Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна

• Виноградова, Полина Витальевна
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Проекционные методы решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений

§1. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных нестационарных уравнений.

§2. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных уравнений в случае положительности подчиненного оператора.

§3. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с монотонным оператором.

§4. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с немонотонным оператором.

ГЛАВА 2. Проекционно-разностные методы для дифференциальноно-операторных уравнений.

§1. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений на основе трехслойных разностных схем.

§2. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений на основе схемы Кранка-Николсон.

§3. Проекционно-разностный метод для уравнений с монотонным оператором на основе двухслойной разностной схемы.

§4. Линеаризованный проекционно-разностный метод для уравнений с монотонным оператором.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения»

Диссертация посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нестационарных операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также разработке и обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений на основе проекционных и сеточных методов. При специальном выборе проекционных подпространств доказаны теоремы о разрешимости аппроксимаци-онных уравнений, исследована зависимость асимптотических оценок скорости сходимости рассматриваемых приближенных методов от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии. Предлагаемые приближенные методы позволяют провести качественный анализ решений исследуемых уравнений. Из полученных оценок погрешности следует, что построенные приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении точного решения. Развитая в диссертации теория для абстрактных дифференциально-операторных уравнений дала возможность установить теоремы существования и получить новые оценки скорости сходимости проекционных и проекционно-раз-ностных методов решения начально-краевых задач для линейных и квазилинейных нестационарных уравнений в цилиндре и в областях с подвижной границей. В частности, разработанная методика использована при исследовании начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение бароклинной жидкости, уравнений тепловой конвекции, двумерной системы уравнений Бюргерса.

Актуальность темы. Одним из важных направлений современной математики является исследование операторных уравнений. Здесь мы имеем ряд обстоятельных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Ф.Е. Браудера [146], Ж.-Л. Лионса [77], X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариаса [25], М.М. Вайнберга [13], С.Г. Крейна [68], Н.О. Районы [156], Е. ге1(11ег [184], а также обзоры Ю.А. Дубинского [38], [39], И.В. Скрыпника [112], Р.И. Качуровского [58]. Операторный подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные, интегро-диффе-ренциальные и функциональные уравнения можно трактовать как абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных решений.

Начало теории дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве положено в работах Э. Хилле и К. Иосида, в которых получены первые теоремы существования решения задачи Коши с автономным линейным неограниченным оператором в терминах теории полугрупп операторов. В дальнейшем Т. Като развил теорию полугрупп для установления существования решения задачи Коши с переменным линейным неограниченным оператором. Интенсивные исследования по изучению задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений проводятся Воронежской математической школой. Основные результаты этих исследований представлены в монографии С.Г. Крейна [68]. Слабые решения дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах изучались в работах O.A. Ладыженской [73], [74], М.И. Вишика [23], Ж.-Л. Лионса [77] и других авторов. Однако вопрос о разрешимости задачи Коши для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств Соболева остается открытым.

Важными методами исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, различных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно-сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [10], Б.Г. Галёркина [26], В. Ритца [175], H.H. Боголюбова [8], Н.М. Крылова [71], М.Б. Келдыша [59], Г.И. Петрова [98], [99], Л.В. Канторовича [53] и других авторов.

Общие положения теории проекционных методов изложены, в частности, в книгах С.Г. Михлина [91]—[93], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [66], М.А. Красносельского, П.П. Забрейко [67], Г.И. Марчука, В.И. Агошкова [85], Г.М. Вайникко [16], [17], X. Гаевского, К. Грёгера, К. Захариуса [25], Ж-П. Обэна [94], Р. Варги [19], R. Glowinski [161], V. Thomée [180], К. Флетчера [128], В.В. Шайдурова [131], М. Chen, Z. Chen, G. Chen [148].

Для нестационарных уравнений метод Галёркина был обобщен С. Фаэдо [155], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаэдо-Галёркина.

Как процесс доказательства существования решения, метод Фаэдо-Галёр-кина использовался в работах М.И. Вишика [22], [23], М.И. Вишика и O.A. Ладыженской [21], Ю.А. Дубинского [37], [38] и многих других авторов.

Метод Фаэдо-Галёркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [18], М.А. Велиева [20], А.Г. Зарубина [43]—[44], В.Р. Кардашова [55], П.Э. Оя [95]-[97], C.B. Поборчего

102], B.B. Смагина [113]—[118], П.Е. Соболевского [120]—[122] и других работах, например, в [11], [27], [42], [163], [176].

Другим широко распространенным методом решения нестационарных уравнений является метод сеток, который интенсивно развивается в течение последних 70 лет. Это обусловлено большим числом приложений, связанных с моделированием различных физических процессов, например, в гидро- и газовой динамике, в механике деформированного твердого тела и других областях.

