Ортогональные и экстремальные полиномы на нескольких отрезках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Лукашов, Алексей Леонидович

• Лукашов, Алексей Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лукашов, Алексей Леонидович

Введение

1 Экстремальные функции на нескольких отрезках

1.1 Функции Шоттки-Бернсайда.

1.2 Алгебраические дроби Чебышева-Маркова на нескольких отрезках.

1.2.1 Вспомогательные утверждения .641.2.2 Основной результат.

1.3 Рациональные функции Чебышева-Маркова на нескольких отрезках.

1.4 Тригонометрические функции, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках.

2 Ортогональные полиномы на нескольких отрезках и дугах

2.1 Ортогональные многочлены на нескольких отрезках действительной оси

2.2 Ортогональные многочлены на нескольких дугах единичной окружности.

2.3 Ортогональные рациональные функции на нескольких дугах единичной окружности.

3 Асимптотическое поведение коэффициентов рекуррентных соотношений ортогональных многочленов

3.1 Коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для многочленов, ортогональных на нескольких отрезках

3.2 Круговые параметры ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности.

4 Различные задачи

4.1 Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках.

4.2 Задача построения оптимального электрического фильтра

4.3 Тригонометрическая проблема моментов на нескольких отрезках

4.4 Интерполяционные процессы на нескольких отрезках

4.5 Некоторые обобщения свойств классических ортогональных многочленов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ортогональные и экстремальные полиномы на нескольких отрезках»

В диссертации исследуется круг экстремальных задач теории приближений на нескольких отрезках действительной оси. Описано решение задачи Чебышева-Маркова на нескольких отрезках, его тригонометрический аналог; найдены представления ортогональных многочленов, обобщающих многочлены Бернштейна-Сегё, для мер Геронимуса на нескольких дугах единичной окружности; исследовано множество предельных точек последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений и круговых параметров для этих ортогональных многочленов; установлены точные оценки производных рациональных функций и их тригонометрических аналогов на нескольких отрезках, точные по порядку оценки констант Лебега соответствующих интерполяционных процессов. В качестве применения разработанных методов и подходов получены результаты, обобщающие свойства классических ортогональных многочленов Чебышёва и Якоби, а также уточнен известный критерий разрешимости тригонометрической проблемы моментов на нескольких отрезках.

Тематика, связанная с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, началась с мемуара П. Л. Чебышёва [94], представленного в Академию Наук в 1853 г. Эта тематика занимала центральное место в теории приближений на первом этапе ее развития (этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей). П.Л. Чебышёв нашел точные решения ряда задач в этой тематике, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (Подробнее см., например, обзор [377]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовем лишь некоторые из них: вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышёва посвящены монографии [286, 330], каждая книга по теории приближений обязательно содержит разделы с изложением их основных свойств. Обзоры [225, 226, 291, 294, 92, 378, 353, 126] содержат сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарева, Ахиезера и др.). Приведем более подробные сведения по истории вопроса, точнее, по поводу полиномов по чебышевским системам, наименее уклоняющимся от нуля.

Рассматриваются "рациональные тригонометрические" функции вида . А cos N(p + в sin N<p + Ol cos(JV - 1)<P + . + bimsm(N - [iV])<£> гЫ =-v^P-'

0.1) где N - полуцелое, N G N/2, А, В e R,i2 + ß2 / 0, - фиксированные числа, A{<p) - фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а < 2N, положительный на заданной конечной системе отрезков £ = [<ри ip2] U . U [<£>2г-ъ ¥>г/]} Ь < (pi < <р2 < ■. < y>2i < Ь + 27т; а также их алгебраические аналоги x2n + c1x2n~1 + . + c2n

VW) где А(х) - фиксированный действительный многочлен степени 2а < 4N, положительный на Е С [—1,1].

П.Л. Чебышёв [94, 95] нашел дроби вида (0.2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [— 1,1], в случаях А(х) = 1 и А(х) = Q2{x), где Q - многочлен, A.A. Марков [253] привел другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая (Е = [—1,1], А— произвольный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышёва-Маркова. Отметим монографию [338], посвященную теории этих рациональных функций. Надо сказать, что в западной литературе работа A.A. Маркова цитируется редко и его результат неоднократно переоткрывался (см. [107, 313] и

ДР-)

0.2)

Случай Е — [—1, а] U [b, = 1 полностью решен Н.И. Ахиезером в работал [6]-[9], Е — [— 1,а] U [6,1], Л = Q2,Q— произвольный не обращающийся в нуль на Е многочлен - в работе автора [243], составлявшей основную часть кандидатской диссертации. Найденное Н.И. Ахиезером представление многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, зависит от геометрии системы отрезков. Полное описание решения распадается на несколько возможных форм представления, использующих либо эллиптические, либо автоморфные (в [6]) функции. Отметим, что в случае возможности использования эллиптических функций эти многочлены Ахиезера по сути совпадают с многочленами Золотарева (см., например, [226], где обсуждаются и другие близкие вопросы). Многочленам Золотарева [404], т.е. многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на Е = [—1,1] в равномерной норме с двумя фиксированными старшими коэффициентами, посвящена обширная литература (см., в частности, обзоры [92, 378]). Отметим здесь недавние работы A.B. Богатырева и В.А.Малышева [74, 252], в которых был существенно развит и дополнен подход H.H. Меймана [258, 259] и получено качественное описание решения существенно более общей задачи.

Для А(х) = (а2 — х2)2,Е = [—1, а] U [а, 1], дроби Чебышёва-Маркова были выписаны (в эллиптических функциях) в [236].

Перейдем к случаю Е = [ах,аг] U . U [ö2/i,аг/]?Л(ж) = 1. "Базовым" здесь является тот случай, когда Е - прообраз отрезка при полиномиальном отображении. Этот случай может быть охарактеризован в различных терминах (см., например, обзор [353]), и тогда для степеней вида п = Nm, где Nстепень полиномиального отображения, многочлены Чебышёва весьма просто выражаются через обычные многочлены Чебышёва и полином, осуществляющий упомянутое отображение (вариации на эту тему можно найти в [223, 331, 332, 374]). Вопрос эффективного нахождения "базового" случая, фактически подходящего для рассматриваемого множества Е и степени п, остается открытым до сих пор. Существенное продвижение в решении этого вопроса получено в [73], хотя оно применимо лишь при наличии дополнительной информации об искомом решении. Отметим также глубокую работу [400], содержащую ряд результатов об асимптотиках многочленов Чебышёва для общих компактов комплексной плоскости.

Тригонометрический аналог дробей Чебышёва-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [373] (для S — [0,2тг]). Случай / = 2, Л = 1 и симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в [215] и (для использования в хаусдорфовой аппроксимации) в [312]. Харак-теризации "базового" случая в общей постановке для Л = 1 имеются в [305, 308]. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos ip = х невозможно.

Одним из наиболее важных свойств дробей Чебышёва-Маркова на отрезке является обнаруженная С.Н.Бернштейном в [65] связь с ортогональными многочленами: числители этих дробей ортогональны относительно веса специального вида. Впрочем, это свойство можно интерпретировать и как еще одно их экстремальное свойство - каждый ортогональный относительно эрмитовой метрики полином является одновременно и экстремальным в соответствующей £2-метрике. Так как эти ортогональные многочлены (числители дробей Чебышёва-Маркова) исследовались также Г.Сегё и использовались им и С.Н.Бернштейном в построении теории ортогональных на отрезке многочленов относительно весов более общего вида, в теории ортогональных многочленов часто употребляется термин "многочлены Бернштейна-Сегё" [371, 181, 232]. Употребляется также название "ЧМБС-многочлены"(см. [228], там же указаны другие работы В.И. Лебедева, относящиеся к этому кругу проблем, а также [229, 230]).

Аналогичная связь существует и в рассматриваемом общем случае нескольких отрезков, но здесь ситуация сложнее, так как наличие такой связи обусловлено дополнительными требованиями к структуре множества Е(£). Для двух отрезков в алгебраическом варианте эта связь была установлена в [288, 352], для произвольного числа отрезков - в [290, 353].

