Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кашкаров, Александр Игоревич

• Кашкаров, Александр Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кашкаров, Александр Игоревич

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ.

1.1. Основы метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри.

1.1.1. Система уравнений линейной теории упругости для периодических структур.

1.1.2. Асимптотическое разложение системы уравнений линейной теории упругости.

1.1.3. Осреднение по ячейке периодичности.

1.1.4. Задача на ячейке периодичности.

1.1.5. Осредненные уравнения теории упругости.

1.1.6. Линейные эффективные определяющие соотношения композита.

1.2. Разработка метода решения локальных задач на ячейке периодичности.

1.2.1. Преобразование задачи на ячейке периодичности к задачам для псевдоперемещений.

1.2.2. Формулировка задач на 1/8 ячейки периодичности.

1.2.3. Явный вид граничных условий для задач Жрч.

1.2.4. Теорема о продолжении решения задачи )Kpq во всю ячейку периодичности.

1.3. Расчет эффективных характеристик композиционного материала

1.3.1. Расчетные соотношения для эффективных упругих модулей и технических констант.

1.3.2. Расчет тензоров концентрации напряжений. в волокнах и матрице.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ.

2.1. Метод асимптотического осреднения для расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

2.2. Формулировка задач Жрч на ячейке периодичности для упруго-пластических композитов.

2.3. Расчет эффективных упруго-пластических характеристик композиционного материала.

2.4. Случай малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина

2.5. Случаи одноосного растяжения и сдвига.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

3.1. Вариационная формулировка локальной задачи Жрч.

3.2. Метод конечного элемента для задач Жрч.

3.3. Методы решения СЛАУ.

3.4. Разработка программного комплекса.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ И ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ.

4.1. Проведение тестовых расчетов для линейно-упругого 1-D композита.

Задача ЖЗЗ:.

Задача Ж13+Ж31.

Задача Ж11.

Задача Ж12+Ж21.

4.2. Расчет для 3-D линейно-упругого ортогонально-армированного КМ.

Задача ЖЗЗ.

Задача Ж13+Ж31.

4.3. Результаты численного моделирования упруго-пластического деформирования 3-D композита.

ГЛАВА 5. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения»

Диссертация посвящена численному моделированию эффективных упруго-пластических характеристик пространственно - армированных композитов методом асимптотического осреднения Бахвалова-Победри в сочетании с методом конечного элемента.

Актуальность темы. Применение пространственно - армированных композиционных материалов в ракетно-космической авиационной технике позволяет создавать элементы конструкций, такие как наконечники головных частей ракет, критические сечения сопловых блоков РДТТ, элементы тормозных дисков сверхзвуковых самолетов и др., с характеристиками, существенно превышающими аналогичные показатели для конструкций из традиционных материалов. Кроме того, у пространственно - армированных композитов имеется возможность варьировать в достаточно широком диапазоне их характеристики за счет подбора внутренней структуры, исходя из конкретных требований применения материала в конструкции.

Проблеме расчета эффективных характеристик композитов посвящено значительно число работ, в том числе исследования Болотина В.В. [5], Бахвалова Н.С. [5,6], Ванина Г.А. [10,11], Васильева В.В. [12], Димитриенко Ю.И. [23], Ермоленко А.Ф. [33], Кристенсена Р. [50], Малмейстера А.К., Тамужа В.П., Тетерса Г.А. [54], Победри Б.Е. [66-73], Санчес-Паленсии Э. [80], Соколкина Ю.В., [87,88], Тарнопольского Ю.М., Жигуна И.Г., Полякова В.А. [91], Алфутова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г.[2], Сарбаева Б.С [84], Сараева JI.A., Шермергора Т.Д [81-83] и многих других. Следует отметить, что существующие методы расчета таких эффективных характеристик (см., например [15-18,57, 59, 83, 88]), как правило, основаны на существенных предположениях о характере распределения микронапряжений в матрице и волокнах, простейшими такими моделями являются одномерные модели на основе соотношений Фойгта-Рейсса [46], более сложными - методы, основанные на принципе сложения слоев [91]. Эти методы удобны тем, что позволяют получить относительно простые аналитические соотношения для упругих эффективных характеристик, например, согласно простейшему варианту метода сечений, в котором не учитываются напряжения, ортогональные к плоскости каждого введенного сечения [47,91], получают следующие зависимости для эффективных модулей упругости и модулей сдвига композита, армированного системой 3-х ортогональных волокон (3-D ортогнального композита):

