Свойства легких и тяжелых мезонов в релятивистской модели квазинезависимых кварков с универсальным потенциалом конфайнмента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, доктор физико-математических наук Хрущев, Вячеслав Владимирович

• Хрущев, Вячеслав Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хрущев, Вячеслав Владимирович

Введение

1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ КХД, КЛАССИФИКАЦИЯ СТАНДАРТНЫХ И ЭКЗОТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ АДРОНОВ, СОСТАВНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ.

1.1. Асимптотическая свобода, нарушение киральной инвариантности и конфайнмент цветных частиц.

1.2. Классификация стандартных и экзотических состояний адронов.

1.3. Выбор составной модели, уравнений модели и потенциалов, задающих взаимодействие между составляющими адронов.

2. УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА КОНФАЙНМЕНТА

И ГРУППЫ ОБОБЩЕННЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ ДЛЯ ЦВЕТНЫХ ЧАСТИЦ

2.1. Введение III (1,3) - симметричных обобщенных кварковых полей.

2.2. Группы обобщенных кинематических симметрий для цветных составляющих адронов в квантовом пространстве

2.3. Некоторые свойства представлений групп обобщенных кинематических симметрий.

2.4. Уравнения для кварковых полей, инвариантные относительно групп обобщенных кинематических симметрий

3. ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ КВАЗИНЕЗАВИСИМЫХ КВАРКОВ.

3.1. Основные положения релятивистской модели квазинезависимых кварков

3.2. Выбор потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями.

3.3. Область применения модели, оценка её точности и алгоритм численного решения основного уравнения модели

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ КВАРКОМ И АНТИКВАРКОМ И ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ ПОТЕНЦИАЛА КОНФАЙНМЕНТА.

4.1. Гипотеза независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента и её проверка в потенциальных моделях адронов

4.2. Определение коэффициента наклона линейно растущего потенциала конфайнмента между кварком и антикварком, масс кварков и величины а3 по спектрам масс векторных мезонов.

4.3. Определение величины спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком по спектрам масс векторных и псевдоскалярных мезонов.

5. РАСЧЕТ СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛЕГКИХ И ТЯЖЕЛЫХ МЕЗОНОВ.

5.1. Массовые формулы для орбитальных и радиальных возбуждений легких мезонов.

5.2. Оценка среднеквадратичных радиусов векторных мезонов и ширин их распадов на электрон - позитронную пару.

5.3. Расчет спектров масс радиальных возбуждений векторных и псевдоскалярных мезонов.

5.4. Проблема идентификации экзотических адронов и значения масс основных состояний четырехкварковых мезонов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства легких и тяжелых мезонов в релятивистской модели квазинезависимых кварков с универсальным потенциалом конфайнмента»

В последние годы прогресс в нашем понимании свойств сильновза-имодействующих частиц обусловлен, прежде всего, созданием квантовой хромодинамики (КХД) [1, 2] и полученными в различных экспериментах подтверждениями ряда результатов КХД [3, 4, 5, 6]. Однако, хорошо известно, что существуют нерешенные проблемы как в рамках самой теории, так и при её применении к расчетам характеристик силь-новзаимодействующих частиц и процессов, в которых они участвуют. Согласие между экспериментальными и теоретическими результатами относится, в основном, к области пертурбативной КХД (ПКХД) [7, 8, 9], которая используется для описания процессов, происходящих на малых по сравнению с к~кХд расстояниях между взаимодействующими кварками и глюонами. Несмотря на то, что величина характерного масштаба КХД Акхд связана с выбором точки перенормировки и зависит от схемы перенормировки, тем не менее, А кхд играет основополагающую роль как в самой теории, так и при применении её к конкретным физическим явлениям. Её значение зависит от числа кварков, которые активно участвуют в том или ином процессе, причем значение А кхд отлично от нуля даже в чистой глюодинамике без кварков, определяя масштаб, так называемой, размерной трансмутации [10]. Что же касается непертурбативных КХД явлений, например, таких как формирование нетривиальной структуры вакуума или возникновение конфайнмента частиц, состояния которых не являются инвариантными относительно преобразований из группы 5£/(3)с, где 5£/(3)с - это унитарная группа, действующая в пространстве цветных степеней свободы кварков, то, несмотря на большое время, прошедшее после появления КХД, завершенного описания этих явлений пока не существует [11, 12, 13]. Между тем роль непертурбативных эффектов в физике сильновзаимодействую-щих частиц является принципиальной. Они вносят значительный вклад (для легких адронов этот вклад является определяющим) в формирование связанных из цветных составляющих адронных состояний. Так например, массы нуклонов, а значит и массы всех образованных из нуклонов ядер, определяются, главным образом, взаимодействиями, происходящими между цветными составляющими на больших по сравнению с А~к~Хд расстояниях, то есть в той области, где заведомо не применима

ПКХД. С другой стороны, в экспериментальной физике сильных взаимодействий накоплено значительное количество данных высокой точности [6], относящихся к массам и ширинам распадов адронов, и найдены эмпирические закономерности, которые пока не могут быть подтверждены результатами расчетов, произведенными при использовании только основных принципов КХД.

Таким образом, можно констатировать, что наличие большого объема спектроскопических данных и эмпирических закономерностей для адронов и отсутствие во многих случаях точных результатов их расчетов на основе первых принципов КХД, приводит к необходимости разработки и применения различных феноменологических моделей адронов. Однако, учитывая справедливость принципов теории сильных взаимодействий цветных кварков и глюонов, одним из условий применимости любой модели должно являться отсутствие противоречий между положениями рассматриваемой модели и установленными результатами существующей теории.

Экспериментально подтвержденым результатом теории сильных взаимодействий, т.е. КХД, является асимптотическая свобода, проявляющаяся при взаимодействии цветных частиц на малых расстояниях. С теоретической точки зрения асимптотическая свобода связана с неабелевостью группы калибовочных преобразований и наличием сравнительно небольшого числа реально существующих кварков. Напомним, что КХД основана на лагранжиане, который инвариантен относительно преобразований локальной калибровочной группы ££/(3)с, и построена по аналогии с квантовой электродинамикой (КЭД), лагранжиан которой обладает локальной калибровочной инвариантностью относительно преобразований абелевой группы и(1). Причем переход от группы и( 1) к некоммутативной компактной группе ££/(3)с приводит к возникновению не только асимптотической свободы, но и, вероятно, таких принципиально новых явлений как образование нетривиальной структуры вакуума и конфайнмент цветных зарядов. Асимптотическая свобода связана с логарифмическим уменьшением константы сильных взаимодействий при увеличении величины переданного импульса во время взаимодейстия между кварками, передаваемого цветными глю-онами. Массы кварков также оказываются зависящими от величины переданного импульса. При этом в силу сложных непертурбативных эффектов вакуум КХД перестает быть фоковским пертурбативным вакуумом, становится неустойчивым и в нем появляются нелинейные структуры типа инстантонов, вихрей и т.п., наличие которых, вероятнее всего, приводит к образованию нового непертурбативного вакуумного состояния [14,15,16,17], нетривиальные особенности которого оказывают значительное влияние на свойства адронов.

Уникальным явлением, характерным для непертурбативной КХД (НКХД), является конфайнмент цветных частиц. Причем несмотря на большие усилия, которые были предприняты после создания КХД, доказательства конфайнмента в рамках теории к настоящему времени нет. Однако, существуют различные модели конфайнмента цветных частиц. Например, модели хромоэлектрических трубок или струн, которые натягиваются между кварками и не дают им вылететь [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24] (струна, однако, может разорваться в одном или нескольких местах и при этом рождаются адроны); модель, так называемого "мешка", в которой находятся цветные поля кварков и глюонов с условием, что вне мешка цветные поля обращаются в нуль [25, 26, 27, 28, 29, 30]. Впервые прототип модели мешка был рассмотрен в работе [31]. Отметим модели, воспроизводящие явление конфайнмента по аналогии со сверхпроводимостью, например, модели постоянного вакуумного хромо-электрического или хромомагнитного поля с отрицательной плотностью энергии вакуума [32, 33]. Эти модели приводят к существованию выделенного направления в пространстве в силу того, что хромомаг-нитные и хромоэлектрические поля являются векторными по своей природе. Замена постоянных магнитных полей разреженным газом инстантонов или стохастическим полем [34, 35, 36, 37, 38, 39, 40], разрешая проблему выделенного направления в пространстве, приводит к другой трудности, а именно: к неустойчивости таких систем по отношению к флуктуациям [41, 42]. Существуют также альтернативные подходы к решению проблемы конфайнмента, допускающие нарушение условия абсолютного конфайнмента, например, в работе [43] была предложена гипотеза неполного заключения цвета, в рамках которой происходит вылетание при некоторых условиях цветных частиц из области конфайнмента. Однако, отрицательные результаты многочисленных экспериментов по поиску кварков в свободном состоянии (см., например, [44]), в настоящее время свидетельствуют в пользу гипотезы абсолютного конфайнмента цветных объектов. Эта гипотеза может быть сформулирована следующим образом: в физическом пространстве-времени не существует асимптотически свободных состояний с открытым цветом. В то же время, синглетные по цвету состояния, такие как дд'д"

- барионы и ад' - мезоны, могут находиться в асимптотических т- и ои^состояниях, которые затем используются, например, при вычислении различных характеристик процессов рассеяния с участием любых бесцветных сильновзаимодействующих частиц.

