Гомогенизация и гетерогенизация однонаправленных упругих волокнистых композитов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Белов, Дмитрий Александрович

• Белов, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белов, Дмитрий Александрович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Однонаправленные волокнистые композиты, фундаментальные проблемы и возможные способы их решения.

1.1. Классификация композитных материалов и их применение.

1.2. Фундаментальные проблемы механики однонаправленных волокнистых композитных материалов и обзор методов их решения.

1.2.1. Фундаментальные проблемы механики композитов.

1.2.2. Краткий обзор методов решения некоторых проблем механики волокнистых композитов.

Глава 2. Основные соотношения теории упругости и подходы, использованные при выполнении работы.

2.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды.

2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и определяющие соотношения.

2.1.2. Эффективные определяющие соотношения и метод прямой гомогенизации для определения эффективных упругих характеристик.

2.2. Применение метода конечных элементов для решения задач, необходимых для анализа волокнистых композитов.

2.2.1. Основная концепция метода конечных элементов, построение конечно-элементной модели.

2.2.2. Решение системы конечно-элементных уравнений.

2.3. Элементы теории вероятностей и математической статистики, используемые в данной работе при статистическом изучении характеристик композитов.

2.3.1. Основные используемые при статистическом изучении ОВКМ понятия теории вероятностей и математической статистики.

2.3.2. Выбор функций плотности распределения вероятностей для стохастической задачи композитных материалов.

2.3.3. Метод Монте-Карло.

Глава 3. Определение эффективных упругих характеристик стохастических упругих однонаправленных волокнистых композитов.

3.1. Эффективные определяющие соотношения и определение эффективных упругих характеристик.

3.2. Эффективные упругие характеристики композитов.

3.3. О возможности определения эффективных характеристик стохастических композитов на основе их регуляризованных моделей.

Глава 4. Метод "локальных гетерогенизаций" для восстановления микронапряжений в однонаправленных волокнистых композитах.

4.1. Принцип локальности в механики волокнистых композитов.

4.2. Метод локальных гетерогенизаций.

4.3. О связи между микронапряжениями периодических и непериодических упругих однонаправленных волокнистых композитов.

Глава 5. Верификация метода "базовых решений" и "регулярных разложений".

5.1. Фундаментальные базовые задачи для ячейки периодичности композита.

5.2. Построение периодических базовых решений для композита и линейная комбинация решений базовых задач.

5.3. Регулярные разложения и их применение к проблеме гомогенизации периодического композита.

5.4. Регулярные разложения и их применение к проблеме вычисления микронапряжений в гомогенизированном композите.

5.5. Численный алгоритм вычисления микронапряжений в периодическом однонаправленном волокнистом композите и его апробация.

Глава 6. Метод итерирования условий сопряжения.

6.1. Применение регулярных разложений к формулировке и решению граничной задачи при анализе композитов.

6.2. Рекомендации к процедуре восстановления микронапряжений для упругих однонаправленных волокнистых композитов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомогенизация и гетерогенизация однонаправленных упругих волокнистых композитов»

Представленная диссертационная работа посвящена изучению и решению актуального вопроса корректного определения микронапряжённого состояния однонаправленных упругих волокнистых композитов с высокой объемной плотностью, как периодических, так и хаотически армированных произвольно расположенными волокнами.

Актуальность темы исследования. До недавнего времени потребность в композитных материалах увеличивалась намного более быстрыми темпами, чем развивались экспериментальные и аналитические методы их исследования. Современные инженерные подходы к расчету композитов позволяют получить приближённые результаты, аналитические подходы дают точные результаты лишь для периодических структур с достаточно простой геометрией. С развитием вычислительной техники и численных методов, прежде всего, метода конечных элементов, появилась возможность получать решения с высокой степенью точности как в случае макронапряжённого состояния, так и в случае микронапряжений в компонентах композитов, которые играют определяющую роль для оценки прочности.

