Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Алексеев, Дмитрий Владимирович

• Алексеев, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеев, Дмитрий Владимирович

1 Введение

2 Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси.

2.1 Основные определения и обозначения.

2.2 Эквивалентность К-функционала и обобщенного модуля гладкости.

2.3 Прямые и обратные теоремы.

3 Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита.

3.1 Определения. Основные результаты.

3.2 Доказательство теоремы 3.1.1.

3.3 Приближение "углом'и "прямоугольником".

3.4 Доказательство теоремы 3.1.2.

3.5 Обратная теорема.

4 Неравенства для норм многочленов.

4.1 Неравенства разных метрик.

4.2 Неравенства разных измерений.

Классы функций Н,В и теоремы вложения.

5.1 Классы функций Н и эквивалентные нормы.

5.2 Классы В и эквивалентные нормы.

5.3 Теорема вложения разных метрик.

5.4 След функции и теорема вложения разных измерений.

5.5 Обратная теорема вложения разных измерений.

5.6 Компактность вложения классов Щ^Ж171).

Приближение функций гиперболическим углом.

6.1 Основные определения и результаты.

6.2 Доказательства теорем 6.1.1-6.1.3.

Оценка поперечников классов функций с доминирующей смешанной производной.

7.1 Основные определения и результаты.

7.2 Доказательство теорем 7.1.1-7.1.2.

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита»

Понятие наилучшего приближения ввёл П. Л. Чебышев ([70]) в 1854 г. Он рассматривал задачу о нахождении полинома Рп(х) заданной степени п такого, что разность наименее уклоняется от нуля на заданном отрезке. Им же было впервые введено расстояние между функциями как максимум модуля разности.

Согласно его определения

Еп (/) С = En{f)c[a,b} = Hlin II/ - Рп I levari. Л. Чебышев исследовал задачу о нахождении наилучшего приближения для данной /.

Позднее, наряду с классическими постановками, возникли задачи о выяснении соотношений между структурными свойствами функций и порядком их приближения алгебраическими полиномами. В этих работах, с одной стороны, находится скорость стремления к нулю наилучших приближений при тех или иных условиях на функцию. Такие результаты получили впоследствии название прямых теорем теории аппроксимации.

С другой стороны, исследуются свойства функции по последовательности её наилучших приближений. Такие результаты получили название обратных теорем.

Уже в первых работах этой серии, Ш. Ж. Валле-Пуссеном [77] и А. Лебегом [73] были получены результаты, показывающие связь дифференциальных свойств функций и скорости стремления к нулю последовательности их наилучших приближений.

Впоследствии, Д. Джексон ([71], [72]) получил прямые теоремы о приближении непрерывных функций на конечном отрезке действительной оси, а именно: если функция f(x) непрерывна на отрезке [—1,1] и имеет ограниченную производную f^(x) порядка г, то найдутся такие алгебраические полиномы Рпх(ж) степени не выше п — 1, что при всех х € [-1,1] имеют место неравества где положительная постоянная Сг зависит только от г, a uj(f^,S) является модулем непрерывности функции f(x) на отрезке [—1,1], то есть

Почти одновременно с ним С. Н. Берштейн [12] доказал обратную теорему при помощи неравенства для модуля производной алгебраического полинома. Суть её состоит в следующем: пусть f(x) <Е С([— 1,1]) и пусть En(f) — наилучшее приближение /(ж) многочленами степени не выше ш f{r\5)= sup /(Г)М-/(Г)Ы • п — 1, то есть inf ( sup \f(x)-Pn(x)\). Пусть выполнены неравенства

En(f) < Mn'(r+a\ где r e Z, 0 < a < 1 и постоянная M не зависит от п. Тогда f(x) имеет непрерывную производную порядка г на интервале (—1,1) и для любого отрезка [а,Ъ) с (—1,1) существует С2 = C2(a,b) > 0, такая, что

М (f{r\S)^C2MSa, где w[a,b](/^\<5>) есть модуль непрерывности функции / на отрезке [а, Ь].

В вышеуказанных работах рассматривалось и приближение 27г—периодических функций тригонометрическими полиномами на периоде. Для этого случая были получены аналогичные прямые и обратные теоремы. Позднее,с помощью этих теорем Ш. Ж. Валле-Пуссеном ([78]) при О < a < 1 и А. Зигмундом([80]) при a = 1 были получены необходимые и достаточные условия принадлежности классам Щ+а, то есть классам 2тт—периодических функций, обладающих г—ой непрерывной производной /М е С[0, 27г]*, такой, что при а < 1 а при а = 1 /г) + - К) - 2^\х)\ ^ СМ, где С3, С4— некоторые положительные постоянные.

В дальнейшем, более общие результаты получали Н. И. Ахиезер [8], С. Б. Стечкин ([47],[48]), Р. Салем ([76]), А. Ф. Тиман и М. Ф. Тиман ([58], [59], [60]), А. А. Конюшков ([27]) , П. Л. Ульянов([62]).

М. К. Потапов ([40] —[41]) получил структурную характеристику классов функций, имеющих степенной порядок наилучшего приближения с весами Якоби (1 — х)а(1 + х)Р на отрезке [—1,1] в метрике Lp, 1 < р < оо, при помощи операторов обобщенного сдвига. В. М. Федоров ([65] —[66]) рассмотрел структурную характеристику этих классов с весами хае~х1, 7 ^ 1, на полуоси и с весами |ж|ае-1а!17, 7 ^ 2, на всей оси в метрике Lp, 1 ^ р < оо с помощью обычного сдвига.

