Исследование деформирования и разрушения тонких многослойных осесимметричных оболочек: Структур. моделирование с учетом технологии изготовления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Киреев, Николай Викторович

• Киреев, Николай Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Киреев, Николай Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Математические модели деформирования однонаправлено армированного композиционного материала

1.1. Эффективные уравнения состояния и структурные напряжения в упругом композиционном материале

1.2. Критерии разрушения компонентов композита

1.3. Модели деформирования композиционного материала при разрушении связующего в армированном элементе

1.4. Модели деформирования композиционного материала при разрушении связующего в однонаправлено армированном слое

1.5. Модели множественных разрушений слоя

1.6. Применение структурного моделирования для анализа разрушения образцов армированного композита

2. Численное моделирование процессов деформирования многослойных оболочек

2.1. Уравнение состояния слоя в составе многослойной оболочки вращения

2.2. Задача о деформировании осесимметричной многослойной оболочки

2.3. Алгоритм решения задачи о деформировании композиционной оболочки

3. Технологические задачи механики тонкостенных композиционных оболочек

3.1. Численное моделирование процесса образования технологических остаточных напряжений в тонкостенных элементах конструкций

3.2. Расчёт остаточных напряжений в образцах

3.3. Расчёт полей технологических остаточных напряжений и смещений при изготовлении параболического рефлектора антенны из углепластика

4. Численное моделирование разрушения тонких многослойных

композиционных оболочек

4.1. Метод расчёта процесса разрушения композиционных оболочек при квазистатическом термосиловом нагружении

4.2. Математическое моделирование процесса КППН

4.3. Расчёт процесса деформирования и разрушения оболочек, изготовленных методом КППН

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование деформирования и разрушения тонких многослойных осесимметричных оболочек: Структур. моделирование с учетом технологии изготовления»

ВВЕДЕНИЕ

Армированные композиты являются новыми перспективными материалами и находят всё большее применение в различных областях современной техники, особенно при проектировании конструкций для работы в экстремальных условиях, с жёсткими весовыми ограничениями, повышенными требованиями к надёжности, устойчивости к агрессивным средам и т.п. В реальных конструкциях композитный материал (КМ) имеет сложный характер армирования и находится в условиях сложного напряженно - деформируемого состояния. В связи с этим, не всегда имеется возможность непосредственно применить имеющиеся теоретические исследования в практике производства и проектирования композитов. Таким образом, разработка прикладных методов расчёта элементов конструкций является актуальной проблемой.

Композиты по сравнению с традиционными материалами обладают рядом характерных особенностей, наиболее важные:

- структурная неоднородность и анизотропия материала;

- наличие технологических остаточных напряжений;

- многостадийность процесса разрушения.

В соответствии с этими особенностями в механики композиционных материалов разрабатываются следующие направления:

Структурная механика занимается построением моделей, которые позволяют заменить неоднородный материал эквивалентным однородным. При этом определяются эффективные физико - механические характеристики материала.

В механике разрушения разрабатываются различные теории прочности и разрушения, строятся различного уровня сложности критерии прочности.

Технологическая механика исследует процессы образования остаточных напряжений, возникающих при изготовлении конструкции из композитов, вследствие разнородности термомеханических свойств компонент.

Проведённый анализ литературы по механике конструкций из композиционных материалов показывает, что структурная механика является наиболее полно разработанной теорией. При исследовании физико-механических свойств композитов в конструкции, структурно неоднородный или микронеоднородный композиционный материал рассматривается, как квазиоднородная среда с усредненными по некоторому характерному объёму напряжениями и деформациями, которые называются макронапряжениями и макродеформациям,и. Упругие характеристики, определяющие связь между макронапряжениями и макродеформациями в уравнении состояния, называются эффективными модулями. Существует два подхода к определению этих характеристик: феноменологический и структурный.

При феноменологическом подходе [4, 19, 39, 40, 52] определение эффективных характеристик КМ требует проведения серии экспериментов. Так как КМ является анизотропным материалом, и, как правило, создается одновременно с конструкцией, то эффективные физико-механические характеристики (ЭФМХ) будут, в общем случае, зависеть от формы конструкции и технологии изготовления. Например, для намоточных волокнистых и слоисто-волокнистых оболочек угол армирования изменяется вдоль оси оболочки. В этом случае, определение ЭФМХ многослойной оболочки при феноменологическом подходе требует проведения серий экспериментов для каждого сечения, что практически невозможно реализовать. При смене структуры композита или характеристик компонент материала, вся программа экспериментов должна быть проведена заново. Кроме этого, феноменологический подход не применим к решению задач по проектированию

конструкций из композитов, так как он не даёт явной зависимости эффективных характеристик композита от аналогичных характеристик армирующих волокон и связующего, а также от геометрической структуры КМ.

В этой связи структурный анализ представляется более универсальным. Он дает возможность определить эффективные характеристики через соответствующие характеристики компонент, структуру армирования и другие параметры. Кроме того, структурный подход позволяет определять напряжения в элементах композита (микронапряжения) через макронапряжения в композиционном материале в целом, и далее, переходить к рассмотрению локальных разрушений в связующем и арматуре.

Структурная теория эффективных упругих постоянных берет своё начало с исследований поликристаллов Рейсса [82] и Фойгта [83], В настоящее время разработано большое число моделей композитов, как армированных волокнами, так и наполненных дисперсными частицами. Рассмотрим наиболее характерные из них:

1) Модели с предположениями об однородности напряженного состояния КМ. Первые модели, представляющие собой простое правило смеси, были предложены Фойгтом для осреднения матрицы жесткости и Рейссом для осреднения обратной матрицы - податливости. Далее этот подход развивали Д.С.Аболинып [2], Ю.В.Немировский [42, 43], В.В.Болотин [8], которые применяли гипотезы Фойгта - Рейсса к различным направлениям по отношению к направлению армирования. В отличие от этих работ в диссертации рассматривается более сложный трёх компонентный элемент характерного объёма. Для однонаправлено армированного материала в направлениях, не совпадающих с направлением армирования, применяются и гипотезы Рейсса и гипотезы Фойгта. Точность простых расчётных формул, полученных на основе

геометрических и физических упрощений, находится в хорошем соответствии с экспериментами и отвечает требованиям практических задач, рассматриваемых в данной работе.

