Исследование и численное решение некоторых нелинейных интегро-дифференциальных параболических задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Джангвеладзе, Темури Амиранович

• Джангвеладзе, Темури Амиранович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джангвеладзе, Темури Амиранович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОП) УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ I. Обозначения и вспомогательные утверждения

§ 2. Постановка задачи.

§ 3. Метод Галеркина для разрешимости задачи

1.1) - (1.3)

§ 4. Единственность решения задачи (1.1) - (1.3)

ГЛАВА 2. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ I. Предварительные замечания и вспомогательные утверждения.

§ 2. Постановка задачи.

§ 3. Модифицированный вариант метода Галеркина для разрешимости задачи (2.1) - (2.3)

§ 4. Единственность обобщенного решения задачи

2.1) - (2.3) для случая.

§ 5. Единственность решения для общего случая

§ 6. Об одном вырождающемся нелинейном интегродифференциальном уравнении.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

§ I. Общая постановка диффузионной задачи

§ 2. Постановка одномерных диффузионных задач душ цилиндрических токоносителей.

§ 3. Разностная схема. Исследование сходимости

§ 4. Решение диффузионных разностных уравнений

§ 5. Результаты численных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и численное решение некоторых нелинейных интегро-дифференциальных параболических задач»

Хорошо известно, что многочисленные прикладные задачи приводят к исследованию нелинейных дифференциальных и интегро-диффе-ренциальных уравнений с частными производными. Изучение качественных и структурных свойств решений этих уравнений, а также решение краевых и начально-краевых задач для них представляет собой актуальную и быстро развивающуюся область математики.

Явление переноса и подобные им процессы часто математически моделируются в терминах задач для нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. К таким уравнениям приводятся, например, задачи определения тепловых и магнитных полей в средах, теплофизические характеристики которых существенно зависят от температуры, процессы электронной и ионной теплопроводности, фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтяных пластах и др.

Нелинейные параболические уравнения были и остаются объектом исследования многих ученых. Решением различных задач для этих уравнений занимались Ф.Браудер, М.И.Вишик, Ю.А.Дубинский, O.A. Ладыженская, Ж.-Л.Лионс, О.А.Олейник, С.И.Похожаев, П.Равъяр, А.Фридман и др.

В ряде случаев важные с практической и теоретической точки зрения результаты в теории нелинейных параболических уравнений были получены путем построения точных решений (см., например, [4,6,23,24,30,41,49,50,52,61,62,69,70,71,81] ).

Не игнорируя значимость точных решений отдельных классов нелинейных уравнений, следует иметь в виду их ограниченность при разработке конкретных прикладных проблем в целом. Полное решение важнейших задач науки и техники в настоящее время возможно лишь на основе численного моделирования, с использованием ЭВМ. Вычислительный эксперимент, объединяя усилия ученых различных специальностей (работающих в области математики, теоретической и экспериментальной физики и т.д.), позволяет разумным образом сочетать численные и аналитические методы исследования для построения приближенного решения требуемой точности.

Для успешного моделирования на ЭВМ необходима обоснованная теория численных методов. Вопросами, связанными с построением и изучением разностных схем для нелинейных дифференциальных уравнений, занимались В.Н.Абрашин, С.П.Курдюмов, O.A. Ладыженская, Ж.-Л.Лионе, Г.И.Марчук, Ю.П.Попов, П.Равъяр, А.А.Самарский, Р.Темам, Н.Н.Яненко и др.

Основные подходы к численному интегрированию дифференциальных и интегро-дифференциальных задач параболического типа освещены в работах [1,2,3,8,14,29,32,36,39,45,47-51,56,57,59,60,67, 82,92 и др.]. При этом большинство из них базируется на методе конечных разностей.

В случае линейных задач математической физики существует хорошо разработанная теория разностных схем, опирающаяся на три фундаментальные понятия: аппроксимацию, устойчивость и следующую из них сходимость.

Заметим, что в нелинейных случаях сходимость, в отсутствии свойства суперпозиции, не вытекает из аппроксимации и устойчивости, ее доказательство сопряжено с большими трудностями и становится задачей самостоятельного изучения.

Необходимым этапом, осуществляемым при полном решении прикладных задач математической физики является установление корректности ее постановки.

