Исследование разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных вырождающихся на решении параболических уравнений в нецилиндрических областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Истомина, Наталия Евгеньевна

• Истомина, Наталия Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Истомина, Наталия Евгеньевна

Введение.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОМПАКТНОСТИ

§1. Обозначения и предварительные результаты.

§ 2. Постановка задачи и формулировка результата.

§ 3: Построение и оценка приближенного решения.

§ 4. Оценка производной по времени.

§ 5. Об одном результате о компактности.

§ 6. Предельный переход в интегральном тождестве.

§ 7. Доказательство единственности обобщенного решения и второй теоремы существования и единственности.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ МОНОТОННОСТИ

§1. Описание области и предположения.

§ 2. Описание пространств, постановка задачи и формулировка результата.

§3. Предварительные результаты.

§ 4. Построение базисов и полных систем функций.

§ 5. Построение и оценка приближенного решения.

§ 6. Свойства нелинейного оператора A(t).

§ 7. Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение начального условия.

§8. Ограниченность производной по t. Обоснование равенства

Х = М*)и-.

§9. Единственность обобщенного решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных вырождающихся на решении параболических уравнений в нецилиндрических областях»

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению разрешимости начально-краевых задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, а также разработке общих основ исследования существенно нелинейных уравнений в таких областях.

Первые результаты по линейным уравнениям теплопроводности в области с нецилиндрической границей получены в работах М. Жевре [70] и И.Г. Петровского [80]: В них рассматривалась смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности. В дальнейшем линейные задачи для уравнении параболического типа в нецилиндрических областях изучались В.Ш Михайловым [45; 46], С.Г. Крейном и Г.И. Лаптевым [32], В.И. Ушаковым [55], Р.Д. Алиевым; [2; 3; 4],. А.Е. Шишковым [56], В.В. Куртом [33], В.В. Куртом и А.Е. Шишковым [35], М.О. Орынбасаровым [47], Ю.А. Алхутовым [5], Э.М: Карташовым [21; 22], P. Gannarsa, G. Da Prato, J.-P. Zolezio [62] и другими математиками.

Краевые задачи для различных классов нелинейных нестационарных уравнений в нецилиндрических областях исследовались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности'в работах Ж.-Л. Лио-нса [75; 76], Н. Fiijita, N. Sauer [69], M.L. Nakao, Т. Narazaki [77], M.M. Лаврентьева- мл. [74], М. Idrissi [72], R. Dal Passo, М. Ughi [64], Н; Okochi [78], В:В. Курта [34], А.Ф. Тедеева [54], М. Bertsch, R. Dal Passo, В. Franchi [60], J. Ferreira [66], J. Ferreira, N.A. Lar'kin [67], D. Bainov, E. Minchev [58], А.И. Кожанова [73], А.И. Кожанова, H.А. Ларькина [27; 28], J. Ferreira, M.A. Rojas-Medar [68], Ri. Benabidallah, J. Ferreira [59], M.Mi Bokalo,

V.M. Dmytriv [61], C.H. Глазатова [13], ШВ. Виноградовой [10], П.В. Виноградовой, А.Г. Зарубина [11] и других авторов.

Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в: области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [17], замораживания грунта [8], твердения бетона [50], промерзания раствора [18]; при исследовании ряда проблем атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [49; 79; 81], экологии и медицины [6; 44]; при решении некоторых задач гидромеханики [9; 16; 53], термомеханики (при тепловом ударе [23 — 25], термическом разложении [43; 57], тепловой защите космических аппаратов;[48]) и так далее.

Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что, практически изучены лишь законы движения границы преимущественно для одномерных линейных задач теплопроводности. Что касается более сложных вопросов теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, то они мало изучены, нет общих методов доказательства существования и единственности решений. Следует отметить некоторые трудности, возникающие при решении краевых задач для такого рода уравнений, а именно: сильную нелинейность дифференциального уравнения с частными производными, характер вырождения самого уравнения и, наконец, нецилиндричность области, в которой решается краевая задача, при отсутствии стандартных вспомогательных утверждений, предназначенных для ее решения. Поэтому развитие самих методов решения квазилинейных параболических уравнений с вырождениями на решении в области с нецилиндрической границей представляется актуальным.

