Точные неравенства для алгебраических многочленов на отрезке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Симонов, Иван Евгеньевич

• Симонов, Иван Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Симонов, Иван Евгеньевич

Оглавление

Введение

1° Обозначения и определения

2° Неравенства типа Маркова-Никольского и родственные

задачи

3° Основные результаты

Глава 1. Нормы линейных функционалов на пространстве полиномов фиксированного порядка

1° Норма линейного функционала на пространстве четных

тригонометрических полиномов

2° Норма линейного функционала на пространстве нечетных

тригонометрических полиномов

Глава 2. Неравенства типа Маркова—Никольского

1° Неравенство между равномерной нормой производной многочлена и интегральной нормой многочлена с весом Че-

бышева

2° Неравенство между равномерной нормой производной многочлена и интегральной нормой многочлена

3° Неравенство между Ьд-нормой п — 1 производной многочлена степени п и интегральной нормой многочлена

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные неравенства для алгебраических многочленов на отрезке»

Введение

В диссертации изучаются точные неравенства типа Маркова-Никольского на пространстве алгебраических многочленов на отрезке относительной равномерной нормы, интегральной нормы и интегральной нормы с чебышевским весом. Решается задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве тригонометрических полиномов или алгебраических многочленов фиксированного порядка с интегральной нормой по классу функционалов, коэффициенты которых ограниченны заданными неотрицательными числами.

1° Обозначения и определения

Т>п - пространство алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами

п к=О

I\Р\\р,а = \РШР(1 - /Р, и > 1, О <р< оо;

1И1оо,<т = таНРИК! - I2У, а 2 0; ЦРЦ«, = таре |Р(*)|; <€[-1,1] *б[-1,1]

\\Р\\р= ||-Р||о — ехр

Тп(г) = соз(т1 агссов £), £ 6 [—1,1] - многочлены Чебышева первого

рода.

rrsinnn +1) arceos t) r , TT .

1ЛД1) = -. -, t 6 —1,1 - многочлены Чебышева

второго рода.

Tm - пространство тригонометрических полиномов

т / т

G(9) = (<хк cos кв + рк sin кв) = Ш I ]Г ъeike

к=0 \к=О

1к = оск + ij3k, ак, fa 6 1, р0 = 0.

/•2тг

\\G\\l2„ = / |G(0)|d0. (1)

Jo

Ст - подпространство четных тригонометрических полиномов из

7гп

т

G{6) = ак cos(kQ), akeR. к=о

Sm - подпространство нечетных тригонометрических полиномов из

Тт

го

G(6) = ^2^ksm(k0)t /Зк£ R. fc=i

Пусть А = (aj.fc)" и С = (c¿fc)" - две вещественные матрицы размера п х п. Будем писать А ^ С, если a,jjk ^ Cjjk для всех j = 1,..., п и к = 1,..., п.

Будем писать А > 0, если > 0 для всех значений j = 1,..., п и к = 1,..., п.

Пусть А = (a,j¿)i есть комплексная матрица. Обозначим через А+ матрицу, которая получается, если все элементы матрицы А заменить их модулями: А+ = (\а^к \ )"•

Матрица А = (a¿fc)í называется разложимой, если при некотором разбиении всех индексов 1, 2, ..., п на две системы (без общих индексов)

¿i, .72, кък2,...,ки (fi + u = n)

выполняются равенства

%аЛэ = 0 (а = 1, 2, ..., /3 = 1,2,...,!/).

В противном случае матрицу А будем называть неразложимой.

р(А) - спектральный радиус матрицы А (максимум модулей собственных чисел матрицы).

(^(А) или |А| - определитель матрицы А. Еп - единичная матрица размера п х п.

2° Неравенства типа Маркова — Никольского и родственные задачи

На пространстве Т>п алгебраических многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами рассмотрим неравенство

\\р{%* < С%$М\\Р\\р*> РсРп, о^е^п, (2)

или, другими словами, задачу об оценке ¿/^-среднего производной порядка £ алгебраического многочлена через Ьр-среднее самого многочлена.

Неравенству (2) посвящено большое количество работ; хороший обзор результатов содержится в [44], [32], [48]. И. К. Даугавет, С. 3. Рафаль-сон [14], В. И. Иванов [16] и С. В. Конягин [18] установили порядок роста по п наилучшией константы в неравенстве (2):

пе, q < р, £ < 2а + 2/д -26- 2/р,

(1п(п + 1))1/9-!/рпе, д<р, е = 2а + 2^-28-2/р, п2е+2а+2/д~25~2/р^ во всех 0стаЛЬНЫХ СЛучаЯХ.

Точные значения £) известны лишь для некоторых д, р, сг,

6. Для д = р неравенство (2) известно как неравенство Маркова и впервые было установлено при — 1, д = р = оо, а = 6 = О

братьями A.A. и В.А. Марковыми [21,22]; экстремальным в этом случае является многочлен Чебышёва первого рода Тп. Б. Боянов [30] (см. также [31]) доказал, что многочлен Тп является экстремальным и для t — 1, q G [1, оо), р = оо, a = ó = Q. Случай р = q = 2 исследовали Е.Шмидт, Е.Хилле, Г.Сегё, Ю.Д.Тамаркин, Г.Милованович, П.Дорфлер, А. Кроо [34,38,40,44]. Для случая 0 ^ £ ^ п — 1, q = оо, р = 2, а = 0 точную константу нашел Г. Лабель [41] при 6 = 0, а затем А.Лупас [43] обобщил результат на все 8 ^ —1/2. П. Ю. Глазырина [9; 10] решила задачу для 1 ^ £ ^ п — 1, q G [0, оо], р = 0, а = 8 = 0.

