Модели микронеоднородных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Эглит, Маргарита Эрнестовна

• Эглит, Маргарита Эрнестовна
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Эглит, Маргарита Эрнестовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Модели с производными высшего порядка по координатам и времени.

1 Осредненные уравнения с учетом членов высшего порядка по е.

2 Осреднение задачи отыскания стационарных точек функционала.

2.1 Построение осредненных уравнений с сохранением свойства быть уравнениями Эйлера для некоторого функционала

3 Динамическая задача.

3.1 Интеграл энергии для динамической задачи

3.2 Две канонические формы осредненных уравнений для композитов из линейно упругих компонент

4 Уравнения с высшими производными для слоистой среды

ГЛАВА 2. Смеси вязких сжимаемых жидкостей.

5 Постановка задачи и общие выводы о распределении параметров в одномерных процессах в мелкослоистой среде

6 Смесь сжимаемых вязких жидкостей как среда с памятью

7 Смесь сжимаемых вязких жидкостей как среда с внутренними степенями свободы.

8 Среда трехмерной структуры.

8.1 Эффективные уравнения, соответствующие среде с памятью.

8.2 Эффективные уравнения, соответствующие среде с внутренними степенями свободы

ГЛАВА 3. Упругопластические композиты.

9 Постановка задачи.

10 Эффективные уравнения, соответствующие среде с памятью

11 Эффективные уравнения, соответствующие среде с внутренними степенями свободы.

12 Одномерные процессы в слоистом композите.

ГЛАВА 4. Модели пористых сред

13 Упругость пористого локально несжимаемого материала

13.1 Формулировка результатов.

13.1.1 Постановка задачи.

13.1.2 Осредненные уравнения и эффективные модули

13.1.3 Оценки эффективных модулей локально изотропного пористого материала.

13.1.4 Эффективные модули среды с кубическими и сферическими порами.

13.2 Обоснование эффективных уравнений локально несжимаемой пористой среды. Статическая задача.

13.2.1 Постановка статической задачи. Теорема об оценке решения.

13.2.2 Формализм осреднения и оценка погрешности

13.3 Обоснование осредненных уравнений для динамической задачи.

13.3.1 Постановка задачи и теорема об оценке решения

13.3.2 Оценка погрешности осреднения для динамической задачи.

13.4 Применение результатов к вязкой жидкости с пузырьками

14 Явные формулы для эффективных коэффициентов упругости и теплопроводности пористой среды специальной структуры

14.1 Структура среды. Постановка задачи осреднения

14.2 Изотропный материал с порами.

14.3 Анизотропный материал.

15 Пористый материал как предел среды с мягкомодульными включениями

15.1 Постановка задачи.

15.2 Вспомогательные оценки.

15.3 Теоремы о близости решений исходных и осред-ненных уравнений.

ГЛАВА 5. Распространение звука в смесях

16 Постановка задачи. Краткое качественное описание результатов

17 Влияние слабой сдвиговой упругости на распространение малых возмущений в смеси

17.1 Вывод осредненных уравнений методом двухмас-штабных асимптотических разложений.

17.1.1 Случай 7f,« £.

17.1.2 Свойства осредненной среды в случае 7М <С < 1.

17.1.3 Случай = а£.

17.1.4 Случай £<<7^.

17.2 Теоремы о близости решений исходной и осредненной задач.

17.3 Формулировка результатов для среды со случайной структурой.

17.4 Обоснование осредненных уравнений при £ << 7^

17.4.1 Основная теорема об оценке решения задачи для неоднородной среды

17.4.2 Осредненные уравнения.

17.4.3 Теорема о связи погрешности осреднения с бР,6х.

17.4.4 Оценка погрешности осреднения для среды с периодической структурой.

17.4.5 Среда со случайной структурой.

17.4.6 Негладкие начальные данные.

18 Влияние малой вязкости. Обоснование эффективных уравнений в случае мелкодисперсной смеси.

18.1 Постановка задачи.

18.2 Теорема об оценке решения задачи для неоднородной среды.

18.3 Осредненные уравнения.

18.4 Энергетическая оценка для разности решений осредненной и исходной задачи

18.5 Среда с периодической структурой.

18.6 Среда со случайной структурой.

18.7 Конкретизация оценок для двухфазной среды

18.8 Оценки в случае большого разброса свойств компонент

18.9 Оценка ошибки в скоростях и давлениях при их вычислении по осредненным уравнениям.

18.10 Случай негладких начальных данных и массовых

19 Влияние малой теплопроводности на вид эффективных уравнений распространения звука.

19.1 Постановка задачи и основная теорема об оценке

19.2 Осредненные уравнения при 7Х << 1.

19.2.1 Случай 7х « е.

19.2.2 Случай 7Х ~ £.

19.2.3 Случай 1Х» £.

19.2.4 Точные формулировки результатов для сред, периодических по р и а

19.3 Осредненные уравнения при конечной теплопроводности. Эффективные коэффициенты теплопроводности, теплоемкости, сжимаемости и теплового расширения.

ГЛАВА 6. Среды, армированные системой пластин. и стержней.

20 Постановка задачи.

20.1 Структура ячейки периодичности и локальные свойства среды.

21 Явные формулы для эффективных коэффициентов теплопроводности композита с изотропными компонентами

22 Эффективные упругие свойства.

- 6

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели микронеоднородных сред»

Работа посвящена описанию поведения сильно неоднородных сред, в частности, смесей, композитов и пористых материалов. Такие среды широко распространены в природе и используются в технике, поэтому математическое моделирование различных физических процессов в них представляет важную и актуальную задачу.

Если линейный масштаб задачи /, например, размер тела, для которого решается задача, или типичная длина волны возмущения, много больше характерного размера неоднородности с/, то есть £ = у << 1 , то прямое численное исследование проблемы практически невозможно. В этом случае обычно вводится эффективная однородная среда, поведение которой близко к поведению исходной неоднородной среды. При наличии достаточного количества экспериментальных данных математические модели эффективных однородных сред могут быть введены феноменологически на основе этих данных. Другой подход состоит в том, что если локальные физические свойства и геометрическая структура среды известны, то эффективные свойства находятся с помощью некоторого осреднения. Этот подход особенно важен в случаях, когда решается задача оптимизации структуры материала или конструкции.

Проблема осреднения является одной из важных проблем во многих областях механики и физики [42], [90].

За десятки лет изучения неоднородных сред предложены различные способы получения осредненных уравнений микронеоднородных сред, описанные, например, в [30], [37], [57], [67], [69], [78], [79], [102], [127], [101] и многих других книгах и статьях. В основе многих из предложенных способов лежат те или иные физические гипотезы о виде локальных полей. При этом часто границы применимости вводимых уравнений остаются не определенными. Многие способы осреднения относятся только к случаям малых концентраций включений или малого разброса свойств компонент.