2) Энергетические модели. В работах [69, 70, 74, 77, 78] были предложены модели композита, основанные на аппроксимации распределения напряжений и перемещений матрицы, и использовании вариационных принципов о минимуме потенциальной и минимуме дополнительной энергии. В результате были получены нижние и верхние оценки эффективных упругих постоянных. Вариационный подход позволяет определить границы изменения ЭФМХ при произвольных формах фаз, когда вычисления на основе точного решения оказываются сложными. Данные модели не описывают микроскопических характеристик, таких как микронапряжения и микродеформации.

3) В самосогласованных моделях [47, 48, 72, 79, 80] композит представляется в виде одного волокна, окруженного бесконечной средой, которая обладает свойствами композита. Предполагается, что эффективные характеристики композита с волокном равны характеристикам среды на бесконечности. Дифференциальные модели близки по своим идеям к методу самосогласования. Предполагается, что добавление небольшого числа частиц к композиту увеличивает текущий эффективный модуль на величину, соответствующую небольшому изменению концентрации добавленных частиц. При вычислениях считается, что модуль матрицы равен текущему эффективному модулю. Метод самосогласования и дифференциальные модели обладают внутренним противоречием, состоящим в том, что средние поля в композите отождествляются с локальными полями во включениях. В частности, это приводит к тому, что эффективные модули композита, наполовину заполненного твёрдыми включениями, равны бесконечности.

4) Аналитические модели [15, 36]. В работах Г.А.Ванина [15] для определения механических свойств КМ предлагаются точные решения двумерной задачи теории упругости для составных тел, отвечающих гексагональной и кубической упаковки включений в композиционном материале. Полученные решения позволяют с высокой точностью определять эффективные характеристики такого типа композитов. Но возникает вопрос о целесообразности отыскания эффективных модулей на основе строгого решения задачи упругости. Для реальных материалов, как правило, отсутствует исчерпывающая информация о действительной форме и взаимном расположении включений в матрице. Эта неопределенность снижает ценность точных решений. Поэтому для КМ конструкций вычисление эффективных модулей целесообразно проводить на основе более простых моделей, адекватно отражающих существенные черты поведения композиционных материалов.

5) Модели, основанные на численных методах расчёта, предложены в работах [6, 54, 75]. Упругие свойства композиционного материала в работе [6] описываются уравнениями с быстроосциллирующи-ми коэффициентами. Для решения применяется асимптотический метод осреднения. Полученные модели осреднения универсальны, могут быть применимы к самым различным процессам, протекающим в периодических средах. При этом могут рассматриваться как линейные, так и нелинейные модели материала. Основным недостатком метода является необходимость численного решения задачи на ячейке, что требует затрат машинного времени и памяти, сопоставимых с ресурсами, используемыми для расчёта напряженно - деформированного состояния конструкции в целом. В то же время эти модели могут эффективно использоваться для оценки применимости используемых в расчётной практике приближённых моделей и их уточнения, когда это необходимо.

6) Стохастические модели. Примерно такого же уровня сложности являются стохастические модели, предложенные в работах [17, 58, 59]. В них используются вероятностные представления и теория случайных функций для построения моделей, учитывающих случайный характер свойств и взаимное расположение элементов структуры. Разработанные математические модели позволяют решать стохастические краевые задачи деформирования и разрушения структурно - неоднородных тел, определить поля микронапряжений и микродеформаций, оценить вероятность макроскопического разрушения в зависимости от уровня накопленных микроповреждений. Но модели так же сложны для применения в инженерных расчётах, сложность задачи определения эффективных характеристик материала сопоставимы со сложностью задачи определения напряженно - деформированного состояния (НДС) конструкции.

Из представленного обзора видно, что в литературе имеется много моделей, позволяющих разносторонне и глубоко изучать различные аспекты поведения упругих КМ и достаточно надёжно прогнозировать их эффективные свойства. Однако, в этих моделях, за исключением моделей первой группы, применяется сложный математический аппарат, что не позволяет использовать их, как основу для обобщения на случай разрушения структурных компонент. Кроме того, в рассмотренных моделях не учитывается наличие в КМ технологических остаточных напряжений на микро- и макроуровнях. Вместе с тем, сложные модели дают возможность теоретического тестирования и коррекции более простых моделей.

При моделировании разрушения КМ также применяют феноменологический и структурный подход, или их комбинацию. Например, в работах Н.А.Алфутова - П.А.Зиновьева [4] для однонаправлено

армированного слоя применяется феноменологический подход, а для описания разрушения пакета слоёв используется структурный. В феноменологических теориях прочности [4, 38, 81, 40, 61] определяется критерий прочности для композита в полиномиальном виде, а затем экспериментально определяются коэффициенты полинома.

Структурные теории прочности разрабатывались Ю.В.Немировским [43, 44], Б.С.Резниковым [45], А.М.Скудрой, Ф.Я.Булавсом [56, 57], С.Ф.Кузнецовым [37], В.В.Парцевским [49, 50] и др. авторами. В работах [4, 37] разрушенная компонента, не учитывалась при дальнейшем деформировании, т.е. жесткость этой компоненты после начала разрушения предполагалась равной нулю. В [44, 45, 53] исследование ограничивается определением начального разрушения. Кроме того, в существующих теориях прочности не рассматриваются технологические процессы, остаточные микро- и макронапряжения в композите, а также возможная усадка связующего, которую необходимо учитывать при оценке монолитности элементов конструкции в процессе изготовления.

