Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Бурмистрова, Мария Дмитриевна

• Бурмистрова, Мария Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бурмистрова, Мария Дмитриевна

Введение.

Глава I. О РЕГУЛЯРНОСТИ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ

ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

§1.1. Вспомогательные утверждения.

§ 1.2. Регулярность в точке X = 0 методов суммирования рядов Фурье

Лагерра непрерывных функций.

§1.3. Равномерная регулярность методов суммирования рядов Фурье

Лагерра.

Глава II. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА С

КВАЗИМОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В

ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА.

§2.1. О сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами в пространствах ЛебегаЬу (0,оо).

Глава III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА

ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ТОЧКАХ ЛЕБЕГА.

§3.1. Предварительные сведения.

§3.2. Сингулярность ядра линейных средних по полиномам Лагерра.

§3.3. Построение монотонных мажорант для ядер Фейера и Валле

Пуссена.78

§3.4. Суммируемость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых с единичным весом функций в точке Лебега t = 0.

§3.5. Сходимость в точке Лебега t — 0 линейных средних для функций пространства L.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра»

Ортогональные многочлены и ряды Фурье по ним имеют широкое применение в различных областях математики, математической физики, в задачах обработки информации, при решении дифференциальных и интегральных уравнений и в других задачах. Одной из основных проблем теории рядов Фурье по ортогональным многочленам, как и в целом теории ортогональных рядов, является исследование условий их сходимости и суммируемости. Сходимость и суммируемость рядов Фурье изучаются как для произвольных систем ортогональных многочленов, так и для конкретных систем ортогональных многочленов. В частности, большое теоретическое и практическое значение имеет исследование вопросов суммируемости разложений Фурье по классическим ортогональным многочленам Якоби, Лагерра, Эрмита, тесно связанным с решением краевых задач математической физики.

Особый интерес представляют ряды по многочленам Лагерра и Эрмита, ортогональным на бесконечном промежутке. Неограниченность промежутка вносит существенные сложности в исследование указанных выше вопросов. В нашей работе изучается задача о суммировании рядов Фурье-Лагерра линейными методами.

Пусть \frm (Г)] , а>—1, - ортонормированная на [0,оо) с весом p(t,CC^ = е ~ta система многочленов Лагерра, то есть система алгебраических многочленов таких, что

00 о где 8т i - символ Кронекера. Для определённости положим знак старшего коэффициента (t) равным .

Пусть для некоторой функции f существуют интегралы

00

Ctm — jtae t f [t^I^^t^dt. Тогда функции f можно поставить в О соответствие её ряд Фурье-Лагерра

00

1) т=О

Вопросам сходимости ряда (1) к разлагаемой функции посвящено много исследований. В них, в основном, изучалась сходимость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых функций в весовых пространствах Лебега, то есть в пространствах функций f измеримых по Лебегу на [0,+оо) и таких, что

Г™ \1/Р

Л/смоГ dt vo J оо, 1 < р < со, причем весовая функция u(t) связана с весом Лагерра Также изучалась поточечная сходимость в случае непрерывных и дифференцируемых функций.

Наиболее существенный вклад в исследование задачи о сходимости в среднем в пространствах интегрируемых с различными весами функций внесли X. Поллард [58], Р. Аскей и С. Вейнгер [42] и Б. Макенхоупт [55], [56]. Отметим, что сходимость в среднем рядов Фурье-Лагерра существенно зависит от выбора весовой функции u(t). X. Поллард в работе [58] рассматривал сходимость в среднем с весом u{t) — e и доказал, что ряд Фурье