Применяемый в этой работе путь вывода осредненных (эффективных) уравнений основан на использовании асимптотических методов, связанных с наличием малого параметра £ - отношения масштаба неоднородности к масштабу изучаемого процесса. Вывод, как правило, включает в себя строгое математическое обоснование и применим при произвольных концентрациях и при сильном отличии свойств компонент. Отметим, что этот алгоритм дает возможность получить не только осредненные уравнения, но и найти (после решения осредненных уравнений) приближенные локальные распределения параметров в неоднородной среде.

Уравнения эффективной среды существенно зависят от масштаба изучаемых процессов и от требуемой точности описания. В общем случае эффективные свойства среды не только количественно, но и качественно отличаются от свойств составляющих ее компонент. Так, известно, что уже для простейших, слоистых периодических сред типичен случай, когда скорость распространения гармонической волны зависит от ее частоты , т. е. наблюдается дисперсия волн, далее если в каждой из составляющих сред дисперсии нет [31], [32].

Другие примеры возникновения новых свойств содержатся во второй и третьей главах этой работы. Рассматриваются периодические среды, состоящие из компонент, определяющие уравнения которых связывают параметры среды и их производные по времени и пространству в каждой точке в один и тот же момент времени. Для рассматриваемых там случаев в результате осреднения появляются уравнения, содержащие запаздывание по времени. При этом в отличие от эффекта дисперсии волн новый эффект -запаздывание по времени - проявляется уже в слагаемых нулевого порядка по £", образующих главную часть осредненного уравнения. Появление моделей с долговременной памятью при осреднении неоднородных сред описано также в работах [128], [9], [85], [88].

Основными целями этой работы являются получение, строгое обоснование и исследование эффективных уравнений, описывающих различные процессы в микронеоднородных средах, в частности, процессы теплопроводности, распространения звука, деформирования и течения.

Методика исследования базируется на теории дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Задача ставится следующим образом. Пусть известны уравнения, описывающие поведение неоднородной среды. Эти уравнения содержат малый масштаб, так как сильно меняются на малых расстояниях. Требуется построить уравнения, не содержащие малого масштаба, решение которых позволяет найти функции, близкие в некоторой норме к решению исходных уравнений.

Для сред с периодической структурой для вывода осредненных уравнений, а также приближенного нахождения локальных полей используется метод введения быстрых и медленных переменных и асимптотических разложений по параметру е. Этот метод является развитием известного метода Боголюбова, Крылова и Ми-тропольского [74]. Ему посвящено много работ, появившихся, в основном, в последние два десятилетия, в частности, монографии А.Бенсуссана, Ж.Л.Лионсаи Ж.Папаниколау [117], Э.Санчес-Паленсии [88], Н.С.Бахвалова и Г.П.Панасенко [9], О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна и А.С.Шамаева [82], В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник [47] и другие. Применению этого метода при решении задач механики композитных материалов большое место уделено в книге Б.Е. Победри [83].

Алгоритм включает в себя следующие шаги. Во-первых, наряду с медленными переменными Xi с характерным масштабом изменения I вводятся быстрые переменные у{ с характерным масштабом изменения <1. Обычно используются безразмерные переменные Х{ = Х{/1, Уг = Хг/с1, тогда е = (1/1 - безразмерный период. Решение и задачи для исходных уравнений рассматривается как функция независимых переменных хДалее и представляется в виде асимптотического ряда и = V + £У 1 + . . с коэффициентами, периодическими по у{. Этот ряд подставляется в исходную систему уравнений и граничных условий. В результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е возникают задачи для определения коэффициентов ряда как функций переменных у1 (хг, £ при этом рассматриваются как параметры). Эти задачи называют локальными задачами или задачами на ячейке. Решение этих задач и последующее использование осреднения по ячейке периодичности дает осредненные уравнения и алгоритм приближенного вычисления локальных полей. Подчеркнем, что эффективные модули среды в общем случае не являются средними по ячейке или некоторому представительному объему; они вычисляются через решение задач на ячейке.

Важным этапом в описываемом алгоритме является строгое обоснование: доказательство существования решений всех возникающих задач и получение оценок близости решений исходных и осредненных уравнений.

Продемонстрируем этот алгоритм на примере задачи о стационарной теплопроводности в анизотропной периодической среде, выделяя лишь основные моменты и опуская детали. Рассмотрим уравнение к (»£)-»' где щь = щк{у~ компоненты тензора теплопроводности, Т - температура. Пусть

Т = Т°+ еТ1 + где Тг = Tг(xj:yj) периодичны по у1 с периодом 1. Подставим это разложение в исходное уравнение, учитывая, что —— должны быть

С/ <А/ 2 д ■ 1 д лт ^ -2 заменены на —--Ь-^—• Условие, что коэффициент при е должен дх{ е дуг обращаться в нуль, имеет вид т0)=4 =0 нижний индекс в обозначении оператора Ьуу означает, что дифференцирование производится по переменным у). Из этого уравнения с учетом периодичности Т° по уг- получается, что Т° не зависит от быстрых переменных у(.

Условие, что коэффициент при £~1 должен обращаться в нуль, дает соотношение ду1 дх1 ду{ \%3 дуз

Отсюда видно, что Т1 можно искать в форме дТ°

Т1 = Л^ (у) дх5 ' где - функции у к, удовлетворяющие уравнению д дуг д^ + у^

Щк-~-

ОУк 0 (1) внутри ячейки 0 < уг- < 1 и условиям периодичности на границах ячейки. Таким образом для трехмерной задачи имеется три задачи на ячейке (1), соответствующие ] = 1,2,3, решение которых позволяет вычислить Т1 через Т°.

Далее равенство нулю коэффициентов при £° дает ххТ^ + ьхут1 + ЬухТ1 + ЬУУТ2 — о

Это уравнение для Т2 имеет решение при условии

КЬХХТ® + ьхут + ьухт1) = о, где (•) означает интегрирование по ячейке периодичности. С учетом выражения для Т1 это последнее уравнение записывается в виде

9 ( дТ°\ Л

М^Н' И где дЛ^'Н

Щ) = усц + Щк I (3)

Уравнение (2) и есть осредненное уравнение, его коэффициенты Щ] не зависят от координат. Из формул (3) видно, что в общем случае не равны средним по ячейке от коэффициентов то есть величинам {щ^).

В работе описанный выше алгоритм используется для вывода и обоснования эффективных уравнений различных процессов в микронеоднородных средах. Большая часть результатов относится к задачам, содержащим, кроме малого параметра £, дополнительные малые параметры. Таким задачам посвящены второй и третий параграфы главы 4, а также полностью главы 5 и 6.

Структура работы следующая.

Первая глава посвящена смесям и композитам, состоящим из упругих компонентов. Известно, что при учете членов высокого порядка по £ в результате осреднения получается, что напряжения в эффективной среде зависят от производных высшего порядка от перемещений по координатам и по времени. Такие среды, в частности, вводятся феноменологически в моментных теориях упругости [93], [72], [73], [71], [122], а также при описании жидкостей, содержащих пузырьки газа или пара [51], жидкостей, проявляющих свойства, которые были названы внутренней капиллярностью [71], [119], [105], [106]. При применении используемой в этой работе процедуры осреднения высшие производные появляются в числе параметров состояния автоматически, и все соответствующие коэффициенты в уравнениях вычисляются через структуру среды.

