Исследование деформированных оболочек вращения из гибридных волокнистых композиционных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Косачев, Сергей Леонидович

• Косачев, Сергей Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косачев, Сергей Леонидович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

I. Теоретические основы расчета регулярно армированных волокнистых композиционных материалов (ВКМ)

1.1 История и современное состояние вопроса

1.2 Расчетная схема гибридного ВКМ. Постановка двоякопериодической задачи

1.3 Плоская деформация ВКМ

1.4 Продольный сдвиг ВКМ

1.5 Анализ начального напряженного состояния ВКМ

1.6 Осреднение упругих свойств регулярно армированного ВКМ

II. Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния ВКМ

2.1 Дискретизация интегральных уравнений

2.2 Алгоритм расчета напряженно деформированного состояния и приведенных характеристик ВКМ

2.3 Результаты расчетов ВКМ

III. Алгоритмизация расчетов оболочек вращения из ВКМ

3.1 Вариационная процедура получения разрешающих уравнений теории оболочек

3.2 Особенности учета приведенных характеристик среды в моделях теории оболочек

3.3 Численное интегрирование канонической системы уравнений деформирования оболочек вращения из ВКМ

3.4 Алгоритм численного расчета деформирования оболочек вращения из ВКМ

IV. Расчет составных оболочечных конструкций из ВКМ

4.1 Соотношения метода конечного элемента при расчете разветвленных оболочечных конструкций

4.2 Расчет многослойных оболочек вращения при помощи МКЭ

4.3 Расчет сосудов давления из ВКМ

Основные результаты и выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование деформированных оболочек вращения из гибридных волокнистых композиционных материалов»

ВВЕДЕНИЕ

Композиционные материалы (КМ) являются одними из наиболее перспективных в создании современных машиностроительных конструкций. Бурное развитие технологии их производства привело к появлению большого количества новых материалов. Однако, несмотря на все расширяющееся применение КМ в технике, вопрос об идентификации свойств этих материалов в большинстве случаев до конца не закрыт, что не позволяет полностью использовать возможности, предоставляемые композиционными материалами. Практически на начальной стадии рассмотрения на сегодняшний день остается проблема исследования свойств так называемых гибридных композитов, т.е. материалов, содержащих более чем один тип волокон, матриц или слоев.

Данная диссертационная работа посвящена построению комплексных методик исследования свойств однонаправленных гибридных волокнистых композиционных материалов (ВКМ) и расчета многослойных оболочек, изготовленных из этих материалов. Общей целью работы является выбор, анализ и комплексное развитие эффективных методов расчета современных композиционных материалов и силовых конструкций из них.

Актуальность работы определяют два основных аспекта. Первый из них связан с построением достаточно общей структурной модели композиционного материала, включающей в себя как рассмотрение локального напряженного состояния композита на уровне его микроструктуры, так и описание поведения ВКМ "в целом" и учет некоторых технологических воздействий на материал на этапе его изготовления. Вопросы рационального проектирования конструкций из КМ требуют для своего решения рассмотрения многопараметрических структур с большим количеством варьируемых параметров. В этой связи в работе рассматриваются гибридные ВКМ с весьма произвольной микроструктурой ячейки.

Вторым аспектом, оправдывающим внимание к рассматриваемым вопросам, являются конкретные практические задачи, приводящие к необходимости расчета многослойных силовых конструкций из ВКМ. Во многих случаях, встречающихся на практике (например, когда толщина слоистой оболочки значительна и/или материал некоторых слоев обладает пониженной жесткостью при поперечном сдвиге) классическая теория оболочек, построенная на основе гипотез Кирхгофа-Лява или Тимошенко, приводит к существенным погрешностям в результатах расчетов. В этих случаях необходимо использование уточненных моделей деформирования оболочек. В настоящей работе возможности ЭВМ используются для построения с ее помощью различных моделей теории оболочек, для которых построение соответствующих скалярных форм весьма затруднительно. При этом развивается подход, свободный от ограничений на вид используемых гипотез о характере распределения перемещений и выделяющий их в отдельный вид соотношений для дополнительной алгоритмичности исследований состояния деформируемых элементов конструкций при различных гипотезах.

Диссертация состоит из четырех глав, выводов и списка литературы.

Первая глава работы посвящена исследованию физико-механических полей в регулярно армированном однонаправленном ВКМ с изотропными компонентами структуры. При исследовании композит моделируется в виде некоторой 3-мерной изотропной кусочно-однородной среды (решетки), упругие и геометрические свойства которой неизменны в направлении Охз. Распределение упругих и геометрических свойств в плоскости Х]0Х2 предполагается двоякопериодическим. Использование такой идеализации оправдано тем, что современные методы изготовления ВКМ (такие как прецизионная намотка профильных волокон) позволяют создавать материалы со структурой, близкой к двоякопериодической. Основываясь на экспериментальных данных, влиянием свободных границ на распределение напряжений внутри структуры, можно пренебречь.

В математическом отношении определение физико-механических полей в периодических кусочно-однородных структурах (каковыми являются гибридные ВКМ) сводится к решению краевых задач теории упругости или теории потенциала для бесконечносвязаных областей, обладающих соответствующей группой симметрии.

При решении краевых задач развиваются концепции метода интегральных уравнений. Такая схема исследования и решения краевых задач теории кусочно-однородных регулярных структур оказывается весьма эффективной, поскольку помимо своей общности она дает возможность, используя мощный аппарат теории интегральных уравнений и функций комплексного переменного, строго обосновывать полученные алгоритмы. Важно также и то, что интегральные уравнения теории структур сравнительно просто поддаются численной реализации на ЭВМ.

Используемый в работе метод интегральных уравнений, помимо определения полей напряжений, вызванных внешней нагрузкой, позволяет учесть некоторые технологические воздействия на композит на этапе его изготовления. А именно - наличие в структуре материала остаточных напряжений. Экспериментальные и теоретические исследования особенностей формирования неоднородной структуры волокнистого композиционного материала в условиях повышенных температур и результаты анализа образующихся при этом остаточных напряжений показали, что начальное состояние композита характеризуется напряжениями, сопоставимыми с его прочностью. Очевидно, что эти напряжения будут оказывать существенное влияние как на несущую способность элементов конструкций из ВКМ, так и на характер их разрушения под действием внешнего нагружения. В первой главе рассматривается влияние технологических напряжений на распределение напряжений вызванных внешней нагрузкой, а так же возможность управлением начальным напряженным состоянием ВКМ.

При проектировании композиционных материалов, помимо локальных

свойств напряженного состояния в композите (таких как распределение напряжений в опасных зонах, определение максимальных напряжений, расчет начального напряженно-деформированного состояния и т.д.), необходимо оценить жесткость материала в целом. Определение жесткости двоякоперио-дической решетки составляет смысл задачи приведения. Содержание этой задачи заключается в нахождении приведенных упругих параметров армированной среды по известным характеристикам ее компонентов, т.е. в отыскании упругих параметров сплошной среды, обладающей той же жесткостью, что и исходная.

Существует довольно обширная литература в которой изложены различные приближенные подходы к осреднению свойств армированных сред. В большинстве случаев эти подходы содержат в своей основе либо энергетические соотношения, либо строятся на различных аппроксимациях экспериментальных данных с использованием эмпирических зависимостей. Такие подходы привлекательны простотой и наглядностью, но они применимы не для всех диапазонов степеней армирования и не "работают" в более сложных случаях, например, при наличии иерархии структур, анизотропии упругих свойств компонент и т.д. В большинстве случаев такие подходы позволяют определить лишь границы (обычно достаточно широкие) упругих характеристик материала.

Более общий, но зато и более тяжелый путь решения проблемы осреднения заключается в том, чтобы рассматривать ее как следствие из соответствующих краевых задач для структуры. При таком подходе метод получения макрохарактеристик среды становится нечувствительным к усложнению ее структуры, важно лишь то, что среда обладает геометрической и силовой симметрией.

В первой главе последовательно развивается второй подход к проблеме осреднения. Под макромоделью регулярной структуры понимается однородная среда, упругие свойства которой определяются законом связи между

средними напряжениями и средними деформациями в структуре. Макропараметры структуры определяются точно в виде некоторых функционалов, построенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.