Помимо конфайнмента другой нерешенной проблемой КХД является проблема связанных состояний цветных частиц, решение которой усугубляется ростом на больших расстояниях взаимодействия константы сильного взаимодействия а3 и возникающей при этом неприменимостью теории возмущений. При этом, разработанные в рамках КЭД методы расчета энергетических спектров таких систем как атом водорода, позитроний, мюоний и т.д. не применимы непосредственно для расчетов спектров связанных состояний сильновзаимодействующих частиц. Единственным точным методом КХД, который разработан и сейчас используется, является метод функционального интегрирования по траекториям. На основе этого метода возможно проведение численных вычислений на основе одних только первых принципов КХД. Однако, к настоящему времени реализация такого типа вычислений, т.е. в рамках, так называемой, решеточной КХД (РКХД), существенно зависит от объема решетки. Имеющихся ресурсов даже самых мощных суперкомпьютеров оказывается недостаточно, чтобы вычислить с необходимой точностью, например, значения спектроскопических характеристик легких адронов или решить проблему конфайнмента. Основные проблемы, возникающие при этом, связаны с увеличением объема решетки при переходе к малым значениям масс кварков и с ростом константы а3 на больших расстояниях взаимодействия. Оценки показывают, что для преодоления этих трудностей потребуется не менее десяти лет интенсивного развития вычислительной техники [45]. В тоже время количество экспериментальных данных, относящихся к спектрам масс адронов, полным и парциальным ширинам их распадов, а также точность этих данных, неуклонно растут, поэтому для их расчетов необходимо, как уже говорилось выше, использовать приближенные модельные расчеты.

В физике адронов традиционно существовало большое число феноменологических моделей и до создания КХД. Причем сама КХД возникла на основе кварковой модели адронов, которая была предложена Гелл-Манном и Цвейгом в 60-х годах [46, 47]. Основные успехи модели Гелл-Манна и Цвейга были связаны с систематикой известных в то время мезонов и барионов. Однако серьезной проблемой первоначальной кварковой модели явился факт невозможности согласовать условие антисимметричности полной волновой функции фермионных кварков с условием симметричности пространственной части этой функции при построении основных состояний барионов (проблема Q~ бариона). Чтобы разрешить эту проблему, было предложено использовать для кварков парастатистику [48], что, как оказалось впоследствии, эквивалентно введению дополнительного квантового числа [49, 50, 51, 52]. Введение нового квантового числа, которое было названо цветом (color), а затем группы локальных калибровочных преобразований SU(3)с в пространстве цветных степеней свободы кварков, привело в последующем к созданию КХД. После создания КХД основным критерием применимости модели стала совместимость положений и выводов модели с основными принципами КХД. Среди таких моделей в первую очередь отметим различные варианты правил сумм КХД [38, 53, 54]. Например, в известной работе [38] используется операторное разложение Вильсона [55] и дуальность между высокоэнергетическим поведением адрон-адронных сечений и низкоэнергетической резонансной областью [56, 57, 58]. Важнейшую роль в этом подходе играют вакуумные средние пропагаторов (конденсаты) глюонных и кварковых полей. В настоящее время широкое распространение получили также, так называемые, эффективные теории поля. Например, эффективная теория с тяжелым кварком (ЭТТК), которая используется для описания связанных состояний с одним тяжелым кварком [59, 60, 61, 62, 63] или нерелятивистская КХД (НрКХД), которая, как правило, используется для описания мезонов, состоящих из тяжелых кварков и антикварков [64, 65, 66].

Одним из доступных способов проведения расчетов в рамках составной кварковой модели адронов является использование потенциалов взаимодействия между основными (валентными) составляющими адрона и решение уравнений для фиксированного числа валентных составляющих. Эти положения составляют основу, так называемых, потенциальных кварковых моделей, которые отличаются как ясностью своих физических предположений, так и технической простотой при проведении расчетов. Впервые потенциальная кварковая модель, согласующаяся с результатами КХД, была предложена в работе Де Риджулы, Джорджи и Глэшоу [67], в которой полученный в основном приближении ПКХД потенциал взаимодействия между кварками на малых расстояниях был применен для описания связанных состояний. В дальнейшем использовались различные эффективные потенциалы для задания взаимодействия между кварками и/или антикварками [68, 69, 70], но наибольшее распространение получил корнельский потенциал [71], который состоит из квазикулоновского потенциала и линейно растущего потенциала, ответственного за конфайнмент цветовых частиц. Хорошо известно, что спектроскопические характеристики ^//Ф мезона, а также Ф', Ф" и других высших радиально возбужденных сс - состояний впервые были вычислены в рамках нерелятивистской потенциальной модели с корнельским потенциалом [71]. Нерелятивистское приближение применяется, как правило, при расчетах характеристик адронов, состоящих из тяжелых кварков и/или антикварков [54, 72, 73, 74, 75, 76]. После сравнения расчитанных спектров масс *7/Ф, Ф\ Ф" мезонов и Т, Т', Т" мезонов с экспериментально установленными значениями, была предложена гипотеза независимости потенциала конфайнмента от ароматов кварков, которая с ограниченной точностью выполняется для тяжелых мезонов [77, 78, 79]. Причем необходимо отметить, что хотя с одной стороны условие универсальности потенциала конфайнмента не противоречит основным принципам КХД, но с другой стороны она и не следует с необходимостью из этих принципов, так как такого рода инвариантность могла бы нарушаться, например, за счет поправок к потенциалу конфайнмента, зависящих от масс кварков.

Универсальность потенциала конфайнмента, если она выполняется, может свидетельствовать о наличие дополнительных свойств симметрии в инфракрасной области КХД, т.е. той части взаимодействий между кварками и глюонами, которая приводит к удержанию цветных частиц. Например, введение новой фундаментальной константы размерности длины изменило бы пространственно-временные свойства на масштабах, сравнимых с этой константой. В том случае, когда такая возможность реализуется, можно было бы связать масштаб конфайнмента с величиной фундаментальной длины. При этом возникает естественное объяснение универсальности потенциала конфайнмента для кварков разных ароматов, поскольку коэффициент наклона линейно растущего потенциала конфайнмента будет выражаться через дополнительную фундаментальную постоянную и, таким образом, будет иметь одно и то же значение для всех кварков. Наличие расширенной или обобщенной пространственно-временной группы симметрии и, следовательно, дополнительных физических постоянных приводит к практически не исследованной возможности объяснения свойства конфайнмента в рамках теорий или моделей с дополнительными симметриями, выходящими за рамки стандартной КХД. Разработка такого типа моделей может привести к выявлению новых, неизвестных сейчас, свойств КХД в непертурбативной области. Однако при этом, т.е. при введении дополнительных фундаментальных постоянных, желательно было бы сохранить максимально возможное число основных постулатов стандартной квантовой теории, в частности, релятивистскую инвариантность. Отметим, что релятивистски инвариантная теория с дополнительной константой размерности длины, которая приводит к некоммутативным операторам координат, изучалась ранее в другом контексте в работах [80, 81, 82, 83], в работе [84] была предложена теория с дополнительными фундаментальными длиной и массой, в работе [85] - с дополнительными фундаментальными длиной, массой и действием. Модели с некоммутативными переменными в конфигурационном пространстве, также содержащие дополнительные постоянные, развиваются в теории струн и квантовой гравитации [86, 87, 88, 89, 90, 91]. Они могут играть большую роль при исследовании состояний материи в экстремальных условиях, например, при рождении вселенной [92] или при образовании кварк-глюонной плазмы [93].

Для существующих в настоящее время подходов в физике сильновзаимодействующих частиц, таких как: РКХД, правила сумм КХД, ЭТТК, НрКХД, потенциальных модели, основные трудности при расчетах спектроскопических характеристик адронов возникают при вычислении характеристик легких адронов. В этом случае, например, в рамках потенциального или более общего квазипотенциального подходов необходимо обязательно учитывать как наличие релятивистских эффектов, так и наличие эффектов, связанные с существованием квар-ковых или глюонных конденсатов, нетривиальной структурой вакуума КХД, значительным различием между токовыми и конституентными массами кварков [94, 95, 96, 97, 98]. По сравнению с тяжелыми адрона-ми для легких адронов эти эффекты играют более важную роль. Поэтому при переходе от нерелятивистских потенциальных моделей, которые использовались для тяжелых адронов, основной интерес представляют такие модели, в которых не только воспроизводились бы результаты, полученные в нерелятивистском случае, но и повышалась бы, по возможности, точность вычислений. Важным результатом, который был получен в рамках КХД-мотивированного потенциального подхода, следует считать успешное применение потенциала взаимодействия, который на малых расстояниях совпадает с потенциалом, вычисленным в

ПКХД, а на средних и больших расстояниях не противоречит существующим результатам РКХД. При этом интересным фактом является приближенная универсальность (независимость от ароматов кварков) потенциала конфайнмента, полученная в нерелятивистском потенциальном подходе для тяжелых кварков. Этот результат может иметь основополагающее значение при объяснении механизма конфайнмента в рамках КХД или её обобщений. Таким образом, желательно разработать подход, который позволял бы в рамках единого формализма проверить гипотезу универсальности потенциала конфайнмента, а также производить с приемлемой точностью расчеты спектроскопических характеристик как легких, так и тяжелых адронов. В основу такого подхода можно положить модель независимых кварков [31, 99, 100], которая позволяет учитывать как релятивистские эффекты, так и феноменологически возможные вклады непотенциальных эффектов. Для самого простого варианта модели (так называемого,"дубненского мешка") в качестве потенциала среднего поля выбрается бесконечный, запирающий на некотором расстоянии потенциал, тогда как внутри мешка кварки являются свободными. Следующим, более сложным вариантом может являться введение потенциала среднего поля и учет остаточных взаимодействий. Заметим, что приближение независимых частиц или квазичастиц широко используется для описания свойств многочастичных систем (см., например, [101]), причем не только когда частицы слабо взаимодействуют между собой, но также для описания систем частиц с сильным взаимодействием, например, атомных ядер [102]. Использование релятивистской модели квазинезависимых частиц позволяет рассматривать адроны с любым фиксированным числом валентных составляющих, в том числе и экзотические. При этом желательно уменьшить погрешность вычисления спектроскопических характеристик адронов, которая в потенциальных моделях, как правило, находится на уровне Ю-1 -г- 2 • Ю-1 (по относительной погрешности). Построение такой модели, позволяющей проводить вычисление спектроскопических характеристик адронов, состоящих из произвольного числа валентных составляющих, в рамках единого формализма, особенно актуально сейчас в связи с интенсивными поисками глюбольных*состо-яний и последними экспериментальными данными, относящихся к открытию многокварковых адронов, в частности, странного пентакварка [103, 104, 105, 106, 107].