В этой главе рассмотрены следующие вопросы: 1) сохранение свойства уравнений быть уравнениями Эйлера для некоторого функционала, в частности, свойства бездиссипативности при осреднении любой (в общем случае нелинейной) неоднородной периодической упругой среды при учете членов любого порядка по £] 2) формы осредненных уравнений для неоднородной периодической линейно упругой среды при учете членов порядка е и выше; 3) знаки коэффициентов главных членов, определяющих дисперсию волн в линейной среде, плотность и упругие характеристики которой есть периодические функции одной декартовой координаты.

Сначала рассмотрен вопрос о том, возможно ли в приближении какого-нибудь порядка появление диссипации в композите, составленном из компонент, в каждой из которых диссипация отсутствует. То, что для сред периодической структуры диссипация не возникает, показывают следующие утверждения, доказанные в работе.

Уравнения периодической упругой среды, и, в частности, сжимаемой идеальной жидкости, могут быть получены на основе голо-номного вариационного принципа [27], [83], [91], [93]. Они являются уравнениями Эйлера для функционала

1 = 11 Wdxdt, W = T-U, U = и(у{, Vi«), t x

1 x ■ 1 т =-p(y,x)u2t, x = {xl,x2,x3], Vi = j,

В результате процедуры осреднения получаются уравнения эффективной среды. Соответствует ли им снова голономный вариационный принцип? Для приближения нулевого порядка по е этот вопрос рассматривался в работах Н.С. Бахвалова [9] и B.JI. Бердичевского [27]. Здесь рассматриваются приближения высшего порядка по е. Построена процедура осреднения, приводящая к уравнениям, которые также являются уравнениями Эйлера для некоторого функционала I: i(v) = J J(f- U)dxdt, t X т = (^p(x,y)(u(v))^ , U = (U(x,y,gr&du(v)},

00 u(v) ~ v(x) + J] Vn(x,y)en,

Tl— 1 где (•) означает интегрирование по ячейке периодичности, а vn(x, у) являются функциями от ж, у, г>(ж), а также от производных v по х и t порядка не выше п.

Если для процесса в исходной среде существует интеграл энергии, то для эффективной среды также имеет место интеграл энергии

Гл. л (Т + U)dx = const.

Таким образом для сред с периодической структурой при осреднении уравнения остаются не содержащими диссипацию. Отметим, что в случайных структурах диссипация может возникать, даже если она отсутствует в каждой из компонент [115]. Преобразованием искомых функций вида

00 v ~ w +

71— 1 можно получить разные формы осредненных уравнений. В частности, для композита из линейно упругих компонент, когда U есть квадратичная форма от первых производных от перемещений с коэффициентами (модулями упругости) аг-;^/(у), можно в приближении n-го порядка ввести две канонические формы эффективных уравнений, (А) и (В). Для формы (А) кинетическая энергия имеет обычный вид р = {р(х,у)}.

Упругая энергия U(w) при этом зависит от производных от перемещений по координатам до n-го порядка и определяется не ТОЛЬКО ИСТИННЫМИ упругими модулями CLijkl, но и плотностью р. Для формы (В) упругая энергия имеет вид, аналогичный (А), но эффективные упругие коэффициенты зависят только от упругих модулей ciijki и геометрической структуры и не включают явно информацию о распределении плотности. При этом кинетическая энергия есть квадратичная форма от dm+lw/dtdxj1.dxjm с коэффициентами, при вычислении которых используются сведения не

ТОЛЬКО О уО, НО И Об (lijkl ■

В последнем параграфе первой главы рассматривается распространение волн в слоистой периодической локально изотропной линейно-упругой среде, в частности, в слоистой идеальной сжимаемой жидкости. Направление распространения волн перпендикулярно слоям. Проводится явное вычисление коэффициентов осред-ненных уравнений, входящих в члены, содержащие производные четвертого порядка от перемещений (это члены порядка е2). Наличие таких членов приводит к дисперсии волн. Показывается, что при любой зависимости плотности среды р и ее модуля упругости (коэффициента сжимаемости) к от быстрой координаты коэффициент при четвертой производной неотрицателен, а если зависимости р(х/е), к{х/е) согласованы так, что кр = const, то он равен нулю. В этом случае дисперсия может проявляться только за счет членов порядка е4 или выше.

Во второй главе выводятся эффективные уравнения для крупномасштабных процессов в периодических сжимаемых вязких теплопроводных жидкостях, в частности, в смесях. Уже в нулевом приближении по £ они в общем случае оказываются качественно отличными от уравнений вязкой жидкости: смесь сжимаемых вязких жидкостей в общем случае не ведет себя как вязкая жидкость.

В первых трех параграфах этой главы рассматриваются одномерные движения в слоистых жидкостях, последний параграф посвящен трехмерным структурам.

Получены две различные системы эффективных уравнений.

Одна из них состоит из уравнений для средних по ячейке параметров и соответствует среде с памятью, так как содержит интегралы от градиентов перемещений и температуры по времени. Другая форма эффективных уравнений получается, если допустить присутствие в них функций, зависящих от быстрой переменной. Эффективная система при этом подходе также является интегродифференциальной, в уравнения входят интегралы от искомых функций по быстрым переменным. Она не содержит малого масштаба £ и поэтому может быть названа эффективной. Соответствующая среда характеризуется дополнительными определяющими параметрами и имеет дополнительные степени свободы, т.к. ее параметры зависят не только от но также от

Третья глава посвящена микронеоднородным упрочняющимся термо-упруго-пластическим средам. Предполагается, что локально поведение среды описывается теорией пластического течения. Функция нагружения, законы изменения пластических и упругих деформаций и параметров упрочнения и другие характеристики среды являются периодическими функциями лагранже-вых координат с периодом е << 1.

В общем случае эффективная среда не будет обычной пластической средой, описывающейся некоторой теорией пластического течения. Так же, как для вязкой жидкости, возможны две различные, но эквивалентные друг другу формы осредненных уравнений. Обе эти формы представляют собой системы интегродифференци-альных уравнений. Одна форма содержит интегралы от неизвестных функций по пространству быстрых переменных (эффективная среда с внутренними параметрами и внутренними степенями свободы), другая - интегралы от неизвестных функций по времени (среда с памятью). Для некоторых частных сред и частных процессов при осреднении получаются уравнения обычной теории пластичности.

В четвертой главе рассматриваются пористые среды. Изучаются как стационарные, так и нестационарные процессы. Если типичный диаметр пор и расстояние между ними много меньше, чем характерный размер тела (и типичная длина волны возмущения - для нестационарных (динамических) задач), то поведение материала может быть приближенно описано осредненными уравнениями, которые соответствуют некоторому эффективному материалу без пор. Феноменологически эффективные уравнения для процессов деформирования и теплопроводности в пористых средах вводились и использовались разными авторами. Такие уравнения не только для упругих, но и для неупругих пористых сред приводятся, например, в книгах [68], [80]. Вывод эффективных упругих свойств сжимаемых пористых материалов на основе математической теории осреднения рассмотрен в книгах [9], [70], [82], [81], [88]. Эффективные уравнения упругости несжимаемых сред, содержащих поры, получены в [27], однако строгое обоснование там отсутствует.