Фундаментальным вопросом механики композитных материалов является вычисление эффективных упругих характеристик. Разработка моделей и методов для определения эффективных упругих характеристик периодических и, особенно, хаотически армированных композитов с высокой объемной концентрацией волокон, по-прежнему остается актуальной задачей современной механики композитов, которую эффективно можно решить лишь с помощью конечно-элементного моделирования.

За предыдущие десятилетия предложен и апробирован ряд подходов к нахождению эффективных характеристик композитов с регулярной периодической структурой, а также полей макронапряжений и макродеформаций, возникающих при эксплуатации в элементах конструкций, содержащих такие композитные материалы. Влияние же случайной микроструктуры реальных композитов, а, именно, произвольного расположения волокон на их эффективные характеристики, изучено ещё недостаточно полно. Для исследования хаотически армированных композитов наиболее рациональным является совместное применение метода конечных элементов и метода Монте-Карло.

Актуальной проблемой механики композитов является разработка методов гомогенизации и гетерогенизации, которые позволяют проводить анализ механического поведения композитов на микроуровне (характерные размеры - диаметры волокон, расстояния между волокнами и др.) и на макроуровне (характерными размерами являются размеры конструкции), осуществляя переходы с микроуровня на макроуровень (гомогенизация), а также с макроуровня на микроуровень (гетерогенизация).

Объект исследования диссертационной работы - упругий однонаправленный волокнистый композитный материал (ОВКМ), обычно применяемый для изготовления различных слоисто-волокнистых конструкций. В работе непосредственно рассматриваются и моделируются представительные элементы объёма (ПЭО) таких композитных материалов. Большинство исследований проводится для широкого спектра упругих ОВКМ с различными значениями отношения модулей Юнга волокна и матрицы Е/Ет и переменной для каждого из этих отношений объёмной концентрацией волокон v f .

Задачи исследования: разработка математических и конечно-элементных моделей упругих ОВКМ, учитывающих все основные элементы их микроструктуры; разработка алгоритма определения эффективных упругих характеристик периодических и стохастических упругих ОВКМ; программная реализация алгоритма, выбор рациональных параметров (размера минимально необходимого ПЭО, числа случайных реализаций произвольного расположения волокон в ПЭО при определении эффективных характеристик композитов с применением метода Монте-Карло) и исследование практической сходимости получаемых результатов; исследование зависимости значений эффективных упругих характеристик композитов, хаотически армированных волокнами, от геометрических размеров и упругих свойств их компонентов; многовариантное исследование (рассматриваются композиты с Е/Ет =

103, 10~2, 10"1, 10, 102, 103} и vf = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7}) возможности использования регуляризованных моделей стохастических ОВКМ для нахождения их эффективных упругих характеристик и оценки микронапряженного состояния, оценка погрешностей при сравнении с эталонными решениями; разработка и применение метода "локальных гетерогенизаций" для нахождения полей микронапряжений в однонаправленных волокнистых композитных материалах на основе принципа локальности в механике композитов (Боровков А.И., Пальмов В.А., 1999 г.) и концепции гибридной (одновременно содержащей эквивалентный эффективный материал и фрагмент реальной микроструктуры) модели композита, оценка погрешности по сравнению с эталонными значениями; реализация алгоритма нахождения микронапряженного состояния периодического упругого ОВКМ на основе метода "базовых решений" (решение трех задач на растяжение и трех задач на сдвиг для двоякосимметричной ячейки периодичности композита) и "регулярных разложений" (комбинация получаемых базовых решений), оценка погрешности при сравнении с эталонными значениями; разработка и программная реализация метода "итерирования условий сопряжения" для устранения разрыва микронапряжений на границе раздела гетерогенной и гомогенизированной сред гибридной математической модели упругого периодического ОВКМ.