В диссертации с целью вычисления спектроскопических характеристик как легких, так и тяжелых мезонов разработана феноменологическая релятивистская потенциальная модель, не противоречащая принципам КХД. Проверяется гипотеза независимости от аромата потенциала конфайнмента для взаимодействий между тяжелыми и легкими кварками и антикварками и подтверждается её справедливость в рассматриваемой модели. Для объяснения универсальности потенциала конфайнмента исследуются возможные способы обобщения группы пространственно-временных симметрий для взаимодействий кварков и глюонов в области конфайнмента путем введения релятивистски инвариантным образом фундаментальных постояннных размерности длины, массы и действия. Находятся инвариантные относительно введенных групп кинематических симметрий уравнения для обобщенных кварковых полей с универсальными потенциалами конфайнмента. На основе имеющихся экспериментальных данных и численного решения основных уравнений релятивистской модели квазинезависимых кварков определяются параметры сильного взаимодействия между кварком и антикварком, обладающими произвольным и—, в.—, в—, с— или 6— ароматом. Ставится задача - с использованием полученных параметров сильного взаимодей-7 ствия вычислить спектры масс векторных й псевдоскалярных мезонов и их радиальных возбуждений, определить ширины распадов векторных мезонов на электрон-позитронную пару и расчитать среднеквадратичные радиусы легких и тяжелых векторных мезонов.

Вычисленные в предлагаемой модели значения спектроскопических, характеристик мезонов совпадают в пределах установленной точности модели с экспериментальными данными в тех случаях, когда они имеются, поэтому полученные результаты могут быть использованы при планировании будущих экспериментов по поиску новых мезонов и при идентификации обнаруженных мезонных состояний. Результаты диссертационной работы также могут быть использованы при разработке моделей адронов и моделей конфайнмента цветных частиц с учетом дополнительных свойств симметрии в непертурбативной области КХД.

Структура диссертации следующая.

В первой главе кратко обсуждаются основные результаты КХД, получившие экспериментальное подтверждение, а также нерешенные проблемы КХД, относящиеся к вакууму КХД и конфайнменту кварков и глюонов. Свойства связанных состояний цветных частиц в значительной мере зависят от структуры вакуума и взаимодействий в области конфайнмента. Принимая во внимание происходящее в последнее время увеличение числа адронов за счет экзотических состояний, на примере U(4)f <~ SU(4)f х U(1)b~группы рассматривается способ определения квантовых чисел группы симметрии ароматов для произвольных муль-типлетов адронов. Для этого выводятся соотношения между генераторами SU[A)f—группы и аддитивными квантовыми числами, а также правила сумм для аддитивных квантовых чисел [108, 109, 110]. С помощью полученных правил сумм находятся квантовые числа членов SU(A)f—двадцатиплета экзотических мезонов, построены их волновые функции, которые выражаются через состояния секстета скалярных ди-кварков и антидикварков [111, 112]. Производится выбор составной модели адронов и основных уравнений модели [113, 114]. Формулируются дальнейшие направления работы: разработка релятивистской модели квазинезависимых кварков, не противоречащей основным принципам КХД и позволяющей одинаковым способом производить вычисление спектроскопических характеристик произвольных адронных состояний, определение параметров модели по спектрам масс стандартных 0~+— и 1 —мезонов, верификация гипотезы независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента и исследование возможностей получения ? универсальных потенциалов конфайнмента в моделях с обобщенными кинематическими симметриями в фазовом пространстве, расчет спектроскопических характеристик радиальных и орбитальных возбуждений мезонов, состоящих из w—, d—, s—, с— и Ь—кварков и антикварков.

Во второй главе исследуется возможность обобщения инвариантности относительно группы Пуанкаре для цветных частиц с помощью более широкой группы кинематических симметрий, действующей в фазовом пространстве [115, 116]. Определена процедура такого обобщения с условием сохранения лоренц-инвариантности теории и выполнения принципа соответствия с постулатами канонической квантовой теории поля [117]. Приведены группы обобщенных кинематических симметрий. Среди класса полупростых групп Ли групп обобщенных симметрий оказывается всего четыре. Это три псевдоортогональные группы: 0(2,4), 0(1,5), 0(3,3) и псевдоунитарная группа SU(3,1) [117]. Получены ограничения, зависящие от дополнительных фундаментальных констант, на совместную измеримость ряда физических величин и исследованы некоторые свойства представлений этих групп [118, 119, 120, 121, 122]. Найдены уравнения, инвариантные относительно обобщенных кинематических симметрий, причем условие инвариантности приводит в этих уравнениях к появлению слагаемых, зависящих от координат частиц и дополнительных фундаментальных постоянных [123, 124]. В потенциальных моделях эти слагаемые можно рассматривать как потенциалам конфайнмента, универсальные для кварков любых ароматов.

В третьей главе изложена трансляционно-инвариантная релятивистская модель квазинезависимых кварков. Обсуждаются основные положения модели [113, 114], а также выбор уравнений модели, потенциала среднего поля и учет поправок, связанных с остаточными взаимодействиями [125, 126, 127]. В качестве основных уравнений рассматриваются уравнение Дирака с КХД-мотивированным потенциалом для фермион-ных составляющих адронов и уравнение Клейна-Гордона для бозонных составляющих. Исследуется область применения модели, производится оценка её точности и описывается алгоритм численного решения основного уравнения модели, основанный на трехточечных рекуррентных соотношениях Нумерова.

В четвертой главе в рамках релятивистской модели квазинезависимых кварков, производится определение параметров сильного взаимодействия между кварком и антикварком на основе экспериментально найденных значений масс двухчастичных мезонов. Обсуждаются гипотеза независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента и её проверка в потенциальных моделях адронов. Определяются коэффициент наклона линейно растущего кварк-антикваркового потенциала конфайнмента, значение постоянной сильного взаимодействия на малых расстояниях по спектрам масс векторных мезонов, а также массы кварков [128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136]. Подтверждаются справедливость гипотезы независимости от ароматов кварков потенциала конфайнмента с относительной погрешностью 5 • Ю-2 и уменьшение значений а3 при переходе от легких к тяжелым мезонам [126, 127, 137]. Производится оценка величины спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком на основе значений расщеплений масс векторных и псевдоскалярных мезонов [127].

В пятой главе собраны результаты расчетов спектроскопических характеристик легких и тяжелых мезонов. Получены аналитические массовые формулы для радиальных и орбитальных возбуждений легких мезонов [138,139]. Вычисляются среднеквадратичные радиусы векторных мезонов и ширины их распадов на электрон-позитронную пару [126, 127, 131, 137]. Проводятся совместное вычисление спектров масс векторных и псевдоскалярных мезонов на основе определенных ранее параметров потенциала сильного взаимодействия внутри мезона [127].

Для экспериментально открытых состояний найденные значения согласуются с имеющимися данными в пределах ошибок модели, вычислены также значения масс состояний, которые еще экспериментально не обнаружены. Полученные результаты могут быть использованы при идентификации мезонных состояний как стандартных, так и экзотических, таких как глюболы и четырехкварковые мезоны.

В приложении 1 выписаны стандартные коммутационные соотношения вещественных простых групп Ли третьего ранга и явный вид в четырехмерном представлении генераторов унитарной и псевдоунитарной алгебр. В приложении 2 приведены основные формулы алгоритма, основанного на трехточечных рекуррентных соотношениях Нумерова, для численных расчетов собственных значений и собственных функций радиального уравнения модели.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Результаты диссертации докладывались на международных семинарах "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (Москва),. "Проблемы физики высоких энергий и теории поля" (Протвино), конференциях секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий", а также на научных семинарах ВНИИМС, ИФВЭ, ЛТФ ОИ-ЯИ, НИИЯФ МГУ, РНЦ "Курчатовский институт" и опубликованы в работах [108 - 139].

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Хрущев, Вячеслав Владимирович

Основные результаты, представленные в этой главе, были опубликованы в в работах [126, 127, 130, 131, 137, 138, 139].