Цель,работы. Развитие методов и исследование разрешимости начально-краевых задач для нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, методы теории уравнений с частными производными: метод Фаэдо-Галёркина, метод компактности, метод монотонности. Используются: техника получения и применения априорных оценок, теория обобщенных функций, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах.

Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты:

- предложен подход к решению нелинейных краевых задач в областях с нецилиндрической границей без замены; переменных;

- доказаны теоремы существования и единственности решений для данного типа задач;

- развиваются методы компактности и монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со вр еменем о бластью опр еделения;

- установлены теоремы о полноте построенных в работе систем функций с "временным" параметром и систем попарных произведений этих функций и функций параметра в соболевских пространствах.

Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории нелинейных задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по неклассическим проблемам математической физики и анализа, г. Самарканд, 2000 г.; на III Международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск, 2001 г.; на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова, г. Владивосток, 2000-2002 гг.; на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов 2002 г.; а также на научных семинарах "Дифференциальные уравнения" при Хабаровском государственном техническом университете (рук. д. ф.-м. н., проф. A.F. Зарубин), в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), в институте математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002 г. (рук. д. ф.-м:.н., проф. А.И. Кожанов), на. научном семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН С.И. Смагин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Список публикаций приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации доставляет 96 страниц машинописного текста, подготовленных автором в системе LaTeX. Библиография включает 90 наименований. В; диссертации принята следующая нумерация теорем, лемм, замечаний и формул: первая, цифра соответствует номеру главы, вторая - номеру параграфа, третья -порядковому номеру в этом параграфе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Истомина, Наталия Евгеньевна, 2004 год

1. Агапова Е.Г. Исследование разрешимости задач для нестационарных вырождающихся на решении нелинейных уравнений: Дис. . канд. ф.-м. наук: 01.01.02. Хабаровск: ХГТУ, 2000.

2. Алиев Р.Д. Обобщенная задача Пуанкаре (Неймана) для параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Докл. АН АзССР. 1984. Т. 40. N 12. С. 12-16.

3. Алиев Р.Д. Разрешимость обобщенной задачи Пуанкаре параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. N 11. С. 1991-19941

4. Алиев Р.Д. Единственность решения обобщенной задачи Пуанкаре параболических уравнений в нецилиндрических областях с негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. N 12. С. 2171-2173.

5. Алхутов Ю.А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Докл. АН, Россия. 1995. Т. 345. N 5. С. 583-585.

6. Андреева Т.А., Березовская JI.M., Богуславский С.Н. Нелинейные краевые задачи опреснения морских вод. Киев: Ин-т матем. АН Украины, 1992. С. 4-7.

7. Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтелъ З.Г. Функциональный анализ. Киев: В ища шк., 1990. 600 е.

8. Васильев JI.JI., Вааз С.Л. Замораживание и нагрев грунта с помощью охлаждающих устройств. Минск: Наука и техника, 1986. 192 с.

9. Веригин Н.Н. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами // Динамика жидкости со свободными границами. 1980. N 46. С. 23-32.

10. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюр-герса в пространстве Гельдера в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9. Вып. 2. С. 20-31.

11. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галеркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневосточный мат. журнал. 2002. Т. 3. N 1. С. 3-17.

12. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторно-дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

13. Глазатов С.Н. Некоторые задачи для дважды нелинейных параболических уравнений в нецилиндрических областях // Диф. и интегр. уравнения мат. модели: Тезисы докладов межд. науч. конференции. Челябинск: Челябинский гос. ун-т, 2002. С. 31.

14. Демиденко Г.В. Введение в теорию соболевских пространств: Учебное пособие. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1995. 111 с.

15. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи математических наук. 1968. Т. XXIII. Вып. 1 (139). С. 45-90.

16. Ентов В.М., Новожилов В.В. и др. Об одном методе решения одномерных задач теории переноса при наличии подвижных границ // Мат. моделирование задач механики сплошной среды. М.: Наука, 1989. С. 11-17.

17. Ерохин Б;Т. Теоретические основы проектирования РДТТ. М.: Машиностроение, 1982. 203 с.

18. Золотарев П.П., Рошаль А. А. Точные решения некоторых задач промерзания толщины раствора // Инж.-физ. журн. 1973. Т. 24. N 5. С. 921-928.

19. Камышников А:И. Смешанная задача в нецилиндрической области для одного класса вырождающихся эволюционных уравнений // Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН, 1989. С. 116-122.