Композитные конструкции характеризуются наличием многих структурных параметров: типом волокон и матриц, их относительным объемом, ориентацией армирующих элементов, последовательностью укладки слоев и т.д. Наряду с очевидными трудностями анализа, вызванными такой многовариантностью, композиты имеют редкие возможности для постановки и решения задач синтеза - проектирования структур имеющих целью оптимально распорядиться многими уникальными свойствами КМ в создании конструкции. В этом смысле интерпретация макропараметров как некоторых функционалов, содержащих всю необходимую информацию о структуре, открывает пути для рационального проектирования композиционных материалов и конструкций из них.

Во второй главе рассматривается численная реализация построенных в первой главе алгоритмов расчета ВКМ. Приводится описание и блок-схема программы расчета напряженно-деформированного состояния и приведенных характеристик гибридных композитов.

Численная реализация алгоритмов расчета НДС ВКМ состоит из нескольких основных этапов. На первом из них выбирается схема квадратур, приспособленная к типу интегрального уравнения, после чего оно сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений плотностей в узловых точках контура. При этом, надо отметить, что входящие в ядра интегральных уравнений эллиптические функции Вейерштрасса выражаются через медленно сходящиеся ряды, поэтому для их вычисления удобнее использовать тета-функции Якоби.

Далее, плотности представляются аналитически при помощи сплайн аппроксимации, что дает возможность вычислять производные от них по гра-

ничным точкам области и в конечном счете определять сами комплексные потенциалы и производные от них. Таким образом вычисляются перемещения и напряжения в характерных точках структуры.

Для определения осредненных упругих параметров ВКМ сначала находятся стандартные решения интегральных уравнений, соответствующие специальным правым частям, затем вычисляются функционалы, определяющие эти параметры.

В заключении второй главы приводятся результаты и анализ расчетов по предложенной методике для нескольких различных видов композиционных материалов.

Третья глава диссертации посвящена алгоритмизации расчетов по различным геометрическим моделям деформирования оболочек вращения, изготовленных из композиционных материалов. Широкое применение в технике тонкостенных оболочечных конструкций из композиционных материалов и необходимость прогнозирования их поведения при сложном нагружении еще долго будет определять актуальность исследований в этой области. Задачи, возникающие при расчете оболочек можно рассматривать на основе различных подходов. Во многих случаях применение классической теории приводит к удовлетворительным результатам. Однако, для оболочек, обладающих значительной анизотропией механических свойств, нетонких оболочек и т.п., предположения классической теории требуют уточнения, поскольку факторы, которыми пренебрегают, могут играть существенную роль при определении НДС оболочек. Так, например, особенности работы оболочек со слоями имеющими существенно различающиеся характеристики, определяются тем, что возникающие в маложестких слоях поперечные деформации могут существенно повлиять на распределение напряжений и перемещений. Получить решение задач для указанных оболочек в трехмерной постановке достаточно сложно, что вынуждает использовать различные модели, имеющие те или иные упрощения.

На сегодняшний день можно выделить два принципиально различных пути построения моделей теории оболочек. В первом случае канонические уравнения деформирования различных элементов конструкций, включая и оболочки, строятся на основе классических гипотез типа Кирхгофа-Лява, Тимошенко и им подобных. Уравнения при этом получаются легко обозримые, удобные и ориентированные в первую очередь на аналитические методы решения задач деформирования при мало интенсивных или плавно изменяющихся во времени и пространстве воздействиях.

Во втором подходе для получения канонических уравнений используется ЭВМ, причем зачастую уравнения невозможно получить в явной скалярной или тензорной форме. Однако для численных методов решения "удобные" свойства канонических уравнений и существование явного вида скалярной или тензорной их записи не являются принципиально необходимыми. Для проведения вычислений важнее алгоритмичность построения уравнений и расчетов по ним, а также получение необходимой для решения исследуемого класса задач деформирования точности уравнений, невзирая на их сложность. В диссертации последовательно развивается второй подход.

Использование ЭВМ для получения канонических уравнений деформирования различных элементов конструкций в различных классах задач, судя по известной литературе, находится на начальной стадии. Среди первых работ этого направления отметим работу Б.Г. Попова [76]. Как правило известным работам присуще лишь чисто описательное использование ЭВМ для формальной записи в векторно-матричном виде уже известных вариантов теории деформирования различных элементов конструкций. В настоящей работе возможности ЭВМ используются для построения с ее помощью различных вариантов теории оболочек, для которых построение соответствующих скалярных форм весьма затруднительно. При этом развивается подход, свободный от ограничений на вид используемых гипотез о характере распределения перемещений и выделяющий их в отдельный вид соотношений для дополни-

тельной алгоритмичности исследований состояния деформируемых элементов конструкций при различных гипотезах.

Отличительной особенностью данной работы является то, что в ней предлагаются не отдельные методы решения для избранной модели, а технология получения канонических уравнений деформирования оболочек вращения для различных моделей, базирующаяся на вариационном принципе. При этом уравнения автоматически получаются максимально приспособленными к численному решению, в независимости от сложности исходных предположений.

Современные тонкостенные конструкции из композитов, как правило, изготавливаются из нескольких разноориентированных слоев однонаправленных материалов. Поэтому практически важен переход от общих соотношений для упругого анизотропного тела к конкретным формам их записи для плоского напряженного состояния. Особенно важны вопросы, связанные с преобразованием характеристик однонаправленного материала в характеристики многослойных материалов, составленных из разноориентированных слоев однонаправленных композитов. Вопросы преобразования упругих характеристик однонаправленных ВКМ, полученных в главе 1, в характеристики многослойных материалов так же рассматриваются в третьей главе.

В последнем параграфе третьей главы изложены алгоритмы и блок-схемы разработанного программного модуля, с помощью которого можно вычислять параметры напряженно-деформированного состояния композиционных оболочек вращения по четырем различным геометрическим моделям деформирования оболочек, представлены матрицы исходной информации для каждой из них. На тестовых задачах проведен сравнительный анализ всех реализованных в программном модуле моделей.

Последняя глава посвящена вопросам расчета составных оболочечных конструкций из ВКМ. В ней приводятся соотношения метода конечных элементов, подробно рассматривается кольцевой оболочечный элемент. Для

примера приводятся результаты расчета сосуда давления, представляющего собой слоистую оболочку вращения, изготовленную из ВКМ. При этом приведенные характеристики каждого слоя рассчитаны с помощью процедур, описанных в первой главе, а специфика многослойной структуры оболочки характеризуется интегральными жесткостными свойствами по толщине пакета, подробно рассмотренными в третьей главе.

В конце диссертации кратко сформулированы основные ее выводы и результаты.

Основные результаты исследований, изложенных в диссертации были доложены на:

- II Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1996г.)

- Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивых систем" (Киев, 1996г.)

- III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997г.)

- IV Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1998г.)

На защиту выносится комплексный метод, алгоритм и программный комплекс расчета напряженно-деформированного состояния и определения приведенных упругих характеристик гибридных ВКМ и расчета многослойных, физически и конструктивно ортотропных оболочечных конструкций из них.

I. Теоретические основы расчета регулярно армированных волокнистых композиционных материалов (ВКМ)

1.1 История и современное состояние вопроса

Современные композиционные волокнистые материалы обладают высокими удельными характеристиками прочности и жесткости, а также имеют целый комплекс других полезных функциональных свойств, что позволяет рассматривать их в качестве наиболее эффективных конструкционных материалов для современных и перспективных машиностроительных конструкций. Однако опыт показывает, что высокие потенциальные возможности ВКМ не всегда реализуются с тем эффектом, который рассчитывали получить проектанты. Это происходит в силу несовершенства существующих методов расчета, проектирования и технологии изготовления конструкций, а также в следствие недостаточного учета особенностей композитов как при изготовлении, так и при нагружении в эксплуатации. Отмеченные особенности обуславливаются прежде всего сильной анизотропией свойств и неоднородностью структуры ВКМ. Поэтому представляется наиболее рациональным по возможности решать в комплексе задачи проектирования материала, конструкции и технологического процесса ее изготовления исходя из условий нагружения и эксплуатации.

Первые силовые конструкции из композиционных материалов появились в результате простой замены одного конструкционного материала (металла) на другой (композит) с сохранением принципа раздельного изготовления входящих в них деталей, с их последующей сборкой традиционными методами и использованием механического крепежа. При этом достигался эффект снижения массы (поскольку композиты обладают удельными прочностью и жесткостью более высокими, нежели металлы), однако возникла проблема

механических соединений, поскольку ВКМ имеют малую прочность на срез, сдвиг и смятие, а следовательно сильно повреждаются при выполнении этих соединений. Поэтому следующим шагом в применении ВКМ стало совмещение процессов изготовления материала и конструкции что привело к снятию проблемы механических соединений и еще большему выигрышу в весе и стоимости конструкций.