5.1. Массовые формулы для орбитальных и радиальных возбуждений легких мезонов

Область легких мезонов наиболее трудна для применения современных потенциальных моделей. Это связано с несколькими причинами. Во-первых, с необходимостью учета релятивистских эффектов. Если для тяжелых мезонов вполне допустимо использовать нерелятивистскую кинематику и уравнение Шредингера, то для мезонов, состоящих из легких кварков, необходимо переходить к релятивистскому описанию взаимодействий между составляющими мезона. Однако, развить адекватную и эффективную процедуру расчета характеристик связанных состояний в рамках КХД до настоящего времени не удалось. Одной из причин этого положения является то, что область больших расстояний, т.е. область конфайнмента, вносит определяющий вклад в формирование спектра масс адронных состояний по сравнению с достаточно слабым квазикулоновским взаимодействием на малых расстояниях. Это обстоятельство особенно важно для легких адронов. В то же время, как известно, область легких адронов является наиболее интересной для поиска глюболов и других экзотических состояний. Согласно различным оценкам наименьшие значения масс глюболов, гибридов и некоторых четырехкварковых мезонов находятся в области ~ 1 Ч- 2 ГэВ Данная область также интересна для проверки гипотезы универсальности потенциала конфайнмента, что уже обсуждалось в предыдущей главе. Кроме того, если невылетание кварков в потенциальном подходе можно описать с помощью потенциала конфайнмента, то нетривиальную структуру КХД вакуума или нарушение киральной симметрии едва ли можно описать в рамках такого формализма. Описание этих эффектов может быть осуществлено, вероятно, только в грубом приближении с помощью введения дополнительных феноменологических констант. Тем не менее, учитывая отсутствие строгих результатов вычислений в не-пертурбативной области КХД, даже результаты КХД-инспирирован-ных моделей являются полезными. Причем в наибольшей степени это касается выяснения особенностей структуры легких мезонов, спектроскопические характеристики которых определяются в значительной мере непертурбативными эффектами КХД. Последнее утверждение согласуется с результатами, полученными в рамках других моделей, в которых ПКХД-вклады в значения масс легких адронов значительно меньше непертурбативных [38, 54, 169, 266].

Кроме проблем, возникающих при расчетах характеристик легких мезонов, существуют значительные трудности, связанные с интерпретацией экспериментальных данных в области масс, лежащей ниже зна

1 Более подробно проблема поиска глюболов и других экзотических состояний будет обсуждаться в подразделе 5.4 чений масс очарованных мезонов. Эта область является областью масс легких мезонов (тем не менее, значения масс некоторых возбужденных состояний легких мезонов могут находится в области масс тяжелых мезонов). Например, до сих пор окончательно не решены вопросы об идентификации радиальных и орбитальных возбуждений р— мезона [6, 252, 251] или о кварковом составе основных состояний 0++— мезонов /о(980) и а0(980) [266, 267, 264, 265, 268], а также их возбуждений. Некоторые вопросы, связанные с идентификацией легких мезонов, будут обсуждаться ниже с учетом полученных в рассматриваемой модели результатов, принимая во внимание возможное смешивание различных экзотических состояний, таких как глюболы, гибриды и многокварко-вые мезоны, со стандартными ад'—мезонами.

Повышение точности и надежности вычислений характеристик стандартных кварк-антикварковых легких мезонов в рамках феноменологических потенциальных моделей безусловно будет способствовать идентификации как существующих кандидатов в экзотические состояния адронов, так и тех, которые будут обнаружены в будущем. Однако, при расчетах характеристик легких адронов в рамках потенциальных (особенно нерелятивистских) моделей происходит значительная потеря точности из-за большого вклада релятивистских и непотенциальных эффектов. Причем трудности при расчетах спектроскопических характеристик легких адронов возникают во всех используемых в настоящее время подходах, включая решеточную КХД.

Тем не менее, как известно, в рамках феноменологических моделей для легких адронов были получены многочисленные массовые соотношения, причем большинство этих соотношений было получено еще до создания КХД. Хорошим примером могут служить формулы Чу-Фраучи для траекторий Редже, которые успешно применяются для вычислений масс орбитальных возбуждений легких адронов. а0] + оАМ?, (5.1) где параметр а^- зависит от рассматриваемой траектории, тогда как наклон а^ для разных траекторий приблизительно одинаков и равен 0.9(ЗеУ-2 [177]. В настоящее время рассматриваются различные варианты обобщения формулы (5.1) для тяжелых мезонов, а также для глю-болов.

Радиальные возбуждения мезонов описываются формулами Венециано-Намбу для дочерних траекторий Редже [269]. В последнее время наиболее точные формулы для дочерних траекторий Редже получены в работе [270] и они зависят для каждого семейства мезонов с определенными значениями квантовых чисел JPC от двух постоянных Мо и ¡1:

М2 = М1 + (п - (5.2)

В работах [271, 272] на основе конечноэнергетических правил сумм и 1 ¡Ис - разложения были получены массовые формулы для радиальных возбуждений легких мезонов. Например, массы радиальных возбуждений 7Г— мезона должны удовлетворять следующим соотношениям [272]:

М1п=пМ2г, п> 1, 71 = 1,2,., (5.3) где М2, - квадрат массы первого радиального возбуждения 7Г— мезона. Массы радиальных возбуждений р— мезона в рамках этого же подхода должны удовлетворять соотношениям [271]:

М2рп = (1 + 2п)М2, п > 0, п = 0,1,. (5.4)

Интересные соотношения для спектров масс орбитально и радиаль-но возбужденных состояний мезонов были получены в модели хромо-электрических трубок [273]. Так для мезонов, состоящих из одного массивного и одного безмассового кварка, спектры таких возбуждений описываются формулой:

М2 = тгст(£ + 2п + |), (5.5)

АI где а - натяжение КХД - струны. Для мезонов, состоящих из двух безмассовых кварков спектры описываются формулой:

М2 = 2тгсг(£ + 2п + |) (5.6)

АI

Наиболее последовательным является применение для описания связанных состояний кварка и антикварка квазипотенциальных уравнений, полученнных в квантовой теории при одновременной формулировке проблемы двух тел [98]. Так например, в работе [138] были вычислены спектры радиальных возбуждений 7г— и р—мезонов с использованием квазипотенциального уравнения в релятивистском конфигурационном пространстве с осцилляторным потенциалом. Были найдены спектры радиальных возбуждений 7г— и р—мезонов при условии их пересечения в области первого радиального возбуждения, масса которого была выбрана равной 1.25 ГэВ. Однако, существование возбуждения р—мезона с такой массой в настоящее время является проблематичным, в то время как табличное значение массы первого возбужденного состояния 7г—мезона равно 1.3 ± 0.1 ГэВ [6].

Представленные выше массовые формулы для спектров масс легких мезонов были получены в рамках различных подходов. Каждая такая формула описывает определенное семейство мезонов, для которого в рассматриваемой формуле необходимо ввести свои феноменологические параметры. Эти параметры отличаются для разных семейств, даже наклоны траекторий Редже значительно варьируются при переходе от одной траектории к другой (при различных значениях j aj принимают значения из интервала 0.8 -г- 1.2 Гэв~2). Кроме того, неясной остается связь этих параметров в внутренней структурой рассматриваемых адронов.

В рамках модели квазинезависимых кварков можно получить приближенные феноменологические формулы для спектров масс легких адронов, которые содержат значительно меньшее число параметров. Число членов в этой формуле непосредственно связано с числом валентных составляющих рассматриваемого адрона. Действительно, используя общую структуру массовой формулы для адронов в рамках модели квазинезависимых кварков (3.5), видно, что массовая формула должна содержать, как минимум, п +1 членов, где п - это число валентных составляющих адрона. Дополнительный член учитывает возможные непотенциальные поправки, которые особенно важны для легких мезонов [274, 247], и вклад энергии общего глюонного поля, при этом предполагается, что квантовые числа среднего поля совпадают с квантовыми числами вакуума. Такая структура массовой формулы и интерпретация ее членов характерны именно для модели квазинезависимых кварков и выделяют её среди других потенциальных моделей. Для мезонов, состоящих из и— и d— кварков и антикварков, массовые формулы в модели квазинезависимых кварков были получены в работах [139, 130]. Они содержат два феноменологических параметра с и /с и позволяют с абсолютной точностью 30 -г 40 МэВ воспроизвести массы как орбитально возбужденных, так и радиально возбужденных состояний такого типа мезонов.

М(п25+1^) = Е0 + Е1 + Ег,

Е0 = с/2([1 + (-1)^-1/2] + [х + (-г)^"1/2]),

Е1 = ку/2п* + Ь + х-1/2, (5.7) где п?,^, г = 1,2 являются радиальными квантовыми числами и квантовыми числами полного момента для составляющих мезон кварка и антикварка. Чтобы исключить лишние состояния, которые присутствуют в модели квазинезависимых частиц, необходимо учесть дополнительные феноменологические правила отбора по квантовым числам п?,^-, г = 1,2, [139, 130].

Т V л п1 = п2 = п — 1 Э\ =32 = J + 1/2, при .7 = I/ + 5, jl = j2 + 1 = J + 3/2, при J Ф Ь + 5, 7711 < 7712 (5.8)

Несмотря на то, что выражение для Ео является чисто феноменологическим, аналогичная зависимость массовых термов Е{, г = 1,2, от радиальных квантовых чисел и квантовых чисел полного момента для кварка и антикварка получается при решении уравнений модели квазинезависимых кварков, изложенной в третьей главе, при пренебрежении квазикулоновским взаимодействием и в пределе нулевых масс кварков. Этот факт может свидетельствовать в пользу релятивистской модели квазинезависимых кварков, несмотря на, безусловно, приближенный характер этих формул. Заметим также, что в настоящее время аналитические формулы (5.7) и (5.8) не могут быть получены в рамках КХД и стандартных нерелятивистских потенциальных моделей с релятивистскими поправками, зависящими от спина (см., например, [75, 247]).

Таким образом, задача определения спектра масс легких мезонов при использовании формул (5.7) и правил отбора (5.8) сводится к определению возможных значений Е^ г = 0,1,2. При этом можно получить многочисленные массовые соотношения (некоторые из них приводятся ниже), причем массовые соотношения для стандартных од'—мезонов, составленных из и— и с?—кварков и антикварков выполняются с относительными ошибками 5 -т- 10% и обобщают предлолженные ранее массовые соотношения как для радиальных, так и для орбитальных возбуждений мезонов. Кроме того, формулы (5.7) и (5.8) позволяют вычислить значение наиболее важного для нас параметра к независимо от значений других параметров. Действительно, рассмотрим легкие мезоны с такими квантовыми числами Зрс, для которых значения их масс могут быть вычислены по формуле:

Мг = и + 2 ку/\{ + 6 (5.9)

Такие мезонные состояния согласно правилам отбора (5.8) всегда найдутся. Тогда для значений масс произвольных четырех мезонных состояний г,^,/,п нетрудно получить следующее массовое соотношение [130]:

М; - М,-)(М/ - МП)(М/ + Мп-М{- М5) =

4к2[(М; - М,)(Л/ - Лп) - (М/ - МП)(А; - Л,-)] (5.10)

Так как правая часть соотношения (5.10) пропорционально /с2, то используя это соотношение, можно определить значение к, по экспериментальным данным для масс четырех соответствующих мезонов независимо от значений других подгоночных параметров.