Расчет остаточных напряжений при изготовлении изделий из КМ важен не только для расчёта несущей способности реальной конструкции, но представляет самостоятельный интерес и является предметом нового научного направления - технологической механики.

Композиционные материалы являются материалом - конструкцией, т.е. в отличие от традиционных материалов, композиционные материалы разрабатываются и создаются одновременно с конструкцией, их физико-механические свойства существенно зависят от технологии изготовления. Это относится в первую очередь к волокнистым однонаправленным и намоточным слоисто-волокнистым материалам [5]. Материал и конструкция из этого материала изготавливаются одновременно, путем непрерывной намотки, поэтому, с одной стороны, технологические условия процесса намотки определяют возможные

проекты изделия, а с другой - материал может быть сформирован таким образом, чтобы наиболее эффективно воспринимать действующие напряжения. Следовательно, технология изготовления и конструктивные особенности изделий из композиционных материалов решающим образом определяют прочность всей конструкции.

Тесная взаимосвязь процессов изготовления конструкции и материала, а также стремление использовать возможности широкого варьирования геометрической структуры и механических свойств композитов требуют таких методов расчёта напряженно - деформированного состояния КМ, которые адекватно учитывали бы параметры технологического процесса, включая технологические остаточные напряжения и деформации.

По-видимому, одной из первых работ, в которой была предпринята попытка комплексного подхода к исследованию вопроса о формировании полей остаточных напряжений и смещений в композитной конструкции в процессе ее изготовления, является статья В.В.Болотина [8]. В ней впервые сформулирована и реализована упрощенная расчётная схема для описания основных этапов технологического процесса изготовления бесконечно длинного кругового цилиндрического тела методом намотки композиционной ленты на упругую оправку. Дальнейшее развитие подход [8] получил в работах [9, 10, 11, 41]. Следует отметить, что работы данного направления отличают методическая чёткость и разумное соответствие уровня предлагаемых математических моделей решаемым задачам, что позволяет получить численные результаты, удовлетворительно согласующиеся с данными экспериментов.

Одновременно проводились исследования по различным частным аспектам проблемы и конкретным этапам технологического процесса (указаны типичные работы): намотке с натяжением [51], термической обработке [14], влиянию реологии структурных компонент [20]

и движения фронта полимеризации [35, 66], влиянию усилия формования [13, 18]. К настоящему времени в многочисленных исследованиях (обзор некоторых приведен в [7, 46]) задачи технологической механики достаточно подробно изучены для круговых цилиндрических тел. Показано, что формирование остаточных полей обусловлено сложными физико-химическими, физико-механическими и теплофизиче-скими процессами, связанными с чисто механическими взаимодействиями армирующих волокон и полимерного связующего при намотке, структурными и агрегатными превращениями связующего при термообработке и охлаждении. Там же рассматриваются математические модели различного уровня сложности, на основе которых проводится детальное изучение процесса образования остаточных напряжений. Теоретическим обобщением постановки проблемы остаточных напряжений посвящены работы [13, 63, 64, 65]. Однако предлагаемые в этих работах математические модели не вышли за рамки теоретических исследований и, пока не позволяют получить на их основе практически значимые численные решения всего комплекса задач технологической механики, превосходящие по качеству результаты, полученные ранее [9, 11, 12].

Общим для имеющихся работ по технологической механике является следующее:

1) используется феноменологический, а не структурный подход для описания свойств композиционного материала;

2) рассматриваются конструкции простейших форм, в основном круговые цилиндры, в единичных работах - сферы и пластины, поскольку в этих случаях задача о напряженно-деформированном состоянии (НДС) конструкции сводится к задаче Ламе для цилиндра или задаче о полярно-симметричной деформации толстостенной сферы, которые допускают решения в явном виде. Для конструкций иных

геометрических форм решений задач технологической механики не имеется;

3) существующие подходы позволяют находить поля остаточных макронапряжений. Вопрос о величине остаточных микронапряжений в компонентах КМ не рассматривался. Между тем известно [55], что последние могут достигать значительных величин, даже при отсутствии макронапряжений и существенно влиять на прочность композита.

Таким образом, из проведённого анализа литературы видно, что в каждом из направлений механики КМ для описания физико - механического состояния материала, используются разные модельные подходы: описание упругого поведения даётся на основе структурных моделей, а решение задач технологической механики и разрушения -на основе феноменологических.

В связи с этим, актуально исследование на основе единого структурного подхода следующих проблем:

1) поведение конструкции за пределом упругих нагрузок вплоть до полного разрушения с учётом влияние на этот процесс температурного нагружения;

2) образование полей остаточных технологических напряжений и смещений в оболочках сложной формы;

3) влияние, технологических остаточных напряжений на процесс деформирования и разрушения оболочек.

В диссертации представлен вариант такого исследования для процессов деформирования и разрушения тонких многослойных оболочек вращения, армированных высокопрочными волокнами при осесимме-тричном статическом термосиловом нагружении. Предложен единый структурный подход, который позволяет моделировать поведение материала конструкции от процесса изготовления до полного разрушения.

В рамках этого подхода можно учесть, как структурную неоднородность и геометрию оболочки, так и параметры технологии изготовления, включая технологические остаточные напряжения и деформации, а так же влияние технологии на прочность конструкции.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 132 страницы, 50 рисунков. Список цитируемой литературы включает 83 наименования. Материалы диссертации с достаточной полнотой изложены в 14 публикациях [21] - [34].

Во введении выполнен обзор литературы, посвящённой исследованиям по моделированию свойств композитных материалов, моделированию технологических процессов изготовления конструкций из композитов и решению задач прочности композитных конструкций. Дано краткое содержание диссертации.

В первой главе предложен единый структурный подход для моделирования упругого деформирования и разрушения однонапра-влено армированного слоя. Получена схема возможных разрушений структурных компонент композита, в соответствии с которой, построены модели армированного слоя, при различных комбинациях повреждений в армирующем волокне и полимерном связующем. На основе предложенных моделей получены эффективные уравнения состояния, связывающие макронапряжения и макродеформации, структурные соотношения, которые позволяют определить микронапряжения в компонентах через макронапряжения в характерном объёме.