Теория ортогональных многочленов относительно общих весов, первоначально созданная именно с помощью исследования многочленов Бернштейна-Сегё, становится особенно популярной в последнее время благодаря открытым связям с другими областями математики (см., например, книги [108, 117, 341, 275, 72], сборники статей [272, 197, 152], статьи [143, 153]). Ее можно рассматривать также и как часть спектральной теории разностных операторов второго порядка, благодаря наличию трехчленного рекуррентного соотношения, коэффициенты которого составляют соответствующую матрицу Якоби. В рамках этой теории естественный вопрос - исследовать случай периодической матрицы Якоби или матрицы, периодической после удаления главного минора некоторого порядка. Впервые этот вопрос исследовался в работе Я.Л. Геронимуса [164], в которой были найдены меры, относительно которых ортогональны многочлены, имеющие периодические, начиная с некоторого номера, последовательности коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений. Эти меры представляют собой сумму абсолютно непрерывных мер, совпадающих с мерами, связанными с рациональными функциями Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках в "базовом" случае (подробнее см. [289, 290]), и, возможно, конечного числа точечных масс (мер Дирака). Предельно периодические последовательности рассматривались в работе А.И. Аптекарева [28], почти периодические - в работах [354, 156], см. также работы [267, 270, 376], в которых эти вопросы рассмотрены с точки зрения общей теории матриц Якоби. В связи с этим появилась естественная задача исследования поведения последовательностей коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса. В случае, когда носитель абсолютно непрерывной части меры состоит из двух отрезков, эта задача была в явном виде поставлена и решена Ф. Пехерсторфером [293], отметим также работы [130, 323], в которых изучались аппроксимации Паде одного класса функций, знаменатели которых являлись ортогональными многочленами относительно более общего класса мер, чем класс мер Геронимуса. Для нескольких отрезков эта задача оставалась открытой. В связи с задачей исследования нулей ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса упомянем недавние работы [297, 363], в последней исследованы аппроксимации Паде достаточно общего класса функций, чем достигнуто наибольшее продвижение (по сравнению, например, с [355]-[357]) в положительном направлении в гипотезе Бейкера-Гаммеля-Виллса, недавно опровергнутой как в исходной [239, 242], так и в уточненной Г.Шталем [90] формулировках. Отметим также работы [14, 21, 379, 96], в которых подробно изучались ортогональные многочлены относительно мер из более узких, чем класс Геронимуса, классов, а также работы [289, 290, 291, 227], в которых рассматривались другие аспекты теории ортогональных многочленов относительно мер Геронимуса.

Необходимость рассматривать ортогональные многочлены на нескольких отрезках появилась и во многих приложениях. Так, в теории унитарных ансамблей случайных матриц асимптотики корреляционных функций собственных значений тесно связаны с ортогональными многочленами относительно меняющихся весов, а предельное распределение собственных значений имеет носитель, состоящий из нескольких отрезков. Подробности можно найти в книге [108], а также в недавних работах [70,109,110], подход Римана-Гильберта, развитый в них, хорошо освещен также в работе [35]. В последнее время выявилась также связь между вышеупомянутыми статистическими вопросами и теорией интегрируемых систем (прекрасным обзором здесь служит [268]).

Теория интегрируемых систем является одним из самых бурно развивающихся разделов математики (см., например, обзоры [129, 281]), причем центральным понятием в алгебро-геометрической схеме конеч-нозонного интегрирования является понятие функции Клебша-Гордона-Бейкера-Ахиезера. Работа Н.И. Ахиезера [15], которая обычно цитируется в связи с этим, называется "Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов" и является одной из многих работ, использующих и развивающих аналогии между дифференциальными и разностными операторами. Среди наиболее важных из них укажем книги [37, 60, 234, 235], работы Н.И.Ахиезера [18], М.Г. Крейна [211, 212], А.И.Аптекарева и Е.М.Никишина [34, 274], Б.Саймона и др.[103, 200, 348], а также небольшой, но весьма информативный, обзор [33]. Отметим здесь также работы [29, 295, 365], содержащие результаты, непосредственно связанные и с теорией ортогональных многочленов, и с теорией интегрируемых систем.

Одним из самых последних примеров использования аналогий между спектральными теориями дифференциальных и разностных операторов является построение теории обратной задачи рассеяния для операторов Якоби (см. [376]) для случаев, аналогичных наиболее исследованным в обратной задаче для операторов Штурма-Лиувилля (почти периодических и быстро убывающих потенциалов). Это построение, проведенное в работе [397], также имеет аналог в теории ортогональных многочленов [309]. Отметим также недавнюю работу [342], в которой многие упомянутые ранее результаты были переоткрыты именно в рамках использования спектральной теории.

Конечно, здесь нет никакой возможности дать всесторонний обзор существующих взаимосвязей между теорией ортогональных многочленов и другими разделами математики, упомянем лишь некоторые работы, имеющие непосредственное отношение к теме ортогональных многочленов на нескольких отрезках: [51, 52, 55, 83, 85, 114, 138, 142, 151],[155]-[160],[168, 190, 195, 206, 220, 282, 283, 302, 382, 387, 402]. Необходимо также отметить, что ортогональные многочлены относительно неэрми-тового скалярного произведения являются знаменателями диагональных аппроксимаций Паде, исследованию которых посвящено огромное количество работ (см., например, книгу [47], статьи [176, 177, 280, 364]).

Надо сказать, что с тех пор, как Г.Сегё вывел асимптотические представления для ортогональных многочленов с помощью исследования систем многочленов, ортогональных на единичной окружности, именно таким образом были получены многие важные результаты об асимптотике многочленов, ортогональных на отрезке (см., например, результаты Е.А. Рахманова и В.М. Бадкова [322, 324],[38]-[43]). Заметим также, что даже случай одной дуги вносит существенные трудности. Не останавливаясь на этой ситуации подробно, отметим, что результаты работы [13], открывшей это направление, были доказаны существенно позже [169]. Ситуация существенно меняется для несвязных множеств. Так, в работе [380] (доказательства результатов которой так и не появились) отмечалось, что по сравнению со случаем нескольких отрезков для нескольких дуг имеются дополнительные трудности. Отметим, что веса, рассмотренные в [380], а также более общего вида [304]-[308], впервые появились в работе [162] (см. также [305, 308]) как решение задачи нахождения весов (точнее, мер ортогональности), ортогональные многочлены относительно которых имеют периодические (начиная с некоторого номера) последовательности круговых параметров ап (т.е. коэффициентов соответствующих рекуррентных соотношений). Изучение поведения последовательностей круговых параметров является актуальным и поныне (см. недавние работы [155, 156, 201, 202], связь с теорией рассеяния отмечалась в [154, 153], общая теория ортогональных многочленов на окружности освещена в книгах [371,165, 349], статьях [163,171,196]). В работе [53] был введен и исследован, по аналогии с известным в теории ортогональных многочленов на окружности классом Г.П. Неваи, класс многочленов с асимптотически периодическими последовательностями отношений ап+х/ап, а также модулей |ап| круговых параметров. Естественный вопрос об исследовании поведения этих последовательностей для мер ортогональности вида, рассмотренного в [162], оставался открытым (если не считать рассмотренного в [400] вопроса о предельных точках последовательности норм ортогональных многочленов, весьма опосредованно связанных с круговыми параметрами).

Здесь уместно упомянуть об еще одном обобщении ортогональных многочленов, а именно, об ортогональных рациональных функциях. Теория таких функций была построена М.М. Држрбашяном [120]-[122], а позже ей был посвящен обширный цикл работ А.Бултхеела, П.Гонсалеса-Веры, О. Ньястада и Э. Хендриксена (см., например, их книгу [87]). Эта теория может рассматриваться и как часть более общей и интенсивно развивающейся в настоящее время теории ортогональных многочленов с переменными весами (см., например, обзор [381] и, по поводу соотношений между этии теориями, [285]), но тем не менее она продолжает привлекать внимание многих исследователей в связи с удобством приложений (среди многочисленных работ укажем [5, 75, 276, 277, 278, 369]). Несмотря на обилие работ, число явным образом конструируемых систем ортогональных рациональных функций весьма невелико,(см., в частности, обзор [123]) в связи с чем представляет интерес построение новых примеров.

Возвращаясь к многочленам Чебышёва, приведем их характеристику из [330]: "Многочлены Чебышёва напоминают бриллиант, переливающийся разными оттенками при освещении под разными углами". Одним из таких ракурсов является их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке. Эта задача, поставленная Д.И. Менделеевым, была решена A.A. Марковым [254]. Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна [64]), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений. Этим неравенствам посвящены многочисленные книги и статьи (укажем, например, [3, 36, 50, 79, 98, 179, 321, 375]), тем не менее случай неравенств для производных многочленов, рациональных функций и тригонометрических полиномов на несвязных множествах оставался недостаточно исследованным, хотя в теории приближений изучаются вопросы приближения на таких множествах (в работах A.A. Гончара, В.К. Дзядыка, H.A. Лебедева, П.М. Тамразова, В.Х.Й. Фукса, H.A. Широкова и др. [57, 99, 102, 131],[146]-[148], [172]-[174], [210, 231, 247, 260, 261, 327, 345, 346, 366]).