Построение дискретизации по временной переменной для параболических уравнений было начато Е. Ротэ в работе [177], в которой исследования дискретизации по времени для абстрактной задачи Коши применялись к параболическим уравнениям в частных производных. Первой теоремой о сходимости конечно-разностного метода для решения линейного эволюционного уравнения в банаховом пространстве была теорема П.Д. Лакса [168]. Значительные результаты в этой области получены Г.И. Марчуком [84], В.В. Шайдуровым [87], A.A. Самарским, A.B. Гулиным [107], Р.Д. Лазаревым, В.Л. Макаровым [109], P.C. Варгой [181]. В указанных работах разностные схемы трактуются как операторные уравнения в гильбертовом пространстве, при этом исследования базируются на симметрических свойствах операторов. Определенный вклад в развитие разностных методов решения абстрактных параболических уравнений внесли П.Е. Соболевский [121], Л.И. Якут [133]—[135], H.H. Ионкин, Ю.И. Мокин [47], Д.А. Исмайлов [48], А.Д. Ляшко [80] и многие другие ученые.

В настоящее время существует обширная библиография (см., например, [12], [51], [89], [106], [141], [154], [166], [167]), посвященная исследованию разностных схем по временной переменной для нестационарных операторных уравнений первого порядка.

При решении нестационарных операторных уравнений разностный метод применяется для аппроксимации решения лишь по временной переменной, а приближение по пространственным переменным часто осуществляется проекционным методом. Такую аппроксимацию мы будем называть проекционно-разностным методом.

Л.В. Канторович в своей широко известной работе [53] указал на ряд проблем, возникающих в теории приближенных методов, а именно: установление сходимости алгоритма, исследование скорости сходимости, получение эффективных оценок погрешности. Решению этих проблем посвящено большое количество работ. Однако, несмотря на полученные многочисленные результаты, эта область исследований все еще далека от своего завершения.

При нахождении асимптотических оценок погрешности для проекционных методов особое внимание уделяется выбору базисных функций, от свойств которых зависит скорость сходимости приближенных решений к точному решению (см., напр., [14], [32]). В работе [119] предложено в качестве базисных функций выбирать собственные функции сходного оператора, независящего от времени и образующего с оператором исследуемого уравнения острый угол. Идея работы [119] была использована в [44] для исследования нестационарного операторного уравнения с подчиненными операторами, в которой установлены оценки погрешности для разности приближенных решений и проекции точного решения на подпространства базисных функций. В [31] собственные функции сходного оператора использовались для приближенного решения стационарного линейного операторного уравнения.

Большой цикл работ посвящен различным проекционным и проекционно-разностным методам решения дифференциально-операторных уравнений первого порядка в случае произвольного базиса, например, [18], [82], [96], [116], [117]. В указанных работах вводится понятие слабого решения, причем главный оператор А{{) уравнения порождается симметричной дифференцируемой билинейной формой, определенной в некотором банаховом пространстве V. При определенных условиях гладкости входных данных и оператора действующего из V в сопряженное пространство, получены оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению. Так, в работе [117] исследовался проекционно-разностный метод решения задачи Коши для абстрактного параболического уравнения с использованием схемы Кранка-Николсон по временной переменной при условии подчиненности порядка 0 < а < 1/2.

Исследование зависимости асимптотических оценок скорости сходимости приближенных решений к точному от выбора системы базисных элементов, свойств параметров уравнения и его решения является довольно трудной задачей, которая в общем случае не решена до сих пор. Некоторые частные результаты для обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в [71], [79], для стационарных операторных уравнений - в [15], [31], [34], [35], [36], для эволюционного уравнения второго порядка - в [41]. В диссертации указанная задача решается в случае, когда в качестве базиса выбираются собственные элементы самосопряженного, положительно определенного оператора, сходного с главным оператором уравнения и образующего с ним острый угол. В отличие от работ, в которых рассматривается обобщенное решение задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений (см., например, [18], [117]), здесь возмущающий оператор может быть подчинен главному оператору уравнения с порядком, большим

Известно, что многие классы краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (в частности начально-краевые задачи в нецилиндрических областях) можно трактовать как абстрактные операторные уравнения в гильбертовых пространствах. Если разработаны методы решения операторных уравнений, то их легко перенести на решение указанных задач.

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа в областях с границей, меняющейся со временем, возникают во многих задачах естествознания, например, в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [100], [174]; при изучении процесса горения в ракетных двигателях [40]; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [105] и т.д.

Начально-краевые задачи для различных классов нестационарных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [2], [5], [29], [46]—[50], [52], [62]—[64], [69], [70], [90], [111], [130], [142], [144], [147], [150], [157], [158], [160], [179].

