Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сандакова, Светлана Леонидовна

• Сандакова, Светлана Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сандакова, Светлана Леонидовна

Обозначения.

Введение.

Глава 1. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам.

§1.1. Краткая история вопроса. Основной результат.

§1.2. Вспомогательные предложения

§1.3. Доказательство теоремы 1.1.1 при m =

§1.4. Доказательство теоремы 1.1.1 при m >

§1.5. Некоторые следствия из теоремы 1.1.

Глава 2. О точности неравенства Лебега

§2.1. Краткая история вопроса. Основные результаты.

§2.2. Связь ядер Д^п(0,т) с многочленами, ортогональными на окружности

§2.3. Оценки величины Ап(0, г)

§2.4. О нулях ядра Д^п^т).

§2.5. Доказательство теоремы 2.2.

§2.6. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов.

§2.7. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае обобщенных многочленов Якоби.G

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам»

В дальнейшем используются обозначения С, К, Z, Z+ и N для множеств всех комплексных, действительных, целых, неотрицательных целых и натуральных чисел соответственно.

При 1 < г < оо через Lr[a, 6] обозначим пространство измеримых по Лебегу на отрезке [а, Ь] комплекспозначиых функций F с конечной нормой IHU'M, где

II^IU'M := ( / (1 < г < оо), ||F||LooM : = ess sup \F{t)\.

Ja / a<t<b

Для 27г-периодичсских функции F полагаем ||F||r:= (27г)—1/г||^||х,г[02л-], ^ Lr := Lr[0,2ir]. Пространство непрерывных 27Г-иериодических комплекспозначиых функций F(t) с равномерной нормой ||F|| = max|F(r)| обозиачаетt€R ся через C2ir.

Величина w(F\ £)«),[«,Ч := esssup{|F(£2)-F(*i)| : tut2 G [a,b\,\t2-ti\ < J}

5 > 0) называется модулем непрерывности па отрезке [a,b] функции F(t).

Модуль непрерывности 27Г-периодической функции F в пространстве Lr но определению есть u(F\ £)r : = sup ||F(A + •) — F(-)||r.

А|<<5

Неубывающая непрерывная полуаддитивная на [0, оо) функция о;, для которой cj(0) = 0, называется модулем непрерывности. Если, вдобавок, из удовлетворяет условию t2)/2) > (cj(ii) + u(t2))/2 при всех tut2> 0, то она называется вогнутым модулем непрерывности.

Неотрицательная, суммируемая и неэквивалентная нулю на [а, Ъ] функция м p(t) называется весолг на [а, Ь]. Пусть {Фп(т)}^0 — ортонормированная на

0,27г] с весом (р G L1 система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности

1, cos т, sin г, cos 2т, sin 2т,. методом ортогонализации Грама - Шмидта. Если Fcp Е L1, то имеют смысл суммы Фурье

7Г

V„(F; F(t)Dw(6, т)<р{т) dr (n E Z+, 9 E R), (1) 7Г где

71

D^r):=J2M0)Mr). (2) fc=0

При y?(r) = 1 сумма s^2n{F\9) совпадает с обычной суммой Фурье sn(F;9) функции F. Скорость приближения функции F Е С2л- суммой (1) оценивается ио неравенству Лебега

IF{9) - Spi2n(F; в)| < (1 + LVtn{6)) En(F) (п G 9 E R), (3) где

L^n{9)= sup |Sv?|2„(F;0)| = sup 0)\ (4)

FeL^.IIFIU^l F6C2w,||F||oo<1 есть функция Лебега сумм s^niF] 9), a En(F) — наилучшее равномерное приближение функции F Е Сч-к тригонометрическими полиномами порядка не выше п.

При ф{т) = 1 величина LVj1l(9) совпадает с известной константой Лебега. Ее асимптотические свойства подробно изучены в работах А. Лебега [GG], Л. Фейера [G1], Г. Гронуолла [G2J, Г. Сегё [70] и других авторов.