Методы исследования. В диссертационной работе применены математический аппарат теории упругости гетерогенной анизотропной среды, метод Монте-Карло. Численное моделирование выполнено с помощью метода конечных элементов, который позволяет учитывать случайное и плотное расположение волокон в матрице композита, изменение их диаметра и относительной жесткости Е/Ет. Для решения задач использована лицензионная версия программной системы конечно-элементного анализа ANSYS, прошедшей тщательную верификацию и валидацию.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: на основе объединения МКЭ и метода Монте-Карло разработан алгоритм определения эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ; получены точные выражения для вычисления 13 эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ, обладающих свойством моноклинной симметрии; установлен минимально необходимый размер ПЭО композитов и число реализаций произвольного расположения в них волокон при статистическом определении этих характеристик; выявлен характер зависимости значений эффективных упругих характеристик от геометрических размеров и упругих свойств компонентов стохастических ОВКМ;

• предложен и обоснован метод "локальных гетерогенизаций" нахождения полей микронапряжений периодических упругих ОВКМ на основе применения принципа локальности в механике композитных материалов и концепции гибридной математической модели композита, проведена верификация и продемонстрирована его эффективность;

• реализован метод "базовых решений" и "регулярных разложений" нахождения микронапряженного состояния периодического упругого ОВКМ, проведено сравнение получаемых значений микронапряжений со значениями эталонных решений;

• на основе метода "базовых решений" и "регулярных разложений" разработан и реализован алгоритм устранения разрыва микронапряжений на границе раздела гетерогенных и гомогенизированных сред гибридных математических моделей упругих композитов с использованием специально сконструированного функционала (метод "итерирования условий сопряжения").

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется высоким уровнем адекватности разработанных математических и конечно-элементных моделей реальной микроструктуре композитов; строгостью используемого в работе математического аппарата теории упругости гетерогенных анизотропных сред; обоснованным применением современного численного метода; детальным исследованием практической сходимости конечно-элементных результатов и результатов применения метода Монте-Карло; сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе, с имеющимися экспериментальными данными, аналитическими оценками и результатами, приведенными в публикациях других авторов.

Практическая ценность работы связана с применением разработанных методов для выполнения анализа микро- и макро-напряжённо-деформированного состояния композитов и элементов конструкций, содержащих ОВКМ. Результаты работы широко используются в качестве методов проектирования и оптимизации конструкций в научно-исследовательской деятельности кафедры "Механика и процессы управления" в рамках выполнения НИР.

Основное содержание работы

В первой главе работы изложены общие сведения о композитных материалах и дана классификация однонаправленных волокнистых композитов. Определены цели исследования и основной круг задач, требующий подробного рассмотрения. Показана актуальность выбранной темы и практическая ценность результатов в случае решения поставленных задач. Дан краткий обзор существующих способов решения фундаментальных задач механики композитов (в данной работе рассматриваются две — определение эффективных упругих характеристик композитов и их микронапряжённого состояния). Обоснован выбор метода прямой гомогенизации нахождения этих характеристик для периодических упругих ОВКМ. Описаны существующие подходы к регуляризации структуры стохастических композитов, статистическому определению их эффективных упругих характеристик и поиску полей микрона-пряжепий в компонентах ОВКМ.

Во второй главе проведён выбор и описаны методы исследования. Изложен метод прямой гомогенизации. Представлен принцип построения расчётных конечно-элементных моделей композитов, а также алгоритм конечно-элементного решения задач, способ исследования практической сходимости получаемых решений. Даны краткие сведения об используемых в работе элементах теории вероятностей и математической статистики (метод Монте-Карло, типы распределений параметров и т.д.).

В третьей главе рассмотрена задача определения эффективных упругих характеристик хаотически армированного ОВКМ. На основе метода прямой гомогенизации разработан алгоритм нахождения этих характеристик и создан программный модуль для его практического применения. Определены рациональные параметры этого алгоритма. Рассмотрена возможность нахождения эффективных упругих характеристик стохастических композитов без решения статистической задачи, а лишь на основе рассмотрения одной ячейки периодичности (ЯП) его регуляризованной математической модели.

