Приближенное решение некоторых дифференциально-операторных уравнений третьего порядка на основе проекционных методов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Королева Татьяна Эдуардовна

• Королева Татьяна Эдуардовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Королева Татьяна Эдуардовна

Введение

1 Метод Галеркина для линейных дифференциально-операторных уравнений третьего

порядка

1.1 Основные функциональные пространства и неравенства

1.2 Метод Галеркина с базисом из собственных элементов главного оператора

1.3 Метод Галеркина с базисом из собственных элементов сходного оператора

1.4 Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных

1.5 Численный эксперимент

2 Метод Галеркина для нелинейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка

2.1 Равномерная оценка скорости сходимости метода Галеркина

для уравнения с монотонным оператором

2.2 Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения с другим условием подчинения

2.3 Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных

2.4 Численный эксперимент

3 Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенное решение некоторых дифференциально-операторных уравнений третьего порядка на основе проекционных методов»

Введение

Актуальность темы. Важнейшим направлением современной математики является всестороннее изучение операторных уравнений. Из литературы, посвященной теории абстрактных дифференциально-операторных уравнений, можно указать ряд основательных монографий и обзоров, среди которых выделим монографии Ф.Е. Браудера [93], Х. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [29], Ж.-Л. Лионса [57], С.Г. Крейна [54], М.М. Вайнберга [10], Н.О. Ра^опш [96], Е. Zeidleг [110], а также обзоры И.В. Скрыпника [74], Ю.А. Дубинского [39], [40], Р.И. Качуровского [50]. С помощью операторного метода можно исследовать обширный класс уравнений. Самые разные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения можно представить в операторном виде и с помощью методов функционального анализа и теории операторов, можно изучать не только вопросы, связанные с разрешимостью поставленных задач, а также составлять алгоритмы нахождения приближенных решений. Известно, что теория и методология операторных уравнений широко используются в вычислительной математике.

Среди дифференциально-операторных уравнений наиболее детально изучены уравнения первого и второго порядков. В этой связи можно указать работы [107], [108], посвященные исследованию сильных решений задачи Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений задачи Коши для различных линейных

уравнений второго порядка с переменными областями определения доказаны в работах [59], [87].

Разрешимость линейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка исследовалась в [18], [2], [62], [102], [89], [90]. С позиций спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве и метода Фурье исследования дифференциально-операторных уравнений первого и высших порядков представлены в монографии [34].

В работе [41] изучены вопросы классификации дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка, а также постановки задач для этих уравнений и их разрешимость в пространствах Соболева-Слободецкого.

Однако вопрос о разрешимости дифференциально-операторных уравнений третьего порядка в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств Соболева Wpbmm(Q), остается открытым.

Заметим, что некоторые уравнения, возникающие при изучении процессов динамики влажности почвы и грунтовых вод [111], распространения нестационарных акустических волн [17], процессов релаксации при переносе тепла [95], [104], [98] можно привести к дифференциально-операторным уравнениям третьего порядка в гильбертовом пространстве.

Важным инструментом при изучении приближенного решения краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разнообразных задач гидродинамики и многих других являются проекционные и проекционно-разностные методы. Основоположниками этих методов были Б.Г. Галеркин [30], И.Г. Бубнов [8], Н.М. Крылов [55], Г.И. Петров [71], [72], В. Ритц [105], Н.Н. Боголюбов [7], М.Б. Келдыш [51], Л.В. Канторович [48] и другие.

Общая теория проекционных методов для стационарных и нестаци-

онарных уравнений первого и второго порядка изложены, например, в книгах М.А. Красносельского, П.П. Забрейко [53], С.Г. Михлина [64]—[66], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [52], Г.М. Вайникко [13], [14], Х. Гаевского, К. Грегера, К. Захариуса [29], Ж-П. Обэна [67], Р. Варги [16], R. Glowinski [99], V. Thomee [106], К. Флетчера [86], В.В. Шайдурова [88], Г.И. Марчука, В.И. Агошкова [63], M. Chen, Z. Chen, G. Chen [94].

Как средство при доказательстве теорем существования решений нестационарных уравнений, метод Галеркина использовался в работах Ю.А. Дубинского [38], [39], М.И. Вишика [27], [28], М.И. Вишика и О.А. Ладыженской [26], и других авторов.

Метод Галеркина как основа для численного решения нестационарных уравнений исследовался в трудах П.Е. Соболевского [82]-[84], Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [15], А.Г. Зарубина [45]-[46], М.А. Велиева [19], П.В. Виноградовой [24], [109], В.Р. Кардашова [49], П.Э. Оя [68]-[70], А.Д. Ляш-ко [60], С.В. Поборчего [73], В.В. Смагина [75]-[80], и других, например, в [9], [43], [100].

В работе [48] Л.В. Канторович отметил ряд проблем, которые возникают в общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и уравнений, приводящимся к ним, а именно: вопрос об установлении сходимости алгоритма, процесс исследования быстроты сходимости приближенного решения, получение эффективных оценок погрешности для построенного приближенного решения. Решению указанных задач было посвящено большое число работ. Тем не менее, эта сфера исследований требует дальнейших разработок.