В связи с неравенством (3) возникают важные для теории приближения функций задачи о его точности и об оценках входящих в его правую часть величии. Решению этих задач, а также аналогичных задач в случае многочленов, ортогональных с весом на отрезке, посвящено много работ. Приведем некоторые результаты, полученные в этом направлении.

Если F Е С2тг, то в силу (3) в каждой точке 9, в которой lim LVin(0)En(F) = 0, (5) n-> 00 ряд Фурье функции F сходится к F(9), причем сходимость этого ряда равномерна на любом множестве Е С 1 точек 9, на котором соотношение (5) выполняется равномерно. Поэтому представляет интерес задача о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) в зависимости от п G N и 9 € К, т. е. задача нахождения более или менее простого выражения, отношение к которому функции (4) при всех п 6 N и 9 £ Ш заключено между двумя положительными константами, зависящими лишь от веса ср.

Аналогичную задачу о двусторонних поточечных оценках функции Лебега сумм Фурье-Якоби при а,/3 > — 1/2 решили С. А. Агахапов и Г. И. Натансон [2]. В. М. Бадков [G, 58, 59, 12] распространил этот результат на все значения а,(3 > —1 (оценку снизу этой функции получил также А. М. Беленький [18]) и установил аналогичные результаты для обощеппых многочленов Якоби, т.е. многочленов, ортонормированиых на отрезке [—1,1] с весом т p(t) = H(t)(i - t)a(i + tf П - х»\ъ («> Аъ > -1;te [-1,1]) (6) v=l в предположении, что входящий в правую часть (G) отграниченный от нуля и бесконечности множитель H(t) удовлетворяет условию Дини u^H-fy-1 е 1].

Кроме того, В. М. Бадков[58, 59] получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (4) в случае 27г-периодического обобщенного веса Якоби, т.е. веса т

Ф) = Кг) П I sin[(r - ev)/2]|> (Г е R), (7) v=l удовлетворяющего условиям

7i > -1,. ,7m > -1; -тг < 6>i < . < 9т < тг, (8) h(r)> 0; hul/heL°°, (9) предположив, что выполняется условие Дини г)оог-1 е^^тг]. (10)

При этом он пользовался полученными им же равномерными асимптотическими представлениями алгебраических многочленов, ортогональных на окружности \z\ = 1 с весом </?, для которого выполняются условия (7)—(10). Затем В.М. Бадков [13, 14, 15] для широкого класса весов <р с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соответствующих многочленов, ортогональных на окружности, и их производных. Пользуясь этими результатами, С.Е. Памятных [34] получил двустороннюю поточечную оценку

1 + 4* + n|sin(0/2)|] (neN, 9eR) (11) знак " х " означает, что отношение левой и правой частей формулы (11) ограничено сверху и снизу положительными константами, не зависящими от п € N и 0 G К) в предположении, что <р(т) := [g(| sin(#/2)|)]-1, где д(т) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям п I dT О I I {в +0),

VsW \<JW) о

Свой результат С.Е. Памятных получил для частного случая веса В.М. Бад-кова. В связи с этим стала актуальной задача обобщения результата С.Е. Памятных на случай общего веса В.М. Бадкова. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена изучению точности неравенства Лебега (3). Точность классического неравенства Лебега па разных классах функций изучали многие авторы.

Аппроксимативные свойства сумм Фурье s^2n(F) на классе Л4 С С2-к в точке в принято характеризовать величиной

W-M) : = sup{|F(0) - Stpfin(F;e)\ : F G M}. (12)

Через Hu обозначим класс функций F 6 Сгя-, У которых модуль непрерывности в С2п не превосходит заданного модуля непрерывности ш. Полагаем также

Ни[а, Ъ] : = {F : F Е Ь°°[а, b], lo(F; 6)оо,[а,ь] < ш(6) для всех всех 5 > 0}.

При г £ рассматриваем классы WrHu} : = {F : F Е С^, F^ £ Ни} и WrHu[a,b] : ={F: F(r) G Ны[а,Ъ]}.

