Применение квазипотенциального подхода для описания формфакторов распадов и структурных функций адронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Санадзе, Владимир Владимирович

• Санадзе, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Санадзе, Владимир Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ШВА I. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПАДЫ

ДВУХЧАСТИЧНЫХ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ.

§ I. Квазипотенциальный метод Логунова-Тавхелидзе в квантовой теории поля.

§ 2. Шпурионнай' диаграммная техника в гамильтоновой-формулировки квантовой теории поля.

§ 3. Релятивистское двухчастичное уравнение для спинорных частиц

§ 4. Релятивистское двухчастичное уравнение для частиц со спином 0,1/2 или 1,1/

§ 5. Распады двухчастичных связанных состояний с нулевым полным спином на лептоны и гамма-кванты

ГЛАВА П. ОПИСАНИЕ ГЛУБОКОНЕУПРУГИХ ЛЕПТОН-АДРОННЫХ

ПРОЦЕССОВ.

§ I. Структурные функции псевдоскалярных мезонов, составленных из скалярных и спинорных партонов

§ 2. Структурные функвди нуклона как связанного состояния кварка и дикварка

§ 3. Анализ масштабных свойств структурных функций.

§ 4. Описание экспериментальных данных

ШВА Ш. ОПИСАНИЕ МОМЕНТОВ ОТ СТРУКОТНЫХ ФУНКЦИЙ ШУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ В КХД И

КВАЗИПОТЕНВДМЬНОМ ПОДХОДЕ.

§ I. Анализ данных по моментам структурной функции и извлечение значения масштабного параметра КХД

§ 2. Операторное разложение Вильсона и учет эффектов связности при вычислении моментов структурных функций составных систем

§ 3. Описания экспериментальных данных по нуклон-ным моментам с использованием моментов

9Г -мезона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение квазипотенциального подхода для описания формфакторов распадов и структурных функций адронов»

Структура адронов описывается с помощью таких величин как упругие и неупругие формфакторы и формфакторы распадов. Эти ве-личшш являются предметом интенсивного экспериментального и теоретического исследования.

Современная теория элементарных частиц строится на основе методов, разработанных в квантовой теории поля Основные характерные особенности поведения упругих и структурных функций на качественном уровне могут быть достаточно хорошо объяснены на основе понятия скейлинга ^ или принципа авто/4/ моделью сти ' '.

Формулировка квантовой теории поля, содержащая среди основных положений требование автомодельности была предложена в работах Н.Н. Боголюбова, B.C. Владимирова и А.Н. Тавхелидзе /5,6/

•

Структурные свойства адронов, наблюдаемые в экспериментах при высоких энергиях в первом приближении хорошо описываются партонной модель/7%^ ней структурные функции зависят лишь от одной скейлинговой переменной • Квантовую хромодинамику /10»Н/ (КХД) можно рассматривать как дальнейшее развитие наивной партонной модели. КХД в принципе позволяет учитывать эффекты отклонения от скейлинга, которые наблюдаются на эксперименте.

Расчеты, основанные на теории возмущений КХД, позволяют определить лишь Qt эволюцию структурных функций F(x,Q2), если известна х - зависимость структурной функции F(ocy Q*) в какой-либо точке отсчета Q0=flLx . Выбор вида функции ИхЛ'о) эквивалентен заданию граничного условия. При этом сама функция F(x,Q0) не может быть рассчитана в рамках теории возмущений КХД. Нахождение явной X - зависимости структурных функций адронов в точке ftf требует знания волновых функций составных систем.

Волновые функции составной системы можно определить путем использования динамических уравнений квантовой теории поля. Например, в работах Н.Н. Боголюбова, А.Н. Тавхелидзе и сотрудников /12-15/ волновые функции связанных состояний искались как решения уравнения Дирака ^^ в поле эффективного самосогласованного потенциала системы. Этим способом удалось объяснить ряд характерных особенностей в электромагнитных и слабых взаимодействиях адронов. Развивался также и другой подход, основанный на двухчастичном уравнении Бете-Солпитера ^^. Наряду с этим уравнением в настоящее время для нахождения волновых функций широко используется релятивистское двухчастичное уравнение Логунова-Тавхелидзе П0дх0д свободен от таких недостатков уравнения Бете-Солпитера, как зависимость от относительного времени двух частиц (которое не имеет аналога в нерелятивистской квантовой механике), а также неясностей с вероятностной интерпретацией волновой функции.