Обзор аналитических методов решения начально-краевых задач для уравнения нестационарной теплопроводности в областях, меняющихся во времени, приведен в [56]. Построению функций Грина для уравнений параболического типа в областях с движущимися границами посвящена работа [57]. Однако, как известно, уравнения в нецилиндрических областях точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких задач.

Многие численные методы для параболических уравнений в частных производных основаны на пространственной дискретизации, которая не зависит от времени, в том числе метод конечных элементов. Эти методы не распространяется на начально-краевые задачи для параболических уравнений в областях с подвижной границей. В [145] для таких задач исследовался метод, основанный на пространственно-временных конечных элементах. Отметим, что одним из первых пространственно-временные конечные элементы рассмотрел Ж.Т. Оден [172]. Проекционный метод решения линейного параболического уравнения в области с заданным законом изменения границы исследовался в [165]. В указанной работе описан класс галеркинских аппроксимаций, которые являются непрерывными по пространственным переменным, но которые допускают разрыв по времени на каждом шаге (discontinuous Galerkin method), доказана устойчивость и приведена оценка скорости сходимости. Идеи работы [165] были использованы в [138] при исследовании сходимости проекционного метода решения начально-краевой задачи для линейного уравнения Шредингера в нецилиндрической области. В перечисленных выше работах устойчивость и сходимость установлены для обобщенных решений.

Численное решение некоторых задач газовой динамики и гидродинамики с заданным законом движения границы области приведены в [152], [162]. Во многих работах, исследующих численное решение задач в областях с подвижными границами, упор делается на экспериментальное тестирование вычислительных алгоритмов и математические результаты зачастую бывают не доказаны.

В связи с вышеизложенным представляются актуальными установление теорем существования и единственности сильных решений нестационарных уравнений первого порядка, разработка проекционных и проекционно-раз-ностных методов, которая позволила бы конструировать и обосновывать вычислительные алгоритмы для широких классов задач с удобными главными членами и подчиненными им дополнительными членами уравнений.

В диссертации развивается единый подход к решению указанных проблем, основанный на взаимосвязи подчиненного и главного операторов уравнения, а также на дифференциальных свойствах операторов и входных данных.

Цель работы. Комплексно исследовать задачу Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно: доказать теоремы существования и единственности решения задачи Коши в функциональных пространствах, являющихся аналогами пространства Соболева И^2Ьт'т(д); на основе проекционных и проекционно-разностных методов построить аппроксимационные уравнения и исследовать их разрешимость; установить сходимость приближенных решений к точному решению в сильных нормах; исследовать скорость сходимости приближенных решений и их производных; установить зависимость асимптотических оценок погрешности от порядка подчинённости дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии; полученные абстрактные теоремы применить к различным математическим моделям, возникающим в задачах естествознания.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория операторов в гильбертовом пространстве, теория пространств С.Л. Соболева, проекционные и разностные методы построения приближенных решений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

- Доказаны теоремы существования и единственности сильных решений задачи Коши для абстрактных нестационарных уравнений первого порядка и для соответствующих аппроксимационных задач.

- Для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка получены теоремы о сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, в сильных нормах.

- В зависимости от порядка подчиненности получены оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, к точному решению в равномерной по времени топологии. Разработана общая методика получения оценок скорости сходимости для производных по времени и дробных степеней главного оператора, основанная на исследовании вспомогательной задачи и установлении связи между решением вспомогательной задачи и приближенным решением исходной задачи.

- Исследованы проекционно-разностные методы для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений на основе трехслойных и двухслойных схем. Установлены оценки погрешности рассматриваемых аппроксимационных схем в зависимости от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения, шага временной сетки и размерности аппроксимационных подпространств.

- Применение установленных абстрактных теорем позволило получить новые теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений, интегро-дифференциальных уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях, а также новые оценки скорости сходимости соответствующих проекционных и проекционно-разностных методов.

- Исследованы проекционный и проекционно-разностный методы для уравнений нестационарной тепловой конвекции. Получены оценки скорости сходимости приближенных решений и их производных по времени и пространственным переменным.