При исследовании проекционных методов особое внимание уделяется выбору базиса, так как свойства базисных функций существенно влияют

на скорость сходимости приближенных решений уравнения к точному решению (см., например, [11], [33]). В публикации [81] предлагается выбрать в качестве базиса собственные функции оператора, который не зависит от времени и образует с оператором исследуемого уравнения, так называемый, острый угол. Эта идея была использована в [46], [107], [22], [23], [108] для исследования нестационарных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами. М.Л. Горбачук в работе [32] применил собственные функции сходного оператора для приближенного решения стационарного линейного операторного уравнения.

В настоящее время имеется большое количество работ по проекционным и проекционно-разностным методам решения операторных уравнений первого порядка с произвольным базисом, например, [15], [61], [69], [78], [79], [101]. Как правило, в таких публикациях сформулировано понятие слабого решения и установлены оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению. К примеру, в работе [79] рассмотрен проекционно-разностный метод решения задачи Коши для абстрактного параболического уравнения с применением схемы Кранка-Николсон по временной переменной при условии подчиненности порядка 0 < а < 1/2.

Необходимо отметить, что достаточно сложной задачей является изучение зависимости оценок скорости сходимости приближенных решений от вида базисных элементов, свойств операторов уравнения и его решения. Причем эта задача не разрешена и по настоящее время. К числу работ, содержащих некоторые частные результаты для стационарных операторных уравнений, относятся [12], [32], [35], [36], [37], для обыкновенных дифференциальных уравнений - в [55], [58], для дифференциально-операторных уравнений первого порядка - [107], [108],[22], [23], для эволюционного уравнения второго порядка - в [42]. В представленной диссертации данная за-

дача рассмотрена для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка, при этом в качестве базисных функций выбраны собственные элементы самосопряженного, положительно определенного оператора. Также в диссертации исследуются сильные решения, при этом возмущающий оператор может быть подчинен основному оператору уравнения с порядком, большим 1. В этом состоит отличие от других работ, рассматривающих обобщенное решение дифференциально-операторных уравнений (см., например, [15], [79]).

Значительное количество краевых и начально-краевых задач для уравнений с частными производными, встречающихся в математической физике, механике, гидродинамике и других областях, приводят к необходимости решения краевых задач для соответствующих дифференциально-операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Таким образом, наличие разработанных методов решения для операторных уравнений позволяет решить данные задачи.

Проекционные методы для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка практически не исследовались. Можем указать лишь некоторые исследования приближенных методов решения нестационарных уравнений третьего порядка в частных производных, основанных на разностных схемах [91], [44], [3], [4], [1].

В работе [112] авторы исследовали численный метод решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения третьего порядка в частных производных. Метод основан на использовании свойств воспроизводящего ядра пространства и существовании ортогонального базиса в гильбертовом пространстве. Применяя свойства функции (воспроизводящего ядра пространства), авторы получили аппроксимационную задачу и установили разрешимость полученной аппроксимационной задачи, а так-

же доказали сходимость приближенных решений. Однако оценки скорости сходимости в указанной работе не установлены. В данной статье авторы представили некоторые результаты численного решения модельных задач.

В связи с вышеизложенным актуальной задачей является доказательство теорем существования и единственности сильных решений нестационарных операторных уравнений третьего порядка, а также разработка проекционных методов их решения.

Цель работы. Исследовать краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка с главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно:

— доказательство теоремы существования и единственности сильного решения краевых задач;

— исследование разрешимости аппроксимационных уравнений, составленных по методу Галеркина;

— исследование скорости сходимости приближенных решений;

— применение доказанных абстрактных теорем к различным математическим моделям, сфорулированных в задачах естествознания;

— численная реализация разработанных приближенных методов для определенного ряда задач.

Методы исследования. В данной диссертации применены методы функционального анализа, проекционные методы построения решений, теория операторов в гильбертовом пространстве, теория пространств Соболева, приближенные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Главные результаты диссертации получены впервые и состоят в следующем.

- Доказаны теоремы существования и единственности сильных решений краевых задач для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка и для соответствующих аппроксимационных задач.

- Получены новые теоремы для дифференциально-операторных уравнений третьего порядка о сходимости приближенных решений, составленных с помощью метода Галеркина, в сильных нормах.

- Получены новые оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Галеркина, к точному решению в равномерной по времени топологии.

- Впервые были получены результаты о разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных нестационарных уравнений третьего порядка в частных производных, а также новые оценки скорости сходимости соответствующих проекционных методов в результате применения сформулированных абстрактных теорем.

- Выполнена численная реализация разработанных вычислительных методов.

Степень достоверности результатов диссертации. Все результаты диссертации достоверны, что подтверждается строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический и прикладной характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны при дальнейшем развитии приближенных методов решения дифференциально-операторных уравнений высших порядков в гильбертовом пространстве. А также, данные результаты можно эффективно применять при численном решении прикладных задач, возникающих в различных областях естествознания.

Апробация работы. Доклады, содержащие основные результаты

диссертации, сделаны на 27-ой Всероссийской Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(Воронеж, 2013), на 9-й Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2013), на 6-й Международной научной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий"(Воронеж, 2013), на международной конференции Воронежской математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2015 г.), на всероссийской научно - практической конференции "Повышение эффективности транспортной системы региона: проблемы и перспекти-вы"(Хабаровск, 21 - 22 октября 2015г.), на научном семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН С.И. Смагина , на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Г. Зарубина в ТОГУ.