При £ = 0 неравенство (2) называется неравенством разных метрик или неравенством Никольского и является аналогом неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов, установленного С. М. Никольским [46]. В. В. Арестов и М. В. Дейкалова [4,13,33] доказали, что для £ = 0, q = оо, 1 ^ р ^ оо, а = 0, 8 ^ 0 экстремальным многочленом в неравенстве Никольского является многочлен, наименее уклоняющийся от нуля в метрике Lp с весом Якоби <p(t) = (1 — t)(l — t2)5.

В случае i = п задача сводится к нахождению многочлена, наименее уклоняющегося от нуля в метрике || • H^j, с фиксированным старшим коэффициентом. Для р = оо, 8 = 0 это многочлен Чебышёва первого рода [28], для р = 2, 8 = 0 — многочлен Лежандра, для р = 1, 8 = 0 — многочлен Чебышёва второго рода. В последнем случае решение было найдено А. Н. Коркиным и Е. И. Золотарёвым [39]. При 1 ^ р ^ оо, 8 = —1/2, [19, следствие 2.9.4] таким многочленом является многочлен Чебышева первого рода.

Имеется большое число исследований, посвященных родственным (2) неравенствам для тригонометрических полиномов и рациональных функций. Такие неравенства изучали С. Н. Бернштейн, M. Riesz, G. Szegö, A. Zygmund, С. Б. Стечкин, А. Р. Calderón, G. Klein, Л. В. Тайков, P. Nevai, Э. А. Стороженко, В. Г. Кротов, П. Освальд, В. И. Иванов, С. В. Конягин, А.И.Козко, Q.I. Rahman, Н.П.Корнейчук, В.Ф. Бабенко, А.А.Лигун,

А. Л.Лукашов, А. Г. Бабенко, В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина и многие другие; см. монографии [19,32,44,48], [15, гл. 10], работы [1-3,5,16,17, 20,29,37,42,45] и приведенную там библиографию.

При д = оо, и = 0 неравенство (2) можно записать в виде

= (3)

и таким образом перейти к задаче определения максимума по ¿о £ 1,1] норм линейных функционалов = о) на пространстве Тп

с нормой || • ||Р)(5. Далее будет показано как при р — 1, 6 = 0 или 5 = 1/2 задача о норме линейного функционала на пространстве Тп сводится к задаче о норме линейного функционала на пространстве тригонометрических полиномов фиксированного порядка с интегральной нормой. Решение последней задачи найдено Я. Л. Геронимусом в работе [8] (см. теорему А ниже) и Н. И. Ахиезером и М. Г. Крейном [6, статья I, глава 3]. Родственные задачи на классе целых функций в круге рассмотрены в работах Г. М. Голузина [11,12].

3° Основные результаты

В диссертации основными являются следующие результаты. 1. Пусть заданы натуральное число га, неотрицательное целое число s, s ^ га. Зафиксируем набор из га + 1 неотрицательного числа

а* = (0,..., 0, a*m_s, ..., а*т), а%> 0, k^m-s, а*к = 0, k<m-s,

и рассмотрим связанный с ним класс

А = Аш(а*) = {а = (0,..., 0, am-s, • • •, ат) : \ак\ ^ а*к, к = 0,..., т}

упорядоченных наборов из т + 1 вещественного числа.

Найден максимум норм функционалов

т

Ф (С, а) = ^акак,

к=О

по классу А на пространстве Тт тригонометрических полиномов

m

<3(0) = ^ (ак cos кв + /Зк sin кв) к=О

порядка т с интегральной нормой (теорема 1).

При условии 0 ^ s ^ (2га — 1)/3, найден максимум норм функционалов

т

Ф(<3» = Ф(С,ш) =

к=1

по классу А на пространстве с интегральной нормой (теорема 2).

2. Доказано, что при 0 ^ t < п точная константа в

неравенстве

Halloo ^ р е (4)

равна норме функционала Ф(Р) = 1) на пространстве Vn алгебраических многочленов степени п с нормой || • ||i_i. (теорема 3).

Доказано, что при ^ i < п точная константа С^'1 (n, I) в неравенстве

И^Иоо^Со^^^ЦРЦь Pevn, (5)

равна норме функционала Ф(Р) на пространстве Vn с нормой || • ||i (теорема 4).

Нормы функционала Ф выписаны в терминах наибольших собственных чисел некоторых матриц, построенных по значениям производных многочленов Чебышева первого и второго рода соответственно.

Доказано, что равномерная норма £-тых производных экстремальных многочленов в неравенствах (4), (5) обязательно достигается на одном из концов отрезка [—1,1] и

3. Найдены точные константы и экстремальные многочлены в неравенствах (теорема 5)

И^-^И^^^п-^ЦРЦь РеГп, О^д^оо,

Короткая формулировка основных результатов диссертации

1. Решена задача о наибольшем значении нормы линейного функционала на пространстве четных тригонометрических полиномов фиксированного порядка с интегральной нормой, по классу функционалов, коэффициенты которых ограниченны заданными положительными числами. Аналогичная задача при некоторых дополнительных ограничениях решена для функционалов на пространстве нечетных тригонометрических полиномов.

2. В задаче о точной константе в неравенстве Маркова-Никольского для производной порядка I алгебраического многочлена степени п относительно равномерной нормы и интегральной нормы с чебышеским весом на отрезке [—1,1] получены следующие результаты. Доказано, что точная константа равна норме линейного функционала, ставящего в соответствие многочлену значение его £-ой производной на конце отрезка. Норма этого функционала и экстремальные многочлены выписаны в терминах наибольшего собственного числа и соответствующего ему собственного вектора матрицы, построенной по значениям ¿-тых прозвод-ных многочленов Чебышева первого рода на конце отрезка.

Аналогичные результаты при некоторых дополнительных ограничениях получены для неравенства относительно равномерной нормы и интегральной нормы (без веса).

3. Найдены точные константы и экстремальные многочлены в неравенстве Маркова-Никольского для производной порядка (п — 1) алгебраического многочлена степени п относительно ¿/^-метрики, д ^ 0, и интегральных норм без веса и с чебышевским весом на отрезке [—1,1].

