Приближенные методы решения начально-краевых задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна

• Виноградова, Полина Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна

Введение

ГЛАВА 1. Метод Фаэдо - Галеркина приближенного решения начально - краевых задач для параболических уравнений в областях с границей, зависящей от времени

§1. Постановка начально - краевой задачи для линейного параболического уравнения. Теорема существования

§2. О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для линейного параболического уравнения.

§3. О сходимости метода Фаэдо - Галеркина для квазилинейных параболических уравнений.

§4. Результаты численных экспериментов.

ГЛАВА 2. Начально - краевая задача для двумерных уравнений Бюргерса в нецилиндрических областях

§1. Постановка начально - краевой задачи для системы

§3. Численная реализация метода сеток для системы двумерных уравнений Бюргерса.

§2. Теорема существования и единственности уравнений Бюргерса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы решения начально-краевых задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях»

Актуальность темы. Одними из наиболее важных методов исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно - сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [2], Б.Г. Галеркина [13], В.Ритца [81], Н.Н. Боголюбова [1], Н.М. Крылова [38], М.Б. Келдыша [31], Г.И. Петрова [48], [49], JLB. Канторовича [27] и других авторов.

Современное изложение проекционных методов можно найти в книгах С.Г. Михлина [42] - [44], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. За-брейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [35], Г.И. Марчука, В.И. Агош-кова [41], Г.М. Вайникко [5], [6], X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариуса [12], Ж-П. Обэна [45], Р. Варги [8], R. Glowinski [75], К. Флетчера [63].

Для нестационарных уравнений метод Галеркина был обобщен С.Фаэдо [41], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаз до - Галеркина.

Как процесс доказательства существования решения метод Фаэдо -Галеркина использовался в работах М.И. Вишика [10], М.И. Вишика и О.А. Ладыженской [11], Ю.А. Дубинского [17], [18] и др.

Метод Фаэдо - Галеркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [7], М.А. Велиева [9], А.Г. Зарубина [21], [22], В.Р. Кардашова [29], П.Э. Оя [46], [47], С.В.

Поборчего [51], В.В. Смагина [54] - [57], П.К. Соболевского [58] - [60] и других, например, [3], [14], [20], [69], [76], [82].

Краевые задачи для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени, возникают в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [50], [79], [84]; при изучении процесса горения в твердотельных ракетных двигателях [19]; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [52] и других задачах естествознания.

Начально - краевые задачи для различных классов нестационарных линейных и квазилинейных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [15], [24] - [26], [32] - [34], [36], [37], [66]

- [68], [70] - [74], [77], [78], [80], [83].

Естественно поставить вопрос о нахождении приближенных решений таких задач. В связи с этим, представляются актуальными разработка и обоснование возможности применения итерационных и проекционных методов нахождения приближенного решения начально - краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа в областях, граница которых зависит от времени.

Цель работы. Получить следующие результаты:

- доказать разрешимость начально - краевых задач в пространствах C.J1. Соболева для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков, а также разрешимость в пространствах Гельдера одной квазилинейной системы параболических уравнений в нецилиндрических областях;

- обосновать возможность применения метода Фаэдо - Галеркина для параболических уравнений высших порядков и получить оценки быстроты сходимости;

- провести численную реализацию метода Фаэдо - Галеркина для некоторого класса задач;

- для квазилинейной системы построить сходящийся итерационный процесс, в котором не использовался бы принцип сжатых отображений;

- найти оценки быстроты сходимости предложенного итерационного процесса;

- для системы двумерных уравнений Бюргерса, используя итерационный процесс, с помощью метода сеток построить численное решение.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теория пространств C.JI. Соболева, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений, вычислительные методы математики.

Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический и практический характер. В диссертации получены следующие результаты:

- доказаны теоремы существования сильных решений начально - краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков в пространствах Соболева в нецилиндрических областях с одной пространственной переменной;

- установлена сходимость приближенных решений, построенных по методу Фаэдо - Галеркина, к точному решению в норме пространства Wf"1'1;

- получены оценки быстроты сходимости приближенных решений;

- доказана теорема существования и единственности для системы двумерных уравнений Бюргерса в пространстве Гельдера #2+a>1+f;

- построен сходящийся в #"2+a>1+f итерационный процесс, и получены оценки быстроты сходимости приближенных решений;

- выполнена численная реализация указанных выше вычислительных методов.

Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы для дальнейшей разработки вычислительных методов в теории параболических уравнений в областях с подвижными границами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе - семинаре им. Е.В. Золотова (г. Владивосток 2002, 2003), на международной конференции " Байкальские чтения II по моделированию процессов в синерге-тических системах" (г. Улан - Удэ, Томск 2002), на международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г. Воронеж 2003), на 49 научной конференции Хабаровского Государственного Педагогического Университета (2003), а также на научном семинаре " Дифференциальные уравнения" при Хабаровском Государственном Техническом Университете и семинаре при ВЦ ДВОРАН (г. Хабаровск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [88] - [92].

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 96 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы из 92 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна, 2003 год

1. Боголюбов Н.Н. Избранные труды // Киев: Наукова Думка, 1969, т.1, 648 с.

2. Бубнов И.Г. Избранные труды //Л.: Судпромгиз.,1956, 493 с.

3. Букесова Н.Н., Железовский С.Е. О скорости сходимости метода Га-леркина для одного класса квазилинейных операторных дифференциальных уравнения // Ж. вычислит, мат. и мат. физ., 1999, 39, N 9. С. 1519 1532.

4. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов // М.: Наука, 1972. 415 с.

5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов // Тарту.: изд-во Тартуск. Ун-та, 1976. 162 с.

6. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений // Тарту.: изд-во Тартуск. Ун-та, 1970, 192 с.

7. Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галеркина для абстрактных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения, 1975, т. 11, N 7. С. 1269 1277.

8. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе // М.: Мир, 1974, 126 с.

9. Велиев М.А. К устойчивости метода Бубнова Галеркина для линейных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве // ДАН Аз.ССР, 1981, Т.37, N 5. С. 3 - 7.

10. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб., 1956, т.39, N 1, С. 51 148.

11. Вишик М.И., Ладыженская О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений // УМН, 1956, т. 11. С. 41 97.

12. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения // М.: Мир, 1978, 336 с.

13. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений // М.: Издательство АН СССР, 1952-1953, т.2, 1953, 440 с.

14. Галкин В.А., Забудько М.А. Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Изв. вузов. Ядер, энерг. 2000, N 1. С. 19 28.

15. Глушко В.П.,Крейн С.Г. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом // Сиб.мат.журн.1960.Т.1, N 3. С. 343-382.

16. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи матем. наук. 1968. T.XXIII, в.1(139). С. 45-90.

17. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения //В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1976, т. 9. С. 5 130.

18. Ерохин Б.Т. Теоретические основы проектирования РДТТ // М.:Машиностроение, 1982, 203 с.

19. Железовский С.Е. Оценки скорости сходимости метода Галеркина для абстрактного гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2001, 69, N 2. С. 223 234.

20. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости метода Галеркина для квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, N 2. С. 366 369.

21. Зарубин А. Г. О скорости сходимости метода Фаз до Галеркина для линейных нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, N 4. С. 639 - 645.

22. Зарубин А.Г. Об итерационном методе приближенного решения начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции // Журнал вычислит, матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ, N 8, С.1218-1227.

23. Иванова М.В., Ушаков В.И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки, 2002, 72, N 1. С. 48 53.

24. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в нецилиндрической области // Владивосток: Даль-наука, 2001, препринт /ДВО РАН ХО ИПМ N 6, 40 с.

25. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000.Т.1, N 1. С. 63-73.

26. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН, 1948, т.З, N 6. С. 89 185.

27. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ // М.: Наука, 1977, 741 с.

28. Карташов В.Р. Об одной модификации метода Галеркина решения операторных уравнений. // Вестник МГУ, сер. выч. матем. и кибер., 1984, N 1. С. 20 26.

29. Карташов Э.М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с движущимися границами // Инж.-физ. журн., 1987, т. 52, N 3. С. 495 505.

30. Келдыш М.В. О методе Б.Г. Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР, сер. Матем.,1942, т.6. С. 309 330.

31. Кожанов А.И. Замечание об одной задаче вязкоупругости и связанном с ней возмущенном волновом уравнении в нецилиндрических областях // Неклассич. уравнения матем. физики, Новосибирск: НГУ, 1993. С. 99 103

32. Кожанов А.И., Ларькин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. ж. 2001, 42, N 6. С. 1278 1299, 1445 - 1446.