Для описания составных систем в подходе Логунова-Тавхелидзе используются ковариантные уравнения для волновой функции и квазипотенциала. Последний строится из матричных элементов релятивистской амплитуды рассеяния или ядра уравнения Бете-Солпи-тера /18"25/.

Одновременная волновая функция связанной системы получается из бете-сопитеровской путем ковариантного исключения зависимости от переменной относительного времени. Уравнение для такой волновой функции имеет трехмерную форму

Квазипотенциальный подход позволяет развить аппарат, который с одной стороны является близким по форме к формализму нерелятивистской квантовой механики, а с другой стороны основывается на методах квантовой теории поля. Он успешно применялся для вычисления релятивистских поправок к уровням энергии связанных систем. С его помощью была рассчитана величина сверхтонкого расщепления основных уровней позитрония и водородоподоб-ных атомов, а также вычислялись релятивистские поправки к уровням энергии этих систем вплоть до df О/ с учетом которых было получено прекрасное согласие с экспериментом /26-30/^

Применение одновременных волновых функций и понятия гладкого квазипотенвдала /31-34/ П03В0ЛИЛ0 достигнуть существенного прогресса в описании высокоэнергетического рассеяния адронов. Этим методом были успешно описаны процессы рассеяния адронов при высоких энергиях /35-38/^ g работах /39-40/ бьш продемонстрирована возможность учета обменных сил в случае рассеяния тождественных частиц. На основе принципа автомодельности /4/ в работах /41-42/ ^ введен квазипотенвдал специального вида, с помощью которого были описаны сечения упругого рассеяния адронов на большие углы при асимптотически высоких энергиях.

Другой интересной областью применения одновременных квазипотенциальных волновых функций является изучение с их помощью релятивистских форг,факторов составных систем. Так, в работе /43/ квазипотенциальный подход Логунова-Тавхелидзе был применен для описания упругих формфакторов мезонов в переменных светового фронта соответствующее квазипотенциальное уравнение в этих переменных в бесспиновом случае было получено в той же работе /43/. Обобщение на сшшорные частицы потребовало дальнейшего развития аппарата квантовой теории поля на нуль-плоскости7^ Задача практического применения одновременного формализма стимулирована развитие ряда методов, позволяющих точно или приближенно решать квазипотенциальные уравнения для различных взаимодействий. Так, в серии работ /46-48/ исслед0вал0сь уравнение Логунова-Тавхелидзе и его некоторые модификации для квазипотенциалов, обладающих в координатном представлении сингуляр-, -2 ностью типа у . Весьма эффективным способом решения этого уравнения оказался предложенный в работах /49-51/ метод эталонного уравнения. Исследование других классов квазипотенциалов, как гладких, так и с сингулярностью, потребовало развития методов решений квазипотенциальных уравнений в импульсном пространстве, дяя амплитуды рассеяния /35,36/ и ^^ Б0ЛН0ВЫХ функ-вдй /52"55/.

В настоящее время известно несколько способов вывода трехмерных уравнений квазипотенциального типа. Например, в работе /56,57/ -дда этоц цели использовалось условие типа Маркова-Юкавы. Дяя вьшода уравнений квазипотенциального типа были также

Зойгенса' /58-62/ использованы принцип Бойгенса/25/ и гамильтонова формулировка квантовой теории поля

Отличие такой формулировки от стандартной фейнмановской состоит в том, что в гамильтоновой формулировке возникает характерная шпурионная диаграммная техника /58-59/^ -g нео пульсы всех частиц, в том числе и виртуальных, лежат на тс

S 2 совой поверхности р -пь . при этом, как и в нерелятивистской квантовой механике, описание ведется вне энергетической поверхности. Это отражается в том, что через каждую вершину проходит дополнительная линия квазичастиц-шпурионов, отвечающих выходу за энергетическую поверхность.