Известно(см.[5, стр.230]), что, если периодическая функция F имеет непрерывную производную порядка г > 0 с модулем непрерывности u{F^\5)001 то при любом натуральном п существует тригонометрический полином Т* порядка не выше п такой, что

En(F) < ||F — Т*||оо < Вгп-'ир^п-1)оо, (13) где Вг > 0 зависит лишь от г. Если F G WrH(JJ1 то в силу (4) и (13) в каждой точке 9, в которой lim Ь^п{в)п-Ги{п-1) = 0, (14) п-> оо сумма сходится к F(6) равномерно на любом множестве Е С М точек в, на котором соотношение (14) выполняется равномерно. Скорость этой сходимости по порядку не превосходит nraj(n1)LWi(0). В случае, когда <р = 1, М. = WrHu, величина (12) совпадает с

S»(WrHu) :-sup{|F(0) - sn(F;0)\ : F E WrH„}. (15)

Величина (15) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка в случае u)(t) = ta (0 < а < 1), г & Z+ получили еще А. Лебег [G6] и С.Н. Берн-штейн [20]. Первую асимптотически точную оценку величины (15) получил А.Н. Колмогоров [G5] для случая uj(t) — t, г G Z+. Исследования в этом направлении продолжили В.Т. Пинкевич [35], С.М. Никольский [29] —[32],

А.В. Ефимов [25]—[27], С.А. Теляковский [53], С.Б. Стечкин[50], А.И. Сте-панец [49] и другие авторы. В.М. Бадков [10] величину (12) изучал в случае класса М. = WrHUJ и 27г-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (7)—(10). В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена.

Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задачами теории приближения функций.

Основной целью настоящей работы является исследование аппроксимативных свойств сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с пеклассическим весом, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. В рамках этой общей проблемы выделяются следующие задачи.

1) Получение двустороиииих поточечных оценок функции Лебега сумм Фурье по рассматриваемой системе;

2) Доказательство точности неравенства Лебега на классе WTHU1 в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе;

3) Построение примера функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса.

4) Построение аналогичного примера функции класса WrHu}[— 1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

В диссертации используются методы теории приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми и состоят в следующем:

1) Получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм Фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега.

2) Доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе.

3) Построен пример функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса.

4) Построен аналогичный пример функции класса WrHu[—1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при изучении рядов Фурье по ортогональным полиномам и их различных приложений в теории аппроксимации.

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ, руководимом профессором В.В. Аре-стовым; на семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН, руководимом членом-корреспондентом РАН, профессором Ю.Н. Субботиным и профессором Н.И. Черных (г. Екатеринбург); на Международной школе С.Б. Стечкина но теории функций (г.Миасс, 2003 и 2004 гг.),а также на 32-й, 33-й, 34-й, 35-й и 30-й Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 гг.).

Основные результаты опубликованы в восьми работах [1]—[8], список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 75 страниц. Библиография содержит 70 наименований.

Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации.

В первой главе получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности.При этом обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега.

Во второй главе доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье по рассматриваемой системе. Построен пример функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. Построен аналогичный пример функции класса WrHu[— 1,1] в случае обобщенного веса Якоби.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы.

В §1.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 1. В § 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 1. Новыми являются следующие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утверждений, принятую в диссертации). Лемма 1.2.1. Пусть вес (р £ L1, а п

Kn{w z, С) := Y, <Pk(z)MО (п е Z+; 2,(6 С) к=0

-ядро Ссгё системы {y?„(2)}£L0 алгебраических многочленов, ортонормиро-ванной па окружности \z\ = 1 с весом ср. Тогда выполняется неравенство

7Г

LVJn{6) < i J IK2n(<p\ eie, (1 - (2n)-l)eiT)\<p{r) dr (n G N; 9 <= R). It

Лемма 1.2.2. Пусть вес <£>(т) принадлежит L1 вместе с 1п<£>(т). Тогда для всех п £ N и в Е М справедливо неравенство

7Г

L„(0) > II(1 7Г где

2тг . Л о J функция Сегё веса tp(r).