В четвертой главе рассматривается проблема нахождения микронапряжений упругого однонаправленного волокнистого композита. Сформулирован принцип локальности для периодических упругих ОВКМ. Предложен и обоснован метод "локальных гетерогенизаций" получения "восстановленного" распределения микронапряжений. Исследована возможность использования регуляризированных математических моделей стохастических упругих ОВКМ для оценки их микронапряжённого состояния.

Пятая глава содержит результаты численной верификации метода нахождения микронапряжённого состояния периодического упругого ОВКМ с помощью теории "базовых решений" и "регулярных разложений". Впервые в научной литературе разработан и применён алгоритм практической реализации озвученного метода для периодических упругих ОВКМ, рассматриваемых в постановке "плоское деформированное состояние". Кроме того, теория "базовых решений" и "регулярных разложений" применена для получения эффективных упругих характеристик периодических ОВКМ.

Шестая глава посвящена проблеме восстановления микронапряжений в области композита, где наблюдаются максимальные градиенты средних микродеформаций, т.е. где нет регулярных решений (например, у зоны приложения нагрузки). Изложена новая идея о минимизации влияния существующего разрыва напряжений на границе гетерогенного и гомогенизированного материалов. Рассмотрен метод устранения существующего "скачка" путём приложения специальных силовых условий на границу раздела сред. Разработан алгоритм практической реализации метода (метод "итерирования условий сопряжения") для ОВКМ, проведена его верификация.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Белов, Дмитрий Александрович

Результаты работы имеют высокое академическое и практическое значения. Они могут быть применены в качестве методов проектирования и оптимизации конструкций в научно-исследовательской и инженерной деятельности.

Заключение

Основные научные и практические результаты настоящей диссертационной работы заключаются в следующих положениях.

1) Выбрана и обоснована математическая модель стохастического однонаправленного упругого волокнистого композитного материала, доказана высокая степень её адекватности реальным композитам (с учётом выбранных допущений);

2) Получены точные выражения для вычисления 13 эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ, обладающих свойством моноклинной симметрии. На основе объединения метода конечных элементов и метода Монте-Карло разработан алгоритм определения эффективных упругих характеристик хаотически армированных ОВКМ, выбраны рациональные параметры для этого алгоритма (минимально необходимый размер ПЭО и число случайных реализаций произвольного расположения волокон в ПЭО, требуемое для статистического определения эффективных упругих характеристик);

3) На основе разработанного алгоритма проведены исследования для большого спектра ОВКМ с различными значениями объёмной концентрации и жёсткости волокон. Показана возможность оценки значений эффективных упругих характеристик стохастических ОВКМ с достаточно высокой точностью на основе их регуляризированных (хаотическая микроструктура композита заменена на периодическую) математической моделей. Выяснено, что средние характеристики полей микронапряжений, получаемые в результате решения стохастической задачи для непериодических ОВКМ, практически равны соответствующим значениям для регуляризованной модели данного композита;

4) Сформулирован принцип локальности в механики волокнистых композитов на основе исследования микронапряжённого состояния ОВКМ. Показана практическая ценность полученных результатов при проведении процедуры последовательной прямой гетерогенизации;

5) Предложен и обоснован метод "локальных гетерогенизаций" нахождения полей микронапряжений периодических упругих ОВКМ. Проведено сравнение получаемых с его помощью значений с "'эталонным" решением (максимальная относительная погрешность не превышает 56%), доказана его эффективность;

6) Решены стохастические задачи оценки максимальных значений микронапряжений, возникающих в микроструктуре стохастических упругих ОВКМ с различными характеристиками его компонентов. Найденные значения сравнены с результатами решения аналогичных задач для регуляризованных математических моделей этих композитов. Выявлено значительное повышение уровня максимальных значений микронапряжений в стохастических композитах по сравнению с их регу-ляризированными моделями, различия особенно существенны при сдвиговой нагрузке. Максимальные значения копонетов тензора напряжений для непериодической структуры могут практически на порядок превышать соответствующие значения для периодической (при введённом допущении минимального расстояния между волокнами непериодической структуры в 1% от их диаметра). Различия с регулярной структурой увеличиваются по мере увеличения различий в жёсткости волокон и матрицы. Сделан обоснованный вывод о возможности оценки максимальных микронапряжений в стохастических ОВКМ с помощью результатов анализа их регуляризированных моделей путём введения поправочного коэффициента (при допущении существования минимально возможного зазора между волокнами).