Анализ свойств квазипотенвдальных уравнений, связанных с группой Лоренца, которая в свою очередь является группой движения трехмерного импульсного пространства Лобачевского > реализованного на массовой поверхности » позволил дать формулировку квазипотенциальных уравнений в релятивистском конфигурационном представлении /63.64/^

В настоящей диссертационной работе релятивистские квазипотенциальные уравнения применяются для изучения структурных свойств составных кварковых систем.

Среди физических процессов, в которых наиболее ярко проявляются структурные свойства адронов, важное место занимают процессы их распадов. Теоретическому описанию распадов в рамках кварковой модели посвящено большое число работ. Основные закономерности распадов псевдоскалярных и векторных мезонов в рамках кварковой модели были впервые объяснены в работе /65/^ в ней константы распадов были выражены в статическом пределе через значения волновой функции мезона в начале координат. Фактически этот же метод статического предела использовался и в более поздних работах на ту же тему /66,67/^ отход от статического предела при описании распадов составных объектов, как показано в работах Тр6бует знания волновой функции во всей области изменения ее аргумента (относительной координаты или относительного импульса).

Как уже отмечалось ранее, весьма эффективным методом нахождения волновых функций являются релятивистские трехмерные квазипотенциальные уравнения >24,61/^

Удобным аппаратом с точки зрения единообразия как рецепта построения квазипотенциалов взаимодействия, так и вывода двухчастичного уравнения является шпурионная диаграммная техника.

Действительно, в ней трехмерность матричных элементов амплитуд взаимодействия, используемых в качестве квазипотенвдалов, обеспечивается принадлежностью импульсов всех частиц массовой поверхности. Этот же факт обуславливает и трехмерную форму релятивистского двухчастичного уравнения. Как было показано в в работах /25,70,71/ в спинорных частиц уравнения для ности между моментами и функциями Cl,h (f) являются матричные элементы локальных операторов вида <РЮ"(0) IP} , где есть вектор состояния мишени (нуклона). Эти матричные элементы как отмечалось, например в не могут быть рассчитаны в рамках теории возмущений, поскольку нуклоны представляют собой составные объекты. Поэтогду, обычно адронные состояния /Р> заменяют на кварковые и глюонные, или на их синглетные и не-синглетные комбинации. Вообще говоря, такая замена связанных состояний кварков и глюонов на состояния со свободными кварками и глюонами приводит к потере информации в Q - зависимость структурных функций относительного движения кварков внутри адрона , обусловленного их связанностью.

Ожидается, что учет эффектов связности должен приводить к появлению дополнительных степенных по (1/Q2) поправок к логарифмической Q2- зависимости, характерной для асимптотик. Отметим, что аналогичные степенные поправки возникают и при учете вкладов высших твистов. Расчет вкладов членов вильсонов-ского разложения, отвечающих высшим твистам, представляет собой весьма сложную проблему в КХД.

Для последовательного учета вкладов эффектов связанности кварков внутри адрона в структурную функцию необходимо знание волновых функций, относительного движения кварков. В настоящей диссертационной работе для этой цели применяются квазипотенциальные волновые функции. Общий метод описания глубоконеупру-шх процессов в рамках квазипотенциального подхода был предложен в ft^f и развит далее в работах /38,78-86/^

Получению явных выражений для структурных функций -мезона и нуклона через квазипотенциальные волновые функции посвящена вторая глава диссертации. При этом 7Г-мезон считается волновой функции в этом подходе совпадает по форме с одновременным уравнением Логунова-Тавхелидзе.

