Применение метода осреднения к статическому расчету слоистых и однонаправленных упругих композитов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Иванов, Сергей Геннадьевич

• Иванов, Сергей Геннадьевич
• 1984

Оглавление диссертации Иванов, Сергей Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ С УЧЕТОМ НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА

КОМПОНЕНТОВ В КОМПОЗИТЕ.II

1.1. Постановка краевой задачи в методе осреднения.II

1.2. Задача на ячейке для неидеального контакта компонентов в слоистом композите.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ОСЕСИШЕТРИЧНОМ ЗАДАЧИ О МНОГОСЛОЙНОМ

ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ ОСРЩШМЯ.

2.1. Трехслойное основание с трансверсально изотропным слоем (решение по теории эффективного модуля).

2.2. Сравнение расчета многослойного основания с точным решением. Учет упругого проскальзывания слоев.

ГЛАВА 3. УЧЕТ ФОРШ ВОЛОКОН, СЛУЧАЙНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ИХ

В КОМПОЗИТЕ И РАЗБРОСА МОДУЛЕЙ.

3.1. Численное решение периодических задач Ж (~i) для однонаправленного композита. Учет формы поперечного сечения волокон.

3.2. Методика решения задач УК (~i) для непериодического расположения волокон в однонаправленном композите.

3.3. Границы для упругих модулей композита при случайных модулях одного из компонентов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода осреднения к статическому расчету слоистых и однонаправленных упругих композитов»

Актуальность вопросов исследования. Одно из наиболее перспективных направлений развития техники в настоящее время связано с применением новых композиционных материалов. Исследование механического поведения конструкций из таких материалов под действием различных нагрузок является актуальной задачей. Механика композиционных материалов и конструкций является сравнительно молодой областью механики. Сейчас развиваются такие ее отделы как описание динамического поведения, теория разрушения композитов, есть продвижения в решении нелинейных задач механики композитов. Однако, и статические задачи теории упругости сохраняют свою актуальность. Как писали авторы предисловия к |^50J "до недавнего времени основное содержание работ по механике композиционных материалов состояло в сведении задачи неоднородной (чаще всего изотропной) теории упругости к задаче однородной анизотропной теории. Это достигалось введением так называемых эффективных модулей". Основной акцент в теории упругости композитов делался на вычислении различными методами эффективных модулей для различных типов структур.

Как отмечено в 4 "проблема осреднения имеет большую историю, однако только в последние годы была осознана ее асимптотическая природа и дана соответствующая математическая постановка" - был разработан метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими переменными

It 2, 3 основанный на асимптотическом разложении решения по малому параметру, которым служит отношение характерного размера неоднородности включений, волокон, зерен в поликристаллах) к характерному размеру тела. Обзор математических работ по методу осреднения и родственным вопросам можно найти в . В применении к задачам механики композитов метод осреднения получил развитие в работах [j[5-I8,22,24-25,27-29,48-49,55-60 . Метод осреднения заключается в том, что неоднородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных (например, системы уравнений теории упругости) сводится к последовательности задач для системы однородных уравнений Д (п) > П - i> . (в случае теории упругости - последовательности задач анизотропной моментной теории упругости) 63-64 . При этом теория эффективного модуля представляет собой первую задачу Д (О) из указанной последовательности задач. Эта рекуррентная последовательность дополняется последовательностью неоднородных периодических(для периодической структуры) задач на ячейке периодичности } .

Решая первую из этой серии задач Ж (-J) и проводя затем процедуру осреднения по ячейке периодичности, получаем эффективные модули упругости h ijp q , необходимые для решения краевой задачи по теории эффективного модуля.

Поведение композиционных материалов изучается как на макроуровне (решение по теории эффективного модуля), так и на микроуровне. Целью решения задачи на микроуровне является определение напряжений в элементах структуры композитов (микронапряжения) • Обзор методов расчета микронапряжений можно найти в [j[3f 68, 69 J . Расчет микронапряжений в этих работах проводился для бесконечного тела при условии постоянства средних, пространственно. В большинстве или макроналряжений. Эти результаты могут быть получены для соответствующих структур с помощью нулевого приближения метода осреднения, которое для случая постоянного тензора макронапряжений в теле дает точные результаты. Для реальных же краевых задач микронеоднородных тел с периодической структурой нулевое приближение дает хорошо результаты, если макронапряжения слабо меняются на расстояниях порядка размера элемента структуры.