Еа =(paEf+{\ + (рр )Ет ((1 -(ра-(рг?(ра+ (ра0<р0 !(<Ра + <Р0 ))

1 + (ра + (Рр

Gap = Vafim > <Pa0 = Т.-77.-Г здесь Ef,Em,Gm - характеристики волокна и матрицы, сра- объемная доля волокон, ориентированных по а -ому направлению). Однако вследствие указанных существенных математических допущений эти методы являются достаточно приближенными и часто не обеспечивают необходимой точности расчетов. Использование вариационных принципов [46,50,68] приводит к так называемым вилкам Фойгта-Рейсса и Хашина-Штрикмана, однако для большинства реальных композиционных материалов эти вилки оказываются достаточно широкими и использование их в качестве расчетных выражений для эффективных упругих характеристик композитов приводит к весьма существенным погрешностям.

Более точными являются полуаналитические методы, предложенные Г.А.Ваниным [10,11], тем не менее, и они содержат значительные математические допущения и не позволяют получать «математически точных» эффективных характеристик. Для эффективных упругопластических характеристик простых аналитических соотношений не удается получить даже этими приближенными методами.

В этой связи весьма перспективным является метод асимптотического осреднения, предложенный Н.С.Бахваловым и Б.Е.Победрей [5,68] для вычисления эффективных характеристик периодических структур. Этот метод позволяет найти точные (в математическом смысле) эффективные характеристики с помощью решения так называемой «задачи на ячейке периодичности». Однако эта задача является достаточно сложной даже для численных методов, так как имеет смешанный интегро-дифференциальный тип и неклассические граничные условия периодического типа. Именно поэтому в настоящее время имеется лишь несколько примеров решения этой задачи для сравнительно простых структур: слоистых [42,43,68], однонаправленных (1-D) [56,68] и ортогональных (2-D) композитов [68].

В настоящей работе рассматривалась проблема формулировки математической задачи для расчета комплекса упруго-прочностных характеристик пространственно - армированных композитов в точной трехмерной постановке, а также разработки эффективного метода расчета макросвойств композита, исходя из свойств волокон, матрицы и параметров внутренней структуры.

Основной целью настоящей работы является разработка: - математической модели пространственно-армированных упруго-пластических композитов с периодической структурой на основе метода Бахвалова-Победри; конечно-элементного метода расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов на основе соответствующих характеристик матрицы и волокон; программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

Научная новизна работы заключается: в адаптации метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри для конечно-элементного расчета упруго-пластических характеристик пространственно-армированных композитов, для этого предложено преобразование, позволяющее сводить интегро-дифференциальные задачи на ячейке периодичности к более простым задачам на 1/8 ячейки, имеющие дифференциальный тип, а также применен метод упругих решений А.А.Ильюшина для решения задач на 1/8 ячейки периодичности (ЯП);

- в разработке конечно-элементного метода решения задач на 1/8 ЯП для линейно-упругих и упруго-пластических (в рамках теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина) компонентов композита;

- в разработке программного комплекса для вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов.

На защиту выносятся следующие положения:

- метод расчета эффективных упруго-пластических характеристик композитов с пространственной структурой, а также микронапряжений в компонентах композита, которые могут быть установлены математически точно в рамках метода асимптотического осреднения Бахвалова-Победри численным конечно-элементных способом;

- разработанный программный комплекс, который позволяет проводить вычисления эффективных упруго-пластических характеристик композитов с различными параметрами волокон, матрицы и содержанием волокон в композите.

Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, а также сравнением с экспериментальными данными.

Аппробация работы: основные результаты докладывались на:

- Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 100-летию Хинчина, Калуга, 2004;

Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2002;

- Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», Реутов, май, 2004;

- Научно-технической конференции, посвященной 40-летию факультета ФН МГТУ им.Н.Э.Баумана, октябрь, 2004 г.;

Студенческой научно-технической конференции Аэрокосмического факультета МГТУ им.Н.Э.Баумана, Реутов, 2000,2001;

- Семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики и механики» под руководством проф.Ю.И.Димитриенко, 2003,2004 гг.;

- Международной коференции, посвященной 90-летию В.И.Феодосьева, май 2006г.

- и отражены в 8 работах [24-29, 44].

Структура и объем работы: диссертация состоит из 5 глав, введения, выводов и списка использованной литературы. Объем диссертации 97 стр.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кашкаров, Александр Игоревич

Выводы

В диссертации получены следующие основные результаты:

В работе разработан метод решения локальных задач «на ячейке периодичности» для композитов со сложными пространственными структурами армирования, основанный на переходе от задачи для полной ЯП к существенно более простой задаче на 1/8 ЯП.

Разработан конечно-элементный метод и программный комплекс для расчета задач об определении напряжений в ЯП и расчета эффективных упруго-пластических характеристик композиционных материалов.

Для 1-D композита проведено сравнение результатов расчетов, полученных различными методами, показавшее высокую точность разработанного метода и программного комплекса.

Проведен расчет напряжений в ЯП, эффективных модулей упругости и эффективных упруго-пластических характеристик 3-D ортогонально-армированного КМ, а также осуществлено сравнение полученного численного решения с методом сечений, показавшее хорошее согласование результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кашкаров, Александр Игоревич, 2006 год

1. Адаме Д.Ф. Упругопластическое поведение композитов //Композиционные материалы. Механика композиционных материалов М.: Мир, 1978.-Т.2.-С. 196-241.

2. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.-М.:Машиностроение, 1984.-264 с.

3. Аношкин А.Н., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Неупругое деформирование и разрушение разупорядоченных волокнистых композитов //Механика композиционных материалов.- 1993.-Т. 29, №5.-С. 621-628.

4. Волокнистые композиционные материалы на основе титана / В.Н. Анциферов, Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов и др. -М.: Наука, 1990.-136 с.

5. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -М.: Наука, 1984,- 352 с.

6. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // ДАН СССР.- 1974.- № 5.- С. 1046-1048.

7. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.- 446 с.

8. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести // Успехи механики деформируемых сред.-М.:Наука, 1976.-С. 51-73.

9. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980.- 376 с.

10. Ван Фо Фы. Конструкции из армированных пластмасс.-Киев: Техника, 1971.- 220 с.

11. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов.-Киев: Наукова думка, 1985.- 300 с.

12. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1988.- 272 с.

13. Васин Р.А., Аникеев Ф.У., Мазурский М.И. О материалах с падающей диаграммой //Изв. РАН: МТТ.-1995.- №2.-С. 181-182.

14. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевые задачи континуальной механики разрушения: Препринт/УрОРАН .-Пермь, 1992.-78с.

15. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов.-М.:Физматлит, 1997.-288 с.

16. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения // ПМТФ.-1995.- №6.- С. 122-132.

17. Вильдеман В.Э., Ташкинов А.А. О некоторых методах прогнозирования поведения многослойных тел при упругопластическом деформировании // Деформирование и разрушение конструкций из композиционных материалов.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987.- С. 1720.

18. Геогджаев В.О. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов // Исследования по механике и прикладной математике: Тр. Моск. физ.-тех. ин-та.- 1958.- Вып. 1.-С. 69 -96.