Поскольку тема неравенств для производных полиномов слишком обширна, чтобы дать о ней хоть сколько-нибудь полные сведения, ограничимся лишь сведениями, имеющими непосредственное отношение к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам. Еще в 1916 году И.И.Привалов [317, 318] обобщил неравенство Бернштейна на случай, когда вместо полного периода рассматривается некоторое его замкнутое подмножество положительной меры. Даже для случая, когда это подмножество - отрезок, соответствующее неравенство приобрело окончательный (нсулучшаемый) вид лишь в работе B.C. Виденского [394]. Позже им же [396] этот результат был перенесен на тригонометрические полиномы полуцелого порядка. Отметим, что недавно интерес к подобным оценкам оживился вновь ([170, 207, 241, 351]). Существенно более общее неравенство, обобщающее не только упомянутые результаты, но и неравенства С.Н. Бернштейна и А. Шеффера для производных целых функций, получено в работе Н.И. Ахиезера и Б.Я. Левина [20]. Их результат, относящийся к алгебраическим многочленам на нескольких отрезках, был обобщен в недавней работе [383], причем последний результат также может рассматриваться как частный случай неравенства для полиномов от нескольких переменных [49, 384]. Другое обобщение неравенства Ахиезера-Левина (для производных мероморфных функций) получено в [233], различные неравенства для производных многочленов на множествах можно найти также в [77, 78, 137, 316, 385].

Ясно, что обобщить неравенство Маркова для производных алгебраических многочленов на рациональные функции со свободными полюсами нельзя (например, функции е2/(ж2 + е2) ограничены единицей на отрезке [—1,1], а их производные на том же отрезке имеют максимум порядка 0(1/е)). Поэтому для рациональных функций со свободными полюсами неравенства для производных получают либо в других метриках, либо с исключением множеств малой меры и т.д. (среди наиболее значимых работ в этом направлении отметим работы A.A. Гончара, Е.П.Долженко, В.И. Данченко [105, 106, 124, 174]). Другое направление - оценка производных рациональных функций с заданными полюсами. Этому направлению посвящена книга В.Н. Русака [338], в частности, им получено [337] неравенство для производных рациональных функций, включающее как частный случай неравенство Бернштейна-Сегё [63, 370] (точнее, его алгебраический аналог, впервые явно сформулированный в [101]). Здесь следует упомянуть также неравенство В.С.Виденского [395], непосредственно обобщавшее неравенство Бернштейна. Другие результаты в этом направлении можно найти, например, в [79, 80, 81, 127, 264, 265, 310].

Таким образом, актуальна задача нахождения оценки производных рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках в равномерной метрике, из которой в качестве частного случая получались бы упомянутые результаты Н.И. Ахиезера, B.C. Виденского, Б.Я. Левина, В.Н. Русака, В.Тотика.

Еще одним разделом теории приближений, в котором многочлены Че-бышёва играют важную роль, является теория интерполирования. Интерполирование Лагранжа по нулям многочленов Чебышёва изучалось многими авторами, оценки констант Лебега, т.е. норм соответствующих интерполяционных многочленов, рассматриваемых как операторы в пространстве непрерывных функций на отрезке, были получены в работах таких математиков, как С.Н. Бернштейн, В.К. Дзядык, А.X.Турецкий [бб, 134] (более подробно об этом см. монографии [388, 389, 315, 368]).

Одной из причин, обуславливающих интерес к интерполированию именно по нулям многочленов Чебышёва является то, что соответствующие константы Лебега имеют оптимальный рост, т.е., так же как и для наименее возможных среди всех систем (матриц) узлов интерполирования, они имеют порядок роста О (log л). При этом оптимальные, т.е. имеющие наименьшие возможные константы Лебега, матрицы до сих пор не найдены (см. [84, 93, 189, 256], где приводятся результаты численных расчетов по приближенному определению таких матриц и даны дальнейшие ссылки), причем даже критерии, которым они удовлетворяют (т.н. гипотезы Бернштейна и Эрдеша) были доказаны лишь в 1978 году Т. Килгором, К. де Бором и А. Пинкусом [203, 76].

Естественным аналогом для интерполирования рациональными функциями с фиксированными полюсами (см. [398]) для случая одного отрезка служат интерполяционные процессы по нулям дробей Чебышёва-Маркова, введенные В.Н. Русаком [336] и изученные в работах Е.А. Ров-бы, А.П. Старовойтова и (без упоминания предыдущих авторов) Г. Ми-ном [334, 335, 359, 263]. Впрочем, такие процессы можно интерпретировать и как полиномиальное интерполирование с весом, которому посвящено большое количество недавних работ [104, 216, 367, 393] и др. При интерполировании аналитических функций естественно также использовать многоточечные аппроксимации Паде (или интерполянты Паде-Ньютона) [44, 45, 91, 150, 178, 47, 217, 149]. Заметим, что при интерполировании рациональными функциями со свободными полюсами возникает ряд дополнительных трудностей уже на стадии вопросов существования, единственности и представления таких интерполянт, для разрешения которых применяются различные способы (см., например, [27, 48, 67, 68, 97, 145, 184, 271, 329]).

Заметим, что обобщение результатов по оценкам констант Лебега по узлам Чебышёва с одного отрезка на случай нескольких отрезков представляется более естественным именно для рациональных функций с фиксированным знаменателем, ибо за счет условий, накладываемых на знаменатели, можно гарантировать, что все нули соответствующих функций Чебышёва-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля, будут находиться именно на системе отрезков, что невозможно обеспечить сразу для всех номеров в полиномиальном случае. Кроме того, поскольку существует тесная связь между многочленами Золотарева и многочленами

Чебышева на двух отрезках, интерполирование в экстремумах многочленов Золотарева, исследованное в [188], является частным случаем интерполирования по узлам многочленов Чебышева первого и второго рода на нескольких отрезках.

Среди других свойств многочленов Чебышёва отметим найденное в недавней работе [401]: для них, а также для многочленов Чебышёва второго рода можно в явном виде подсчитать информационные энтропии, что находит применения в различных вопросах математической физики (см. также работы [30, 31, 32, 112, 113, 187] и обзор [111]). Оказалось, что это свойство легко переносится и на несколько отрезков, но лишь в том случае, когда эти отрезки имеют рациональные гармонические меры (этот результат приведен в данной работе).

Многочлены Чебышёва принадлежат также к классу классических ортогональных многочленов, характеризуемых рядом замечательных свойств (см. книгу [362], обзор [23]). Среди этих свойств упомянем ортогональность производных и тот факт, что классические ортогональные многочлены являются решениями дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Последнее свойство явилось источником большого количества работ, посвященных различным обобщениям классических ортогональных многочленов: многочленам Стилтьеса, полуклассическим ортогональным многочленам, полиномиальным решениям разностных уравнений и т.п. (см., например, работы [2, 12, 22, 139, 161,185, 209, 218, 245, 255, 333, 360, 371, 390]). В работе приводится обобщение упомянутых свойств на один класс многочленов, ортогональных на нескольких промежутках. Этот класс достаточно широк, соответствующие примеры, построенные с использованием идей из [159], также приведены в работе вместе с их электростатической интерпретацией (о подобных интерпретациях можно ознакомиться по обзору [193], а также по работам [119, 183, 191, 192, 199, 266]).

Еще одно из свойств многочленов Чебышёва - их появление в разложении единицы

Tl(x)-{x 2-l)Vll(x) = l, аналогичном уравнению Пелля из теории чисел. Это уравнение называют также уравнением Абеля или Абеля-Пелля, его различным аспектам повящены работы [69, 250, 252, 284, 287, 314]. Обобщение последнего разложения содержится в теореме Маркова-Люкача о представлении положительного на отрезке многочлена, которое является одним из средств решения проблемы моментов Хаусдорфа (см. книги [17, 19, 214, 350], статьи [61, 115, 219]). Распространение указанного представления на случай нескольких отрезков содержит серьезные трудности (см., например, [118, 213, 292]), и поэтому сведение вопроса о разрешимости проблемы моментов к вопросу о положительной определенности как можно меньшего числа квадратичных форм являлось нетривиальной задачей (см. [141, 214, 279]). Здесь оказалась весьма существенной разница между усеченной и полной проблемами, а также между проблемой моментов на компактном и некомпактном множествах. Окончательное решение данной задачи было найдено в работе [62]. Аналогичная задача для тригонометрической проблемы моментов не была решена.

