ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Залялов Динар Гумарович

• Залялов Динар Гумарович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Залялов Динар Гумарович

3.1. Общая теорема

3.2. Оценки погрешности метода регуляризации для специального случая седловой задачи

3.3. Блочный метод Гаусса-Зейделя для седловой задачи (86) с симметричной матрицей

3.4. Решение эллиптической задачи оптимального управления с нелокальными ограничениями на состояние

3.5. Результаты вычислительных экспериментов

Глава 4. Задача с дополнительным поточечным ограничением

на состояние

4.1. Формулировка и сеточная аппроксимация задачи

4.2. Исследование сходимости сеточной схемы

4.3. Сеточная седловая задача и итерационный метод решения

4.4. Результаты вычислительных экспериментов

Заключение

Введение

Объект исследования и актуальность темы

Задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных при наличии ограничений на состояние системы, представляют собой весьма сложный объект численного анализа. Несмотря на то, что уже многие десятилетия данные задачи изучались научным сообществом (первая книга в этой области была написана Лионсом Ж.-Л. еще в 1972 году [10]), они по прежнему не теряют своей актуальности.

Известны два основных подхода при решении указанных задач оптимального управления. В первом из них для дифференциальной задачи строится функция Лагранжа и затем находятся ее стационарные точки. Основная трудность в этом случае связана с отсутствием какой-либо гладкости множителей Лагранжа, которые могут быть лишь мерами. В связи с этим используются методы регуляризации дифференциальных задач. Например, регуляризация Моро-Иосиды, в которой регуляризуется индикаторная функция множества ограничений. Такой подход например, описан в работе Hintermuller M., Kunisch K. [33]. Авторы отмечают, что подзадачи, получившиеся после регуляризации методом Моро-Иосиды, решаются эффективно полугладкими методами Ньютона. В другой работе этих же авторов [37] описывается обобщенный алгоритм на основе метода Моро-Иосиды для задач оптимального управления с точечными ограничениями на управление, функцию состояния и ее градиент.

Еще один способ получить гладкие множители Лагранжа - это регуляризация Лаврентьева, которая состоит в комбинации поточечных ограничений на состояние и управление. Например, в статье Hinze, Mayer [40] исследуется этот метод для эллиптической задачи управления с ограничением на функцию состояния, для которой в дальнейшем производится вариационная дискретизация. В статье S. Cherednichenko, Krumbiegel K., Rosch A. [26] приведены оценки погрешностей, возникающие для данного типа регуляризации.

Другие методы решения регуляризованных задач можно найти в статьях Bergounioux M., Ito K., Troltzsch F., Hinze M. ( [19] - [39] и библиографию в них).

Второй подход к решению задач оптимального управления, в том числе, с ограничениями на состояние (эти ограничения важны, когда их нарушение приводит к фазовым переходам), состоит в первоначальной аппроксимации дифференциальной задачи с использованием, как правило, сеточных методов, и дальнейшем решении дискретной задачи оптимизации с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами. Несмотря на «классический» характер таких задач (см. монографии Гилл Ф., Мюррей У. [6],Bertsekas D. [3], Васильев Ф. П. [5]), проблемы построения эффективных итерационных методов их решения продолжают оставаться актуальными (Biegler L.T., Ghattas O. [24]), поскольку в большинстве случаев эти задачи характеризуются очень высокой размерностью и плохой обусловленностью.

Такого рода сеточные задачи, но без ограничений на вектор состояния, могут эффективно решаться градиентным методом с проекцией. Но в общем случае этот подход можно применить лишь предварительно регуляризовав задачу перечисленными выше методами.

Иной вариант построения итерационного метода основан на введении множителей Лагранжа, с помощью которого задача преобразуется к седловой задаче с ограничениями. Такой подход, например, есть в работе Bergounioux M., Kunisch K. [22], в которой исследуется задача оптимального управления с граничной функцией управления.

Одной из практических задач, где могут применяться данные методы является задача об оптимальном залитии свежего бетона, которая подразумевает нахождение соотношения смеси ингредиентов в бетоне, изменение выбора ингредиентов в конкретном случае (например, изменение типа цемента) или с помощью добавок, манипулирование температурой сырья до залития, то есть

начальное условие. Решение данной задачи с учетом его термомеханических свойств описана в [18], [42], [57].

Одним из способов решения задачи оптимального управления является предобусловленный метод Удзавы. Данный метод для решения задач линейного программирования была предложен в классической работе Эрроу К.Дж., Гурвиц Л., Удзава Х. [16].

Задача, рассмотренная в данной диссертации впервые была приведена в работе Tiba D. [58] (стр. 105-108), где автор доказывает сходимость сеточной схемы для данной задачи.

Метод Удзавы является основным в диссертации. К преимуществам данного метода можно отнести точное удовлетворение ограничениям на управление и состояние. Отметим, что при этом уравнение состояния удовлетворяется в пределе при сходимости итерационного процесса.

Большой вклад в развитие теории решения задач оптимального управления оказали и российские ученые (в т.ч. Казанского университета). Еще в 1978 году в книге Федоренко Р.П. [14] были описаны основные конструкции алгоритмов приближенного решения, использующие прямое решение уравнений принципа максимума, вариации в фазовом пространстве и вариации в пространстве управлений. В книге Быченкова Ю.В. и Чижонкова Е.В. [4] приведен обзор различных итерационных методов решения данных задач. В работе Лапина А.В. [47] описано применение предобусловленного метода Удзавы для решения конечно-разностной седловой задачи оптимального управления. Большое внимание построению итерационных методов решения конечномерных включений и их приложениям к задачам оптимального управления и вариационных неравенств с нелинейным основным оператором при наличии ограничений к градиенту решения уделено в работах Laitinen E., Lapin A. [46], [45]. Особенности применения итерационных методов для решения вариационных неравенств описаны в работах Бадриева И.Б. и За-дворнова О.А. [2], Лапина А.В. [8].

Второй метод, используемый в диссертации - это метод штрафа. Суть метода заключается в регуляризации седловых задач по двойственным переменным и решении получившейся задачи. Этот метод широко использовался в статьях Коннова И.В., например, в [27] решается общее вариационное неравенство в конечномерном пространстве, где известно только приближение последовательности, вместо точных значений отображения затрат и допустимого множества.

Сгаэег УС., Я. КогпЬиЬег [28] описана итерационная схема( созданная на основе метода Ньютона, дополнения Шура и регуляризацией предобусловлен-ного метода Удзавы) для решения седловых задач с ограничениями в виде линейных неравенств.

Также на практике широко используется подход с применением стратегии множества активных ограничений на прямые и двойственные переменные [35], [33], [38], [36] и др.