Публикации. Главные результаты диссертации были опубликованы в 9 работах, из которых 3 статьи - в российских журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией. Зарегистрирована одна программа для ЭВМ. Некоторые работы выполнены в соавторстве.

В работе [113] автор сформулировал и доказал теоремы 1, 2 и 3, в работе [119] - теоремы 1 и 2, в работе [120] - теоремы 1 и 2, а также результаты, касающиеся приложений разработанных в работе методов к начально-краевым задачам, вклад автора в работах [116] и [117] одинаков с вкладом соавтора.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые разбиты на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации 90 страниц. Список литературы включает в себя 121 наименований.

Содержание работы. Изложим материал диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы, проведен анализ литературных источников по рассматриваемой проблеме. Сформулированы цели работы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе диссертации исследованы проекционные методы решения краевых задач для линейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка.

Данная глава включает в себя пять параграфов. В первом параграфе описаны основные функциональные пространства и приведены некоторые вспомогательные утверждения.

Во втором параграфе для линейного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка установлена равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Галеркина. Приведем основные положения первой главы.

Обозначим через Н - сепарабельное гильбертово пространство, плотно и компактно вложенное в сепарабельное гильбертово пространство Н.

Норму в Н обозначим через || • ||н =1Н1 и скалярное произведение - через (•, ■)■

Рассмотрим следующую задачу в Н

и!" (г) + Ап(г) + к (г)п(г) = к(г), (0.0.1)

п(0) = п(Т) = п'(0) = 0. (0.0.2)

Оператор К (г) и функции п(г), К(Ь) определены на [0,Т]. Положим, что оператор А удовлетворяет следующим условиям:

1) Л - самосопряженный оператор в И с областью определения ^(Л) =

Иь

2) Найдется такая постоянная в > 0, что

(лу, у) < -в||V||2

для любого у Е И\.

Норму в пространстве Ь2(0, Т; И) обозначим через || • ||0,2. Рассмотрим в И самосопряженный оператор Л с областью определения И\. Норму в пространстве Ж23(И,И\) определим равенством

П||2,3 =

Е

т т

(И + [ ||Лп(£)||2(^ .

3 т (п(£) 2 т ^1/2

(Р

^ =0 0 0

о

Пусть W2 (И, И1) подпространство, элементами которого являются функции п(£) Е W|(И, И1), удовлетворяющие условию п(0) = п(Т) = п'(0) = 0.

о

Тогда функцию п(£) из W23 (И, И1), которая удовлетворяет почти при всех £ уравнению (0.0.1), назовем решением задачи (0.0.1).

Обозначим через е Е И1}°=1 - полную ортонормированную в И систему собственных элементов оператора (—Л), а через А1, Л2, ..., Ап,... - соответствующие собственные числа, такие, что 0 < А1 < Л2 < ... < Ап < ..., и Ап ^ при п ^ то.

Пусть Рп - ортопроектор в И на линейную оболочку Ип элементов

61, 62, . . . , бп.

В подпространстве Ип рассмотрим задачу

<'(£) + Лпп(£) + РпК (£)пп(£) = РпЛ(£), (0.0.3)

пп (0) = Пп(Т) = <(0) = 0. (0.0.4)

Различные положительные постоянные, независящие от n и t, будем обозначать через C.

Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

Теорема 0.0.1. Пусть h(t) € L2(0,T; H), выполнены условия 1)—2) и для любых z из Hi верны неравенства

(K(t)z,z) < 0,

IIK(t)z|| < C||Az||a||z||i—a, 0 < a < 1.

Тогда

sup ||un — u|| < CA—+/2.

0< t<T

В третьем параграфе для задачи (0.0.1)-(0.0.2) исследован метод Галеркина, когда в качестве базисных функций использованы собственные элементы оператора В, сходного с главным оператором А. Известно, что оператор А имеет полную ортогональную систему собственных элементов. Тем не менее исследуемый в данном параграфе проекционный метод построен по собственным элементам оператора В. Это связано с тем, что часто оператор В имеет более простую структуру, при которой собственные элементы можно выписать явно. А это в свою очередь может оказаться полезным при использовании разработанных методов в численном эксперименте.

Полную ортонормированную систему собственных элементов оператора (—В) обозначим через в\, е2, ... ,еп,..., а через А1, Л2, ..., Ап,... -

соответствующие собственные числа, причем 0 < Л1 < Л2 < ... < An < ..., An ^ при n ^ то.

Пусть Pn - ортопроектор в H на линейную оболочку Hn элементов e1, e2, ..., en. В подпространстве Hn рассмотрим задачу

<(t) + PnAun(t) + PnK (t)un(t) = Pnh(t), (0.0.5)

un (0) = Un(T) = un(0) = 0. (0.0.6)

Для аппроксимационной задачи (0.0.5)-(0.0.6) доказана следующая теорема о разрешимости.

Теорема 0.0.2. Пусть h(t) € L2(0,T; H), выполнены условия 1)—2) и для любых z из H1 верны неравенства

(K(t)z,z) < 0,

||K(t)z|| < C||Az||a||z||1—a, 0 < a < 1. Тогда при каждом n задача (0.0.5)-(0.0.6) имеет единственное решение

о

un(t) €W23 (H,Hi). Верна оценка

11 Un 12,3 < C.

Если выполняются условия теоремы 0.0.2, то для приближенных решений un задачи (0.0.1)-(0.0.2) можно установить следующие оценки скорости сходимости к сильному решению

||(—A)1/2(un — u)||o,2 < CA—+(2, sup ||un — u|| < CA—+(2.