Наконец, упомянем об еще одной задаче, впервые поставленной и решенной Е.И. Золотаревым [11]. Речь идет о построении рациональных функций со свободными полюсами, ограниченных единицей на [—к, к] и имеющих максимальный минимум на (—оо, — 1/к] U [1//г,+оо). Решение этой задачи и ее обобщения (задачи об оптимальном электрическом фильтре) использует эллиптические функции и находит применения во многих вопросах теории приближений, электротехнике, вычислительной математике [4, 58, 59, 167, 175, 221, 222, 224, 246, 248, 249, 343, 344]. Полное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре в явном виде не получено до сих пор. Чтобы проиллюстрировать характер трудностей, возникающих здесь, упомянем о том, что для построения дробей Чебышева-Маркова на нескольких отрезках используется теорема Абеля [1, 186, 194] о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в элементарных функциях, а для задачи об оптимальном электрическом фильтре аналогичным образом потребуется знание ответа на вопрос о том, когда гиперэллиптический интеграл берется в эллиптических функциях. Последний вопрос впервые ставился К. Вейерштрассом, среди математиков, которые работали над этой проблемой, можно упомянуть С.Ковалевскую, но ответа той же степени общности, что и теорема Абеля, нет по сей день (по этому поводу см., например, [56]).

Целью настоящей работы является решение следующих задач:

1. дать полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на этой системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из многочлена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков;

2. получить представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов;

3. найти представления ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

4. найти представления ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности относительно мер из подкласса класса Геронимуса;

5. исследовать асимптотическое поведение коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений для ортогональных многочленов на нескольких отрезках относительно мер класса Геронимуса;

6. исследовать асимптотическое поведение круговых параметров ортогональных многочленов на нескольких дугах единичной окружности относительно мер класса Геронимуса;

7. найти оценки производных полиномов по специальным системам алгебраических, рациональных, тригонометрических и алгебраически-тригонометрических функций на нескольких отрезках;

8. найти точные по порядку оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа по нулям рациональных функций Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках;

9. дать частичное решение задачи об оптимальном электрическом фильтре;

10. найти обобщения некоторых свойств классических ортогональных многочленов на системы многочленов, ортогональных на нескольких промежутках.

При решении поставленных задач применяются методы теории функций комплексного переменного, теории приближений и теории ортогональных полиномов.

Все основные результаты работы являются новыми, обобщая известные ранее либо путем использования других средств и методов, либо путем рассмотрения более общих классов. Например, описание решения задачи Чебышёва-Маркова получено путем распространения методов Н.И.Ахиезера на более широкий класс рациональных функций, неравенства для производных получены путем сочетания идей, использованных для доказательства различных частных случаев таких неравенств, известных ранее. При исследовании асимптотического поведения коэффициентов трехчленных рекуррентных соотношений разработан новый метод доказательства непостоянства весьма сложно устроенных функций, основанный на использовании автоморфности по входящему в них постоянному параметру. В ряде результатов (при исследовании круговых параметров, при получении оценок производных, при нахождении критерия разрешимости проблемы моментов) используется также метод вариации фиксированных полюсов, ранее не употреблявшийся.

Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории ортогональных многочленов и рациональных функций, теории квадратурных формул, теории рядов Фурье.

Результаты работы докладывались на Всесоюзных школе и конференции по теории функций (Днепропетровск, 1990; Одесса, 1991); на 5-й и 6-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов, 1990,1992); на конференции по конструктивной теории функций, посвященной 70-летию проф. B.C. Виденского (Санкт-Петербург,1992); на 25 Голландском математическом съезде (Амстердам, 1993); на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, посвященной памяти профессора A.A. Привалова (Саратов, 1994); на Международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений и нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика С.М. Никольского (Москва,1995); на 8-й,9-й и 10-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов,1996,1998,2000); на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж,1999); на Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти В.К. Дзядыка (Киев,1999); на школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань,1999); на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000); на

8 и 9 Белорусских Математических конференциях (Минск,2000; Гродно, 2004); на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов,2000); на 2-й Международной конференции "Гармонический анализ и приближения" (Ереван,2001); на 11-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова (Саратов,2002); на Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов-Энгельс, 2002); на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004); на семинарах под руководством члена-корреспондента РАН П.Л. Ульянова в МГУ, в 1996 и 2003 гг.; на семинаре под руководством академика РАН A.A. Гончара и проф. А.И. Аптекарева в МИР АН, в 1996, 1998, 2001 гг.; на семинаре по геометрии в Гронингенском университете (Нидерланды) под руководством проф. М. ван дер Пута в 1992 г.; на семинарах математических факультетов Амстердамского университета (в 1993 г.) и Университета им. И. Кеплера (Линц, Австрия) в 1998 г.; на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН Ю.И. Субботина и проф. Н.И. Черныха в Институте Математики и Механики УрО РАН в г. Екатеринбурге в 2002 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций под руководством проф. Г.И. Натансона, B.C. Виденского в 2002 г.; неоднократно на семинарах и научно-практических конференциях в Саратовском госуниверситете.

По результатам работы автору была присуждена премия им. М.Я. Суслина (1994 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [405]-[434], причем из работы [419], написанной в соавторстве, в диссертацию включены результаты, составляющие параграф 2.1, носящие вспомогательный для последующего характер, а также Теорема 19, принадлежащая автору.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Всего в диссертации 14 параграфов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лукашов, Алексей Леонидович, 2004 год

1. Abel N.H. Über die 1.tegration der differential-Formeln wenn R und p ganze Funktionen sind//J. Reine Angew. Math. 1826. Bd.l. S.186-221.

2. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. One characterization of the classical orthogonal polynomials // Progress in Approximation Theory (Nevai P., Pinkus A., Eds.). N.Y.:Academic Press, 1991. P.l-4.

3. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. Extremal problems, inequalities, and classical orthogonal polynomials // Appl. Math. Comput. 2002. V.128. P.151-166.

4. Агафонова И.В., Малоземов B.H. Одна экстремальная задача, связанная с многочленами Золотарева // Вестн. Ленинград. Унив. Мат., мех., астрон. 1985. N4. С.82-84.

5. Akgay Н. A stochastic analysis of robust estimation algorithms in H00 with rational basis functions // Int. J. Robust Nonlinear Control 2002. V.12. P.71-86.

6. Akhieser N.I. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen // Bull. Soc. Phys.-Mathem. Kazan. Ser.3. 1928. V.3. N2. P.l-69.

7. Acliyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, I // Изв. AH СССР.Отд.матем. и естеств. н. 1932. N9. С.1163-1202.

8. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwal len am wenigsten von Null abweichen,II // Изв.АН СССР. Отд. матем. и естеств.н. 1933. N3. С.309-344.

9. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, weiche in zwei gegebenen In terwallen am wenigsten von Null abweichen,III // Изв.АН СССР. Отд.матем. и естеств.н. 1933. N4. С.449-536.

10. Achyeser N. Uber eine Eigenschaft der "elliptischen" Polynome // Сообщения Харьковского матем. общества (4). 1934. Т.9. С.3-8.

11. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.:Наука,1970.

12. Ахиезер Н.И. Работы Н.Я.Сонина по приближенному вычислению определенных интегралов // Н.Я.Сонин. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах. М.ТИТТЛ, 1954. С.219-243.

13. Ахиезер Н.И. О полиномах, ортогональных на дуге окружности // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. С.247-250.

14. Ахиезер Н.И. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1960. Т.134. С.9-12.

15. Ахиезер Н.И. Континуальные аналоги ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл. АН СССР. 1961. Т.141. С.263-266.

16. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации (2-е изд.). М.:Наука, 1965.

17. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.:Физматгиз,1961.

18. Ахиезер Н.И. Некоторые обратные задачи спектрального анализа, связанные с гиперэллиптическими интегралами //В кн.: Ахиезер Н.И.,Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Харьков: Вища школа,1978. Т.2. С.242-283.

19. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. О некоторых проблемах теории моментов. Харьков: ОНТИ, 1938.

20. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от целых функций // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, сб. статей под ред. А.И.Маркушевича. М.:ГИФМЛ, I960. С.111-165.

21. Ахиезер Н.И., Томчук Ю.Я. К теории ортогональных многочленов на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.743-746.

22. Al-Raslied A.M., Zaheer N. Zeroes of Stiltjes and Van Vleck polynomials and applications //J. Mathem. Anal. Appl. 1985. V.110. P.327-339.

23. Al-Salam W.A. Characterization theorems for orthogonal polynomials // Orthogonal polynomials .-theory and practice (P.Nevai, Ed.). Dordrecht:Kluwer,1990. P.l-24.

24. Ambroladze A., Wallin H. Convergence of rational interpolants with preassigned poles // J. Approx. Theory. 1997. V.89. P.238-256.

25. Ambroladze A., Wallin H. Rational interpolants with preassigned poles, theory and practice // Complex Variables, Theory Appl. 1997. V.34. P.399-413.

26. Ambroladze A., Wallin H. Rational interpolants with preassigned poles, theoretical aspects // Stud. Math. 1999. V.132. P.l-14.

27. Antoulas A.C., Anderson B.D.O. A summary of recent results on the scalar rational interpolation problem // Proc. 25 IEEE Conf. Decis. Control. 1986. P.2187-2188.

