

217. Kwiat PG, Mattle K, Weinfurter H, et al: New High-Intensity Source of

218. Polarization-Entangled Photon Pairs. Physical Review Letters 1995;75:4337-4341.

219. Branning D, Grice WP, Erdmann R, et al: Engineering theindistinguishability and entanglement of two photons. Physical Review Letters 1999;83:955-958.

220. Shih YH, Sergienko AV, Rubin MH, et al: 2-photon interference in a standard Mach-Zehnder interferometer. Physical Review A 1994;49:4243-4246.