0<t<T

В четвертом параграфе дано приложение разработанных проекционных методов к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

В прямоугольнике Ц = [0,1] х [0, Т] исследована следующая задача

ЯУМ) *П(Х,£) - в(х,()^п^х^ - 6(М)п(*,() = /(*,(), (0.0.7)

dt3 dx4 ' dx

u(x, 0) = 0) = u(x, T) = 0, (°-0-8)

dt

, ч d2u(0,i) . d2u(1,t)

u(0,t) = = «(M) = -dXlr^ = 0, (°°-9)

где a(x,t), b(x,t), f (x,t) - заданные функции, такие, что a(x,t) G C(Q), b(x,t) G C(Q), f(x,t) G L2(Q). Отметим, что краевые условия (0.0.9) могут быть и неоднородными.

На основании абстрактной теоремы 0.0.1 для приближенных решений un задачи (0.0.7)-(0.0.9), составленных с помощью метода Галеркина, установлена оценка

sup ||un(x,t) — u(x,t)yL2(o,i) < Cn-2.

0<t<T

В пятом параграфе приведены результаты численного решения задачи (0.0.7)-(0.0.9).

Вторая глава посвящена исследованию нелинейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка.

В первом параграфе получена равномерная оценка на галеркинские приближения.

Рассматривается в пространстве H задача

u'"(i) + Au(t) — K [u(t)] = h(t), (0.0.10)

u(0) = u(T) = u'(0) = 0. (0.0.11)

Предполагается, что оператор A удовлетворяет условиям 1) и 2) второго параграфа первой главы. Нелинейный оператор K[•] является монотонным.

Пусть ei, e2, ... , en,... полную ортонормированную систему собственных элементов оператора (—A).

Пусть Pn - ортопроектор в H на линейную оболочку Hn элементов e1, e2, ..., en. В подпространстве Hn рассмотрим задачу

<(t) + Aun(t) - PnK[un(t)] = Pnh(t), (0.0.12)

Un (0) = Un(T ) = <(0) = 0. (0.0.13)

В работе Виноградовой П.В. и Самусенко А.М. [21] доказана следующая теорема.

Теорема 0.0.3. Пусть ^(г) € Ь2(0,Т; Н), К[0] = 0, выполнены условия 1)—2) и для любых г1, г2 из Н1 верно неравенство

|K[zi] - K[Z2]H0,2 <

(0.0.14)

< P

(—A) 2 zi

0,2

(-A)

2 Z2

0,2

|Aa(zi - 22)Уо,2, 0 < a < 1,

где ) - положительная, непрерывная функция на Я+. Тогда при каждом п задача (0.0.12)-(0.0.13) имеет единственное решение пп(г) € Ж23(Н, Н1), последовательность {пп(г)} сходится в Ж23(Н, Н1), причем предельный элемент является сильным решением задачи (0.0.10) (0.0.11). Сильное решение задачи (0.0.10)-(0.0.11) единственно.

В диссертации установлена равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений задачи (0.0.10)-(0.0.11), построенных по методу Галеркина (0.0.12)-(0.0.13).

Теорема 0.0.4. При выполнении условий теоремы 0.0.3, справедлива оценка

sup ||Un — u|| + ||иП — u'|o,2 + ||( — A)1/2(Un — u) 110,2 < CA—++/2. (0.0.15)

0<t<T

В третьем параграфе исследована задача (0.0.10)-(0.0.11) при условии подчинения

||K[z]|| < ^ (||z||) ||Az||a|z|1—a, 0 < а < 1, (0.0.16)

где ) - положительная, непрерывная функция на R+.

Теорема 0.0.5. Пусть h(t) G L2(0,T; H), K[0] = 0, выполнены условия 1)—2) и для любых z из H1 верно неравенство (0.0.16), тогда имеет место оценка

sup ||un — u|| < CA^2. (0.0.17)

0<t<T

Теорема 0.0.6. Пусть выполнены условия теоремы 0.0.5 и для любых z1, z2 из H1 верно неравенство

||K[Z1] — K[Z2]| < (|Z1|, ||Z2|) ||A(Z1 — Z2)||a, 0 < а < 1, (0.0.18)

где - положительная, непрерывная функция на . Тогда при

каждом n задача (0.0.12)-(0.0.13) имеет единственное решение un(t) G W23(H, H1), последовательность {un(t)} сходится в W23(H, H1), причем предельный элемент является сильным решением задачи (0.0.10)-(0.0.11). Сильное решение задачи (0.0.10)^(0.0.11) единственно.

Приведены приложения абстрактной теории к нелинейным начально-краевым задачам в частных производных. Приведем один пример.

Обозначим через Q треугольник 0 < x2 < x1 < п. В цилиндре Q = Q х [0, T] рассмотрим начально-краевую задачу

д u(x,t) — Д2и(ж,t) — u(x,t)|u(x,t)|p = h(x,t), (x,t) € Q, (0.0.19) dt3

u(x, 0) = du((X 0) = u(x,T) = 0, x € ft, (0.0.20)

u(x,t) = Ди^) = 0, (x,t) € dft х [0,T], (0.0.21)

где 1 < p < 4.

