Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюдения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Потапов, Михаил Михайлович

• Потапов, Михаил Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Потапов, Михаил Михайлович

Введение

Глава 1. Линейные уравнения с неравномерными возмущениями в операторе. Вариационный метод

1.1. Описание метода и доказательство сходимости.

1.2. Конечношаговая процедура решения вариационной задачи

1.3. Сумма гильбертовых постранств и связанное с ней отношение двойственности.

Глава 2. Аппроксимация задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач наблюдения для волнового уравнения

2.1. Граничные управления из L2. Управляемость и наблюдаемость

2.2. Конструкция приближенных решений и их сильная сходимость

2.3. Задачи с Дирихле-управлениями из пространства Соболева и двойственные к ним задачи наблюдения. Применение вариационного метода.

2.4. Задачи управления с частичными целями и двойственные к ним задачи наблюдения.

Глава 3. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода

3.1. Задачи с нерегулярными граничными управлениями из пространства, сопряженного к пространству Соболева.

3.2. Задачи с регулярными управлениями из L2 и соответствующие неравенства наблюдаемости.

3.3. Сильная сходимость приближенных решений, построенных вариационным методом

Глава 4. Вариационный подход к решению двойственных задач зонного управления и наблюдения для волнового уравнения

4.1. Задачи с нерегулярными зонными управлениями и регулярными зонными наблюдениями.

4.2. Неравенства управляемости-наблюдаемости для регулярных зонных управлений из L2.

4.3. Приближенное решение задач зонного управления и наблюдения

Глава 5. Вариационный метод в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка 169 5.1. Задачи с граничными управлениями смещением и изгибающим моментом.

5.2. Задачи с граничными управлениями в старших производных

Глава 6. Численные результаты для волнового уравнения с граничными Дирихле-управлениями

6.1. Задача с Дирихле-управлениями из L

6.2. Дирихле-управления из пространства Соболева

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюдения»

В настоящее время приближенные методы решения операторных уравнений, как линейных, так и нелинейных, образуют весьма представительный и вполне сложившийся раздел современной вычислительной математики. Основополагающий вклад в становление и развитие этих методов применительно к уравнениям с неточными данными внесли такие выдающиеся российские математики, как А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К.Иванов [156, 95, 49]. Впоследствии их ученики и последователи В.А.Морозов, А.Б.Бакушинский, В.В.Васин, А.В.Гончарский, В.А.Винокуров, А.С.Леонов, А.Г.Ягола, Г.М.Вай-никко, В.Г.Романов, А.М.Федотов, Ф.П.Васильев, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Денисов, А.Л.Агеев, С.Ф.Гилязов, М.Ю.Кокурин и др. [4, 6]-[9],[16]-[19, 21, 26, 27, 31]-[33],[36, 50, 82, 88, 96],[98]—[104],[115]—[117],[150, 157]-[159, 162, 165, 170, 174, 224, 230], а также зарубежные коллеги C.W.Groetsch, H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer [192, 182], детально проработали многие теоретические и практические аспекты данного научного направления и для случая линейных уравнений вывели технику построения устойчивых приближенных решений на очень высокий уровень. В частности, в [6]-[8, 17] описаны и исследованы целые классы методов регуляризации, вырабатывающие устойчивые приближения к нормальном}'- решению при условии согласования значений регуляризирующих параметров априорным или апостериорным способом с имеющейся информацией о приближенных данных. Тем не менее, даже в этой тщательно и продуктивно исследованной области еще остаются недостаточно изученные классы задач, один из которых и стал главным объектом исследования в данной диссертации.

Внешне эти задачи имеют традиционный вид уравнения

Au = f (1) с линейным ограниченным оператором А б L(H —F), действующим в вещественных сепарабельных гильбертовых пространствах Н и F. Предполагается, что уравнение (1) имеет классическое решение, т.е. / принадлежит R(A) - образу пространства Н при отображении А. Решение может быть неединственным, поэтому для определенности ищется нормальное решение имеющее минимальную норму. Требуется построить устойчивые приближения к в условиях, когда вместо точных исходных данных А и / фактически доступны лишь некоторые их приближения А Е L(H —> F) и / Е F. Основные отличия постановки задачи (1) в настоящей диссертации от традиционной постановки заключаются в характере априорной информации об искомом решении w* и приближенных данных An f, при наличии которой задача должна быть решена. Обычно уравнение (1) решается в предположении выполнения следующих условий: в которых помимо самих приближенных данных А иf должны быть известны и соответствующие им уровни погрешностей г] и S. В работе [104] показано, что при отсутствии каких-либо дополнительных сведений об искомом решении щ одних только приближенных данных A, f без информации об уровнях погрешностей 77, S недостаточно для построения устойчивых приближенных решений, разумеется, если исходная задача (1) изначально была некорректной.

Мы отказываемся от присутствующего в (2) условия равномерной близости операторов А и А, т.е. снимаем требование 77 —^ 0. При этом не обязательно знать и величину 77 погрешности в операторе. Заметим, что при наличии априорной информации о мере аппроксимации 77* операторов на точном решении в [8,159] показано, что сильные приближения к и* могут быть построены и без условия (2) равномерной близости операторов с помощью обычных регуляри-зирующих процедур с априорным выбором параметра регуляризации. В [230] в случае, когда наряду с (3) имеется дополнительная информация о сильной поточечной сходимости сопряженных операторов: А* —»■ А*, указаны способы построения устойчивых приближений к и* с помощью как априорного, так и апостериорного выбора параметра регуляризации по методу невязки. Мы предлагаем другой метод регуляризации, использующий априорную информацию иного типа, отличную от традиционных условий (2) или условия (3).

Появление этого метода было стимулировано выполнением серии работ по конечномерной аппроксимации двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения системами, динамика которых описывалась пространственно-одномерным волновым уравнением [22, 23, 94, 127]—[129]. Во всех этих задачах точные операторы А были линейными ограниченными, но некомпактными., а в роли А выступали их конечномерные приближения. Как известно [151], в такой ситуации погрешность 77 в операторе в принципе не может стремиться к нулю, а от априорной информации типа (3) о величине ту* погрешности на неизвестном точном решении мы принципиально отказываемся. В упомянутых работах [22, 23, 94, 127]—[129] фактически была доказана сильная сходимость приближенных решений только по невязке, а сходимость

2) Аи* |j < ц

3) по агрументам, в роли которых выступали, в частности, управления, доказать не удалось.

С аналогичными проблемами сталкивались и другие авторы [146, 178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234]. Выявление причин, по которым стандартные разностные, проекционно-разностные или полудискретные схемы конечномерной аппроксимации, обладающие свойствами устойчивости и сходимости в прямых задачах, оказываются непригодными для приближенного решения обратных к ним задач, сыграло важнейшую роль в поиске средств борьбы с такого рода неустойчивостями. Оказалось, что при дискретизации непрерывных волновых процессов такие неустойчивости возникают из-за появления среди дискретных решений волн, у которых при измельчении шагов сетки укорачиваются длины и замедляются скорости распространения, в то время как в нерперывной модели все возмущения распространяются с одинаковыми скоростями. Достаточно подробные обсуждения подобных «паразитных» явлений представлены в обзоре E.Zuazua [234] и в книге R.Glowinski, J.L.Lions, J.W.He [191]. Там же можно найти и описания приемов, которые использовались разными авторами для подавления этих неустойчивостей: метода регуляризации А.Н.Тихонова, метода мультисеток, метода конечных элементов со смешанными базисами, введения искусственной вязкости и прямой фильтрации высокочастотных гармоник. Несмотря на внешние различия в конструкциях фактически все эти подходы направлены на подавление вредных высокочастотных осцилляций, привносимых стандартными методами дискретизации. Из перечисленных регуляризующих подходов самым универсальным, не привязанным к типу уравнений, является метод А.Н.Тихонова, однако обоснованное его применение в естественных классах управляемости сдерживается отсутствием у оператора А свойства компактности, а, значит, и отсутствием информации о скорости стремления к нулю погрешности г) в условии (2). Для обоснованного применения остальных методов необходимо детально исследовать свойства (в основном, спектральные) дискретных моделей, чтобы затем использовать их для введения дополнительных сеток или дополнительных базисных функций, определения величины искусственной вязкости или нижней границы срезаемых частот. Кстати, такая дополнительная информация о свойствах дискретных моделей при определенных условиях вполне могла бы быть подходящей заменой для условия (2) с известным г] при выборе в методе А.Н.Тихонова значения параметра регуляризации.