Основным результатом главы 1 является обобщающая результаты работ В.М. Бадкова [58, 59] и С.Е. Памятных [34] следующая теорема. Теорема 1.1.1. Пусть 2тт-периодический вес <р(т) имеет вид т / Q \ ip(r) := h(r) ПЦ| sin ) (-7Г < 01 < . < 0m < тг), где U

М*) :=П 19,Ли)]аМ £ L%1}; ,i=\ га, 6 N, a(fi, и) E M, 9,1,и{и) ( д = 1, • • •, v = 1,., m) — вогнутые модули непрерывности; в j wv{t) dr = 0(9wu{9)) (в +0; v = 1,., m); о функция h(r) удовлетворяет условиям (9)-(10) либо условиям h(r) > 0; h и l/h £ u(h\ S)2 = 0(S(<5 +0). (16)

Тогда найдутся положительные константы С\ — С\{ф) и C<i = такие, что для всех п Е N и 9 Е Ж. выполняются неравенства

L (#)

Cl - ln(l + гг ffiLi I sin EfcLi Л(| siH + I) - C2' (17)

7г(</?; z) exp где

Ш := + Mt) к-1 t

Доказательство теоремы 1.1.1 проводится в § 1.3 (в случае веса с одной особой точкой) и в § 1.4 (в случае веса с несколькими особыми точками путем сведения к случаю одной особой точки).

В § 1.5 из теоремы 1.1.1 выводятся в виде следствий следующие утверждения.

Следствие 1.5.1. Пусть вес (р есть 2тг-периодический обобщенный вес Яко-би, удовлетворяющий условию (10) либо условиям (16). Пололсим во := вт — 27Г, 0m+i := 01 + 27Г, £„ := 2~1{QV + Qv+\) (f = 0,1,., m) и рассмотрим интервалы А„ := (^-ь^) (^ = 1, • •., т). Тогда при в Е А/, п € N справедливы оценки

Lv,»{0) х 1 + ln(l + п\в - 0,|) (-1 < 7/ < 0), (18)

Lwi(0)xln(n+1) Ы = 0), (19)

Lv,n(0) х In(n + 1) + (|0 - 6t\ + n"1)-^ (7/ > 0). (20)

Заметим, что в случае 27Т-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (8)—(10), оценки (18)-(20) впервые получил В.М. Бад-ков [58, 59]. Приведем еще одно интересное следствие из теоремы 1.1.1.

Следствие 1.5.2. Пусть вес ip имеет вид где а > е2, 6 Е R, h(r) удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1.1.1. Тогда при в Е М и п Е N справедливы оценки

Lv>„(0) xln[l + n|sin^|l + (in—-г) (б < -2),

L 2J V lsinil+ п)

14

Ь^п{в) х b[l + n|sinf|l + (in . ав , ) In In . ав (5 = -2), L 2 J ^ |sinf| + }J |sm5| + i

LWI(0)xln(n+l) (5> -2).

Следствие 1.5.2 обнаруживает интересное явление: функция Лебега L^^Q) в случае веса (21) при 5 Е (—2,0) эквивалентна константе Лебега, определяемой как (*) || оо5 которая по порядку совпадает с классической константой Лебега (т. е. константой Лебега для веса (р{т) = 1). При этолг система {Фп(0)}^о ^ < 0 не является равномерно ограниченной.

В §2.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 2. В §§ 2.2-2.4 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), исиользуемые при доказательстве основного результата главы 2. Новыми являются следующие две леммы.

Лемма 2.4.1. Ядро D^^ni®, т) как функция от т имеет в интервале (в,9-\-2л) точно 2п различных (и, следовательно, простых:) пулей.

Лемма 2.4.2. Пусть нули ядра Др,271(#,т) (как (функции от т) занумерованы в последовательность < Z-2 < z-i < z0 < zi < z2 < ., (22) причем Z-1 < в < zo и zv = zv{6) (i/ E Z). Тогда z—n — zn 2 7Г.