Лагерра сходится в метрике этого пространства только когда р = 2. Р. Аскей и

С. Вейнгер [42] рассматривали сходимость в пространствах I/ с весовой функцией = , при а > 0. Они доказали, что в таком пространстве сходимость ряда Фурье-Лагерра будет иметь место при всех 4/3 <р< 4. Макенхоупт в работах [55], [56] рассматривал произвольные весовые функции. Более того, в работе [56] он рассматривал задачу о сходимости ряда Фурье-JIareppa функции, принадлежащей весовому пространству с одним весом, в метрике пространства с другим весом. В этой работе Макенхоуптом были найдены такие весовые функции, при которых сходимость в среднем в весовом пространстве L/7 гарантирована при любом 1 < р < оо. Приближение алгебраическими многочленами дифференцируемых функций на [0,+оо) с весом JIareppa е изучалось А. X. Бабаевым [2], В. К. Лащеновым [30], М. К. Потаповым и С. К. Танкаевой [35], [59], В. М. Федоровым [41] и другими математиками. Некоторые результаты о поточечной сходимости рядов Фурье-Лагерра изложены в монографиях Г. Сегё [36] и П. К. Суетина [37]. Отметим, что в силу особенностей поведения многочленов Лагерра в окрестности точки X = 0, поведение частных сумм и линейных средних рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 существенно отличается от поведения их на промежутке [a, b] d (0, +со) (см., например, [36], теоремы 9.1.5 и 9.1.7). Этим вызвана необходимость отдельного исследования сходимости рядов Лагерра в концевой точке промежутка ортогональности. Также отдельного исследования требуют вопросы сходимости на всем промежутке [0, +оо).

Известно, что существуют непрерывные, и, более того, дифференцируемые функции, ряд Фурье-Лагерра которых расходится в заданной точке (см., например, [36], стр. 278 и 282). Следовательно, существуют функции, ряд Фурье-Лагерра которых не сходится на промежутке [0,+оо). Поскольку ряд Фурье-Лагерра может расходится, как в отдельных точках, так и в метрике весового If пространства (см. [42], [55], [58]), возникает вопрос о тех методах, которыми можно его суммировать. Имеется ряд исследований, в которых рассматривались вопросы суммируемости рядов Фурье-Лагерра конкретными методами — методами Чезаро ([36], теорема 9.1.7, [49-50], [53-54], [57], [62]). В работах [49], [53-54], [57] рассматривалась суммируемость методами Чезаро в весовых I/ пространствах, были получены оценки сверху и снизу норм операторов чезаровских средних в этих пространствах. Поскольку множество алгебраических многочленов является плотным в лебеговых пространствах с подходящими весами (см. [56]) при р < оо, то из ограниченности норм операторов соответствующих средних можно делать выводы о суммируемости методами Чезаро. Суммируемость методами Чезаро рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 при условии непрерывности разлагаемой функции в этой точке исследовалась в монографии Г. Сегё ([36], теорема 9.1.7). Что касается произвольных методов суммирования, необходимо отметить, что в последнее время активно развивается теория мультипликаторов для разложений по многочленам JIareppa (см., например, [45-47], [61]), которая тесно связана с суммированием рядов Фурье-Лагерра (см. [45]). Однако задача о суммируемости рядов Фурье-Лагерра произвольными методами суммирования остаётся мало изученной.

В нашей работе рассматриваются линейные методы суммирования, задаваемые треугольными матрицами А = |я^| (т = 0,1,.; п = 0,1,.;

Л^ - 0 При т > л + lj. Каждая такая матрица определяет последовательность многочленов

2) т=О называемых линейными средними ряда Фурье-Лагерра.

Будем говорить, что ряд (1) суммируется в точке Х0 методом, задаваемым матрицей А, если Л) —> /{xq) при п—> оо. Метод, задаваемый матрицей Л, будем называть регулярным в точке на подпространстве G пространства функций, заданных на [0,со)5 если для любой функции f е G ряд (1) суммируется к ) этим методом в точке

Xq.

Если G является подпространством пространства непрерывных на [0,оо) функций и для любой функции / gG линейные средние ряда (1) равномерно сходятся к f на [0,оо)3 то метод Л будем называть равномерно регулярным на G (или просто регулярным).

Одним из вопросов, исследуемых в настоящей работе, является задача о нахождении условий на коэффициенты матрицы Л, при выполнении которых метод суммирования, задаваемый этой матрицей, будет регулярным в точке или равномерно регулярным на некотором подпространстве пространства непрерывных функций.