Во второй главе получены уравнения состояния многослойной оболочки вращения, сформулирована задача об определении напряженно-деформированного состояния оболочки в вариационной постановке, описан алгоритм расчёта многослойной армированной осесимметрич-ной оболочки на основе метода локальных вариаций.

Разработаны алгоритм и программа численного расчёта НДС осе-симметричной композиционной оболочки, для описания свойств материала которой, используются уравнения состояния, полученные в первой главе.

Расчёт остаточных напряжений, образующихся в течение технологического процесса изготовления оболочки, представлен в третьей главе.

В отличие от большинства работ выполненных по технологической механике, в диссертации рассматриваются не массивные тела, а тонкие оболочки, в связи с чем, становится возможным корректно пренебречь . влиянием части факторов технологического процесса на образование остаточных напряжений и смещений. Тогда задача об образовании остаточных напряжений технологического процесса может быть сведена к задаче об определении НДС в оболочке свободной от поверхностных и краевых нагрузок и деформируемой под действием предварительно напряженной арматуры, химической усадки связующего и изменения температурного поля. Для решения этой задачи используется программа расчёта НДС, разработанная во второй главе. Далее на основе структурной модели, построенной в первой главе, проведено исследование прочности изготовленной формованием осесим-метричной оболочки под действием остаточных напряжений на макро-и микроуровнях (т.е. оценивается монолитность готового изделия).

В четвёртой главе, разработаны алгоритм и программа расчёта процесса разрушения тонких многослойных армированных осесимме-тричных оболочек, на основе уравнений состояния однонаправлено армированных слоёв, построенных в гл.1, в соответствии со схемой возможных разрушений. Для расчёта остаточных технологических напряжений используется программа, представленная в третьей главе, а для расчёта НДС оболочки программа из второй главы.

Для моделирования кинетики разрушения оболочки применён метод последовательного нагружения, описанный в первой главе для однонаправленного КМ. На каждом шаге выполняется алгоритм коррекции состояния слоя в соответствии со схемой разрушения.

В качестве примера использования всего комплекса программ, разработанного на основе предлагаемого в диссертации подхода, выполнено численное моделирование изготовления, деформирования и разрушения осесимметричных оболочек, изготовленных методом косой продольно - поперечной намотки.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертационного исследования.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность сотрудникам отдела вычислительной механики Института вычислительного моделирования СО РАН за полезные обсуждения результатов работы.

1. Математические модели деформирования одно-направлено армированного композиционного материала

1.1. Эффективные уравнения состояния и структурные напряжения в упругом композиционном материале

Композиционные материалы (КМ) являются структурно неоднородными материалами (рис.1). Для исследования физико-механических свойств КМ в конструкции построим математическую модель од-нонаправлено армированного композита. Структурно неоднородный или микронеоднородный композиционный материал рассматривается, как квазиоднородная среда с усредненными по объему напряжениями и деформациями, которые называются макронапряжениями и макродеформациями. Соответственно напряжения и деформации в структурных компонентах называются микронапряжениями и микро деформациями.

Основная цель построения модели:

В этом параграфе представлена структурная модель однонаправле-но армированного термоупругого КМ при наличии усадки, остаточных и температурных напряжений. Предложенная модель является обобщением алгоритма осреднения Болотина [8]. В качестве характерного макрообъёма выбираем фрагмент КМ (рис.2), который состоит из трех компонентов: волокна (/) и двух компонентов связующего (т) и

2) получить соотношения, позволяющие находить структурные микронапряжения через макронапряжения.

1) получить термоупругие соотношения, связывающие макронапряжения и макродеформации;

Рис. 1 Армированный КМ.

Предположения: 1) фрагмент, представленный на рис.2, является характерным макрообъёмом, рассматриваемого однонаправлено армированного композиционного материала;

2) поля напряжений, деформаций, температуры однородны в каждом компоненте характерного фрагмента;

3) в течение всего процесса нагружения связующее и волокно деформируются совместно, без отрывов;

4) на структурном уровне характерные размеры элемента КМ (рис:.2) одного порядка и для анализа разрушения связующего суще-2 ственную роль играют напряжения сгд, поэтому полагаем, что в характерном элементе они не равны нулю;

5) так как класс рассматриваемых конструкций - тонкие осе-

к 1

Рис. 2 Элемент КМ

симметричные многослойные оболочки, то в соответствии с теорией оболочек каждый слой находится в условиях плоского напряженного состояния, т.е. равны 0;

6) материал каждого компонента является изотропным, термоупругим и имеет уравнение состояние:

еК = Акак + ак, ак = а* + а*,

Ак =

1 1/к V*

Ек Рк Ек 1 Ек

Ек рк Ек ик Ек 1

Ек Ек Ек

0 0 0

0 0 о

ск I

Вк _ Ак-1 =

( ик °П 1 к °12 7 К

о

или

ак = Вкек

Ък = Вкак

°12 °13

ик ик

°22 °23

О О

0 ^ о о

г к

°бб /

(1.1

(1.2

1.3

1

к 1

.......

•. •. 7т'

с

Рис. 3 Горизонтальное осреднение. Рис. 4: Вертикальное осреднение.

где верхний индекс к принимает значение (/) для волокна, (т) - для связующего (рис.3), (/га) - для армированного элемента и (с) - для нижнего элемента связующего (рис. 4), ек = (е*, , , &1 )т,

а* = = (аскАТ,акАТ,акАТ,0)т,а? = £ок - Акаок.