Метод осреднения применялся к рассматрению различных видов неоднородных структур: слоистых |j[6,18,22,24-25,64 , волокнистых однонаправленных 17,27-28,48-49 -армированных волокнами композитов j^I5,57 этих работ предполагается идеальный контакт между компонентами композита (т.е•непрерывность векторов перемещений и напряжений) . Однако в реальных композитах не всегда осуществляется условия идеального контакта. В связи с этим представляет интерес рассмотрение простых,линейных условий контакта между компонентами. Для слоистого композита решения как задачи на ячейке, так и каких-либо краевых задач методом осреднения с условиями, отличными от условий идеального контакта, до сих пор проведено не было.

Необходимо отметить, что существуют эффективные методы решения в точной постановке для неограниченных в плане слоистых плит и оснований, обзор которых можно найти в работах Jj5I, 53,66 .В этих методах применяются интегральные преобразования, позволяющие строить точные решения в изображениях, однако, обратные преобразования связаны с затратами машинного времени, возрастающими с увеличением числа слоев. Для большого числа слоев решение таких задач по методу осреднения может давать оцределенное преимущество. Как было показано в 24,25 , в задаче о слоистом параллелепипеде с идеальным контактом слоев, погрешности приближенных решений, полученных методом осреднения, быстро убывают с ростом числа элементарных ячеек,составляющих тело*

Обширная литература посвящена определению эффективных модулей однонаправленных композитов. Библиографию можно найти в работах

21,40,67-69 Эффективные модули однонаправленного композита определялись и из решения периодической задачи метода осреднения В работах

17,27-28,48-49 48-49 J эта задача на ячейке была решена аналитически, на границе контакта волокно-связувдее рассматривались как условия идеального контакта, так и условия упругого проскальзывания. Но это решение может учесть лишь круговую форму поперечного сечения волокон. Вместе с тем небезынтересен вопрос о влиянии формы волокон на эффективные модули композита. Для решения задачи (ri) на ячейке в этом случае удобно использовать численные методы, что было сделано, например, в работах 17,27,28 J .

Важным вопросом в механике композитов является вопрос о влиянии случайности расположения компонентов(включений,волокон) в матрице, а также случайности свойств самих компонентов композита на его механическое поведение и, в частности, на эффективные характеристики. К настоящему времени выполнено много работ, в которых разрабатывается статистический подход к оценкв поведения композиционных материалов, обзор которых можно найти в

6,14,79,82 Такой подход дает хорошие теоретические результаты при некоторых предположениях относительно свойств поля упругих характеристик среды,- например, предположения о статической независимости, цредельной локальности^6,

14 гипотез, позволяющих ис

76,82 Эти гипотезы экви гипотезы сильной изотропии пользовать сингулярное приближение валентны друг другу и сводятся к гипотезе однородности полей напряжений и деформаций в пределах кавдого компонента композита

79,80 в окрестности, размер которой мал по сравнению с размером тела(макроточка). Такое предположение относительно полей напряжений и деформаций позволяет находить границы для эффективных модулей упругости цри минимуме статистической информации о структуре композита В ряде случаев эти

30,77,87-89 границы оказываются чересчур широкими, однако, это является платой за минимум информации о структуре, которая используется

50 п отопри их выводе. Как отметили авторы предисловия к хаотическое описание композиционных материалов ещё вдет своей разработки, основанной на детерминированном описании в малой окрестности с последующим применением статистических методов. В этой связи представляется актуальным приложение метода осреднения уравнений о быстро осциллирующими коэффициентами и, в частности его "нулевого" приближения, к непериодическим структурам. Имеются работы математиков по осреднению случайных и почти-периодических структур 36,37 Однако работ, в которых бы рассматривался метод осреднения в приложении к задачам механики, для непериодических структур пока не было. ЦЕЛЬ исследования. Диссертация посвящена решению задач на ячейках периодичности и краевой задачи для слоистого основания методом осреднения. Целью данной работы является:

- решение задачи на ячейке в нулевом цриближении метода осреднения для слоистого композита с условиями упругого проскальзывания между компонентами и для волокнистого композита;

- решение краевой задачи о деформировании многослойного основания периодической структуры методом осреднения.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Иванов, Сергей Геннадьевич

Основные результаты диссертации:

I* Из решения задач на ячейках периодичности рцределены эффективные модули упрутости слоистого композита для условий упругого проскальзывания между компонентами, волокнистого однонаправленного композита с квадратной укладкой волокон круглого и квадратного сечения и гескагональной укладкой круглых волокон, Выявлена зависимость эффективных модулей однонаправленного композита от формы волокон.

2. Методом осреднения решена осесимметричная задача о деформировании многослойного основания с условиями идеального контакта и упругого проскальзывания между слоями. Проведено сравнение нулевого и первого приближений метода осреднения с точным решением.

3. Предложена методика решения задач для определения локальных функций 1го уровня и эффективных модулей для непериодического расположения круглых волокон в однонаправленном композите при разбросе упругих модулей волокон. Оценено влияние случайного разброса модулей одного компонента на границы для эффективных упругих модулей композита.

- 92

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования Иванов, Сергей Геннадьевич, 1984 год

1. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. - ДАН СССР, 1974, т. 218, & 5, с. 1046-1048.

2. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. -ДАН СССР, 1975, т. 221, й 3, с. 516-519.

3. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. - М., 1977, с. 17-34.

4. Бердичевский БД. Вариационные принципы в проблеме осреднения случайных структур. ДАН СССР, 1981, т. 261, В 2, с. 301304.

5. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 447 с.

6. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Введение в статистическое металловедение. М.: Металлургия, 1972. - 216 с.

7. Болотин В.В., Москаленко В.Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов. Изв. АН СССР. МТТ, 1969, В 3, с. I08-II5.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

9. Борзова Т.В. О распределении напряжений при растяжении волокнистых пластиков. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., ме-хан., 1966, В 2, с. I06-III.

10. Борзова Т.В. Об одном методе определения НДС и приведенных упругих характеристик для двоякопериодических решеток супругим включением. В кн.: Деформирование и разрушение твердых тел. - М., 1977, с. I0I-I04.

11. Ван Фо Фы Г.А. Упругие постоянные и напряженное состояние стеклоленты. Механика полимеров, 1966, $ 4, с. 593-602.

12. Ванин Г.А. К основам теории композиционных материалов с неупорядоченной структурой. Приклад, механика, 1983, т. 19, В 3, с. 9-18.

13. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями. Киев: Наук, думка, 1971. - 232 с.

14. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 206 с.

15. Гаджиев М.Г. К решению пространственных статических задач упругих композитов. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. - М.: МГУ", 1980.

16. Горбачев В.И. Об упругом равновесии цилиндрической неоднородной по толщине трубы под действием поверхностных нагрузок и перемещений. Пробл. прочности, 1979, 5, с. 7983.

17. Горбачев В.И. Задача приведения для упругого пространства, ослабленного системой цилиндрических пор. Изв. АН СССР. МТТ, 1983, В 5, с. 63-67.

18. Горбачев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неоднородных полос. Изв. АН СССР. МТТ, 1979, I 5, с. III-II8.

19. Григолзок Э.И., Филыптинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

20. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. -648 с.

21. Данилевская В.В., Федоров А.С., Черномордик М.В. Численный метод определения упругих характеристик однонаправленного волокнистого композита. В кн.: Прочность судовых конструкций. Л., 1979, с. 22-30.

22. Дорогинин В.В. О плоской деформации бесконечной цилиндрической ортотропной трубы. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1980, т. 33, Jfe 4, с. 77-79.

23. Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы. -Журн. эксп. и теор. физики, 1970, £ 7, с. II0-II6.

24. Едаков А.В. Численное решение задачи Ламе для слоистого упругого параллелепипеда: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1983. - 6 с.

25. Едаков А.В. Численное решение задач о равновесии слоистого упругого параллелепипеда. М., 1982. - 17 с. - рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ 1982, !Ь 3637-82.