Одними из первых силовых конструкций, созданных по принципу замены материала, были кессоны поворотных стабилизаторов, килей и рулей направления, в которых вместо металлических использовались боропластико-вые обшивки и стеклопластиковые лонжероны. При этом масса стабилизатора снизилась на 18...25% по сравнению с металлическим эквивалентом [27]. С появлением более технологичных и дешевых углеродных волокон, не уступающих по механическим свойствам борным, многие силовые конструкции стали изготавливать из углепластиков. В последние годы широкое применение получили так называемые гибридные композиты, т.е. материалы, содержащие более чем один тип волокон, матриц или слоев. Такие композиты сочетают в себе полезные свойства различных материалов (как например высокую прочность с высокой жесткостью и т.д.).Современные программы развития авиационной техники предусматривают создание конструкций планера, состоящих на 40...60% из композиционных материалов.

Использование композитов в конструкциях вертолетов более эффективно по сравнению с самолетами из-за их большей энерговооруженности (примерно в два раза). Однако первоначальное использование композитов определялось лишь повышением прочности и усталостной долговечности лопастей несущего винта. В настоящее время в конструкции фюзеляжа вертолетов используется характерная подкрепленная обшивка из углепластика, облицованная органопластиком. На сегодняшний день осуществляются специальные программы по оценке применения композитов в конструкциях вертолетов, определяющие возможности снижения их массы на 20...25% и себе-

стоимости изготовления на 15...20%. Считается, что разработка единой композитной роторно-динамической системы позволит получить полностью композиционную конструкцию вертолета с весьма высокими технико-экономическими характеристиками.

Перечень конструкций, в которых применяются волокнистые композиционные материалы, может быть без труда продолжен, так как не только "передовые" (как авиационно-космическая), но и многие традиционные области техники, такие как автомобилестроение, производство бытовой техники и т.п., переходят с традиционных материалов на использование композитов. Так, например, все чаще для изготовления карданных валов автомобилей применяются тонкостенные композитные стержни, а рессоры изготавливаются из углепластика.

Расчет напряженного состояния в неоднородной структуре ВКМ обычно осуществляется на моделях этого материала. Моделирование структуры волокнистых композитов основывается на выделении некоторого характерного геометрически повторяющегося элемента, для которого строится методами теории упругости решение о распределении напряжений.

Так Р.Хилл [106] моделировал композит в виде армирующего элемента, погруженного в некоторую среду, характеризующуюся макроскопическими свойствами этого композита. Эта так называемая самосогласованная модель удовлетворительно соответствует экспериментальным результатам для сла-боармированных сред, поскольку в ней не учитывается взаимное влияние волокон. Аналогичные результаты были получены З.Хашиным и Б.Розиным [105]. Использовав тот же принцип, А.Кильчинский [53] рассмотрел модель в виде шестиугольника, выделенного из структуры ВКМ, с находящимся внутри него одиночным круглым армирующим элементом.

Известно также решение Л.Грещука [102] для модели композита в виде квадратного элемента с круговым цилиндрическим включением внутри него. Эта модель оказалась удовлетворительной для степеней армирования в диа-

пазоне от 0.5 до 0.75. Для более высоких степеней армирования результаты были менее точными, поскольку эта модель также не позволяет учитывать взаимное влияние волокон.

Сравнение моделей регулярной структуры в виде гексагональных (треугольных или шестиугольных) и квадратных элементов с аналогичным армированием с учетом случайного распределения таких элементарных ячеек по объему композита (стохастическая модель) было проведено Д.Адамсом и С.Цаем [1,94]. Это сравнение показало, что стохастическая квадратная модель структуры дает завышенные результаты по отношению к одноименной регулярной модели, в то время как для стохастической гексагональной или треугольной модели характерны более низкие результаты, чем для модели с регулярной укладкой волокон в структуре. Было установлено также, что гексагональная модель дает более точные результаты, чем квадратная, что естественно, поскольку гексагональная геометрия расположения волокон в модели является более правомерной в представлении фактической структуры вы-сокоармированных ВКМ.

Наиболее точные результаты были получены при использовании двояко-периодических моделей, в которых структура композита представляется регулярной неограниченной двоякопериодической сеткой (решеткой) в узлах которой размещаются армирующие элементы. Влиянием свободных границ можно пренебречь. Так в работе [95] показано, что напряженное состояние уже второго ряда волокон, считая от свободной границы, практически не отличается от двоякопериодического. А эффективные модули среды с тремя рядами волокон отличаются от соответствующих модулей двоякопериодической структуры на 4,3% для бороэпоксидного и на 2,9% для бороаштюминие-евого композиционных материалов.

Кроме того, что данная модель наиболее точно отражает реальное строение композита, она позволяет использовать мощный аппарат теории функций комплексного переменного при решении двумерных задач теории

упругости для сложных многосвязных областей с использованием методов комплексных потенциалов. Для областей с круговыми границами решения краевых задач строятся обычно в степенных рядах. Если границы области отличны от круговых, то применяются методы интегральных уравнений или метод рядов в сочетании с конформными отображениями.

Изначально методы комплексных потенциалов разрабатывались для исследования напряженно-деформированного состояния регулярно перфорированных пластин.

Впервые метод рядов был применен В.Я.Натанзоном для исследования растяжения пластины с круговой перфорацией [66]. Аналитические функции, описывающие решение, представлялись в виде рядов по эллиптическим функциям. Там же была введена новая специальная функция, позволившая автору построить решения, удовлетворяющие условиям групповой симметрии.

Впоследствии этот метод был обобщен в монографиях Э.И.Григолюка и Л.А.Фильштинского [35,36]. Оказалось, в частности, что идея В.Я.Натанзона о построении бигармонической функции, автоматически удовлетворяющей условиям периодичности, может быть обобщена на случай полигармонической функции любого порядка. Этот вопрос рассмотрен в статье [50], где

введена система новых специальных функций Р позво-

лившая построить некоторые обобщения эллиптических функций - " эллиптические" полигармонические функции.

В дальнейшем метод рядов неоднократно использовался многими авторами применительно к анализу волокнистых композитов. Среди таких работ в первую очередь следует выделить работы Г.А.Ванина [24,25], Г.А.Ван Фо Фы [21,22]. С использованием этого метода Г.А.Молодцовым [62] было проведено комплексное исследование ВКМ (стеклопластика) с гексагональной структурой укладки волокон. В данной работе автором помимо определения напряженно-деформированного состояния композита, проведен анализ тех-

нологических напряжений, образующихся при изготовлении, и их влияния на общее напряженное состояние материала, им также рассмотрена возможность управления начальным напряженным состоянием ВКМ путем предварительного натяжения волокон. При всех достоинствах данного метода следует отметить некоторую ограниченность его применения поскольку использование метода рядов позволяет рассматривать случаи наличия только одного типа волокон в ячейке и только волокон кругового поперечного сечения.

Наиболее эффективным инструментом исследования плоских двоякопе-риодических задач теории упругости является метод интегральных уравнений.

Впервые этот метод был использован В.Т.Койтером [108] при исследовании первой основной краевой задачи для решетки. В данной работе развивался аппарат представлений двоякопериодических и квазипериодических аналитических функций контурными интегралами типа Коши. В дальнейшем оказалось, что общую теорию решеток можно эффективно построить, используя идеи, развитые Д.И.Шерманом [96] для конечных многосвязных областей. Соответствующие исследования были проведены Л.А. Фильштин-ским. В работе [89] рассмотрена первая краевая задача для решетки, в [88] -контактная двоякопериодическая задача для кусочно-неоднородной среды.

К рассматриваемому кругу вопросов близко прилегают сингулярные задачи об определении полей напряжений в ВКМ, имеющем двоякопериодиче-скую систему туннельных трещин. Возникновение подобных дефектов в композите обычно обусловлено наличием остаточных технологических напряжений.

Сингулярное интегральное уравнение плоской задачи теории упругости для изотропной среды с криволинейными разрезами (трещинами) было получено М.П.Савруком [79]. Первая и вторая краевые задачи для анизотропной среды с криволинейными разрезами впервые были рассмотрены в работах [90,91]. В них были построены сингулярные уравнения соответствующих за-

дач и проведена их численная реализация. Интересно отметить, что полученные алгоритмы для анизотропной среды с разрезами допускают предельный переход к соответствующим уравнениям для изотропной среды.