28. Аптекарев А.И. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода // Матем. сб. 1984. Т.125(167). N2. С.231-258.

29. Aptekarev A.I., Branquinho A., Marcellan F. Toda-type differential equations for the recurrence coefficients of orthogonal polynomials and Freud transformation // J. Сотр. Appl. Math. 1997. V.78. P.139-160.

30. Аптекарев А.И., Буяров B.C., Дегеза И.С. Асимптотическое поведение ¿р-норм и энтропии общих ортогональных многочленов / / Матем. сборник. 1994. Т. 185. N8. С.3-30.

31. Аптекарев А.И., Буяров B.C., Ван Ассе В., Дегеза И.С. Асимптотика энтропийных интегралов для ортогональных многочленов // Докл. АН. 1996. Т.346. С.439-441.

32. Aptekarev A.I., Dehesa J.S., Yanez R.J. Spatial entropy of central potentials and strong asymptotics of orthogonal polynomials // J.Math. Phys. 1994. V.35. P.4423-4428.

33. Аптекарев А.И., Левитан Б.М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и теория ортогональных многочленов // В. кн. Никишин Е.М.Избранные вопросы математического анализа. (Докл. по ма-тем. и ее прилож.Т.З,Ш) М.-Тула, 1990. С.421-429.

34. Аптекарев А.И., Никишин Е.М. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. сборник. 1983. Т.121. N3. С.327-358.

35. Aptekarev A.I., Van Assche W. Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weight // J. Approxim. Theory. 2004. V.129. P. 129-166.

36. Арестов B.B. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 1980. Т.27. С.539-547.

37. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

38. Бадков В.М. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов // Успехи матем. наук. 1978. Т.ЗЗ. N4. С.51-106.

39. Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам // Труды МИАН. 1980. Т.145. С.20-62.

40. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов // Труды МИАН. 1983. Т.164. С.3-36.

41. Бернштейн С.Н. Об ограничении значений многочлена Рп(х) степени п на всем отрезке по его значениям в п + 1 точках отрезка // Собрание сочинений. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С.107-126.

42. Beirut J.-P. Rational functions for guaranteed and experimentally well-conditioned global interpolation // Comput. Math. Appl. 1988. V.15. P.l-16.

43. Berrut J.-P., Mittelmann H.D. Rational interpolation through the optimal attachement of poles to the interpolating polynomial // Numerical Algorithms. 2000. V.23. P.315-328.

44. Berry T.G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch. Math. 1990. V.55. P.259-266.

45. Bleher P., Its A. Double scaling limit in the random matrix model: the Riemann-Hilbert approach // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V.56. P.433-516.

46. Бобенко А.И., Кубенский Д.А. Качественный анализ и вычисления конечнозонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. Автоморф-ный подход // Теорет. мат. физ. 1987. Т.72. С. 352-360.

47. Bottcher A., Silbermann В. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. Berlin:Springer, 1999.

48. Богатырев А.Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышева на нескольких отрезках // Матем. сб. 1999. Т.190. N11. С.15-50.

49. Богатырев А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении // Матем. сб. 2002. Т.193. N12. С.21-41.

50. Bodin P., Villemoes L.F., Wahlberg В. Selection of best orthonormal rational basis // SIAM J. Control Optim. 2000. V.38. P.995-1032.

51. Boor C.de, Pinkus A. Proof of the conjectures of Bernstein and Erdos concerning the optimal nodes for polynomial interpolation // J. Approx. Theory. 1978. V.24. P.289-303.

52. Damanik D., Killip R., Simon B. Necessary and sufficient conditions in the spectral theory of Jacobi matrices and Schrödinger operators // xxx.lanl.gov arXiv:math.SP/0309206vl.

53. Damelin S.B. The weighted Lebesgue constant of Lagrange interpolation for exponential weights on —1,1] // Acta Math. Hung. 1998. V.81. P.223-240.

54. Данченко В.И. О разделении особенностей мероморфных функций // Матем. сб. 1984. Т.125. N2. С.181-198.

55. Данченко В.И. Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью // Матем. сб. 1996. Т.187. N10. С.33-52.

56. Darlington S. Analytical approximations to approximations in the Chebyshev sense // Bell System Techn. J. 1970. V.49. P.l-32.

57. Deift P. Orthogonal polynomials and random matrices: a RiemannHilbert approach. N.Y.:AMS, 2000.

58. Deift P., Kriecherbauer Т., McLaughlin K.T.R. New results on the equilibrium measure for logarithmic potentials in the presence of an extremal field // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.388-475.

59. Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sänchez-Ruiz J. Quantum information entropies and orthogonal polynomials //J. Comp. Appl. Math. 2001. V.133. P.23-46.

60. Dehesa J.S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V.N. Asymptotics of information entropies of some Toda-like potentials //J. Math. Phys. 2003. V.44. P. 36-47.

61. Dehesa J.S., Yänez R.J., Aptekarev A.I., Buyarov V. Strong asymptotics of Laguerre polynomials and information entropies oftwo-dimensional harmonic oscillator and one-dimensional Coulomb potentials // J. Math. Phys. 1998. V.39. P.3050-3060.

62. Deo N. Orthogonal polynomials and exact correlation functions for two cut random matrix models // Nuclear Phys. B. 1997. V.504. P.609-620.

63. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. 1991. V.95. P.-95.

64. Dette H., Studden W.J. On a new characterization of the classical orthogonal polynomials //J. Approx. Theory. 1992. V.71. P.3-17.

65. Dette H., Studden W.J. The theory of canonical moments with applications in statistics, probability, and analysis. N.Y.:Wiley, 1997.

66. Dimitrov D.K., Merlo C.A. Nonnegative trigonometric polynomils // Constr. Approx. 2002. V.18. P.117-143.

67. Dimitrov D.K., Van Assclie W. Lame differential equations and electrostatics // Proc. AMS. 2000. V.128. P.3621-3628. Erratum: Pre. AMS. 2003. V.131. P.2303.

68. Джрбашян M.M. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности с заданным множеством полюсов / / Докл. АН СССР. 1962. Т.147. С.1278-1281.

69. Джрбашян М.М. Ортогональные системы рациональных функций на круге // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1966. Т.1. С.3-24.

70. Джрбашян М.М. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1966. Т.1. С.106-125.

71. Djrbashian М.М. A survey on the theory of orthogonal systems and some open problems // Orthogonal Polynomials: Theory and Practice (P. Nevai, ed.). Boston: Kluwer, 1990. P.135-146.

72. Долженко Е.П. Оценки производных рациональных функций. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27. N1. С. 9-28.

73. Draux A. Polynômes orthogonaux formels applications. Berlin et al.:Springer, 1983.

74. Driscoll T.A., Toh K.-C., Trefethen L.N. From potential theory to matrix iterations in six steps // SIAM Rev. 1998. V.40. P.547-578.

75. Дубинин В.H. О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций. // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т.66. N 2. С.67-80.

76. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика,2001.

77. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы,I // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. М., 1985. С.179-284.

78. Dumas S. Sur le développement des fonctions elliptic en fractions continues // Zurich,1908.

79. Дзядык В.К. О теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (a propos одной проблемы С.М. Никольского) // Тр. МИАН. 1975. Т. 134. С.63-114.

80. Dzyadyk V.K. On a problem of Chebyshev and Markov // Analysis Math. 1977. V.3. N3. P.171-175.

81. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

82. Дзядык В.К., Иванов В.В. Об асимптотике и оценках равномерных норм интерполяционных многочленов Лагранжа по узлам Чебышева // Матем. сб. 1977. Т.104. С.337-351.

83. Embree M., Trefethen L.N. Green's functions for multiply connected domains via conformai mapping // SIAM Rev. 1999/ V.41. P.745-761.

84. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. R17-24.

85. Фадеев Н.П. О многочленах, ортогональных на нескольких отрезках // Уч. зап. Казан, пед. ин-та. 1970. Вып. 83. С. 151-162.

86. Фадеев Н.П. О дифференциальных уравнениях для некоторых ортогональных многочленов // Изв. ВУЗов. Матем. 1976. N5. С.99-103.

87. Falliero Т., Sebbar A. Capacite d'une union de trois intervalles et fonctions theta de genre 2 // J. Math. Pure Appl. 2001. V.80. P.409-443.

88. Филыптинский В.А. Степенная проблема моментов на всей оси при заданном конечном числе пустых интервалов в спектре // Зап. мех.-мат.ф-та Харьк. ун-та и Харьк. матем. об-ва. 1964. Т.30. С.186-200.

89. Fisher В., Golub G.H. On generating polynomials which are orthogonal over several intervals // Math. Сотр. 1991. V.56. P.711-730.

90. Flajolet P., Guillemin F. The formal theory of birth-and-death processes, lattice path combinatorics // Adv. Appl. Prob. 2000. V.32. P.750-778.