Вопросы существования, единственности и устойчивости решения различных задач для нелинейных параболических уравнений обсуждались в работах [10,11,13,20,21,22,25,28,34,36,38,42,43,56,58,64, 66,73,76,79,82,85,86,90 и др.] . Эти исследования в основном опираются на необходимость получения надлежащих априорных оценок и их последующего использования. В этом направлении, в основном, имеются два возможных подхода. Первый из них состоит в получении априорных оценок непосредственно для заданной задачи, в подходящем функциональном пространстве и применении теоремы о неподвижной точке, например, теоремы Лере-Шаудера. При втором подходе сначала с применением одного из методов приближенного анализа ищутся конечномерные аппроксимации исходной задачи и выводятся соответствующие априорные оценки. Далее, с помощью теоремы о неподвижной точке или теоремы разрешимости задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается существование приближенных решений. Затем конечная цель достигается предельным переходом, устремляя к бесконечности размерность пространства, используя для этого обычно методы компактности и монотонности [10,11,13,20,21,22,34,36,56,66,79,82 и др. ] .

При переходе к пределу по методу компактности основным средством являются теоремы о компактности вложения пространств С.Л.Соболева, а также более специальные результаты подобного типа.

Когда оператор обладает свойством монотонности, предельный переход осуществляется при наличии более простых априорных оценок чем это требуется в методе компактности.

Монотонные операторы возникают в различных разделах математики и они в основном изучены в работах [9,20,21,22,31,36,56,60, 65,66,74,78,82,86,91].

Исследование нелинейных параболических уравнений с монотонным оператором проходило параллельно с развитием теории стационарных монотонных уравнений. Первой работой в этом направлении является [Ю], в которой, однако, монотонность явно не используется. В эволюционном случае свойство монотонности было введено в [65] , и затем неоднократно использовалось для изучения различных нелинейных задач.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию и численному решению в конечном цилиндре первой краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения параболического типа с=1 где Х= , а и -р - заданные функции своих аргументов, а ^ или

3(х, =ос/и/с/т: (0.3) о

Рассматриваются также первая краевая задача для одного вырождающегося нелинейного интегро-дифференциального уравнения параболического типа и одномерная задача диффузии электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры.

Уравнения вида (0.1), (0.3) для случая /2 = 1 , впервые были исследованы в [15].

Следует отметить, что некоторые классы интегро-дифференци-альных уравнений изучены в работах [5,12,22,36,44,63,68,75,83, 84,87,89 и др.], но уравнения (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) к этим классам не относятся.

При установлении разрешимости первой краевой задачи для уравнения (0.1), в котором & определяется по формуле (0.2) и для уравнения (0.1), где Л берется в виде (0.3), в предлагаемой работе используется второй из вышеуказанных подходов. Основные результаты, касающиеся существования обобщенного решения, получены различными модификациями приближенного метода Фаэдо-Галер-кина-Хопфа, состоящими из конечномерных аппроксимаций рассматриваемых задач и их последующего замыкания с использованием методов компактности и монотонности.

В случае (0.2) нелинейный член в подынтегральном выражении является функцией от Ц , а в случае (0.3) - функцией от ¡дга^/. Поэтому уравнение (0.1) мы называем квазилинейным при (0.2) и нелинейным при (0.3).

Исследуемый класс уравнений возникает, с одной стороны, при решении реальных прикладных задач математической физики [7,35, 46 и др. ] , ас другой стороны - как естественное обобщение некоторых нелинейных параболических задач, изученных в работах [10,20,21,34,36,38,42,63,82] .

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим задачу о проникновении электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры. В квазистационарном приближении соответствующая система дифференциальных уравнений Максвелла имеет вид

0.4)

0.5) где напряженность магнитного поля, и - температура, Си и характеризуют теплоемкость и электропроводность среды. Уравнения (0.4) определяют процесс диффузии магнитного поля в среду, а уравнение (0.5) - изменение температуры за счет джоулева нагрева без учета теплопроводности.

Предположим, что Си=К1(0) . • Тогда уравнение для температуры (0.5) интегрируется по времени, и систему (0.4) можно записать в виде дб где о.б)

0.7) о

Таким образом, приходим к заключению, что вектор Н должен удовлетворять системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (0.6), в котором 3 определяется по формуле (0.7).

Некоторые задачи для указанной диффузионной системы в одномерном случае с двумя компонентами вектора Я рассматриваются в главе 3 настоящей диссертационной работы. Там же дано численное исследование этих задач.

Настоящая работа состоит из трех глав.