Суть наших предложений заключается в том, чтобы для дискретной аппроксимации обратных задач использовать любые схемы, подходящие для решения прямых задач, не подвергая их никакой дополнительной модификации, а с явлениями неустойчивости в решениях обратных задач, которые могут возникнуть при такой дискретизации, бороться с помощью дополнительной информации о точных решениях обратных задач. Именно, предлагаемый нами метод решения уравнения (1) с неточными данными работает в предположении, что искомое точное нормальное решение щ истокопредста-вимо: щ — JHA*vv* € F*, |M|f* s* Г, (4) а величина г в (4), ограничивающая норму элемента-источника г>*, известна. В (4) А* € L(F* Н*) - оператор, сопряженный к А, действующий в сопряженных гильбертовых пространствах F* и Н*, возможное отождествление которых по Риссу [81, 83, 151, 161] с основными пространствами F и Н в общем случае не производится. В приложениях привилегия таких отождествлений обычно закрепляется только за обычными или весовыми пространствами Лебега L2 интегрируемых с квадратом функций [30, 105, 124]. По этой причине в (4) и присутствует явно оператор Рисса J# : Н* —> Н, устанавливающий соответствующий изоморфизм. Условия (2) равномерной операторной близости замещаются более слабыми условиями сильной поточечной сходимости операторов:

Au-Au\\f-*0 \/ивН, \\A*v - A*v\\H. 0 Vv е F*. (5) Правая часть уравнения (1) может быть известна приближенно:

Н7-/11^-о, (6) а уровень погрешности в (6) может оставаться неизвестным. В (5) предполагается, что приближенные операторы А и А* действуют в тех же пространствах, что и их точные прототипы: А £ L(H F), A* G L(F* —> Н*), и что операторы А*, приближающие А*, являются сопряженными к А : А* = (А)*. Заметим, что в отличие от случая равномерной близости, которая в силу равенства норм ||А — Л|| = ||А* — А*|| имеет место сразу для обоих взаимно сопряженных операторов, ни одно из двух условий поточечной сходимости в (5), вообще говоря, не следует из другого [151].

При наличии информации (4)-(6) приближенные решения и уравнения (1) предлагается искать в истокообразном виде и = JhA*v, veF\ Mf-^г, (7) со значением г, взятым из (4). Элементы-источники v в (7) выбираются из естественных соображений минимизации уклонения

И« - \\н = II JhA*v - щ\\% = \\JHA*v\\2H - 2 (JHA*v, и*)н + , в котором последнее слагаемое от v не зависит, а сумма первых двух с помо-' щью теоремы Рисса и транспонирования записывается в виде квадратичного функционала ЦА^Ц^. — 2(г?, Аи*) . В силу (5) Аи* —> Ащ = /, поэтому с учетом (6) этот функционал будет близок к функционалу

I(v) = \\A*v\\%.-2(f,v), (8) содержащему только реально доступные данные. Предлагаемый метод состоит в минимизации квадратичного функционала (8) на шаре \\v\\р* ^ г радиуса г в пространстве F*. По любому ^-приближенному решению этой задачи, т.е. по любому элементу v, удовлетворяющему условиям

V е F\ Щр. < г, I(v) ^ inf I(v) + 5, (9) veF*, ||u||F»<r в соответствии с (7) определяется итоговое приближение v = JhA*v. Этот метод, который мы будем называть вариационным, впервые был предложен в работах [221, 130]—[132, 97, 24], а в диссертации он представлен в форме, сложившейся под влиянием рассмотренных впоследствии приложений [133]— [145, 25, 222, 223].

Априорная информация (4), имеющая принципиальное значение для возможности применения вариационного метода, доступна в случае, когда сопряженный оператор А* непрерывно обратим на своем образе R(A*) или, по терминологии С.Г.Крейна [89], корректно разрешим, т.е. имеет место оценка

A*vfH. > n\\vfF. Vv е F*, (10) причем значение постоянной ц > 0 в этой оценке должно быть известно. Тогда, если правая часть / Е F уравнения (1) известна точно, то условие (4) будет выполняться со значениями г ^ а если вместо / известно некоторое приближение / £ F, то потребуется знание и соответствующего уровня погрешности: ||/ — f\\p ^ 5. По данным /, 5 определяется диапазон возможных значений параметра г : г ^ (11)

Разумеется, при практическом применении метода целесообразно выбирать значения г, близкие к нижней границе диапазона (11).

Условие (10) является хотя и весьма жестким, но все же не уникальным и выполняется, в частности, в задачах из работ [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234], посвященных вычислениям. Правда, вычислительные процедуры в этих работах организовывались по другим сценариям, в которых оценка

10) не использовалась. В главах 2-5 настоящей диссертации, посвященных приложениям вариационного метода к различным задачам управления и наблюдения для процессов колебаний, будет показано, что во всех этих приложениях оценка (10) выполняется на достаточно протяженных временных промежутках, и что важные для реализации метода значения параметра ц определяются конструктивно. Эти задачи управления и наблюдения будут записываться в форме взаимно сопряженных линейных операторных уравнений [20] Аи = / и A*v = д. Уравнением Аи = / описывается задача отыскания управления и, переводящего систему в заданное целевое состояние /, а в форме сопряженного уравнения A*v = д записывается двойственая задача восстановления состояния v сопряженной системы по наблюдениям д за ее траекторией. Основными проблемами в задачах управления и наблюдения традиционно считаются проблемы управляемости, наблюдаелюсти и стабилизируемости, которым посвящено огромное число работ (см., например, [1, 3, 13]—[15, 29, 35, 37]—[48, 52]—[62, 63, 64, 65]—[79, 85, 87, 91, 92, 112]-[114, 119, 120, 122,123, 147]-[149, 153]-[155, 163, 164, 166]-[169, 171]—[173, 175]-[177, 179]—[181, 185]—[187, 189, 191, 193]-[206, 210]—[216, 227]-[229, 231]—[235] и цитируемую в них литературу).

Под управляемостью обычно понимают возможность попадания в любую наперед заданную цель /, а под наблюдаемостью - единственность восстанавливаемого состояния v, порождающего наблюдаемый сигнал д. На операторном языке управляемость означает существование решения операторного уравнения Аи = f для любой правой части / или, другими словами, равенство R(A) = F. Наблюдаемость - это не что иное как единственность решения сопряженного уравнения A*v = g или тривиальность ядра сопряженного оператора: N(A*) = {0}. Условие (10), являющееся основным инструментом определения важного для численных расчетов значения параметра г, обеспечивает также и наличие обоих этих свойств: и наблюдаемости, и управляемости. Действительно, при выполнении неравенства (10) ядро сопряженного оператора тривиально: N(A*) = {0}, что означает наблюдаемость, а его образ будет замкнут: R(A*) = R(A*). Тогда, как известно [49, 161], замкнутым будет и образ самого оператора А : R{A) = R(A), что с учетом ортогонального разложения R(A) 0 N(A*) = F означает равенство R(A) = F, т.е. наличие управляемости. По этим соображениям оценки типа (10), следуя, например, [191, 234], мы называем неравенствами наблюдаемости.

Большинство авторов, занимавшихся проблемами управляемости и наблюдаемости, обычно интересовал сам факт наличия оценки (10) или отыскание наименьшего значения момента времени Т*, начиная с которого, т.е. при Т > Т*, постоянная fi становилась положительной, а оценка (10) - содержательной. Конкретные значения постоянной /2, без которых нам трудно обойтись при численной реализации вариационного метода, как правило, их не интересовали. В связи с этим в диссертации значительные усилия направлены на развитие техники вывода конструктивных неравенств наблюдаемости.

На наш взгляд, актуальность выбранной тематики обусловлена наличием реальной потребности в устойчивых методах численного решения различных уравнений в различных информационных условиях. Один из таких универсальных методов решения произвольных линейных уравнений при выполнении условий (4)-(6) предложен в диссертации. Полагая, что универсальность сама по себе является заслуживающим признания достоинством, мы сознательно воздерживаемся от каких-либо прямых сравнений нашего метода по точности, экономичности или другим критериям со специализированными методами из [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234], заранее признавая возможные преимущества последних по тем или иным показателям в тех конкретных задачах, на решение которых они и были ориентированы. В связи с этим в главе 6, посвященной численным экспериментам, тестируется лишь сам вариационный метод на предмет адекватности его результатов шагам сетки и уровню шума.

Итак, главными в диссертации можно объявить следующие направления исследований:

1. Разработка устойчивого метода решения линейных уравнений в гильбертовых пространствах, подходящего для случая неравномерных возмущений в операторе, возникающих, например, при его конечномерной аппроскима-ции. Определение условий применимости метода, исследование свойств его сходимости и разработка вычислительного алгоритма для его практической реализации.

2. Применение данного метода к двойственным задачам управления и наблюдения для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами с целью построения сильно сходящихся приближенных решений. При необходимости вывод соответствующих конструктивных неравенств наблюдаемости (10) и развитие техники доказательства условий сильной поточечной сходимости (5). Демонстрация практической работоспособности вариационного метода на одном из теоретически исследованных в диссертации приложений.

В главе 1 в § 1.1 представлен центральный результат диссертации - вариационный метод и приведено доказательство его сходимости. Этот метод применяется к линейным уравнениям (1) при условиях (4)-(6) и по существу уже описан в (7)-(9). В конструкцию (7)-(9) в тексте диссертации вносится лишь одно изменение, подсказанное приложениями: область вариации элементов-источников г>, которая в предварительном описании (7)-(9) совпадала со всем сопряженным пространством F*, сужается до риссовского прообраза F* некоторого (на практике конечномерного) подпространства F пространства F, содержащего образ приближенного оператора:

F* = J^(F), где R(A) G F (Z F, и уже в F* выделяется шар

B(r) = {veF* | |Mli-<r} (12) радиуса г, на котором ставится оптимизационная задача (9).