Кроме того, отметим полугладкие методы Ньютона, в которых на каждой итерации метода решается система линейных уравнений с седловой матрицей.

Иной способ решить задачи оптимального управления состоит в использовании метода внутренней точки, описанный в работах ( [49], [39], [63], [53]). В статье [20] сравнивается этот метод с обобщенным методом Моро-Исиды. Авторы статьи отмечают, что, в зависимости от условий задачи (есть ли ограничения на управление или состояние, по значению некоторых параметров и размеров сетки) обобщенный метод Моро-Иосиды на основе алгоритмов или метод внутренней точки может стать более эффективным с точки зрения процессорного времени. Преимущество обобщенного алгоритма Моро-Иосиды в том, что при определенных условиях он обеспечивает точное решение, в то время как метод внутренней точки дает лишь приближенные решения. Кроме того, обобщенные алгоритмы Моро-Иосиды значительно проще программировать, чем методы внутренней точки. В то же время в статье [56] бы-

ла описана возможность достижения суперлинейной сходимости для метода внутренней точки.

Цели работы и задачи исследования

Цели данной работы: построение сеточных аппроксимаций эллиптических задач оптимального управления с нелокальными и поточечными ограничениями на функцию состояния, обоснование корректности и сходимости сеточных аппроксимаций, построение и исследование сходимости итерационных методов решения сеточных аппроксимаций указанных задач, создание программного комплекса для проверки полученных результатов на различных архитектурах ЭВМ.

Методы исследования

В качестве аппарата исследований применялись методы функционального анализа, вариационного исчисления и оптимизации, теории сеточных методов. Для проведения вычислительных экспериментов использовалась система программирования Qt Creator

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность теоретических утверждений подтверждается строгими доказательствами всех сформулированных утверждений. Результаты вычислительных экспериментов согласуются с теоретическими результатами.

Научная новизна

1. Построены сеточные аппроксимации эллиптических задач оптимального управления с нелокальными и поточечными ограничениями на функцию состояния. Доказаны их однозначная разрешимость и сходимость.

2. Для седловых задач, определяющих седловую точку функции Лагранжа задачи оптимального управления с ограничениями, построены эквивалентные преобразования, позволяющие применение метода Удзавы.

3. Обоснована сходимость построенных итерационных методов.

4. Получены оценки близости решений исходной дискретной задачи оптимального управления и ее регуляризованного варианта.

5. Предложены и изучены различные варианты метода штрафа на основе включения в целевую функцию уравнения состояния в качестве штрафа.

6. Проведен сравнительный численный анализ предложенных методов решения.

Практическая ценность

Построенные и обоснованные сеточные методы и итерационные алгоритмы могут быть использованы при решении задач оптимального управления системами, описываемыми линейными уравнениями в частных производных, при наличии поточечных ограничений на управление и поточечных и интегральных ограничений на состояние. Задачи оптимального управления с ограничениями на состояние возникают, например, для задачи оптимального залития бетона [18], [42], [57].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ»

Апробация работы

Основные положения диссертации обсуждались на научных семинарах и

1. Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в г.Казани, 2012г,

2. Всероссийском форуме и молодежной школе «Суперкомпьютерные технологии в образовании, науке и промышленности» г.Нижний Новгород, 2013г,

3. Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова, Ижевск, 2015г.,

Публикации автора по теме диссертации.

В рецензируемых изданиях из списка ВАК

1. Залялов Д.Г., Лапин А.В. «Численное решение одной задачи оптимального управления системой, описываемой линейным эллиптическим уравнением, при наличии нелокальных ограничений на состояние системы», Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки, 2012. Том 154, Книга 3, с. 129-144.

2. Залялов Д.Г., Лапин А.В. «Метод штрафа на уравнение состояния для одной эллиптической задачи оптимального управления» в журнал «Известия ВУЗов, Математика»,2015. Том 15, Книга 7, с. 36-48 перевод статьи: Lapin A. V., Zalyalov D. G. «Method of penalization for the state equation for an elliptical optimal control problem » Springer, Russian Mathematics, July 2015 г.

В других изданиях

1. Залялов Д.Г., Лапин А.В. «Численное решение задачи оптимального управления системой, описываемой линейным эллиптическим уравнением, при наличии нелокальных ограничений на состояние системы.» Материалы Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в г. Казани, 2012 г.

2. Залялов Д.Г., Лапин А.В. «Применение метода декомпозиции для решения задач оптимального управления, описываемых линейным эллиптическим уравнениями при наличии ограничения на состояние системы» Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» г. Ижевск, 2015г.

Личный вклад

Автор принял участие в исследовании сеточных аппроксимаций задач оптимального управления, разработке и обосновании предобусловленных итерационных методов Удзавы, градиентного метода и методов штрафа для сеточной задачи оптимального управления с ограничениями на управление и

состояние. Программный комплекс для проведения численных экспериментов и вычислительные эксперименты были проведены лично автором.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит введения, четырех глав, выводов, заключения, приложения и списка литературы. Полный объем составляет 101 страницы. Библиография включает 64 наименований. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

В введение обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована проблема, произведен обзор научной литературы по изучаемой проблеме, сформирована цель, поставлена задача работы, научная новизна и практическая значимость работы. Кроме того, описаны полученные новые результаты и положения, выносимые на защиту.

Глава 1

В первой главе диссертационной работы произведена постановка основной задачи и доказывается наличие ее решения. Далее введена конечномерная сетка и изучен вопрос конечно-разностной аппроксимации данных задачи для данной сетки, доказана ее сходимость к решению исходной задачи. Также в главе изучен вопрос регуляризации сеточной задачи. Введя функцию Лагран-жа для сеточной и регуляризованной задачи, найдены их седловые точки и приведены теоремы существования решения для седловых задач и их доказательства. В конце главы приведены оценки близости решений этих двух задач.

В первом параграфе рассмотрена постановка модельной задачи оптимального управления, исследуемая в настоящей диссертации.