Если при этом вес ip удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1, то найдутся полоэюительные числа Сц и С12, зависящие лишь от такие, что расстояние между любыми двумя соседними элементами последовательности (22) заключено между Сцп-1 и С\2П~1.

Одним из основных результатов главы 2 является следующая теорема, обобщающая соответствующие результаты В.М. Бадкова[58, 59] и С.Е. Памятных [34].

Теорема 2.1.1. Пусть вес <р удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Тогда найдутся поло'жительные постоянные Ci(ip,r) и Ci{}P, г) такие, что для всех п Е N и в Е М выполняются неравенства

Ci{<p, г) <- — -< С2(у?, Г). (23)

1-h Ь^п{9))и(п l)n г

Заметим, что в главе 1 были доказаны неравенства (17), в силу которых функцию Лебега в (23) можно заменить знаменателем дроби из формулы (17). Разумеется, что при этом константы С\(<р,г) и С^у?,г) в новом неравенстве примут новые значения.

Другим основным результатом главы 2 является пример индивидуальной функции класса WrHu, для которой неравенство Лебега (4) оказывается точным но порядку в нулях веса <р на подпоследовательности номеров п (для каждого нуля своей). Кроме того, построен аналогичный пример индивидуальной функции класса WrHu[—1,1] в случае обобщенного веса Якоби. А именно, доказаны следующие две теоремы.

Теорема 2.6.1. Пусть вес <р удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Пусть, кроме того, при некотором I Е {1,2,., т}

Wft) = 0(\<P2n(eW,)\) (п Е Z+). (24)

Тогда для заданных г Е Z+ и модуля непрерывности ш(#), удовлетворяющего условию

8 1 s [>£Щ± = оН6)), (25)

J и J гг о s найдутся числа si,., sm Е N и С\ > 0 такие, что функция ^ uj(2~nw~q)Dip2m,/+<i+l (9q, т) и—О <7=1 'Г 4 '1 где т) определено в (2), m т — в s(T) : = -s = Si + • • • + sm, fi=l принадлежит классу WrHLJ, причем,

En(F) х п~гш{п~1) (n g n) и при достаточно больших N : = 2mn+i

F{9i) - svMF'M ~ +

Заметим, что из основного результата главы 1 (см. теорему 1.1.1) следует, что в формулировке теоремы 2.G.1 условие (24) равносильно условию т-1ЫТ)$ е 0,1]. Теорема 2.7.1. Пусть вес р имеет вид м р{х) = Н{х)( 1 - х)а(1 + хУ П \х - хк\Ь (х g [-1,1]), к=1 где Me n; а,Р,6к > -1; -1 < хх < . < хи < 1; Н(х) g с[-1,1]; Н(х) > 0 па всем [—1,1]; а;[1д](я; 5)5~1 g z/1 [0,1]. Полоэ/сим Xq = —1, xM+i — 1- Пусть, кроме того, при некотором I g {0,1,., М + 1}

L^(xl) = 0(\Pn(xl)\ + \Pn+1(xl)\) (neZ+). (26)

Тогда для заданных г g и модуля непрерывности а;(5), удовлетворяющего условию (25), существует функция f из класса WrH0J[— 1,1] такая, что па подпоследовательности номеров пдг = выполняется соотношение

I/Оч) - sS2(f;®|)| «(1 + при этом

En{f) х n-ru(n~l) (n g n).

Заметим, что в формулировке этой теоремы условие (26) равносильно условию Si > 0 при I g {1,2, .,М}, а > -1/2 при / = 0 или /3 > -1/2 при Z = М + 1.