- Исследована начально-краевая задача для двумерных уравнений Бюр-герса в нецилиндрической области. Доказана теорема об однозначной разрешимости в пространстве Гёльдера. Для метода Ротэ установлены оценки скорости сходимости приближенных решений и их градиентов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Кроме того, результаты работы могут иметь применения при исследовании широкого класса линейных и квазилинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация работы. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2002, 2003, 2006, 2007, 2008, 2010, Хабаровск 2005, 2009), на международной конференции "Байкальские чтения II по моделированию процессов в синергетических системах"(Улан-Удэ - Томск, 2002), на международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"(Воронеж, 2003), на 4-й международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2005), на 6,7-й Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий"(Улан-Удэ, 2005, 2006), Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2007). на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участие "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2007), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007), на международной конференции "Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing" (Plovdiv, Bulgaria, 2008), на 3-й Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 2009), на всероссийской конференции, приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова "Математика в приложениях"(Новосибирск, 2009), на международной конференции "International Conference of Mathematical Sciences"(Istanbul, Turkey, 2009), на 17 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 2010), на семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Смаги-на С.И., на семинаре под руководством чл.-корр. РАН Дубинина В.Н. в ИПМ ДВО РАН, на семинаре под руководством профессора Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН, на семинаре по дифференциальным уравнениям в ТОГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 44 работах, из них 10 - в российских журналах, рекомендованных ВАК, 4 - в зарубежных журналах, рекомендованных ВАК. Часть работ выполнена в соавторстве. В работе [186] автору принадлежат лемма 1.2, теорема 2.2, в работе [190] -теорема 1 и результаты третьего параграфа, в работе [196] - лемма 2, теорема 1 и результаты четвертого параграфа, в работе [197] - результаты первого параграфа, в работе [198] - теоремы 3.1, 3.2, в работе [211] - теоремы 2.1, 2.2, 2.3, вклад автора в работах [189], [199], [206], [219], [222] одинаков с вкладом соавтора.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 268 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 228 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Виноградова, Полина Витальевна, 2011 год

1. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008, 365 с.

2. Алхутов Ю.А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // ДАН. Математика, 1995. Т. 345, №5. С. 583-585.

3. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М: Мир, т. 1-2. 1990, 728 с.

4. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин JI.A., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976, 504 с.

5. Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения // Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, т. С. 17-23.

6. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965, 276 с.

7. Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я., Горин Е.Ф. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972, 544 с.

8. Боголюбов H.H. Избранные труды. Киев: Наукова Думка, 1969. Т. 1. 648 с.

9. Бруяцкий Е.В., Костин А.Г., Никифорович Е.И., Розумнюк Н.В. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Прикл. гидромеханика. 2008. Т. 10, №2. С. 13-23.

10. Бубнов И.Г. Избранные труды. JL: Судпромгиз., 1956, 493 с.

11. Букесова H.H., Железовский С.Е. О скорости сходимости метода Галеркина для одного класса квазилинейных операторных дифференциальных уравнения // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1999. Т.39, т. С. 1519-1532.

12. Вабищевич П.Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1996. Т. 36. т. С. 44-51.

13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972, 416 с.

14. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, С. 21-28.

15. Вайникко Г.М. О сходных операторах // Докл. АН ССР. 1968. Т. 179, т. С. 1029-1031.

16. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1970, 192 с.

17. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1976, 162 с.

18. Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галёркина для абстрактных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, №7. С. 1269-1277.

19. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974, 126 с.

20. Велиев М.А. К устойчивости метода Бубнова Галёркина для линейных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве // ДАН Аз.ССР, 1981. Т. 37, N 5. С. 3-7.

21. Вишик М.И., Ладыженская O.A. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений // УМН. 1956. В. 6. №11. С. 41-97.

22. Вишик М.И. Первая краевая задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Матем. сб. 1957. Т. 41 (83). С. 105-128.

23. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 39, Ш, С. 51-148.

24. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Матем. моделирование. 2001. Т. 13, №5. С. 90-96.

25. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 5-130.

26. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 37. С. 89-166.

27. Ерохин Б.Т. Теоретические основы проектирования РДТТ. М.: Машиностроение, 1982, 203 с.

28. Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина для одной квазилинейной эволюционной задачи // Известия вузов. Математика. 1998. Т. 437, №10. С. 37-45.

29. Железовский С.Е. Оценки скорости сходимости метода Галеркина для абстрактного гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2001. Т. 69, т. С. 223-234.

30. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О методе Ротэ-Галёркина для одного класса линейных нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №12. С. 2141-2148.

31. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ-Галёркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №11. С. 2135-2144.

32. Злотник A.A., Туретаев И.Д. О точных оценках погрешности и оптимальности двухслойных экономичных методов решения уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, №6. С. 1306-1311.

33. Иванова М.В., Ушаков В.И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки, 2002. Т. 72, №1. С. 48-53.

34. Ионкин Н.И., Мокин Ю.И. О параболичности разностных схем // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1974. Т. 14, №2. С. 402-417.

35. Исмайлов Д.А. Разрешимость нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве методом прямых. Исследования по некоторым вопросам конструктивной теории функций и дифференциальных уравнений. Баку, 1973. С. 86-89.

36. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в недилиндрической области. Владивосток: Дальнаука, 2001, препринт /ДВО РАН ХО ИПМ. №6, 40 с.

37. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с недилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000. Т. 1, №1. С. 63-73.