В качестве задачи состояния выступает однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области О с кусочно гладкой границей

д П:

- Ay = и, х е Ü, у(х) = 0, х е дÜ. (1)

Здесь и - это функция управления, решение у - состояние системы, а множества ограничений на функции управления и состояния задаются равенствами:

Uad = [и е L2(Ü) : lu(x)l ^ 1 ^х е П}, Yad = [у е Щ(П) : J у(х) dx ^ 1},

о

а целевой функционал

J (y,u) = 2J (у - Vdfdx + 2 J U2dx, г = const > 0, yd е Ь2(й). о о

Задача оптимального управления определена следующим образом:

найти min J (у, и),

(у,и)ек (2)

К = [(у,и) : у е Yad, и е Uad, выполнено (1)} Затем было произведено доказательство теоремы существования и единственности решения данной задачи и построена конечно-разностная аппроксимация задачи на равномерной сетке ши = [(xi,yj) = (ih,jh),i,j, = 0, 1, . . . ,п + 1; (п + 1)h = 1}, считая для простоты, что функции и и yd непрерывны:

-Уг-1з + 2Уг3 - Уг+lj + -Уг3-1 + 2Уг3 - Уг3+1

h2 + h2 ^

+ —--ит-= , 1 ^ hi ^ ^

yoj = Уз0 = yjn+i = Уп+ij = 0.

п2

Uhad = [Uh : К-1 ^ 1, 1,3 = 1, 2,...,n}, Yahd = [yh : h2 ^ yt] ^ 1}.

hj=1

h{2 n2 rh{2 n2 My^ Uh) = (Vij - yd,ij )2 + Ul.

i,j=1 i,3=1

В результате была получена конечномерная задача оптимального управления

найти min Jh(yh,uh),

(yh,uh)eKh (4)

Kh = [(yh,Uh) : yh e Yad,Uh e uahd, выполнено уравнение (3)}.

Далее в работе приводится доказательство того, что задача (4) имеет единственное решение и что последовательность [(у^,иь)} функций из К^, при К ^ 0 сильно сходится в х Ь2(0,) к (у,и) к решению исходной задачи.

Во втором параграфе описываются свойства конечномерной седловой задачи, для которой была построена функция Лагранжа и найдена ее сед-ловая точка. В конце параграфа была построена регуляризованная задача и найдена оценка близости решений конечномерном седловой задачи и его регуляризованного варианта.

Упорядочив множества внутренних узлов х^, 1 ^ г,] ^ п, сетки ш каким-либо образом и записав систему линейных уравнений (3) в виде Ьу = и с симметричной и положительно определенной матрицей Ь - матрицей сеточного оператора Лапласа при нулевых граничных условиях Дирихле и поделив целевую функцию на К2, множества ограничений в сеточной задаче были записаны в следующем виде:

N

иаЛ = [и е : Ы ^ 1 У*}, УаЛ = [у е : ^ Ь2уг ^ 1 У*},

%=1

~ 1 1М 112 ги 112

а целевой функции --\\у — у(]\\ + -\\и\\ .

2 2

Обозначив через ф(и) = 1иаё (и) и в (у) = 1уаЛ (у) — индикаторные функции множеств иа<1 и Уал, сеточная задача оптимального управления (4) была преобразована к виду

т=п 13(у,и) = 1 \\у — ул\\2 + 2\\и\\2 + ^(и) + °(У)} . (5)

Функция Лагранжа для этой задачи:

1 V

£(у,и) = ^\\у — Уd\\2 + ^\\и\\2 + р(и) + °(у) — (Ьу — и,х). (6)

Седловая точка (у,и,Х) этой функции Лагранжа является решением (см., например, [15]) следующей системы, дающей условия оптимальности первого

порядка:

Е 0 -Ь

\

0 гЕ Е

V

-Ь Е

и

+

0 ) \ Ау

(дв (^

д(р(и) 0

э

0 0

(7)

Компоненты (у,и) седловой точки совпали с решением задачи (5) . Аппроксимировав индикаторную функцию в (у) = 1уаЛ (у) множества У^ дифференцируемой функцией

1

N

ш = 2-л ¿2к2у г — 1)+)2.

2

г= 1

а индикаторную функцию р множества иа<1 заменив регуляризованной функцией

Vе(и) = 1 \\(и + 1)—\\2 + 2Т£\\(и — 1)+ \\2

где V- и (у +) — векторы с координатами и— и (г>+), соответственно,

была введена следующая регуляризованная задача:

(

\

Е 0 —Ь 0 гЕ Е -Ь Е 0

\

/

и£

¡V 0 £(у^

+

\Х£/

V

V ^(щ) 0

/

0 0

(8)

Было доказано, что эта задача имеет единственное решение и найдена оценка близости регуляризованной и исходной задачи.

Глава 2

Во второй главе были рассмотрены два итерационных метода решения сед-ловых задач: предобусловленный метод Удзавы для исходной задачи и градиентный метод для регуляризованного варианта. Доказана сходимость этих методов, найдены параметры итерации и скорость сходимости.

В первом параграфе был описан градиентный метод с минимизацией целевого функционала. Для этого, в системе (5) разрешив третье уравнение относительно у£ и первое уравнение относительно Л£, получили включение

для вектора и£ (опустив индекс £ у вектора и£):

ги + Ь-2и + Ь-1 Ув£(Ь-1и) + ду(и) Э Ь-1У<1. (9)

Для решения (9) был применен одношаговый итерационный метод

„,к+1 _ „.к

--- + Р£ик + дфк+1) Э Ь-1уа, (10)

т

где оператор Р£ = гЕ + Ь-2 + Ь-1 Ув£ о Ь-1

Алгоритм реализации метода (10) состоял из следующих шагов:

1. для известного вектора управления ик находится решение уравнения состояния Ьук = ик;

2. находится сопряженное состояние

: = Ь-1(ук - ул + Ув£(ук));

3. получить новое приближение к вектору управления, решив включение с диагональным максимально монотонным оператором Е + тд^р:

ик+1 + тдфк+1) э (1 + тг)ик - т\к.

Доказано, что итерационный метод (10) сходится при

0 <т < —2-(-=27,

Мшш + + Мш1п)

где цш\п - минимальное собственное число сеточного оператора Лапласа. При

£

Т =

Мшт + + Мш1п) скорость сходимости характеризуется неравенством

\\ик+1 - и\\ ^ р1/2\\ик - и\\, р =1---2-^-.

Мшт + + Мш1п)

Во втором параграфе рассматривался предобусловленный метод Удзавы для исходной и регуляризованной задачи. Для этого, исключив векторы у и и в системе (7), получили уравнение для Л

Р(X) = Ь(Е + дв)-1(ЬХ + Уз) - (гЕ + д^)-1(-Х) = 0. (11)

Применив для решения (11) итерационный метод

\к+1 _ \к

Ь2 --— + Р (Хк ) = 0, (12)

являющийся предобусловленным методом Удзавы для отыскания седловой точки функции Лагранжа (6). При реализации этого метода выполнялись следующие шаги:

1. для известного вектора Хк находятся ук и ик, решив включения с диагональными максимально монотонными операторами

(Е + дв)ук эЬ\к + уа и (гЕ + дф)ик э —\к;

2. вычисляется

3. решается уравнение

рК = Ь—1ик;

\к+1 \к т Л —Л и и

Ь-= — ук + рк.