В первой главе изучена первая краевая задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения (0.1), в котором определяется по формуле (0.2).

В начале главы (§1) вводятся обозначения и приводятся некоторые известные результаты, необходимые для дальнейшего изложения. А именно, свойства пространств С.Л.Соболева, теорема о компактности вложения банаховых пространств [36,37] и утверждение о слабой сходимости в пространстве ¿^(0) [20].

В §2 формулируется изучаемая задача для (0.1), (0.2) и дается ее обобщенная постановка. В §3 при условии аф^^+в)* (о.8) где р>0 при /7= Л при доказывается теорема разрешимости поставленной задачи в пространстве

Доказательство теоремы ведется по методу Фаэдо-Галеркина с использованием специального базиса. Этот базис строится с помощью известной эллиптической задачи на собственные значения.

Галеркинские приближения 1ГМ определяются решением задачи Коши для соответствующей системы обыкновенных нелинейных интег-ро-дифференциальных уравнений.

Отметим, что в этой главе используется только одна априорная оценка интеграла Дирихле (см. §3). Эта оценка, с применением свойств оператора ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве , дает нужное соотношение для производной по времени: равномерно ограничены в д £ где +1.

Для обеспечения предельного перехода в нелинейных членах существенно используются интерполяционные неравенства пространств Ьу(0>7}]^К(О)) [36,37], теоремы компактности [36,37,53,84] и слабой сходимости [Зб].

- II

Далее в §4 обсуждается вопрос единственности решения первой краевой задачи для (0Л),(0.2) и доказывается следующее утверждение:

При дополнительных условиях

А) а(э;еС%оа1 в) а(з;>а0=Сож/>о, У я ф, о и Ще 1^(01 ¿^ решение изучаемой задачи единственно.

Во второй главе исследована первая краевая задача для уравнения (0.1) при (0.3), а также первая краевая задача для одного вырождающегося нелинейного интегро-дифференциального уравнения параболического типа.

В первом случае для установления разрешимости применяется модифицированный вариант метода Галеркина [10,11] . Суть этой модификации состоит в построении базиса с помощью дифференциального оператора где L/ir ж Л выбираются специальным образом.

Существование такого базиса доказывается в работе [10] (см. также [36 J ). Доказательство опирается на разрешимость двух вспомогательных задач. Эти задачи приводятся в §1 настоящей главы. Там же указывается на один из вариантов леммы Брауэра о неподвижной точке [Зб], устанавливающей разрешимость системы нелинейных алгебраических уравнений. В этом же параграфе сформулировано утверждение о слабой сходимости в пространствах i ^^ ^ оО [Зб]. Оно применяется в §3 для предельного перехода в нелинейных членах.

В §2 полностью формулируется первая краевая задача для (0.1), (0.3) и дается ее обобщенная постановка.

Так как в рассматриваемом случае (0.1), (0.3) нелинейность более сильная, чем в (0.1), (0.2), то для предельного перехода пришлось выводить априорные оценки для вторых производных (см. §3).

Разрешимость исследуемой задачи получается в пространстве при условии (0.8), где О ср ^ 1. Причем, отметим, что ъи/эбеЬ/О).

В §4 для случая I доказывается единственность обобщенного решения изучаемой задачи.

При дополнительных условиях (А), (В) и о) ^-€¿^(01 также имеет место теорема единственности (§5).

Последний шестой параграф этой главы посвящен исследованию первой краевой задачи для вырождающегося нелинейного интегро-ди-фференциального уравнения параболического типа где

ЭЬ

1 г?

1дХ{

Здесь доказывается монотонность оператора Л9 и разрешимость получается с использованием методов Галеркина и монотонности. Отметим, что существование решения устанавливается в пространстве ¿^(0,7} 1^(0)) , так что оператор А^ , включающий интегральное выражение, выступает в роли подчиненного оператора.

С учетом монотонности оператора^ получается и единственность решения.

В третьей главе проводится исследование и численное моделирование одномерной осесимметричной задачи диффузии электромагнитного поля в вещество. Электропроводность среды предполагается зависящей от температуры, которая изменяется вследствии джоуле-ва нагрева. В пренебрежение эффекта теплопроводности, система дифференциальных уравнений обладает той же структурой нелинейности, которая рассматривается в главах I и 2.