Рассмотрим орбитально возбужденные состояния мезонов, которые связаны главным образом с состояниями фермионных составляющих и— и й—типа при ненулевых значениях орбитального момента, при этом величина которая учитывает вклад возможных непотенциальных эффектов и энергии среднего поля, принимает только значения, кратные константе с. Приведем в таблице 5.1 значения масс орбитально возбужденных состояний мезонов, состоящих из и— и в,— кварков и антикварков, которые были получены с помощью формул (5.7) и (5. 8) при с = 0.07 ГэВ и к = 0.38 ГэВ. Чтобы исключить необходимость введения дополнительных параметров, связанных со смешиванием истинно нейтральных состояний, вычислялись значения масс мезонов с изотопическим спином, равным единице. Относительные ошибки воспроизведения экспериментальных значений масс с помощью этих формул не превышают нескольких процентов для всех состояний кроме р{ 1700)—мезона (проблема /з(1700)—мезона обсуждается ниже в разделе 5.4). Для массовых соотношений, представленных в аналитическом виде, такая

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные новые результаты, полученные в диссертации.

1. Впервые определен набор правил сумм для квантовых чисел членов произвольного флейворного и(1)в х <5С/(4)у—мультиплета, который позволяет провести классификацию любых, в том числе экзотических, адронных состояний. Найдены квантовые числа членов экзотического двадцатиплета мезонов и их волновые функции, выраженные через состояния секстета скалярных дикварков и антидикварков, что может быть использовано при интерпретации результатов экспериментов по поиску четырехкварковых мезонов.

2. Впервые предложено обобщение симметрии взаимодействий кварков и глюонов в непертурбативной КХД области. При условии сохранения лоренц-инвариантности и принципа соответствия с канонической квантовой теорией поля найдены группы обобщенных симметрий, действующие в фазовом пространстве. Коммутационные соотношения обобщенных групп симметрии содержат дополнительные константы размерности массы, длины или действия и в некоторых случаях приводят к некоммутативности операторов координат и/или импульсов.

3. Найдены соотношения между дополнительными фундаментальными постоянными, возникающими в теориях с обобщенными симмет-риями, и коэффициентом наклона линейно растущего потенциала кон-файнмента, позволяющие в рамках потенциальной модели квазинезависимых кварков получить оценки значений дополнительных фундаментальных постоянных размерности длины и массы.

4. Получены новые уравнения для обобщенных кварковых полей, содержащие универсальные для всех кварковых ароматов потенциалы конфайнмента. Установлены ограничения, зависящие от дополнительных фундаментальных констант, на совместную измеримость ряда физических величин и исследованы некоторые свойства представлений групп обобщенных симметрий.

5. Развита трансляционно-инвариантная релятивистская модель квазинезависимых кварков, учитывающая результаты КХД, относящиеся к виду статического потенциала между кварками и антикварками.

Основными уравнениями модели являются уравнение Дирака для фер-мионных составляющих адронов и уравнение Клейна-Гордона для бо-зонных составляющих в среднем поле. Использована эффективная процедура численного решения радиального уравнения модели с сингулярным в начале координат потенциалом, основанная на трехточечных рекуррентных соотношениях Нумерова и позволяющая численно находить значения энергий и волновых функций кварков и антикварков.

6. Найдены значения масс и—, ¿—, б—, с— и Ъ— кварков, постоянной сильного взаимодействия на малых расстояниях а3 и величины спин-спинового взаимодействия между кварком и антикварком на основе экспериментальных значений масс основных и возбужденных состояний векторных и псевдоскалярных мезонов. Значения а3 в ад—мезонах монотонно уменьшаются при последовательном переходе от легких к тяжелым кваркам, что согласуется с явлением асимптотической свободы на малых расстояниях взаимодействия.

7. Предложены приближенные аналитические массовые формулы для орбитальных и радиальных возбуждений мезонов, состоящих из и— и (I— кварков, которые выполняются с относительной погрешностью менее 10%. Получены оценки среднеквадратичных радиусов 5— состояний тяжелых и легких мезонов, а также ширин распадов векторных мезонов на электрон-позитронную пару.

8. Впервые в рамках релятивистской модели квазинезависимых кварков подтверждена гипотеза независимости потенциала конфайн-мента для и—, й—, 5—, с—, Ь—кварков и антикварков с относительной погрешностью 5 • 10~2. Полученное значение коэффициента наклона линейно растущего потенциала конфайнмента (натяжения струны) равно а = 0.20 ±0.01 ГэВ2.

9. Представлены результаты расчетов спектров масс радиальных возбуждений векторных и псевдоскалярных мезонов, состоящих из и—, 6,—, 5—, с—, Ъ—кварков и антикварков. Для мезонов, открытых экспериментально, вычисленные значения масс согласуются с имеющимися данными с абсолютными ошибками, которые, как правило, не превышают 40 МэВ. Представлены также значения масс экспериментально не обнаруженых мезонных состояний, эти значения могут быть использованы при подготовке будущих экспериментов по поиску новых мезонов.

Выражаю искреннюю благодарность В.И. Саврину, Ю.В. Гапоно-ву и В.Н. Мельникову за ценные советы и большую поддержку, без которых написание данной работы было бы невозможно. Я благодарен А.Н. Лезнову, В.И. Саврину и C.B. Семенову за плодотворную совместную работу в течении многих лет, во время которой был получен ряд результатов, вошедших в диссертацию. Я благодарю Б.А. Арбузова, А.И. Алексеева, A.M. Снигирева, К.А. Бронникова, В.Д. Иващука, М.И. Калинина и В.Е. Рочева за полезные замечания и обсуждение многих вопросов, относящихся к диссертационной работе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хрущев, Вячеслав Владимирович, 2005 год

1. Н. Fritzsch, М. Gell-Mann, Ргос. XVI Int. Conf. on High Energy Physics, Chicago, Vol. 2 (1972), p.135.

2. H. Fritzsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler, Phys. Lett. B47 (1973), p. 365.

3. W.J. Marciano, H. Pagels, Phys. Rep. C36 (1978), p. 137.

4. А.А. Славнов, JI.Д. Фаддеев, "Введение в квантовую теорию калибровочных полей", М., Наука, 1978.

5. Ф. Индурайн, "Квантовая хромодинамика", М., Мир, 1986.

6. S. Eidelman et al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B592 (2004), p. 1.

7. G. t'Hooft, Report at the Conf. on Lagrangian field theories, Marseille, 1972.

8. D. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev. D8 (1973), p. 3633.

9. U.O. Politzer, Phys. Rep. C14 (1974), p. 129.

10. D. Gross, A. Neveu, Phys. Rev. D10 (1974), p. 3235.

11. C. D. Roberts and A. G. Williams, Prog. Part. Nucl. Phys., 33 (1994), p. 477.

12. P. C. Tandy, Prog. Part. Nucl. Phys., 39 (1997), p. 117.

13. E.S. Swanson, Plenary talk at the Intern. Conf. "Hadron 2003", Aschaffenburg, Germany arXiv:hep-ph/0310089].

14. G. 't Hooft, Nucl. Phys., B153 (1979), p. 141.

15. J.M. Cornwall, Nucl. Phys., B157 (1979), p. 392.

16. H. Reinhardt, Nucl. Phys., B628 (2002), p. 133.

17. K. Langfeld, Phys. Rev. D67 (2003), p. 111501.

18. Y. Nambu, Lectures for Copenhagen Sympos. 1970.

19. T. Goto, Progr. Theor. Phys. 46 (1971), p. 1560.

20. H.B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. B61 (1973), p. 45.

21. A. Casher, H. Neuberger, S. Nusinov, Phys. Rev. D20 (1979), p. 179.

22. E.G. Gurvich, Phys. Lett. B87 (1979), p. 386.

23. B. Andersson, G. Gustafson, T. Sjostrand, Z. Phys. C6 (1980), p. 235.

24. L.D. Soloviev, Phys. Rev. D61 (2000), p. 015009.

25. A. Chodos et al., Phys. Rev. D9 (1974), p. 3471.

26. T. De Grand et al., Phys. Rev. D12 (1975), p. 2060.

27. A. Chodos, C.B. Thorn, Phys. Rev. D9 (1974), p. 2733.

28. G.E. Brown, M. Rho, Phys. Lett. B82 (1979), p. 177.

29. S. Theberde, A.W. Thomas, Phys. Rev. D22 (1980), p. 2838.

30. A.W. Thomas, Adv. Nucl. Phys. 13 (1983), p. 1.

31. P.N. Bogolubov, Ann. Inst. Henri Poincare VIII (1968), p. 2.

32. G.K. Savvidi, Phys. Lett. B71 (1977), p. 133.

33. S.G. Matinyan and G.K. Savvidi, Nucl. Phys. B134 (1978), p. 539.

34. A. Belavin et al., Phys. Lett. B59 (1975), p. 85.

35. A. Polyakov, Nucl. Phys. B120 (1977), p. 429.

36. G. 't Hooft, Phys. Rev. Lett. 37 (1976), p. 8; Phys. Rev. D14 (1976), p. 3432; Err.: ibid. D18 (1978), p. 2199.

37. C. Callan, R. Dashen, D. Gross, Phys. Rev. D17 (1978), p. 2717.

38. M.A. Shifman, A.I. Vainshtein and V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979), p. 385; ibid. 147 (1979) 448.