19. Гольденблат И.И. К теории малых упругопластических деформаций анизотропных сред//Докл. АН СССР.-1955.-Т. 101, №4.- С. 619 622.

20. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов.-М.: Машиностроение, 1968.-192 с.

21. Горбачев В.И. Эффективные механические характеристики микронеоднородных тел с периодической структурой //Упругость и неупругость. 1978.-Вып. 5.- С. 7-12.

22. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. -М.:Высшая школа, 2001.-575 с.

23. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах.-М.Машиностроение, 1997.-375 с.

24. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Конечно-элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов// Вестник МГТУ. Естественные науки.- 2002.- №2.- С. 95-108.

25. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко А.В. Эффективные методы расчета характеристик пространственно армированных композитов// Вопросы оборонной техники.- 2002.-№1.-С.41-47.

26. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Харченко А.В. Численные методы расчета упругих характеристик композиционных материалов со сложными структурами армирования// Аэрокосмические технологии: Тез. докл. студ. науч.-техн. конф.-М.,2002.- С. 90-97.

27. Друккер Д. Вариационные принципы в математической теории пластичности //Механика (сб. переводов).-1959.- №6 (58).- С. 63-79.

28. Друккер Д. Пластичность, течение и разрушение //Неупругие свойства композиционных материалов.-М., 1979.-С. 9-32.

29. Дудукаленко В.В., Мешков С.И., Сараев JI.A. К расчету эффективных характеристик пластичности неоднородных сред // Журнал прикл. мех. и техн. физики.-1979.- №5.-С. 150-154.

30. Ермоленко А.Ф. Модель разрушения однонаправленного волокнита с хрупкой матрицей //Механика композиционных материалов.-1985.-№2.-С. 247-256.

31. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций.-М.: Машиностроение, 1985.- 294 с.

32. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.544 с.

33. Зиновьев П.А., Сарбаев Б.С. • Эндохронная теория нелинейного деформирования слоистых композитных материалов //Механика композиционных материалов.-1985.- №3.-С. 423-430.

34. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды.М.:Изд-во МГУ, 1978.278 с.

35. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 271 с.

36. Ильюшин А.А. Пластичность.-М.:ГИИТЛ.-1948.-376 с.

37. Исупов Л.П. Уравнения плоской деформации пластической трансверсально изотропной среды // Изв. РАН. МТТ.- 1995.-№5.-С. 102108.

38. Исупов Л.П., Роботнов Ю.Н. О законе пластичности для композитной среды //Изв. АН СССР. МТТ.-1985.- №1.- С. 121-127.

39. Каралюнас Р.И. К определению эффективных определяющих соотношений физически нелинейных композитов // Вестн. Моск. ун-та. Мат.мех.-1984.-№2.-С. 77-80.

40. Каралюнас Р.И. Эффективные определяющие соотношения слоистых упругопластических композитов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.-М., 1986.- 7 с.

41. Кашкаров А.И. Моделирование пространственно-армированных композиционных материалов методом конечных элементов // Труды студенческой научно-технческой конференции СНТК-2001 .-Реутов, 2001.-С. 18-20.

42. Композиционные материалы / Под ред. Л.Браутман, Р.Крок.-М.: Мир, 1978.-484 с.

43. Композиционные материалы //Механика композиционных материалов / Под ред. Дж.Сендецки.- М.: Мир, 1978.- Т.2.- 564 с.

44. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. В.Ж.Васильева, Ю.М.Тарнопольского.- М.: Машиностроение, 1989.- 510 с.

45. Кравчук А.С, Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов,- М.:Наука, 1985.- 303 с.

46. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.- М.: Мир, 1982.334 с.

47. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977.-416 с.

48. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных сред.- М.: Изд-во МГУ, 1976.-386 с.

49. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.- М.: Наука, 1980.-512 с.

50. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов.- Рига: Зинатне, 1980.- 572 с.