20. Канторович JI. В., А кило в Г. Ш Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с:

21. Карташов Э.М: Метод функций Грина при решении краевых задач для. у равнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН. 1996. Т. 351. N 1. С. 32-36.

22. Карташов Э.М. Новые интегральные соотношения для аналитических решений уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. РАН. 2000. Т. 374. N 2. С. 168-172.

23. Карташов Э.М. Динамические эффекты в твердых телах в условиях взаимодействия с интенсивными потоками энергии // Итоги науки и техники. Сер. Химия и технология высокомолек. соед. 1988. Т. 25. С. 3-84.

24. Карташов Э.М. Проблема теплового удара в области с движущейся границей на основе новых интегральных соотношений // Изв. РАН. Энергетика. 1997. N 4. С. 122-137.

25. Карташов Э.М., Партон В.3. Динамическая термоупругость и проблемы термического удара // Итоги науки и техники. Сер. Механикадеформируемого твердого тела. 1991. Т. 22. С. 55-127.

26. Кожанов А.И. Замечание об одной задаче вязкоупругости и связанном с ней возмущенном волновом уравнении в нецилиндрических областях // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1993. С. 99-103.

27. Кожанов А.И., Ларъкин Н.А. О разрешимости краевых задач для сильно нелинейных уравнений вязкоупругости в нецилиндрических областях // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т. 6. N 1. С. 36-45.

28. Кожанов А.И., Ларъкин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. N 6. С. 1278-1299.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

30. Крейн С.Г. Поведение решений эллиптических задач при вариации области // Studia mathematica. 1968. Т. 31. С. 411-424.

31. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. 544 с.

32. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. N 8. С. 1458-1469.

33. Курта В.В. О проблеме Тихонова-Петровского для параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Изв. вузов. Мат. 1992. N 10. С. 87-88.

34. Курта В.В. О поведении решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных нецилиндрических областях // Докл. АН УССР. 1991. N 5. С. 11-14.

35. Курта В.В., Шишков А.Е. О классах единственности решений граничных задач для недивергентных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. N 1. С. 28-30.

36. Лавренюк С.П., Сиделъник Я.И. Смешанная задача для вырождающегося уравнения четвертого порядка в нецилиндрической области. Львов: Львов, ун-т, 1989. 11 с.

37. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

38. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

39. Ладыженская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

40. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

42. Ляшко И.И., Боярчук А.К. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ряды, функции векторного аргумента, кратные и криволинейные интегралы. Киев: Вища шк., 1986. 567 с.

43. Малое Ю.И,, Мартинсон Л.К. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности // Изв. вузов. Машиностроение. 1989. N 1. С. 52-56.

44. Митрополъский Ю.А., Березовский А.А., Плотницкий Т.А. Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравненияв проблемах металлургии, медицины, экологии // Укр. журн. 1992. Т. 44. N 1. С. 67-75.

45. Михайлов В.П. О задаче Дирихле и первой смешанной задаче для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140. N 2. С. 303-306.

46. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения // Мат. сборник. 1963. Т. 61 (103). N 1. С. 40-64.

47. Орынбасаров М.О. О разрешимости краевых задач для параболического и полипараболического уравнений в нецилиндрической области с негладкими боковыми границами // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N 1. С. 151-161.

48. Панкратов В.М. Спускаемые аппараты. М.: Машиностроение, 1984. 232 с.

49. Петухов B.C., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974. 403 с.

50. Плят Ш.И. Расчеты температурных полей бетонных гидросооружений. М.: Энергия, 1974. 407 с.

51. Подгаев А.Г. О свойстве компактности нелинейных множеств и одно его применение // В кн.: Неклассические задачи уравнений мате- ма-тической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. С. 134-138.

52. Подгаев А.Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 2. С. 135-137.

53. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложениях к расчетам температурных полейв нефтяных пластах при заводнении. Казань: Изд-во КГУ, 1978. 188 с.

54. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Мат. 1991. N. 1. С. 63-73.

55. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Мат. сборник. 1980. Т. 111. N 1. С. 95-115.

56. Benabidallah R., Ferreira J. On hyperbolic parabolic equations with nonlinearity of Kirchhoff - Carrier type in domains with moving boundary // Nonlinear Analysis. 1999. V. 37. P. 269-287.