Результаты диссертационной работы опубликованы в 2 журналах из списка ВАК [49,50], и в тезисах конференций [51-58].

Выражаю глубокую благодарность Виталию Владимировичу Аре-стову и Полине Юрьевне Глазыриной за постановку задачи и всестороннее внимание к работе.

Глава 1

Нормы линейных функционалов на пространстве полиномов фиксированного порядка

Обозначим через Тт пространство тригонометрических полиномов

т

G(6) = Ы cos кв + рк sin кв)

к=О

порядка не выше п с вещественными коэффициентами ак, (Зк. Набору

с = (со, • • •, Cm), Ск = ак + ibk, ак, Ък G К, Ь0 = О, из т + 1 комплексного числа сопоставим линейный функционал

то т

Ф(<3, с) = Ыак + ркЬк) = SR^7fcC¡fc, G G (1.1)

на пространстве 7^. В этой главе изучается норма Ф(-, с) как линейного функционала на пространстве Тт с интегральной нормой (1) при некоторых ограничениях на коэффициенты с.

Я. Л. Геронимус в 1938 г. получил выражение для нормы Ф(-,с). Сейчас мы введем необходимые обозначения, чтобы сформулировать результат Я. Л. Геронимуса. Это результат будет использоваться в дальнейшем.

Для Ь> |со|/ (47г) определим коэффициенты Цо(Ь), ^(Ь),..., /лт(Ь) разложения в степенной ряд в окрестности нуля функции

Скгк] > = + 1и{Ь)г+ ■ ■ ■ + 11т(Ь)гт + • - (1.2)

Для к = 0,..., га рассмотрим определители эрмитовых матриц порядка (2к + 2) х (2к + 2)

Ск+1(Ь,с) =

1 О

О

0

1

о о

О

0

1 о о

о

0

1 о

О

о

0

1

о

РкЩ /¿к-\{Ь)

о о

(1.3)

Теорема А (Я. Л. Геронимус, [8, теорема I, лемма II]). На множестве полиномов (3 ЕТт имеет место неравенство

|Ф(а,с)|^о№2)Г;

(1.4)

здесь Ьо является наибольшим корнем уравнения Ст+1 (Ь, с) = 0. Неравенство (1.4) точное, так что Ьо есть норма функционала ||Ф(-,с)||.

Если Ст+1 (Ь0,с) = Ст(Ь0,с) = • • • = Сг+1 (Ь0,с) = 0, Сг(Ь0,с) ф 0, то знак равенства имеет место только для полинома

СГ(в) = Щг~ги2(г))\т(г)[2, г = е*;

т(г) - произвольный многочлен степени не выше т—г, а многочлен и(г) степени г, все корни которого лежат в области \г\ < 1, находится из разложения

оо

где Рт+\(х) = Рк2к. При этом все корни полинома

к=т+1

д(в) = Щг~ги2(г)), г = е1в, вещественны и различны.

Нам также потребуется следующая лемма.

О

\^Сп1 0 ••• 0 у с коэффициентами Cjk ф 0, j + k ^ п + 1, неразложима.

Доказательство. Если п = 1, то утверждение очевидно. Для п > 2 воспользуемся критерием неразложимости матрицы [27, гл. VIII, § 1, теорема 8.11]: матрица А тогда и только тогда неразложима, когда (Е„ + А+)п-1 > 0. Если п = 2, то Еп + С+ > 0. Пусть п ^ 3. Достаточно доказать, что для некоторого 1 ^ т ^ п — 1

(En + С+)т > 0.

Нетрудно убедиться, что С+2 > 0, поэтому (Еп + С+)2 ^ С+2 > 0, что и требовалось доказать.

Лемма 1. Матрица

(

Си С12 С21 С22

1° Норма линейного функционала на пространстве четных тригонометрических полиномов

Пусть задано натуральное число га, целое число й, 0 ^ й < га, и упорядоченный набор из га + 1 неотрицательного числа

а* = (О,..., О, а*т_3, ..., а*т), а*к > 0, к ^ га - в, 4 = 0, к <т- б.

Рассмотрим связанный с а* класс

А = Ат(о*) = {а = (ао, ..., ат) : \ак\ ^ 4, /г = 0,..., га}

упорядоченных наборов изт+1 вещественного числа.

Рассмотрим задачу о максимуме норм функционалов Ф(-,а) по классу А:

max ||Ф(.,а)||.

аб А

(1.5)

Нетрудно показать, что норма Ф(-, a), a € А, на пространстве Тт обязательно достигается на четном полиноме, поэтому для задачи (1.5) имеют место равенства

ИЛ, м. |Ф(С>)1 |Ф(С?,а)|

max Фка = max max ,,' ..—— = max max -.

абА a$A GeTm \\G\\L^ aeA GeCm \\G\\l2v

Обозначим

N s+1(L,a*) =

Vm-i(L) !i*m_2{L) ••• 0

\tin-s(L) 0

0

(1.6)

где числа i(L), - • • ,/¿^(L) определяются из разложения

► = ti(L) + A(L)z + ... + Sm(L)zm + • • • (1.7)

m

Теорема 1. Для любого набора а = (ао, ..., ат), ак Е К, со свойством

\ак\ ^ а*к, к = т- s, т, (1.8)

и любого полинома G GTm \ {0} справедливо неравенство

где L* - наибольший корень уравнения det(Ns+i(L) — Es+i) = 0.

Более того, число 1 является наибольшим собственным числом матрицы Ns+i(L*), превосходит модули других собственных чисел Ns+i(L*), имеет алгебраическую кратность 1, ему соответствует собственный вектор h = (ho, h\,..., hs)T с положительными координатами.

Неравенство (1.9) обращается в равенство в том и только в том случае, когда для некоторых е 6 {—1,1} и v € {0,1} выполняются равенства

ak = (-l)uka*k, k = m-s, ..., m, (1.10)

и соответственно G(6)=ujG*(e + vir), где ифО,

s s т /..