Кроме того, заметим, что в случае рядов Фурье-Якоби примеры индивидуальных функций, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке х = 1 при а > —1/2, были приведены в работах В.М. Бадкова [G], И.И. Ша-рапудинова [55] и A.M. Беленького [19]. Однако в работах В.М. Бадкова и A.M. Беленького oj(t) = tfl (0 < fi < 1), а в работе И.И. Шарапудинова функция / является аналитической.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю В.М. Бадкову за постановку задач и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сандакова, Светлана Леонидовна, 2005 год

1. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Приближение функций суммами Фурье-Якоби // ДАН СССР. 19G6. Т. 1GG, № 1. С. 9-10.

2. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех. и астрон. 19G8, № 1, вып. 1. С. 11-23.

3. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Отклонение сумм Фурье-Якоби в граничной точке промежутка ортогональности // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех. и астрон. 19G8, № 7, выи. 2. С. 15-27.

4. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд-во иностр.лит., 19G3. 3G0 с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М.: Наука, 19G5. 408 с.

6. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. матем. жури. 1968. Т. 9, № G. С. 1263-1283.

7. Бадков В.М. Равносходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам // Матем. заметки 1969. - Т. 5, № 3. - С. 285-295.

8. Бадков В.М. Сходимость в среднем и почти всюду рядов Фурье ио многочленам, ортогональным на отрезке // Матем. сб. 1974. Т. 95, №2. С. 229-262.

9. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // УМН Н.С. 1978. Т. 33, вып. 4. С. 51 106.

10. Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье ио ортогональным полиномам // Тр. МИАН. 1980. Т. 145. С. 20-62.

11. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 3-36.

12. Бадков В.М. Двусторонние оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье по ортогональным многочленам // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. Свердловск: УНЦ АН СССР,1987. С. 31-45.

13. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса // Тр. МИРАН. 1992. Т. 198. С. 41-88.

14. Бадков В.М. Асимптотика многочленов второго рода и двусторонние поточечные оценки их производных // Труды Института математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. С. 71-83.

15. Бадков В.М. Поточечные оценки снизу модулей производных многочлена, ортогонального на окружности с весом, имеющим особенности // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 6. С. 3-14.

16. Бадков В.М. Функция Кристоффеля и нули ортогональных полиномов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. С. 14-15.

17. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

18. Беленький A.M. О разложении функций в ряд Фурье-Якоби //В кн.: Конструктивная теория функций и теория отображений. Киев, 1981. С. 35-48.

19. Беленький A.M. О сходимости рядов Фурье-Якоби // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 июня 1987 г., № 4713-В87. 28 с.

20. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР. 1952. Т. 1. С. 11-104.

21. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Полное собрание сочинений. Т. 2. М.: Изд. АН СССР. 1954. С. 7-106.

22. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и па отрезке. М.: Физматгиз, 1958. 240 с.

23. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер с англ. -М., 1948.

24. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.:Наука, 1977. 512 с.

25. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22, № 1. С. 81-11G.

26. Ефимов А.В. Приближение функций с заданным модулем непрерывности суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. № 1. С. 115-134.

27. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24, № 2. С. 243-296.

28. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер с англ., 2 изд. М.: Мир, 1965.

29. Никольский С.М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 501-508.

30. Никольский С.М. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье // ДАН СССР. 1941. Т. 32, № 6. С. 386-389.

31. Никольский С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Труды МИ АН СССР. 1945. Т. 15.

32. Никольский С.М. Ряды Фурье функций с данным модулем непрерывности // ДАН СССР. 1946. Т. 52, № 3. С. 191-194.

33. Осиленкер Б.П. О сходимости и суммируемости разложений Фурье но ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка // Сиб. матем. ж. 1974. Т. 15, № 4. С. 892-908.

34. Памятных С.Б. Оценки функций Лебега сумм Фурье по ортогональным полиномам // Тезисы межотраслевой научно-практической конференции "Снежинск и наука". Снежинск: Изд-во СФТИ, 2000. С. 23-24.

35. Пинкевич В.Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 521-528.

36. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 336 с.

37. Рафальсон С.З. О р функциях Лебега сумм Фурье-Якоби // Изв. вузов. Мат. 1984, № 5. С. 75-78.