38. Йованович Б.С., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем в интегральных по времени нормах // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №7. С. 950— 958.

39. Калиев И.А., Подкуйко М.С. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №10. С. 1356— 1374.

40. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, т. С. 89-185.

41. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

42. Карташов В.Р. Об одной модификации метода Галеркина решения операторных уравнений. // Вестник МГУ, сер. выч. матем. и кибер., 1984.С. 20-26.

43. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Изв. АН. Энергетика, 1999. №5. С. 3-34.

44. Карташов Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // ДАН. Мат. физика. 1996. Т. 351, №1. С. 32-36.

45. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. Т. 23. В. 2(140). С. 121-168.

46. Келдыш М.В. О методе Б.Г. Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР, сер. Матем. 1942. Т. 6. С. 309-330.

47. Кобельков Г.M. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость давление // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991. В. 8. С. 204-236.

48. Кобельков Г.М. Симметричные аппроксимации уравнений Навье-Стокса // Мат. сборник. 2002. Т. 193, №7. С. 87-108.

49. Кожанов А.И. Замечание об одной задаче вязкоупругости и связанном с ней возмущенном волновом уравнении в нецилиндрических областях // Неклассич. уравнения матем. физики, Новосибирск: НГУ, 1993. С. 99103.

50. Кожанов А.И., Ларькин H.A. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №6. С. 1278-1299, 1445-1446.

51. Кожанов А.И., Ларькин H.A. О разрешимости краевых задач для сильно нелинейных уравнений вязкоупругости в нецилиндрических областях // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т. 6. В. 1. С.36-45.

52. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.

53. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 455 с.

54. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.

55. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967, 464 с.

56. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №8. С.1458-1469.

57. Крейн С.Г. Поведение решений эллиптических задач при вариации области // Studia mathematica. 1968, T. 31. С. 411-424.

58. Крылов H.M. Избранные труды. Киев: изд. АН УССР, 1961. Т. 3, 397 с.

59. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970, 288 с.

60. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений // Матем. сб., 1956, Т. 39, №4. С. 491-524.

61. Ладыженская O.A. О нестационарных операторных уравнений и их приложениях к линейным задачам математической физики // Матем. сб., 1958, Т. 45, №2. С. 123-158.

62. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

63. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 540 с.

64. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Едиториал УРСС, 2002, 588 с.

65. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 371 с.

66. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наукова Думка, 1985, 240 с.

67. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных операторно-разностных схем // ДАН СССР. 1974. Т. 215, №2. С. 263-265.

68. Ляшко А.Д. Проекционно-разностные схемы для гиперболических уравнений с вырождающимся эллиптическим оператором высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №7. С. 972-977.

69. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Оценка погрешности проекционно-разностных схем для вырождающихся нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №7. С. 951-955.

70. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982, 319 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980, 536 с.

72. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981, 416 с.

73. Марчук Г.И., Кочергин В.П. и др. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск: Наука, 1980, 288 с.

74. Марчук Г.И., Шайдуров B.B. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979, 320 с.

75. Матус П.П., Марцинкевич Г.Л. Об устойчивости монотонной разностной схемы для уравнения Бюргерса // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, №7. С. 955-960.

76. Матус П.П., Панайотова Й.Н. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №2. С. 256-265.

77. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения I // Мат. сборник. 1963. Т. 61 (103), №1. С. 40-64.

78. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

79. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Тбилисси.: изд-во ин-т прикл. матем. им. И.Н. Векуа, 1983, 261 с.

80. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966, 432 с.

81. Обэн Ж-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977, 383 с.

82. Оя П.Э. О решении эволюционных уравнений методом Галеркина //В кн. "Уч. зап. Тартуск. ун-та". Тарту: ТГУ, 1974, №342. С. 237-248.

83. Оя П.Э. О сходимости и устойчивости метода Галёркина для параболических уравнений с дифференцируемыми операторами // Уч. зап. Тартуск. ун-та, Тарту: ТГУ, 1975. В. 374. С. 194-210.

84. Оя П.Э. О методе Галёркина для параболических уравнений с операторами локального типа // Zeitschrift für Analysis und Anwendungen, Bd.1(5), 1982. C. 29-51.

85. Петров Г.И. Оценка погрешности приближенно вычисленных собственных значений методом Галеркина // ПММ. 1957. Т. 21. С. 184-189.

86. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ, 1940, Т. 4. С. 1-13.

87. Петухов Б.С., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974, 404 с.

88. Пинчуков В.И. О неявных схемах типа Рунге-Кутта третьего порядка аппроксимации // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. №2. С. 59-73.

89. Поборчий C.B. О скорости сходимости проекционного метода решения абстрактного параболического уравнения в случае нестационарного оператора // Вестник ЛГУ, 1973, №13. С. 69-76.

90. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987, 272 с.

91. Поличка А.Е., Соболевский П.Е. Некоторые свойства схемы Кранка-Николсона // Вычисления с разряж. матрицами. Матер. Всесоюз. конф., Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. 1981. С. 115-122.

92. Пухначев В.В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников // Тр. семин. С.Л. Соболева. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1976, №2. С. 69-82.

93. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, №8. С. 103-113.

94. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 416 с.

95. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989, 432 с.

96. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987, 296 с.

97. Саульев И.К. Применение явных асимметричных разностных аппроксимаций для решения уравнения Бюргерса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, №12. С. 2190-2195.

98. Сильченко Ю.Т. Одна краевая задача для области с подвижной границей // Изв. вузов. Мат. 1998. №3. С. 44-46.

99. Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 131-254.

100. Смагин В.В. Проекционно-разностные методы приближенного решения параболических уравнений с несимметричными операторами / / Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №1. С. 115-123.

101. Смагин В.В. Метод Галеркина приближенного решения эволюционного уравнения в банаховом пространстве //В кн. "Тр. мат.фак. Воронеж, ун-т", Воронеж.: изд-во ВГУ, в. 5. С. 34-42.

102. Смагин В.В. О методе Галеркина решения абстрактного квазилинейного параболического уравнения //В кн. "Прикладной анализ"., Воронеж.: изд-во ВГУ, 1979. С. 95-98.

103. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнениий // Мат. сборник. 1997. Т. 188, №3. С. 143-160.

104. Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка-Николсон для параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 670-682.

105. Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2000. Т. 40, №6. С.908-919.

106. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // ДАН СССР. 1957. Т. 116, №5. С. 754-757.

107. Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений // ДАН СССР, 1968. Т. 178, №3. С. 548-551.

108. Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных уравнений // ДАН СССР, 1971. Т. 205, №5. С. 1063-1066.

109. Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений //В кн. "Вариационно разностные методы решения задач матем. физики", Новосибирск, 1976. С. 79-85.

110. Солонников В.А. Об оценках в Lq решений эллиптических и параболических систем // Труды МИАН СССР, 1967. Т. СИ, №5. С. 137160.

111. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Изд-во Иркутского университета, 1990, 228 с.

112. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981, 408 с.

113. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.

114. Туретаев И.Д. Точные оценки градиента погрешности проекционно-разностных схем для параболических уравнений в произвольной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1986. Т. 26, №11. С. 1748-1751.

115. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М: Мир,1988, 352 с.

116. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

117. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами / / Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №1. С. 110-121.

118. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М: Наука,1989, 288 с.

119. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд-во РГУ, 1984, 192 с.

120. Якут Л.И. О сходимости конечно-разностных методов решения эволюционных уравнений. Труды сем. по функц. анализу. Воронеж, ун-т. 1963. В. 7. С. 76-79.

121. Якут Л.И. К вопросу обоснования сходимости разностных схем // ДАН СССР. 1963. Т. 151, т. С. 160-177.

122. Якут Л.И. Конечно-разностные методы для нелинейных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №8. С. 1415-1425.

123. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1962. V. 15. P. 119-147.

124. Ambethkar V. Numerical solutions of heat and mass transfer effects of an unsteady MHD free convective flow past an infinite vertical plate with constant suction // J. of Naval Architecture and Marine Engineering. 2008. V. 5. P. 28-36.

125. Antonopoulou D.C., Plexousakis M. Discontinuous Galerkin method for the linear Schrodinger equation in non-cylindrical domains // Num. Mathematik. 2010. V. 115. P. 585-608.

126. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-posed solvability of the Cauchy problem for difference equation of parabolic type // Nonlinear Analysis. Theory, Methods k Applications. 1995. V. 24. №. P. 257-264.

127. Ashyralyev A., Piskarev S., Weis L. On well-posedness of difference schemes for abstract parabolic equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. V. 23. №7 & 8. Oct. 2002. P. 669-693.

128. Bakaev N.Y. Linear discrete parabolic problems. Amsterdam, Elsevier B.V. 2006, 286 p.

129. Benabidallah R., Ferreira J. On hyperbolic-parabolic equations with non-linearity of Kirchhoff-Carrier type in domain with moving boundary // Nonlinear Analysis, 37, 1999. P. 269-287.

130. Blum M., Rannacher R. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domain with angular corners // Math. Meth. in Appl. Sci. 1980. V. 2. Ш. P. 556-581.

131. Bokalo M.M., Dmytriv V.M. A Fourier problem for quasilinear parabolic equations of arbitrary order in noncylindric domains // Mam. Студіі. 2000, 14, №2. P. 175-188.

132. Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the two-dimensional Stefan problem by space-time finite elements //J. Computational Phys. 1977. V.25. P. 163-181.