Представления типа [91] были использованы П.С.Теокаридисом и Н.И. Иоакимидисом [110] для сведения плоских задач теории упругости для изотропной среды с инородным включением к сингулярным интегральным уравнениям как в случае идеального контакта сред, так и при наличии разреза на линии раздела. Однако надо отметить, что механическое перенесение авторами представлений, выведенных для случая однородной среды, на среду кусочно-однородную не позволяет получить правильные численные результаты при большом отношении упругих постоянных волокон и матрицы, характерном для современных композиционных материалов. Соответствующая модификация представлений была проведена М.Г. Грингаузом и JI.A. Филыптин-ским в работах [38,90].

Обычно, при проектировании конструкций из композиционных материалов, помимо локальных свойств напряженного состояния (таких как распределение напряжений в опасных зонах, максимальные напряжения и т.д.), необходимо оценить жесткость такой конструкции в целом. Определение жесткости двоякопериодической решетки составляет задачу приведения.

Вопрос о вычислении эффективных упругих характеристик неоднородных сред с периодической структурой ставился еще в классических работах Пуассона, Фойгта, Рейсса. В дальнейшем было показано, что метод Фойгта дает верхнюю, а метод Рейсса - нижнюю оценки эффективных параметров. Однако "вилка" между этими приближениями (т.н. "вилка Хилла") может достигать весьма больших величин. Так, для композитов с сильно различающимися характеристиками компонентов величина погрешностей приближений сравнима с самими эффективными характеристиками и может превышать 100%.

Ранние работы по проблеме осреднения упругих свойств решеток осно-

вывались на простейших соображениях строительной механики и сопротивления материалов. Среди подобных подходов можно выделить работы Л.С. Жислиной [41], В.М. Левина.

На сегодняшний день, для определения приведенных упругих характеристик в большинстве случаев используются различные приближенные подходы обычно основанные на энергетических соотношениях, аппроксимации экспериментальных данных или на их комбинации. Однако оценка области применения таких методов сильно затруднена, а возможности уточнения отсутствуют. Среди таких подходов можно отметить уже упоминавшиеся работы С.Цая, Р.Хилла. Надо отметить, что такие подходы позволяют получить удовлетворительные результаты не для всех упругих характеристик и областей армирования материала. Во многих случаях упругие характеристики, полученные с использованием таких методов, могут быть использованы лишь для прикидочных расчетов с последующим уточнением по результатам эксперимента.

Точные постановки этих вопросов стали возможны после разработки методов решения соответствующих краевых задач теории упругости для бесконечных регулярных структур. В работах Н.С. Бахвалова [7-9], В.Л. Бердичев-ского [11], Б.Е.Победря [71-73] был предложен асимптотический метод осреднения, применимый как для однонаправленных композитов, так и для пространственно армированных материалов. Главное достоинство этого метода - его универсальность. Он применим к самым разнообразным процессам, протекающим в периодических средах: упругим колебаниям, распространению тепла, диффузии, фильтрации жидкости, излучению и др. При этом могут рассматриваться как линейные так и нелинейные модели. Однако, несмотря на универсальность этого метода, у него есть существенный недостаток, связанный с необходимостью численного решения задач на ячейке, требующего больших затрат машинного времени и памяти. При этом наибольшие трудности возникают при решении задач на трехмерной ячейке и

при осреднении однонаправленных композитов (плоская задача), имеющих большое отношение упругих характеристик компонентов (что характерно для современных материалов). Эти трудности связаны с появлением в уравнениях большого параметра. Для решения плоских задач более эффективным является применение методов теории функций комплексного переменного с использованием квазипериодического характера перемещений в среде.

Идея использования квазипериодического характера перемещений в структуре для построения ее макромодели была предложена и частично реализована в работах [35,89]. В наиболее общей форме она развита в [88,36,38] для изотропных и в работе [37] для анизотропных сред. Предложенные процедуры дали возможность построить точные формулы для эффективных упругих постоянных в виде некоторых функционалов. Аналогичные результаты для материалов с дефектами содержатся в работах [37,91],

Помимо расчета приведенных упругих характеристик и расчета локального НДС ВКМ, вызванного внешним воздействием, при расчете конструкций из композиционных материалов, возникает необходимость учитывать влияние на материал технологического процесса его изготовления.

Специфической особенностью (по сравнению с металлами) изготовления элементов конструкции из композитов является совмещение процесса создания конструкции и процесса получения материала, из которого она изготавливается. В этом случае существует возможность проектирования конструкции с учетом технологии ее изготовления и процесса образования композиционного материала. Для этого необходимо иметь гибкую модель материала с учетом технологических, а так же других воздействий на него. Естественно, что прежде всего необходимо уметь определять то начальное напряженно деформированное состояние, которое формируется в материале при его изготовлении и характеризуется так называемыми остаточными технологическими напряжениями.

Технологические напряжения, образующиеся в конструкциях из ВКМ,

можно классифицировать по общепринятому признаку - размеру зоны, на которой они действуют. Так можно выделить:

• остаточные напряжения, зона действия которых ограничивается конструктивными размерами элементов (макронапряжения первого рода);

• остаточные напряжения, зона действия которых ограничена одним слоем (макронапряжения второго рода);

• остаточные напряжения , зона действия которых ограничивается размерами волокна и окружающей его матрицы (структурные остаточные микронапряжения).

Такая классификация обуславливается выбором модели ВКМ, которая используется для расчета.

При расчете макронапряжений первого рода используется модель квазиоднородной анизотропной среды, получаемой по принципу "размазывания" неоднородного материала по всей его толщине, введенному В.В. Болотиным [16,17]. В основном данная модель применяется для толстостенных оболочек (Н/Ь>0.1).

Для расчета макронапряжений второго рода используется слоистая модель материала в оболочках и плоских элементах конструкций, введенная В.В. Васильевым [26,27], в которой принцип "размазывания" ограничивается толщиной каждого индивидуального слоя.

Для структурных микронапряжений используется модель неоднородной среды , состоящей из матрицы и волокон.

Слоистая и неоднородная модели ВКМ отражают реальную структуру слоистых композитных конструкций и каждого слоя из которых они состоят, и являются, таким образом, наиболее адекватными способами описания свойств этих конструкций при различных видах внешних и технологических совместных воздействий.

Исследование поведения слоистых элементов конструкций под воздействием внешнего нагружения было проведено в работах [21-24], однако в них

не было уделено достаточного внимания действию остаточных напряжений. При решении Г.А.Ваниным задач двоякопериодической теории упругости был проведен анализ напряженного и деформированного состояний матрицы и волокон однонаправленного слоя, находящегося под действием различных видов нагружения [24], однако оценки влияния остаточных микронапряжений на несущую способность материала в них также не дано. Такой анализ был проведен Г.А.Молодцовым [62], но автором не были рассмотрены гибридные материалы.

Конструкции, имеющие слоистую структуру, широко применяются в современной технике. Значительный толчок к широкому распространению многослойных конструкций был дан прогрессом в области новых композиционных материалов. Многие из этих материалов имеют слоистую структуру, а созданные из них конструкции следует рассматривать как мелкослоистые. Технологические приемы, применяемые при их создании (такие как намотка и прямое прессование), таковы, что конструкция естественно получается состоящей из ряда слоев. Так, оболочки, изготовленные методом продольно-поперечной или перекрестной спиральной намотки, состоят из двух групп слоев с различной ориентацией армирующих волокон. Таким образом, оболочки, изготовленные из композиционных материалов, обладают рядом характерных физико-механических свойств (анизотропия, пониженная сдвиговая жесткость, поперечное обжатие, нелинейность и др.).

Наличие упомянутых свойств приводит к ряду особенностей при расчете композитных оболочек. Так, например, возможность деформирования по толщине оболочки (что свойственно для нетонких оболочек) позволяет учитывать распределение НДС оболочек по трем направлениям. Решения задач для анизотропных оболочек в трехмерной постановке сопряжены со значительными трудностями, для преодоления которых пользуются приближенными методами. При этом переход от трехмерных задач к двухмерным осуществляется различными методами.