В §1 дается общая постановка диффузионной задачи в квазистационарном приближении. К системе уравнений Максвелла присовокупляется балансное уравнение для температуры. Физическая задача заключается в определении согласованного изменения электромагнитных полей внутри проводника и в граничащие с ним вакуумные области. Помимо существенной нелинейности, сложность изучения задачи обуславливается и ее смешанностью (в проводнике решается система параболических, а в вакууме - эллиптических уравнений).

Во втором параграфе рассматривается задача диффузии электромагнитного поля для цилиндрических токоносителей в случае одной пространственной переменной. Исходная задача редуцируется к задаче о нахождении распределения магнитного поля и температуры в проводнике.

Зависимость коэффициента электропроводности от температуры задается степенным законом (что соответствует случаю металлических проводников или плазменному состоянию). Существование и единственность решения конечной краевой задачи обеспечивается результатами главы 2.

Третий параграф уделяется построению дискретной модели и изучению соответствующей разностной схемы. Устанавливается сходимость приближенного решения к решению исходной интегро-ди-фференциальной задачи в предположении его достаточной гладкости. Доказательство сходимости разбито на два этапа : в начале рассматривается полудискретизированная задача (интегро-диффе-ренциальная по времени, разностная по пространственному переменному); затем выводится теорема о сходимости разностной схемы

Четвертый параграф посвящен вопросам решения построенных в работе нелинейных разностных уравнений. Показывается, что использование метода Ньютона позволяет свести задачу к решению линейной системы трехточечных уравнений, с применением матричной прогонки. Выполнение соответствующих требований устойчивости проверяется непосредственно.

В последнем параграфе (§ 5) выписаны некоторые частные решения диффузионной задачи. Соответствующие им тестовые расчеты убеждают в эффективности построенной численной методики.

Численные эксперименты по изучению нелинейного процесса диффузии магнитного поля в металлическом токоносителе проводились для различных граничных режимов и показателя в соотношении . Анализ результатов показывает, что при увеличении показателя С( диффузионный процесс отличается по характеру от линейного случая, хотя и обладает аналогичной асимптотикой при больших временах. В начале значительная часть энергии магнитного поля выделяется в виде тепла в приграничной зоне; в дальнейшем при выходе магнитного поля на линейный стационарный режим, нелинейная структура проводимости приводит к выравниванию профиля температуры. При показателях близких к единице проникновение поля в среду (для холодного проводника) происходит медленее и может быть нарушено допущение о малости эффекта теплопроводности. В целом результаты численного эксперимента позволяют описать качественную картину проникновения магнитного поля в вещество, электропроводность которого характеризуется нелинейностью специального типа.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Института прикладной математики им. акад. И.Н. Векуа Тбилисского государственного университета, возглавляемом член-корреспондентом АН СССР А.В.Бицадзе, на УН всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды (Кобулети, 1983), на международном конгрессе математиков (Варшава, ПНР, 1983). Они опубликованы в работах автора [16,17,18] .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джангвеладзе, Темури Амиранович, 1984 год

1. Абрашин В.Н. Об устойчивых разностных схемах для нелинейных нестационарных уравнений математической физики. - Изв. АН БССР, 1981, # 6, с. 5-9.

2. Абрашин В.Н. Устойчивые разностные схемы для квазилинейных уравнений математической физики. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, Ii II, с. I967-I97I.

3. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток для параболических уравнений с вырождением. ЖВМ и Ш>, 1977, т. 17, J£ 6, с. 1458-1473.

4. Баренблатт Г.И. Об одном классе точных решений плоской одномерной задачи нестационарной фильтрации газа в пористой среде. Прикл. математ. и механ., 1953, т. 17, J& 6. с. 739-742.

5. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений. -Собр.соч.: I960, т. 3, с. 323-331.

6. Бицадзе A.B. Новый класс точных решений уравнений Янга ЛЦ(2) калибровочных полей. Докл. АН СССР, 1983, т. 269, № 4,с. 781-784.

7. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: ИЛ, 1961. - 712 с.

8. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.- 487 с.

9. Вайнберг M.M. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. - 416 сг

10. Вишик М.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков. Матем. сб., 1962, т. 59 (101), доп., с. 289-325.

11. Вишик М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму. Тр. Моск. матем. о-ва, 1963, т. 12, с. 125-184.

12. Владимиров B.C. Математические задачи односкороетной теории переноса частиц. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1961, 61,с. I-I59.

13. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений. I. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 12, с. 2123-2140.

14. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1975. - 400 с.

15. Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.А., Коршия Т.К. 0 существовании и единственности решения одного класса нелинейных параболических задач. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19,iê 7, с. II97-I207.

16. Джангвеладзе Т.А. Первая краевая задача для одного нелинейного уравнения параболического типа. Докл. АН СССР, 1983, т. 269, № 4, с. 839-842.

17. Джангвеладзе Т.А. Исследование первой краевой задачи для не- 108 которых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1983, - 58 с.

18. Джангвеладзе Т.А. О разрешимости первой краевой задачи для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения параболического типа. Сообщ. АН ГССР, 1984, т. 114, Л 2, с. 261-264.

19. Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки. ЖВМ и Ш, 1968, т. 8, & 3, с. 679-684.

20. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптическихи параболических уравнениях. Матем. сб., 1965, т. 67 (109), № 4, с. 609-639.

21. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. - М.: 1976. т. 9, с. 5-130.

22. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

23. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. Сб. посвященный семидесятилетию акад. А.Ф.Иоффе, М.: 1950,с. 61-71.

24. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

25. Калашников A.C. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации. Вестн.МГУ, сер. матем. мех., 1974, J6 I, с. 62-68.

26. Коршия Т.К. Численное моделирование некоторых двумерных задач электромагнитного поля. Труды ИПМ им. акад. И.Н.Векуа ТГУ, 1983, т. 13, с.141-180.

27. Коршия Т.К., Тишкин В.Ф., Самарский A.A., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Вариационно-операторные разностные схемы для уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1983. - 144 с.

28. Кружков С.Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка и некоторые задачи для квазилинейных параболических уравнений. Вестн. МГУ, сер. матем. мех., 1964, $ 6, с. 65-74.

29. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Новосибирск, 1982. - 47 с. (Препринт/Инст. теор. и прикл. мех., № 17).

30. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г. Согласованные режимы горения в одной диссапативной среде с переносом.- М., 1980. 28 с. (Препринт/ ИПМ АН СССР: » 125).

31. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосибирск. СО АН СССР, 1962. - 92 с.

32. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. Успехи матем. наук, 1957, т. 12, № 5, с. 123-149.

33. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжима- но емой жидкости. Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова, i960, т. 59, с. II5-I73.

34. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейныеи квазилинейные уравнения параболического типа. M.s Наука, 1967. - 736 с.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.- М.: ГШ, 1958. 532 с.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

37. Лионе Ж.-Л., Мадженее Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 372 с.

38. Масленникова В.Н. Первая краевая задача для некоторых квазилинейных систем математической теории диффузии. ЖВМ и МФ, 1963, т. 3, В 3, с. 467-477.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

40. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 480 с.

41. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978. 400 с.

42. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу-Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. Изв.АН СССР, сер. матем., 1958, т. 22, № 5, с. 667- 704.

43. Похожаев С.И. Законы сохранения и априорные оценки для некоторых нелинейных параболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, J5 I, с. 129-136.

44. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений. Матем. сб., 1975, т. 96 (138), № I, с.152-166.

45. Рихтиайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 420 с.

46. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.- 656 с.

47. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

48. Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн. IBM и Ш, 1963, т. 3, & 4, с. 703-719.

49. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, I960. - 324 с.

50. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. - 447 с.

51. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализав математической физике. Л.: ЛГУ, 1950. - 225 с.

52. Степанов Б.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехлитиздат, 1950. - 467 с.

53. Ступялис Л. О спектральной задаче для уравнения смешанного типа. Вестник Ленингр. гос. ун-та, 1967, Л 13, с. 86-102.

54. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981. 408 с.

55. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. Докл. АН СССР, 1959, т. 124, В 3, с. 529-532.

56. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427с.

57. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 194 с.

58. Aldunoin G., Oden J.Т. Analysis of Galerkin approximations of a class of pseudomonotone diffusion problem. SIAM J. Math. Anal., 1981, 12, N 6, p. 917-930.

59. Ames W.F. Nonlinear partial differential equations in engineerings. Aoademic Press, New-York-London, 1965. - 511 p.

60. Aktinson F.V., Peletier L.A. Similarity solutions of the nonlinear diffusion equation. Arch. Eat. Meoh. Anal., 1974, 5^, P. 373-392.

61. Barbu V. Integro-differential equations in Hilbert spaces.- An. Stunt. Univ., 1973, 19, p. 365-383.

62. Brezis H., Grandall M.G. Uniqueness of the solutions ofthe initial value problem for U+ -A\P(ir)=0 . J. Math. Pures et Appl., 1979, 58, p. 153-165.