57. Bertsch M., Dal Passo R., FranchiB. A degenerate parabolic equation in noncylindrical domains // Math. Ann. 1992. V. 294. N 3. P. 551-578.

58. Bokalo M.M., Dmytriv V.M. The Fourier problem for quasilinear parabolic equations of arbitrary order in noncylindric domains // Mat. Stud. 2000. V. 14. N 2. P. 175-188.

59. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio J.-P. Evolution equations in non-cylindrical domains // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., Mat. e natur. 1989. Ser. 8. V. 83. P. 73-77.

60. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio J.-P. The damped wave equations in a moving domain // J. Differential Equations. 1990. V. 85. N 1. P. 1-16.

61. Dal Passo R., Ughi M. On a class of nonlinear degenerate parabolic equations in non-cylindrical domains: Existence and regularity // Rend. Mat. Appl., VII. Ser. 9. 1989. N 3. P. 445-456.

62. Dal Passo R., Ughi M. On the Dirichlet problem for a class of nonlinear degenerate parabolic equations in non-cylindrical domains // C. R. Acad. Sci., Paris. Ser. I 308. 1989. N 19. P. 555-558.

63. Ferreira J. Nonlinear hyperbolic parabolic partial differential equation in noncylindrical domain // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, II. Ser. 44. 1995. N 1. P. 135-146.

64. Ferreira J., Lar'kin N.A. Global solvability of a mixed problem for a nonlinear hyperbolic parabolic equation in noncylindrical domains // Portu-galiae Mathematica. 1996. V. 53. N 4. P. 381-395.

65. Fujita H., Sauer N. Construction of weak solutions of the Navier-Stokes equation in a non cylindrical domain // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. V. 75. P. 465-468.

66. Gevrey M. Les equations paraboliques // J. de Math., 6 ser. 1913. V. 9. P. 187-235.

67. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. 1934 (русский перевод: M.: ГИИЛ, 1948).

68. Idrissi М. Direct solution of a nonlinear parabolic problem in a non-cylindric domain // Publ. Math. Fac. Sci. Besancon, Anal. Non Lineaire. 1986. N9. P. 98-110.

69. Kozhanov A.I. On a nonlinear equation viscoelasticity in noncylindric domains // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5. Вып. 2. С. 107-117.

70. Laurent'ev М.М. jun. A priori estimates for solutions of parabolic equations in domains with noncylindrical boundaries // Нестационарные проблемы гидродинамики, динамика сплошной среды. 1982. Т. 58. С. 94-107.

71. Lions J.-L. Singular perturbations and some non linear boundary value problems // M. R. C. Report 421, October 1963.

72. Lions J.-L. Une remarque sur les problemes d'evolution nonlineaires dans les domaines non cylindriques // Rev. Romaine Pures Appl. Math. 19641 V. 9. P. 11-18.

73. Nakao M.L., Narazaki T. Existence and decay of solutions of some nonlinear wave equations in noncylindrical domains // Math. Rep. 1978. V. 11. P. 117-125.

74. Okochi H. On the existence of anti-periodic solutions to nonlinear parabolic equations in noncylindrical domains // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1990. V. 14. N 9. P. 771-783.

75. Peckover R.S. The modeling of some melting problems // Res. Notes Math. 1983. V. 78. P. 248-262.

76. Petrowsky I. G. Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgle-ichung // Compositio math. 1935. V. 1. P. 389-419.

77. Turland B.D. Finite difference front-tracking algorithms for Stefan problems arising in reactor safety studies // Res. Notes Math. 1983. V. 78. P. 293-305.СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

78. Истомина Н.Е. О корректности первой краевой задачи для вырождающегося на решении параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Владивосток: Дальнаука, 2000. Препринт N 5 ИПМ ДВО РАН. 24 с.

79. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с нецилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000. Т. 1. N 1. С. 63-73.

80. Истомина Н.Е. Исследование вырождающегося квазилинейного параболического уравнения в нецилиндрической области методом монотонности // III Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. 1-6 июля 2001 г. Якутск, 2001. С. 33-34.

81. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в нецилиндрической области // Владивосток: Даль-наука, 2001. Препринт N 6 ИПМ ДВО РАН. 40 с.

82. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. Теорема единственности для нелинейного параболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. Вып. 1. С. 27-33.