На основании абстрактной теории, развитой в третьем параграфе, при h(x, t) € L2(Q) установлена следующая оценка на приближения Галер-кина для задачи (0.0.19)-(0.0.21)

sup ||Un(x, t) — u(x, t)|l2(q) < C(n + 1)—2.

0<t<T

В четвертом параграфе приведены результаты численного решения задачи (0.0.19)-(0.0.21).

Тестирование представленных в диссертации численных алгоритмов на модельных задачах показало эффективность разработанных приближенных методов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

1 Метод Галёркина для линейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка

В данной главе исследуются проекционные методы решения дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с главным самосопряженным оператором Л и подчиненным ему линейным оператором К(£). Для приближенного решения поставленной задачи используется метод Галеркина при специальном выборе базисных элементов. Устанавливаются теорема о разрешимости аппроксимационной задачи, а также оценки скорости сходимости в равномерной метрике, которые зависят от порядка подчинения оператора К(£) основному оператору уравнения. Излагаемые результаты опубликованы в [113], [120].

1.1 Основные функциональные пространства и неравенства

Определим необходимые при дальнейших исследованиях функциональные пространства.

Обозначим через И1 - сепарабельное гильбертово пространство, плотно и компактно вложенное в сепарабельное гильбертово пространство И с нормой || • ||н = || • ||. Скалярное произведение в пространстве И будем обозначать (•, •).

Обозначим через Ь2(0,Т; И) гильбертово пространство всех сильно

измеримых на [0,Т] функций (см. [6], с. 100) с конечной нормой

т 1

|М|о,2 = ( / ||и(г)У2^П .

Через Ж23(Н, Н1) обозначим пространство функций v(г) таких, что € Ь2(0, Т; Н) (^ = 0,1, 2,3). Рассмотрим в Н самосопряженный оператор А с областью определения Н1. В Ж23(Н, Н1) определим норму

3 Т 2 Т 1/2

11V112,3 = (]Т| ^ <й + / ||А«(г)||2л) . (1.1.1)

•?=0 0 0

Обозначим через Ж23 (Н, Н1) подпространство функций v(г) из Ж23(Н, Н1), удовлетворяющих условию v(0) = v(T) = v/(0) = 0.

о

В пространстве (Н, Н1) введем следующую норму, эквивалентную норме, определенной формулой (1.1.1) ([20]),

т

Мг)||2,3 =

Л(г)

Т

-г + у ||^(г)||2-г 0

1/2

(1.1.2)

Далее мы будем использовать следующие традиционные обозначения пространств, основные свойства которых можно найти, например, в [56], [85], [25]).

Пусть О - ограниченная область в Яп, Q = О х (0,Т), где Т < то.

Обозначим через Ст(О) совокупность непрерывных в О функций, которые имеют непрерывные в О производные до порядка т включительно, а через С— совокупность непрерывных в Q функций.

Через Ьр(О), 1 < р < +то, (соотв. Ьто(О)) обозначим пространство определенных на О вещественных функций, абсолютно интегрируемых с р-й степенью (соотв. существенно ограниченных) по лебеговой мере =

2

... dxn. Это пространство с нормой

l|u|Up(n) = (У

п

при 1 < p < и нормой

IIUIloo(п) = ess sup |u(x)| n

при p = oo будет банаховым. Пространство Lp(Q) можно определить также.

Пространство Соболева Wm(fi) - это пространство функций из у которых все обобщенные частные производные до порядка m включительно являются элементами пространства (m - неотрицательное целое). Такое пространство будет банаховым с нормой

Mkm(n) = ( Z)||Dju||L(п)

V|j|<m

Под Жр2 'т(^) ( т - неотрицательное целое) понимается замыкание множества гладких функций в норме

26т

|u||W2bm'm(Q) = S ||D u|Lp(Q).

j =0 2br+|s|=j

Теперь приведем известные мультипликативные неравенства (см., например, [97], [103], [31], [85]). Пусть

V G W; (ft), Vi = -, Ki =--li, Ki < К2 < Кз, ¿3 < ¿2 < ll.

pi Кз - Ki Pi

Тогда

Mlw'2(п) < C||vlli-i31 J|vMVl. (1.1.3)

1 iiwp2 (п) _ 11 "wpf (п)11 wp; (п)' v '

данное неравенство остается в силе при 12 = 13 = 0 и р2 = то,

|Ми(П) < С|Ы|1—- ||vNV2г1 , ^ = К3 + т. (1.1.4)

и ||с (п) < и ^ (п)' 2 К3 - К1 1 ;

Пусть и € Жр26т,т^). Если р(26т — 26^ — й) > п + 26, то любая производная Д^Д^и с |а| = й является элементом пространства (Q) с любым г > р, в том числе и г = то, и будет справедливо неравенство

^ 26т—26Л,—в—(п+26)(1 —1 )|| II ,

, - 26^—в — (п+26)(1 —1 )|1 || (л г\

+ £ ( + )(1 Р)|и|ьр(д). (1.1.5) В мультипликативной форме это неравенство имеет вид

УА^^к(д) < С||u|Wp2i™.m(g)|u|JífQ), (1.1.6)

где в = (26^ + й + (п + 26)(Р — 1))/(26т).

Мы будем также использовать следующие хорошо известные неравенства.