26. Жтсов В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и сходимость дифференциальных операторов. Успехи матем. наук, 1979, т. 34, № 5, с. 65-133.

27. Иванов С.Г. Расчет структурных напряжений в некоторых полимерных композитах с регулярной структурой. В кн.: Теория механической переработки полимерных материалов: Тез. докл. П Всесоюз. симпоз. Перль, 1980, с. 149.

28. Иванов С.Г. К расчету механических характеристик вязкоупру-гого однонаправленного композита. В кн.: Тезисы докладов У Всесоюзной конференции по композиционным материалам (вып. I). М., 1981, с. 171.

29. Иванов С.Г. К учету неидеального контакта между компонентами композита. М., 1983. - 19 с. - Рукопись представлена

30. Ш. Деп. в ВИНИТИ 1983, & 438-84.

31. Иванов С.Г. О границах для упругих модулей разупорядочен-ных композитов при случайных модулях одного компонента. -В кн.: Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Свердловск, 1981, с. 78-82.

32. Иванов В.Н., Ташкинов А. А. Расчет полей структурных напряжений в микронеоднородных упругих средах с регулярной структурой. В кн.: Структурные превращения в полимерных и жидких кристаллах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981, с. 120-123.

33. Ильюшин А.А. Загадки механики твердых деформируемых сред. -В кн.: Нерешенные задачи механики и прикладной математики. М., 1977, с. 68-73.

34. Исупов Л.П. Вариант анизотропной моментной теории упругости для волокнистого композита. Изв. АН СССР. МТТ, 1980, В 3, с. 62-69.

35. Канаун С.К. Метод самосогласованного поля в задаче об эффективных свойствах упругого композита. Журн. ПМТФ, 1975, вып. 4, с. 194-203.

36. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

37. Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 1977, т. 236, J& 5, с. I068-I07I.

38. Козлов С.М. Осреднение случайных операторов. Матем. сб., 1979, т. 109, & 2, с. 188-202.

39. Кошелев В.Ф., Кошелева А.А. О применимости решения плоской двоякопериодической задачи теории упругости к телам конечных размеров. В кн.: Исследования по упругости ипластичности, сб. П. Л., 1976, с. 73-80.

40. Кристинсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

41. Левин В.М. К определению эффективных упругих модулей композитных материалов. ДАН СССР, 1975, т. 220, вып. 5,с. 1042-1045.

42. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

43. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов. Яурн. эксп. и теор. физики, 1946, т. 16, вып. II, с. 967-980.

44. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. - 139 с.

45. Ломакин В.А. Проблемы механики структурно-неоднородных твердых тел. Изв. АН СССР. МТТ, 1978, вып. 6, с. 45-52.

46. Мельников С.В. Статистическая модель композиционных материалов со сложной стохастической структурой. Пермь, 1977. -26 с. - Рукопись представлена Отд. физики полимеров УВД АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 1977, !р 3822-77.

47. Мельников С.В. Стохастические задачи механики композитовс учетом естественного разброса свойств компонентов: Авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, I978.-I5e.

48. Мольков В.А. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита. М., 1983. - 51 с. - Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ 1983, В 4231-83.

49. Мольков В.А., Победря Б.Е. Эффективные модули упругости однонаправленного волокнистого композита. ДАН СССР, 1984, т. 275, В 3, с. 586-589.

50. Механика композиционных материалов, т. 2 (ред. Лд.Сендецки). -М.: Мир, 1978. 568 с.

51. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1970. -260 с.

52. Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1976. -102с.

53. Никишин B.C. Корректная постановка и численное решение основных и смешанных задач теории упругости для многослойныхи непрерывно-неоднородных сред: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1982.

54. Новожилов В.В. О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжений и деформаций в статистически изотропных однородных упругих телах. ПММ, 1970, т. 34, вып. I, с. 67-74.

55. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 304 с.

56. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях. Матем. сб., 1983, т. 120, J-S I, с. 22-41.

57. Панасенко Г.П. Осреднение полей в композиционных материалах с высокомодульной арматурой. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Выч. матем. и кибернетика, 1983, 2, с. 20-27.

58. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. Изд. 2-е. М.: Изд-во МГУ, 1979. - 224 с.