Содержанием первого параграфа этой главы является вывод и строгое обоснование эффективных уравнений для пористых сред из несжимаемого упругого материала. Изучаются статическая и динамическая задачи. Если исходный материал является линейно упругим и несжимаемым, то в нулевом приближении по £ эффективный материал получается также линейно упругим, анизотропным и сжимаемым. Таким образом, скорость распространения возмущений в эффективной среде получается конечной, в то время как в исходной среде в силу несжимаемости скорость распространения возмущения давления бесконечна.

При определенных условиях на геометрию области занятой материалом, получены следующие оценки близости перемещений и и давления р - решений исходных задач для среды с порами, и приближений г^1), р(1\ которые находятся с помощью решения осредненных уравнений и ячеечных задач

11« - «(1,1к(С1) - 0{у/е), \\р -р{1)\\Ыс.) = 0(у/ё),

В первом параграфе выводятся также некоторые новые оценки для эффективных модулей. Приводятся результаты численного решения задач на ячейке и расчета эффективных модулей для материалов с кубическими и сферическими порами. Исследована зависимость эффективного модуля объемного сжатия и других упругих коэффициентов от объемной доли пор. На основе численных расчетов предложены приближенные формулы для величин эффективных модулей для материалов со сферическими и кубическими порами. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.

Во втором параграфе этой главы даются явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов теплопроводности и упругости сжимаемых изотропных и анизотропных сред с порами в виде параллелепипедов, а также с порами в виде прямоугольных каналов при большой объемной доле пор. Возможность получения явных формул связана в этом случае с наличием дополнительного малого параметра - толщины прослойки между порами.

В третьем параграфе этой главы рассматривается вопрос о предельном виде осредненных уравнений статики среды, содержащей включения, модули которых много меньше модулей матрицы, при стремлении периода среды и модулей включений к нулю. В этом случае задача осреднения содержит два малых параметра ей ц -отношение модулей включений к модулям матрицы. Ответ в таких задачах обычно зависит от соотношения величин малых параметров. Здесь показано, что уравнения, получающиеся при предельном переходе е —> 0, ц —\ +0 в общем случае отличаются от осредненных уравнений соответствующей пористой среды правыми частями. Для динамических процессов этот вопрос исследовался в недавних работах Г. В. Сандракова [86], [87].

Пятая глава посвящена распространению звука в смесях. Изучается влияние малой сдвиговой упругости, малой вязкости и малой теплопроводности компонент. В частности, исследуется обоснованность физической гипотезы о том, что скорость длинноволновых звуковых возмущений в смеси без фазовых переходов определяется ее средней плотностью и средней сжимаемостью, то есть эффективные уравнения имеют вид СИуу = 0, + = (4)

А дt оЬ где 1/Л = (1/А), р — (о), (•) обозначает среднее по периоду, А = ррр - коэффициент сжимаемости. Из (4) следует, что эффективная скорость звука в смеси определяется формулой с - уЩ~р. (5)

Эта гипотеза широко используется для объяснения наблюдаемого эффекта падения скорости звука в смесях. Формула (5) и ее модификации с учетом обычно имеющего место большого разброса свойств компонент смеси приводится, например, в работах [27], [78], [131], [36], [98].

Известно [6], что применение математического метода осреднения к системе, описывающей распространение малых возмущений в неоднородной идеальной сжимаемой жидкости, то есть к системе, не учитывающей вязкость, теплопроводность и сдвиговую упругость, дает, что в неодномерном случае осредненная система не совпадает с системой (4). Вместо средней плотности р в уравнениях движения стоит Я, - матрица, вычисляемая с помощью решения задач на ячейке

1 дт) ду = R — + gr<idp = 0, (6)

Это означает, что скорость звука зависит от структуры ячейки, а не только от концентрации и свойств компонент. Например, при равной объемной концентрации воды и воздуха скорость звука для воды, содержащей сферические пузырьки воздуха, получается примерно в 10 раз меньше, чем для воздуха, содержащего капли воды. Кроме того, в общем случае скорость звука получается зависящей от направления распространения.

Однако, оказывается, что для очень мелкодисперсной среды осредненная система все же получается совпадающей с (4), если учесть влияние сдвиговой упругости или вязкости компонент.

В первом параграфе этой главы рассмотрено влияние малой сдвиговой упругости. Пусть р*, А*, ¡л* - характерные значения плотности, коэффициента сжимаемости и модуля сдвига рассматриваемой среды, Ь - характерная длина волны, г = Ь/^Х*/р* -характерное время. Масштаб расстояния, которое проходят волны сдвига за время т определяется формулой 1ц = а^т, где ац = \/Ц*/Р* - характерная скорость волны сдвига. Обозначим отношение 1ц и I через : I у

7" = т = N

1*

А*

Говоря о малой сдвиговой упругости, мы имеем в виду, что <С 1. Отметим, что отношение ^ц/е равно 1ц/<1, где (1 - масштаб неоднородности среды. В работе показано, что если среда неоднородна по плотности, то осредненные уравнения получаются различными при 1ц < с?, при 1ц й и при 1ц ~ в,.

При 1ц < с/ (т.е. при 7^/е <С 1), когда волны сдвига за характерное время т проходят расстояние, много меньшее размера ячейки с?, осредненной системой является система (6), полученная без учета сдвиговой упругости. При 1ц в, (е/'Уц <С 1) осредненной системой является система (4), и поэтому эффективная скорость длинноволновых звуковых возмущений определяется только концентрацией и свойствами компонент по формуле (5) и не зависит от геометрической структуры среды. В частности, она одинакова для волн, распространяющихся в слоистой среде вдоль и поперек слоев. Заметим, что это последнее утверждение согласуется с формулами для мелкослоистой среды, приведенными в книге [31], если в этих формулах устремить ¡1* к нулю.

При 1ц ~ а осредненная система содержит запаздывание и может быть записана в виде : д2и - \ д2и(т)

Д-^-ёгас1(АсНуи)+а /Я{а{1 - т))—^<1т = О, (7) и - вектор перемещения, а = 7ц/е; Л, II - те же, что в системе, полученной без учета сдвиговой упругости, - матрица, вычисляемая с помощью решения задач на ячейке. Скорость переднего фронта звуковой волны для системы (7) получается такой же, как и для системы без сдвиговой упругости, в частности, зависит от направления и от геометрии ячейки.