Линейные средние (2) являются линейными операторами на соответствующем пространстве функций, а при фиксированном X - линейными функционалами. Поэтому при изучении задачи естественно использовать известную теорему Банаха-Штейнгауза ([26], с. 266). Однако из-за бесконечности промежутка ортогональности многочленов Лагерра при её использовании возникают дополнительные сложности. Например, не всякая непрерывная на [0, оо) функция может быть разложена в ряд Фурье-Лагерра.

Кроме того, множество алгебраических многочленов плотно не во всяком подпространстве пространства непрерывных функций, разложимых в ряд Фурье-Лагерра. Поэтому возникает вопрос о выборе подходящего подпространства пространства непрерывных на положительной полуоси функций. В § 1.1 настоящей работы показано, что в качестве такого подпространства можно взять пространство С непрерывных на [О, со) функций f, для которых Иш = 0, с нормой

Ас = sup |ЛХ)

0<Х<оо

X—>+00

-х/2 п

Обозначим К% (x,t,A) = (t) - ядро линейного м=0 метода суммирования, задаваемого матрицей Л. Линейные средние (2)

V А являются (см. § 1.1) непрерывными линейными операторами из С в С с нормой та шахе х/2££(х,л),где лг>0 оО х,Л) = j]^ (x,t,K)e-tl2tadt (3) о

- функция Лебега-Лагерра линейных средних, задаваемых матрицей А. При фиксированном X = х0 линейные средние (2) являются непрерывными линейными функционалами на С с нормой = Применяя теорему Банаха-Штейнгауза, получаем, что для регулярности метода суммирования, задаваемого матрицей А, в точке х0е[0,оо) на С необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) /%(х0,А)<С, п = 1,2,.;

2) Л^ —> 1 при ft —> оо для всякого фиксированного m. Соответственно, для равномерной регулярности метода суммирования, А задаваемого матрицей Л, на С необходимо и достаточно, чтобы

1) шахе~х!2(х,Л) < С, п = 1,2,.; х>0

2) Л^ —> 1 при П —> оо для всякого фиксированного Ш.

Здесь и далее в работе буквой С будем обозначать величину, не зависящую от п, вообще говоря, в разных случаях разную.

Так как проверка условия ограниченности "^функции Лебега для конкретных матриц трудна, желательно заменить это условие другими, проверка которых не вызывает больших трудностей.

Постановка данной задачи о нахождении эффективных условий ограниченности функции Лебега метода суммирования берет начало от известной работы С. М. Никольского [32]. В этой работе С. М. Никольский показал, что в случае тригонометрических рядов Фурье для выпуклых вогнутых) при каждом п последовательностей Л^ условие ограниченности п констант Лебега Сп (А) = — f

П t следующими условиями: ьт с

1»

1 п т=1 п X м cos mt dt можно заменить

1т т=\ п + 1-т

Со.

Далее С. Б. Стечкин, А. В. Ефимов, С. А. Теляковский и другие математики получили различные необходимые и достаточные условия ограниченности констант Лебега для тригонометрических рядов, выраженные через коэффициенты матрицы А, их первые разности АЛ^ = Л^ — Л^^ и вторые А2Л^ = А ^АЛ^ j. В случае рядов по другим ортогональным системам задача об ограниченности функции Лебега линейных средних также изучалась, хотя и в меньшей мере. Некоторые условия ограниченности функции Лебега в случае рядов Фурье по многочленам, ортогональным на конечном промежутке, могут быть получены из работ Б. П. Осиленкера (см., например, [33], [34]). Для суммирования рядов Фурье по многочленам Якоби

Р^'^ (х) ряд интересных результатов был получен С. Г. Кальнеем. В частности, им в статьях [22-23] была доказана теорема, аналогичная теореме С.М. Никольского.

Для рядов Фурье-Лагерра вопрос ограниченности функций Лебега для общих линейных методов суммирования исследован мало. В работах Е. Гёрлиха и К. Маркетта [48] и [49], К. Маркетта [53], [54], Е. Л. Поиани [57], достаточно подробно рассмотрен вопрос об оценке сверху и снизу норм операторов конкретных линейных средних - средних Чезаро - в ^^ пространствах, 1<р<со, - весовая функция, связанная с весом p{t,Произвольные линейные методы суммирования исследовали Дж.