Здесь сг*(г=1,2,з) компоненты деформаций и напряжений в системе Ох " СДВИГ и касательное напряжение в плоскости 0х\х2, Ак, Вк - матрицы податливости и жесткости материала к-го структурного элемента, компоненты матриц Ак и Вк определяются через технические характеристики связующего и волокна: Ек - модуль Юнга, 1УК - коэффициент Пуассона, — Ек / (2(1 + ик)) - модуль сдвига, соответствующей индексу к компоненты композита, е°гк - вектор компонент остаточных деформаций, аок - вектор компонент остаточных напряжений, АТ - приращение температуры, ак - коэффициент линейного теплового расширения компонент.

Алгоритм осреднения напряжений, деформаций и физико - механических характеристик по характерному макрообъёму (рис.2) выполняем в два этапа. Сначала получаем эффективные уравнения состояния для фрагмента, состоящего их волокна (/) и связующего (га) (рис.3). Будем называть этот этап условно горизонтальным осреднением. Затем выполняем осреднение, которое будем называть вертикальным, для элемента, состоящего из армированного элемента (/га) и второго элемента связующего (с) (рис. 4).

Горизонтальное осреднение. Полагаем, что для горизонтального осреднения, выполнены следующие гипотезы:

а1 (Т1) - £1 ~ £1 ,

<^2 — — а2 1 £2 — ? е2 + ? ^2 /-1 д\

_ ¿г/^/ I ст-т ^т _ / _ т

^з - 4 ^з + 4 сгз 5 ез - £з - ез >

_ _ ^т _ cfc.fl Ст.-.т

где - напряжения и деформации армированного подслоя (/т).

^ - объёмное содержание волокна в элементе (/т) определяем по формуле: ^ = рр1 £т = 1 — р интенсивность армирования

однонаправленного слоя КМ, р= — д + — д)2 + 4д/р)/2, Я = ^ /1,/2,/з - характерные размеры компонентов (рис:.2).

Уравнения . (1.4) и уравнения состояния связующего (т) и волокна (/)(1.1) образуют полную систему уравнений относительно микронапряжений, микродеформаций и макронапряжений. Исключив из этих уравнений микронапряжения и микродеформации, получим уравнения состояния армированного элемента (/га) (уравнения состояния определяют макронапряжения через макродеформации). Выполним эти преобразования.

Введем вектора <7*, а* и Индекс (е) относится к направлени-

ям, по которым макродеформации равны микродеформациям в компонентах, т.е. в этих направлениях принимаем гипотезы Фойгта. Индекс (5) относится к направлениям, по которым макронапряжения равны микронапряжениям в компонентах. Эти предположения соответствуют гипотезам Рейса. Для горизонтального осреднения: а* — а* = {а2,сгб}' £е = {£Г)£зЪ £1 = Т0ГДа соотношения (1.4)

можно переписать в виде:

= «> = + 4т = 4 = п п

а{т = = 4т = {£«) = + [ ]

угловые скобки (...) - обозначают операцию осреднения по правилу смеси величин, записанных внутри скобок. Соответственно для матрицы упругости Вк и дополнительного вектора Ьк введем:

ик ик \ Ьк Ь

тэк _ I "11 °13 о* _ I "12 "

ее ик ик II

к

_ _ 16

ее | « ик I 1 е. я 1 ик ьк "13 "33 / V "23 "36

Ък Ьк \ / Ък Ьк \ (Л (л

тэк _ | "12 "23 тэк _ [ "22 "26 »

ее \ Кк Кк I ' -5« I Лк ик

"16 "36 / \ "26 "66

ьек = №Ь!?)Ак = (Ь2Ак:

Тогда, вместо соотношений (1.3) для к-го элемента,

имеем:

< = В^ + В^-Ь

,_к __„к | Е?к _к

к е '

:1-7)

Из второго уравнения (1.7) выразим деформации ек3 через напряжения <т* и деформации е*, подставим полученные выражения в первое уравнение системы (1.7). В результате получим:

-.к _ /~1К ^К I г^к^к ,,к

£к = _Вк£к + Пк(7к { ■

где С? = В18Вк8,Ске = Вкее - В^в^ П>; = (Д^) , = Д В*. ск _ — С^ЪК31(1К = 0*ЪК8. Согласно соотношениям (1.5), в системе уравнений (1.8) микронапряжения и микродеформации из правой части уравнений равны, соответствующим макронапряжениям и макродеформациям в армированном элементе (/ж), а в левой части -соответствующие компоненты осредняются по правилу смесей. Тогда, получим соотношения для макронапряжений и макродеформаций:

а/т = (с«)£{т + {Ск9)а1т - (ск),

= + + (¿Г),

или

/ш = + К1та1т ~ У'

£/т = + Ь/та/т +

т

(1.9

где

чпг

' з "

к{т = {Ске) = ^С/ + £тСет, К{т = (С5К) = ^с/ + СгС1 ь{т = {Бке) = + £т£>ет, Ь{т = (£>*) = + (1.10

к/т = ^ = + ¿/т = ^ = + "

Выразив во втором уравнении напряжения а{т через деформации, получим:

а1т = М1тЬ{те{т + М*те{т-М1т1*т, М/т = Щт)~К

Подставив последнее уравнение в первое уравнение (1.9), находим:

а{т = (К*™ + К1тМ1тЬ{т)е{т + Х/тМ/те£т - {Ут + К{тМ1т1-Гт), (т{т = М/тЬ{те{т + М/те{т-М/т//т.'