G*(e) = Е Е № cos((m - з - w Е ak cos w '

j—0 к=0 fc=max{0,m-2s}

При этом все нули полинома G*(6) вещественны и коэффициенты полинома положительны:

al > 0, k = max{0, т — 2s},..., т. (1-12)

Доказательство.

1. По теореме А

\Ф(С,а)\^Ь0\\О\\ь^ (1.13)

где Ьо = Ьо(а) является наибольшим корнем уравнения

С(Ь,а) = Ст+1(Ь,а) = 0.

В этом пункте мы введем две вспомогательные матрицы, связанные с С(Ь, а), и исследуем их свойства. Итак, положим

' Ьцт(Ь, а) Ь[1т-1

М(Ь, а) =

М(Ь, а) =

О Ьцт-3(Ь,а)

\

Ьцт-3(Ь, а) О

О

/

ЬЦто)

о о

где числа ^т-3(Ь, а), (1т-3+1(Ь, а), • • • , 1лт(Ь, а) определяются из разложения

tg

4 Ь

ао 2

то

+ ^акгк

к=1

► = а)гт~3 + ■ • • + а)гт +

Отметим, что в этих обозначениях справедливы равенства цк{Ь) = 11к(Ь, а*) иМ(Ь, а*) = ЬЫ3+1(Ь).

Из свойств блочных матриц [7, гл. II, § 5, п. 3] для любого Ь > О имеет место равенство

Ь2з+2С{Ь, а) =

Ь Е М (Ь,а) ЩЬ,а)Т ЬВ

Ь2В-М{Ь,а)М(Ь,а)

где Е = Е5+1. Умножением легко проверяется равенство

т

М{Ь,а)М(Ь,а) =М {Ь,ау,

поэтому

Ь2з+2С(Ь,а) = \Ь2Е-М(Ь,а)2\ = \ЬЕ - М(Ь, а)\\ЬЕ + М(£, а)|. Аналогично, получаем равенства

Ь2з+2С(Ь,а*) = \Ь2Е-М(Ь,а*)2\ = \ЬЕ - М(Ь, а*)\\ЬЕ + М(Ь, а*)\.

(1.14)

Как известно, функция tg г имеет следующее разложение в ряд Тейлора [23, т. 1, гл. 3, § 7, (7.2:15)]:

оо

2М(2г* ~ 1) ..2к—1 _

к=1 4 '

00 п2к(г>2к 1\

_ -г ^ I Р? I ^ / 1

г =

к=2

I I ^

И < 2-

(1.15)

где Бгп - числа Бернулли. Поскольку все коэффициенты \В2к\22к(22к — 1)/(2к)\ положительны, то мы заключаем, что

tg

АЬ*

* тп а0 , V"*4 * Л

к=1

4 и

* тп

*!=1

к—О

причем щ ^ 0. А следовательно,

а

ц*к(Ь) = (лк(Ь, а*) ^ ^ > 0, к = т — б, ... ,т.

Из положительности ц*к(Ь) следует, что матрица (М(1/*,а*))2 положительна. Поэтому по теореме Перрона [7, гл. XIII, § 2, теорема 1] она имеет собственное число (Л*)2, Л* > 0, которое превосходит модули всех других собственных чисел и имеет алгебраическую кратность 1. Матрица М(1/*,а*) неотрицательна и по лемме 1 неразложима. Поэтому из равенства (1.14) и теоремы Фробениуса [7, гл. XIII, §2, теорема 2] следует, что Л* является собственным числом М(1/*, а*) кратности 1, превосходит модули всех других собственных чисел М(1/*,а*), и ему соответствует

собственный вектор h = (ho,..., hs)T с положительными координатами: hk > 0, к = 0,..., s.

Покажем, что Л* = L*. Из определения L* следует, что L* является собственным числом матрицы M(L*,a*), поэтому L* ^ Л*.

Предположим, что L* < А*. Из (1.7) и (1.15) все Lßk(L) монотонно не возрастают по L, поэтому М(А*,а*) ^ M(L*,a*) и по лемме [7, гл. XIII, § 2, лемма 2]

p(M(A>*))^p(M(L*,a*)).

Рассмотрим функцию

g(L) = p(M(L,a*)) - L.

Функция g(L) непрерывна, т. к. корни характеристического полинома являются непрерывными функциями его коэффициентов (см. [24, приложение I]; [25, гл. 1, задачи к главе 1, задача 1.7]). Имеем

g(L*) = p(M(L*, а*)) - L* = X* - L* > О,

д(Х*) = р(М(А*, а*)) - А* ^ p(M(L\ а*)) - А* = А* - А* = 0.

По теореме о промежуточном значении существует L, L* < L ^ X* такое, что g(L) = 0. Поэтому p(M(L, а*)) = L, а это противоречит тому, что L* наибольший корень уравнения det(M(L, а*) — LEs+i) = 0.

2. Установим неравенство (1.9), т.е. докажем, что Lq ^ L*. Предположим, что Lq > L*. Как уже было замечено Lfik(L) = Lß*k(L,a*) монотонно не возрастают по L, поэтому

Loßt(Lo) ^ L*A(L*)

или, что то же самое,

L0fik(L0,a*) ^ L*ßk(L*, а*).

Условие (1.8) и неотрицательность коэффициентов в разложении (1.15) влекут неравенства

\LoHk(Lo, а)\ < LQfik(L0,a*) ^ L*¡ik(L*, а*).

Поэтому по лемме [7, гл. XIII, § 2, лемма 2],

p(M(L0, а)) ^ p(M(L*, а*)). (1.16)

Осталось заметить, что в силу равенства

det(M(L0, а) ~ L0E) = О,

Lq есть собственное число матрицы M(Lo, а)> а значит, Lq ^ p(M(Lo, а)) и

Ь0 ^ p(M(L0,a)) < p(M(L*, а*)) = V.

Получили противоречие.