Гаспер и В. Требельс в работе [45], в которой они, используя схему работы [25], получили оценку снизу функции Лебега для линейных методов суммирования рядов Лагерра. Отметим, что рассматриваемые в работах [48], [49], [53], [54] и

57] при р = оо, сс > 0, пространства включают функции, удовлетворяющие условию lim f(x)e =0, S>0, что сильнее наложенного нами условия lim = 0.

X->+00

Ограниченность функции Лебега-Лагерра играет важную роль не только при изучении сходимости линейных средних в некоторой точке, но и их равномерной сходимости к разлагаемой функции. В связи с тем, что норма

СС ( . л л оператора Тп yf, X, A J из С в С совпадает с нормой этого оператора из L а

ОО в Le, где ~La=<f\ ||/|jL = \\f{t)\e-"2tadt«* а О из ограниченности функции Лебега-Лагерра можно делать выводы также о сходимости линейных средних по норме пространства .

Результаты о сходимости конкретных линейных средних можно применять к исследованию других задач. Так, в нашей работе исследуется задача о сходимости ряда Фурье-Лагерра к разлагаемой функции в интегральной метрике, если коэффициенты ряда удовлетворяют условию монотонности или его обобщениям. Для тригонометрических рядов данная задача исследовалась А. Н. Колмогоровым, Е. Хилле и Я. Д. Тамаркиным, С. А. Теляковским, Г. А. Фоминым и другими авторами. Ряд классических и результатов отражен в монографиях А.Зигмунда [20] и Н. К. Бари [3]. В 1923 году А. Н. Колмогоров в работе [52] полностью решил вопрос о сходимости в метрике L ряда а 00 при условии, что его коэффициенты стремятся к нулю и последовательность \cim } выпукла или хотя бы квазивыпукла. Он показал, что в этом случае ряд

4) является рядом Фурье, а для его сходимости в метрике L необходимо и достаточно, чтобы при т —> оо выполнялось условие ат log т —> 0. Позже С. А. Теляковский и Г. А. Фомин в работе [38] доказали, что условие ат log т —> 0 является необходимым и достаточным для сходимости ряда Фурье (4) в метрике L при условии квазимонотонности последовательности (последовательность jcm j называется квазимонотонной с показателем с,

Ц>0, если последовательность т т<и монотонно убывает к нулю). Аналог теоремы С.А. Теляковского и Г.А. Фомина для рядов Фурье-Якоби был получен С. Г. Кальнеем в работе [24]. Нами доказана соответствующая теорема для рядов Фурье-Лагерра функции f Е La.

Заметим, что данную задачу о сходимости ряда Фурье по многочленам Лагерра Z^ с квазимонотонными коэффициентами можно рассматривать не только в пространстве , но и в пространствах Лебега L^, где у ^ ОС. В настоящей работе доказаны теоремы о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами для случая f е Ly, а 1

---< у<mm

2 4 г а п а,—h — v 2 4 у 1 а > —. 2

Еще одним важным вопросом теории суммирования рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам представляется вопрос о сходимости линейных средних в концевой точке промежутка ортогональности при условии, что она является точкой Лебега.

Точка t = О называется точкой Лебега функции f, если существует число А такое, что

Задача о сходимости линейных средних рядов по различным ортогональным системам в точках непрерывности и точках Лебега разлагаемой функции рассматривалась во многих работах. В частности, в случае тригонометрических рядов эта проблема изучалась С. М. Никольским [32], А. В. Ефимовым [19] и другими математиками. Для рядов Якоби данная задача для чезаровских средних рассматривалась в монографии Г. Сегё [36], для более широкого класса методов суммирования - в работах С. Г. Кальнея [21], [51], для рядов по ультрасферическим многочленам в работах Топурия С. Б. и других грузинских математиков (см. [39]), Тан Пин [60]. Примечательно, что в случае рядов Якоби для сходимости линейных средних в точке Лебега t — 1 необходимо, вообще говоря, даже для случая чезаровских методов суммирования, накладывать на функцию дополнительное "антиполярное" условие - ограничение на поведение функции в другой концевой точке отрезка ортогональности. В случае рядов Лагерра, в монографии Г. Сегё [36] доказана теорема о сходимости чезаровских средних порядка k> СС +1/2 в точке непрерывности t = 0 функции f при выполнении дополнительного условия, 1 условия в случае рядов Якоби. Нетрудно показать, что упомянутая теорема Г. Сегё остаётся верной, если вместо непрерывности функции в точке t — 0 h