7) Впервые реализован на практике метод "базовых решений" и "регулярных разложений" восстановления микронапряжений в гомогенизированном ОВКМ. Разработан алгоритм применения данного метода для периодической модели ОВКМ в предположении плоского напряжённого состояния, проведена его численная верификация. Выполнено сравнение получаемых результатов для периодических ОВКМ с различными типами укладки волокон (квадратной, прямоугольной, пента-гональной) с результатами прямого моделирования микроструктуры композита. Сделаны выводы о точности получаемых результатов и даны рекомендации по его использованию.

8) Предложен метод "итерирования условий сопряжения" нахождения значений микронапряжений в гомогенизированном ОВКМ. На основе общей теории метода "базовых решений" и "регулярных разложений" разработан и обоснован итерационный алгоритм его реализации при численных расчётах с использованием гибридных Homo-Het моделей ОВКМ. Изучена сходимость метода, проведено качественное и колли-чественное сравнение получаемых результатов с результатами метода локальных гетерогенизаций.

9) Даны рекомендации по использованию упомянутых методов восстановления микронапряжений, сделаны выводы о их преимуществах и недостатках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белов, Дмитрий Александрович, 2009 год

1. Аболиньш, Д.С. Тензор податливости армированного в двух направлениях упругого материала Текст.: // Механика полимеров. 1966. №3. - С. 372-379.

2. Аболиньш, Д.С. Тензор податливости однонаправленного армированного упругого материала Текст.: // Механика полимеров. 1965. №4. - С. 52-59.

3. Аношкин, А.Н. Поля микронапряжений и механические свойства разупорядочен-ных волокнистых композитов Текст. / А.Н. Аношкин, Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов // Механика композитных материалов. Рига: Изд-во "Зинатне", 1990. - №.5. - С. 860865.

4. Араманович, И.Г. Уравнения математической физики (2-е изд.) Текст.: монография / И.Г. Араманович, В.И. Левин, М.: Наука, 1969.

5. Арзамасов, Б.Н. Конструкционные материалы. Справочник. Текст. / М.: Машиностроение, 1990.-688 с.

6. Бахвалов, Н.С. Осреднённые характеристики тел с периодической структурой Текст. / Н.С. Бахвалов // ДАН. 1974. - №. 3. - С. 1046-1048.

7. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами. Текст.: / Н.С. Бахвалов // ДАН. -1975.-№3,-С. 516-519.

8. Бахвалов, Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами Текст. / Н.С. Бахвалов // Проблемы мат. физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977. С. 34—51.

9. Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математически задачи механики композиционных материалов Текст.: монография / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. М.: Наука. 1984. - 352 с.

10. Белов, Д.А. Метод "локальных гетерогенизаций" для восстановления микронапряжений в композитах Текст. / Д.А. Белов, А.И. Боровков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. - №6. - С. 44-50.

11. Белов, Д.А. Новый метод восстановления микронапряжений в гомогенизированных композитах Текст. / Д.А. Белов, А.И. Боровков, В.А. Пальмов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2008. - №6. - С.50-57.

12. Берлин, Ал. Ал. Природные и искусственные конструкционные материалы Текст. / Берлин Ал. Ал. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 2. Химия. 2005. - Вып. 3 т. 46. - С. 131-139

13. Бидерман, B.JI. Упругость и прочность анизотропных стеклопластиков Текст.: // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1965. - Вып. 11. - С. 3-30.

14. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций Текст.: монография / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков М.: Машиностроение, 1980. - 376 с.

15. Болотин, В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов Текст. / В.В. Болотин // сб. науч. работ. М.: Машиностроение, 1966. -Вып. 12.-С. 3-31.