Таким образом, мы доказали, что Lq ^ L*, более того, если Lq = L*, то L0 = p(M(L0, а)).

3. Опишем те наборы а, для которых Lq = L*. В силу леммы [7, гл. XIII, § 2, лемма 2], равенство в (1.16) достигается только в том случае, когда

М (L0, а) = е* D M(L*, a*)D"\ (1.17)

где elip = Lo/L*, D = (djjk)sQ - комплексная диагональная матрица, у которой все диагональные элементы по модулю равны единице: djj =

dj> \djI =

Покажем, что в данном случае условие (1.17) эквивалентно тому, что для некоторых е €Е {—1,1} и г/ G {ОД} выполняются равенства

/¿fc(L0, a) = е(-1)"* /4(Г), Л = 0,.... т. (1.18)

Прежде всего нетрудно видеть, что если выполняется (1.18), то выполняется и (1.17) с е^ = е(-1)ит и dj = (-1 )vj.

Допустим теперь, что выполняется условие (1.17). Матрица M(Lq, а) -симметричная, поэтому все её характеристические числа вещественны. Значит отношение Lq/L* может равняться только 1 или —1. Пусть для определённости Lq/L* = 1. Приравнивая поэлементно матрицы в (1.17), получаем соотношения

/¿TO_fc(L0,a) = j = 0,...,s, к = j,..., s. (1.19)

dk-j

При j = 0 поделим друг на друга равенства (1.19) для кик—l, получится fim-k(Lo,a) _ dk-\ fim-(k-i)(Lo,a)

киси ~ <4 ÍCk*-!,^) '

Поделим друг на друга равенства (1.19) при j = 1 и j = 0:

di _ dk-1 , _ — — —• , к — i,...,s. tío tífc

Сравнивая последние два выражения, находим, что f-Lm—k (L0, a) di /¿m_(fc_i)(L0,a)

fc = 1,..., s.

Все fj,j(Lo,a) и itf¡{L*) вещественны, поэтому di/do € {—1,1}. Отсюда легко следует (1.18) ce = doellf и v = 0 при di/do = 1, и = 1 при di/d0 = -1.

Аналогичные рассуждения справедливы и при Lq/L* = —1.

Итак, Lo = L* в том и только в том случае, когда набор /i(Lo, а) удовлетворяет условиям (1.18).

Далее, нетрудно понять, что при у = 0 равенства (1.18) выполняются только когда а = еа*. При v = 1 равенства (1.18) выполняются только когда а = еа, где = (—1)как, к — т — s, ..., т. Таким образом, для набора а выполняются равенства (1.18) тогда и только тогда, когда для а выполняются равенства (1.10).

4. Докажем, что Cm(L*,a*) ф 0. Рассмотрим набор

а = (0, • • • , 0, , а*т_ъ 0)

и соответствующий ему функционал

тп—1

Ф{G,a)= ак4.

k=m—s

Пусть Lo(a) есть норма Ф(-,а) на пространстве Tm, a Li(a) есть норма Ф(-, а) на пространстве Tm~i, т.е.

La(a) = cSL TGiilT' Ы:-) = max, -pj—.

Вектор а не удовлетворяет условию (1.10), поэтому

L0{a) < L\

кроме того 1/1 (а) ^ Lo(a). Поэтому L\{a) < L*. По теореме А Ь\{а) есть наибольший корень уравнения Cm(L,a*) = 0. Отсюда следует, что Gm(L*, а*) ф 0.

5. Докажем соотношения (1.11). Рассмотрим случай а = а*. Поскольку Cm(L*,a*) Ф 0, то по теореме А при а = а* экстремальный многочлен в неравенстве (1.13) единственный с точностью до числового множителя и равен

G*{0) = №(u2(z)z-m) , г = е*, (1.20)

где u(z) - многочлен степени m, определяемый из разложения

= + A(is)z + • • • + tCWz* + • • •, и < i. (i.2i)

zmu (1 /z)

Покажем, что многочлен

u(z) = zm~s{hs + ha-iz + • • • + h0zs) (1.22)

удовлетворяет разложению (1.21). На единичной окружности г = егг справедливо равенство

гти( 1/г) = к0 + Кхг + • • • + кагв.

Умножим обе части (1.21) на знаменатель левой части, получим

гт~3(Н3 + + • • • + Ног3) = (Л0 + Ыг + • • • + к3г3) х х (»*т_3(Ь*)гт~3 + ^3+1(Ь*)гт~3+1 + • • • + »*т(Ь*)гт + •••)•

Поскольку Н является собственным вектором М(Ь*, а*), то справедливы равенства

ГЛо = 0 + Ь^^ь*)^ + • • • + Ь*1л*т_3(Ь*)!г3,

= + +... +

L*hs = L* fi*m_s(L*)ho.

Если поделить все равенства на L*, то легко увидеть, что левая и правая части к-то равенства, совпадают с коэффициентами при zm~k соответственно левой и правой частей (1.23) для всех к = 0, ..., s. Таким образом, справедливость разложения (1.21) установлена. Подставляя (1.22) в (1.20), получаем

/ s s

G*(6) = 5ft I J2 hjhke(m-j-k№ \j=0 £=0

s s тп

= ^2^2 hjhk cos((m -j- к)в) = <4 cos (кв). j=о fc=0 k=0

Рассуждая аналогичным образом при a = а, мы заключаем, что в этом случае единственный с точностью до числового множителя экстремальный многочлен в неравенстве (1.13) есть

тп

д(в) = ]T(-l)fcc4 cos (кв) = G*(e + 7г). к=0

В силу п. 3 других экстремальных наборов а, а значит, и экстремальных многочленов нет. Соотношения (1.11), а вместе с ними и теорема 1, доказаны.