В теореме 1.1 выводится оценка точности вырабатываемых вариационным методом приближений, из которой следует их сильная сходимость к нормальному решению уравнения (1). Заметим, что при наличии неравенства наблюдаемости (10) с известной постоянной fi> 0 вариационный метод можно применять не только к уравнению (1), но и к сопряженному уравнению A*v = д. Дело в том, что из (10) в предположении существования решения v следуют единственность этого решения, его истокопредставимость и оценка для нормы источника:

V = Jp'Au,, \\щ\\н < 5 что позволяет определять значение радиуса шара г в случае приближенно заданной правой части д по правилу, аналогичному (11): если деН\ \\д - д\\н* О, то r ^ Mkdi .

Выпуклая задача минимизации квадратичного функционала (8) на шаре (12) может быть решена различными методами за конечное число шагов, количество которых можно рассчитать заранее по заданному уровню точности е. В частности, для этих целей подходит стандартный метод проекции градиента [18, 19, 21], однако при численных расчетах мы использовали другой, на наш взгляд, более эффективный и экономичный метод итерационного типа, предложенный в [132] и описанный в § 1.2. Этот метод основан на правиле множителей Лагранжа и на важном свойстве непрерывной монотонной зависимости от Л норм ||v(A)||ir. элементов гТ(Л), являющихся единственными решениями уравнения Эйлера для функции Лагранжа 1{у) + Л(||г>|||,, — г2) при каждом фиксированном Л > 0 :

JplAJHA* + Л/) v = J^Qf, v Е F*, Л > 0, (13) где Q : F F - оператор ортогонального проектирования. Гарантированная оценка погрешности этого метода была получена в [132], а в теореме 1.2 приводится усовершенствованный вариант этой оценки.

В § 1.3 излагается математический аппарат, используемый в главах 2-4 при выводе конструктивных неравенств наблюдаемости (10). За основу берутся банаховы конструкции для сумм X + Y и пересечений X П Y пространств X, Y из [12] и модифицируются для того, чтобы в случае гильбертовых пространств X, Y их сумма X + Y и пересечение X C\Y оставались гильбертовыми. Рассматривается случай, когда гильбертово пространство Н отождествлено по Риссу со своим сопряженным, X, Y — гильбертовы пространства, каждое из которых непрерывно и всюду плотно вкладывется в Н и организованы обычные канонические вложения [105]:

ХСН~Н* СХ\ У С Я ~ Я* С Y*. (14)

В теореме 1.3 приводится аналогичное [12] отношение двойственности:

1 + Г)+ = ГпГ. (15)

В теореме 1.4 устанавливается связь между операторами Рисса Jx X* —> X, Jy Y* Y и Jx+y {X -\-Y)* —> X + У. Далее описываются два варианта разложений в сумму конкретного функционального пространства Я1 (0,1) = /), которые используются в следующих главах при выводе конструктивных неравенств наблюдаемости в задачах с граничными и зонными управлениями и наблюдениями для волнового уравнения. Роль базового гильбертова пространства Н в обоих случаях будет играть пространство Lp(0,I) измеримых интегрируемых по Лебегу с квадратом на отрезке х € [0, /] функций со скалярным произведением (/, д)ь-(о,1) = /0' p{x)f(x)g{x) dx: в котором весовая функция р{х) 6 О1 [0, Z], р{х) > 0 и которое отождествляется по Риссу со своим сопряженным: (1^(0, Z))* ~ L2p(0,l). Соответствующие этим разложениям отношения двойственности вида (15) и правила скалярного умножения в Н1(0,1) приведены в теоремах 1.5 и 1.6. Результаты первой главы, относящиеся к вариационному методу, опубликованы в [221, 130]— [132, 97, 24]. Свойства описанных в теоремах 1.5 и 1.6 разложений использовались в [25, 134]—[143, 222, 223].

В главе 2 рассматриваются приложения вариационного метода к задачам Дирихле-управления и двойственным к ним задачам Нейман-наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами. Именно с этих задач в [22] начались попытки автора построить устойчивый вычислительный алгоритм для отыскания их приближенных решений, которые привели к появлению вариационного метода. В первых двух параграфах главы 2 излагается модифицированная и более подробная версия материалов, первоначально представленных в статье [131].

Задача с двусторонними Дирихле-управлениями имеет вид: р{х) ytt = (k(x) ух)х, 0 <t<T, 0 < х < I, у\х= o = u0(t), y\x=i = ui{t), 0 <t<T, (16)

У U=o = 0, yt\t=о = 0, 0 < х < I.

Значения Т > 0, I > 0 и коэффициенты уравнения р(х) > 0, к(х) > 0, р(х), к(х) е С1 [0,2], предполагаются заданными. Требуется выбором граничных управлений и — u(t) = (uQ(t): Щ(t)) перевести систему (16) в заданное целевое состояние / = f(x) = (/°(ж), f1{x)) : у | t=T — f°(x), vt\t^r = f\x), 0 <х<1. (17)

В двойственной задаче наблюдения фазовая траектория р = p(t, х) является решением того же дифференциального уравнения с обратным течением времени и однородными граничными условиями того же типа: р(х) Ри = (к(х) рх)х, 0 <t<T, 0 <х <1, р\х=о = 0, pU=z = 0, 0 <t<T, (18)

P\t=r = v°(x), yt j t=T = -v1^), 0 <x<l.

Объектом наблюдения являются граничные значения производных по х : g0(t) = крх\х=0, gi(t) = -kPx\x=l, 0 <t<T, (19) а целью наблюдения - восстановление конечного состояния v = v(x) = (v°(x), v1(x)) процесса (18) по дополнительной информации (19) о значениях функций д = g(t) = (go(t), 31 СО)- Задачи управления (16),(17) и наблюдения (18),(19) записываются в форме взаимно сопряженных уравнений с линейными ограниченными операторами, действующими в сопряженных гильбертовых пространствах:

Au = f, А е L(H —> F), Au={y(T,x),yt(T,x)), (20)

A*v = д, А* е L(F* -> #*), A*v = (k(0)px(t, 0), -k(l)px(tj)). (21)

В § 2.1 рассматираются постановки в пространствах и е Н = L2(0,T) х L2(0, Т), feF = £2(0,1) х Н~\0, /), v€F* = Hi(0,l) xL2p(0}l), gEH* = H = L2(0,T)xL2(0,T).

Сведения о свойствах слабых и сильных обобщенных решений дифференциальных задач (16) и (18), подтверждающие корректность определений (20),(21), содержатся в [34, 51, 54, 55, 110, 111, 208, 214].

В случае уравнений с постоянными коэффициентами задачи управления (16),(17) и наблюдения (18),(19) могут быть решены аналитически в различных функциональных классах. В этом направлении в последнее время большую и плодотворную работу выполнили В.А.Ильин, Е.И.Моисеев, А.И.Егоров, Л.Н.Знаменская и др. (см. [39, 40, 45]-[48, 52]-[57, 61, 68, 69, 73, 75, 78, 79, 112, 114, 166, 167] и цитированную там литературу); при этом во многих случаях были получены исчерпывающие результаты. Для рассматриваемого в дис-сертацгш случая переменных коэффициентов интересные результаты получены А.В.Боровских, указавшим в [15], с одной стороны, достаточно конструктивную, а, с другой стороны, не совсем явную схему отыскания граничных управлений, которая, судя по всему, могла бы лечь в основу специализированной вычислительной процедуры, ориентированной на решение обратных задач для волнового уравнения, но проблемы вычислений в [15] не затрагивались. Эти проблемы являются одним из главных направлений исследований в данной диссертации, и решать их предлагается с помощью универсального вариационного метода, применение которого требует знания в (12) радиуса г шара В(г). Основным источником такой информации является для нас неравенство наблюдаемости (10), которое в классах (22) несложно получается с помощью техники, предложенной L.F.Ho в [195] для других задач с пространственно-локализованными (зонными) управлениями. В теореме 2.1 эта оценка приведена с целью предъявления явного значения постоянной // и без претензий на новизну, хотя, с другой стороны, мы не можем указать и прямую ссылку на источник, в котором эта оценка была бы выписана. В теореме 2.2 аналогичная оценка приведена для задач с левосторонними управлениями и = щ(£) £ Н = L2(0,T) и закрепленным правым концом х — I, когда ui(t) = 0, и задач с левосторонними наблюдениями, в которых g = g0(t) = kpx\x=0eL2(0,T).