51. Мансуров P.M. Об упругопластическом поведении анизотропных сред//Упругость и неупругость.(М.).-1971.- Вып. 1.-С. 163-171.

52. Мольков В.А., Победря Б. Е. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой // Изв. АН СССР. Механика тверд. тела.-1985.-№2.- С. 119-130.

53. Немировский Ю.Б. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Журнал прикл. мех. и техн. физики.-1969.-№6.-С. 81-89.

54. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов.-Новосибирск: Наука, 1986.- 165 с.

55. Неупругие свойства композиционных материалов/Под ред. К.Гераковича.-М.: Мир, 1978.-295 с.

56. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред.-М.:-Наука, 1978.-336 с.

57. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. -М.: Наука, 1987.-Части I, II.-464 с, 360 с.

58. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1977.-144 с.

59. Овчинский А.С. Процессы разрушения композиционных материалов.Имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ.-М.: Наука, 1988.-277с.

60. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред.-М.: Изд-во МГУ, 1990.- 308 с.

61. Петрищев П.П. Упругопластические деформации анизотропного тела //Вестн. Моск. ун-та: Сер. физ.-мат. и естеств. наук.-1952.-№5.-С.63-72.

62. Победря Б.Е.Численные методы в теории упругости и пластичности. -М: Изд-во МГУ, 1981.- 344 с.

63. Победря Б.Е. Критерии прочности анизотропного материала// ПММ.- 1988.-№ 1.- С. 141-144.

64. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.-М.: Изд-во МГУ, 1984.- 336 с.

65. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.-М.: Изд-во МГУ, 1986.- 286 с.

66. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред //ПММ.-1984.- Т. 48, вып. 1.- С. 29 37.

67. Победря Б.Е. Теория течения анизотропной среды //Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций.-Свердловск, 1986.-С. 101-108.

68. Победря Б.Е., Димитриенко Ю.И. Связанные задачи линейной термомеханики деформируемого твердого тела // Успехи механики.-1987.-№ 2.- С.97-137.

69. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго-пластические деформации.-М.: Наука, 1986.- 230 с.

70. Попов Б.Г. Расчет конструкций вариационно-матричными методами.-М.:Изд-во МГТУ,1993.- 292 с.

71. Прикладная механика композитов: Сб. статей.-М.:Мир,1989.- 358 с.

72. Принципы создания композиционных полимерных материалов/ А.А. Берлин, С.А. Вольфсон, В.Г. Ошмян, Н.С. Ениколопов.- М.: Химия, 1990.240 с.

73. Протасов В.Д., Георгиевский В.П. Анизотропия упругих и прочностных свойств армированных пластиков // Механика полимеров.-1967.- № 3.- С.461-467.

74. Разрушение конструкций из композитных материалов / И.В. Гру-шецкий, И.П. Димитриенко, А.Ф.Ермоленко и др.; Под ред. В.П.Тамужа и

75. B.Д.Протасова.- Рига: Зинатне, 1986.- 264 с.

76. Санчес-Паленсия Неоднородные среды и теория колебаний.-М.: Мир, 1984.- 472 с.

77. Сараев JI.A. Сингулярное приближение в теории упругопластических сред с микроструктурой // ПММ.-1983,- Т. 47, вып. 3.1. C. 522-524.

78. Сараев JI.A. Эффективные свойства многокомпонентных упругопластических композиционных материалов //ПММ.-1986.-Т. 50.-вып. 4.-С. 700-705.

79. Сараев JI.A., Шермергор Т.Д. Сингулярное приближение в теории идеальной пластичности микронеоднородных сред // Прикл. мех.- 1985.-Т.21, № 5.-С. 92 97.

80. Сарбаев Б.С. О неупругом поведении слоистых стеклопластиков //Изв.вузов: Машиностр.-1984.-№ 4.-С. 6-10.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1976.- Т.1.- 536 с;Т. 2.- 574 с.