Неравенство Юнга (см. [56]):

1 5 — 1 г г

а6 < -аг +--— г-ГТ6^, а,6,£> 0, 5> 1.

55

Неравенство Гронуолла (см. [5]): Если функции #(г) и и(г) неотрицательны при г > 0, то для с > 0 из неравенства

t

и(г) < с + / г > 0,

следует, что

и(г) < се0д() , г > 0.

Неравенство Гайнца (см. [54]): Пусть А и В - положительные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовых пространствах

Н и Н0 соответственно. Если Т - ограниченный оператор с нормой М, действующий из Н в Н0, такой, что Т^(А) С Д(В) и

||ВТж||я0 < Мх||Аж||я (х е £(А)),

то Т£(Аа) С £(Ва) и

||ВаТж|я0 < М 1-аМ1а|Ааж|я (0 < а < 1).

В случае, когда Н = Н0 и Т = I, получается следствие: если А и В - положительные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н такие, что £(А) С Л(В) и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Королева Татьяна Эдуардовна, 2016 год

Список литературы

[1] Аверьянов М.В., Хохлова В.А., Сапожников О.А., Блан-Бенон Ф., Кливленд Р.О. Параболическое уравнение для описания распространения нелинейных акустических волн в неоднородных движущихся средах // Акустич. ж. , 2006, т. 52, №6, с. 725-735.

[2] Алиев А.Р. О разрешимости начально-краевых задач для одного класса оперативно-дифференциальных уравнений третьего порядка // Матем. заметки. 2011. Т. 90. В. 3. С. 323-339.

[3] Бахвалов Н. С. и др. Распространение звуковых пучков конечной амплитуды в диссипативной среде // Акустич. ж. , 1978, т. 24, №4, с. 473-479.

[4] Бахвалов Н. С., Эглит М.Э. Эфективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах // Доклады АН. 2000. Т. 370. №1. С. 7.

[5] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965, 276 с.

[6] Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я., Горин Е.Ф. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972, 544 с.

[7] Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова Думка, 1969. Т. 1. 648 с.

[8] Бубнов И.Г. Избранные труды. Л.: Судпромгиз., 1956, 493 с.

[9] Букесова Н.Н., Железовский С.Е. О скорости сходимости метода Га-леркина для одного класса квазилинейных операторных дифферен-

циальных уравнения // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1999. Т.39, №9. С. 1519-1532.

[10] Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972, 416 с.

[11] Вайникко Г.М. О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, С. 21-28.

[12] Вайникко Г.М. О сходных операторах // Докл. АН ССР. 1968. Т. 179, №5. С. 1029-1031.

[13] Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1970, 192 с.

[14] Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1976, 162 с.

[15] Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галеркина для абстрактных эволюционных уравнений // Диффе-ренц. уравнения. 1975. Т. 11, №7. С. 1269-1277.

[16] Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974, 126 с.

[17] Варламов В.В. К вопросу о распространении нестационарных акустических волн в релаксирующей среде // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1990 Т. 30. №. 2. С.328-332.

[18] Василевский К.В. Граничная задача для двучленного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с переменными областями определения неограниченных операторов // Вестник БГУ. Сер. 1. 2010. №3. С.110-114.

[19] Велиев М.А. К устойчивости метода Бубнова - Галеркина для линейных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве // ДАН Аз.ССР, 1981. Т. 37, N 5. С. 3-7.

[20] Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. №2. С. 242-249.

[21] Виноградова П.В., Самусенко А.М. Проекционный метод для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с нелинейным монотонным оператором // Сибирский журнал инд. математики. 2012. Т. 15 №4(52). С. 64-70.

[22] Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Оценки погрешности метода Галеркина для нестационарных уравнений // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2009. Т. 49, №9. С. 1643-1651.

[23] Виноградова П.В. Метод Галеркина для нестационарного уравнения с монотонным оператором // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №7. С. 955-965.

[24] Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, №7. С. 942-951.

[25] Виноградова П.В. Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения // дисс. на соискание уч. степени док. физ.-мат. наук, 2012.

[26] Вишик М.И., Ладыженская О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений // УМН. 1956. В. 6. №11. С. 41-97.

[27] Вишик М.И. Первая краевая задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Матем. сб. 1957. Т. 41 (83). С. 105-128.

[28] Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 39, №1, С. 51-148.

[29] Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978, 336 с.

[30] Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. М.: Издательство АН СССР, 1952-1953, т.2, 1953, 440 с.

[31] Глушко В.П., Крейн С.Г. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом // Сиб. мат. журн, 1960. Т. 1, №3. C. 343-382.

[32] Горбачук М.Л. Об аппроксимации решений операторных уравнений методом наименьших квадратов // Функц. анализ и его прилож. 2005. Т. 39. №1. С. 85-90.

[33] Даугавет И.К. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1965. Т. 6. №1. С. 70-85.

[34] Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения // Труды МИАН. 2000. Т. 229. М.: Наука.

[35] Джишкариани А.В. О методе Бубнова-Галеркина // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1967. Т. 7. №6. С. 1398-1402.

[36] Джишкариани А.В. О методе наименьших квадратов и Бубнова-Галеркина // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1968. Т. 8. №5. С. 1110-1116.

[37] Джишкариани А.В. Устойчивость прекционно-итерационного метода // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1999. Т. 39. №7. С. 1074-1084.

[38] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи матем. наук. 1968. Т. XXIII, в. 1(139). С. 45-90.