133. Browder F.E. Problemes non lineaires. Montreal, Presses de Univers. 1966. 153 p.

134. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio S.-P. The damped wave equations in a moving domain // Differential Equations. 1990. V.85, №1. P. 1-16.

135. Chen M., Chen Z., Chen G. Approximate Solutions of Operator Equations. Wold Scientific Pub. Co., Singapore, 1997. 340 p.

136. Curry J.H., Herring J.R., Loncatic J., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection //J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 1-38.

137. Da Prato G., Grisvard P. The damped wave equation in noncylindrical domain // Diff. Int. Eqs., 1994. №7. P. 735-746.

138. Daly B.J. A numerical study of turbulent transitions in convective flow // J. Fluid Mech. 1974. V. 64. P.129-165.

139. Demirdzic I., Peric M. Finite volume method for prediction of fluid flow in arbitrarily shaped domains with moving boundaries // Int. J. Numerical Methods in Fluids. 1990. V.10. P. 771-790.

140. Elton Bracy H. Comparisons of lattice Boltzmann and finite difference methods for a two-dimensional viscous Burgers equation / / SI AM J. Sci. Comput. 1996. V. 17. №4. C. 783-813.

141. Emmrich E. Two-step BDF time discretisation of nonlinear evolution problems coverned by monotone operators with strongly continuous perturbations // Computational Methods in Applied Mathematics. 2009. V. 9. №1. C. 37— 62.

142. Faedo S. Un nuovo metodo per lanalisi esistenziale e quantitative dei prob-lemi di propogazione // Ann. Scuola Norm, sur. Pisa, 1949. P. 1-40.

143. Fattorini H.O. The Cauchy problem. Addison Veslly Publishing Company, Massachusets, 1983, 638 p.

144. Ferreira J. Nonlinear hyperbolic-parabolic partial differential equations in noncylindrical domain // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, №44, 1995. P. 135 146.

145. Ferreira J. Lar'kin N.A. Global solvability of mixed problem for a nonlinear hyperbolic-parabolic equations in noncylindrical domains // Portugaliae Mathematica. V.53, Fasc. 4, 1996. P. 381-395.

146. Gagliardo E. Ulterori propertiata di alcune classi di funzione in pin variabely. Recerche di Math. 1959. V. 8. P. 24-51.

147. Gevrey M. Les equations parabolques // J. de Math., 6 ser., IX, 1913. P. 187-235.

148. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York.: Springer-Verlag, 1984, 493 p.

149. Gosman A.D., Johns R.J.R. Development of a predictive tool for in-cylinder gas motion in engines. SAE Paper 780315, 1978.

150. Guo Ben Yu, Shen Jie. Laguerre-Galerkin method for nonlinear partial differential equations on a semi-infinite interval // Numer. Math., 2000, V. 86, №4, p. 635 - 654.

151. Hausenblas E. Numerical analysis of semilinear stochastic evolution equations in Banach spaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. V. 147. I. 2. Oct. 2002. P. 485-516.

152. Jamet P. Galerkin-type approximations which are discontinuous in time for parabolic equations in a variable domain // SIAM J Numer. Anal. V. 15, №5. October, 1978. P. 912-928.

153. Jovanovic B.S. Global and asymptotic stability of operator-difference schemes // Computational Methods in Applied Mathematics. 2004. V. 4, №-2. C. 192-205.

154. Lax P.D., Richtmyer R.D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9, №2. C. 267-293.

155. Li H., Liu R. The space-time finite element method for parabolic problems // Applied Mathematics and Mechanics. V. 22. №6, June 2001. P. 687-700.

156. Mohan. K. Kadalbajoo, A. Awasthi. A numerical method based on Crank-Nicolson scheme for Burgers equation // Applied Mathematics and Computation. V. 182, №. November 2006. P. 1430-1442.

157. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa. V. 3, i. 13. 1959. P.115-162.

158. Oden J.T. A general theory of finite elements II. Applications // Internat. J. Methods Engrg. V. 1. 1969. 247-259.

159. Ohwada T. Cole-Hopf transformation as numerical tool for the Burgers equation // Appl. Comput. Math. V. 8, i.l, 2009. 107-113.

160. Peckover R.S. The modeling of some melting problems // Res. Notes Math., 1983. V. 87. P. 248-262.

161. Ritz W. Uner eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J.f.d. reine und angenwandtle Math., 1909. I. 135. P. 1-61.

162. Roos H.-G., Skalicky T. A comparison of the finite element method on Sciskin and Gatland-type meshes for convection-diffusion problems // CWI Quart., 1997, V. 10, №3-4. P. 277-300.

163. Rothe E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als eindimensionaler Randwertaufgaben // Math. Ann., 1930, V. 102, P. 652-670.