В связи с этим в первой главе диссертации устанавливается связь основанного на шпурионной диаграммной технике способа получения квазипотенциального уравнения с методом Логунова-Тавхелидзе. Там же демонстрируется вывод квазипотенциального уравнения для волновых функций псевдоскалярных мезонов на основе шпурионной диаграммной технике. Этим же методом получены формулы, выражающие константы распадов этих мезонов на два J - кванта и JM^ - пару через релятивистские квазипотенциальные волновые функции. Далее показано, что развитый в этой главе аппарат, может быть применен и для описания распадов чисто электромагнитных систем типа парапозитрония и получены соответствующие формулы.

В настоящее время почти на всех крупных ускорителях мира осуществляются опыты по глубоконеупругому лептон-адронному рассеянию. Такое внимание к этим процессам обусловлено тем, что они наиболее удобны для изучения кварковой структуры нуклонов, а также проверки предсказаний КХД. Одним из наиболее развитых методов извлечения таких предсказаний в рамках теории возмущений КХД является операторное разложение /?2»73/в следование разложения Вильсона для двух локальных операторов дало возможность получить в КХД формулы для моментов от структурных функций нуклона. Эти моменты пропорциональны возникающим в разложении Вильсона коэффициентным функциям имi (f) , которые являются решениями ренормгрупповых уравнений. В рамках теории возмущений показано, что функции С-Чп(цг) в ограничении членами с твистом, равным двум, убывают с ростом Q2 по логарифмическому закону /74»75/ ^ Коэффициентами пропорциональсвязанным состоянием кварка и антикварка. Рассмотрение нуклона как связанного состояния трех кварков приводит к задаче нахождения релятивистских волновых функций для трехчастичных систем. Трехчастичные уравнения в квазипотенциальном подходе были выведены и исследовались в работах Решение таких уравнений сопряжено с серьезным! трудностями. Однако эти трудности можно обойти, если использовать дикварковую модель /87—91/ которая получила широкое распространение в последнее время в связи с изучением адрон-адронных и лептон адронных взаимодействий в области умеренных предасимптотических значений переданного импульса. Согласно дикварковой модели нуклон можно рассматривать как связанное состояние кварка и дикварка. Мы воспользуемся этой моделью при изучении структурных функций нуклона. Для этой цели в 1-ой главе диссертации в рамках шпурион-ной диаграммной техники будет выведено квазипотенциальное уравнение для связанного состояния кварка со спином 1/2 и массой т^ , и дикварка, обладающего спином 0 или I и массой т2 . Далее во второй главе через решения этих уравнений будут получены явные выражения для структурных функций нуклона.

Информацию о характере нарушения скейлинга в глубоконе-•упругих лептон-адронных процессах можно извлекать как с помощью структурных функций, так и с помощью их моментов. Для структурных функций в КХД выведено эволюционное уравнение /92-94/^ ко торое имеет интегро-дифференциальную форцу. Однако, как уже отмечалось, например в /95/^ наХ0Ждение решений этих уравнений осложняется в связи с незнанием граничных условий. Последние могли бы быть рассчитаны, если бы были известны волновые функции кварков внутри адронов.

Для моментов нуклонных структурных функций в рамках КХД в работах /96-99/ были пол'учены явные выражения с учетом двух-петлевых вкладов по теории возмущений КХД. Это делает актуальной задачу проверки предсказаний КХД по имеющимся экспериментальным данным, что особенно интересно в связи с обработкой данных совместного ОИЯИ-ЦЕРН мюонного эксперимента на установке Ж//-4. Такая обработка по формулам теории возмущений была проведена наш совместно с участниками этой коллаборации, а ее результаты представлены в § I третьей главы. В последнее время в связи с появлением экспериментальных данных относительно структурных функций, измеренных на разных мишениях обсуждением (ЕМС-эффекта) приобрела особую актуальность проблема учета ядерных эффектов в глубоконеупругих процессах.

Для решения этой задачи, как показано в § 2 третьей главы диссертации, вновь может быть применен одновременный квазипотенциальный формализм. С его помощью на основе вильсоновского разложения получены общие формулы устанавливающие связь между моментами составных и составляющих частиц. В частности, эти формулы мозут быть применены для 'учета вкладов эффектов связанности, например, нуклонов внутри ядра или кварков внутри нуклона.