Для задачи Коши при некоторых условиях на гладкость решения осредненных задач и функций, определяющих свойства среды, получены оценки

Зг{и^ -и)< С030{и^ - «) + 5\ (&) Г где 30 - энергии в моменты £ и 0, 5 = + £ ) при 7^ << £,

2 £

5 = 0(а2^ + £2) при 7р1 = ае, ¿ = 0(—+ 7^) при е « 7^;

7 ^ сумма первых двух членов асимптотического ряда для перемещения, вычисленных по решению осредненных уравнений (4), (6), (7) соответственно. При этом, если среда по плотности однородна и неоднородность проявляется только в зависимости от координат коэффициентов сжимаемости и сдвиговой упругости, то при любых соотношениях между 7^ и £ осредненными уравнениями являются уравнения (4) и верна оценка (8) с 5 — 0(у2 + е2).

Результаты, относящиеся к случаям < с! и ~ (I, получены при условии, что р и Л - периодические. Периодичность р не обязательна. Результат, соответствующий ^ получен также для сред со случайной структурой с масштабом неоднородности е.

Влияние малой (стремящейся к нулю) вязкости на вид эффективных уравнений распространения звука в смесях периодической структуры рассматривалось ранее в работах Э. Санчес - Паленсии [88] и Г.В. Сандракова [85]. Нами дана физическая интерпретация результатов, предложен и проведен другой способ обоснования, рассмотрены среды не только периодической, но и случайной структуры, изучена зависимость оценки близости решений исходных и осредненных уравнений от разброса значений параметров компонент и их концентрации.

Результат осреднения и в этом случае зависит от соотношения между (I и 1Р = л/и* г, где V* - характерное значение коэффициента вязкости. Величина 1и определяет расстояние, на которое распространяется эффект выравнивания (за счет вязкости) скорости за характерное время процесса т. Отношение 1^/(1 равно отношению 7„/е, где К I ъ

V*

Для рассматриваемых здесь процессов < 1.

В частности, при ^ когда время выравнивания скорости по ячейке за счет вязкости много меньше т, осредненной системой является система (4). Этот результат получен нами для сред не только периодической, но также и случайной структуры.

Оценки близости решений исходных и осредненных уравнений зависят от разброса значений параметров компонент и их концентрации. В работе оценки выведены в форме, в которой эта зависимость указывается явно.

Для изучения влияния малой теплопроводности вводится величина 1Х = л/х* т, где х* ~~ характерное значение коэффициента температуропроводности (х* = к*/(р*с*), к*, с* - коэффициенты теплопроводности и теплоемкости соответственно); 1Х определяет масштаб расстояния, на котором за время г существен эффект выравнивания температуры за счет теплопроводности.

Для изучаемых процессов предполагается малым параметр г)х

Отношение 1х/с1 равно гух/е.

Рассматриваются среды, некоторые характеристики которых являются периодическими, другие - произвольными функциями координат. Осредненные уравнения снова зависят от соотношения между 1Х и с?, однако, если учитывается только теплопроводность, то уравнения (4) не получаются ни при каких соотношениях. Если 1Х с?, т.е. теплопроводность не успевает за характерное время существенно повлиять на распределение температуры на ячейке, то осредненная система есть система, получаемая без учета теплопроводности. При 1Х >> (I время выравнивания температуры на ячейке много меньше т. Осредненная система аналогична предыдущей, но значения скорости звука (в общем случае зависящие от направления) для всех направлений в одно и то же число раз меньше, чем для случая 1Х (I. Наконец, при 1Х ~ (I осредненное уравнение содержит член с запаздыванием.

В работе показано, что при 1Х » с1, в том числе при не малых 7Х, эффективная теплоемкость смеси получается больше, чем средняя по объему. Это, вместе с уменьшением эффективной теплопроводности, увеличивает теплозащитный эффект при использовании неоднородной среды.

Отметим, что физические аспекты влияния вязкости и теплопроводности на распространение звуковых волн в эмульсиях рассмотрены в [50], в поликристаллических телах - в [61]. Полученные нами результаты находятся в соответствии с этими физическими пр ед ставлениями.

Шестая глава посвящена, построению явных приближенных формул для эффективных коэффициентов теплопроводности и упругости сред специальной геометрической структуры. Рассматриваются композиты, армированные периодической системой в общем случае пересекающихся пластин, стержней и включений в виде параллелепипедов [13], [25]. Материалы матрицы и включений всех трех типов могут обладать произвольной анизотропией. Предполагается, что некоторый параметр в, составленный из отношений модулей и объемов компонент, является малым. Наличие дополнительного малого параметра позволяет в явном виде построить приближенные решения задач на ячейке и получить явные формулы для эффективных коэффициентов и получить оценку их погрешности. Для малости 9 достаточно, чтобы пластины и стержни были тонкими, а их модули не были много меньше, чем модули матрицы.

В этой главе приводится также сравнение результатов, полученных двумя способами: с помощью численного решения задач на ячейке, проведенного в этой работе, и по предложенным здесь явным приближенным формулам.

Предельными случаями рассмотренных здесь структур являются слоистые среды, пористые среды и конструкции из пластин и стержней. Вычислению эффективных модулей слоистых сред посвящено большое количество работ. Формулы, полученные здесь, согласуются с имеющимися в литературе формулами для этих более простых структур [57], [83].

Общий вывод этой главы может быть сформулирован в виде "принципа расщепления", аналогичного принципу, который был сформулирован и доказан Г.П. Панасенко для материалов, армиро

- 23 ванных системами параллельных высокомодульных стержней, такими, что разнонаправленные стержни не пересекаются, а также для каркасных конструкций [9].

В заключении кратко перечисляются основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Эглит, Маргарита Эрнестовна

Основные результаты работы следующие.

1) Исследованы модели, возникающие при осреднении, когда масштаб изучаемого явления не слишком велик, так что нужно учитывать члены порядка £ и выше. В числе определяющих параметров в таких моделях содержатся высшие производные от перемещений по координатам и времени. Показано, что если уравнения исходной неоднородной среды являются уравнениями Эйлера для некоторого функционала, и среда имеет периодическую структуру, то с любой точностью по е можно построить осредненные уравнения так, чтобы они тоже были уравнениями Эйлера для соответствующего функционала. Поэтому периодической микронеоднородной среде, определяемой голономным вариационным принципом, соответствует эффективная среда, также определяемая некоторым голономным вариационным принципом. Тем самым показано, что если уравнения для каждой из компонент не содержат диссипацию, а среда периодическая, то в любом приближении по малому параметру £ осредненные уравнения также не содержат диссипацию.

2) Для одномерных процессов в линейноупругих слоистых локально изотропных периодических средах, свойства которых зависят от одной декартовой координаты, выведены явные формулы для главного коэффициента, определяющего дисперсию волн, распространяющихся перпендикулярно слоям. Исследован знак этого коэффициента при произвольной периодической зависимости плотности и сжимаемости среды от координаты. Доказано, что он одинаков для любой слоистой структуры.