33. Кожанов А.И., Ларькин Н.А. О разрешимости краевых задач для сильно нелинейных уравнений вязкоупругости в нецилиндрических областях // Математические заметки, ЯГУ, 1999. Т.6, B.l. С.36-45.

34. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений // М.: Наука, 1969, 455 с.

35. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях / / Дифференциальныеуравнения. 1969. Т.5, N 8. С.1458-1469.

36. Крейн С.Г. Поведение решений эллиптических задач при вариации области // Studia mathematica. 1968, Т.31. С.411-424.

37. Крылов Н.М. Избранные труды // Киев: изд-во АН УССР, 1961, Т.З, 397 с.

38. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.: Наука, 1967, 736 с.

39. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики // Наука, 1973, 407 с.

40. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы // М.: Наука, 1981, 416 с.

41. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике // М.: Наука, 1970, 512 с.

42. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов // Тбилисси.: изд-во ин-т прикл. матем. им. И.Н. Векуа, 1983, 261 с.

43. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов // М.: Наука, 1966, 432 с.

44. Обэн Ж-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач // М.: Мир, 1977, 383 с.

45. Оя П. О решении эволюционных уравнений методом Галеркина //В кн. "Уч. зап. Тартуск. ун-та". Тарту: ТГУ, 1974, N 342. С. 237-248.

46. Оя П. О сходимости и устойчивости метода Галеркина для параболических уравнений с дифференцируемыми операторами // Труды по математике и механике, Тарту: Тарт. Гос. Ун-т, 1975. Т.XVII, в. 374.С.194-210.

47. Петров Г.И. Оценка погрешности приближенно вычисленных собственных значений методом Галеркина // ПММ. 1957, т.21. С.184 189.

48. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ, 1940, Т.4. С. 1 13.

49. Петухов Б.С., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках // М.: Атомиздат, 1974, 404 с.

50. Поборчий С.В. О скорости сходимости проекционного метода решения абстрактного параболического уравнения в случае нестационарного оператора // Вестник ЛГУ, 1973, N13. С. 69 76.

51. Пухначев В.В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников // Тр. семин. С.Л. Соболева. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1976, N 2. С. 69 82.

52. Саульев И.К. Применение явных асимметричных разностных аппроксимаций для решения уравнения Бюргерса // Дифференц. уравнения. 1982. Т.18, N 12. С. 2190-2195.

53. Смагин В.В. Проекционно-разностныео методы приближенного решения параболических уравнений с несимметричными операторами // Дифференц. уравнения. 2001, 37, N1. С. 115 123.

54. Смагин В.В. Метод Галеркина приближенного решения эволюционного уравнения в банаховом пространстве //В кн. " Тр. мат.фак. Воронеж, ун-т", Воронеж.: изд-во ВГУ, в.5. С. 34 42.

55. Смагин В.В. О методе Галеркина решения абстрактного квазилинейного параболического уравнения //В кн. " Прикладной анализ"., Воронеж.: изд-во ВГУ, 1979. С. 95 98.

56. Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка Николсон для параболических уравнений // Сиб. мат. ж., 2001, 42, N3. С. 670 - 682.

57. Соболевский П.Е. О методе Бубнова Галеркина для параболических уравнений // ДАН СССР, 1968, т. 178, N3. С. 548 - 551.

58. Соболевский П.Е. О методе Бубнова Галеркина для параболических уравнений //В кн. " Вариационно - разностные методы решения задач матем. физики" , Новосибирск, 1976. С. 79 -. 85.

59. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // ДАН СССР, 1957, т. 116, N5. С. 754 757.

60. Солонников В.А. Об оценках в Lp решений эллиптических и параболических систем // Тр. МИ АН СССР, 1967, Т.102, В.5. С.137-160.

61. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1972, 735 с.

62. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина // М: Мир, 1988, 352 с.

63. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа // М: Мир, 1968, 427 с.

64. Agmon S. On the Eigenfunctions and on the eigenvalue of General Elliptic Boundary Value Problems // Comm. Pure Appl. Math., 1962, v.15, p. 119 147.

65. Benabidallah R., Ferreira J. On hyperbolic parabolic equations with nonlinearity of Kirchhoff - Carrier type in domain with moving boundary // Nonlinear Analysis, 37, 1999, p. 269 - 287.

66. Bokalo M.M., Dmytriv V.M. A Fourier problem for quasilinear parabolicequations of arbitrary order in noncylindric domains // Mam. Студи. 2000, 14, N2, p.175 188.