Существует ряд подходов построения теории оболочек при менее жестких допущениях, чем гипотеза нормального элемента, используемая в классической теории оболочек. К ним относятся теории типа С.П. Тимошенко, Э. Рейсснера, С.А. Амбарцумяна, Т.В. Койтера и др. Некоторые их приложения к задачам статики, динамики и устойчивости оболочек даны в монографиях С.А. Амбарцумяна [5], С.Г. Лехницкого [60], В.Л. Бидермана [12,13], В.В. Болотина Ю.Н. Новичкова [18], А.Н. Елпатьевского и В.В. Васильева [40], Ю.М. Тарнопольского, H.A. Алфутова, П.А. Зиновьева и Б.Г. Попова [2], А.К. Малмейстера [61] и др.

Имеющиеся здесь подходы условно разделяются по классификации И.И. Воровича и А.Л. Гольденвейзера на две группы. К первой относятся методы, содержащие регулярный процесс замены решения трехмерной задачи последовательностью решения двухмерных, ко второй - методы, базирующиеся на принятии упрощающих гипотез без регулярного процесса.

В первой группе выделяются два направления, связанные с асимптотическими методами и методами разложения по толщине. Асимптотический способ интегрирования уравнений трехмерной теории упругости описан в работах А.Л. Гольденвейзера [34], К.О. Фридрихса, ЭЛ. Рейса, В.Л. Бердичев-ского [10] и др. Иной подход к определению асимптотики решений, основанный на однородных решениях, развивается в работах И.И. Воровича [29], A.C. Космодамианского [56,57], М.А. Шленева [97] и др.

Метод разложений по толщине основан на представлении искомых функций в виде рядов по положительным степеням толщинной координаты. Одним из первых в задачах теории оболочек этот метод применил H.A. Киль-чевский [52]. Причем вместо обычных степенных рядов он использовал тензорные разложения, справедливые для произвольной криволинейной системы координат. В работах И.Н. Векуа [28], В.В. Понятовского [74] в качестве базисных функций разложений принимаются полиномы Лежандра. При этом для составления соответствующих граничных и начально-краевых задач от-

носительно коэффициентов разложений используются проекционный и вариационный методы. В работах Ш.К. Галимова [32], И.Ю. Хома [93] эти методы распространяются на нетонкие изотропные и анизотропные пластины и оболочки.

Существует другой подход, при котором теория многослойных конструкций трактуется как результат обобщения классической теории пластин и оболочек и теории трехслойных конструкций. В ряде случаев многослойные конструкции уже нельзя считать тонкими в смысле гипотез классической теории пластин и оболочек. При увеличении числа слоев и применении различных заполнителей существенную роль начинают играть эффекты, связанные с работой отдельных слоев.

В работах В.В. Болотина [14,18] был предложен подход к решению задач механики многослойных конструкций, получивший развитие в ряде дальнейших публикаций. Особенностью этого подхода является максимальная алгоритмизация, достигаемая использованием вариационных принципов. Исходным пунктом для данных работ явилась теория трехслойных пластин и оболочек, которая обобщается таким образом, что становится справедливой при любом произвольном числе слоев. При достаточно большом числе слоев конструкция рассматривается как мелкослоистая. В этом случае полученные уравнения допускают предельный переход. Такой предельный переход был произведен в работе [18] на основе принципа энергетической континуализа-ции. Позднее этот принцип был применен для получения определяющих уравнений механики слоистых композитов.

Совершенствование и развитие методов решения задач теории оболочек является не менее важной проблемой, чем построение различных моделей. Более того, как отмечено в работе [48], разработка методов решения различных сложных классов задач идет гораздо медленнее, чем создание новых моделей теории оболочек, что объясняется значительной сложностью краевых задач, возникающих в теории оболочек. Поэтому основной на сегодняшний

день проблемой вычислительной механики в теории оболочек является не столько построение новых моделей, сколько расчет по оболочечным моделям, что представляет собой довольно сложную вычислительную задачу. В связи с этим в последнее время стало появляться большое число работ в которых применяется вариационно-матричный подход к построению канонических уравнений деформирования оболочек и расчету сложных оболочечных конструкций.

По-видимому, одними из первых работ в этом направлении следует считать работы H.A. Алфутова, П.А. Зиновьева и Б.Г. Попова [2], и Б.Г. Попова [75,76]. В этих работах с единых позиций принципа возможных перемещений рассмотрены формулировки задач статики, устойчивости и динамики в век-торно-матричной постановке, что позволило проследить общие этапы решения широкого круга задач, компактно записать уравнения в удобном для численного решения виде. Однако, этим работам присуще чисто описательное использование ЭВМ для формальной записи в векторно-матричном виде уже известных вариантов теории деформирования различных элементов конструкций.

Таким образом, суммируя вышесказанное, можно сделать вывод, что, несмотря на большое количество исследований выполненных в области расчета композиционных материалов и конструкций из них, многие вопросы остаются либо мало исследованными, либо не исследованными вовсе. Кроме того, наиболее важным, на сегодняшний день является использование комплексного подхода к проектированию и расчету композиционного материала, технологического процесса его изготовления и расчета конструкции, выполненной из этого материала с учетом условий внешнего нагружения.

С учетом проведенного обзора литературы в последующих главах диссертации существенное внимание уделено комплексному методу расчета оболочечных конструкций из композиционных материалов. Этот метод включает в себя расчет локального НДС (в том числе расчет структурных

технологических остаточных напряжений), определение приведенных упругих характеристик для гибридных ВКМ с произвольной микроструктурой ячейки, расчет слоистых композитных оболочек вращения по различным геометрическим моделям деформирования. При этом для записи разрешающих уравнений теории оболочек используется векторно-матричная формализация с последующим получением канонической системы деформирования оболочек с помощью ЭВМ.

1.2 Расчетная схема гибридного ВКМ. Постановка двоякопериодиче-ской задачи

Активное применение КМ способствовало развитию методов расчета, позволяющие учитывать структурную неоднородность таких материалов и в тоже время не требующих решения краевых задач для областей большой связности. Одной из появившихся на этих путях расчетных моделей является модель регулярно армированного композиционного материала, геометрия и напряженное состояние которого полностью определяются микроструктурой фундаментальной ячейки (трансляционного элемента).

В качестве модели волокнистого композиционного материала (ВКМ) примем некоторую 3-мерную изотропную кусочно-однородную среду (решетку), упругие и геометрические свойства которой неизменны в направлении Охз . Распределение упругих и геометрических свойств в плоскости XIОхг предполагаем двоякопериодическим (рис.1).

Рис.1 Модель волокнистого композиционного материала.

При построении уравнений, описывающих упругое поведение такой структуры, важное значение имеет двоякопериодическое решение, при котором компонента деформации езз не зависит от всех координат, а остальные

компоненты деформации - от координаты хз.

Такое напряженное состояние распадается на два линейно независимых [63]:

плоскую деформацию

ири/хьх2), е,к=е]к(хьх2), &jk=<Зг]к(хьх2); ),к=1,2

езз=соп8^ е13=е2з=сг 13=^" 23= 0 (1.1)

<т33 = 2//(1 + у)е33 + г(сгп + сг22) и продольный сдвиг

из=из(хьх2), е)з=е]з(хьх2), <7/3 = (хьх2); },к=1,2 еи=е12=е22=езз= 0 (1.2)

ап = сг12 = сг22 = сг33 = 0.

Е

Здесь 2(1 +V)

Таким образом, задача о теоретическом описании поведения композиционного материала сводится к двумерным задачам теории упругости. Соответственно этому будем рассматривать плоскую среду х3=сош1:, усиленную двоякопериодической системой инородных включений.

Пусть <59, и со2 (1т сох =0,1т(со2/сох) > 0) - основные периоды структуры. Обозначим контур включения в пределах основной фундаментальной ячейки

По через Цю — (3=1,2,..., к). Все остальные включения в среде

Ь]тп(т^п — ±1,±2,...)получаются из сдвигом на величину периода Р=П1^1 +п со2.

Обозначим область, занятую средой, через Б, а конечные односвязные области, ограниченные контурами ^ через Ц (рис.2); упругие постоянные среды в областях Dj (волокна) и О (матрица) - через /л,, у} и ¡л,у соответственно. Будем полагать, что ^ - простой замкнутый контур с непрерывной по

Гель деру кривизной. Начало системы координат х]0хг поместим в области Бь Будем предполагать, что волокна посажены в матрицу с некоторым известным натягом Ь) в плоскости х]0х2 (общий вид которого будет выяснен ниже) и упругое взаимодействие матрицы и волокон идеально. Последнее означает непрерывность векторов напряжений и перемещений (с учетом натяга) при переходе через Кроме того, будем полагать, что в пределах параллелограмма периодов действуют средние напряжения 81,82,812, Ть Т2.