0. о

00 которое является аналогом антиполярного предположить, что точка t = О является точкой Лебега функции f. Для этого достаточно слегка изменить доказательство теоремы аналогично тому, как сделано на стр. 272 монографии [36] для случая рядов Якоби. В настоящей работе мы приводим достаточные условия сходимости линейных средних в точке Лебега t = О функции f для более широкого класса матриц А, чем матрицы, определяющие методы суммирования Чезаро. Наше исследование основано на теореме Д. К. Фаддеева о представлении интегрируемых функций в точках Лебега сингулярными интегралами (см. [40]).

Настоящая работа состоит из введения и трёх глав. Параграфы нумеруются двумя числами, первое из которых обозначает номер соответствующей главы. Так, § 2.1 означает первый параграф второй главы. Теоремы, леммы, формулы нумеруются тремя числами, первое из которых указывает главу, второе - номер параграфа внутри этой главы, а третье - номер теоремы (леммы, формулы) в данном параграфе. Например, теорема 1.2.3 означает третью теорему второго параграфа первой главы.

В первой главе изучаются необходимые и достаточные условия регулярности методов суммирования.

В § 1Л приведены доказательства базовых утверждений, необходимых для обоснования результатов первой главы. В частности, в этом параграфе показано, что ограниченность функции Лебега-Лагерра при некоторых условиях обеспечивает регулярность метода суммирования.

Во втором параграфе главы 1 исследуется поведение функции Лебега

Лагерра в точке X = 0 и даются условия на коэффициенты матрицы

Л, необходимые и достаточные для регулярности метода суммирования А в этой точке. С использованием полученной в этом же параграфе оценки интеграла сумм Валле Пуссена, доказана основная теорема первой главы. 1

Теорема 1.2.1. Пусть \)<СС<—.Тогда для функции Лебега-Лагерра линейных средних справедливо неравенство:

О, Л) < С шах

О <т<п хм

1т c"t(m +1) т—О n-m\i

-а V

А2Я(п)

7 + 1 у

Эта оценка сверху функции Лебега-Лагерра и доказанная Дж. Гаспером и В. Требельсом [45] оценка ее снизу позволяют получить необходимые и достаточные условия ограниченности функции Лебега-Лагерра для выпуклых вогнутых) последовательностей Х^.

Теорема 1.2.2. Пусть 0 <а<—. Если > 0 (< 0) при всех

Ш = 0,1,., и — к, где k> 1 - фиксированное число, не зависящее от п, то для ограниченности (0, А) необходимо и достаточно, чтобы

С, (m + lf (n + \-myV2-a <С. т=0

Как следствие теоремы 1.2.2 и критерия регулярности метода суммирования в точке, доказанного в § 1.1 (утверждение 1.1.7) получаем теорему о регулярности в точке X = 0 методов суммирования, являющуюся аналогом известной теоремы С. М. Никольского [32] о сходимости линейных средних тригонометрических рядов и теоремы С. Г. Кальнея [23] о сходимости линейных средних рядов Фурье-Якоби.

Теорема 1.2.3. Пусть 0 <СС<—. Если вторые разности А2/1^

4 >0 0) при всех т = ОД,— к, где k> 1 - фиксированное число, не зависящее от п, то для регулярности в точке Х0 = 0 на пространстве С метода суммирования, задаваемого матрицей А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) л<"> с, тт п

2) (w + lf(« + l-w)3/2"<C, п = 1,2,.; т=0

3) Л^ —> 1 при п —> со Эля всякого фиксированного Ш.