Диссертацияонная работа состоит из введения, трех глав основного содержания и заключения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Санадзе, Владимир Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

I. Выведено ковариантное квазипотенциальное уравнение, описывающее в рамках гамильтоновой формулировки квантовой теории поля, связанное состояние кварка и дикварка со спином 0 или I. На основе шпурионной диаграммной техники получены выражения для квазипотенциалов однофотонного и одноглюонного взаимодействия в связанных системах. Для квазипотенциальных уравнений, отвечающих этим потенциалам найдены приближенные решения, являющиеся волновыми функциями двух частиц.

2. Найдены формулы, выражающие ширины распадов 7Г-мезона и парапозитрония на два ^ - кванта, через ковариантные квазипотенциальные волновые функции. Аналогичные выражения найдены и для слабого распада

3. Выведены формулы, выражающие структурные функции псевдоскалярных мезонов, а также связанного состояния кварка со спином 1/2 и дикварка со спином 0 или I, через ковариантные волновые функции. Изучены масштабные свойства структурных функвдй. Показано, что $ - эволюция управляется видом волновой функции связанной системы. Получено хорошее согласие найденных выражений для структурных функций с экспериментальными данными.

4. Проведена обработка данных коллаборации ВСД>МЗ эксперимент NA -4) по моментам структурных функций с использованием формул пертурбативной хромодинамики, включающих вторые поправки по константе связи «^(fi2) КХД. Извлечено численное значение масштабного параметра КХД А . Изучено влияние возможных глюонных распределений внутри кулона на величину А

5. На основе операторного разложения Вильсона и с использованием квазипотенвдального подхода выведена формула, связывающая между собой моменты от структурной функции связанной системы с моментами входящих в нее подсистем. Коэффициенты связи выражены через ковариантные квазипотенциальные волновые функции относительного движения подсистемы внутри составного объекта.

6. Проведен расчет моментов структурных функций нуклонов с помощью формулы, выражающей их через моменты структурных функций ^-мезона. Последние вычисляются на основе полученных в диссертации формул через решения ковариантного квазипотенциального уравнения с ядром взаимодействия, выбранным в виде амплитуды одноглюонного обмена.

В заключении мне приятно выразить свою искреннюю признательность тещ научному руководителю Н.Б. Скачкову за научное руководство и многочисленные обсуждения.

Я глубоко благодарен А.Н. Тавхелидзе за подцержку и постоянное внимание к работе.

Я искренне благодарен коллективу Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, особенно В.А. Мещерякову и В.Г. Кадышевсксоду, за предоставление условий для выполнения данной работы, внимание и поддержку.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить руководство Тбилисского государственного университета и физического факультета Т1У за внимание к моей работе и поддержку.

Выражаю свою признательность А.Д. Линкевичу, И.А. Савину, В.И. Саврину и Н.Г. Фадееву за плодотворное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Санадзе, Владимир Владимирович, 1984 год

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей, "Наука", М., 1973.

2. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, "Наука", М., 1969.3* Bjorken J.D. Phys. Rev., 1969, v.179, p.1547. 4* Matveev V.A., Muradyan Н.Ы., Tavkhelidze A.N.1.tt Nuovo Cim., 1973, v. 7, p. -'719.

3. Боголюбов H.H., Владимиров B.C., Тавхелидзе A.H. ТМФ,1972, т. 12, с. 3.

4. Боголюбов Н.Н., Владимиров B.C., Тавхелидзе A.H. ТМФ, 1972, т. 12, с. 305.

5. Боголюбов Н.Н., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н. Дубна,1965 (Препринт/ОИШ Д-1968).

6. Боголюбов Н.Н., Нгуен Ван Хъеу, Стоянов Д., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н., Шелест В.П., Дубна, 1965 (Препринт/ОИЯИ Д-2075).

7. Боголюбов Н.Н., Матвеев В.А., Нгуен Ван Хъеу, Стоянов Д., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н., Шелест В.П. Дубна, 1965 (Препринт/ОИЯИ P-2I4I).