Было доказано, что итерационный метод (12) сходится при условии

2г , ч

0 < т < —-—2-. (13)

V + Мш1п

Аналогично рассматривался предобусловленный метод Удзавы и для регу-ляризованной задачи.

В третьем параграфе был произведен анализ результатов вычислительных экспериментов, проведенных с представленными алгоритмами. За основу для вычислений была взята задача с функцией наблюдения у^ = 10(в1п жх1 + и для разных весовых параметров г в целевой функции.

Критерием остановки итераций были условия \\8ка\\\2 < 10—5 и \\5к\\\2 < 10—5 (невязки по переменным и и Л) для методов (10) и (12), соответственно.

В частности, результаты показали хорошую эффективность градиентного метода, в котором число итераций метода до достижения заданной точности не менялось с увеличением размерности сетки в задаче. С другой стороны, в случае, когда требовалось получить решение с большой точностью, уже метод

Удзавы показывал большую эффективность. К недостаткам метода Удзавы можно отнести линейную зависимость количества итераций от увеличения размерности сетки.

Глава 3

В третьей главе были изучены вопросы регуляризации седловых задач по двойственным переменным.

В первом параграфе была рассмотрена следующая седловая задача (обобщенный вариант задачи (7)):

(

Му

0 -П

Л

0 Ми Е

\

-Ь Е

V

и

+

[дО(уЛ

др(и)

0 ) VI

V

0

э

/

0 0

(14)

входные данные которой удовлетворяют следующим условиям:

(15)

Му - неотрицательно определенная матрица : Му ^ туЕ, ту ^ 0; Ми - положительно определенная матрица: Ми ^ тиЕ, ти > 0; Ь - невырожденная матрица : \\Ьу\\ ^ ц,\\у\\ Уу, р, > 0, в и р - выпуклые, собственные и полунепрерывные снизу функции. Соответствующая седловой задаче (14) регуляризованная задача имеет

вид:

(

Му

0 /.. N

0 Ми Е

Уе

и£

+

[д0 (у

др(и£)

у-Е Е -еИу уЛеу у

0

0 0

э

(16)

Было доказано, что если (у, и, Л°) - решение задачи (14), (у£, и£, Х£) - решение задачи (16) и выполнены условия (15), то справедливы следующие оценки погрешности при различном выборе матрицы И:

И = Е : ту\\у£ - у\\2 + сцпи{\\Ь(у£ - у)\\2 + \\и£ - и\\2) ^ 2\\Л°\\2, (17)

И = ЕЕ : (ту + С2Ши)\\у£ - у\\ + С2ти\\и£ - и\\ ^ 2\

°2

(18)

О = Ь = ЬТ > 0: ту\\у£ — у\\2 + сзти{\\у£ — у\\\ + \\и£ — и\\2) ^ 2\\\о\\2ь. (19)

1 М2 М п

где с1 ~ -, с2 ~--, сз ~- асимптотически при е ^ 0.

2 1 + м2 1 + М

Во втором параграфе рассматривалось применение блочного метода Гаусса-Зейделя для седловой задачи (14).

Исключив из седловой задачи (16) вектор Л£, была получена система включений

(Му + -ЬТО—1Ь)У£ — Х~17в—1и£ + дв(У£) э д,

£ 1 , 1£ , (20) (Ми + -О—1)ие — -В~1Ьу£ + др(и£) э 0.

Применив к этой системе блочный метод Гаусса-Зейделя, задача преобра-

(Му + -ЬТО—1Ь)ук+1 + дв(ук+1) э -ьТо-1ик + д,

зовалась к следующему виду:

£ 1 " I (21)

(Ми + -D-1)uk+1 + дфк+1) э -О—1Ьук+1.

В конце параграфа было доказано, что если выполнено условие: Ми ^ соО—1, то тогда итерации метода (21) сходятся к решению (у£,и£) задачи (20) со скоростью, зависящей только от £ и при этом, для всех к справедливы следующие оценки:

\\Ук+1 — уЛъ ^ \\ук — уАго, ^о = Му + -ЬТО—1Ь,

1 + с^е е

(22)

\ик+1 — щ\\и0 < \\ик — и^и , ио = Ми + -О—1.

1 + с0е е

В третьем параграфе описано применение блочного метода Гаусса-Зейделя для седловой задачи (41). Было доказано, что оценка близости ре-гуляризованного и точного решения равна

1. Для случая О = Е:

м 112 Г /м 112 11 п2\ & м л О 112 / \

\\У£Н — Ук\\о + 2^у£к — п\\2 + \\и£н — иь\\о) ^ 2\\Л/1\о. (23)

2. Для случая И = Ь:

112 11 112\ — 1\ \ г + 11 — Ш\\ I < Ц--ШШ7

2 1 + Мш1

м2 /и 112 и п2\ £ ,, Л ^,г Мш1п /^ .\

Уек — УК \ \ + С2Г( \ \ у£к — ук \ \ ь + \ \ и£н — щ\\ ) \\Л^\\ь, С2 « —-. (24)

3. Для случая И = Ь:

2

£ и2

(1 + С2Г) \ \у£Л — ун\\2 + Сзг\\и£н — щ\\2 ^ -\\ЬЛК\\2, С3 « . +шт2 . (25)

2 1 + иш1п

В четвертом параграфе был произведен анализ результатов вычислительных экспериментов, проведенных с представленными алгоритмами. За основу для расчетов была взята конечно-разностная задача (4) при уа(х) = Ю^т^^) + $,т(-кх2)) с нулевым начальным приближением. Под точным решением и£ понималось решение итерационным методом после очень большого количества итераций. Критерием остановки итераций служило условие \ \ \\ь2 < 10—4 (невязка по и). Расчеты тестовых вычислений полностью согласовались с теоретическими выводами, а именно, что скорость сходимости итерационных методов не зависит от размерности задачи (шага сетки) и линейно зависит от параметров и .

Кроме того, оказалось, что использование блочного БОЯ-метода с параметром верхней релаксации а > 1 при подходящем выборе параметра а дает существенное ускорение сходимости по сравнению с блочным методом Гаусса-Зейделя.

Глава 4

В четвертой главе рассматривалась модификация основной задачи оптимального управления, с добавлением поточечного ограничения на состояние и решение этой задачи обобщенным вариантом предобусловленного метода Удзавы. Доказывалось сходимость метода, найдены параметры итерации и скорость сходимости.

В первом параграфе была описана постановка и сеточная аппроксимация модифицированной задачи.