3) Для смесей сжимаемых вязких теплопроводных жидкостей показано, что эффективные уравнения, которые описывают процессы с масштабом, много большим масштаба неоднородности, уже в нулевом приближении по е не являются уравнениями некоторой вязкой жидкости: смесь вязких сжимаемых жидкостей в общем случае не ведет себя как вязкая жидкость. Выведены две различные формы систем эффективных уравнений таких смесей. Каждая из этих систем в общем случае является интегро-дифференциальной. Одна из них содержит только осредненные по ячейке искомые функции, причем в нее входят интегралы от этих функций по времени. Поэтому она соответствует среде с памятью. В другой форме системы эффективных уравнений присутствуют функции не только медленных, но и быстрых переменных. Она содержит интегралы от неизвестных функций по внутренним (быстрым) координатам. Соответствующая среда есть среда с дополнительными внутренними параметрами и дополнительными степенями свободы.

4) Показано, что эффективные уравнения для периодических термо-упруго-пластических упрочняющихся сред, локально описывающихся теорией пластического течения, в общем случае представляют собой системы интегродифференциальных уравнений. Они содержат интегралы от неизвестных функций либо по пространству быстрых переменных (эффективная среда с внутренними параметрами и внутренними степенями свободы), либо по времени (среда с памятью).

5) Получены и строго обоснованы эффективные уравнения статики и динамики пористой среды из несжимаемого линейно упругого материала. Эффективная среда является сжимаемой и анизотропной. Исследованы трехмерные пористые среды с кубическими и сферическими порами. На основе численного решения задач на ячейке рассчитаны их эффективные упругие модули и предложены приближенные формулы для эффективных модулей.

6) Исследовано влияние малой (стремящейся к нулю) сдвиговой упругости на вид осредненных уравнений, описывающих процесс распространения длинноволновых звуковых возмущений в микронеоднородных жидкостях. Сдвиговая упругость при этом явно не входит в эффективные уравнения, однако уравнения существенно различны при различных соотношениях между малыми параметрами, один из которых - параметр е, отношение линейного масштаба неоднородности к длине волны, а другой - отношение характерных значений коэффициентов сдвиговой и объемной упругости. Рассмотрены смеси периодической и случайной структуры.

7) Для микронеоднородных жидкостей случайной структуры рассмотрено влияние малой вязкости на процесс распространения звука. Выписаны и строго обоснованы эффективные уравнения в случае, когда линейный масштаб неоднородности много меньше квадратного корня из произведения характерного значения кинематической вязкости на характерное время процесса. Получены оценки погрешности осреднения в форме, позволяющей оценить влияние большого разброса свойств компонент и их концентраций.

8) Исследовано влияние малой (стремящейся к нулю) теплопроводности на вид осредненных уравнений, описывающих процесс распространения длинноволновых звуковых возмущений в микронеоднородных жидкостях. Получены эффективные уравнения при различных соотношениях между линейным масштабом неоднород

- 294 ности и длиной, определяемой квадратным корнем из произведения характерного значения коэффициента температуропроводности на характерное время процесса. В случае конечной теплопроводности получены выражения для эффективных коэффициентов теплоемкости, теплопроводности и теплового расширения смеси, проявляющихся при распространении длинноволновых возмущений.

9) Выведены явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов упругости и теплопроводности двумерных и трехмерных структур с включениями в виде систем взаимно ортогональных анизотропных пластин и стержней при условии, что относительные толщины пластин и стержней, а также некоторые параметры, составленные из отношений модулей и относительных объемов фаз, малы. Получены оценки погрешности этих формул.

Для этих структур получены также явные приближенные решения локальных задач, позволяющие после решения осредненных уравнений найти локальное распределение температуры, перемещений, деформаций и напряжений. Проведено сравнение значений эффективных коэффициентов, найденных с помощью численного решения задач на ячейке и с помощью предложенных явных формул.

Предельными случаями рассмотренных структур являются пористые среды и конструкции из пластин и стержней.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена описанию поведения сильно неоднородных сред, в частности, смесей, композитов и пористых материалов. Она содержит развитие общего подхода к построению эффективных (осредненных) уравнений микронеоднородных сред, основанного на введении двух масштабов и асимптотических разложениях по малому параметру е, представляющему собой отношение масштаба неоднородности среды к масштабу изучаемого процесса.

С использованием этого подхода в работе построен ряд новых моделей механики микронеоднородных сред.

Эффективные свойства многих микронеоднородных сред не только количественно, но и качественно отличаются от свойств компонент, составляющих среду.

В работе дано строгое обоснование и исследование эффективных уравнений для ряда моделей, описывающих различные процессы в микронеоднородных средах, в частности, процессы теплопроводности, деформирования, распространения звука. Приведены также результаты расчетов эффективных коэффициентов для некоторых структур.

Особенностью ряда исследованных задач является то, что в них, кроме малого параметра е, имеются дополнительные малые параметры. Вид осредненных уравнений существенно зависит от соотношений между различными малыми параметрами. Использование факта существования дополнительных малых параметров дало возможность получить явные формулы для коэффициентов осредненных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Эглит, Маргарита Эрнестовна, 1999 год

1. Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение. Диссертация докт. физ-мат н. , М., МГУ, 1997

2. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстр о осциллирующими свойствами. Докл. РАН, 199-5, т. 342, No 3, с. 295-299

3. Амосов A.A., Злотник A.A. Оценка погрешности квазиосредненных уравнений движения вязкой баротропной среды с бы-строосциллирующими данными. Журн. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 11996, т. 36, No 10, с. 111-128.

4. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстр о осциллирующими свойствами. Докл. РАН, 1997, т. 354, No 4, с. 424-432

5. Арутюнян Г.М. Термогидродинамическая теория гетерогенных систем. М. Физматлит, 1994, 272 с.

6. Бахвалов Н. С. К вопросу о скорости звука в смесях. ДАН СССР 1979, т. 245, № 6, с. 1345-1348.

7. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР. 1975. Т. 225, №2. С. 249-252.

8. Бахвалов Н.С., Злотник A.A., Коэффициентная устойчивость дифференциальных уравнений и осреднение уравнений со случайными коэффициентами. ДАН СССР, 1978, No 6, 746-748

9. Бахвалов Н.С., Панасенко. Г.П., "Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композитных материалов", Наука, Москва, 1984, 352с,.

10. Бахвалов Н.С, Князев A.B. Эффективный итеративный метод для решения уравнений Ламе для почти несжимаемой среды и уравнений Стокса. ДАН СССР, 1991, т. 44, с. 4-9

11. Бахвалов Н.С, Князев, Эглит М.Э. Неравенство типа Корна и ортогональные разложения в пространствах матриц. ДАН, 1993, т.331, No 5, с.536, 537

12. Н.С.Бахвалов, М.Э.Эглит. Энергетические оценки в случае неприменимости неравенства Корна и ортогональные разложения в пространствах матриц. Труды МИР АН, т 203, 1994, с 21-32.

13. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П., Эглит М.Э. Эффективные свойства конструкций и композитов с включениями в виде стен и стержней. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, т.36, 12, 73-79.