В § 2.2 с помощью вариационного метода на базе конечно-разностных аппроксимаций строятся приближенные решения задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач Нейман-наблюдения. Для этого на отрезках [0, Т] и [0, /] вводятся равномерные сетки с шагами т по t и h по х, на которых, как и в [131], для дискретизации обеих дифференциальных задач (16) и (18) выбираются классические явные разностные схемы [152], для устойчивости которых шаги сетки т и h должны быть согласованными. На базе этих дискретных конструкций стоятся конечномерные взаимно сопряженные отображения А — Ат;г, А* = A*Th, действующие в тех же пространствах, что и исходные операторы А, А*. В леммах 2.1-2.3 устанавливаются важные для применимости вариационного метода свойства взаимной сопряженности операторов А и А* и свойства (5) их сильной поточечной сходимости. В теоремах 2.3 и 2.4 доказана сильная сходимость приближенных решений к точным при т, h, е —»• 0 (е - это параметр из (9)) для задач с двусторонними и односторонними граничными управлениями соответственно.

§ 2.3 посвящен случаю более регулярных граничных управлений и написан по материалам авторских публикаций [134, 135, 138, 140]. В § 2.3 граничные управления выбираются из пространства Соболева Н1(0,Т) = И^О, Т) и им соответствуют более регулярные обобщенные решения у = y(t,x) из класса W^CQt)? введенного в работах В.А.Ильина [54, 55]. Именно в этом классе для волнового уравнения с постоянными коэффициентами В.А.Ильин и Е.И.Моисеев выполнили большую часть своих исследований по отысканию явных аналитических выражений для нормальных граничных управлений на достаточно протяженных временных промежутках [54]-[57, 61, 68, 69, 73]. В случае переменных коэффициентов применимость вариационного метода существенным образом зависит от наличия неравенства наблюдаемости (10) с известным значением // > 0. При переходе к более гладкому классу граничных управлений снижается регулярность решений р двойственной задачи наблюдения, а, как известно, свойства едртнственности, к усиленным разновидностям которых относится оценка (10), в менее регулярных и более широких классах доказывать сложнее. В связи с этим в число основных результатов диссертации из § 2.3 в отличие от § 2.1 включаются также и конструктивные неравенства наблюдаемости, полученные в теореме 2.5 для задач с односторонними и в теореме 2.6 для задач с двусторонними управлениями и наблюдениями. Заметим, что при выводе неравенств наблюдаемости случаи односторонних и двусторонних управлений из Н1(О, Т) оказываются уже не столь аналогичными, как в случае управлений из L2(0, Т). В более сложном случае двусторонних управлений существенно используется теорема 2.5 в комбинации с одним из разложений пространства целевых состояний 771(0, /), заготовленных в § 1.3, и соответствующим ему отношением двойственности (15). В теоремах 2.7 и 2.8 доказывется сильная сходимость приближенных решений двойственных задач с более гладкими управлениями и двойственных к ним задач наблюдения для односторонних и двусторонних постановок соответственно.

В § 2.4 рассматриваются задачи с односторонними и двусторонними Дирихле-управлениями из пространства Соболева, в которых в заданный конечный момент Т управляемую систему требуется перевести либо в состояние f°(x) с неважно какой скоростью /1(ж), либо требуется вывести систему на скоростной режим /1(гс), не заботясь при этом о ее фазовой позиции /°(ж). В теореме 2.9 представлено неравенство наблюдаемости для задач с односторонними, а в теореме 2.10 - для задач с двусторонними управлениями и наблюдениями. Основные отличия задач с ослабленными целями от их аналогов с полным целевым набором (17) сводятся фактически к уменьшению в два раза значения порогового момента управляемости-наблюдаемости. Все остальные изменения столь естественны, что мы решили во избежание повторов не выходить в диссертации за рамки затронутой в [135] проблематики и не обсуждать подобные постановки ни для задач из § 2.1 с менее регулярными граничными Дирихле-управлениями из L2(0, Г), ни в последующих главах для задач с управлениями и наблюдениями других типов, а также и вопросы аппроксимации таких задач.

В главе 3, написанной по материалам публикаций [127,129,136]—[140,222], вариационный метод применяется к задачам граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями второго и третьего рода. Задача с двусторонними управлениями и целевыми условиями (17) имеет вид р(х) Уи = (k{x) ух)х, 0 <t<T, 0 <х <1, -кух-\-а0у\ = u0(t), кух + спу\ x=l = ui{t), 0 <t<T, (23) УI t=o = 0, yt 14=0 = 0, 0 < х < I.

Двойственная к ней задача наблюдения описывается системой

Р{х) Pit = (к(х) Vx)xr 0 <t<T, 0 <х<1, -kpx + crop\x=o = 0, kpx + aip\xssi = 01 0 < t < Г, (24) p\t=T = v°(x), pt\t=T = -и1 (я), 0'< х < г, с дополнительной граничной информацией вида p\x=o = go(t), p\x=i = gi(t), 0 <t<T.

Граничные коэффициенты.сто, (Т\ ^ 0 считаются заданными и могут обращаться в ноль вместе или по отдельности, т.е. не исключаются возможности, когда одно из краевых условий или оба они являются граничными условиями второго рода (Неймана). Для уравнений с постоянными, коэффициентами р(х) и к(х) и граничными управлениями в условиях второго и третьего рода ряд аналитических результатов получен в работах В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, Л.Н.Знаменской, В.В.Тихомирова, А.А.Никитина, А.А.Кулешова и др. [47, 60, 61, 71, 73, 74, 76, 77, 113, 118]-[122, 147]-[149, 154, 155].

С позиций точной управляемости и минимизации соответствующего порогового момента такие задачи для дифференциальных уравнений с младшими членами и в многомерном случае исследовались в [201], однако далеко не все результаты из [201] настолько конструктивны, чтобы можно было по ним определять и значения постоянной /г, важные для нас с вычислительной точки зрения.

В § 3.1 в теореме 3.1 получено неравенство наблюдаемости для случая управлений из нерегулярного класса и = (uo{t), ui(t)) 6 Я = (Я1(0,Т))* х (Ях(0, Т))*, которым соответствуют цели согласованной степени гладкости / = (/°(я), f\x)) е F = 1/2(0,/) х (Ях(0,/))*. В диссертации это неравенство представлено в несколько измененном по сравнению с первоначальной версией из [129] виде, выбранном с учетом опыта, приобретенного позже в [136]—[139]. При этом, как и в главе 2, за основу берется конструкция мультипликатора, предложенная L.F.Ho [195] для задач с управлениями другого типа.

В § 3.2 рассматривается более сложный для вывода неравенств наблюдаемости случай задачи (23),(17) с более регулярными управлениями и целями: и = (uo(t),u!(*)) е я = L2(0,T) х L2(0,T), f = (f°(x), f^x)) e F = H1(0,1) x L2{0, l). В этом случае оператор управления А действует по правилу (20), а оператор наблюдения - по правилу

A*v = (p(t, 0), p(t, /)), 0 < t < Т, A* G L(F* Н*), F* = L2p{0,1) х (Ях(0, /))*, Н* = Н = L2{0, Т) х L2(0, Т).

В теореме 3.2 представлено соответствующее этим пространствам конструктивное неравенство наблюдаемости. Далее рассматривается случай односторонних управлений, когда в (23) u\{t) = 0. В этом случае неравенства наблюдаемости доказываются отдельно в теореме 3.3 для больших, а в теореме 3.4 для малых значений коэффициента <j\ > 0 на ненаблюдаемом конце х = I. Из этих результатов в теореме 3.5 конструируется неравенство наблюдаемости для случая произвольных > 0. В случае постоянных р(х). к(х) значения пороговых моментов в теоремах 3.3 и 3.4 оказываются лишь асимптотически оптимальными при сг\ —» +оо и (Т\ —» 0, когда правое граничное условие приближается по типу к условию Дирихле и Неймана соответственно. Для умеренных значений а\ значение порогового момента заметно отклоняется от оптимального, а структура постоянной fi усложняется, не теряя при этом конструктивности.

В § 3.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения двойственных задач управления и наблюдения для нерегулярных управлений и = (uo(t), ui{t)) еН= (Ях( 0, Т))* х (Ях( 0, Т))* в теореме 3.6 и для регулярных управлений и = (uQ(t), ui(t)) е Я — L2(0,T) х L2(0,T) в теореме 3.7. В обоих случаях сильная сходимость устанавливается только для задач двустороннего типа, в которых постоянные /1 имеют более простую конструкцию.

В главе 4 рассматриваются задачи управления того же вида, что и в [195]: р{х) уи = (k(x) ух)х + Bu(t, ж), (t, x)eQ = (О, Т) х (О, I),

У U=o = 0, у\а^ = о, 0 <t<T, (25) у |t=o = 0, yt |i=0 = 0, 0 < х < Z, с зонными управлениями, однородными граничными условиями Дирихле и целями (17). Областью приложения управляющих воздействий и = u(t, х) является содержащаяся в Q зона Q = (О, Т) xw прямоугольной формы, ограниченная по х промежутком ш = с заданными границами Q<I1<I2<I. На части Q \ Г2 прямоугольника Q, находящейся за пределами зоны Г2, оператор В доопределяет значения u(t, х) нулями.

В § 4.1 выводятся конструктивные неравенства наблюдаемости для управлений из нерегулярных классов иеЯ=(Я1(П)Г и иеН = Ь2(0,Т](Н1(ш)У).