Была рассмотрена задача оптимального управления, в качестве задачи состояния которой взята однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области О = (0,1) х (0,1):

у е Н1(О) : J Чу • Чг Ах = ^ ихАх Ух е Н^(О). (26)

п п

Здесь и - функция управления, решение у задачи (26) - состояние системы. Задав множества ограничений на функции управления и состояния:

иа<1 = {и е Ь2(О) : и-(х) ^ и(х) ^ и+ (х) п.вс. в О},

УаЛ = УЦл П У^, У* = {уе Н(О) : у-(х) ^ у(х) ^ у+(х) п.вс. в },

УЪ = ЬеНКО): Iу(х)Ах ^ 1},

п

где

и-,и+, У-, У+ е с(n), и-(х) < 0 < и+ (х), у-(х) < 0 < у+(х) Ух е О. Целевой функционал был определен следующим равенством

(27)

J (у ,u) = 2 J(y - Vd)2dx + r J (U - Ud)2dx, r = const > 0, yd,Ud e L2(Q).

Q Q

И задача оптимального управления

(у ,u) = arg min J(z, v),

(z,v)eK (28)

К = {(2, v) : z E Yad, v e Uad, выполнено (26)}

Было доказано, что данная задача имеет единственное решение. Далее, аналогично главе 1, была введена сеточная аппроксимация данной задачи.

Через У-h, У+h Vh~ обозначили интерполянты непрерывных функций У-, у+, т.е. функции из Vh, совпадающие в узлах сетки ш с интерполируемым и непрерывными функциями. Пусть Kh : L(Q) ^ Wh, Khu(y) = fr' Jum в точках у e ОД, - оператор интегрального усреднения и

6(х)

ydh = KhVd, Udh = KhUd, U-h = KhU-, U+h = KhU+ - Wh-интерполянты соответствующих функций. Используя введенные обозначения, сеточная задача

состояния, множества ограничений и сеточная целевая функция была определена следующими равенствами:

yh e V® : J Vyh • Vzhdx = J uhzhdx Vzh e Vh, (29)

Q Q

Uhad = {Zh e Wh : z-h ^Zh ^ z+h в П}, Yahd = YqJ П YlJ, Ya°dh = {yh Е Vh : y-h ^ yh ^ У+h в П}, Y^ = {yh e V* : f yh(x) dx ^ 1},

Q

Jh(Zh,Vh) = 2 J(Zh - i)dh)2dx + 2 J(Vh - üdhfdx.

QQ Сеточная задача оптимального управления была формулирована следующим

образом:

(yh,Zh) = arg min Jh (zh,vh),

{zh,vh)eKh (30)

K = {(zh,Vh) : zh Е Y^d,vjh e Uhad и выполнено уравнение (29)}. Введя следующие обозначения:

• v = {Vij}, i,j = 1, 2,...,п - множество узловых параметров сеточной функции из Vh или Wh

• z-,z+, у- и у+ множества узловых параметров сеточных функций Z-h, Z+h, У-h, У+h.

• v ^ w означает v^- ^ w^- для всех i,j = 1, 2,... ,п.

сеточное уравнение состояния (111), множества ограничений и целевая функция была записана в следующем виде:

-Уг-Ц + 2Уг3 - Уг+1з + -Уд-1 + 2Уг3 - Уу+1 _п1 . , . . , ^

1,9 + 1,9 _ , 1 ^ ^ / ч

Н2 Н2 (31)

Уъ _ Уз0 _ У3п+1 _ у П+1] _ 0

Во втором параграфе исследовалось сходимость сеточной схемы. Были введены следующие обозначения: | | . 11 о,р - норма пространства Лебега Ьр(и), ||.| ^^ - норма пространства Соболева при 1 ^ р ^ то и целых

1 ^ 0, с - константа, не зависящая от Н.

Было доказано, что последовательность решений {(у^,йи} сеточных задач оптимального управления (30) сильно в х Ь2 (О) сходится к решению

(у,й) задачи оптимального управления (28).

В третьем параграфе рассматривался итерационный метод для решения приведенной сеточной задачи.

Система линейных уравнений (31) может быть записана в виде Ьу = й с симметричной и положительно определенной матрицей Ь - матрицей сеточного оператора Лапласа при нулевых граничных условиях Дирихле, а

целевая функция после деления на к2 равна 1(у,й) = -\\у — у^\\2 + -||й||2,

2 2

где \\.\\ = д/^^ТТТУ - евклидова норма в М^. Обозначив через Е единичную

N х N матрицу, определив прямоугольную 1 х N матрицу Р равенством

N

Ру = ^ к2у^ и заменив ограничение у е У^ на два следующих:

¡=1

Р = Ру, реР^ = {ре М : Р ^ 1}.

и определив как р(и) = 1цн (и), ф(у) = IYон (у) и 9(р) = IPh (р) — индикаторные функции соответствующих множеств, сеточная задача оптимального управления (30) была записана следующим образом:

min ¡J(ур) = 1 \\у- yd\\2 + Г-\\и\\2 + ^(и) + ф(у) + 0(рЛ . (32) Ly=u,Pу=р I 2 2 )

Функция Лагранжа С : )4 х М ^ М для задачи (32) была определена равенством

1

Цу,й,р, = -\у—У<1\(2+2\Ы\2+^(й)+#|/)+%)+(А, Ьу—й)+к—2^(ру—р).

(33)

и доказано, что её седловая точка функции является решением (см., например, [15], стр. ) следующей системы, дающей условия оптимальности первого

порядка: /

V

Е 0 0 Ь н-2рЛ (дф(у)Л (У

0 Е 0 - Е 0 и д(р(и) 0

0 0 0 0 -Н-2 + д ( ) э 0

Ь - Е 0 0 0 х 0 0

-2Р 0 -Н-2 0 0 ) V) { 0 ) I0)

Было доказано, что задача (34) имеет решение (у,и,р,Х,р) с единственными у, и, р, совпадающими с решением задачи (32).

Затем доказывалось положительная определенность матрицы, действующей на прямые переменные (у,и, р).

Обобщенный метод Удзавы для седловой задачи для задачи (34) с предо-бусловливателем И = diag (^(Ь + г-1/2Е )2, Н-2^ ид = к-2 приобрёл следующий вид:

ук+1 + оф(ук+1) э у(] _ ьхк - ё, ё=(1,1,..., 1),

N

гик+1 + дф(ик+1) э хк,

N

=

цк + Н2ук+1] рк+1 = {V если V ^ 1; 1 иначе}.

¿=1

(Ь + г-1/2Е)2^ - Ь/+1 + иш = 0,

(35)

1.&+1 _ i ,к N

М М + /+1 - Н2у*+1 = 0.