В третьем параграфе первой главы показано, что те же самые условия будут необходимыми и достаточными для равномерной регулярности метода суммирования. Этот факт является следствием того, что max^e достигается в точке X = 0 (утверждение 1.3.1).

Частный случай этого результата для функции Лебега-Лагерра чезаровских средних ранее был установлен Е. Гёрлихом и К. Маркеттом в работе [48].

Во второй главе изучается задача о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами. Рассматривается ряд по стандартизованным многочленам Лагерра

00

5) т=О при этом предполагается, что он является рядом Фурье-Лагерра некоторой 00 функции /, то есть что ат = —-— j' ta e~l f (t) Lam (t)/Lam (0)dt

1 + 1J 0 m = 0,1,.).

В § 2.1 доказаны теоремы.

Теорема 2.1.2. Пусть ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра Ц^ функции f e~La (0,оо) (0 < а). Если последовательность квазимонотонна для некоторого JH > 0, то для сходимости его к f в метрике La (0,оо) необходимо и достаточно, чтобы ma+l/2am ->0 (т-> со). а 1

Теорема 2.1.3. Пусть < У < mm а О а,—ь — 2 4 1

ОС > — — и пусть

V ^ ^ J ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра функции f £ Ly (О, оо).

Если последовательность квазимонотонна для некоторого jLl> 0, то для сходимости его к f в метрике необходимо и достаточно, чтобы атт

7+1/2 0 (т—»оо).

Третья глава посвящена вопросу сходимости линейных средних в точке X = 0 при условии, что она является точкой Лебега.

В § 3.1 помещены предварительные сведения, необходимые для обоснования результатов третьей главы.

Во втором параграфе третьей главы доказана сингулярность ядра Дирихле-Лагерра и найдены условия на матрицу, при которых ядро метода суммирования будет сингулярным.

В § 3.3 строятся и исследуются монотонные мажоранты для ядер Фейера и Валле Пуссена. В первом случае доказывается интегрируемость этой мажоранты, а во втором случае даётся оценка для интеграла от построенной функции, которая в дальнейшем будет использована для доказательства основных результатов третьей главы.

Четвертый параграф третьей главы посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 3.4.1. Пусть -1 < а <1/2 и матрица А удовлетворяет следующим условиям:

1) Л^ —> 1 при YI —> оо для всякого фиксированного Ш ; т п

2) £(f» + l) т- О

А2Л{п) гл /ьт с.

Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f G L^OjOo), имеющей точку X = О точкой Лебега, А-суммируем в этой точке.

В теореме 3.4.1 предполагается, что функция / интегрируема на бесконечности с единичным весом, что является сильным требованием. Желательно ослабить ограничение на интегрируемость функции на бесконечности. Это можно сделать, применяя теорему Д.К. Фаддеева о сходимости сингулярных интегралов в точках Лебега не на всём промежутке

О, оо), а на некотором отрезке, содержащем точку X = О (точку Лебега), а на оставшемся промежутке применяя другие соображения. Этому и посвящен пятый параграф главы 3, в котором доказаны основные результаты главы о суммируемости в точке Лебега X = 0 ряда Фурье-Лагерра функции е L р(а)

00 f\\f\Vp(a) = \\f{tb"tadt<^

Теорема 3.5.1. Пусть —lIlKCKXjl и матрица А, коэффициенты которой ограничены, удовлетворяет условиям:

1) Нш Л^ = 1 для всякого фиксированного т; п—>00 1 f rt-уиЛо а

2) £(/и +1) т-О п-т v п +1

2 А2Х^

С;

3) существует число 8 < О, такое, что п

2+3/4 т=О

А 2Л{п)

Спс

Если функция f G ^Дсг) удовлетворяет условию оо ф-'/2га/2+<?-13/12Л<оо, то ряд Лагерра функции У Л - суммируем в точке Лебега X = 0.

Кроме теоремы 3.5.2, в § 3.5 получена ещё одна теорема о суммируемости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега X — 0, в которой ограничение на поведение функции на бесконечности состоит в требовании интегрируемости функции в некоторой степени в окрестности бесконечности.