8. Tavkhelidze A.N. In: JiHigh energy andElementary Partieles"1. Vienna, 1965, p. 753.

9. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики, "Физматгиз", М., I960.

10. Salpeter Е., Bethe Н. Phys. Rev., 1951, v. 54, p. 1232.

11. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Nuovo Cim., 1963, v. 29, p. 380.

12. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N., Khrustalev O.A. Phys. Lett., 1963, v. 4, p. 325.

13. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N., Todorov I.Т., Khrustalev O.A. Nuovo Cim., 1963, v. 30, p. 134.

14. Арбузов Б.A., Логунов A.A., Тавхелидзе A.H., Фаустов P.H. Филиппов А.Т. ЖЭТФ, 1963, т. 44, с. 1409.

15. Тавхелидзе A.H. В сб.:"Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ", Дубна, 1964, т. 2. с. 66.

16. Tavkhelidze A.N. Lecturs on Quasipotential Method in

17. Field Theory, Bombay, Tata Inst of Fundamental Research, 1964.

18. Кадышевский В.Г., Тавхелидзе A.H. В кн.: "Проблемы теоретической физики" (сборник, посвященный 60-летию

19. Н.Н. Боголюбова), "Наука", М., 1969, с. 261.

20. Логунов А.А., Саврин В.И., Тюрин Н.Е., Хрусталев О.А. ТМФ, 1971, т. 6, с. 157.

21. Фаустов Р.Н. Докл. АН СССР, 1964, т. 154, с. 1329.

22. Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Дубна, 1966 (Препринт/ОШИ Р2-2949).

23. Фаустов Р.Н. ЭЧАЯ, 1972, т. 3, с. 238.

24. Тюхтяев Ю.Н. ТМФ, 1978, т. 36, с. 264.

25. Левченко Н.А., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. ЯФ, 1980,т. 32, с. 1656.3I« Blokhintsev D.I. Nucl. Phys., 1962, v. 32, p. 628. Alliluev S.P., Gershtain S.S., Logunov A. A.

26. Phys. Lett., 1965, v.18,p.195.

27. Логунов A.A., Хрусталев O.A. ЭЧАЯ, 1970, т. I, c. 71.

28. Barhashov B.M., Kuleshov S.P., Matveev V.A., Sissaklan A.N.,

29. Tavkhelidze A.N. Phys. Lett., 1970, 33B, No 6, p.419-421.

30. Гарсеванишвили В.P., Матвеев В.A., Слепченко Л.A. ЭЧАЯ, 1970, т. I, с. 91.

31. Garsevanishvili V.R., Matveev V.A., Slepchenko L.A., Tavkhelidze A.N. Phys. Rev., 1971, DI, p. 849.37* Dzhgarkava M.I. et al., Duhna, 1977 (Preprint/JINR Е2-Ю971).

32. Квинихидзе A.H., Сисакян А.П., Слепченко I.A., Тавхелидзе A.H. ЭЧАЯ, 1977, т. 8, с. 478.

33. Гарсеванишвили В.Р., Голоскоков С.В., Матвеев В.А., Слепченко Л.А. ЯФ, 1969, т. 10, с.-627.

34. Архипов А.А., Саврин В.И., Тюрин Н.Е. ЯФ, 1971, т. 14, с. 1066.

35. Голоскоков С.В., Кулешов С.П., Матвеев В.А., Смондырев М.А. ЭЧАЯ, 1977, т. 8, с. 969.

36. Голоскоков С.В., Кулешов С.П., Матвеев В.А.,

37. Смондырев М.А., Тепляков В.Г. Дубна, 1976 (Сообщение/ОИЯИ, P2-I0I42).

38. Гарсеванишвили В.Р., Квинихидзе А.Н., Матвеев В.А., Тавхелидзе А.Н., Фаустов Р.Н. ТМФ, 1975, т. 23, с. 310.