63. Browder F.E. Nonlinear monotone operators and convex sets in Banaoh spaoes. Bull. Amer. Math. Soc., 1965, 71, N 5, p. 780-785•

64. Browder F.E. Strongly nonlinear parabolic value problems. Amer. J. Math., 1964, 86, N 2, p. 339-557.67« Dendy J.E. Galerkin's method for some highly nonlinear prob lems. SIAM J. Numer. Anal., 1977, 14, p. 327-347.

65. Diokey R.W. The initial value problem for a nonlinear semiinfinite string. Proc. Royal Sc., Edinburgh, 1978, A 82, N 1-2, p. 19-26.

66. Gilding B.H., Peletier L.A. On a class of similarity solutions of the porous media equation I. J. Math. Anal. Appl., 1976, 55, P. 351-564.

67. Gilding B.H., Peletier L.A. On a class of similarity solutions of the porous media equation II. J. Math. Anal. Appl., 1977, P. 522-538.

68. Kamin S. Similar solutions and the asymptotics of filtration equation. Arch. Rat. Mech. Anal., 1976, 60, p. 171183.

69. Klainerman S. Global existence for nonlinear wave equations. Comm. Pure Appl. Math., 1980, 33, p. 43-101.

70. Kuiper H.J. Existence and comparison theorems for nonlinear diffusion systems. J. Math. Anal. Appl., 1977» 60, p. 166-181.

71. Leray J., Lions J. Quelques résultats de Visik sur les problems elliptiques non lineares par les methods de MintyBrowder. Bull. Soc. Math. France, 1965, 93 N 1, p. 97107.

72. MacCamy R.C. An integro-differential equation with application in heat flow, Quart. Appl. Math., 1977, 35, P. 119.

73. McHabb A. Comparison and existence theorems for multicom-ponent diffusion systems. J. Math. Anal. Appl., 1961, 3, N 1, p. 133-144»

74. Medeiros L.A. Sur une equation non lineaire de la Physique Mathématique. C. R. Acad. Sc. Paris, 1978, A 286, p. 277278.

75. Minty G.J. Monotone (non linear) operators in Hilbert space. Duke Math. J., 1962, 29, p. 341-346.

76. Nagai T. Some nonlinear degenerate diffusion equations with a nonlocally oonvective term in ecology. Hiroshima Math. J., 1983, 13, N 1, p. 165-202.

77. Peetre J. Espaces d'interpolation et theoreme de Sobolev. Ann. Inst. Fourier, 1966, 16, p. 279-317.

78. Pimbley G.H. Wave solutions travelling along quadratic path for the equation(/^CWIT^^O . Quart. Appl. Math., 1977, 35, P. 129-138.

79. Raviart P.A. Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires. J. Funct. Anal., 5Î2, p. 299328.

80. Raynal M.L. Sur un problem de diffusion non lineaire. -C. R. Acad. So. Paris, 1975, A 280, N 12, p. 785-787.

81. Rodriguez R.H.R. On local strong solutions of a nonlinear partial differential equation. Appl. Anal., 1980, 10,P. 93-104.

82. Sacks P.E. The initial and boundary value problem for a class of degenerate parabolic equations. Commun. Part. Different. Equat., 1983, 8, N 7, p. 693-733.

83. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems. Indiana Univ. Math. J., 1972, 21, p. 979-1000.

84. Staffans O.J. On a nonlinear hyperbolic Volterra equation. SIAM J. Math. Anal., 1980, 11, p. 793-812.

85. Schechter E. The use of differential inequalities in the convergence analysis of the numerical solution of degenerate parabolic equations. Top. Numer. Anal., 1975» 2, p. 163-173.

86. Teo K.L. Existence and uniqueness of solutions of system governed by second-order quasilinear integro-partial differential equations of parabolic type. Aequationes Math., 1980, 20, N 2-3, p. 133-148.

87. Tsutsumi M. Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear parabolic equations. Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1972, 8, p. 211-229.

88. Zarantonello E.H. The closure of the numerical range con-taines the spectrum. Bull. Amer. Math., 1964, 70, p. 781787»

89. Zlamal M. Finite element solution of quasistationary nonlinear magnetic field. RAIRO Anal. Fumer., 1982, 16, N 2, p. 161-191.