164. Shihbot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for a viscous heat-conducting equations //J. Math. Anal, and Appl. 1974. V.45, i. 1. P. 1-22.

165. Sidelnik Y.I. Existence and uniqueness of a generalized solution of the mixed problem for an equation of plate oscillation type in a noncylindrical domains // J. of Soviet. Math. 1993. V. 63. P. 98-101.

166. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer-Verlag, Berlin, 2006. 382 p.

167. Varga R.S. On higher order stable implicit difference methods for solving parabolic partial differential equations // J.Math, and Phys. 1961. V. 40. P. 220-231.

168. Werne J., DeLuca E.E., Rosner R., Cattaneo F. Numerical simulation of soft and hard turbulence: preliminary results for two-dimensional convection // Physical Review Letters. 1990. V. 64, i. 20. P. 2370-2373.

169. Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1995. V. 4, №3. P. 323-332.

170. Виноградова П.В. Об одной трехслойной схеме для параболического уравнения в области с подвижной границей / / Сиб. журн. индустриальной математики. 2006. Т. 9, №2 (26). С. 12-19.

171. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Проекционно-разностный метод решения линейного дифференциально-операторного уравнения / / Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №9. С. 1230-1237.

172. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, №7. С. 942-951.

173. Vinogradova P. Convergence estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. V. 231. P. 1-10.

174. Vinogradova P., Zarubin A. Projection method for Cauchy problem for an operator-differential equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2009. V. 30 (1-2). P. 148-167.

175. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Оценки погрешности метода Галёркина для нестационарных уравнений // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2009. Т. 49, т. С. 1643-1651.

176. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностных методов для дифференциального уравнения с дифференцируемыми операторами // Известия вузов. Математика. 2010. №7. С. 3-15.

177. Виноградова П.В. Метод Галёркина для нестационарного уравнения с монотонным оператором // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №7. С. 955-965.

178. Vinogradova P. Convergence rate of Galerkin method for a certain class of nonlinear operator-differential equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2010. V. 31 (3). P. 339-365.

179. Виноградова П.В. Об одном численном методе решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Сиб. журн. индустриальной математики. 2010. Т. 13, №1 (41). С. 34-45.

180. Виноградова П.В. Об одном проекционно-разностном методе для параболических уравнений в области с меняющейся границей // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17. В. 2. С. 10-20.

181. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Асимптотические оценки погрешности линеаризованного проекционно-разностного метода для дифференциального уравнения с монотонным оператором // Сиб. журн. вычисл. математики. 2010. Т. 13, №4. С. 387-401.

182. Виноградова П.В., Зарубин А.Г., Суэтина Ю.О. Проекционный и проекционно-разностный методы решения уравнений Навье-Стокса // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2011. Т. 51, №5. С. 898-912.

183. Vinogradova P., Zarubin A. A study of Galerkin method for the heat convection equations // Applied Mathematics and Computation. 2011. V. 218 (2). P. 520-531, doi: 10.1016/j.amc.2011.05.095.Прочие публикации

184. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галёркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневост. мат. журнал. 2002. Т. 3, №1. С. 3-17.

185. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюргерса в пространстве Гёльдера в нецилиндрической области // Матем. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9. В. 2. С. 20-31.

186. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О разрешимости уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Тр. Междунар. конф. "Современные проблемы функ. анализа и диф. уравнений"(Воронеж, 30 июня-4 июля 2003 г.) Воронеж: Изд. ВГУ, 2003. С. 25-26.

187. Виноградова П.В. Численная реализация метода Галёркина для параболических уравнений в областях, зависящих от времени // Межвуз. сборник науч. трудов: "Матем. моделирование и смежные вопросы математики". Хабаровск: Изд. ХГПУ, 2003. С. 4-9.

188. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для параболического уравнения в нецилиндрической области // Дальневост. матем. журнал. 2004. Т. 5, №1. С. 5-11.

189. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для системы уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Известия вузов. Математика. 2006. №4 (527). С. 12-19.

190. Виноградова П.В. Об одном приближенном методе решения начально-краевой задачи для параболических уравнений в нецилиндрической области // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск 18-20 июня 2007 г.). С. 17.

191. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Об одном комбинированном методе приближенного решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Вестник ТОГУ. 2007. Ш (7). С. 49-60.

192. Vinogradova P., Zarubin A. On the projection-difference method for a operator-differential equation // Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing (Plovdiv, Bulgaria, August 12-18, 2008). P. 480-481.

193. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Фаэдо-Галёркина для параболического уравнения с монотонным оператором // Вестник ТОГУ. 2008. № (11). С. 37-47.

194. Vinogradova P. On the Galerkin method for non-linear evolution equation // International Conference of Mathematical Sciences (Istanbul, Turkey, August 04-10, 2009). P. 329.