39. E.V. Shuryak, Phys. Rep. 115 (1984), p. 151.

40. D.I. Diakonov and V.Yu. Petrov, Nucl. Phys. B245 (1984), p. 259.

41. E. Witten, Nucl. Phys. B149 (1979), p. 285.

42. D.I. Diakonov, hep-ph/0211026.

43. Б.А. Арбузов, ЭЧАЯ, 19 (1988), с. 5.

44. L. Lyons, Phys. Rep. C129 (1985), p. 225.

45. M. Lüscher, Plenary talk at the Inter. Conf. on Theoretical Physics, UNESCO, 22-27 July, Paris, 2002; hep-ph/0211220.

46. M. Gell-Mann, Phys. Let. 8 (1964), p. 214.

47. G. Zweig, Reports CERN 8182/TH-401, 8419/TH-412, Geneva, 1964; Reprinted in "Developments in the Quark Theory of Hadrons", Vol. 1: 1964-1978, Don.B. Lichtenberg and S.Peter Rosen editors, Hadronic Press, Nonantum Massachusetts, 1980.

48. O.W. Greenberg, Phys. Rev. Lett. 13 (1964), p. 598.

49. Б.В. Струминский, Препринт ОИЯИ P-1939, Дубна, 1965.

50. H.H. Боголюбов, Б.В. Струминский, А.Н. Тавхелидзе, Препринт ОИЯИ Д-1968, Дубна, 1965.

51. M.Y. Han, Y. Nambu, Phys. Rev. B139 (1965), p. 1006.

52. Y. Miyamoto, Progr. Theor. Phys. Extra No (1965), p. 187.

53. K.G. Chetyrkin, N.V. Krasnikov, A.N. Tavkhelidze, Phys. Lett. B7 (1978), p. 83.

54. V.A. Novikov et al., Phys. Rep. 41 (1978), p. 1.

55. K. Wilson, Phys. Rev. 179 (1969), p. 1499.

56. A.A. Logunov, L.D. Soloviev, A.N. Tavkhelidze, Phys. Lett. B24 (1967), p. 181.

57. R. Dolen, D. Horn and C. Schmid, Phys. Rev. 166 (1968), p. 1768.

58. С.Б. Герасимов, В сб. "Векторные мезоны и электромагнитные взаимодействия". Дубна, 1969, с.367.

59. М.А. Шифман, М.Б. Волошин, ЯФ 45 (1987), с. 342; ibid., 47 (1988), с. 528.

60. N. Isgur, M.B. Wise, Phys. Lett. B232 (1989), p. 113; ibid. B237 (1990), p. 527.

61. E. Eichten, В. Hill, Phys. Lett. B234 (1990), p. 511.

62. B. Grinstein, Nucl. Phys. B339 (1990), p. 253.

63. H. Georgi, Phys. Lett. B240 (1990), p. 447.

64. W.E. Caswell, G.P. Lepage, Phys. Lett. B167 (1986), p. 437.

65. B.A. Thacker, G.P. Lepage, Phys. Rev. D43 (1991), p. 196.

66. G.T. Bodwin, E. Braaten, G.P. Lepage, Phys. Rev. D51 (1995), p. 1125; Err.: ibid. D55 (1997) 5853.

67. A. De Rujula, H. Georgi, S.L. Glashow, Phys. Rev. D12 (1975), p. 147.

68. J. Richardson, Phys. Lett. B82 (1979), p. 272.

69. C. Quigg, J. Rosner, Phys. Lett. B71 (1977), p. 153.

70. A. Martin, Phys. Lett. B93 (1980), p. 338.

71. E. Eichten et al., Phys. Rev. Let. 34 (1975), p. 369; ibid. 36 (1976), p. 500; Phys. Rev. D17 (1978), p. 3090; ibid. D21 (1980), p. 203; ibid. D22 (1980), p. 1819.

72. B.A. Хозе, М.А. Шифман, УФН, 140 (1983), с. 3.

73. A.A. Быков, И.М. Дремин, A.B. Леонидов, УФН, 143 (1984), с. 3.

74. W. Kwong, J.L. Rosner and Ch. Quigg, Ann. Nucl. Part. Sei. 37 (1987), p. 325.

75. W. Lucha, F.F. Schoberl and D. Gromes, Phys. Rep. C200 (1991), p. 128.

76. C.C. Герштейн, B.B. Киселев, A.K. Лиходед, A.B. Ткабладзе, УФН 165 (1995), с. 3.

77. А.Е. Дорохов, Препринт ОИЯИ Р2-12159, Дубна, 1979.

78. A. Martin, Preprint CERN ТН-2741, Geneva, 1979.

79. Ch. Quigg, J.L. Rosner and H.B. Thacker, Preprint FERMILAB-79-52(THY), Batavia, 1979.

80. H. Snyder, Phys. Rev. 71, 38 (1947).

81. Ю.А. Гольфанд, ЖЭТФ, 37 (1959), с. 504.

82. В.Г. Кадышевский, ЖЭТФ, 41 (1961), с. 1885.

83. V.G. Kadyshevsky, in: I. Е. Tamm memorial vol. "Problems of Theoretical Physics", eds, V.l. Ritus, E.L. Feinberg, V.L. Ginsburg et al. Nauka, M. 1972.

84. C.N. Yang, Phys. Rev. 72, 874 (1947).

85. A.H. Лезнов, B.B. Хрущев. Наиболее общий вид коммутационных соотношений теории дискретного пространства-времени. Препринт ИФВЭ 73-38, Серпухов, 1973, с. 1-9.

86. N. Seiberg and Е. Witten, J. High Ener. Phys. 09-032, 1 (1999).

87. V.A. Rubakov and M.E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B125, 136 (1983).

88. R. Oeckl, Nucl. Phys. B581, 559 (2000).

89. P. Kosiriski, J. Lukierski and P. Maslanka, hep-th/0012056.

90. S. Doplicher, K. Fredenhagen and J. Roberts, Phys. Lett. B331, 39 (1994).

91. L.J. Garay, Int. J. Mod. Phys. A10, 145 (1995).

92. J. Silk, The Big Bang, 3rd ed., W.H. Friman & Co., 2001.

93. Proc. of Quark Matter Conf., 18-24 July, Nantes, France, 2002.

94. A.T. Филиппов, ЯФ 29 (1979), с. 1035.

95. R.N. Faustov, V.O. Galkin, A.Yu. Mishurov, Phys. Rev. D53 (1996), p. 6302.

96. S. Godfrey, N. Isgur. Phys. Rev. D32 (1985), p. 189.

97. N. Isgur, Phys. Rev. D62 (2000), p. 054026.

98. B.A. Матвеев, В.И. Саврин, А.Н. Сисакян, А.Н. Тавхелидзе, ТМФ 132 (2002), с. 267.

99. П.Н. Боголюбов, ЭЧАЯ 3 (1972), с. 144.

100. П.Н. Боголюбов, А.Е. Дорохов, ЭЧАЯ 8 (1987), с. 917.

101. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 2, М., 1985.

102. А.Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, М., 1965.

103. Т. Nakano et al. (LEPS Collaboration), Phys. Rev. Lett. 91 (2003), p. 012002 arXiv: hep-ex/0301020].

104. V.V. Barmin et al. (DIANA Collaboration), ЯФ 66 (2003), c. 1763 arXiv: hep-ex/0304040].

105. S. Stepanyan (CLAS Collaboration), Phys. Rev. Lett. 91 (2003), p. 252001 arXiv:hep-ex/0307018].

106. J. Barth et al. (SAPHIR Collaboration), Phys. Lett. B572 (2003), p. 127 arXiv:hep-ex/0307083].

107. V. Kubarovsky et al. (CLAS Collaboration), Phys. Rev. Lett. 92 (2004), p. 032001 (Err., ibid 92 (2004) 049902)arXiv:hep-ex/0311046].

108. B.B. Хрущев. О распределении адронов по С/(4)—мультиплетам. Ядерная физика 28 (1978), с. 1612.

109. В.В. Хрущев. Увеличение числа ароматов кварков и U(4)—симметрия адронов, в "Проблемы физики высоких энергий и теории поля", Труды IV международного семинара, Протвино, 1981, т.1, с. 355.

110. V.V. Khruschev.On properties of scalar constituents of hadrons with respect to SU(2) x U( 1)—group, in "Group Theoretical Methods in Physics", Gordon and Breach, London, 1986, p. 514.

111. B.B. Хрущев. О двадцатиплете векторных мезонов. Письма в ЖЭТФ 27 (1978), с. 537.

112. В.В. Хрущев. Массовые соотношения для членов U{4)— двадца-типлета и поиск В-мезонов. Письма в ЖЭТФ 33 (1981), с. 230.

113. В.В. Хрущев. Спектр масс мезонов в модели обобщенного кварко-вого поля. Ядерная физика 46 (1987), с. 219.

114. В.И. Саврин, С.В. Семенов, В.В. Хрущев. Спектр масс векторных мезонов в релятивистской модели квазинезависимых кварков, в сб. "Проблемы физики высоких энергий и теории поля", Труды XI межд. семинара, Протвино, 1988, с. 219.

115. В.В. Хрущев. Реализация неприводимых представлений IU(3,1) -группы на обобщенных кварковых полях, в сб. "Проблемы физики высоких энергий и теории поля". Труды VII международного семинара, Протвино 1984, с. 337.