Теорема 3.5.2. Пусть —1/2 < ОС <1/2 и ограниченная матрица А удовлетворяет условиям:

1) lim Я^ = 1 для всякого фиксированного Ш;

П—>оэ

2) 2 (»»+ 1)| т=О п-т п +1 а у а2я

С; и, кроме того, существует число д < 0, такое, что п

3) + т=О а/2+3/4

А 1Х{п)

Спс

Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f Е А- суммируем в точке

Лебега t = 0, если существует число Z >0 такое, что оо

МО'

-//2 tadt< оо для некоторого р> 1; причем в случае 1/6 <ос< 1/2 и 8 > 1/12-а/2 предполагается, что р удовлетворяет дополнительному условию

2а + \2 р<-.

6а-1 + 125

Результаты диссертации докладывались на 12-й и 13-й Саратовских зимних математических школах (Саратов, 2004, 2006), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), III и VI международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2005, 2006), на семинарах под руководством проф. С. А. Теляковского (МИРАН им. В. А. Стеклова, 2005, 2004), на научных семинарах по теории функций и ортогональных рядов под руководством акад. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко (мех.-мат. МГУ, 2005, 2006). По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [6-15].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Григорьевичу Кальнею за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

20

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бурмистрова, Мария Дмитриевна, 2008 год

1. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М., 1963.

2. Бабаев А. X. О приближении функций с заданным модулем непрерывности частичными суммами Фурье-Лагерра. УМН, 1967, т. XXII, №2, с. 130-132.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., 1961.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., 1974.

5. Бернштейн С. Н. О весовых функциях. Докл. АН СССР, 1951,т. 77, с. 549-552.

6. Бурмистрова М. Д. О необходимых и достаточных условиях суммируемости в нуле рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней математической школы. Саратов 2004, с. 38-39.

7. Бурмистрова М. Д. О равномерной регулярности методов суммирования рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 2005, с. 46-47.

8. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней математической школы. Саратов, 2006, с. 41.

9. Бурмистрова М. Д. О линейных методах суммирования рядов Лагерра для полуцелых а. Тезисы IX Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» и IV Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2006 г, с. 18-19.

10. Бурмистрова М. Д. О сходимости в метриках пространств La (0, оо) и Laj2 (О, оо) рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами.Вестник Московского государственного университета печати, 2006, с. 714.

11. Burmistrova М. D. On necessary and sufficient conditions of the regularity of summation methods for Laguerre-Fourier series. Analysis Math., 2006, v. 32, № 4, p. 247-264.

12. Бурмистрова M. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», вып. 9, М., Изд-во «Янус-К», 2006, с. 8-12.

13. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра линейными методами. Известия Саратовского университета, 2008, Т. 8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, с. 15-20.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1967.

15. Геронимус Я. Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1958.

16. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. Москва-Ижевск, 2002.

17. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР сер. матем., 1960, т. 24, с. 743-756.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Изд-во "Мир", Москва, 1965.

19. Кальней С. Г. Суммируемость рядов Якоби треугольными матрицами. Матем. Заметки, 1983, т. 34, № 1, с. 91-103.

20. Кальней С. Г. О линейных методах суммирования рядов Якоби для полуцелых ОС. Analysis Mathem., 1996, v. 22, p. 35-50.

21. Кальней С. Г. О необходимых и достаточных условиях суммируемости рядов Якоби. Изв. ВУЗов, матем., № 5, 1991, т. 348, с. 75-78.

22. Кальней С. Г. О сходимости в среднем рядов Фурье-Якоби с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1986, т. 173, с. 136139.

23. Кальней С. Г. Об оценке снизу функции Лебега линейных средних рядов Фурье-Якоби. Труды МИАН, 1984, т. 170, с. 113-118.

24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., 1984.

25. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физматгиз, 1958.

26. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

28. Лащенов В. К. Приближение дифференцируемых функций частными суммами ряда Фурье-Лагерра. Изв. ВУЗов, матем., № 1, 1981, т. 224, с. 44-57.

29. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.

30. Никольский С. М. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. матем., 1948, т. 12, с. 259-278.

31. Осиленкер Б. П. О сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка. Сиб. матем. ж., 1974, т. 15, № 4, с. 892-908.

32. Осиленкер Б. П. Оценка роста функции Лебега линейных методов суммирования. Матем. Заметки., 1968, т. 6, № 3, с. 277-286.

33. Потапов М. К., Танкаева С. К. О структурных характеристиках функций с данным порядком наилучшего приближения алгебраическими многочленами. Вестн. МГУ, 1994, сер. 1, Математика. Механика, № 1, с. 46-54.

34. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

35. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., М.: Физматлит, 2007.

36. Теляковский С. А., Фомин Г.А. О сходимости в метрике L рядов Фурье с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1975,т. 134, с. 310313.

37. Топурия С. Б. Ряды Фурье-Лапласа на сфере. Изд-во Тбилисского Ун-та, Тбилиси, 1987.

38. Фаддеев Д. К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesgue'a. Матем. сб. 1936. т. 1/43, №3. с. 351-368.

39. Федоров В. М. Аппроксимация многочленами на полуоси. Конструктивная теория функций 81. София, 1983, с. 181-184.

40. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series. Amer. J. Math., 1965, v. 87, p. 695-708.

41. Askey R. Orthogonal polynomials and positivity. Studies in Applied Mathematics, Wave Propagation and Special Functions, SIAM, 1970, p. 64-85.

42. Freud G. Orthogonale Polynome. Berlin, 1969.

43. Gasper G., Trebels W. A lower estimate for the Lebesgue constants of linear means of Laguerre expansions. Res. Math. 1998, v. 34, p. 91-100.

44. Gasper G., Trebels W. On a restriction problem of de Leeuw type for Laguerre multipliers. Acta. Math. Hungar., 1995, v. 68, № 1-2, p. 135-149.

45. Gasper G., Trebels W. On necessary multiplier conditions for Laguerre expansions. Canad. J. Math., 1991, p. 1228-1242.

46. Gorlich E., Markett C. A convolution structure for Laguerre series. Indag. Math., 1982, v. 44, p. 161-171.

47. Gorlich E., Markett C. On approximation by Cesaro means of the Laguerre expansion and best approximation. Res. Math, 1979, v. 2, p. 124-150.

48. Gupta D. P. Cesaro summability of Laguerre series. Approx. Theory v. 7 1973, p. 226-238.

49. Kal'nei S. G. On the summability of Jacobi series at Lebesgue points. Analysis Math., 2003., v. 29, p. 181-194.

50. Kolmogorov A. N. Sur l'ordre de grandeur des coefficients de la smie de Fourier-Lebesgue. Bull. Acad, polon. sci. (A), sci. math., 1923, p. 83-86.

51. Markett C. Mean Cesaro summability of Laguerre expansions and norm estimates with shifted parameter. Analysis. Math. 1982, v. 8, p. 19-37.

52. Markett C. Norm estimates for Cesaro means of Laguerre expansions. Approximation and Function Spaces (Proc. Conf. Gdansk, 1979); p. 419-435, North Holland (Amsterdam, 1981).

53. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series I. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 419-431.

54. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 433-460.

55. Poiani E. L. Mean Cesaro summability of Laguerre and Hermite series. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 173, p. 1-31.

56. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1948, v. 63, p. 355-367.

57. Potapov M. K., Tankaeva S. K. On approximation of functions on the half-line by algebraic polynomials. Analysis Math., 1994, v. 20, p. 107-115.

58. Tang Ping. On linear summation methods of Fourier-Laplace series II, Analysis Math., 1998, v. 25, p. 151-162.

59. Thangavelu S. Transplantation, summability and multipliers for multiple Laguerre expansions. Tohoku Math. J., 1992, v. 44, p. 279-298.

60. Yadav S. P. Approximation of Fourier-Laguerre Expansions by its Cesaro mean in certain Banach Spaces. Approx. Theory, 1983, v. 39, p.l53-156.