Численное моделирование бесконечно длинных и осесимметричных мягких сетчатых оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бандеров, Виктор Викторович

• Бандеров, Виктор Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бандеров, Виктор Викторович

0.1 Введение.

1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке.

1.1 Краевая и вариационная задачи.

1.2 Обобщенная задача.

1.3 Свойства операторов.

1.4 Существование решения.

1.5 Построение точных решений для некоторых модельных задач.

2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке.

2.1 Формулировка задачи.

2.2 Обобщенная постановка задачи.

2.3 Свойства операторов.

2.4 Существование решения.

3 Итерационные методы.

3.1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке.

3.2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке.

3.3 Сеточные аппроксимации задачи.

4 Численная реализация итерационных методов.

4.1 Численные эксперименты для бесконечно длинной мягкой оболочки.

4.2 Численные эксперименты для осесимметричной мягкой оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование бесконечно длинных и осесимметричных мягких сетчатых оболочек»

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения широких классов задач в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие из этих задач описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например в [45], [58], [64], [68], [76] - [81].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, одной из которых, является теория мягких оболочек. Решаемые здесь задачи весьма часто возникают в механике, медицине, при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из тканевых или пленочных материалов (см., например, [1], [44], [48], [53], [57], [62], [63], [65], [67], [70], [73]-[75], [84], [98]).

До недавнего времени изучались, в основном, вариационные неравенства с сильно монотонными и максимально монотонными операторами в конечномерных гильбертовых пространствах. Методы же решения вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах мало разработаны. Тем не менее, при математическом моделировании широких классов нелинейных задач механики сплошной среды, в частности, задач теории мягких оболочек, возникает потребность в решении именно таких вариационных неравенств.

Настоящая диссертация посвящена исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий, в том числе и невыпуклых, а также методов их численной реализации. Изучается два класса задач теории мягких сетчатых оболочек: одномерных задач, возникающих при моделировании бесконечно длинных оболочек и осесимметричных задач, возникающих при моделировании оболочек вращения.

Задачи данных классов описываются математически с помощью вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. При изучении рассматриваемых в работе задач широко используются методы теории псевдомонотонных операторов, нелинейного функционального анализа, выпуклого анализа, математического моделирования.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [3] - [5], [44], [48], [73] - [75]) . В работе [49] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [88] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях, чем в настоящей работе, на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, соответствующих конечно мерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены работы [2], [6], [16]-[23], [34], [35], [54], [55].

Являясь продолжением исследований, проведенных в этих работах, настоящая диссертация посвящена построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, в том числе и невыпуклых, в виде вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, построению и исследованию приближенных методов решения, их численной реализации.

В работах [16] -[25] рассматривались вариационные неравенства второго рода с оператором, представимым в виде суммы монотонного и вполне непрерывного оператора (являющегося, конечно же, псевдомонотонным). В отличие от этих работ настоящей диссертации рассмотрены вариационные и квазивариационные неравенства второго рода с произвольным псевдомонотонным оператором.

Кроме того, допускается наличие препятствия, в том числе, невыпуклого, для ряда модельных задач об определении положения равновесия мягких оболочек удалось построить точное решение. Эти решения позволяют исследовать эффективность различных методов решения задач данного класса.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.