91. Форд JI.P. Автоморфные функции. Москва Ленинград: ОНТИ, 1936.

92. Fournier J.-D., Pindor М. Rational interpolation from stochastic data: a new Froissart's phenomenon // Reliable Computing. 2000. V.6. P.391-409.

93. Fuchs W.H.J. On the degree of Chebysliev approximation on sets with several components // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, Матем. 1978. Т.13. С.396-404.

94. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on sets with several components // Aspects of contemporary complex analysis. Durham, 1980. P.399-408.

95. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on several disjoint intervals // Complex approximation. Quebec, 1980. P.67-74.

96. Galluci M.A., Jones W.B. Rational approximations corresponding to Newton series (Newton-Padé approximants) // J. Approx. Theory. 1976. V.17. P.366-392.

97. Gardiner S.J., Pommerenke C. Balayage properties related to rational interpolation // Constr. Approxim. 2002. V.18. P.417-426.

98. Gautschi W. On some orthogonal polynomials of interest in theoretical chemistry // BIT. 1984. V.24. P.473-483.

99. Gautschi W., Golub G.H., Opfer G. (eds.) Applications and computation of orthogonal polynomials. Basel:Birkhauser, 1999.

100. Geronimo J. Scattering theory, orthogonal polynomials, and (/-series // SIAM J! Math. Anal. 1994. V.25. P.392-419.

101. Geronimo J., Case K. Scattering theory and polynomials orthogonal on the real line // Trans. AMS. 1980. V.258. P.467-494.

102. Geronimo J.S., Johnson R. Rotation numbers associated with difference equations satisfied by polynomials orthogonal on the unit circle // J. DifT. Eq. 1996. V.132. P. 140-178.

103. Geronimo J.S., Johnson R. An inverse problem associated with polynomials orthogonal on the unit circle // Comm. Math. Phys. 1998. V.193. P. 125-150.

104. Geronimo J.S., Teplyaev A. A difference equation arising from the trigonomtric moment problem having random reflection coefficients -an operator theoretic approach // J. Funct. Anal. 1994. V.123. P.12-45.

105. Geronimo J.S., Van Assche W. Orthogonal polynomials with asymptotically periodic recurrence coefficients // J. Approx. Theory. 1986. V.46. P.251-283.

106. Geronimo J.S., Van Assche W. Orthogonal polynomials on several intervals via a polynomial mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V.308. P.559-581.

107. Geronimo J.S., Van Assche W. Approximating the weight function for orthogonal polynomials on several intervals //J. Approx. Theory. 1991. V.65. P.341-371.

108. Геронимус Я.Л. О полиномах, ортогональных относительно данной числовой последовательности, и о теореме W.Hahn'a // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т.4. С.215-228.

109. Геронимус Я.Л. О полиномах, ортогональных на круге, о тригонометрической проблеме моментов и об ассоциированных с нею функциях типа Каратеодори и Шура // Матем. сб. 1944. Т.15(57). N1. С.99-130.

110. Геронимус Я.Л. Полиномы, ортогональные на круге, и их приложения // Зап. ин-та матем. и мех. и Харьковского мат. общ. 1948. Т.19. С.35-120.

111. Геронимус Я.Л. О некоторых уравнениях в конечных разностях и соответствующих системах ортогональных многочленов // Зап. Харьковск. мат. об-ва. 1957. Вып. 25. С.87-100.

112. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке (оценки, асимптотические формулы, ортогональные ряды). М.:Физматгиз, 1958.

113. Gersgorin S., Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Izv. Akad. Nauk S.S.S.R. 1931. Bd.6. S.749-754.

114. Гхашим M., Малоземов B.H. Эквивалентность в задачах наилучшей рациональной аппроксимации // Вестн. С.-Петербург. Унив. Мат. 1992. Т.25. N2. С.1-6.

115. Gilewicz J., Leopold Е. Zeros of polynomials and recurrence relations with periodic coefficients // J. Сотр. Appl. Math. 1999. V.107. P.241-255.

116. Golinskii L. Akhieser's orthogonal polynomials and Bernstein-Szego method for a circular arc // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.229-263.

117. Golinskii L., Lubinsky D.S., Neva! P. Large sieve estimates on arcs of a circle // J. Number Theory. 2001. V.91. P.206-229.

118. Golinskii L., Nevai P. Szego difference equations, transfer matrices and orthogonal polynomials on the unit circle // Commun. Math. Phys. 2001. V.223. P.223-259.

119. Гончар А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями // Докл. АН СССР. 1955. Т.100. С.205-208.

120. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучшей аппроксимации на замкнутых множествах // Докл. АН СССР. 1959. Т.128. С.25-28.

121. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С.347-356.

122. Гончар А.А. О задачах Е.И.Золотарева, связанных с рациональными функциями // Матем.сборник. 1969. T.78,N4. С.640-654.

123. Гончар А.А. О сходимости аппроксимаций Паде некоторых классов мероморфных функций // Матем. сборник. 1975. Т.97. С.607-629.

124. Гончар А.А. О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде мероморфных функций // Матем. сборник. 1975. Т.98. С. 564-577.

125. Гончар А.А., Лопес Г.Л. О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций // Матем. сборник. 1978. Т.105. С.512-524.

126. Горин Е.А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов // Вестн. Харьк. ун-та. 1980. N205. С.77-105.

127. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т.1. М.:Мир, 1982.

128. Гриншпун З.С. Ортогональные многочлены Бернштейна-Сегё. Алма-Ата: Гылым, 1992.

129. Grinshpun Z. On oscillatory properties of the Bernstein-Szego orthogonal polynomials //J. Math. Anal. Appl. 2002. V.272. P.349-361.

130. Griinbaum F.A. Variations on a theme of Heine and Stieltjes: an electrostatic interpretation of the zeros of certain polynomials //J. Сотр. Appl. Math. 1998. V.99. P. 189-194.

131. Gutknecht M.H. In what sense is the rational interpolation problem weH posed? // Consr. Approx. 1990. V.6. P.437-450.

132. Hahn W. Über die Jacobischen Polynome und zwei verwandte Polynomklassen // Math. Z. 1935. Bd.39. S.634-638.

133. Halphen G.H. Traité des fonctions elliptiques et leurs applications, torn. II. Paris: Gauthiere-Villars, 1888.

134. He M.X., Ricci P.E. Information entropy of orthogonal polynomials // Appl. Math. Comp. 2002. V.128. P.261-274.

135. Henry M.S., Swetits J.J. Lebesgue and strong unicity constants for Zolotareff polynomials // Rocky Mount. J. Math. 1982. V.12. P.547-556.

136. Hesthaven J.S. From electrostatics to almost optimal nodal sets for polynomial interpolation in a simplex // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V.35. P.655-676.

137. Imhof L.A., Studden W.J. E-optimal designs for rational models // Ann. Statist. 2001. V.29. P.763-783.

138. Ismail M.E.H. An electrostatics model for zeros of general orthogonal polynomials // Pacific J. Math. 2000. V.193. P.355-369.

139. Ismail M.E.H. More on electrostatics models for zeros of orthogonal polynomials // Numer. Funct. Anal. Optim. 2000. V.21. P.191-204.

140. Ismail M.E.H. Functional equations and electrostatic models for orthogonal polynomials. // Random matrices and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. P.225-244.

141. Jacobi C.G.J. Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques à l'algèbre // J. Reine Angew. Math. 1830. Bd.7. S.41-43.

142. Jiang H. On the orthogonality of residual polynmials of minimax polynomial preconditioning // Numer. Math. 1994. Bd.67. S.345-364.

143. Krall A.M. Orthogonal polynomials and ordinary differential equations // Topics in polynomials of one and several variables and their applications (Rassias Th.M., Srivastava H.M., Yanushauskas A., eds.). Singapore:World Sc. Publ.,1993. P.347-369.

144. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация многочленами в Lp -метрике на непересекающихся отрезках // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000. Т.270. С.175-200.

145. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Стильтьеса // Докл. АН СССР. 1952. Т.82. С.881-884.

146. Крейн М.Г., Красносельский М.А. Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме моментов // Успехи мат. наук. 1947. Т.2. N3. С.60-106.

147. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов и экстремальные задачи. М.,1973.

148. Крупицкий Э.И. Об одном классе полиномов, наименее уклоняющихся от нуля на двух интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.533-536.

149. Kubayi D.G. Bounds for weighted Lebesgue functions for exponential weights // J. Сотр. Appl. Math. 2001. V.133. P.429-443.

150. Lagomasino (Lopez) G. Survey on multipoint Pade approximation to Markov type meromorhic functions and asymptotic properties of the orthogonal polynomials generated by them // Lect. Notes Math. 1985. V.1171. P.309-316.