16. Боровков, А.И. Базовые решения и регулярные разложения в механике периодических композитов Текст. / А.И. Боровков, В.А. Пальмов // Труды СПбГТУ. Вычислительная математика и механика. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2006. - Вып. 498. - С. 73-97.

17. Боровков, А.И. Материалы VIII Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школ "Фундаментальные исследования в технических университетах" Текст.: / А.И. Боровков, Д.В. Климшин, Д.В. Шевченко СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. -С.185-186.

18. Боровков, А.И. Шесть фундаментальных задач в механике упругих композитов и гомогенизация Текст. / А.И. Боровков, В.А. Пальмов // Труды СПбГПУ. Вычислительная математика и механика. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008. - Вып. 4 (63). - С. 27-37.

19. Боровков, А.И. Эффективные физико-механические свойства волокнистых композитов Текст.:монография-М.: Изд-во ВИНИТИ, 1985. 113 с.

20. Ванин, Г.А. Микро-механика композиционных материалов Текст.: монография. -Киев: Наука думка, 1985.

21. Ван Фо Фы, Г.А. Композиционные материалы волокнистого строения Текст.: монография. Киев: Наукова думка, 1970.

22. Ван Фо Фы, Г.А. Конструкции из армированных пластмасс Текст.: монография. -Киев: Техника, 1971.

23. Ван Фо Фы, Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями. Текст.: монография. Киев: Наукова думка, 1971.

24. Ван Фо Фы, Г.А. Упругие постоянные и тепловое расширение некоторых тел с неоднородной регулярной структурой Текст.: монография. -М.: Изд-во ДАН, 1966.

25. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст.: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. М.: Высшее образов., 2006. - 479 с.

26. Григолюк, Э.И. Периодические кусочно-однородные упругие структуры Текст.: монография / Э.И. Григолюк, JI.A. Филыптинский, М.: Наука, 1992.

27. Григолюк, Э.И. Перфорированные пластины и оболочки Текст.: монография / Э.И. Григолюк, JI.A. Филыптинский, М.: Наука, 1970.

28. Достижения в области композициооных материалов Текст. / Пер. с англ.: под ред. Дж. Пиатти. М. Металлургия, 1982. - 304 с.

29. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. Текст.: монография / О. Зенкевич, К. Морган М.: Мир, 1986.

30. Кербер, M.JI. Композиционные материалы. / M.JI. Кербер // Химия 1999. -(http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/770.html).

31. Колпашников, А.И. Деформирование композиционных материалов Текст.: монография / А.И. Колпашников, Б.А. Арефьев, В.Ф. Мануйлов. М.: Металлургия, 1982. -248 с.

32. Композиционные материалы Текст.: в 8-ми т. / под ред. Р. Крока и Л. Браутмана. -М.: Машиностроение, 1978-1979, т. 1

33. Ковалева, A.B. Композиционные материалы в технике и исследование возможностей получения изделий из разнородных материалов в литейном деле Текст.: учеб.пособие для вузов / А. В. Ковалева, А. А. Черный Пенза: Изд-во Пензенского гос. ун-та, 2008. - 161 с.

34. Композиционные материалы: справочник. / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.// под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского М.: Машиностроение, 1990.-512 с.

35. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов Текст.: монография. М.: Мир, 1982. 336 с.

36. Кркбер, М.Л. Полимерные композиционные материалы Текст.: монография / M.JI. Кркбер, Г.С. Головкин, Ю.А. Горбаткина (под ред. А.А. Берлина) М.: Изд-во "Профессия", 2008. - 560 с.

37. Лапин, А.А. Плоская деформация резинокордовой ткани Текст. // Сб. Расчет на прочность в машиностроении. МВТУ 46. - М.: Машгиз, 1955.

38. Левин, В.М. К определению эффек. упругих модулей композитных материалов

39. Текст. // "Исследования по упругости и пластичности" (Качанов Л.М. ред), вып. 6, Л.: Изд-во ЛГУ, 1967, - С. 58-71

40. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела Текст.: монография. М.: Наука, 1977.