[39] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 5-130.

[40] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 37. С. 89-166.

[41] Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Матем. сб. 1973. Т. 90 (132). №1. С. 3-22.

[42] Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной квазили-

нейной эволюционной задачи // Известия вузов. Математика. 1998. Т. 437, №10. С. 37-45.

[43] Железовский С.Е. Оценки скорости сходимости метода Галеркина для абстрактного гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2001. Т. 69, №2. С. 223-234.

[44] Жилейкин Я.М. О численном решении уравнения нелинейной акустики ограниченных пучков // Журн. выч. мат. и мат. физики. 1982. Т. 22. №5. С. 1157-1171.

[45] Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О методе Ротэ-Галеркина для одного класса линейных нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №12. С. 2141-2148.

[46] Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ-Галеркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №11. С. 2135-2144.

[47] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

[48] Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, №6. С. 89-185.

[49] Карташов В.Р. Об одной модификации метода Галеркина решения операторных уравнений. // Вестник МГУ, сер. выч. матем. и кибер., 1984. №1. С. 20-26.

[50] Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. Т. 23. В. 2(140). С. 121-168.

[51] Келдыш М.В. О методе Б.Г. Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР, сер. Матем. 1942. Т. 6. С. 309-330.

[52] Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 455 с.

[53] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.

[54] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967, 464 с.

[55] Крылов Н.М. Избранные труды. Киев: изд. АН УССР, 1961. Т. 3, 397 с.

[56] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с. М.: Наука, 1964, 540 с.

[57] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Едиториал УРСС, 2002, 588 с.

[58] Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наукова Думка, 1985, 240 с.

[59] Ляхов Д.А., Ломовцев Ф.Е. Метод слабых решений вспомогательной задачи Коши для исследования гладкости решений гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения // Вестник БГУ. Сер. 1. 2010. №2. С.75-82.

[60] Ляшко А.Д. Проекционно-разностные схемы для гиперболических уравнений с вырождающимся эллиптическим оператором высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №7. С. 972-977.

[61] Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Оценка погрешности проекционно-разностных схем для вырождающихся нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №7. С. 951-955.

[62] Мамедов А.М. О краевой задаче для одного класса операторно-дифференциальных уравнений третьего порядка // Матем. заметки. 2010. Т. 87. В. 4. С. 632-635.

[63] Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981, 416 с.

[64] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

[65] Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Тбилисси.: изд-во ин-т прикл. матем. им. И.Н. Векуа, 1983, 261 с.

[66] Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966, 432 с.

[67] Обэн Ж-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977, 383 с.

[68] Оя П.Э. О решении эволюционных уравнений методом Галеркина // В кн. "Уч. зап. Тартуск. ун-та". Тарту: ТГУ, 1974, №342. С. 237-248.

[69] Оя П.Э. О сходимости и устойчивости метода Галеркина для парабо-

лических уравнений с дифференцируемыми операторами // Уч. зап. Тартуск. ун-та, Тарту: ТГУ, 1975. В. 374. С. 194-210.

[70] Оя П.Э. О методе Галеркина для параболических уравнений с операторами локального типа // Zeitschrift für Analysis und Anwendungen, Bd.1(5), 1982. C. 29-51.

[71] Петров Г.И. Оценка погрешности приближенно вычисленных собственных значений методом Галеркина // ПММ. 1957. Т. 21. С. 184189.

[72] Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ, 1940, Т. 4. С. 1-13.

[73] Поборчий С.В. О скорости сходимости проекционного метода решения абстрактного параболического уравнения в случае нестационарного оператора // Вестник ЛГУ, 1973, №13. С. 69-76.

[74] Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. В кн. "Современные проблемы математики М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 131-254.

[75] Смагин В.В. Проекционно-разностные методы приближенного решения параболических уравнений с несимметричными операторами // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №1. С. 115-123.

[76] Смагин В.В. Метод Галеркина приближенного решения эволюционного уравнения в банаховом пространстве //В кн. "Тр. мат.фак. Воронеж. ун-т Воронеж.: изд-во ВГУ, в. 5. С. 34-42.

[77] Смагин В.В. О методе Галеркина решения абстрактного квазилинейного параболического уравнения //В кн. "Прикладной анализ"., Воронеж.: изд-во ВГУ, 1979. С. 95-98.

[78] Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнениий // Мат. сборник. 1997. Т. 188, №3. С. 143-160.

[79] Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка-Николсон для параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 670-682.

[80] Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2000. Т. 40, №6. С.908-919.

[81] Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // ДАН СССР. 1957. Т. 116, №5. С. 754-757.

[82] Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений // ДАН СССР, 1968. Т. 178, №3. С. 548-551.

[83] Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных уравнений // ДАН СССР, 1971. Т. 205, №5. С. 1063-1066.

[84] Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений //В кн. "Вариационно - разностные методы решения задач матем. физики Новосибирск, 1976. С. 79-85.

[85] Солонников В.А. Об оценках в решений эллиптических и параболических систем // Труды МИАН СССР, 1967. Т. С11, №5. С. 137-160.

[86] Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. M: Мир, 1988, 352 с.

[87] Ходос С.П. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения разрывных операторов // Вестник БГУ. Сер. 1. 2010. №1. С. 81-87.

[88] Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. M: Наука, 1989, 288 с.

[89] Юрчук Н.И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений с зависящими от параметра операторными коэффициентами. I. Априорные оценки // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. №9. С.1645-1661.