Рис. 2 Фундаментальная ячейка

Если области Б справедлив закон Гука, то

1

1

^11=77(^11-^22), е22 = — (а22 - уап) 7

1

е12 =-сг,

Ек~11 ' Е ^ ~ " ' - ¡л

Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид:

дхх ах2

даХ1 да.

+ ■

22

дхх Зс2

0

Уравнения совместности деформаций:

Л

11

дх.

+

22

12

дх\

дххдх2

12. (1.3)

(1.4)

(1.5)

Угол поворота £ и величины компонент деформаций е^ выражаются че-

рез компоненты вектора упругого смещения и; по формулам

д

еи = дхии е21 = 3 = -¿—(г - 1,2), = дхи2 - д2их ? 2е12 = + д2их.

Если ввести в рассмотрение функцию напряжений (функцию Эри) по формулам:

дги дги дги

^11 ~ п..2 '^22 п. 2 >СГ12

дх\ ' 22 дх\ ' 12 ^^ '

то соотношения (1.3) и (1.5) приводят к бигармоническому уравнению относительно функции Эри:

У2У217(х]?х2) = 0, (1.6)

при этом уравнения равновесия удовлетворяются автоматически. Таким образом функция Эри является бигармонической.

Если ввести в рассмотрение комплексную переменную г=х!+1х2, то любую бигармоническую функцию можно выразить через две произвольные аналитические в Б функции по формуле Гурса [63]. Тогда напряжения и перемещения, действующие в среде, запишутся в виде: о-п+о-22 = 4ЯеФ(г),

сг22 - <7И + 2гах2 = 2[ТФ'(г) + ¥(*)], О-7) сг33 = 2/^(1 + у)е33 + 4уЯеФ(2),

2/л{щ + ш2) = К(р{г) - zФ(z) - у/{г)5 где =

к - (3 - у) / (1 + у) - для плоского напряженного состояния, к = 3 — 4 v - для плоской деформации. Черта над функцией означает комплексно сопряженную функцию.

Напряжения и смещения, соответствующие состоянию продольного сдвига (1.2), выразим через одну регулярную функцию ^т)

^13-^23 =2яГ0Х

«, = /(г) + 7(4 (1,8)

Будем рассматривать поля напряжений, обладающие той же группой симметрии, что и область О. В этом случае напряжения в Б должны иметь двоякопериодическую структуру. Из условия периодичности суммы напряжений в (1.7) получим

Ф(2 + сох) = Ф(г),Ф(г + со2) = Ф(г). (1.9)

Периодичность второй комбинации напряжений в (1.7) с учетом (1.9)

дает

х¥{г + в>1) = ^ОО-^ФЧ*), (1.10)

4>(г + со2) = - а2Ф'(г).

Таким образом, при соблюдении условий (1.9),(1.10) поля напряжений в В будут иметь двоякопериодическую структуру. Проинтегрировав соотношения (1.9), получим

(р{2 + сох) - (р{г) = г/ь <р(г + а>2) - (р(г) = с12. (1.11) То есть функция <р{я) является квазипериодической с циклическими весами 6.1,

Интегрируя (1.9) с учетом (1.8) имеем

+ сох) = у/(г) - юхФ(г) + ех, (1.12)

у/{г + а2) = у/{г) - й>2Ф(Л) + ,

Таким образом, из условия периодичности напряжений, следует квазипериодичность смещений в области Б. В самом деле, составляя приращение смещения (1.7) между двумя конгруэнтными точками г и г + 2 + со{ с

учетом (1.11) и (1.12), получим

2/л(щ +т2)гг+&х = кйх -ех - ах, (1.13)

1}л{их + шг)22+с°2 - Ы2 - ё2 = а2.

Как показано в работе [88], главный вектор усилий, действующих вдоль произвольной кривой АВ в области D, определяется величиной:

X + iY= \{Xn+iYn)ds = -ig{z)A\ (1.14)

АВ

где g{z) = Ф) + гФ(г) + (К4

Тогда статические условия, обеспечивающие существование одинаковых для каждого параллелограмма периодов средних напряжений, можно представить в виде

g(z + Ú){)~ g(z) = -i(Sn + S2eia)co!,

g(z + ú)2)~ g(z) = i(S{ + Sneia)\cd2(1.15) a = arg¿y2.

Для функции %(z) = 2//Im/(z) имеем X(Z + <ÜX)- Z(Z) = \Ú)X\T2, z(z + á?2)-z(z) = \o)2\tx.

Средние напряжения S[,S2 и S12 связаны со средними напряжениями {cfu),{g22),{<J\2) на площадках, перпендикулярных координатным осям, формулами

(сгп)sin« = 5, + 2S12 cos« + S2 cos2 a <cr12 > = S 12

cos«, ^ щ

(<j22 ) = S2 sin a.

Задание средних напряжений Sy эквивалентно равномерному растяжению и сдвигу решетки на бесконечности.

Из (1.7),(1.8),(1.15) и периодичности тензора напряжения, следует квазипериодичность функций (p{z),f(z), смещений и 1,112,113 и комбинации

z<D(z)

+ y/{z). Последнее обстоятельство будет иметь важное значение при построении макромодели регулярной структуры.

Исходя из вышесказанного, постановку основной задачи по расчету композиционного материала можно сформулировать следующим образом: определить функции (p(z\y/{z\f(z) и (pj(z),y/j(z),fj{z)^ регулярные соответственно в областях D, Dj (j=l,2,...,k) и удовлетворяющие на границе L=ULj условиям сопряжения матрицы и волокон:

Ф) + *фМ + y/(t) = <Pj(t) + ¿фДг) + vM), (i.i7)

- [кф) - - ¡j?(t)] = — [кj <р. {t) - to J (t) - xpj (*)] + 2hj (t) + + 2(v- Vj)e33t,

Re[/+(0-r(0] = o, lm[Mjf+(t)-juf-(t)] = (l (118)

здесь

t - точки контуров Lj, (j=l,2,...,k), E Et

"=2(177) •

При этом, естественно, подразумевается, что все условия периодичности выполнены автоматически за счет специального вида представлений искомых регулярных функций.

1.3 Плоская деформация ВКМ

Если аналитические функции и У(2) , описывающие напряжения и смещения в решетке, удовлетворяют условиям инвариантности (1.10) и (1.11), то как выяснено в параграфе 1.2, краевые условия основной задачи имеют вид (1.17).

Таким образом, по краевым условиям (1.17) нужно определить аналитические в области Б функции (потенциалы) и (/К2), удовлетворяющие

условиям инвариантности (1.10), (1.11) и условиям существования заданных средних напряжений (1.14).

Как показано в работе [88], при построении искомых функций можно исходить из представлений Шермана [96] для конечной многосвязной области, которые можно обобщить на случай неограниченной бесконечно-связной области введением интегралов с квазипериодическими ядрами. Смысл этих представлений заключается в том, что искомые функции выражаются через две неизвестные комплексные функции (плотности) р(1;) и q(t), причем таким образом, что для определения р(1) и q(t) получается эквивалентная исходной краевой задаче система интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Запишем выражения для комплексных потенциалов с использованием интегралов типа Коши в виде 1

<р{г) = Р(1)Ф ~ + ге/)

И» = —: I НО/КО + К'ЖО - - 2)ск +

1 г (1.19)

1 сЧАЧ

1 г «да+^до-^

^- м --л+Вг

а

3 у*

]

Здесь р(1;)={р/1;), X £ Ь]} и Я^)={су(0, X £ Ь,} - функции, подлежащие определению, ¿Г (1) - дзета-функция Вейерштрасса [59], (Р^Х) - специальная ме-

роморфная функция [66]. Постоянные А, В, ос] и Д (]'=1,2,...,к) и кусочно-

постоянные пока произвольны. Интег-

рирование в соотношениях (1.19) производится против часовой стрелки.

Представления (1.19) обеспечивают двоякую периодичность напряжений и квазипериодичность смещений в D. Это непосредственно следует из квазипериодичности дзета-функции Вейерштрасса и соотношений:

Pi О + ®v) - О) = âvP(z) + Ту

ïv = 2{px

Kl

V 2 J

/

<*>v&

со.