41. Ломакин, В.А. Статистические задачи механики твёрдых деформируемых тел

42. Текст.: монография. М.: Наука, 1970

43. Лурье, А.И. Теория упругости Текст.: монография М.: Наука, 1970. - 940 с.

44. Механика композиционных материалов Текст.: т.2 / Под ред. Сендецки / Пер. с англ. под ред. А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри. М.: Мир, 1978. 566 с.

45. Механика композиционных материалов и элементов конструкций. Т. 1. Механика материалов Текст.: в 5 т. / Под общ. ред. Л.П. Хорошуна. Киев: Наукова Думка, 1982. -Т.1.

46. Орлов, А.И. Прикладная статистика Текст.: учеб. пособие для вузов / А.И. Орлов -М.: Изд-во Экзамен, 2006. 672 с.

47. Победря, Б.Е. Механика композиционных материалов Текст.: монография. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

48. Рабинович, А.Л. Об уравнениях связи при плоском напряженном состоянии некоторых армированных полимеров Текст. / А.Л. Рабинович // Труды МФТИ Москва: Оборонгиз, 1962-вып. 9.

49. Розин, Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем Текст.: монография Л.: Изд-во ЛГУ, 1978 г.

50. Сендецки, Дж. Упругие свойства композитов Текст. / Дж. Сендецки // Механика композиционных материалов. Т.2. / Ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. - С. 61-101.

51. Сигерлинд, Л. Применение метода конечных элементов Текст.: монография М.: Мир, 1979.-392 с.

52. Сидоренко, Ю.Н. Материаловедение. Конструкционные и функциональные волокнистые композиционные материалы Текст.: учеб. пособие для вузов / Ю.Н. Сидоренко. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. - 107 с.

53. Скудра, А.М. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков

54. Текст.: монография / A.M. Скудра, Ф.Я. Булаве, К.А. Роценс Рига: Зинатне, 1971.

55. Скудра, A.M. Структурная теория армированных пластиков Текст.: монография/ A.M. Скудра, Ф.Я. Булаве, Рига: Зинатне, 1978.

56. Современные композиционные материалы Текст. / Пер. с англ.: под ред. JI. Браут-мана, Р. Крока. М.: Мир, 1970. - 672 с.

57. Соколкин, Ю.В. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел Текст.: монография / Ю.В. Соколкин, А.А. Ташкинов М.: Наука, 1984,- 116 с.

58. Хорошун, Л.П. К теории изотропного деформирования упругих тел со случайными неоднородностями Текст. / Л.П. Хорошун // Прикладная механика, 3, 1967 вып. 9, 12

59. Хорошун, Л.П. Текст. / в "Концентрация напряжений" (Савин Г.Н., ред) вып. 2, Киев, Наукова думка, 1968, С. 232.

60. Хорошун, Л.П. О методе определения упругих модулей армированных тел Текст. /Л.П. Хорошун//Мех. полимеров, 1,78 1968

61. Шермергор, Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред Текст.: монография. -М.: Наука, 1977

62. ANSYS theory reference. Eleventh edition. SAS IP, Inc. 2001.

63. Adams, D.F., Tsai, S.W. The influence of random filament packing on the elastic properties of composite materials Текст.: The RAND Corp. Memorandum RM-5608-PR,1968.

64. Beran, M. Statistical continuum theories Текст.: New York, Wiley (Interscience), 1968

65. Borovkov, A.I. Computational Micromechanics of compositcs. Finite Element Homog-enization Methods Текст. / A.I. Borovkov, A.E. Klich // Appl. Math. Mech. (ZAMM). V.78. Suppl. 1.- 1998.-p.295-296.

66. Borovkov, A.I. Finite Element Macro- and Micromechanics of the Complex Composite Structures Текст. // 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conf. Stockholm. Sweden. 1997.