=1

Было доказано, что метод (35) сходится при любых начальных приближениях (Х°,р°), если 0 <т <

3+%/Б

При реализации каждого шага метода (35) требовалось решить включения относительно ук+1 и ик+1 и систему уравнений с матрицей (Ь + г-1/2Е)2. Так как матрицы и многозначные операторы включений - диагональные, то их решение сводилось к простым операциям последовательного точечного проектирования. В свою очередь, в силу факторизованного вида матрицы (Ь + г-1/2Е)2 решение системы уравнений с этой матрицей было найдено с помощью известных и эффективных алгоритмов.

Критерий окончания итераций.

Для рассматриваемой задачи (34) и метода (35) невязка гД = (гд, гД) = (Ьук — ик, рк — Рук), предобусловливатель Б = diag (^(Ь + г—1/2Е)2, Н-2^, а матрица Л положительно определена, более точно, (Ах, х) ^ 2(Л00х, х), где

Лоо = diag ^Е, гЕ, Н 2

Таким образом, справедлива следующая оценка точности итераций:

\\у* — уку2 + Л\и* — икУ2 + Ы21р* — ркI2 ^

^ с\\7]* — Г]к—1\\в(\\(Ь + г—1/2Е)—1(Ьук — ик)\\ + Ь]Рук — ркI), (36)

где постоянная с не зависит от Н и г, а \\г] — т]к—1\и ^ 0 при к ^ ж.

В четвертом параграфе был произведен анализ результатов вычислительных экспериментов, проведенных с представленным обобщенным вариантом предобусловленного метода Удзавы.

Были решены задачи с функцией наблюдения у, = Ю^т^^ + $>т-кх2), параметром г = 0.01 в целевой функции и множествами ограничений = {и : 0 ^ щ ^ 30; = 1,2,...,п}, = [у : 0 ^ уг] ^ 1.5 = 1,2,...,п},

п

^а,! = [У : Н2у 12 ^ 1}. Критерием остановки итераций было условие

Ь.3=1

уменьшения невязки до определенного уровня ге ^ 10—в, й = 3,4, 5. В качестве начальных приближений выбирались нулевые векторы. Рассматривались три варианта задач:

1. Основная задача с точечными нелокальными ограничениями на функцию состояния.

2. Частный случай вышеприведенной задачи, когда функция управления и ограничена лишь на первой четверти: и^, = [ии : 0 ^ щ ^ 1; г,] =

1, п}.

3. Задача только с нелокальным ограничением на функцию состояния.

Численные расчеты выявили линейную зависимость числа итераций в первой задаче от точности (от гей1), в то время как для второй задачи эта зави-

симость сильнее, а для третьей - существенно слабее. Отметим, что во всех случаях скорость сходимости итераций практически не зависела от шага сетки.

Также, на основе численных экспериментов был сделан вывод о существенном влиянии негладкости решения на скорость сходимости итерационного метода (135).

Положения, выносимые на защиту

1. Эквивалентные преобразования седловой задачи, определяющие седло-вую точку функции Лагранжа для дискретной задачи оптимального управления.

2. Предобусловенный метод Удзавы для решения задачи оптимального управления с нелокальными ограничениями на состояние системы и управление.

3. Различные варианты метода штрафа для решения исходной задачи.

4. Обобщенный метод Удзавы для решения задачи оптимального управления с точечными и нелокальными ограничениями на состояние системы и управление.

5. Теоретическое и экспериментальное подтверждение (путем численного моделирования на ЭВМ с использованием тестовых задач) различных свойств и параметров алгоритмов. Круг задач, для которых применение этих методов наиболее оправдано.

Глава 1. Аппроксимация задачи оптимального

управления

1.1. Постановка задачи и аппроксимация задачи оптимального управления

Рассматривается следующая задача оптимального управления. В качестве задачи состояния выступает однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области О с кусочно гладкой границей дО:

Здесь и - функция управления, решение у - состояние системы. Множества ограничений на функции управления и состояния задаются равенствами

Uad = {и Е Ь2(П) : \и(х)\ ^т Ух Е Q},m = const > 0

Рассматриваемая задача оптимального управления аппроксимирована конечно-разностной задачей на равномерной сетке в случае квадратной области О. Изучена однозначная разрешимость исходной и сеточной задач, сходимость приближенных решений к точному. Наряду с исходной дискретной задачей оптимального управления рассмотрена регуляризованная задача. Получена оценка нормы разности решений исходной и регуляризованной задач.

Для обеих конечномерных задач построены итерационные методы решения, доказана их сходимость. Проведены вычислительные эксперименты, направленные на сравнение скорости сходимости предложенных итерационных методов, в том числе, при уменьшении шага сетки и параметра .

Ау = и, х Е Q, у(х) = 0,х Е дQ.

(37)

Обобщенная постановка задачи состояния (37) есть интегральное тождество

у е Н(О) : [ Чу • ЧгАх = [ ихАх Ух е Н\(О). (39)

Q Q

г1/

Оно имеет единственное решение у Е Hq(Q) при любой правой части и Е L2(Q), при этом справедливо неравенство устойчивости

I I У\\#¿(0) ^ к\ | и\\l2(q), к = const. (40)

Лемма 1. Задача оптимального управления

найти min J(у,и),

(у ,и)ЕК (41)

К = {(у, и) : у Е Yad, и Е Uad, выполнено (39)} имеет единственное решение.

Доказательство. Множества Uad и Yad выпуклы и замкнуты, при этом Uad ограничено. Отсюда, а также из линейности уравнения состояния (39) и неравенства устойчивости (40) следует выпуклость, замкнутость и ограниченность множества К. Функционал J - непрерывный и строго выпуклый в Hq(Q) х L2(Q). Из приведенных свойств К и J следует существование единственного решения задачи (41). □

Пусть Q = (0,1) х (0,1). Построим конечно-разностную аппроксимацию задачи (41) на равномерной сетке

uh = {(хг, у3) = (i h,jh), i,j, = 0,1,...,п +1; (п + 1)h = 1}, считая для простоты, что функции и и yd непрерывны. Будем обозначать через Vij узловые параметры сеточной функции vh, т. е. v^ = vh(ih,jh).