V 2

v=U

(1.20)

где - эллиптическая функция Вейерштрасса.

Определим фигурирующие в (1.19) постоянные А и В таким образом, чтобы выполнялись статические условия (1.14). Подставляя (1.19) в (1.14) и учитывая (1.20) приходим к системе двух уравнений относительно А и В

(А + А)сох + Всох + 8ХЪ + ухЪ - 6ха = -1сох(£12 + $2еш)

(А + А)со2 + Всо2 + Ô2b + уф - S2a = i\co2 (Sx + Sneia)

\[e(f)p(t) + r(t)q(t)]dt + \p{t)di

1

a =

2m

2m

L

(1.21)

\2 J

V2

Решение этой системы имеет вид

b 2п

Щ Г

(

л q

\F щ)

Rеа+---+i(aX2) (1 _22)

d л 71 ъ и Re<M) . 71 D . <огп) + <о"22>

Re A = —Reb--+ —— Rea +---

F

со

2 F

где

= ох \тсо2 - площадь фундаментальной ячейки структуры. Для совместности системы (1.21) должно выполняться условие

Яе(/я) = О

(1.23)

которое равносильно равенству нулю главного момента сил, действующих со стороны области В на границе Ь.

Постоянную 1тА зафиксируем так, чтобы среднее вращение фундаментальной ячейки равнялось нулю:

1т А = 1т

п 8Х

\

со

Ъ

(1.24)

Таким образом, представления (1.19) в совокупности с формулами (1.22) и дополнительным условием (1.23), обеспечивают двоякопериодическое распределение напряжений и существование средних напряжений в структуре.

Для сведения краевой задачи (1.17) к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода по формулам Сохоцкого-Племеля перейдем в представлениях (1.19) к соответствующим предельным значениям 1 1

<р(*о) = Р(*о) + — IР(ОФ - + Л/0, 1{) Е Ь

ь

1

= [^оМ*о) + Ф0)д(*0) - 10р'(10)] +

+

+ К *Ж0 - - /0)Л

+

(1.25)

1 1 сУ (О

(р} (к) = - Ч, (О+7— Угт^+АА >

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Косачев, Сергей Леонидович

Основные результаты и выводы

В результате выполненной работы разработаны комплексные методики расчета и оптимизации состояния гибридных волокнистых композиционных материалов и тонкостенных конструкций из них на основе анализа упругих взаимодействий компонентов, полей внутренних напряжений, технологических воздействий и условий внешнего нагружения. Данные методики позволяют еще на ранних стадиях проектирования элемента конструкции проводить его структурную и технологическую оптимизацию путем варьирования и рационального выбора компонент, внутренней структуры материала, параметров технологического процесса его производства для достижения требуемых свойств.

На основе предложенной методики определения напряженно-деформированного состояния ВКМ и их приведенных упругих характеристик, проведен анализ состояния различных (в том числе и гибридного) материалов в результате которого

- установлены оптимальные степени армирования композиционных материалов (v = 6065% ), при которых напряжения в структуре минимальны;

- предложены новые методы определения верхних и нижних границ приведенных упругих характеристик (в качестве которых выступают соответствующие решения для материалов с тетрагональной и гексагональной решетками), существенно уточняющие существующие оценки;

- показано влияние степени армирования и температуры отверждения матрицы при изготовлении материала на уровень остаточных напряжений в структуре композита;

- построены зависимости приведенных упругих характеристик ВКМ от степени армирования и определены соответствующие характеристики для гибридного материала с двумя типами волокон эллиптического поперечного сечения.

Комплексное единство алгоритмов решения задач расчета локального и глобального напряженно-деформированного состояний конструкций позволило разработать единую методику расчета тонкостенных оболочечных конструкций из гибридных композитов. В рамках этой методики предложен подход разработки на базе вариационных методов механики различных уточненных моделей деформирования анизотропных слоистых оболочек вращения, полученных намоткой из гибридных композитов.

Предложенные в работе методики реализованы в виде программных комплексов, позволяющих получать достаточно точные решения задач расчета локального напряженного состояния гибридных композитов с учетом их начального НДС; определения матриц приведенных упругих характеристик материалов; исследования тонкостенных конструкций как неразветвленной, так и разветвленной структур по четырем различным моделям деформирования. Использовавшийся при разработке программных комплексов структурный подход позволяет использование при расчетах как разработанного программного обеспечения, так и различных конечно-элементных комплексов, что позволяет использовать результаты данной работы другими исследователями при выполнении комплексных задач проектирования с учетом особенностей структуры композиционного материала.

135

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косачев, Сергей Леонидович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА.

1. Адаме Д.Ф. Упругопластическое поведение композитов. Композиционные материалы/ Под ред. Л.Браутмана, Р.Крока; Пер. с англ. Механика композиционных материалов/ Под ред. Сендецки Дж. Т. 2. М.: Мир, 1978, с.196-241.

2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. 263с.

3. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Таирова Л.П. Идентификация упругих характеристик однонаправленных материалов по результатам испытаний. Расчеты на прочность. 1989, вып. 30, с. 16-31.

4. Альберт Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложение. -М.: Мир, 1973. 316с.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448с.

6. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, Ленингр. Отд-ие, 1972, 216 с.

7. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. ДАН СССР, 1974, 218, № 5, с.1046-1048.

8. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. /Под ред. А.Н. Тихонова М.: Наука, 1982, с. 38-47.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984, 352 с.

10. Бердичевский В.Л. Вариационные методы построения теории оболочек. ПММ, 1972, 36, №5, с.788-804.

11. Бердичевский В,Л. Пространственное осреднение периодических структур. ДАН СССР, 1975, 222, № 3,с. 565-567.

12. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488с.

13. Бидерман В.Л. Пластинки и оболочки из ориентированных стеклопластиков. - В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968, Т2. с. 211-242

14. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред. - Механика полимеров, 1965, №2, с.27-37.

15. Болотин В.В. Теория стохастически армированных материалов. Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971, с.261-266.

16. Болотин В.В. Влияние технологических факторов на механическую надежность конструкций из композитов. Механика полимеров, 1972, №3, с. 529-540.

17. Болотин В.В., Воронцов А.Н. Образование остаточных напряжений в изделиях из слоистых и волокнистых композитов в процессе отверждения. Механика полимеров, 1976, № 5, с. 790-795.

18. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 376с.

19. Борзова Т.В. Об одном методе определения напряженно-деформированного состояния и приведенных упругих характеристик для двоякопериодических решеток с упругими включениями. // Деформирование и разрушение твердых тел. М.: МГУ, 1977, с. 101-104.

20. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976, 278 с.

21. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов. Киев: Наукова думка, 1971. 232с.

22. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев: Техника, 1971,220 с.

23. Ван Фо Фы Г.А., Клявнн В.В. Исследование зависимости механических свойств и внутреннего поля напряжений при сдвиге от вида микроструктуры армированных сред. Механика полимеров, 1967, № 4, с.667-670.

24. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, 1985.

25. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных пластиков. Киев: Наукова думка, 1978, 212с.

26. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.

27. Васильев В.В. и др. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов. М.: Изд-е МАИ, 1985.218с.

28. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982.

29. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975.

30. Ву Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. Композиционные материалы/ Под ред. Л.Браутмана, Р.Крока; Пер. с англ. Механика композиционных материалов/ Под ред. Сендецки Дж. Т. 2. М.: Мир, 1978, с.401-491.

31. Гаврюшин С.С, Коровайцев A.B. Методы расчета конструкций на ЭВМ. М.: Изд. ВЗПИ, 1991.

32. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд. Казан, унта, 1978, с.31-41.

33. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192с.

34. Гольденвейзер A.JT. Построение приближенной теории оболочек при помощи метода асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. ПММ 1963, 27, №4, с.593-608.

35. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556с.

36. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Регулярные структуры с дефектами. 1994. 253с.

37. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М. Машиностроение, 1973, 170 с.

38. Грингауз М.Г., Фильштинский Л.А. Теория упругого линейно-армированного композиционного материала. ПММ, 1975, Т.39, вып.З, с.537-546.

39. Дэниел И.М. Фотоупругое исследование композитов. Композиционные материалы/ Под ред. Л.Браутмана, Р.Крока; Пер. с англ. Механика композиционных материалов/ Под ред. Сендецки Дж. Т. 2. М.: Мир, 1978, с.492-552.

40. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение 1972.