Из доказанной теоремы нетрудно получить аналогичный результат для функционалов на пространстве Тп алгебраических многочленов с нормой

Пусть задан набор а = (ао, ..., ап) из п + 1 вещественного числа. На пространстве Рп рассмотрим функционал

п

(1-24)

к=0

где Тк суть коэффициенты разложения многочлена Р по многочленам Чебышева первого рода:

п к=О

Следствие 1. Пусть задано целое число в, 0 ^ в ^ п, и упорядоченный набор из п + 1 неотрицательного числа

а* = (0,..., 0, а*п_8, <), а*к > 0, к = п - в, ..., п.

Тогда для любого набора а = (0,..., 0, ап_5, ..., ап), ак Е К, со свойством

\ак\ < к = п — в, ..., п, и любого многочлена Р ЕРп справедливо неравенство

где Ь* - наибольший корень уравнения с1е1; (N5+1(1/, а*) — Е5+1) = 0.

Неравенство (1.25) обращается в равенство в том и только в том случае, когда для некоторых е £ {—1,1} и V е {0,1} выполняются равенства ак = (—1)ика*к, к = т — в, ..., т, и соответственно

P(t) = LuP*((—l)vt), где ифО,

n—s n—s

р*(£)= Е Е ьмцпч-Ф) = Е т1Т&)>

j=о А:=0 fc=max{0,2s-n}

(1.26)

где h = (ho, hi,..., hs)T - собственный вектор матрицы Ns+i(L*, а*), соответствующий собственному числу 1. При этом все нули многочлена P*(t) принадлежат отрезку [—1,1] и все коэффициенты положительны:

т£ > 0, к = max{0,2s - п},... ,п. (1.27)

Доказательство. Многочлену

п

поставим в соответствие четный тригонометрический полином

т

G{9) = ^ ак cos(кв), ак = тк, тп = п. (1.28)

к=0

Заметим, что Ф(Р, а) = Ф(G, а), а знаменатель (1.25) с помощью замены в = arccos t преобразуем к виду

||P||l,-l/2 =

-i С

"4Л

cos(A; arccos t)

ETfc

fc=о

то

У] ak cos(кв)

dt =

k=0

Тогда, применяя теорему 1, получим

|Ф(Р,а)| _ MG,a)\ ll^lk-1/2 \\G\\i^

£ AL*

(1.29)

При этом полиному G*{6) по формуле (1.28) соответствует многочлен

P*(t) = J2a*kTk(t),

к=О

полиному G*(0 + 7г) соответствует многочлен P*(—t). При этом из теоремы 1 все корни полинома G*(9) вещественны, поэтому все корни многочлена P*(t) принадлежат отрезку [—1,1].

2° Норма линейного функционала на пространстве нечетных тригонометрических полиномов

Пусть заданы натуральные числа т и s, s ^ m, и упорядоченный набор из т + 1 неотрицательного числа

Ъ* = (0,..., 0, b*m_s, ..., Ъ*т), Ь*к > 0, к ^ т - s, Ъ% = 0, к < т - s.

Рассмотрим связанный с Ь* класс

В = Шт{Ъ*) = {Ъ = (Ьо, Ът) : |Ьк\^Ь*к, к = 0,...,т}

упорядоченных наборов из т + 1 вещественного числа.

Рассмотрим задачу о максимуме норм функционалов Ф(-,ib) по классу В:

тах||Ф(-,г&)||. (1.30)

Нетрудно показать, что норма Ф(-,гЬ), b G В, на пространстве Тт обязательно достигается на нечетном полиноме, поэтому для задачи (1.30) имеют место равенства

цЛ/ MG,ib)\ |Ф(С,ъЬ)\ max Ф(-,го) = max max ' ,,—— = max max -.

— ЬеВ GeTm \\G\\l2v bei GeSm \\G\\l2v

Обозначим

(

В* = В5+1(6*) =

Ъ* Ъ* 1

т т—1

Ь* Ь*

7п—1 °т-2

• ь*

• О

\Ъ*т-е 0 0 у

Теорема 2. Пусть

2т-I

Тогда для любого набора Ъ = (Ьо, • • • 5 Ьт), Ьк € М, со свойством

\Ьк\^Ь*к, к = О, ..., т, (1.31)

и любого полинома (7 ЕТт \ {0} справедливо неравенство

Чй?"-'

где А* = АЬ* - наибольшее собственное число матрицы В*.

Более того, Л* превосходит модули всех других собственных чисел В*, имеет алгебраическую кратность 1, ему соответствует собственный вектор к = (Но, Н\,..., Н3)Т с положительными координатами.

Неравенство (1.9) обращается в равенство в том и только в том случае, когда для некоторых е € {—1,1} и и б {0,1} выполняются равенства

Н = £(—1 ТкЬ*к1 к = т — в, ..., т, и соответственно

в(е)=иС*(в + ртг), и ф О,

3 3

тп

= Е Е -1 - ВД = Е ^

.7=0 к=0 £=0

(1.33)

При этом все нули полинома О* (в) вещественны и старшие в + 1 коэффициентов полинома положительны:

Р1> 0, к = т — в,... ,т

(1.34)

Доказательство.

1. По теореме А

о,

ть.

где Ьо является наибольшим корнем уравнения

(1.35)

Из условия й ^

С(Ь,гЬ) = Ст+1(Ь,Щ = 0. 2т- 1

т

следует неравенство т — в > —. При этом о, . о

условии из формулы (1.15) следует представление

48 <41

Таким образом,

т

^2

.к—тп—э

оо

. т

- Е ттг'+ Е

к=тп—з

к=тп+1

1-1к(Ь) = к = т - в,...