Конечно-разностные аппроксимации задачи состояния (39), множеств ограничений на сеточные функции управления и состояния yh и целевого функционала имеют, соответственно, вид:

-y-ij + 2Vij - yi+ij + -Vij-1 + - yij+1 h2 + h2 =

+----гН-— = иij, 1 ^ i,j ^ п,

VOj = yjo = yjn+i = Уп+ij =

Uad = {uh : \uij\ ^ m, ij = 1,2,.. .,п}. Y^ = {yh : h2 Ун < 1}.

hj=1

h2 rh,2

Jh(yh. uh) = Y (— ydv f + E ul.

i,3=1 i,3=1

В результате получаем конечномерную задачу оптимального управления

найти min Jh( yh,uh),

(yh,uh)eKh (43)

Kh = {(yh,Uh) : yh e Yahd,Uh e UjhdL, выполнено уравнение (42)}. Аналогично Лемме 1 легко доказать следующее утверждение:

Лемма 2. Задача (43) имеет единственное решение.

Проведем исследование сходимости последовательности решений задачи (43) при h ^ 0 к решению задачи (41). С этой целью прежде всего запишем конечно-разностную задачу (43) в виде задачи для сеточных функций из конечномерного подпространства пространства Hq(q) х L2(Q).

Пусть каждая ячейка [ х\,х\ + h] х [х2,х2 + h] сетки ш разбита на два треугольника диагональю, параллельной биссектрисе положительного квадранта. Множество полученных треугольников еii образует триангуляцию Th замкнутой области Q. Обозначим через Vh = {yh e С(Öl) П Hq(q) : Уь(х) линейна на каждом е i e Th} С Hq(q) пространство конечных элементов.

Пусть далее 6(х) = [х\ — h/2,x\ + h/2] х [х2 — h/2,x2 + h/2] для х e ш и Wh e L2(Q) — это пространство кусочно-постоянных функций, постоянных на 0(х) и продолженных нулем на Q \ 0(х).

Ясно, что функции yh e Vh и yh e Wh однозначно определяются своими узловыми значениями {yij} в узлах сетки ш, поэтому между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Кроме того, справедливо неравенство:

II yh — Ы\ь 2 ^ ch\\yh\\H i. (44)

Используя введенные обозначения, сеточную задачу состояния перепишем в виде

J Vyh • Vzhdx = J uhzhdx Vzh e Vh, (45)

Q Q

а сеточную задачу оптимального управления (43) в следующем виде:

найти min {Jh(yh,üh) = 1 i( yh - ydh)2dx + Г- i ü2hdx},

2 Q 2 Q (46)

Kh = {(yh,Uh) : yh e Yad,üh e Uad и выполнено уравнение (45)}. Лемма 3. Пусть (yh,üh) e Kh и последовательность {(yh,üh)} слабо в Hq(Q) х L2(Q) сходится к (у,ü). Тогда (у,ü) e K.

Доказательство. Возьмем функцию z(x) e С(Q) HHq(Q) и обозначим через Zh и Zh ее Vh- и Wh-интерполянты (сеточные функции из соответствующих пространств, совпадающие с z(x) в узлах сетки ш). Тогда последовательность {Zh} сходится сильно в H1 к z, а последовательность {Zh} сходится к z сильно в L2. Переходя к пределу при h ^ 0 в интегральном тождестве

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Залялов Динар Гумарович, 2016 год

Список литературы

1. Агошков В.И. // Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики // М.:ИВМ РАН, 2003. -256с.

2. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах // изд-во КГУ, Казань., 2003.

3. Бертсекас Д.П. Условная оптимизация и методы множителей Лагран-жа// М.: Мир, 1987.

4. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седло-вых задач // Бином, М., 2010.

5. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач// М: Наука, 1988.

6. Гилл Ф, Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация// М.: Мир, 1985.

7. Гловински Р., Лионс Ж.-Л, Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств // Мир, М., 1979.

8. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств// изд-во КГУ, Казань., 2008.

9. Лапин А.В., Хасанов М.Г.. Решение задачи оптимального управления правой частью эллиптического уравнения при наличии ограничений на состояние// Ученые записки Казанского университета - Т. 152, Кн. 4. -2010. - С. 56-67.

10. Лионс Ж.-Л.. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными// М: Мир, 1972.

11. Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по многосеточным мето-дам.//М:Физматлит, 2003. -176с.

12. Самарский А.А.,Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений// М.:Наука, 1978.

13. Ф. Сьярле Метод конечных элементов для эллиптических задач // М.: Мир, 1980.

14. Федоренко Р. П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления // М.: Наука, 1978.

15. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы// М.: Мир, 1979.

16. Эрроу К.Дж. , Гурвиц Л, Удзава Х. Исследования по линейному и нелинейному программированию// Изд-во иностранной литературы, М. 1962. 336 с.

17. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces// Intern.Publ.,1976.

18. Benedix O. Adaptive Numerical Solution of State Constrained Optimal Control Problems//PhD, Munchen, 2011

19. Bergounioux M. Augmented Lagrangian method for distributed optimal control problems with state constraints// Optimization Theory Appl. - V. 78, No.3. - 1993. - P.493-521.

20. Bergounioux M, Haddou V., Hintermuller M, Kunisch K. A comparison of a Moreau-Yosida-based active set strategy and interior point methods for constrained optimal control problems // SIAM J. Optim. - V. 11, No.2. - 2000.

- P. 495-521.

21. Bergounioux M, Kunisch K. Primal-dual active set strategy for state-constrained optimal control problems // Comput. Optim. Appl. - V. 22, No.2.

- 2002. - P. 193-224.

22. Bergounioux M., Kunisch K. Augmented Lagrangian techiques for elliptic state constrained optimal control problems// Siam J. Conrol optim. - V. 35, No.5. - 1997. - P.1524-1543.

23. Bergounioux M. Optimal Control of an Obstacle Problem //Applied Mathematies Optimization.-V.36.-1997.-P. 147-172.

24. Biegler L.T., Ghattas O., Heinkenschloss M. and van Bloemen Waanders B. (eds.) Large-scale PDE-constrained optimization.// Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 30. - Berlin: Springer, 2003.

25. Brambl J.H Multigrid methods. // Pitman Research Notes in Mathematics Series, Vol. 294, Longman Scientific: New York, 1993.

26. Cherednichenko S., Krumbiegel K. and Rosch A. Error estimates for the Lavrentiev regularization of elliptic optimal control problems// 24. - Inverse Problems: IOP Publishing, 2008.

27. Konnov I.V. Application of penalty methods to non-stationary variational inequalities // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. - 2013. - V.92, No 1. - P. 177-182.

28. Graser C. and Kornhuber R. Nonsmooth Newton methods for set-valued saddle point problems // SIAM Numer J.. Anal. - V. 47, No. 2. - 2009. - P. 1251-1273.

29. Haase G., Langer U, Meyer A. and Nepomnyashchikh S.V. Hierarchical extension and local multigrid methods in domain decomposition preconditions.// East-West J. Numer. Math., Vol.2, №3, 1994; 173-193.