67. Cannarsa P.,Da Prato G.,Zolezio S.-P. The damped wave equations in a moving domain // Differential Equations. 1990. v.85, N 1. p.1-16.

68. Choe Won Ok, Song Chang Sin. Existence of solution for a diffusion equation with inhomogeneous boundary condition // Kwahagwo thongbo, Bull. Acad. Sci. DPR Korea. 2001, N 3, p. 8 12.

69. Da Prato G.,Grisvard P. The damped wave equation in noncylindrical domain // Diff. Int. Eqs., 7, 1994, p. 735 746."

70. Faedo S. Un nuovo metodo per lanalisi esistenziale e quantitative dei problemi di propogazione // Ann. Scuola Norm, sur. Pisa, 1949, p. 1 40.

71. Ferreira J. Lar'kin N.A. Global solvability of mixed problem for a nonlinear hyperbolic parabolic equations in noncylindrical domains // Portugaliae Mathematica. V.53, Fasc. 4, 1996, p. 381 - 395.

72. Ferreira J. Nonlinear hyperbolic parabolic partial differential equations in noncylindrical domain // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, N44,1995, p. 135 - 146.

73. Gevrey M. Les equations parabolques // J. de Math., 6 ser., IX, 1913, p. 187 235.

74. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems // New York.: Springer Verlag, 1984, p. 493.

75. Guo Ben Yu, Shen Jie. Laguerre - Galerkin method for nonlinear partial differential equations on a semi - infinite interval // Numer. Math., 2000, 86,4, p. 635 - 654.

76. Kozhanov A.I. On a nonlinear equation of viscoelqsticity in noncylindricdomains // Математические заметки, ЯГУ, 1998. Т.5, Вып.2. С. 107-117.

77. Mamedov I.T. Boundary properties of solutions of the second order parabolic equations in noncylindric domains // Proc. Inst. Math. And Mech. Azerb. Acad. Sci., 1999, N11, p. 96 107.

78. Peckover R.S. The modeling of some melting problems // Res. Notes Math., 1983, v. 87, p. 248 262.

79. Petrowsky I.G. Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung // Compositio math., 1935, N1, p. 398 419.

80. Ritz W. Uner eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprob-leme der mathematischen Physik // J.f.d. reine und angenwandtle Math., 1908, v. 135, H. 1.

81. Roos H.-G., Skalicky T. A comparison of the finite element method on Sciskin and Gatland-type meshes for convection-diffusion problems // CWI Quart., 1997, 10, N 3-4, p. 277-300.

82. Sidelnik Y.I. Existence and uniqueness of a generalized solution of the mixed problem for an equation of plate oscillation type in a noncylindrical domains // J. of Soviet. Math., 63, 1993, p. 98 101.

83. Turland B.D. Finite difference front-tracking algorithms for Stefan problems arising in reactor safety studies // Res. Notes Math., 1983, v.78, p. 293 305.

84. Wang Yue-Ming, Wang Ming-Liang. Solutions of two nonlinear partial differential equations in the form of separated variables // Luoyang gongx-ueyuan xuebao, J. Luoyang Inst. Technol. 2000, 21, N2, p. 88-90.

85. Xia Tie-cheng, Zhang Hong-qing, Yan Zhen-ya. A new approach to construct exact solutions of nonlinear evolution equations // Dalian ligongdaxue xuebao, J. Dalian Univ. Technol. 2001, 41, N3, p. 260 263.

86. Zeng Wenping. A group explicit method of Saulev- type for solving diffusion-convection equation // Gaudeng xuexiao psuan shuxue xuebau, Numer. Math., J. Chinese Univ., 2000, 22, N2, p. 123-130.СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

87. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галеркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневост. матем. журнал. Владивосток: Дальнаука, 2002, т.З, N1. С. 3-17.

88. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюргерса в пространстве Гельдера в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2002, т.9, в.2. С.20-31.

89. Виноградова П.В. Начально краевая задача для системы уравнений Бюргерса в области с границей, зависящей от времени // Дальневосточная школа - семинар им. академика Е.В.Золотова: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука, 2002. С.17 - 18.

90. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О разрешимости уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // междунар. конф. "Современные проблемы функц. анализа и диф. уравнений" , Воронеж, 30 июня 4 июля 2003: Тез. докл. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. С.