Таким управлениям соответствуют целевые состояния / = (/°(ж), fL(x)) е L2(0,/)х € Я-1(0,1). Сопряженная система имеет вид (18), а в роли наблюдений выступают значения ее решения p(t,x) в зоне Q. Оператор наблюдения А* е L(F* Я*), F* = #£(0,1) х L2(0,0, действует по правилу

A*v = (B*p)(t,x), (t,x) efi, с участием оператора сужения В*, сопряженного к оператору продолжения В из (25). Конструктивное неравенство наблюдаемости в случае, когда и € (Hl(Q))*, фактически было получено в [195], а в статье [94] и в диссертации в теореме 4.1 оно приводится для удобства последующего применения вариационного метода. В более сложном случае, когда и G Ь2(0, Г; (Я1 (а;))*), L.F.Ho в [195] удалось сохранить значение порогового момента Т*. но значение fi перешло при этом из категории известных в категорию существующих, чего было вполне достаточно для достижения главной цели L.F.Ho - доказательства точной управляемости. В теореме 4.2 для случая и € L2(0,T; (Ях(а;))*) получено неравенство наблюдаемости, в котором значение постоянной /а определяется конструктивно и зависит от параметра а > 0. Этот параметр теоретически может быть сколь угодно малым и играет роль скачка в точках разрыва x — linx = l2 предложенного нами мультипликатора. От параметра а зависит также и пороговый момент Т*(а;), причем при а —» 0 значение

Т*(а) будет стремиться к оптимальному значению, которое в случае постоянных коэффициентов равно Т*(0) = 2 max{Zi, I — /2}.

В § 4.2 конструктивное неравенство наблюдаемости выводится для слабых решений системы, сопряженной к задаче (25) с регулярными управлениями u(t,x) Е L2(H), при которых пространством целевых функций становится F = Hq(0,1) х Ь2р(0,1). Здесь нам пришлось использовать и разрывный мультипликатор, и процедуру сглаживания нерегулярных решений и второе из заготовленных в § 1.3 специальных разложений пространства целевых состояний fQ(x). Соответствующий результат сформулирован в теореме 4.3, в которой зависимость постоянной [1 от параметра а не теряет конструктивность, а ее усложнения по сравнению с теоремой 4.2 имеют чисто технический характер.

В § 4.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения задач (25),(17) с зонными управлениями из (Я1 (О))*, а также двойственных к ним задач зонного наблюдения. Как уже отмечалось, вывод неравенств наблюдаемости усложняется по мере сужения класса управлений, которое сопровождается расширением множества решений сопряженной системы, но после того, как эти неравенства уже получены (в теоремах 4.1-4.3), принципиальной разницы в сложности конструкций вырабатывемых вариационным методом приближений и в доказательствах их сходимости не наблюдается. Поэтому для демонстрации возможностей вариационного метода в главе 4 был выбран только один из трех классов задач с самым широким пространством управлений (ЯХ(П))*. Соответствующий результат о сходимости приближенных решений доказан в теореме 4.4.

Результаты, представленные в теоремах 4.2-4.4, опубликованы в форме докладов на конференциях [141, 142, 223]; их журнальные версии находятся в печати. В работе [94], написанной до появления вариационного метода, были получены предварительные результаты о сильной поточечной сходимости вида (5) в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения с постоянными коэффициентами.

В главе 5 демонстрируются возможности вариационного метода применительно к двойственным задачам граничного управления и наблюдения для дифференциального уравнения второго порядка по времени и четвертого порядка по пространству, описывающего процесс поперечных колебаний стержня (балки) и известного также под названиями «система Петровского» [216, 201] или «уравнение Эйлера-Бернулли» [214]. Присутствие в уравнении производных высокого порядка открывает широкие возможности для выбора граничных условий различных типов в различных комбинациях. Не имея намерений охватить сколь-либо систематически даже малую их часть, мы ограничиваемся в диссертации обсуждением только двух вариантов постановок в рамках опубликованных работ [133, 144, 145].

В § 5.1 рассматривается задача граничного управления смещением и изгибающим моментом на левом конце отрезка («вторая система Петровского» по терминологии [216, 201]) для уравнения с постоянными коэффициентами:

Уи + Ухххх = 0, 0 < t < Т, 0 < х < I, y\x=o = u0{t), y\x=i = 0, 0 <t<T,

-Ухх | х=0 = Ui(i), ухх I Х=1 = 0, 0 <t <Т, у | t=o = 0, yt | t=o = 0, 0 < х < L

Граничные управления и = (wo(^)j ui{t)) должны обеспечить перевод системы (26) в заданное целевое состояние (17), а оператор управления А действует по правилу (20), только в других пространствах. Действие оператора наблюдения А* описывется сопряженной системой с обратным течением времени, с таким же дифференциальным уравнением и такими же, только однородными, граничными условиями, что и в (26), и финальными условиями р \ыг = v\x), pt\t=T = -Уг(х), 0<х <1. (27)

Значения сопряженного оператора вычисляются по правилу

A*V = (-Рххх\х=0, Рх | х=0 )) 0 <t <Т.

В задаче наблюдения требуется восстановить конечное состояние v — (v°, v1) в (27) по известным значениям д = (go(t), gi(t)), где go(t) = рх\х=о, 9i(t) = —Рххх |ж=о- Задачи управления и наблюдения ставятся в пространствах иен = L2(0,Т) х (Я *(0,Г))*, feF = Н~\0,1) х V*, V е F* = V X Hj(0,I), ден* = L2{О, Т) X Н1{0, Т), где V = {f(x) £ Я3(О,/) Л Hq(0,1) | f'(O) = f"(l) = 0} - гильбертово пространство со скалярным произведением (/, д)у = /0' f''{x)gm{x) dx. Неравенство наблюдаемости (10) в этих пространствах с явным выражением для fi представлено в теореме 5.1.

Для аппроксимации обоих непрерывных процессов используются явные трехслойные разностные схемы с пятиточечным шаблоном по ж и согласованными шагами сетки. В теореме 5.2 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (26),(17) и двойственной к ней задачи наблюдения, построенных с помощью вариационного метода. Материалы § 5.1 опубликованы в [144, 145].

В § 5.2 рассматривается задача с двусторонними граничными управлениями в старших производных для уравнения с переменными коэффициентами р(х) ytt + (к(х) ухх)хх = 0, 0 < * < Г, 0 <х <1, -к(х) ухх | ж=0 = 0, к(х) yxx\x=:i = Q, 0 < t < Т,

28)

-(k(x)yxx)x\x=0 = u0(t), (k(x)yxv)x\x=i=ui(t), 0 <t<T, УI t=o = 0, yt | t=o = 0? 0 < х < и целевыми установками вида (17). По проблемам точной управляемости для задач вида (28),(17) нам какие-либо результаты других авторов неизвестны. В двойственной1 задаче наблюдения процесс описывается системой того же вида (28), но с обратным течением времени, однородными граничными условиями и конечными условиями p\t=T = ~v°(x), pt\t=T = v1(x), 0 < х < I. (29)

Наблюдаемыми сигналами являются граничные значения самого решения:

9 = (ffo(t), 9i(i)), 9o{t) = p(t, 0), 9l(t) = p{t, I), 0 < t < Г, а искомыми являются функции и = (г>0(ж), v1(a:)) из (29). Задачи управления и наблюдения рассматриваются в пространствах и € Н = (Н\0,Т))* х (#40, Т))*, feF = 1,2(0,0 х (Я2(0,0)*, V е F* = Я2(0,0 х 1,2(0,0, ден* = Я2(0,Г) х Я^Т).

Соответствующее этим классам неравенство наблюдаемости вида (10) с явным выражением для постоянной fi получено в теореме 5.3.

Для аппроксимации также, как и в § 5.1, используется явная трехслойная разностная схема с пятиточечным шаблоном по а; и соответствующими поправками как в самой схеме, так и в условиях согласования шагов сетки, вызванными неоднородностью коэффициентов р(х) и А;(ж). В теореме 5.4 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (28),(17) и двойственной к ней задачи наблюдения, вырабатываемых вариационным методом. Материалы § 5.2 опубликованы в [133].

Заметим, что приведенные в теоремах 5.1 и 5.3 неравенства наблюдаемости далеки от совершенства, поскольку присутствующие в них пороговые моменты отделены от оптимального значения, равного нулю [201, 210, 212]-[214, 233]. С другой стороны, нам неизвестны неравенства наблюдаемости с конструктивно определяемыми fi, в которых пороговый момент принимал бы свое оптимальное нулевое значение.

В главе 6 на простых тестовых примерах демонстрируются практические возможности вариационного метода применительно к задачам граничного Дирихле-управления для волнового уравнения с постоянными коэффициентами по схеме, описанной в главе 2. Ввиду того, что сами вычисления при применении вариационного метода как к задачам управления, так и к задачам наблюдения, организуются по однотипным схемам, рассматриваются только задачи управления. В § 6.1 тестируются задачи с управлениями из L2(0,T), а в § 6.2 - с более регулярными управлениями из пространства Соболева if1(0,T). В обоих случаях при подборе тестов с заранее известными точными нормальными решениями мы пользовались приведенными в [73] готовыми аналитическими конструкциями. Выполненное тестирование показало, что вариационный метод выдает устойчивые результаты, приближающиеся к точному решению при сгущении сетки и уменьшении амплитуды шума. Некоторые из типичных результатов расчетов представлены в таблицах и проиллюстрированы на графиках. От сравнительного тестирования нашего универсального вариационного метода и специализированных методов [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234] мы воздерживаемся сознательно. Представленные в главе 6 результаты докладывались на конференциях [25, 140, 143, 222].