82. Скудра A.M., Булаве Ф.Р. Структурная теория армированных пластиков.-Рига: Зинатне, 1978.- 192 с.

83. Соколкин Ю.В., Свисткова Л.А. Упругопластичность волокнистых композитов с металлической матрицей //Исследования по механике материалов и конструкций.-Свердловск: УрОАН СССР, 1988.-С. 85-92.

84. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел.-М.: Наука, 1984.-115 с.

85. Разрушение органопластика в зависимости от скорости нагружения и температуры / Ю.В. Суворова, А.Н. Думанский, B.C. Добрынин и др. //Механика композиционных материалов.- 1984.- № 3.- С.439-444.

86. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных материалов.- Рига: Зинатне, 1978.- 294 с.

87. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы.-М.Машиностроение, 1987.225 с.

88. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.- М.: Мир, 1975.- 592 с.

89. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.-407 с.

90. Хорошун Л.П., Вецало Ю.А. К теории эффективных свойств идеально-пластических композитных материалов //Прикл. мех,- 1987.-Т. 23, № 1.-С. 86-90.

91. Цай С., Хан X. Анализ разрушения композитов // Неупругие свойства композиционных материалов.-М.: Мир, 1978.-С. 104-139.

92. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред //Ж. прикл. механики и техн. физики.-1984.-№2.-С. 149-151.

93. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.-М.: Наука, 1988.192 с.

94. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.- М.: Наука, 1977.-400 с.

95. Шешенин С.В. Осредненные модули одного композита //Вестн. Московск. ун-та. Сер. матем. механ.-1980.-№6.-С. 78-83.

96. Эглит М.Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах //Механика композиционных материалов.-1984.-№5.-С. 825-831.

97. Aboudi J. Generalized effective stiffness theory for non-elastic laminated composites// Int. J. Eng. Sci.-1981.- V. 19, №. 9.-P. 1269 1282.

98. Adams D.F. Inelastic analysis of unidirectional composite subjected to transverse normale loading // J. Compos. Mater.-1969.- № 4.-P. 310 328.

99. Adams D.F. Elastoplastic crack propagation in a transversely loaded unidirectional composites // J. Compos. Mater.- 1974.-№ 8.-P. 38 54.

100. Bensoussan A., Lions L., Papanicolaou G. Asimptotic analysis for periodic structures.- Amsterdam: North Holland, 1978.- 500 p.

101. Bahet-El-Din Y.A., Drorak G.J. Plasticity analysis of laminated composite plates //Trans. ASME. J. App. A. Mec.-1982.- V. 49, № 4.-P; 740 — 746.

102. Dimitrienko Yu.I Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structure. 1. Method of asymptotic averaging //European Journal of Mechanics. A: Solids.- 1997.- Vol.17, № 2.- P. 305-322.

103. Dimitrienko Yu.I. Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structure. 2. Solutions of local and global problems //European Journal of Mechanics. A: Solids.- 1997.- Vol.17, № 2.- P. 323-337.

104. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // J. Mech. A Phys. Solids.- 1963,- P. 11,№2.-P. 127-142.

105. Hill A. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. A Phys. Solids.-1965.-P. 13.- № 4.-P. 213-225.

106. Kafka V. Elastic-plastic deformation of a periodically nonhomogeneous medium //Actatechn. CSAV.-1965.-P. 10.- № 4.-P. 404-451.

107. Kerber E.H. The elastic and thermo elastic properties of composite media //Proc. Roy. Soc. London. B.-1956.-V. 69.-P. 573-579.

108. Kim S.J., Shin E.S. A Termoviscoplastic theory for composite materials by using a matrix partitioned unmixing mixing scheme // J. Compos. Mater.-1996.-V. 30, № 15.-P. 1647-1669.

109. Kim У., Davalos J.F., Barbero E.J Progressive failure analysis of laminated composite beams // J. Compos. Mater.-1996.-V. 30, № 5.-P.536-560.