30. Hackbush W. Multigrid methods and applications, // Berlin, Heidelberg:Springler, 1985.

31. Herzog R. and Sachs E. Preconditioned conjugate gradient method for optimal control problems with control and state constraints// SIAM J. Matrix Anal. Appl. - V. 31, No. 5. - 2010. - P. 2291-2317.

32. Hintermuller, Mibhael; Yousept, Irwin A sensitivity-based extrapolation technique for the numerical solution of state-constrained optimal control problems// ESAIM, Control Optim. CalC. Var. - V. 16, No. 3. - 2010. - P. 503-522.

33. Hintermuller M, Kunisch K. Feasible and noniterior path-following in constrained minimization with low multiplier regularity// SIAM J. Control Optim. - V. 45, No.4. - 2006. - P. 1198-1221.

34. Hintermuller M. and Hinze M. Moreau-Yosida regularization in state constrained elliptic control problems: error estimates and parameter adjustment.// SIAM J. Numer. Anal. - V. 47, No. 3. - 2009. - P. 1666-1683.

35. Hintermuller M, Kovtunenko V. A., Kunish K. Obstacle problems with cohesion: a hemivariational inequality approach and its efficient numerical solution //Society for Industrial and Applied Mathematics.-V.21,No.3.-2011.-P.491-516.

36. Hintermuller M, Kunish K.Path-following methods for a class of constrained minimization problems in function space// Society for Industrial and Applied Mathematics.- V.17, No.1.-2006.-P.159-187.

37. Hintermuller M., Kunisch K. PDE-constrained optimization subject to pointwise constataints on the control, the state and its derivative //SIAM J. Optim. - V. 20, No.3. - 2009. - P. 1133-1156.

38. Hintermuller M.,Ito K., Kunish K. The primal-dual active set strategy as a semismooth newton method// Society for Industrial and Applied Mathematics.- V.13,No.3.-2003.-P.865-888.

39. Hinze M. and Schiela A. Discretization of interior point methods for state constrained elliptic optimal control problems: Optimal error estimates and parameter adjustment// Comput. Optim. Appl. - V. 48, No. 3. - 2011. - P. 581-600.

40. Hinze M. and Meyer C. Variational discretization of Lavrentiev-regularized state constrained elliptic optimal control problems.// Comput. Optim. Appl. - V. 46, No. 3. - 2010. - P. 487-50.

41. Ito K. and Kunisch K. Semi-smooth Newton methods for state-constrained optimal control problems // Syst. Control Lett. - V. 50, No. 3. - 2003. - P. 221-228.

42. Jonasson J. Eric. Modelling of Temperature, Moisture and Stresses in Young Concrete.// Ph.D. thesis, Lulea University of Technology, 1994.

43. Kanzow Ch. Inexact semismooth newton methods for large-scale complementarity problems// Optimization Methods and Software.2004.V. 19.P. 309-325.

44. Kuznetsov Y.A. Algebraic multigrid domain decomposition methods. // Sov. J. of Numer. Analysis and Math. Modell., 1989, 4; 561-577.

45. Laitinen E, Lapin A. and Lapin S. Iterative solution methods for variational inequalities with nonlinear main operator and constraints to gradient of solution // Lobachevskii J. Math. - V.33, No 4 . - 2012. - P. 364-371.

46. Laitinen E, Lapin A. and Lapin S. On the iterative solution of finite-dimensional inclusions with applications to optimal control problems// Comp. Methods in Appl. Math. - V. 10, No. 3 - 2010. - P. 283-301.

47. Lapin A. Preconditioned Uzawa type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems // Lobachevskii J. Math. - V. 31, No 4. -2010. - P. 309-322.

48. Lewis R.M., Nasch S. Model problems for the multigrid optimization of systems governed by differential equations // SIAM J. Sc. Comp.-2005.-V.26.-P.1811-1837

49. Meyer Chr., Prufert U., Troltzsch F. On two numerical methods for state-constrained elliptic control problems//Optimization Methods and Software.2007.V. 22. P. 871-899

50. Nasch S. A multigrid approach to discretized optimization problems// Optimization Methods and Software.2000.V.14.P.99-116.

51. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization//Springler, 2000.

52. Nochetto R. Pointwise Accuracy of a Finite Element Method for Nonlinear Variational Inequalities// Numer. Math., V. 54, 1989, pp. 601-618.

53. Prufert U.,Troeltsch F.,Weiser M. The convergence of an interior point method for an elliptic control problem with mixed control-state constraints// Comput. Optim. Appl.-V.39.-2008.-P. 183-218.

54. Rannacher R., Scott R. Some Optimal Error Estimates for Piecewise Linear Finite Element Approximations // Mathematics of Computation, V. 38, No. 158, 1982, pp. 437-445

55. Schiela A., Gunther A. An interior point algorithm with inexact step computation in function space for state constrained optimal control// Numer. Math. - V. 119, No. 2. - 2011. - P. 373-407.

56. Schiela A., Weiser M. Superlinear convergence of the control reduced interior point method for PDE constrained optimization// Computer Optimization Applied.-V.39.-2008.-P. 369-393.

57. Springenschmid R. Thermal cracking in concrete at early ages.// Spon, London u.a., 1995.

58. Tiba D. Lectures on the optimal control of elliptic equations // Institute of Mathematics, Romanion Academy, P.O Box 1-764, RO-70700. Bucharest, Romania - 1995. - P. 105-108.

59. Troltzsch F., Yousept I. A regularization method for the numerical solution of elliptic boundary control problems with pointwise state constraints // Comput. Optim. Appl. - V. 42, No.1. - 2009. - P. 43-66.

60. Troltzsch F., Yousept I. Source representation strategy for optimal boundary control problems with state constraints// Z. Anal. Anwend. - V. 28, No. 2. -2009. - P. 189-203.

61. Troltzsch F., Pufert U. and Weiser M. The convergence of an interior point method for an elliptic control problem with mixed control-state constraints// Comput. Optim. Appl. - V.39 - 2008. - P. 183-218.

62. Vallejos M. Multigrid Methods for Elliptic Optimal Control Problems with Pointwise State Constraints // Numer. Math. Theor. Meth. Appl.-2012.V.5.L1. - P. 99-109

63. Martin Weiser,Tobias Gänzler, Anton SchielaA control reduced primal interior point method for a class of control constrained optimal control problems//Comput Optim App.- V.41.-2008.-P.127-145.

64. Zhang X Multilevel Schwarz methods.// Numer. Math., 1992, 63(4); 521-539.-256