14. Бахвалов Н.С, Сандраков Г.В., Эглит М.Э. Математическое исследование процесса распространения звуковых волн в смесях. Вестн. Моск. Ун-та, Сер. 1, Математика, Механика, 1996, No. 6, 19-21

15. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Процессы в периодических среда, не описываемые в терминах средних характеристик. ДАН СССР, 1983, 268, 4, 836-840

16. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Вариационные свойства осред-ненных уравнений периодических сред. Труды МИАН СССР, 1990, 192, 5-19.

17. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. О скорости распространения возмущений в микронеоднородных упругих средах с малой сдвиговой упругостью. // Доклады РАН 1992, т. 323, № 1, с. 13-18.

18. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. О распространении малых возмущений в слаботеплопроводящей и слабовязкой микронеоднородных средах. // Доклады РАН 1992, т. 325, № 1, с. 9-15.

19. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Осреднение уравнений динамики композитов, составленных из слабо сжимаемых упругих компонент. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.,1993, т. 33, № 7, с. 1066-1082.

20. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Оценка погрешности осреднения динамики малых возмущений сильнонеоднородных смесей. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.,1994, т. 34, № 3, с. 395414.

21. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Усредненные уравнения динамики композитов случайной структуры, составленных из слабосжи-маемых упругих компонентов. Механика композитных материалов. 1993, т.29, 3, с 291-295.

22. Н.С.Бахвалов, М.Э.Эглит. О предельном поведении периодических сред с мягкомодульными включениями. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995, т.35, 6, с 905-917.

23. Бахвалов Н.С, Эглит М.Э. Осреднение уравнений статики и динамики пористой среды из несжимаемого материала. Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 19, 284-303, 1996

24. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные модули тонкостенных конструкций. Вестник Моск. ун-та. Сер.1, математика, механика, 6, 60-63, 1997

25. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные модули композитов, армированных системой пластин и стержней. ЖВМ и МФ, т.38, N0 5, 1998, с. 813-834.

26. В.Л. Бердичевский. Об осреднении периодических структур. ПММ, т. 41, 6, 1977, с. 993-1006.

27. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 447 с.

28. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

29. Бессонов Ю. Л. О существовании смешанных производных дробного порядка в Ьр . Успехи матем. наук. 1964. Т. 19. Вып. 4 (118). с. 163-170.

30. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М., Машиностроение, 1980, 375 с.

31. Бреховских JIM. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

32. Бриллюэн JL, Пароди М. Распространение волн в периодических средах. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

33. Бэтчелор Дж. Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости. Механика, сб. переводов ин. статей, 1968 No 3, с 67-84

34. Валединский В.Д. Решение задачи о контакте упругой и несжимаемой сред. ДАН СССР, 1979, т.247, No 3, с.536-540

35. Валединский В.Д. Решение задачи о контакте сжимаемой и несжимаемой сред. Дисс.канд.физ-мат наук. М., 1979

36. Ван Вингаарден JI. Одномерные течения жидкости с пузырьками газа. Реология суспензий, М., Мир, 1975, с 68-103

37. Ван Фо Фы Теория армированных материалов. Киев, Наукова думка, 1971, 232 с.

38. Гвоздовская Н.И., Куликовский А.Г. О структуре ударных волн в упругом композите. ПМТФ, т.40, 1999, No 2, с. 174-180

39. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко Б.С., Когарко С.М. Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа. ДАН СССР, 1973, т.213, No. 5, 1043-1045

40. Горбачев В.И. Задача приведения для упругого пространства, ослабленного системой цилиндрических пор. Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1983, No 5, с.63-67

41. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Перфорированные пластинки и оболочки. М., Наука, 1970

42. Григорян С.С. Об осреднении физических полей. ДАН СССР, 1980, т.254 No 4, с 846-850

43. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М., Энергия, 1968, 423 с.

44. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. JL: Энергия, 1974.

45. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М., Наука, 1989

46. Дюво Ж. Функциональный анализ и механика сплошной среды. Приложение к изучению композиционных материалов с периодической структурой гомогенизации. В кн. Теоретическая и прикладная механика. М.: Мир, 1979, с.323-346.

47. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993

48. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970, 280с.

49. Иорданский C.B. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа. ПМТФ, 1960, No 6, с. 102-110

50. Исакович М.А. О распространении звука в эмульсиях. ЖЭТФ, 1948, т.18, вып. 10

51. Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости. ДАН СССР, 1961, т.137, No 6, с. 1331-1333

52. Кобельков Г.М. О теоремах существования для некоторых задач теории упругости. Мат. заметки, 1975, т.17, No 4, с. 599609.

53. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств L. Anal. Mathematica, 1977, v.3, No 3, pp. 177-286.

54. Козлов С.M. Осреднение случайных операторов. Мат. сб., 1979, т.151, 2, 188-202

55. Композиционные материалы. Т.2: Механика композиционных материалов. Под ред. Дж. Сендецки. М., Мир, 1978, 564 с.

56. Крайко А.Н., Нигматулин Р.П., Старков В.К., Стернин JI.E. Итоги науки и техники. Гидромеханика, т.6, ВИНИТИ, 1972

57. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. Москва, Мир, 1982

58. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М., Московский Лицей, 1998, 412 с.

59. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газо-жидкостных системах.

60. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

61. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1954, 795с.

62. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М., Наука, 1964, 567 с.

63. Левин В.М. О коэффициентах температурного расширения неоднородных материалов. Инженерный журнал, 1967, No 1, с.88-94.

64. Ленский B.C. Акустический вариант теории откола. ПММ т.20, вып.4, 1956, с. 552-554

65. Линдсей Р.Б. Акустика и жидкое состояние. В кн. Реология. Теория и приложения. Под ред. Ф.Эйриха. М. Изд-во иностр. лит. 1962, 822с.

66. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

67. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М., МГУ, 1976, 368 с.

68. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М., Наука, 1982, 286 с.

69. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. 3-е изд. Рига, Зинатне, 1980, 572 с.

70. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев, Наукова Думка, 1974.

71. Механика сплошных сред в задачах. Т.1, Теория и задачи, 395 е.; Т.2, Ответы и решения, 394 с. Под ред. М.Э. Эглит. М., Московский Лицей, 1996

72. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости. Механика. Сб. переводов, 1964, No 4.

73. Миндлин Р.Д., Тирстен Х.Ф. Эффект моментных напряжений в линейной теории упругости. Механика. Сб. переводов, 1964, No 4.

74. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев, Наукова Думка, 1971, 440 с.

75. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Волны в среде с отрицательной второй вязкостью. Труды ФИ АН, 1992, т.232, с.45-95

76. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М., Энергоатомиздат, 1990, 247 с.

77. Найфэ А. Введение в методы возмущений М., Мир, 1984, 536с.

78. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М., Наука, 1978, 336 с.

79. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1, 2, М., Наука, 1987

80. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М., Недра, 1984, 232 с.

81. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Панасенко Г. П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях. Матем. Сб., 1983, т.120 (162), No 1, с. 22-41.

82. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М., Изд-во МГУ, 1990г., 311с.

83. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984, 336 с.