Обозначим Л = 4£,

В =

IЬ Ь 1 • • • ь ^

итп итп— 1 ит—в

&т-1 &т-2

V

'т—в

О

о

о

/

в =

'т

О Ьт-3 •• ■ ъ

'т-1

V

о о

Ьщ—З

/

Из свойств блочных матриц [7, гл. И, § 5, п. 3] для любого Л > О имеет место равенство

Л25+2С(Л,а) =

ЛЕ -гВ гВт ЛЕ

Л2 Е - ВВ

т

Е = Е

■в+1-

Умножением легко проверяется равенство ВВТ = В2, поэтому

Л2а+2С(Л,а) = |А2Е-В2| = |АЕ — ВЦАЕ + В|. (1.36)

Аналогично, получаем равенства

А2з+2С(А, а) = |А2 Е - В*2| = |АЕ - В*|АЕ + В*|. (1.37)

Рассуждая аналогично пункту 1 доказательства теоремы 1, приходим к тому, что Ь* ^ Ь0. При этом А* = 4Ь* есть собственное число матрицы В*, имеет алгебраическую кратность 1, превосходит модули всех других собственных чисел матрицы В*, и ему соответствует собственный вектор И = (Но, Н\,..., /г3)т с положительными координатами. Знак равенства Ь* = Ьо возможен только в случае, когда Ъ = еЬ* или Ь = еЪ, где Ьк = (-1)кЬк, е е {-1,1}. При этом Ст(Ь*, г&*) Ф 0.

2. Докажем соотношения (1.33). Рассмотрим случай Ь = Ь*. По теореме А экстремальный многочлен в неравенстве (1.9) с точностью до числового множителя равен

в*(в) = & (и2(г)г-т) , г = е1е, (1.38)

где и(х) - многочлен степени т, определяемый из разложения

= ^ + Ъ*т_3+1гт~*+1 + ••• + + ..•), кК 1.

гти( 1/г) А

Умножим обе части на А*гти (1/^) и перепишем последнее соотношение в виде

А*и(г) = (6^ + Ъ*т_3+1г + • • • + Ь^ + •••), И < 1.

(1.39)

Покажем, что многочлен

и(г) = (1 - г)гт~8(Н3 + IX + • • • + Н0г8)

(1.40)

удовлетворяет разложению (1.39). Поскольку

-гЛ (1/г) = (1 - г)(/го + Нгг + • • • + М5),

то нужно проверить, что многочлены \*{Н3 + к3-\г 4- • • • + Йог8) и

(Ло + М + ■ • ■ + Кг3)(Ъ*т_3гт-° + Ь*т_8+1гт-°+1 + • • • + Ь*ттГ)

имеют одинаковые коэффициенты при гк для к = 0,...,т. е. нужно проверить выполнение равенств

А*Ло = Ь*тНо + Ь*т_Н-----Ь 6о/гт_5,

= ¿4-1^0 + С-2^1 + ' • • + &т-Л-Ь

= bm~sh0-

Но эти равенства как раз и означают, что h является собственным вектором В*. Таким образом, справедливость разложения (1.39) для многочлена (1.40) установлена.

Подставляя (1.40) в (1.38), получаем

/ s s

G*(0) = sft -2г Y, J2 hjhkei{-m-j-W

\ j=0 k=0 s s m

=2 E J2 hihk sin((m -i- = яsin w ■

j=o k=0 k=0

В силу условия s ^ (2m — l)/3 при этом для к = m — s,... ,m

к

Pm-k — ^ ^^ hjhk-j, k = 0, (1.41)

j=0

Рассуждая аналогичным образом при 6 = 6, мы заключаем, что в этом случае единственный с точностью до числового множителя экстремальный многочлен в неравенстве (1.35) есть

т

G(0) = Et-1)*^sin м = +

k=0

Как уже было замечено, других экстремальных наборов Ь, а значит, и экстремальных многочленов нет. Соотношения (1.33), а вместе с ними и теорема 2, доказаны.

Из доказанной теоремы нетрудно получить аналогичный результат для функционалов на пространстве Рп алгебраических многочленов с нормой

Пусть задан набор Ъ = (Ьо, • • -, Ьп) из п + 1 вещественного числа. На пространстве Тп рассмотрим функционал

71

= РеГп, (1.42)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Симонов, Иван Евгеньевич, 2014 год

Список литературы

[1] Арестов В. В. О неравенствах С. Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289-1292.

[2] Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. Т. 45, № 1. С. 3-22.

[3] Арестов В. В. Точные неравенства для тригонометрических полиномов относительно интегральных функционалов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 1-16.

[4] Арестов В. В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 34-47.

[5] Арестов В. В., Глазырина П. Ю. Интегральные неравенства для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 6. С. 727-731.

[6] Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГОНТИ. 1938. 257 с.

[7] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физмалит. 2010. 576 с.

[8] Геронимус Я. Л. Об одной экстремальной задаче Чебышева // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2, вып. 4. С. 445-456.

[9] Глазырина П.Ю. Неравенство братьев Марковых в пространстве Ьо на отрезке // Мат. заметки. 2005. Т. 78, вып. 1. С. 59-65.

[10] Глазырина П.Ю. Точное неравенство Маркова-Никольского для алгебраических многочленов в пространствах Ьд, Ьо на отрезке // Мат. заметки. 2008. Т. 84, вып. 1. С. 3-22.

[И] Голузин Г.М. О задаче Каратеодори-Фейера и об одной аналогичной задаче // Математический сборник. 1946. Т. 18 (60), №2. С. 213-226.

[12] Голузин Г.М. Оценки для аналитических функций с ограниченным средним модулем // Труды матем. ин-та им. В. А.Стеклова. 1946. Т. 18. С. 1-87.

[13] Дейкалова М. В. О точном неравенстве Джексона-Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 1. С. 122-134.

[14] Даугавет И. К., Рафальсон С. 3. Некоторые неравенства типа Маркова-Никольского для алгебраических многочленов // Вестник Ленинградского университета. 1972. вып. 1. С. 15-25.

[15] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.

[16] Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических многочленов и их производных в разных метриках // Матем. заметки. 1975. Т. 18, вып. 4. С. 489-498.

[17] Иванов В. И. Некоторые экстремальные свойства полиномов и обратные неравенства теории приближения // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 79-110.

[18] Конягин C.B. Оценки производных от многочленов // Доклады Академии наук СССР. 1978. Т. 243, вып. 5. С. 1116-1118.