67. Borovkov A.I., Palmov V.A. Locality Principle in Mechanics of Composite Structures

68. Текст. / A.I. Borovkov, V.A. Palmov // Preprints 3rd Int. Workshop "Nondestructive Testing and Computer Simulations in Scicnce and Engineering" (NDTCS'99). St.Petersburg. Russia. 1999. H6-H7.

69. Daniel, I.M. Engineering mechanics of composite materials Текст.: монография / I.M. Daniel, O. Ishai Oxford University Press, Inc., 1994.

70. Fish, J. Multiscale analysis of composite materials and structures Текст. / J. Fish, K. Shek // Composites Science and Technology, 2000 № 60. - p. 2547-2556

71. Hashin, Z. Failure criteria for unidirectional composites Текст. // J. Appl. Mech. -1980. Vol.47. p. 329-334.

72. Hashin, Z. The elastic moduli of heterogeneous materials Текст. / Z. Hashin // ASME Journal of Applied Mechanics. Mar. 1962. - p. 143-150.

73. Hashin, Z. Theory of mechanical behavior of heterogeneous media Текст. / Z. Hashin //Applied Mechanics Reviews. 1964. - № 17. - p. 1-9.

74. Hashin, Z., Rosen, W. The Elastic Moduli of Fiber Reinforced Materials Текст. / Z. Hashin, W. Rosen //J. Appl. Mech. 1964. - V. 31. - p. 223-232.

75. Hashin Z., Shtrikman, S. On Some Variational Principles in Anisotropic and Nonho-mogeneous Elasticity // J. Mech. Phys. Solids 1962. N. 4. p. 335-342

76. Hill, R. Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles Текст. / R. Hill // Journal of Physics of Solids. 1963. - № 11. - p. 357-372.

77. Hill, R. Theory of mechanical properties of fiber-strengthened materials. 1. Elastic behavior//J. Mech. and Phys. Solids 1964. - V. 12.-p. 199.

78. Kaminski, В. Effects of Specimen Geometry on the Strength of Composite Materials II

79. ASTM, Philadelphia, 1973. ASTM STP 521. p. 181-191

80. Kroner, E. Elastic Moduli of Perfectly Disordered Composite Materials Текст.: J. Mech. Phys. Solids, 15, 319, 1967

81. Law, G. Fracture Analysis of (±25=90n)s Graphite-Epoxy Composite Laminates. // PhDthesis, Drexel University, 1981.

82. Metropolis, N. The Monte-Carlo Method Текст. / N. Metropolis, S. Ulam // J. Amer. statistical assoc., 1949. №247. - p. 335-341.

83. Raghavan, P. Revisiting the composite laminate problem with an adaptive multi-level computational model Текст. / P. Raghavan, S. Moorthy, S. Ghosh, N. Pagano // Composites Science and Technology., 2001 № 61. - p. 1017-1040.

84. Sendeckyj, G.P. // J. Compos. Mater., 4, 500, 1970.

85. Sigerlind L.-J. Applied Finite Element Analysis Текст.: монография. John Wiley and Sons, Inc., 1976

86. Stevenson, J.F. Discrete-element microstress analysis of unidirectional composites

87. Текст.: Ph. D. Diss., Case Western Reserve Univ. 1970

88. Sun, C. Prediction of composites from a representative volume element Текст. / С. Sun, Y. Vaidya // Composites Science and Technology. 1996. - № 56. - p. 171-179.

89. Sutherland, L. Size and scale effects in composites: Ii. Unidirectional laminates Текст. / L. Sutherland, R. Shenoi, S. Lewis // Composites Science and Technology, 1999. №59. -p.221-233.

90. Taliercio, A Uniaxial strength of polymeric-matrix fibrous composites predicted through a homogenization approach Текст. / A. Taliercio, P. Sagramoso // Int. J. Solids Structures. 1995. - Vol. 32, No. 14. - p. 2095 - 2123.

91. Tsai, S.W. A general theory of strength for anisotropic materials Текст. / S.W. Tsai, E.M. Wu//J. Compos. Mater. -1971. Vol.5. p. 58-80.