151. Bailly В., Thiran J.P. Optimum parameters for the generalized ADI method // Numer. Math. 1998. V.80. P.377-395.

152. Lebedev V.I. On the solution of inverse problems and trigonometric forms for the Geronimus polynomials. Application to the theory of iterative methods // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2000 V.15. P.73-93.

153. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4-е изд. М.: Физматлит, 2000.

154. Лебедев В.И. Об одной универсальной формуле для фазовых функций экстремальных ЧМБС многочленов родов 1-4 // Докл. РАН. 2003. Т.389. С.23-26.

155. Лебедев Н.А., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т.34. С.1340-1390.

156. Levin A.L., Lubinsky D.S. Orthogonal polynomials associated with exponential weights. N.Y.:Springer, 2001.

157. Левин М.Б. Оценка производной от мероморфной функции на границе области // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.24. Харьков:Изд-во ХГУ, 1975. С.68-85.

158. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.:Наука, 1984.

159. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию: самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1970.

160. Levy R. Generalized rational function approximation in finite intervals using Zolotarev functions // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1970. V.18. P.1052-1064.

161. Lorentz G.G., Golitschek M.v., Makovoz Y. Construtive approximation: advanced problems. Berlin: Springer, 1996.

162. Lubinsky D.S. Zeros of orthogonal and biorthogonal polynomials: some old, some new // Nonlinear numerical methods and rational approximation, II (A.Cuyt ed.). Dordrecht:Kluwer, 1994. P.3-15.

163. Малышев В.А. Клеточная структура пространства вещественных полиномов // Алгебра и анализ. 2003. Т.15. N2. С.40-127.

164. Марков А.А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.244-291.

165. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И.Менделеева // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.51-75.

166. Maroni P. Prolégomènes à l'étude des polynômes orthogonaux semi-classiques // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. V.4. P.165-184.

167. Mastroianni G., Occorsio D. Optimal systems of nodes for Lagrange interpolation on bounded intervals. A survey //J. Сотр. Appl. Math. 2001. V.134. P.325-341.

168. McKean H.P., van Moerbeke P. Hill and Toda curves // Comm. Pure Appl. Math. 1980. V.33. P.23-42.

169. Мейман H.H. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. С.257-260.

170. Мейман Н.Н. Решение основных задач теории полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля // Тр. Моск. Мат. об-ва. 1960. Т.9. С.507-535.

171. Межевич К.Г., Широков Н.А. Полиномиальная аппроксимация на непересекающихся отрезках // Проблемы матемтического анализа. 1998. Вып.18. С.118-138.

172. Межевич К.Г., Широков Н.А. Об одном классе функций на непересекающейся системе отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1999. Т.262. С.172-184.

173. Ninness В. Aspects of linear estimation in Hoo (/ Int. J. Control. 1999. V.72. P.1402-1416.

174. Ninness В., Hjalmarsson H., Gustafsson F. The fundamental role of general orthonormal bases in system identification // IEEE Trans. Automatic Conrol. 1999. V.44. P.1384-1406.

175. Ninness В., Hjalmarsson H., Gustafsson F. Generalized Fourier and Toeplitz results for rational orthonormal bases // SIAM J. Control Optim. 1998. V.38. P.429-460.

176. Нудельман А.А. Канонические решения проблемы моментов на нескольких интервалах // Матем. заметки. 1967. Т.1. С.435-442.

177. Nuttall J., Singh S.R. Orthogonal polynomials and Padé approximations associated with a system of arcs // J. Approx. Theory. 1977. V.21. P.l-42.

178. Олынанецкий M.A., Переломов A.M., Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский M.А. Интегрируемые системы,II // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.16. М.,1987. С.86-226.

179. Osilenker В.P. The representation of the reproducing kernel in orthogonal polynomials on several intervals // Lie groups and Lie algebras (Komrakov B.P. et al, eds.). DordrechtrKluwer, 1998. P.147-162.

180. Осиленкер Б.П. Асимптотика усредненного определителя Турана для полиномов, ортогональных на двух интервалах // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. М.: Моск. Гос. Строит. Ун-т, 1999. С.19-26.

181. Pakovich F. Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes liyperelliptiques // Ann. Inst. Fourier. 1998. V.48. P.323-351.

182. Pan К. On orthogonal systems of rational functions on the unit circle and polynomials orthogonal with respect to varying measures // J. Сотр. Appl. Math. 1993. V.47. P.313-322.

183. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.

184. Пастор A.B. Обобщенные полиномы Чебышева и уравнение Пелля-Абеля // Фундам. и прикл. матем. 2001. Т.7. N4. С.1123-1145.

185. Peherstorfer F. Orthogonal- and Chebyshev polynomials on two intervals // Acta Math. Hunger. 1990. V.55. P.245-278.

186. Peherstorfer F. On Bernstein Szegö orthogonal polynomials on several intervals // SIAM J. Math. Anal. 1990. V.21. P.461-482.

187. Peherstorfer F. On Bernstein Szegö orthogonal polynomials on several intervals,II: Orthogonal polynomials with periodic recurrence coefficients // J. Approx. Theory. 1991. V.64. P.23-161.

188. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // J. Comp. Appl. Math. 1993. V.48. P.187-205.

189. Peherstorfer F. Positive and orthogonal polynomials on several intervals // Suppl. Rend. Circ. mat. Palermo, Ser. 2. 1993. V.33. P.399-414.

190. Peherstorfer F. Elliptic orthogonal and extremal polynomials // Proc. London Math. Soc. 1995. V.70. P.605-624.

191. Peherstorfer F. Minimal polynomials on several intervals with respect to the maximum-norm a survey // Complex methods in approximation theory (eds. A.M.Finkelslitein et al.), Almería: Univ. Almería, 1997. P. 137-159.

192. Peherstorfer F. On Toda lattices and orthogonal polynomials // J. Comp. Appl. Math. 2001. V.133. P.519-534.

193. Peherstorfer F. Deformation of minimal polynomials and approximation of several intervals by an inverse polynomial mapping // J.Approxim. Theory. 2001. V.lll. P.180-195.

194. Peherstorfer F. Zeros of polynomials orthogonal on several intervals // Int. Math. Res. Not. 2003. V.7. P.361-385.

195. Peherstorfer F. On the zeros of orthogonal polynomials: elliptic case // Constr. Approx. 2004. V.20. P.377-397.

196. Peherstorfer F., Hölzl S. Einige Überlegungen zu den verallgemeinerten Tschebischeffpolynomen auf disjunkten Interwallen, Diplomarbeit. Linz,1991.

197. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation, I // Acta Math. Hungar. 1999. V.83. P.27-58.

198. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation, II // Acta Math. Hungar.1999. V.83. P.59-83.

199. Peherstorfer F., Steinbauer R. On polynomials orthogonal on several intervals // Ann. Num. Math. 1995. V.2. P.353-370.

200. Peherstorfer F., Steinbauer R. Perturbation of orthogonal polynomials on the unit circle a survey // Proc. Workshop Orthogonal Polynomials on the Unit Circle (M.Alfaro et al., eds.). Leganés: Universidad Carlos III, 1994. P.97-119.

201. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle,I // J. Approx. Theory. 1996. V.85. P.140-184.

202. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle, II.Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients // J. Approx. Theory. 1996. V.87. P.60-102.

203. Peherstorfer F., Steinbauer R. Comparative asymptotics for perturbed orthogonal polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V.384. P.1459-1486.

204. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on the circumference and arcs of the circumference //J. Approx. Theory. 2000. V.102. P.96-119.

205. Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SIAM J. Math. Anal.2000. V.32. P.385-402.

206. Peherstorfer F., Yuditskii P. Asymptotic behaviour of polynomials orthonormal on a homogeneous set //J. Anal. Math. 2003. V.89. P.113-154.

207. Пекарский А.А. Оценки производной интеграла типа Коши с ме-роморфной плотностью и их приложения // Матем. заметки. 1982. Т.31. С.389-402.

208. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

209. Петухов А.П. Об ужах и приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа // Analysis Matliem. 1985. V.ll. Р.55-73.

210. Pierre R. On explicit decomposition for positive polynomials on —1, +1] with applications to extremal problems // Can. J. Math. 1984. V.36. P.1031-1045.

211. Poorten A.J. van der, Tran X.C. Quasi-elliptic integrals and periodic continued fractions // Monatsh. Math. 2000. V.131. P.155-169.

212. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Кн.1,2. Саратов: изд-во СГУ, 1990.

213. Привалов А.А. Аналоги неравенства А.А.Маркова. Приложение к интерполированию и рядам Фурье // Тр. МИАН. 1983. Т.164. С.142-154.

214. Privalov I.I. Sur la convergence des series trigonometriques conjugeés // C. R. Acad. Se. Paris. 1916. V.162. P.123-126.