116. V.V. Khruschev. On the theory of generalized quark fields. Proc. of the XVII Workshop on High Energy Physics and Field Theory, Protvino 1994, p. 206.

117. V.V. Khruschev, A.N. Leznov. Relativistic invariant Lie algebra for kinematic observables in quantum space-time. Grav.& Cosmol. 9 (2003), p. 159, arXiv:hep-th/0207082 (2002), 8 p.

118. B.B. Хрущев. Измерение сверхмалых пространственно-временных объемов и введение новых фундаментальных констант. Изм. Тех. (1992), с. 10.

119. V.V. Khruschev. The generalized symmetry groups for quantum theories in Minkowski space. Proc. of the XV Workshop on High Energy Physics and Field Theory, Protvino 1992, p. 114.

120. B.B. Хрущев. Модификация процедуры измерения пространственно-временных наблюдаемых при введении дополнительных фундаментальных констант. Изм. Тех. 7 (1994), с. 3.

121. В.В. Хрущев. Ограничения на минимальные значения произведений дисперсий при введении дополнительных фундаментальных констант. Изм. Тех. 8 (1996), с. 3.

122. В.В. Хрущев. Соотношения между пространственно-временными величинами, зависящие от дополнительных фундаментальных констант. Изм. Тех. 12 (1997), с. 3.

123. V.V. Khruschev. The space-time properties of the generalized quark fields. Grav. & Cosmol. 3 (1997), pp. 197, 331.

124. V.V. Khruschev. Confinement and U(3,l) symmetry of color particles in complex phase space, arXiv: hep-ph/0311346 (2003), 4 p.

125. B.B. Хрущев. Определение спектров масс мезонов и постоянной наклона линейно растущего потенциала в модели обобщенных кварковых полей. Ядерная физика 55 (1992), с. 773.

126. V.V. Khruschev, V.I. Savrin, S.V. Semenov. On the parameters of the QCD motivated potential in the relativistic independent quark model. Phys. Lett. В 525 (2002), p. 283.

127. V.V. Khruschev, S.V. Semenov. Evaluation of pseudoscalar meson spectra in relativistic quasiindependent quark model. Письма в ЭЧАЯ 5 (2002), с.5.

128. S.V. Semenov, V.V. Khruschev. Test of universality hypothesis for scalar confining potential between quarks. Proc. of the XV Workshop on High Energy Physics and Field Theory, Protvino 1992, p. 189.

129. C.B. Семенов, B.B. Хрущев. Подтверждение гипотезы универсальности скалярного потенциала конфайнмента в модели обобщенных кварковых полей. Ядерная физика 56 (1993), с. 218.

130. В.В. Хрущев. Определение констант сильных взаимодействий в модели обобщенных кварковых полей. Ядерная физика 58 (1995), с. 1869.

131. V.V. Khruschev. Determination of strong interaction constants on the basis of meson mass spectra. Grav. & Cosmol. 1 (1995), p. 131.

132. V.V. Khruschev, V.I. Savrin, S.V. Semenov. On the universality of quark-antiquark interactions in the independent quark model. Phys. Lett. В 374 (1996), p. 159.

133. V.V. Khruschev. Determination of strong coupling constants at small and large interaction distances. Grav. & Cosmol. 2 (1996), p. 253.

134. B.B. Хрущев. Метод определения констант сильных взаимодействий по спектрам масс адронов. Изм. Тех. 12 (1996), с. 3.

135. V.V. Khruschev, V.I. Savrin, S.V. Semenov. The universality of confining potential and the strong interaction constants in the independent quark model. Proc. of the XXII Workshop on High Energy Physics and Field Theory, Protvino 1999, p. 95.

136. В.И. Саврин, B.B. Хрущев. Спектр радиальных возбуждений 7г и р мезонов в релятивистских потенциальных моделях. Препринт НИИЯФ МГУ 87-017, Москва 1987, 16 с.

137. В.В. Хрущев. Массовые формулы для мезонов, содержащих легкие кварки, в кн. "Проблемы физики высоких энергий и теории поля. Труды X семинара", "Наука", М., 1988, с. 369.

138. Н.Н. Боголюбов, А.А. Логунов, А.И. Оксак, И.Т. Тодоров. "Общие принципы квантовой теории поля", М., Наука, 1987.

139. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.М. Питаевский. "Квантовая электродинамика", М., Наука, 1989.

140. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. "Квантовая электродинамика", М., Наука, 1981.

141. Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. "Релятивистская квантовая теория", тт. 1, 2. М., Наука, 1978.

142. S. Narison, Phys. Rep. 84 (1982), р.263.

143. М.С. Chu et al., Phys. Rev. D49 (1994), p. 6039.

144. N.O. Agasian, Yu.A. Simonov, Mod. Phys. Lett. A10 (1995), p. 1755.

145. V.I. Shevchenko, Yu.A. Simonov. Phys. Rev. Lett. 85 (2000), p. 1811.

146. Yu.A. Simonov, Phys. Lett. B412 (1997), p. 371.

147. Yu.A. Simonov. Chiral Lagrangian with confinement from the QCD Lagrangian, hep-ph/0201170.

148. Yu.A. Simonov, J.A. Tjon, Phys. Rev. D62 (2000), p. 014501.

149. A. Di Giacomo et al., Phys. Rep. 372 (2002), p. 319.

150. E. Fermi and C.N. Yang. Phys. Rev. 76 (1949), p. 1739.

151. M. Gell-Mann. The Eightfold Way: A Theory of Strong Interaction Symmetry. California Inst, of Technology Report CTSL-20, 1961.

152. Y. Neeman. Nucl. Phys. 26 (1973), p. 222.

153. M. Gell-Mann. Acta Phys. Aust. Suppl. 9 (1972), p. 733.

154. B. Sakata. Phys. Rev. 136 (1964), p. 1756.

155. F. Giirsey, L.A. Radicati. Phys. Rev. Lett. 13 (1964), p. 173.

156. A. Pais. Phys. Rev. Lett. 13 (1964), p. 175.

157. E. Wigner. Phys. Rev. 51 (1937), pp. 106, 947.

158. Yu.V. Gaponov, D.M. Vladimirov and J. Bang. Acta Phys. Hung. 3 (1996, Memorial Volume for Eugene Wigner), p. 189.

159. L. O'Raifeartaigh. Phys. Rev. Lett. 14 (1965), p. 575.

160. S. Coleman, J. Mandula. Phys. Rev. 159 (1968), p. 1251.

161. B.B. Хрущев. Препринт ИФВЭ 78-34, Проективные унитарные представления универсальных групп, Серпухов, 1978, сс. 1-7.

162. D. Diakonov, V. Petrov, and М. Polyakov, Z. Phys. A359 (1997), p.305.

163. M. Karliner and H.J. Lipkin, hep-ph/0307243, hep-ph/0307343.

164. R. Jaffe and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 91 (2003), p. 232003; hep-ph/0307341, hep-ph/0312369.

165. X.-C. Song and S.-L. Zhu, hep-ph/0403093.

166. Я.Б. Зельдович, А.Д. Сахаров, ЯФ 4 (1966), с. 395.

167. E.S. Swanson. 7th Intern. Conf. on Hadron Spectroscopy (Hadron 97), Upton, NY, AIP Conf. Proc. 432 (1997), p. 471.

168. A.M. Zaitsev. XXII Intern. Workshop on Fundament. Problems of High Energy Physics and Field Theory, Protvino, 1999, p. 7.

169. A. Abele et al. Phys. Lett. B423 (1998), p. 246.

170. E.I. Ivanov et al. Phys. Rev. Lett. 86 (2001), p. 3977.

171. C.P. Jessop et al. Phys. Rev. D58 (1998), p. 052002.

172. S.J. Richichi et al. Phys. Rev. Lett. 85 (2000), p. 520.

173. S.D. Bass. Gluonic effects in rj and rf physics, hep-ph/0111180.

174. Д.П. Желобенко, "Компактные группы Ли и их представления", М., Наука, 1970.

175. С. Газиорович. "Физика элементарных частиц", М., Наука, 1969.

176. Y. Namby. In book "Preludes in theoret. physics", ed. A. de Shalit et al. N. Holland, 1966.

177. D.B. Lichtenberg et al., Rev. Mod. Rhys. 65 (1993), p. 1199.

178. R.J. Jaffe. Phys. Rev. D15 (1977), p. 267; ibid., D15 (1977), p. 281.

179. D.B. Lichtenberg and L.J. Tassie. Phys. Rev. 155 (1967), p.160.

180. J. Carroll, D.B. Lichtenberg and J. Franklin. Phys. Rev. 174 (1968), p.1681.

181. D.B. Lichtenberg and R.J. Johnson. Had. Journ. 2 (1979), p.l.

182. R. Jakob et al., Z. Phys. A347 (1993), p. 109.

183. Я. Коккедэ. Теория кварков. "Мир", М., 1971.

184. S.M. Troshin, N.E. Tyurin. arXiv:hep-ph/0310113 (2003), 5 p.

185. В. де Альфаро, Т. Редже. "Потенциальное рассеяние", М., Мир, 1966.

186. W. Buchmuller, S.-H.H. Туе. Phys. Rev., D24 (1981), p. 132.

187. Г. Бете, Э. Солпитер. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, М., Физматлит, 1960.

188. A.A. Logunov, A.N. Tavkhelidze. Nuovo Cim. 29 (1963), p. 380.

189. V.G. Kadyshevsky. Nucl. Phys. B6 (1968), p. 125.

190. R.N. Faustov. Ann. Phys. 78 (1973), p.176.

191. F. Gross, J. Milana. Phys. Rev., D43 (1991), p. 2401.

192. H. Leutwyler, Phys. Lett. B98 (1981), p, 447.

193. М.Б. Волошин. ЯФ 36 (1982), с. 247.