39. Dirac P.A.M., Rev. Mod. Phys., 1949, v.21, p. 392.

40. Хелашвили А.А. Дубна, 1975 (Сообщение/ОИЯИ, P2-8750).

41. Arbusov B.A., Filippov A.T. Phys. Lett., 1964, v.I3, p. 95.

42. Гогохия В.Ш., Филиппов А.Т. ТМФ, 1976, т. 27, с. 323.

43. Гогохия В.Ш., Мавло Д.П., Филиппов А.Т. Дубна, 1976 (Препринт/ОИЯИ Р2-9893, Р2-9894).

44. Гогохия В.Ш., Мавло Д.П., Филиппов А.Т. ТМФ, 1976, т. 27, с. 323.

45. Гогохия В.Ш. Сообщения АН Гр.ССР, 1979, т. 93, № 3, с.

46. Гогохия В.Ш. Дубна, 1980 (Препринт/ОИЯИ Р2-80-270).

47. Капшай В.Н., Кулешов С.П., Скачков Н.Б. ТМФ, 1983, т. 55, № 3, с. 349.

48. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. ТМФ, 1983, т. 54, Jfc 3, с. 406.

49. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. ТМФ, 1983, т. 55, & I, с. 26.

50. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. ТМФ, 1982, т. 53, № I, с. 32-42.

51. Матвеев В.А., Мурадян P.M., Тавхелидзе А.Н. Дубна, 1968 (Препринт/ОИЯИ Р2-3900).

52. Matreer V.A., Muradyan R.M., Tavkhelidze A.N., Dubna, 1967 (Preprint/JINR E2-3498).

53. Кадашевский В.Г. ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 654.

54. Кадашевский В.Г. ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 872.

55. Кадашевский В.Г. ДАН СССР, 1965, т. 160, с. 573.

56. Kadyshevsky V. G. Nucl. Phys., 1968, у.Вб, p. 125.

57. Kadyshevsky V. G., Mateev M.D. Nuovo Cjmento, 1968, v. 55A, p. 275.

58. Kadyshevsky V.G., Mir-Kasimov R.M., Skaohkov N.B.,

59. Nuovo Cimento, 1968, V.55A, p. 223.

60. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Скачков Н.Б. ЭЧАЯ,1972, т. 2, с. 635.

61. Матвеев В.А., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н. Дубна, 1965 (Препринт/ОИЯИ, Р-2527).

62. Van Royen R., Weisskopf V.F. Nuovo Cim., I967,v£0A, p. 617.

63. Pietchmann H., Thirring v/., Phys. Lett., 1966, v. 21, p. 713.

64. Savrin V.I., Skachkov N.B., Lett. Nuovo Cim., 1980, 29, ;1. No II, p. 363.

65. Bergstrom I. et al., Phys. Lett., 1979, 82B, p. 4-19.

66. Квинихидзе A.H., Стоянов Д.Ц. ТМФ, 1972, т. II, № I, с. 23.

67. Скачков Н.Б. Дубна, 1981 (Препринт/ОИЯИ E2-8I-308,Е2-81-399).

68. Wilson К. Phys. Rev., 1969, v. 179, p. 1499.

69. Christ N., Hasslachev В., Mueller A., Phys. Rev., 1972, D6, p. 3543.

70. Gross D.J., Wiiczek F.A. Phys. Rev., 1973, D8, p. 3633;1974, D9f p. 980.

71. Georgi H., Politzer H.D. Phys. Rev., 1974,v. D9, p. 419.

72. Buras A.J. Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 493.

73. Faustov R.N. Ann. Phys., 1973, v. 78, No I, p. 176. $8. Саврин В.И. ТМФ, 1976, т. 29, № 3, с. 347.

74. Krasnikov N.V., Chetyrkin K.G. Moscow, 1976 (Preprint/IJNR, P-0036).

75. Саврин В.И. ТМФ, 1979, т. 39, № I, с. 48.