215. Привалов И.И. Интеграл Caucliy // Изв. Сарат. ун-та. Физ.-мат. ф-т. 1918. Вып.1. С.1-94.

216. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд. М.-Л.:Гостехиздат, 1950.

217. Пташицкий И.Л. Об интегрировании в конечном виде иррациональных дифференциалов. С.-Петербург, 1881.

218. Rahman Q.I., Schmeisser G. Les inégalités de Markoff et de Bernstein. Montréal: Presses Univ. Montréal, 1983.

219. Rovba E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadrature of Gauss-type // Math. Balk., New ser. 1999. V.13. P.187-198.

220. Русак B.H. О сходимости одного обобщенного интерполяционного полинома // Докл. АН БССР. 1962. Т.6. С.209-211.

221. Русак В.Н. Об оценках производных алгебраических дробей на конечном отрезке // Докл. АН БССР. 1976. Т.20. С.5-7.

222. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд-во БГУ, 1979.

223. SafFE.B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. Berlin et al.: Springer, 1997.

224. Schottki F., Uber eine spezielle Funktion,welche bei einer bestimmten linearen Transformation ungeandert bleibt // J.Reine Angew.Math. 1887. Bd.101. S.227-272.

225. Schoutens W. Stochastic processes and orthogonal polynomials. N.Y. ¡Springer,2000.

226. Sebbar A., Falliero Th. Capacities and Jacobi matrices // Proc. Edinb. Math. Soc. 2003. V.46. P.719-745.

227. Shen J., Strang G. The asymptotics of optimal (equiripple) filters // IEEE Trans. Signal Proces. 1999. V.47. P.1087-1098.

228. Shen J., Strang G., Wathen A.J. The potential theory of several intervals and its applications // Appl. Math. Optim. 2001. V.44. P.67-85.

229. Широков H.A. Аппроксимация многочленами на компактных множествах с дополнением бесконечной связности // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. N1. С.248-264.

230. Широков Н.А. Обратная теорема приближения на бесконечном множестве отрезков // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2002. Т.290. С. 168-176.

231. Simon В. The classical moment problem as a self-adjoint difference operator // Adv. Math. 1998. V.137. P.82-203.

232. Simon В. A new approach to inverse spectral theory, I. Fundamental formalism // Ann. Math. 1999. V.150. P.l-29.

233. Simon B. Orthogonal polynomials in the circle, I: the basics. To appear.

234. Shohat J.A., Tamarkin J.D. The problem of moments. Providence: AMS, 1943.

235. Скалыга В.И. Многомерные аналоги неравенств В.А.Маркова и С.Н.Бернштейна // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т.65. N6. С.129-172.

236. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Алгебраическое решение задач Е.И.Золотарева и Н.И.Ахиезера о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 56. Харьков: Изд-во ХГУ, 1991. С.56-64.

237. Содин М.Л., Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах вещественной оси // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. N2. С.1-62.

238. Sodin M.L., Yuditskiï P.M. Almost periodic Jacobi matrices with homogeneous spectrum, infinite dimensional Jacobi inversion, and Hardy spaces of character-automorpliic functions // J. Geom. Anal. 1997. V.7. P.387-435.

239. Stahl H. Conjectures around Baker-Gammel-Wills conjecture // Constr. Approx. 1997. V.13. P.287-292.

240. Stahl H. Diagonal Padé approximants to hyperelliptic functions // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. Spec. Issue. 1996. P. 121-193.

241. Stahl H. The convergence of Padé approximants to functions with branch points // J. Approx. Theory. 1997. V.91. P.139-204.

242. Stahl H., Totik V. General orthogonal polynomials. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 1992.

243. Volberg A., Yuditskii P. On the inverse scattering problem for Jacobi matrices with the spectrum on an interval, a finite system of intervals or a Cantor set of positive length // Commun. Math. Phys. 2002. V.226. P.567-605.

244. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.:ИЛ, 1961.

245. Weber Н. Ein Beitrage zu Poincare's Theorie der Fuchs'schen Funktionen // Gottingen Naclxr. 1886. N10. S.359-370.

246. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. Math. 1969. V.3. P. 127-232.

247. Yanez R.J., Van Assche W., Dehesa J.S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom // Phys. Rev. A. 1994. V.50. P.3065-3079.

248. Zhang J. Relative growth of linear iterations and orthogonal polynomials on several intervals // Lin. Alg. Appl. 1993. V.186. P.97-115.

249. Зингер М.Я. Элементы дифференциальной теории чебышевских приближений. М.: Наука, 1975.

250. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Полн. собр. соч. Т.2. М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1932. С.1-59.

251. Лукашов А.Л. О рациональных функциях с заданным знаменателем, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках // Теория функций и приближений. Тр. 4-й Сарат. зимней школы. (25 января 5 февраля 1988 г.) Саратов:Изд-во СГУ, 1990. 4.2. С.151-155.

252. Лукашов А.Л. Рациональные функции с заданным четным знаменателем, наименее уклоняющиеся от нуля на двух симметричных отрезках // Математика и ее приложения. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во СГУ, 1991. Вып.2. С.27-28.

253. Lukashov A.L. On Chebyshev polynomials over disjoint compact sets // Modern complex analysis and applications. Proc. Conf. Ded. ToJ.Korevaar. Univ. Amsterdam Math. Prepr. Series. 1993. Rep.93-25. P.lll-120.

254. Лукашов А.Л. О многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на системе отрезков // Теория функций и приближений. Тр. 5-й Са-рат. зимней школы. (25 января 4 февраля 1990 г.) Саратов: Изд-во СГУ, 1996. Вып. 2. С.131-137.

255. Лукашов А.Л. Рациональные интерполяционные процессы на двух отрезках // Известия ВУЗов. Матем. 1998. N5. С.35-42.

256. Лукашов А.Л. Алгебраические дроби Чебышева Маркова на нескольких отрезках // Analysis Mathem. 1998. V.24. P.lll-130.4111 Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov rational fractions over several intervals // J. Approx. Theory. 1998. V.95. P.333-352.

257. Лукашов А.Л. Точное решение одной задачи построения оптимального электрического фильтра // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Сб. научн. трудов. Вып.1. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.84-90.

258. Lukashov A.L., Peherstorfer F. Automorphic orthogonal and extremal polynomials // Can. J. Math. 2003. V.55. P.576-608.

259. Лукашов А.Л. Об информационной энтропии ортогональных многочленов на нескольких отрезках // Математика. Механика. Сб. научн. трудов. Вып.5. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.56-58.

260. Лукашов А.Л. Обобщение некоторых свойств классических ортогональных многочленов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Сб. научн. трудов. Вып.2. Саратов: Изд-во СГУ, 2003. С.128-137.

261. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т.68. N3. С.115-138.

262. Лукашов А.Л. Круговые параметры многочленов, ортогональных на нескольких дугах единичной окружности // Матем. сб. 2004. Т.195. N11. С.95-118.

263. Лукашов А.Л. Многочлены Чебышева на нескольких отрезках // Конструктивная теория функций. Тез. конф., поев. 70-летию проф. B.C. Виденского. С.-Петерб. 1992. С.39-40.

264. Лукашов А.Л. Многочлены наилучшего приближения функции 1/(ж — а) на нескольких отрезках // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тез. докл. межд. конф., поев. 90-летию акад. С.М.Никольского. М., 1995. С.180-181.

265. Лукашов А.Л. Обобщение многочленов Лагерра и Эрмита на случай двух промежутков // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 9-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 1997. С. 107.

266. Лукашов А.Л. Об одном обобщении классических ортогональных многочленов // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во СГУ, 1998. С.44.

267. Лукашов А.Л. Обобщения классических ортогональных многочленов на случай нескольких промежутков // Теория приближений и гармонический анализ. Тез. докл. межд. конф. Тула, 1998. С.164-165.

268. Лукашов А.Л. Оценки констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа на нескольких отрезках // Intern. Conf. On Approximation Theory and its Applications ded. to the mem. of V.K.Dzjadyk. Abstracts. Kyiv, 1999. P.51.

269. Лукашов A.Л. Многочлены, ортогональные на нескольких дугах // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 10-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 2000. С.83-84.

270. Лукашов А.Л. Круговые параметры многочленов, ортогональных на нескольких дугах единичной окружности // Теория приближения функций и операторов. Тез. докл. межд. конф., поев. 80-летию со дня рожд. С.Б.Стечкина. Екатеринбург, 2000. С.95-97.

271. Лукашов А.Л. Константы Лебега интерполяционных процессов Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // VIII Белорусская матем. конф. Тез. докл. Минск, 2000. 4.1. С.29.

272. Lukasliov A.L. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle and their applications // Intern. Conf. Harmonie analysis and approximations,II. Abstracts. Yerevan, 2001. P.45.