41. Жислина Л.С. Расчет на прочность перфорированных пластин, растягиваемых в своей плоскости. Научные труды МТИЛП. 1962, № 23 с. 248-268.

42. Заппаров К.И., Перлин П.П. Численное решение плоских задач теории упругости для областей сложной конфигурации. Прикладная механика. 1976, Т12,№5, с.103-108.

43. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541с.

44. Зиновьев П.А., Смердов A.A. Предельные возможности многослойных композитов.//Механика твердого тела. 1994, № 1, с. 7-17.

45. Зиновьев П.А., Тараканов А.И. о нелинейном деформировании слоистых композиционных материалов. - В кн.: Применение пластмасс в машиностроении. М.: МВТУ, 1978, № 16, с. 72-80.

46. Зиновьев П.А., Тараканов А.И., Фомин Б.Я. Деформирование и разрушение композиционных материалов при двухосном растяжении. - В кн. : Применение пластмасс в машиностроении. М.: МВТУ, 1982, вып. 19, с. 33-58.

47. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 288 с.

48. Исследование несущей способности слоистых цилиндрических оболочек при помощи моделирования процесса разрушения на ЭВМ /В.Д. Протасов, А.Ф. Ермоленко, A.A. Филипенко, И.П. Дмитриенко. - Механика композитных материалов, 1980, № 2, с. 254-261.

49. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973 304 с.

50. Кац В.Е., Филыптинский Л.А. Об одном методе построения двоякоперио-дических полигармонических функций. Прикладная механика. 1971 Т.7 №8, с.83-88.

51. Келли А. Высокопрочные материалы /Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 262 с.

52. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963.

53. Кильчинский A.A. Прикладная механика. 1965,Т.1, №12

54. Композиционные материалы: Справочник /Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. -М.: Машиностроение, 1990.

55. Коровайцев A.B., Косачев С.Л., Молодцов Г.А. Исследование остаточных напряжений в волокнистых композитных материалах. Материалы IV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: Изд-во "ГРАФРОС", 1998, с. 112-117.

56. Космодамианский A.C. Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах. Донецк: Вища школа, 1972, 266 с.

57. Космодамианский А.С., Шалдырин В.А Толстые многосвязные пластины. Киев: Наукова думка, 1978.

58. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975, 416 с.

59. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716с.

60. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415с.

61. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572с.

62. Молодцов Г.А. Напряженные элементы конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1993. 224с.

63. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М: Физматгиз. 1966. 647с.

64. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Физматгиз. 1962. 599с.

65. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981, 212с.

66. Натанзон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинаковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке. Математический сборник. 1935, Т.42, №5, с.616-636.

67. Новожилов В.В. Линейная теория оболочек. Л.: Судпромгиз, 1994. 431с.

68. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. 143с.

69. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения основных пространственных и плоских задач упругого равновесия. Механика твердых деформируемых тел. -М.: 1975, с.5-84. (итоги науки и техники/ВИНИТИ: т.8)

70. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977, 313 с.

71. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1981.

72. Победря Б.Е. Об упругих композитах. - Механика композиционных материалов. 1983, № 1, с. 133-139.

73. Победря Б.Е., Горбачев В.Н. О статических задачах упругих композитов. Вестник МГУ. Сер. матем., механ., 1977 № 5, с. 101-110

74. Понятовский В.В. Уточненная теория трансверсально изотропных пластин. Исслед. по упругости и пластичности, 1967,№6, с.72-92.

75. Попов Б.Г. Получение канонических уравнений для многослойных оболочек вращения из нелинейно упругих материалов. Изв. вузов. Машиностроение, 1979, № 9, с. 9-13.

76. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993.

77. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Д.: Судостроение, 1977, 280с.

78. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. JI.: ЛГУ, 1978, 223 с.

79. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами Киев: Наукова думка, 1981. 324с.

80. Седов Л.И. Механика сплошной среды. ТТ.1,11. М.: Наука. 1983; 1984, 528 е.; 560 с.

81. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. Композиционные материалы/ Под ред. Л.Браутмана, Р.Крока; Пер. с англ. Механика композиционных материалов/ Под ред. Сендецки Дж. Т. 2. М.: Мир, 1978, с. 61-101.

82. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982, 214 с.

83. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978, 192 с.

84. Современные композиционные материалы./Под ред. Л. Браутмана, Р. Крока. -М.: Мир, 1970, 692 с.

85. Тарнопольекий Ю.М., Кинцис Т.Я. Методы статических испытаний армированных пластиков. М.: Химия, 1981, 272 с.

86. Тарнопольекий Ю.М., Розе A.B., Поляков В.А. Приложение теории многослойных сред к изучению ориентированных стеклопластиков. Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 2, с.131-134.

87. Тетере Г.А.. Рикардс Р.Б., Нарусберг В.Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига: Зинатне, 1978, 238 с.

88. Фильштинский Л.А. К теории упругих неоднородных сред с регулярной структурой. ПММ, 1973, Т.37, №2 с. 262-273.

89. Фильштинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий. ПММ, 1972, Т.36, №4. С,682-690.

90. Фильштинский Л.А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде. Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1976, №5, с. 91-97.

91. Фильштинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для анизотропной среды с криволинейными разрезами. Изв. АН СССР. Механика тверд. тела. 1977, №6, с. 116-124.

92. Фокин А.Г., Шермерго Т.Д. Эффективные модули упругости композита, составленного из анизотропных слоев. Механика полимеров, 1975, № 3, с. 408-413.

93. Хома И.Ю. Обобщенная теория анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1986. 193с.

94. Цай С., Хан X. Анализ разрушения композитов. В кн.: Неупругие свойства композиционных материалов/Под ред. К. Гераковича ; Пер. с англ. Механика. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978, кн. 16, с. 104-139.

95. Чамис К. Микромеханические теории прочности. Композиционные материалы/Под ред. JI. Браутмана, Р. Крока; Пер. с англ. Разрушение и усталость/ Под ред. JI. Браутмана. Т.5. М.: Мир, 1978, с. 106-165.

96. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные задачи статической теории упругости. М.: Гостехиздат. 1950. с. 192-225.

97. Шленев М.А. Асимптотический метод решения задачи об изгибе толстой трансверсально-изотропной плиты. В кн.: Толстые плиты и оболочки. Ростов н/Д, 1974, с. 119-138.

98. Экспериментальное исследование некоторых особенностей деформирования и разрушения слоистого углепластика. - Механика композитных материалов/ П.А. Зиновьев, Е.М. Песошников, Б.Г. Попов, Л.П. Таирова, 1980, №2, с. 241-245.

99. Юременко В.П. Плоская деформация композита с продольными трещинами. Механика полимеров, 1977, № 8, с. 538-540.

100. Bath K.J. The finite element procedures in engineering analysis/ Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1982, 615 p.

101. Chen C.H. Fiber-reinforced composites under longitudinal shear loading. Trans. ASME, Ser. E. 1970, №1, p.198-201.

102. Greszchuk L. B. Elastic constants and analysis methods for filament wound shell structures. Missile and Space Syst. Div., Douglas Aircraft Co., Douglas Rep. SM-45849, 1974.

103.Hahn H.T., Pagano N. J. Curing stress in composite laminates. J. Compos. Materials. 1975, № 9, p. 91-106.

104. Hashin Z. Theory of fiber-reinforced materials. NACA CR-1974, 1972.

105. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic module of fiber reinforced composite materials. русский перевод: Прикладная механика, "Мир" №2, 71.

106. Hill R. Nonlinear behavior of laminated composites. J. Compos. Materials. 1973, №7, p.257-271.

107. Hulbert L.E., Rybicki E.F. Boundary point least squares analysis of the free edge effects in some unidirectional fiber composites . J. Compos. Mater. 1971, v.5, № 4, p. 164-175.

108. Koiter W.T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a doubly-periodic see of equal holes. Boundary Problems Different. Equat. Medison. -Univ. Wisconsin Press. 1960, p.191-213.

109. Sendeckyi G.P. Longitudinal shear deformation of composites. II Stress Distribution. J. Compos. Mather. 1971, V.5, № 1, p.973-991.

110. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. The inclusion problem in plane elasticity. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977, V. 30, № 4, p. 437-448.

111. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. A curvilinear crack along the interface of two plane isotropic elastic media. Rev. roum. sci. Techn. Ser. Mec. Appl. - 1978, T.23, №4, p.563-575.