59. Победря Б.Е. К теории вязкоупругости композиционных материалов. Механика композит, материалов, 1979, й 3, с. 414

60. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 344 с.

61. Победря Б.Е. Об упругих композитах. Механика композит, материалов, 1983, I 2, с. 216-222.

62. Победря Б.Е. К теории вязкоупрутости структурно-неоднородных сред. ГШ, 1983, т. 47, J3 I, с. 133-139.

63. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 364 с.

64. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 1977, Гр. 5, с. I0I-II0.

65. Попов А.И., Кузнецов С.В. Вязкоупругие напряжения температурной усадки в линейно-армированных средах. Механика полимеров, 1978, J& 4, с. 737-740.

66. Приварников А.К. Граничные задачи теории упругости для многослойных оснований простой и сложной структуры: Авто-реф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1982.

67. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Упругие свойства композита с анизотропными волокнами. Механика композит, материалов, 1980, ib I, с. 22-29.

68. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. В кн.: Механика композиционных материалов. Т. 2. М., 1978, с. 61-101.

69. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. - 192 с.

70. Соколкин Ю.В., Скачков В.А. О структурном подходе к оценке работоспособности конструкций из композитных материалов.

71. Механика композит, материалов, 1981, JS 4, с. 608-614.

72. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. М.: Наука, 1984. -116 с.

73. Сьяряе Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

74. Ташкинов А.А. Исследование статических задач механики структурно-неоднородных сред на основе принципа локальности: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1982. -10 с.

75. Ташкинов А.А. О ближнем порядке во взаимодействии структурных неоднородностей. Пермь, 1981. - Рукопись представлена Ин-том механики сплошных сред УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ,1. В 4330-81.

76. Филыптинский JI.A. К теории упругих неоднородных сред с регулярной структурой. ПММ, 1973, т. 37, вып. 2, с. 262273.

77. Фокин А.Г. Некоторые соотношения для операторов, построенных на основе тензора Грина уравнения равновесия, и их использование в теории композитов. Изв. АН СССР, МТТ, 1983, $ 2, с. 179-182.

78. Хашин 3., Розен Б. Упругие модули материалов, актированных волокнами. Приклад, механика (пер. с англ.), 1964, Ш 2, с. 71.

79. Хилл Р. Теория механических свойств упрочненных волокнами материалов: I. Упругое поведение. В сб. перев.: Механика, 1966, J& 2(96), с. I3I-I43.

80. Хорошун Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред. Прикл.мех., 1978, т. 14, В 2, с. 3-17.

81. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Эффективные характеристики материалов, пространственно армированных короткими волокнами. Механика композит, материалов, 1979, JS I, с. 3-9.

82. Чжэнь ( Chen с.н). Волокнистые композиционные материалы под действием продольного сдвига. Приклад, механика (пер. с англ.), 1970, & I, с. 209-211.

83. Шерлергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. 400 с.

84. Шешенин С.В. Осредненные модули одного композита. Вестн. Моск. ун-та, сер. I, 1980, $ 6, с. 79-83.

85. Avramidis I.E. Ein finites Zv/ei-Komponenten-Element zur Erfassung holier Spannungsanderungen in quer zur Faserrich-tung belasteten, unidirektional faserverstarkten Verbund85. werkstoffen.- Ingenieur-Archiv, 48, 1979» IT1

86. Fishman L., McCoy J.J. Homogeneization ahd smoothing: a unified view of two derivations of effective property theories and extensions.- J.Appl.Mech.,1980, v. 47» 679-682.

87. Hashin Z. On elastic behaviour of fibre reinforced materials of arbitrary transverse phase geometry.- J.Mech.Phys. Solids, 1965, v. 13, H 3, 119-131.

88. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. -J.Mech,Phys.Solids, 1963, v. 11 , IT 2, 127;-H2.

89. Kroner E. Bounds for effective elastic moduli of disorder88. ed materials. -J.Mech.Phys. Solids, 1977, v. 25,112, 137-155.

90. Lene F.,beguillon D. Etude de 1'influence d'un glissement entre les constituants d'un materiau composite sur ses coefficients de comportement effectifs. J. de Llecanique, 1981, v. 20, IT 3, 509-536.