[19] Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. К: Наукова думка. 1992. 304 с.

[20] Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, вып. 3. С. 115-138.

[21] Марков A.A. Об одном вопросе Д. И. Менделеева // Зап. Имп. акад. наук. СПб. 1889. Т. 62. С. 1-24.

[22] Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб. 1892. 110 с.

[23] Маркушевич А. И.Теория аналитических функций. Спб: Лань. 2009. Т. 1: Начала теории. 496 с.

[24] Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ. 1963. 349 С.

[25] Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО. 2003. 336 с.

[26] Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. М.: Гос. изд-во иностр. лит. 1948. 456 с.

[27] Цехан О. Б Матричный анализ. М.: Форум. 2010. 372 с.

[28] Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Полн. собр. соч.: в 5 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1947. Т. 2: Математический анализ. С. 23-51.

[29] Arestov V. V., Glazyrina P. Yu. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials // J. Approx. Theory. 2012. Vol. 164, no. 11. P. 1501-1512.

[30] Bojanov В. An extension of the Markov inequality // J. Approx. Theory. 1982. Vol. 35, no. 2. P. 181-190.

[31] Bojanov B. Markov-type inequalities for polynomials and splines // Proc. Tenth Approx. Theory Conf. Innov. Appl. Math. Nashville TN: Vanderbilt Univ. Press. 2002. P. 31-90.

[32] Borwein P., Erdélyi T. Polynomials and polynomial inequalities. New York: Springer-Verlag. 1995. 496 p.

[33] Deikalova M. V. Sharp Nikol'skii inequality for algebraic polynomials on an interval and on a sphere // "Constructive Functions 2014", Book of abstract. P. 15-16.

[34] Dörfler P. New inequalities of Markov type // SI AM J. Math. Anal. 1987. Vol. 18. P. 490-494.

[35] Geronimus J. Sur quelques propriétés extrémales de polynomes dont les coefficients premiers sont donnés // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 4. 1935. Т. 12. С. 49-58.

[36] Geronimus J. Sur quelques inégalités pour les polynomes dont les premiers coefficients sont donnés // C. R. Acad. Sei., Paris. 1935. T. 200. V. 1513-1514.

[37] Glazyrina P. Yu. Necessary conditions for metrics in integral Bernstein-type inequalities // J. Approx. Theory 162 (6) (2010) 12041210.

[38] Hille E., Szegö G., Tamarkin J.D. On some generalizations of a theorem of A. Markoff // Duke Math. J. 1937. Vol. 3. P. 729-739.

[39] Korkine A., ZolotarefF G. Sur un certain minimum // КоркинА. H. Сочинения. T. 1. СПб.: С.-Петерб. ун-т. 1911. С. 329-349.

[40] Кгоб A. On the exact constant in the L2 Markov inequality // J. Approx. Theory. 2008. Vol. 151, no. 2. P. 208-211.

[41] Labelle G. Concerning polynomials on the unit interval // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 20. P. 321-326.

[42] Lukashov A., Tyshkevich S. On trigonometric polynomials deviating least from zero on an interval // J. Approx. Theory. 2013. Vol. 168. P. 1832.

[43] Lupas A. An inequality for polynomials // Univ. Beograd. Publ. Electrotehn. Fak. Sep. Mat. Fiz. 1974. Vol. 461-497. P. 241-243.

[44] Milovanovic G.V., Mitrinovic D. S., Rassias Th. M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific. 1994. 821 p.

[45] Mate A., Nevai P. G. Bernstein's inequality in Lp for 0 < p < 1 and (С, 1) bounds for orthogonal polynomials// Ann. Math. 2nd Ser. Ill (1980), no. 1, 145- 154.

[46] Nikolski S. M. Inequalities for entire functions of finite degree and their application in the theory of differentiable functions of several variables // Trudy Mat. Inst. Steklov. 1951. Vol 38. P. 244-278.

[47] Pehersorfer F. Trigonometric Polynomial Approximation in the Li-norm // Math. Z, Vol. 169. 1979. P. 261-269.

[48] Rahman Q.I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials. Oxford: Oxford Univ. Press. 2002. 742 p.

Работы автора по теме диссертации

[49] Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в про-

странствах Lp, L\ на отрезке // Труды института математики и механики УРО РАН. 2011. Том 17, № 3. С. 282-290.

[50] Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Loo, Li на отрезке // Математические заметки. 2013. Том 93, выпуск 4. С. 604-613.

[51] Simonov I. Е. A sharp Markov -Nikolski type inequality in the spaces Loo and Li with Chebyshev weight // Abstract of the talks, International Conf. "Constructive theory of function", Sofia Univ, 2013. P. 40-41.

[52] Симонов И. E. Точное неравенство Маркова-Никольского в пространствах Loo, Li на отрезке // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Международ, конф., посвящен, памяти В. К. Иванова, Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С. 72-73.

[53] Симонов И. Е. О неравенстве Маркова-Никольского для пары пространств Lqo, L\ на отрезке // XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», VII Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», Междисциплинарный семинар «Фундаментальные проблемы информационных и коммуникационных технологий». Тезисы докладов. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2012. С. 123-124.

[54] Симонов И. Е. Об одной задаче Геронимуса для тригонометрических полиномов // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 75-77.

[55] Симонов И. Е. Об одном результате Геронимуса для норм линейных функционалов на множестве тригонометрических полиномов // Тезисы докладов 17-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2014. С. 250-252.

[56] Симонов И. Е. Неравенство Маркова-Никольского для алгебраических многочленов в пространствах L^, L\ с ультрасферическим весом // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2013. С. 292295.

[57] Симонов И. Е. Точная константа в неравенстве Маркова-Никольского для пары пространств L00, Ь\ на отрезке // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 261-263.

[58] Симонов И. Е. О точном неравенстве типа братьев Марковых // Современные проблемы математики: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, Екатеринбург, 30 января - 6 февраля 2011 г. Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2011. С. 145-147.