[90] Юрчук Н.И. Разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №4. С. 626-636.

[91] Arjmand D. Highly Accurate Difference Schemes for the Numerical Solution of Third-Order Ordinary and Partial Differential Equations // Master of Science Thesis Stockholm, Sweden, 2010, 61 p.

[92] Blum M., Rannacher R. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domain with angular corners // Math. Meth. in Appl. Sci. 1980. V. 2. №4. P. 556-581.

[93] Browder F.E. Problemes non lineaires. Montreal, Presses de Univers. 1966. 153 p.

[94] Chen M., Chen Z., Chen G. Approximate Solutions of Operator Equations. Wold Scientific Pub. Co., Singapore, 1997. 340 p.

[95] Faranchi F., Straughan B. Continuous dependence on the relaxation time and modeling, and unbounded growth, in theories of heat conduction with finite propagation speeds //J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 185. P. 726-746.

[96] Fattorini H.O. The Cauchy problem. Addison Veslly Publishing Company, Massachusets, 1983, 638 p.

[97] Gagliardo E. Ulterori propertiata di alcune classi di funzione in pin variabely. Recerche di Math. 1959. V. 8. P. 24-51.

[98] Ghaleb, A. F. and El-Deen Mohamedein, Sh., A heat conduction equation with three relaxation times. Particular solutions // Int. J. Engng. Sci. V. 27, 1989. P. 1367-1377.

[99] Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York.: Springer-Verlag, 1984, 493 p.

[100] Guo Ben - Yu, Shen Jie. Laguerre-Galerkin method for nonlinear partial differential equations on a semi-infinite interval // Numer. Math., 2000, V. 86, №4, p. 635 - 654.

[101] Hausenblas E. Numerical analysis of semilinear stochastic evolution equations in Banach spaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. V. 147. I. 2. Oct. 2002. P. 485-516.

[102] Kalantarov V., Tiryaki A. On the stability results for third order differential-operator equations // Tr. J. of Mathematics. 1997. V. 21. P. 179-186.

[103] Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa. V. 3, i. 13. 1959. P.115-162.

[104] Quintanilla R. Spatial bounds and growth estimates for the heat equation with three relaxation times // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V. 20. P. 1335-1344.

[105] Ritz W. Uner eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J.f.d. reine und angenwandtle Math., 1909. I. 135. P. 1-61.

[106] Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer-Verlag, Berlin, 2006. 382 p.

[107] Vinogradova P., Zarubin A. Projection method for Cauchy problem for an operator-differential equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2009. V. 30 (1-2). P. 148-167.

[108] Vinogradova P. Convergence rate of Galerkin method for a certain class of nonlinear operator-differential equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2010. V. 31 (3). P. 339-365.

[109] Vinogradova P. Convergence estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. V. 231. P. 1-10.

[110] Zeidler E. Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: II/A Linear Monotone Operators and II/B Nonlinear Monotone Operators, Springer-Verlag, New York, 1990. 467 p., 756 p.

[111] Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. №1. - С. 72 - 81.

[112] Jing N., Ping L. Numerical Algorithm for the Third-Order Partial Differential Equation with Three-Point Boundary Value Problem // Abstract and Applied Analysis. 2014. V. 2014, Article ID 630671.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

[113] Виноградова П.В., Королева Т.Э. Об одном проекционном методе для линейного уравнения третьего порядка // Известия вузов. Математика. 2014, №11. С. 26-32.

[114] Виноградова П.В., Королева Т.Э. О равномерной оценке скорости сходимости метода Галеркина для нелинейного уравнения третьего порядка // Математические заметки СВФУ. 2014. Т.21, №2 (82). С. 3-7.

[115] Виноградова П.В., Королева Т.Э. // Оценка скорости сходимости метода Галеркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка // Вестник ТОГУ. 2014. №3 (34). С. 17- 22.

Прочие публикации

[116] Виноградова П.В., Королева Т.Э. О методе Галeркина для уравнения третьего порядка с монотонным оператором // Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач". Воронеж, ВГУ, 2013, с. 49-50.

[117] Виноградова П.В., Королева Т.Э. Равномерная сходимость метода Галeркина для дифференциально-операторного уравнения третьего

порядка // Материалы XI Казанской летней школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2228 августа 2013 г.)-Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2013. Т46. С. 149-150.

[118] Королева Т.Э. О равномерной оценке сходимости метода Галчркина для дифференциальных уравнений высших порядков // Материалы VI Международной научной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных техно-логий"(ПМТУКТ - 2013, 10 - 16 сентября 2013, Воронеж, Россия) -Воронеж: ИПЦ Воронеж. гос. ун-т., 2013. С. 127.

[119] Королева Т.Э. О методе Галеркина для уравнения третьего порядка // Материалы международной конференции Воронежской математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 27 января - 2 февраля 2015 г.) - Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2015. С.63.

[120] Королева Т.Э. Проекционный метод для нелинейного дифференциально-операторного уравнения // Материалы всероссийской научно - практической конференции "Повышение эффективности транспортной системы региона: проблемы и пер-спективы"(Хабаровск, 21 - 22 октября 2015г.) - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2015.

[121] Королева Т.Э. Программа "Численное решение начально-краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных с производной по времени третьего порядка". Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015615369 от 15.05.2015г.