84. Рэлей Р. С. Теория звука. Т.2, М-Л, 1955

85. Сандраков Г.В. Осреднение линеаризованной системы гидродинамики с малой вязкостью и скорость звука в смесях Препринт No. 178, ОВМ Акад. Наук СССР, Москва, 1987.

86. Сандраков Г.В. Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред. Доклады РАН, 1998, т.358, No 3, с. 308-311

87. Сандраков Г.В. Осреднение динамических задач теории упругости с сильно изменяющимися коэффициентами. Доклады РАН, 1998, т.362, No 4, с. 449-452.

88. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

89. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. ПММ, 1968, т.32, No 5, с.771-785

90. Седов Л.И., Черный Г.Г. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах. Теоретическая гидромеханика, No 12, вып. 4, с. 17-30

91. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. Успехи мат. наук, т.20, вып. 5, 1965, с. 121180

92. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Москва, Наука, 1981.

93. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1,2, Москва, Наука, 1994

94. Седов JI.И., Эглит М. Э. Построение неголономных моделей сплошных сред с учетом конечных деформаций и некоторых физико-химических эффектов. // ДАН СССР, 1962, т. 142, № 1, с. 54-57.

95. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

96. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и числовой анализ. М., Мир, 1981

97. Тупин P.A. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения. Механика. Сб. переводов, 1965, No 3.

98. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М., Мир, 1972

99. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М., Мир, 1974

100. Фокс Ф., Карлис С., Ларсон Г. Измерение фазовой скорости и поглощения звука в воде, содержащей воздушные пузырьки. Проблемы современной физики. Сб. переводов и обз. иностр. период, лит-ры, 1956, No 8

101. Хилл Р. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы. Механика (сб. переводов). 1964, т. 87, No 5, с. 127-143.

102. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., Наука, 1977, 400 с.

103. Шешенин C.B. Осредненные модули одного композита. Вестник МГУ, сер. матем, механика, 1980, 6, с. 79-83

104. Эглит М. Э. Модели сплошных сред с неголономными уравнениями состояния. ПММ, 1962, т. 26, вып.4, с. 723-729.

105. Эглит М.Э. К общей теории моделей сплошных сред с конечными деформациями. Дисс.канд. ф-м наук, М., МГУ, 1962

106. Эглит М. Э. Одно обобщение модели идеальной сжимаемой жидкости. ПММ, 1965, т. 29, вып.2, с. 351-354.

107. Эглит М.Э. Осреднение одномерной системы уравнений периодической сжимаемой вязкой теплопроводящей среды. В кн.: Механика неоднородных структур: Тез. докл. I Всесоюз. конф. (Львов, 6-8 сентября 1983). Киев, 1983, с. 224.

108. Эглит М. Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах. Механика композитных материалов, 1984, 5, 825-831

109. Эглит М. Э. Об осредненном описании крупномасштабных процессов в периодических вязких сжимаемых средах. Механика: Современные проблемы. М.: Изд-во МГУ, 1987, 121-126

110. Эглит М.Э. Новые модели, возникающие при осредненном описании микронеоднородных сред. Труды МИ РАН, 1998, т. 223, 1998, с. 102-111

111. Якимов Ю.Л. Силы, действующие на малое тело в произвольном потоке несжимаемой жидкости, и уравнения движения двухфазной среды. МЖГ, 1973, No 3, с. 84-92

112. Amosov A.A., Titov D.A., Zlotnik A.A. Finite difference scheme for the quasi-averaged equations of one-dimensional motion of a viscous barotropic medium. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, Vol. 11, No 6, pp. 445-475

113. Bakhvalov N. S., Eglit M. E. Properties of averaged models of the periodic media mechanics. In Composite Media and Homoge-nization Theory. Ed. G. Dal Maso, G. Dell'Antonio. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 1991, p. 17-35

114. Bakhvalov N.S., Bogachev K.Yu., Eglit M.E. Numerical calculation of effective elastic moduli for incompressible porous material. Механика композитных материалов, 1996, 5, 579-587.

115. N.S. Bakhvalov, M.E. Eglit. Homogenization of dynamic problems singularly depending on small parameters. Proceedings of Second Workshop on Composite Media and Homogenization Theory (Trieste, 1993). World Scientific, Singapore, 1995, 17-35.

116. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., "Asymptotic Methods in Periodic Structures", North Holland, Amsterdam, 1978.

117. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization in open sets with holes. J.Math.Anal.Appl., 1979, Vol. 71, No 2, pp.509-607.

118. Casal P. Capillarite interne en mechanique des miliex continus. Compt. Rend. Acad. Sci., 1963, vol.256, No 18, pp. 3820-3822

119. Commander, K.W., and Plesset, M.S. Linear pressure waves in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments. J.Acoust.Soc.Am., vol.85, 1989, 732-746

120. C.Conca. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics. J. math, pures et appl. 64, 1985, p 31-75.

121. Cosserat E. et F. Sur les eqations de la theorie de 1'elasticite. C.R. Acad. Sci. (Paris), 1898, v. 126, pp. 1089-1091

122. M.E. Eglit. Averaged equations for elastic-plastic composites of periodic structure. 2-nd European Solid Mechanics Conference. Genoa, 1994. Abstract book, p clO

123. Eglit M.E. Averaged equations for statics and dynamics of incompressible elastic media with pores. ZAMM, 1996, 4, 84-87

124. Eglit M.E. Effective equations for mixtures of viscous thermo-conductive compressible fluids. Proceedings of the 2nd International Symposium Two-Phase Flow Modelling and Experimentation, Pisa, Italy, 1999, p. 131-134

125. Eglit Margarita E. The effect of weak heat-conductivity on propagation of long acoustic waves in mixtures. The 4th Int. Congress on- 306 1.dustrial and Applied Mathematics. Edinburgh, Scotland, 1999, Book of Abstracts, p.257

126. Hashin Z. The elastic moduli of heterogeneous materials. J. Appl. Mech., 1962, vol. 29 p.143 .

127. Lions J.L. Some Methods in the mathematical Analysis of systems and their control. Science Press, Beiling, China, 1981, 554p.

128. Marcellini P. Periodic solutions and homogenization of nonlinear variational problems. Annali di Matematica, 1978, No 117.

129. Maxwell, J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism, 2-nd edn.,1881, vol.1 p. 398

130. Miksis M.J. and Lu Ting. Effective Equations for Multiphase Flows Waves in a Bubbly Liquid. Advances in Appl. Mech., Vol. 28, pp. 142-260

131. Rayleigh, R.S. On the influence of obstacles arranged in a rectangular order upon the properties of a medium. Phil. Mag., 1892, 34, 484

132. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d'un fluide visqueux compressible. Physica D, 1991, 48, pp 113-128

133. Szaniawski A., Propagation of small perturbations in a gas-liquid emulsion. Rozprawy Inzynierskie, 5, 269-330, 1957

134. Wijngaarden, L. van. Hydrodynamic interaction between gas bubbles in liquid. J.Fluid Mech., 1976, 77, 27