194. A. Krämer, H.G. Dosch, R.A. Bertlmann. Fortschr. Phys. 40 (1992), p. 93.

195. S. Titard, F.J. Yndurain. Phys. Lett. B351 (1995), p. 541.

196. Y.A. Simonov, S. Titard, F.J. Yndurain. Phys. Lett. B354 (1995), p. 435.199200 201 202203204205206207208209210 211 212213214215216 217

197. N. Brambilla and A. Vairo. arXiv:hep-ph/9904330. D.V. Shirkov. arXiv:hep-th/0210013. A.V. Nesterenko. arXiv:hep-ph/0305091. G. Bali, Phys. Rep. 343 (2001), p. 1. Y. Sumino, arXiv:hep-ph/0303120.

198. Дж. Браун. Единая теория ядерных моделей и сил, М., 1970.

199. A. Weber, N.E. Ligterink, Phys. Rev., D65 (2002), p. 025009.

200. P. Maris, C.D. Roberts, Int. J. Mod. Phys. E12 (2003), p. 297.

201. N. Mukunda, L.O'Raifeartaigh, and E.C.G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett. 15 (1965) 1041.

202. C.S. Kalman, Can. Л. Phys. 51 (1973), p. 1573.

203. M.B. Савельев, В.В. Хрущев. Ядерная физика 22 (1975); с. 1253. G. Kunstatter and R. Yates, J. Phys. A14 (1981), p. 847.

204. D. M. Gitman and A.L. Shelepin, J. Phys. A26 (1993), p. 7003.

205. S.G. Low, Nuovo Cim. B108 (1993) 841, J. Math. Phys. 38 (1997), p. 2197, J. Phys. A35 (2002), p. 5711.

206. G.W. Mackey, Ann. Math. 55 (1952), p. 101.

207. М.Б. Менский, Метод индуцированных представлений. М., Наука, 1976.

208. С. Хелгасон. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., Мир, 1964.

209. R. Jackiw, arXiv: physics/0209108 (2002), 12 p.

210. A.H. Лезнов, Письма в ЖЭТФ, 6 (1967), с. 821.

211. A.N. Leznov, Nucl. Phys. B640 (2002), p. 469, arXiv: hep-th/0203225 (2002), 16 p.

212. A.N. Leznov, J. Mostovoy, arXiv: hep-th/0208152 (2002), 12 p.

213. И. фон Нейман. Математические основы квантовой механики, "Наука", М., 1964.

214. И.А. Малкин, В.И. Манько. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, "Наука", М., 1979.

215. A.M. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применения, "Наука", М., 1987.

216. Е. Schrödinger, Ber. Kgl. Acad. Wiss. (1930), p. 296.

217. H.P. Robertson, Phys. Rev. A35 (1930), p. 667.

218. Ф.А. Березин. Метод вторичного квантования, Наука, M., 1965.

219. M. Toller, arXiv: hep-th/0305121 (2003), 38 p.

220. LP. Elliot, Т.Н. Skyrme. Proc. Roy. Soc. (London), A232 (1955), p. 561.

221. E. Baranger, C.N. Lee. Nucl. Phys. 22 (1961), p. 157.

222. В.Г. Неудачин, Ю.Ф. Смирнов. Нуклонные ассоциации в легких ядрах. М., Наука, 1968.

223. В.В. Ванагас. Алгебраические методы в теории ядра. Вильнюс, Минтис, 1971.

224. М. Kretzschmer. Z. Phys. 157 (1960), p. 433.

225. M. Kretzschmer. Z. Phys. 158 (1960), p. 284.

226. J. Flores, M. Moshinsky. Nucl. Phys. A93 (1967), p. 81.

227. Г.Ф. Филиппов, В.И. Овчаренко, Ю.Ф. Смирнов. Микроскопическая теория коллективных возбуждений атомных ядер. Киев, Нау-кова думка, 1981.

228. К. Saito, К. Tsushima, arXiv:nucl-th/0307053 (2003), 10 p.

229. D. Gromes. Nucl. Phys. B131 (1977), p.80.

230. T. Barnes, G.I. Ghandour. Phys. Lett. B118 (1982), p. 411.

231. H.J. Schnitzer, Phys. Rev. Lett. 35 (1975), p. 1540.

232. A.B. Henriques, B.H. Kellett, R.G. Moorhouse, Phys. Lett. B64 (1976), p.85.

233. Я.Б. Зельдович, B.C. Попов. УФН, 105 (1971), с. 403.

234. W. Greiner, В. Müller and J. Rafelski. Quantum Electrodynamics of Strong Fields. Springer-Verlag, Heidelberg, 1985.

235. V.D. Mur, V.S. Popov, Yu.A. Simonov and V.P. Yurov. ЖЭТФ, 105 (1994), c. 3-27.

236. F.E. Close, H. Osborn, Phys. Rev. D2 (1970), p. 2127.

237. J. Baake, Y. Igarashi, G. Kasperidus, Z. Phys. C9 (1981), p. 203.

238. D. Gromes, Phys. Lett. B202 (1988), p. 262.

239. H.J. Lipkin, A.N. Tavkhelidze, Preprint ICTP, IC/65/54, Trieste, 1965.

240. B. Diekmann, Phys. Rep. 159 (1988), p. 99.

241. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., "Мир", 1970.

242. Б.В. Нумеров, Труды Центральной Астрофизической Обсерватории, 2 (1933), с. 188.

243. Е. Buendia, R. Guardiola, J. Comput. Phys. 60 (1985), p. 561.

244. А.Б. Говорков. К вопросу о существовании /э(1250). Препринт ОИ-ЯИ Р2-86-682, Дубна, 1986.

245. H.H. Ачасов, A.A. Кожевников. Ядерная физика 65 (2002), с. 158.

246. И.Л. Розенталь, A.M. Снигирев, ЭЧАЯ, 34 (2003), с. 142.

247. А. М. Снигирев, В. В. Хрущев. Сигналы об образовании кварк-глюонной плазмы и способы определения ее параметров. Метрология 7 (1993), с. 2.

248. Д.В. Ширков, ТМФ 132 (2002), с. 484.

249. A.I. Alekseev, В.А. Arbuzov, arXiv:hep-ph/0407056 (2004), 10 p.

250. S.J. Brodsky, arXiv:hep-ph/0311355 (2003), 19 p.

251. А.Д. Сахаров, ЖЭТФ 78 (1980), с. 2112.

252. Ю.И. Иваныпин и др. Препринт ОИЯИ Р2-83-727, Дубна, 1983.

253. М. Jamin, A. Pich. Nucl. Phys. В507 (1997), p. 334.

254. Т. Hatsuda, Т. Kunishiro. Phys. Rep. 247 (1994), p. 221.

255. Y. Nambu, G. Jona-Lasinio. Phys. Rev. 122 (1961), p. 345; ibid. 124 (1961), p.246.

256. L.Ya. Glozman. Why the high lying glueball does not mix with the neighbouring /о. arXiv: hep-ph/0301012, 4 p.

257. N.N. Achasov arXiv:hep-ph/0410051 (2004), 9 p.

258. F.E. Close. arXiv:hep-ph/0110081 (2001), 8 p.

259. A.L. Kataev. arXiv:hep-ph/0406305 (2004), 11 p.

260. A.B. Анисович, В.В. Анисович, М.А. Марков, В.А. Никонов. Ядерная физика, 66 (2003), с. 946.

261. V. Baru et al. Evidence that the a0(980) and /0(980) are not elementary particles. arXiv:hep-ph/0308129.

262. П.Д.Б. Коллинз, Э.Дж. Сквайре. "Полюса Редже в физике частиц", М., 1971.

263. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich and A.V. Sarantsev. Phys. Rev. D62 (2000), p. 051502 arXiv: hep-ph/003113].

264. N.V. Krasnikov, A.A. Pivovarov. Phys. Lett. B112 (1982), p. 397.

265. A.L. Kataev, N.V. Krasnikov, A.A. Pivovarov. Phys. Lett. B123 (1983), p. 93.

266. T.J. Allen and M.G. Olsson. Reduction of the QCD string to a time component vector potential. arXiv:hep-ph/0306128 (2003), 10 p.

267. A.T. Филиппов,"Спектр легких мезонов", УФН 137 (1982), с.201.

268. Ю.А. Симонов. Ядерная физика, 54 (1991), с. 192.

269. G.S. Bali, К. Schilling, A. Wachter. Phys. Rev. D56 (1998), p. 2566.

270. В.А. Матвеев, Б.В. Струминский, А.Н. Тавхелидзе. Сообщение ОИЯИ Р-252, Дубна, 1965.

271. R. Van Royen, V.F. Weisskopf. Nuovo Cimento, A50 (1967), p.617.

272. V.V. Khruschev. Strange meson mass apectrum in relativistic model for quasi-independent quarks. Preprint ИФВЭ 89-111, Serpukhov, 1989, 9 p.

273. G.B. West. Nucl. Phys. Proc. Suppl., 54 (1997), p. 353.

274. M. Suzuki. Phys. Rev., D65 (2002), p. 097507.

275. M. Teper. Nucl. Phys. Proc. Suppl., 109 (2002), p. 134.

276. H. Джекобсон, "Алгебры Ли", M., Мир, 1964.

277. J.C. Burfoot, Brit. J. Appl. Phys. 3 (1953), p. 22.

278. L. Fox, E.T. Goodwin, Proc. Camb. Phil. Soc. 45 (1949), p. 373.

279. M. Силадьи, "Электронная и ионная оптика", М., Мир, 1990.

280. Y.Y. Li, X.Q. Luo, Н. Kroger, arXiv: hep-ph/0404258 (2004), 8 p.