38. Рахманов Е.А. Об оценке роста ортогональных многочленов, вес которых отграничен от нуля // Мат. сб. 1981. Т. 114(156). С. 269-298.

39. Сандакова С.Л. Оценки функции Лебега сумм Фурье по ортогональным полиномам // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. С. 185.

40. Сандакова С.Л. Оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 33-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 76-78.

41. Сандакова С.JI. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Тезисы студенческих научных работ: Направление "Естественные науки". -Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2003. С. 88.

42. Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса тригонометрических ортогональных полиномов // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 95-99.

43. Сандакова С.Л. Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам // Современные проблемы краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж: ВГУ, 2004. С. 199 - 200.

44. Сандакова С.Л. О точности неравенства Лебега в нуле веса обобщенных многочленов Якоби // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 96-100.

45. Сандакова С.Л. Приближение функций класса WrHiJ суммами Фурье ио тригонометрическим ортогональным полиномам // (Принята в печать Редакцией журнала "Известия УрГУ").

46. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

47. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова думка, 1987. 268 с.

48. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 126-151.

49. Суетин П.К О представлении непрерывных и дифференцируемых функций рядами Фурье но многочленам Лежандра // ДАН СССР. 1966. Т. 166, № 1. С. 9-10.

50. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е, дои.- М.: Наука, 1979. 416 с.

51. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье // Матем. заметки. 1968. Т. 4, № 3. С. 291-300.

52. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

53. Шарапудинов И.И. О наилучшем приближении и суммах Фурье-Якоби // Матем. заметки 1983. - Т. 34, № 5. - С. 651-661.

54. Шарапудинов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения // Махачкала. Издательство Даг. гос. пед. Ун-та. 1997. 232 с.

55. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения // Махачкала: ДНЦ РАН, 2004. 276 с.

56. Badkov V.M. Approximation of functions by means of Fourier sums with respect to the orthogonal polynomials // Approximation and Function Spaces.- Amsterdam etc.: North-Holland, 1981. P. 51-67.

57. Badkov V.M. Estimations for the Lebesgue function and the remainder of the Fourier series with respect to orthogonal polynomials // Functions, series, operators. Amsterdam etc.: North-Holland, 1983. P. 165-181.

58. Badkov V.M. Orders of the weighted Lebesgue constants for Fourier sums with respect to orthogonal polynomials // Proceeding of the Steklov Institute of mathematics. Suppl. 1, 2001. P.P. S48-S64.

59. Fejer L. Lebesguesche Konstanten und divcrgente Fourierschcn // J. reine und angew. Math. 1910. 138. S. 22-53.

60. Gronwall Т.Н. Uber die Laplacesche Reihe // Math. Ann. 1913. Bd. 74. S. 213-270.

61. Jackson D. Orthogonal trigonometric sums // Ann. of Math.,11. S. 1933. Vol. 34. P. 799-814.

62. Cartwright D.I. Lebesgue constants for Jacobi expansions // Proc. Ainer. Math. Soc. 1983. V. 87, № 3. P. 427-433.

63. Kolmogoroff A. Zur Grossenordnung des Restgliedes Foiirierschen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann. Math. 1935. V. 36, № 2. S. 521-526.

64. Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant a uiie condition de Lipshitz // Bull. Soc. math. France. 1910. V. 38. S. 184-210.

65. Sandakova S.L. Two-sided Pointwise Estimate for Lebesgue Function of Fourier Sums with Respect to Trigonometric Orthogonal Polynomials // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2004. P. S207-S223.

66. Shohat J.A., Hille E., Walsh J.L. A bibliography on orthogonal polynomials, Wash., 1940.

67. Szego G. On bi-orthogonal systems of trigonometric polynomials // Magy. tud. akad. Mat. kut. intez. kdzl. 1963 (1964). K. 8, № 3. Old. 255-273.

68. Szego G. Uber die Lebesguesche Konstanten bei den Fourierreichen // Math. Z. 1921. 9. S. 163-166.