В заключении подытожен опыт рассмотренных приложений и высказаны соображения о перспективах и проблемах применения предложенного в диссертации вариационного метода к различным задачам.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту, с указанием номеров содержащих их теорем.

1. Предложен вариационный метод решения линейных уравнений в сепа-рабельных гильбертовых пространствах, устойчивый к неравномерным возмущениям оператора, характерным для конечномерных аппроксимаций некомпактных линейных отображений (теорема 1.1).

2. Разработан конечношаговый алгоритм, позволяющий решать с контролируемой точностью внутреннюю для вариационного метода задачу минимизации выпуклого квадратичного функционала на шаре методом итераций по множителю Лагранжа (теорема 1.2).

3. Для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами получен ряд новых конструктивных неравенств наблюдаемости. Эти неравенства содержат априорную информацию, необходимую для численного решения двойственных задач управления и наблюдения для таких уравнений с помощью предложенного в работе вариационного метода (теоремы 2.5,2.6,2.9,2.10,3.1-3.5,4.2,4.3,5.1,5.3).

4. Для рассмотренных в работе двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения, описываемых уравнениями колебаний струны и балки, построены подчиняющиеся всем требованиям вариационного метода конечномерные аппроксимации, сохраняющие отношение двойственное™, а также описаны процедуры численного решения этих задач вариационным методом, вырабатывающие сильно сходящиеся приближения (теоремы 2.3,2.4,2.7,2.8,3.6,3.7,4.4,5.2,5.4).

Все основные положения диссертации докладывались на различных международных и всероссийских конференциях, научных школах и семинарах, в том числе на международных конференциях, посвященных 90-летию и 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина в г.Москве (1998,2008), на международной конференции «Tikhonov and Contemporary Mathematics» в г.Москве (2006), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского в г.Москве (2007), на международной конференции « Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего в г.Москве (2009), на всероссийских конференциях «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» в г.Екатеринбурге (1995,1998,2008), Воронежских математических школах «Понтрягинские чте-ния»(1994,2008), конференциях «Обратные и некорректно поставленные зада-чи»в МГУ им. М.В. Ломоносова (1995,1996,1998,2000), на российском симпозиуме с международным участием «Управление упругими колебаниями» в г.Переславле-Залесском (2006), а также многократно на Ломоносовских и Тихоновских чтениях в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления и кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательских семинарах под руководством проф. А.Г.Яголы, проф. А.Б.Бакушин-ского, проф. А.В.Тихонравова (НИВЦ МГУ), под руководством проф. Г.М.Ко-белькова, проф. В.И.Лебедева, проф. А.В.Фурсикова (Институт вычислительной математики РАН), под руководством проф. А.И.Прилепко (мехмат МГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в 28 работах [22]—[25, 94, 97, 127]—[145, 221]—[223], из них 12 - в изданиях, рекомендованных ВАК: [22, 94, 129, 131]—[137, 139, 145], и одна [138] - в рецензируемом журнале. Из 13 журнальных публикаций 10 выполнены без соавторов. Две статьи с соавторами [22, 94], выполненные на начальном этапе исследований, сыграли важную роль в развитии техники доказательства сильной поточечной сходимости (5) по значениям операторов и стимулировали разработку вариационого метода, обеспечивающего сходимость по их аргументам. В статье [145] соавтором являлась аспирантка, выполнявшая техническую часть работы под руководством автора данной диссертации.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 93-012-602, 98-01-00206, 01-01-00639, 04-01-00619, 07-01-00416) и программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП 2.1.1.1714).

Автор выражает искреннюю благодарность акад. А.Б.Куржанскому, указавшему в начале 1990-ых гг. на нерешенные проблемы аппроксимации задач управления и наблюдения, проф. Ф.П.Васильеву за сотрудничество, внимание и поддержку на протяжении всей работы и акад. В.А.Ильину за внимание и поддержку на завершающих ее этапах.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Потапов, Михаил Михайлович

Заключение

Подводя итоги, остановимся кратко на перспективах и проблемах применения предложенного в диссертации вариационного метода.

1. Вариационный метод представляет собой универсальный инструмент для решения любых линейных уравнений Ли = /, но в особых информационных условиях, когда искомое нормальное решение и* истокопредстави-мо: u* = A*v*, известна оценка нормы источника: ||г>*|| ^ г, а приближенные операторы к А и А* сами являются взаимно сопряженными и обладают свойствами сильной поточечной сходимости. По этим причинам принципиальные возможности применения вариационного метода выходят далеко за рамки задач управления и наблюдения, на которых было сконцентрировано внимание в данной диссертации, и могут быть реализованы во многих других обратных задачах, основу математического описания которых составляют линейные дифференциальные уравнения различных типов [2, 35, 36, 38, 50, 80, 85, 86, 90]-[92, 96, 106, 108, 125, 150, 162, 163, 168, 176, 183, 184, 205]— [207, 219, 220, 224]. Что касается задач управления и наблюдения, то и здесь перспективы вариационного метода весьма обширны: это и другие типы уравнений, управляющих воздействий, целевых установок и наблюдаемых сигналов (в § 2.4 мы лишь слегка коснулись этой проблематики).

2. Во всех рассмотренных в диссертации приложениях при аппроксимации дифференциальных уравнений мы использовали только явные разностные схемы, но ничто не мешает при желании или при необходимости использовать неявные разностные, проекционно-разностные, полудискретные и другие схемы аппроксимации [5, 10, 11, 107, 109, 152], как, например, в [94, 129]. Главное, чтобы построенные на базе этих аппроксимаций конечномерные взаимно сопряженные операторы обладали необходимыми свойствами сильной поточечной сходимости.

3. На наш взгляд, одним из главных свойств задачи, открывающим возможность применения для ее решения вариационного метода, является- наличие неравенства наблюдаемости ||А*и||2 > м1М|2 с известным и желательно негрубым значением постоянной д. Это неравенство позволяет окончательно определиться с выбором функциональных пространств, подходящих для постановки решаемой задачи и по заданной правой части уравнения находить-радиус г того шара, на котором можно применять вариационный метод. Вывод таких неравенств представляется задачей первостепенной важности. В связи с этим укажем еще раз на то, что представленные нами конструктивные неравенства наблюдаемости в главе 3 для волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода и односторонним граничным управлением и в главе 5 для уравнения колебаний четвертого порядка далеки от совершенства из-за заметных отклонений от оптимальных полученных нами значений пороговых моментов управляемости-наблюдаемости, входящих в выражения для постоянной \±.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Потапов, Михаил Михайлович, 2009 год

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: Изд-во Минвуза Украинской ССР, 1989. - 244 с.

2. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003. 256 с.

3. Акуленко Л Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия // Прикл. матем. и механика. 1981. Т. 45. Вып. 6. С. 1095-1103.

4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М.: Издательский дом МЭИ, 2008. 672 с.

6. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // ЖВМиМФ. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-676.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. 128 с.

8. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 199 с.

9. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: Едиториал УРСС, 2002. 192 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

11. Бахвалов H.G., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

12. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. 264 с.

13. Бойко А.В., Нечепуренко Ю.М. Численный спектральный анализ временной устойчивости ламинарных течений в каналах постоянного сечения // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1731-1747.

14. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной. I, II. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1. С. 64-89; 2007. Т. 43. № 5. С. 640-649.

15. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тартус. ун-та, 1982.

16. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 182 с.

17. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. 400 с.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

19. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900.

20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во Факториал Пресс, 2002. 824 с.

21. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 3. С. 8-15.

22. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 263 с.

23. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения'линейных обратных задач // Доклады АН СССР. 1979. Т. 11. № 4. С. 792-793.

24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и. вычисления. М.: Наука, 1984. 320 "с.29: Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

25. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336 с.

26. Гапоненко Ю.Л. Некорректные задачи на слабых компактах. М.: Изд-во-МГУ, 1989. 128 с.

27. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 120 с.

28. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1995. 199 с.

29. Говоров В. М. Первая начально-краевая задача для гиперболического уравнения с граничной функцией из Ь2 // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262. № 5. С. 1044-1047.'

30. Гусев М.И., Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. // Механика и научно-технический прогресс. Т. 1: Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

31. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

32. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. // Доклады АН УССР. Сер. А. 1986. № 5. С. 60-63.

33. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004. 504 с.

34. Егоров А.И., Знаменская JI.H. Управляемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам. // ЖВМиМФ. 2006. Т. 46. № 11. С. 2032-2044.

35. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. О граничной наблюдаемости упругих колебаний связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 95-102:

36. Егоров А.И. О наблюдаемости упругих колебаний балки. // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. № 5. С. 967-973.

37. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управляемости- колебаний сети из связанных объектов с распределенными и сосредоточенными!параметрами // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 5. С. 815-825.

38. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитина М.Г., Никитин С.В. Аппроксимативная управляемость и наблюдаемость бесконечномерных систем // Доклады АН СССР. 1990. Т. 315. № 5. С. 1052-1056.

39. Жукова О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 1. С. 82-88.

40. Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из Ь2 // Доклады РАН. 2001. Т. 380. № 6. С. 746-748.

41. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 5. С. 666-672.

42. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.

43. Знаменская Л.Н. Наблюдаемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам // ЖВМиМФ. 2007. Т. 47. № 6. С. 944-954.

44. Иванов,В.К., Васин-В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

45. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. 176 с.

46. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. XV. Вып. 2(92). С. 97-154.

47. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени: // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534.

48. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным условием на одном конце при закрепленном втором конце. // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 12. G. 1640-1659.

49. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух-концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000: Т. 36: № 11. С. 1513-1528.

50. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в, терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 12. С. 1670-1686.

51. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах приусловии существования конечной энергии1 // Доклады РАН. 2001. Т. 375. № 3. С. 295-299.

52. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии // Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 6. С. 743-747.

53. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 144-155.

54. Ильин В. А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением k{x) k{x)ux(x,t).x utt(x,t) = 0 // Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 2. С. 156-159.

55. Ильин В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады РАН. 2005. Т. 400. № 6. С. 731-735.

56. Ильин В.А. Задачи теории граничного управления. Избранные труды В.А. Ильина, том 2. М.: Изд-во МАКС-Пресс, 2008. С. 430-661.

57. Ильин В.А. Независимость оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 1. С. 18-21.

58. Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления^ смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 3. С. 309-313.

59. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 4. С. 442-446.

60. Ильин В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 11. С. 14871498.

61. Ильин В. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 4. С. 586-596.

62. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады РАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 600-603.

63. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2004. Т. 399. № 6. С. 727-731.

64. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2005. Т. 400. № 1. С. 16-20.

65. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2005. Т. 400.* № 5. С. 587-591.

66. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 2. С. 163-169.

67. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация комбинированного граничного управления колебаниями струны упругой силой на одном конце и смещением на другом конце // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 590-596.

68. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60. Вып. 6. С. 89-114.

69. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при свободном втором ее конце // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. № 1. С. 105-115.

70. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференц. ур-ния. 2006. Т. 42. № 12. С. 16991711.

71. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 1. С. 89110.

72. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 5. С. 692-704.

73. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 1. С. 137-138.

74. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2001.

75. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

76. Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач. Йошкар-Ола: Изд-во Марийского госуд. ун-та, 1998. 292 с.

77. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

78. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984. -352 с.

79. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

80. Короткий А.И., Осипов Ю.С. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1991. № 2. С. 154-164.

81. Костоусова Е.К. О свойстве слабой наблюдаемости для одномерного волнового уравнения при точечном нестационарном операторе наблюдения // Дифференц. ур-ния. 1991. Т. 27. № 8. С. 1318-1325.

82. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

83. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

84. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Устойчивые решения обратных задач динамиики управляемых систем // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. Т. 185. С. 126-146.

85. Куржанский А.В. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

86. Куржанский А.В., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем, j j ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. № 11. С. 1720-1733.

87. Куржанский М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы. // Вестн. Московск. ун-та, Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1992. № 3. С. 28-33.

88. Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А!В. Проекционная схема метода прямых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1994. № 3. С. 29-35.

89. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 96 с.

90. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

91. Лаврухин А.В., Потапов М.М. Об аппроксимации нормального псевдорешения при отсутствии информации об уровнях погрешностей // Тез. докл. конфер. "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во "Диалог-МГУ 1998. С. 47.

92. Леонов А.С. Метод минимальной псевдообратной матрицы: теория и численная реализация // ЖВМиМФ. 1991. Т. 31. № 10. С. 1427-1443.

93. Леонов А. С. О квазиоптимальном выборе параметра регуляризации в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский матем. журнал. 1993. Т. 34. № 4. С. 117-126.

94. Леонов А. С. О псевдооптимальном выборе параметра в методе регуляризации А.Н. Тихонова // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1995. № 1. С. 40-44.

95. Леонов А. С. 06 использовании функций нескольких переменных с ограниченной вариацией для кусочно-равномерной регуляризации некорректных задач // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 5. С. 592-595.

96. Леонов А. С. Замечания к методу минимальной псевдообратной матрицы // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 7. С. 1085-1090.

97. Леонов А. С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // ЖВМиМФ. 2007. Т. 47. № 5. С. 767-783.

98. Леонов А. С., Ягола А.Г. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешностей данных? // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, Астрономия. 1995. Т. 36. № 4. С. 28-33.

99. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

100. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во ИММ УрО РАН, 2000.

101. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

102. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

103. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

104. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

105. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

106. Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением в W1 струной со свободным концом // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 5. С. 709-711.

107. Моисеев Е.И., Тихомиров В.В. О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. Вып. 5. Сб. статей. М.: Физматлит, 2006. С. 141-148.

108. Моисеев Е.И., Холомеева А.А. Оптимизация граничного управления в классе колебаниями струны задачи возбуждения с закрепленным концом // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 5. С. 741-745.

109. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. 360 с.

110. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

111. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

112. Нестеренко Ю.Р. О смешанной задаче для волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // Доклады РАН. 2009. Т. 426. № 1. С. 29-31.

113. Никитин А.А. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 120-126.

114. Никитин А.А. Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием // Доклады РАН. 2007. Т. 417. № 6. С. 743-745.

115. Никитин А.А. О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференц. ур-ния. 2007. Т. 43. № 12. С. 1692-1700.

116. Никитин А.А., Кулешов А.А. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 5. С. 681-690.

117. Никольский М.С. Идеально наблюдаемые системы. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 191. № 6. С. 1224-1227.

118. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

119. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенным параметрами. Свердловск: Изд-во ИММ УрО АН СССР, 1991.

120. Потапов М.М. Об устойчивом методе решения операторного уравнения при наличии ограничения // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1352-1355.

121. Потапов М.М. О методе прямых в задачах граничного Нейман-управления и Дирихле-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. весенней воронежской математической школы "Понтрягинские чтения V". Воронеж: Изд-во ВГУ, 1994. С. 118.

122. Потапов М.М. Об аппроксимации второй и третьей краевых задач пространственно-локализованного управления и наблюдения для уравнения колебаний // Тез. докл. конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. С. 38.

123. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 2. С. 35-41.

124. Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений^ поточечно возмущенным оператором,// Тез. докл. всероссийской науч. кон-фер. "Алгоритмический анализ некорректных задач". Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998. С. 204-205.

125. Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 3. С. 387-397.

126. Потапов% М.М. Устойчивый^ метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

127. Потапов М.М. Приближенное'решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. № 6. С. 1015-1032:

128. Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения // Доклады РАН. 2006. Т. 408. № 5. С. 596-600.

129. Потапов М.М. Приближенное решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2191-2208.

130. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 6. С. 747-752.

131. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 414. № 6. С. 738-742.

132. Потапов М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. № 1. С. 151157.

133. Потапов М.М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1323-1339.

134. Потапов М.М. Устойчивая аппроксимация оптимальных Дирихле-управлений для волнового уравнения //В кн. "Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика

135. B.А.Садовиичего. М.: Изд-во "Университетская книга 2009. - 416 с.1. C. 192.

136. Потапов М.М., Костикова О. Р. Конечномерная аппроксимация двойственных задач управления и наблюдения для уравнения колебаний 4-го порядка // Тез. докл. шестой конфер. "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во ООО "МАКС Пресс2000. С. 62.

137. Потапов М.М., Костикова О. Р. Разностная аппроксимация задач управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка // Вести. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 1. С. 33-37.

138. Разгулин А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах управления и наблюдения для уравнения типа Шредингера // Вестн. Московск. ун-та, Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1996. № 1. С. 42-52.

139. Рево П.А., Тихомиров В.В. Граничное управление волновым процессом при упругом закреплении // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. Сб. статей. М.: Физматлит, 2002. С. 147-162.

140. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 6. С. 806-815.

141. Рево П.А., Чабакаури ГД. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. // Дифференц. ур-ния. 2001. Т. 37, № 8. С. 1082-1095.

142. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.

143. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во. МГУ, 1986. 368 с.

144. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

145. Сивергина И. Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем. // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 3. С. 304-308.

146. Тихомиров, В.В. О граничном управлении» волновым уравнением при упругом закреплении // Нелинейная динамика и управление. Вып. 1. Сб. статей. М.: Физматлит, 2001. С. 155-162.

147. Тихомиров В.В. Волновое уравнение* с граничным- управлением при упругом закреплении. 1, 2. // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 3. С. 393-403;. № 4. С. 529-537.

148. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

149. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. -200 с.

150. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

151. Тихонов А.Н., Леонов А. С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. 312 с.

152. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравненияматематической физики. М*.: Наука, 1977. 736 с.

153. Треногий В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993. -440 с.

154. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990. 280 с.

155. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системам. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.

156. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. Вып. 3(327). С. 93-146.

157. Хромова Г.В. О сходимости метода Лаврентьева // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 5. С. 958-965.

158. Чабакаури Т.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце // Доклады.РАН. 2001. Т. 379. № 3. С. 309-312.

159. Чабакаури Т.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при-закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии. // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 2. С. 277-284.

160. Черноусъко Ф:Л. Оценивание фазового состояния, динамических систем. М.: Наука, 1988.

161. Черноусъко Ф.Л. Ограниченные управления в системах с распределенными параметрами // Прикладная матем. и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 810-826.

162. Шафиев Р.А. Псевдообращение'операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989.

163. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений // Матем. сборн. 1995. Т. 186. № 6. G. 109-132.

164. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сибирский матем. журнал. 2000: Т. 41. № 4. С. 944-959.

165. Avdonin S.A., Ivanov S.A. Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability. Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge University Press, 1995.

166. Alber Ya., Ryazantseva I. Nonlinear ill-posed problems of monotone type. Dordrecht: Springer, 2006. 410 p.

167. Bardos C., Lebeau G., Ranch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boudary // SIAM J. Control and Optimiz. 1992. V. 30. № 5. P. 1024-1065.

168. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 5. P. R1-R67.

169. A. V. Boiko A.V., Nechepurenko Yu.M. Numerical study of stability and transient phenomena of Poiseuille flows in ducts of square cross-sections j j Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24. № 3. P. 193-205.

170. Castro C., Misu S., Munch A. Numerical approximation» of the boundary control for the wave equation with mixed finite elements in a square // IMA Journal of Numerical Analysis. 2008. V. 28. № 1. P. 186-214.

171. Delfour M.C., Mitter S.K. Controllability and observability for infinite-dimensional systems // SIAM J. Control. 1972. V. 10. № 2. P. 329-333.

172. Dolecki S. A classification of controllability concepts for infinite-dimensional linear systems // Control and Cybernetics. 1976. V. 5. № 2. P. 33-44.

173. Dolecki S., Russell D.L. A general theory of observation and control j j SIAM J. Control. 1977. V. 15. № 2. P. 185-220.

174. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996. 320 p.

175. Eskin G. A new approach to hyperbolic inverse problems // Inverse Problems. 2006. V. 22. № 3. P. 815-831.

176. Eskm G. A new approach to hyperbolic inverse problems II: global step // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 6. P. 2343-2356.

177. Fattorini H. 0. Some remarks on complete controllability // J. SIAM Control. 1966. V. 4. № 4. P. 686-694.

178. Fattorini H. 0., Russell D. L. Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension // Arch. Rational Mech. Anal. 1971. V. 43. № 4. P. 272-292.

179. Fuhrmann P. A. Exact controllability and observability and realization theory in Hilbert space. // J. Math. Anal. & Appl. 1976. V. 53. № 2. P. 377-392.

180. Glowinski R., Li C.-H., Lions J.-L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I). Dirichlet controls: Description of the numerical methods. Japan J. Appl. Math. 1990, V. 7. P. 1-76.

181. Glowinski R., Lions J. L. Exact and approximate controllability of distributed parameter systems: Part II // Acta Numerica. Camridge UK: Cambridge University Press, 1995. P. 269-378.

182. Glowinski R., He J. W., Lions J. L. On the controllability of wave models with variable coefficients: a numerical investigation // Computational and Applied Mathematics. 2002. V. 21. № 1. P. 191-225.

183. Glowinski R., Lions J. L., He J. W. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems: a numerical approach // Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 117. Cambridge UK: Cambridge University Press, 2008.

184. Groetsch C. W. The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm equations of the First Kind. Boston: Pitman, 1984. 104 p.

185. Hechme G., Nechepurenko Yu.M., Sadkane M. Efficient methods for computing spectral projectors for linearized Navier-Stokes equations // SIAM J. on Scient. Computing. 2008. V. 31. № 1. P. 667-686.

186. Ho L. F. Observabilite frontiere de l'equation des ondes // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1986. V. 302. P. 443-446.

187. Ho L.F. Exact controllability of the one-dimensional wave-equation with locally distributed control // SIAM J. Control and Optimizat. 1990. V. 28(3). P. 733-748.

188. Jai A. El, Pritchard A. J. Sensors and controls in the analysis of distributed systems. NY: John Wiley and Sons, 1988.

189. Klibanov M. V., Yamamoto M. Exact controllability for the time dependent transport equation // SIAM J. Control Optim. 2007. V. 46. № 6. P. 20712195.

190. Komornik V. Controlabilite exacte en un temps minimal // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1987. V. 304. P. 223-225.

191. Komornik V. Une methode generale pour la controlabilite exacte en temps minimal // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1988. V. 307. P. 397-401.

192. Komomik V. Exact controllability in short time for the wave equation j j Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. V. 6. № 2. P. 153-164.

193. Komornik V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method. Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994.

194. Komornik V., Zuazua E. A Direct Method for the Boudary Stabilization of the Wave Equation // J. Math, pures et appl. 1990. V. 69. № 1. P. 33-54.

195. Krabs W. On moment theory and controllability of one-dimensional vibrating systems and heating processes. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1992.

196. Krabs W. Optimal Control of Undamped Linear Vibrations. Lemgo: Heldermann Verlag, 1995.

197. Kurzhanski А.В., Khapalov A. Yu. An observation theory for distributed-parameter systems // J. Math. Sys., Estimat., & Control. 1991. V. 1. № 4. P. 389-440.

198. Kurzhanski А.В., Sivergina I:F. Quasiinversion, regularisation and observability problem. Laxenburg: IIASA, 1992. WP-92-14.

199. Kurzhanski A., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser, 1997.

200. Lasiecka I., Lions J.L., Triggiani R. Nonhomogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators. // J. Math. Pures Appl. 1986. V. 65. P. 149-192.

201. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity of hyperbolic equations under L2(0,T;L2(r)) boundary terms // Appl. Math, and Optimiz. 1983. V. 10. P. 275-286.

202. Lasiecka I., Triggiani R. Exact controllability of the Euler-Bernoulli equations with controls in the Dirichlet and Neumann B.C. // SIAM J. Control and Optimiz. 1989. V. 27. P. 330-373.

203. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability of the wave equation-with Neumann boundary control // Appl. Math, and Optimiz. 1989. V. 19. P. 243-290.

204. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability of the Euler-Bernoulli Equation with Boundary Controls for Displacement and Moment // Journal of Math. Anal, and Appl. 1990. V. 146. № 1. P. 1-33.

205. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability and Uniform Stabilization of Euler-Bernoulli Equations with Boundary Control Only in A iu |s j I Bollettino della Unione Matematica Italiana, Ser. 7. 1991. V. 5-B. № 3. P. 665-702.

206. Lengering G., Schmidt G. Boundary control of vibrating plate with internal damping. // Math. Methods Appl. Sci. 1989. V. 11. P. 573-586.

207. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. № 1. P. 1-68.

208. Munch A. A uniformly controllable and implicit scheme for the 1-d wave equation // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2005. V. 39. № 2. P. 377-418.

209. Negreanu M., Zuazua E. Convergence of a multi-grid method for the controllability of 1-d wave equation // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2004. V. 338. № 5. P. 413-418.

210. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary differential equation: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

211. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Maksimov V.I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. № 4. P. 267-282.

212. Potapov M.M. Stable variational method for linear equations with nonuniform perturbations in operator // Abstracts of International Conference "Inverse and Ill-Posed Problems". Moscow: Dialog-MSU, 1996. P. 144.

213. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. Marcel Dekker, 2000.

214. Rinson M.A. Regularity and numerical solution for the exact control // PESQUIMAT. 1999. V. II. P. 73-91.

215. Rinson M.A., Garay M.Z., Miranda M.M. Numerical Approximation of the Exact Control for the String Equation // International Journal of Pure and Applied Math. 2003. V. 8. № 3. P. 349-368.

216. Russell D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differencial equations: recent progress and open questions // SIAM Rev. 1978. V. 20. № 4. P. 639-739.

217. Triggiani R. Controllability and observability in Banach spaces with bounded operators // SIAM J. Control. 1975. V. 13. № 2. P. 14-27.

218. Triggiani R. Exact boundary controllability on x for the wave equation with Dirichlet control action on the boundary, and related problems // Appl. Math, and Optimiz. 1988. V. 18. P. 241-277.

219. Vainikko G. On the discretization and regularization of ill-posed problems with noncompact operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1992. V. 13 (3&4). P. 381-396.

220. Warga J. Global directional controllability // SIAM J. Control and Optimiz. 1989. V. 27. № 5. P. 976-990.

221. Yu Т.К., Seinfeld J.H. Observability of class of hyperbolic distributed parameter systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. V. 16. № 5. P. 495-496.

222. Zuazua E. Exact controllability of distributed systems for arbitrary small time // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 1987. V. 804. № 7. P. 173-176.

223. Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods I j SIAM Rev. 2005. V. 47. № 2. P. 197-243.