Объединим эти уравнения, и получим уравнения состояния для армированного элемента (/т):

\ = / \ / \ _ ( Нт

а{т ) \ B¡™ B¡™ ! \ е{т i У Ъ{т

где

D/m _ jy-fm i T{-fm yrfm t fm nfm _ г^/m IWffm p>fm _ jur fm г fm -'-'ее e i -lx-.s -1 .s J-'e i ^ es J .s lva-.s i-^se 1VJ-s ^e ' (л i i \

5¿m = M/m, bfem = Ут + K¡mM¡mlfn\ b{m = M¡mlfm. [ '

В результате имеем уравнение состояния для армированного элемента {fm):

afm = Bfmefm - bfm. (1.12

Симметричность матрицы жёсткости. Для однородных упругих материалов матрица жёсткости симметрична. Покажем, что она симметрична и для армированного композита. Из (1.2) следует, что матрица упругости Ак и матрица жёсткости Вк симметричны. Тогда, главные миноры (1.6), выделенные из матрицы жёсткости также будут симметричны, а (В^)Т = В*$. Так как Дк: = (Б^)"1, то Ц* -симметрична. В силу свойства (ХУ)Т = утХт для любых матриц X и У, в (1.8) имеем: (Сек)т - (В* - В* )т = (.Вкее)т - (Д^ДВ;;)7 =

ще - (щв:еу(в:8у = в«е - {въуюувъ = в:е - уад-я» = с*.

(щу — (0*В*е)т = Д^Ц* — С*, т.е. боковые миноры являются транспонированными матрицами по отношению друг к другу. Итак:

С^, Д* — симметричны, а (Я*)т = Св\ (1.13)

Операция осреднения не меняет свойств симметрии соответствующих матриц, следовательно: К(т и Ь{т - симметричны, а (Ь{т)Т = К{т. Наконец, в (1.11) матрица В?™ симметрична, т.к. равна М/т, которая является обратной для симметричной матрицы Ь{т.

(В{™)Т = {К1т + К1тМ1тЦтУ = (К[т)Т + (К1тМ1тЬ{ту = к[т + (М1тцту(к{ту = К1т + (Ь{тУ(М?тУ(К1т)Т = К{т + К?тМ?тЦт = Вкее) т.е. Вкее - симметрична. (В{™)Т = (М{тЦт)т = (Ь{т)тМ*т = К1тМ£т = В[™. Т.о. главные миноры для матрицы жёсткости в (1.12) симметричны, а боковые - транспонированные по отношению друг к другу, следовательно матрица В$ш в уравнении состояния (1.12) для армированного элемента (£т) является симметричной.

Вертикальное осреднение. Аналогично выполним вертикальное осреднение для двух компонентов: армированного элемента (/т) и нижнего элемента связующего (с) (рис. 4). Полагаем, что для вертикального осреднения, выполнены следующие гипотезы:

/т _,_ ¿с„с ,-и _ _

С 1 - С 1 — с

аи = £/та}т + £С£7с5

а$ = 4т = £и3 = С/т4т +

1)

/т _ С _ с/тс1т I ссг~с

(1.14)

где аи,£и - макронапряжения и макродеформации характерного макрообъема однонаправлено армированного КМ (рис.2), - отношение объема армированного элемента к макрообъему, определяем по

формуле: ^т = р/р, = 1 — р и р - определены выше.

Аналогично горизонтальному осреднению введем вектора а*, а* и где индекс (е) относится к направлениям, по которым макродеформации равны микродеформациям в компонентах, а (.<?) - к направлениям, по которым макронапряжения равны микронапряжениям в компонентах. Для вертикального осреднения индекс (к) принимает

значения: (/ш) для армированного элемента и (с) для нижнего элемен-

«л С л/> -V" Г ал к* С 1С ЧС V V С I1

та связующего, а <теК = {ст?, <т6а* = = =

тогда соотношения 1.14 можно переписать в виде 1.5:

Pfm _

е е

£

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Киреев, Николай Викторович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1) Предложена математическая модель термоупругого однонаправленного армированного композита, учитывающая остаточные микро-и макронапряжения, химическую усадку связующего при полимеризации. Модель позволяет определять эффективные физико-механические характеристики композита по свойствам структурных элементов, а также устанавливает достаточно простую зависимость между осред-ненными микро- и макронапряжениями, что в дальнейшем используется при моделировании кинетики разрушения КМ.

2) Предложена новая структурная математическая модель, описывающая разрушения однонаправлено армированного композиционного материала с идеально упругими компонентами. На основе этой модели разрушения описан процесс деформирования композиционного материала от начала разрушений в компонентах до полного исчерпания несущей способности конструкции.

3) Получены эффективные уравнения состояния и структурные соотношения однонаправлено армированного композиционного материала для всех возможных комбинаций типов разрушений в компонентах, в единой форме, но с различными матрицами жесткости материала.

4) Разработаны алгоритм и программа расчёта НДС осесимме-тричной оболочки из КМ с учетом остаточных напряжений, воздействия температуры и усадки связующего.

5) Разработаны алгоритм и программа численного решения задачи образования остаточных технологических напряжений и смещений в армированных оболочках вращения при изготовлении методами формования и намотки. Выполнены расчёты остаточных технологических напряжений для параболических рефлекторов, используемых в качестве антенн спутников связи.

6) Разработан численный алгоритм и пакет программ для численного моделирования процессов деформирования и разрушения тонких композитных оболочек вращения. С использованием этого пакета выполнены комплексные расчёты для оценки прочности корпусов двигателей твёрдого топлива, изготавливаемых методом косой продольно -поперечной намотки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киреев, Николай Викторович, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченко В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярский гос. ун-т, 1986. 384 с.

2. Аболинып Д.С. Тензор податливости однонаправленно армированного упругого материала // Механика полимеров. 1965. №4. С. 52-59.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз, 1961. 384 с.

4. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

5. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс; Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 222 с.

6. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах // Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984. 302 с.

7. Благонадежин B.JL, Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Технологические задачи механики конструкций из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1987. №5. С. 859-877.

8. Болотин В.В., Болотина К.С. Расчет остаточных напряжений и деформаций в намоточных изделиях из армированных пластиков // Механика полимеров. 1969. №1. С. 134-139.

9. Болотин B.B. Влияние технологических факторов на механическую надежность конструкций из композитов // Механика полимеров. 1972. №3. С. 529-540.

10. Болотин В.В., Воронцов А.Н. Образование остаточных напряжений в изделиях из слоистых и волокнистых композитов в процессе отверждения // Механика полимеров. 1976. №5. С. 790-795.

11. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления // Механика композитных материалов. 1980. №3. С. 500-508.

12. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 376 с.

13. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Антохов В.Б. Теория компрессионного формования изделий из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1982. №3. С. 1034-1042.

14. Бугаков И.И., Екельчик B.C., Кузьменко Г.Ф. Температурные технологические напряжения в подкрепленной цилиндрической оболочке из вязкоупругого композитного материала // Механика композитных материалов. 1983. №6. С. 1064-1069.

15. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, 1985. 302 с.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

17. Вильдеман В.Э., Зайцев A.B. Равновесные процессы разрушения зернистых композитов // Механика композитных материалов. 1996. Т. 32. №6. С. 808-817.

18. Воронцов А.И., Антохов В.Б. Задача о формировании плит из слоистого композита прямым прессованием // Механика композитных материалов. 1981. №5. С. 928-931.

19. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1973. 170 с.

20. Екельчик B.C., Кострицкий С.П., Рябов В.М. Об учете реологии полимерных композитов в технологических задачах прочности толстостенных цилиндров // Механика композитных материалов. 1983. №4. С. 701-707.

21. Киреев П.В. Определение эффективных характеристик анизотропной оболочки вращения, изготовленной методом косой продольно -поперечной намотки // Тез. конф. мол. учёных ВЦ СО АН СССР / Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1986. №1. С. 22-24.

22. Киреев И.В., Киреев Н.В., Старостин Г.И. Деформирование и разрушение оболочек вращения, изготовленных методом косой продольно-поперечной намотки // Тез. докл. V Всесоюз. сим-поз. по механике конструкций из композиционных материалов. Миасс, 1986. С. 108-109.

23. Киреев Н.В. Численное моделирование процесса деформирования и разрушения многослойного композиционного материала // Тез.докл. Школы мол.учёных по численным методам механики сплошной среды. Красноярск, 1987. С. 100-101.

24. Киреев Н.В., Старостин Г.И. Моделирование процесса деформирования армирования материала в задачах разрушения оболочек // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы X Всесоюз. конф. Новосибирск, 1988. С. 122-128.

25. Киреев Н.В. Структурная модель деформирования и разрушения композиционного материала с хрупкими компонентами // Материалы конф. мол. учёных ВЦ СО АН СССР / Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1989. №2. С. 18-22.

26. Киреев Н.В.,Мельникова И.В.,Старостин Г.И. Модель волокнистого композита с учетом остаточных напряжений // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярский политех, ин-т. 1990. С. 116-121.

27. Киреев Н.В.,Мельникова И.В.,Старостин Г.И. Влияние свойств компонент и структуры на начальное разрушение волокнистого композита // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярский политех, ин-т. 1990. С. 108-115.

28. Киреев Н.В.,Мельникова И.В.,Старостин Г.И. Определение упругой составляющей остаточных напряжений в армированных оболочках // Проблемы проекторования конструкций : Сообщ. IV Уральского семинара. Миасс, 1991. С. 80-87.

29. Киреев Н.В. Численное решение задачи о контакте упругих осе-симметричных оболочек // Численные методы механики сплошной среды : Тез. докл. III Всесоюз. шк. мол. учёных, п.Абрау-Дюрсо. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991. С. 135-137.

30. Киреев Н.В.,Старостин Г.И. Численный анализ влияния остаточных напряжений на прочность композиционной оболочки // Моделирование в механике сплошных сред : Межвуз.сб. Красноярский гос. ун-т. 1992. С. 64-70.

31. Киреев Н.В. Комплекс программ для моделирования процессов изготовления, деформирования и разрушения композиционных оболочек //Вычислительные технологии : Труды шк.- семинара по комплексам программ мат.физики, Ростов-на-Дону. Новосибирск: ИВТ. 1992. 4.2. С. 165-174.

32. Киреев Н.В.,Старостин Г.И. Формирование структуры и эффективных свойств композиционного материала при изготовлении оболочек косослойного армирования // Механика композитных материалов. 1992. № 5. С. 609-617.

33. Киреев Н.В. Определение остаточных технологических напряжений в тонких композиционных оболочках // Численные методы механики сплошной среды : Тез.докл. IV Всеросс. шк. мол. учёных, п.Абрау-Дюрсо. Красноярск: ВЦ СО РАН. 1992. С. 144.

34. Киреев И.В., Киреев Н.В., Пичугин B.C., Пятаев С.Ф., Старостин Г.И. Прогнозирование прочности песчано-полимерной оправки при изготовлении композиционных оболочек методом намотки // Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении : Материалы международной научно-технической конференции. Красноярский гос. техн. ун-т. 1994. С. 194-201.

35. Коротков В.Н., Турусов P.A., Джавадян Э.А., Розенберг Б.А. Технологические напряжения при отверждении цилиндрических изделий из полимерных композитных материалов // Механика композитных материалов. 1986. №1. С. 118-123.

36. Кристенсен P.M. Ведение в механику композитов. М.: Мир, 1978. 488 с.

37. Кузнецов С.Ф., Парцевский В.В. К моделированию разрушения тонкостенных элементов конструкций из слоистых многонаправленных материалов // Механика композитных материалов. 1983. №1. С. 26-31.

38. Лагдзинь А., Зилауц А. Построение выпуклых предельных поверхностей в механике материалов // Механика композитных материалов. 1996. Т. 32. № 3. С. 339-349.

39. Максимов Р.Д., Плуме Э.З., Пономарев В.Н. Характеристики упругости однонаправленно армированных гибридных композитов // Механика композитных материалов. 1983. №1. С. 13-19.

40. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.

41. Мурзаханов Г.Х., Тихонов В.А. Расчет усадочных напряжений в волокнистых композитах регулярной структуры / / Механика полимеров. 1976. №3. С. 409-415.

42. Немировский Ю.В. Об упругопластическом поведении армированного слоя // Журнал ПМТФ. 1969. №6. С. 75-83.

43. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. 1972. №5. С. 861-873.

44. Немировский Ю.В. Некоторые вопросы разрушения тонкостенных изгибаемых конструкций из армированных пластиков // Механика композитных материалов. 1979. №4. С. 326-330.

45. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструк- ' ций из композитных материалов. Новосибириск: Наука, 1986. 166 с.

46. Образцов И.Ф., Томашевский В.Т. Научные основы и проблемы технологической механики конструкций из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1987. №4. С. 671-699.

47. Паньков A.A. Анализ эфективных упругих свойств однонаправленного волокнистого боропластика обобщённым методом самосогласования // Механика композитных материалов. 1996. Т. 32. №6. С. 747-758.

48. Паньков A.A. Осреднённая задача обобщённого метода самосогласования для композитов с составными или полыми сферическими включениями // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. №1. С. 41-56.

49. Парцевский B.B. К испытаниям анизотропных колец на прочность // Механика полимеров. 1974. №1. С. 175-177.

50. Парцевский В.В. Плоская деформация слоистого композита с поперечной трещиной // Механика полимеров. 1978. №4. С. 632-636.

51. Портнов Г.Г., Поляков В.А., Макаров Б.П., Индебаум В.М. Расчет остаточных напряжений в намоточных изделиях из стеклопластиков при переменных по толщине характеристиках материала // Механика полимеров. 1971. №4. С. 686-691.

52. Рабинович A.JI. Введение в механику армированных полимеров. М.: Наука, 1970. 482 с.

53. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Начальная поверхность прочности однонаправленного композита при плоском напряженном состоянии // Механика полимеров. 1976. № 4. С. 633-639.

54. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А., Упитис З.Т. Модели разрушения композитов с различной структурой армирования // Разрушение композитных материалов: труды 1-го Сов. - амер. симп. Рига, 1979. С. 126-131.

55. Сарабеев В.Ф., Перлин С.М. Определение величины и характера распределения начальных напряжений в стеклопластиках.

Сообщение 1 // Механика полимеров. 1973. №4. С. 661-667,

Сообщение 2 // Механика полимеров. 1974. №1. С. 43-56.

56. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. 192 с.

57. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982. 214 с.

58. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. М.: Наука, 1984. 116 с.

59. Соколкин Ю.В., Чекалкин A.A., Котов А.Г. Структурный многоуровневый подход к проектироавнию пространственно армированных углерод - углеродных // Механика композитных материалов. 1995. Т. 31. №2. С. 200-208.

60. Справочник по композиционным материалам: В 2-х кн./ Кн. 1. Под ред. Дж.Любина; Пер. с англ. А.Б.Геллера, М.М. Гельмонта/ Кн. 2. Под ред. Б.Э.Геллера/ М.: Машиностроение, 1988. 448 с.

61. Тамуж В.П., Куксенко В.А. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 284 с.

62. Терегулов И.С., Сибгатулин Э.С., Фаляхов М.А. Деформирование и прочность однонаправленно армированных волокнами гибридных композитов // Механика композитных материалов. 1995. Т. 31. №2. С. 186-192.

63. Томашевский В.Т. О задачах механики в технологии композитных материалов // Механика композитных материалов. 1982. №2. С. 486-503.

64. Томашевский В.Т., Яковлев B.C. Обобщенная модель механики намотки оболочек из композитных полимерных материалов // Механика композитных материалов. 1982. №5. С. 855-863.

65. Томашевский В.Т., Яковлев B.C. Технологические проблемы механики композитных материалов // Прикладная механика. 1982. Т.20. №11. С. 3-20.

66. Турусов P.A., Давтян С.П., Шкадинский К.Г., Розенберг Б.А., Андреевская Г.Д., Ениколопян Н.С. Механические явления в условиях распространения фронта отверждения // Докл. АН СССР. 1979. Т.247. №1. С. 797-800.

67. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела. Т.1 Сопротивление материалов. JL: Наука, 1975. 832 с.

68. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Мир, 1982. 232 с.

69. Хашин 3., Розен Б. Упругие модули материалов, армированных волокнами // Прикладная механика. М.: Мир, 1964. №2. С. 71-82,

70. Хилл Р. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы // Механика: Сб.пер., 1964. Т.87. №5. С. 127-143.

71. Хилл Р. Теория механических свойств волокнистых композитных материалов // Механика: Сб.пер., 1966. Т.96. №2. С. 131-149.

72. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. Киев: Наукова думка, 1984. 112 с.

73. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления /Численные методы/ М.: Наука, 1973. 240 с.

74. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

75. Adams D.F., Doner D.R. Transverse normal loading of an unidirectional composite // J. of Composite Materials. 1967. Vol. 1. №2. P. 152-164.

76. Hashin Z. Analysis of composite materials // J. Appl. Mech. 1983. Vol. 50. P. 481-505.

77. Hashin Z., Strikman S. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity // J. Mech. and Phys. Solids. 1962. Vol. 10. №4. P. 335-349.

78. Hashin Z., Strikman S. A variational approuch to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials //J. Mech. and Phys. Solids. 1963. Vol. 11. №2. P. 127-142.

79. Hill R. Theory of mechanical properties of fiber - strengthened materials. 1. Elastic behaviour. // J. Mech. and Phys. Solids. 1964. Vol. 12. №4. P. 199-212.

80. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials. // J. Mech. and Phys. Solids. 1965. Vol. 13. №4. P. 213-225.

81. Lagzdins A. An alternative version of constructing limit surfaces for anisotropic solids // Mechanics of Composite Materials. 1995. Vol.31. №4. P. 488-493.

82. Reuss A. Berechuung der Fleissgrenze von Mischkristalline auf Grund der Plastiziäts bedingung für Einkristalle. - Z. angew. Math, and Mech. 1929. Bd. 9. №4. S. 49-58.

83. Voight W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin - Leipzig: Teubner -Verlag, 1928. 962 s.