76. Savrin V.I., Skachkov N.B. Nuovo Cimento, 1981, 65A, No I, p. I.

77. Kapshay V.N., Linkevich A.D., Savrin V. I., Skachkov N.B. Nuovo Cimento, 1981, 66A, No I, p. 45.

78. Капшай B.H., Линкевич А.Д., Саврин В.И., Скачков Н.Б. ТМФ, 1982, т. 53, В I, с. 20.

79. Капшай В.Н., Линкевич А.Д., Саврин В.И., Скачков Н.Б. ТМФ, 1982, т. 53, № 3, с. 380.

80. Atakishiev N.M., Mir-Kasimov R.M., Nagiev M., Dubna, 1980 (Preprint/JINR, P2-80-635).

81. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Скачков Н.Б. ТМФ, 1982, т. 53, № I, с. 20.

82. Schmidt I.A., Blankenbecler R. Phys. Нет., 1977, DI6, No. 5, p. 1318.

83. Frezer W.R., Gunion J.F. Phys. Rev. Lett., 1980, 45, No. 14, p. I1429.

84. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Скачков Н.Б. ЯФ, 1983, т. 37, № 2, с. 391.

85. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. ЯФ, 1983, т. 37, Ш 4, с. 391.

86. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1982 (Сообщение/ОИЯИ, Р2-82-565).

87. Липатов Л.Н. ЯФ, 1974, т. 20, с. 181.

88. Atarelli G., Parisi G. Nucl. Phys., 1977, v. BI26, p.298.

89. Dokshitzer Tu.L., Dyakonov D.I., Iroyan S.I. Phys. Rep., 1980, v. 58, p. 271.

90. Devoto A., Duke D.W., Owens J.F., Roberts R.G. Phys. Rev., 1983, v. D27, No. 3, p. 508.

91. Floratos E.G., Ross D.A., Sachrajda C.T. Nucl. Phys.,1977, v. BI29, p. 66.

92. FL-oratos E.G., Ross D.A., Sachrajda C.T, Nucl. Phys.,1978, v. BI39, p. 545.

93. Floratos E.G., Ross D.A., Sachrajda C.T. Nucl. Phys.,1979, v. BI52, p. 493.

94. Bardeen W.A., Buras A.J., Duke D.W., Muta T. Phys. Rev., 1978, v. DI8, p. 3998.

95. J. J. Jlu,Uvi et al. P-fi^s. 1983. v: i25 B, p.

96. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1983 (Препринт/ОИЯИ, Р2-83-745).

97. Крючков С.В., Линкевич А.Д., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1984 (Препринт/ОИЯИ, P2-84-I0).

98. Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1983 (Сообщение/ОИЯИ, Р2-83-789).

99. Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1984 (Сообщение/ОИЯИ, Р2-84-40).

100. Линкевич А.Д., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. Дубна, 1983 (Препринт/ОИЯИ, Р2-83-746).1.6* Fadeev N.G., Savrin I. A., Sanadze V.V., Skachkov N. В.

101. Phys. Lett., 1982, v. II7B, N0. 5, p. 349. De Rujula A., Martin F. Phys. Rev., 1980, D22, p. 1787.

102. Sanadze V.V., Savrin V.I., Skachkov N. B, Duhna, 1981.

103. Preprint/JINR, E2-8I-808).

104. Скачков Н.Б., Соловцов И.Л. ТМФ, 1979, т. 41, с. 205.

105. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Релятивистская квантовая теория. "Наука", М., 1971.

106. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Ш., М., 1963.

107. Бьеркен Дж. Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т. I, "Наука", М., 1978.1.3* Newman С.В. et al., Phys. Rev. Letters, 1979, v. 42, p. 951.

108. Bollini et al., Phys. Lett., 1981, г. I04В, p. 4O3.

109. Aurenche P. et al., Nucl. Phys., 1981, v. BI77, p. 189.

110. Frankfurt L.L., Strikmann M.I. Nucl. Phys., 1981, v. BI8I, No. I, p. 22.

111. Nachtman 0. Nucl. Phys., 1973, г. B63, p. 237.

112. Barbieri R. et al., Nucl. Phys., I976,v.BIl7, p. 50.