Остановимся на одном частном случае — приближении полиномами на всей действительной оси с весом Чебышева-Эрмита, то есть, в метрике пространства LP)P, заданного следующим образом: пусть р(х) = ехр (—х2/2) — вес Чебышева-Эрмита и LP,P есть множество функций /, измеримых по Лебегу в Е и таких, что конечна норма ции / по норме || • \\PiP алгебраическими полиномами степени не выше п - 1. Пусть Th — оператор обобщённого сдвига, заданный на функциях из LP;P по формуле: оо

Thf(x) = -~ J f(e-h(x + yVe2h-l))p2(y)dy при h ^ 0. Пусть = sup \\(Th-I)kf\ обобщенные модули гладкости (I — тождественный оператор).

Во второй главе доказывается прямая теорема для случая приближения функций одной переменной с весом Чебышева-Эрмита (теорема 2.3.1):

Теорема 2.3.1 (см. гл. 2)

При 1 ^ р ^ сю, / € LP:P, n, I = 1,2,. выполнено неравенство

Заметим, что результаты теорем 2.3.1 и 2.3.2 были, в случае I = 1 получены В. М. Фёдоровым ([65]).

Вышеприведённые результаты относились к приближению функций одного действительного переменного. Приближение функций нескольких переменных было рассмотрено ещё в работах Д. Джексона [72] и С. Н. Бернштейна [12]. В них рассматривалось приближение 2тг-периодических функций п переменных на п—мерном кубе [0,27г]п по а также обратная к ней (теорема 2.3.2): Теорема 2.3.2 (см. гл. 2)

При 1 ^ р ^ сю, / е LPjP, iV, £ = 1,2,. выполнено неравенство

71=1 средством полиномов вида fl-1 ^п-1

Pvx.vn^ Щ Н-----ЬЖгА), i=-i/i+l й„=~1/„+1 то есть приближение "прямоугольником". С. Н. Бернштейном были получены прямые теоремы следующего вида: Пусть / <Е С#[0,27г]п — непрерывная 27г—периодическая функция и

SUP |/(яъ ••• + . ,хп) - f(xi,. . ,жп)| модуль непрерывности функции по к-й переменной. Тогда для наилучшего приближения / "прямоугольником"

-Vn(f) = SUP \f(xU ■ ■ • , ®n)

Ж1,.,Жпб[0,27г] г/i-l г/„-1

- J] • • ■ X +----Ь Xnkn) |

Ai=—fi+1 kn=—un+l выполнены неравенства: l—l где С — некоторая константа, зависящая только от размерности п. А. Ф. Тиманом ([58]) была доказана аналогичная теорема для интегральной метрики Lp[0,27г]*. Т. Ю. Куликовой ([28],[29]) были получены прямые и обратные теоремы аналогичные приведенным в данной работе для случая приближения с весами JIareppa и Якоби в метрике пространства

Ь2

В 1962 году Я. С. Бугров в [16] получил оценки уклонения частичных «угловых» сумм многомерного ряда Фурье. М. К. Потапов ([42]-[43]) ввел метод приближения «углом» функций многих переменных и доказал прямые и обратные теоремы этим методом для метрики Lp, 1 < р ^ оо. Суть этого метода состоит в следующем: функция / приближается функциями вида

В работе С. М. Никольского [34] были введены классы Щ, названные впоследствии классами Никольского. Классы Щ, определяются следующим образом: Пусть 1 < р < оо, г = (п,., rm), rk = pk + oik,Pk £ ^ и a.k G (0,1], А; = 1,. ,m. Тогда Щ состоит из функций /, имеющих в Lp[0,27r]m обобщенные частные производные порядка рк по переменной Xk и удовлетворяющие соотношениям где М — некоторая постоянная, не зависящая от h. С. М. Никольским была получена конструктивная характеристика классов Hp, то есть условия на наилучшие приближения функции /, необходимые и достаточные для принадлежности функции вышеназванным классам. Он доказал ([34]), что f е Щ тогда и только тогда, когда существует постоянные не зависящие от / и щ,., пт, такие, что

Заметим, что ранее этот результат был получен С. Н. Бернштейном [13] в случае пространства непрерывных функций. Впоследствии, конструктивная характеризация классов Щ была использована для доказательства теорем вложения функциональных пространств. п rrij-1 ^ ^ ^ ckj{% 1) • ■ • 1 1) 1) • • • 1 5 J j=l kj=0

В третьей главе данной работы рассматривается приближение функций нескольких переменных с весом Чебышева-Эрмита.

Введем необходимые определения: Будем называть наилучшим приближением "прямоугольником" величину

П1-1 71 к 1 к±ь(Пр,Р = ы ия^■ • • • ciu где нижняя грань берется по всем функциям ^.^(zi,., xn), принадлежащим Lp,p(M.N) и не зависящим от переменных х^,. :х{к. Наилучшим приближением "углом" будем называть величину к rij-l

Ynl::ikk(f)p,p = inf \\f(xi, сЧх%\\Р,Р>

C»j>3~L>->k j=Q Uj=0 где нижняя грань берется по всем функциям cv.(xi,., xn), j = 1,., к, принадлежащим LPiP(Rn) и не зависящим от Ху. Обобщенным смешанным модулем гладкости назовем величину: fit" А (Л • • • ■ = sup II' -if. (JZ - if /||№ hx\<Sx,.,\hk\<6k где Tlh — оператор обобщенного сдвига по переменной х^ а I — тождественный оператор.

Получены прямые теоремы для случая приближения "прямоугольником":

Теорема 3.1.2 (см. гл. 3)

Пусть 1 < < %ч < . < ik ^ N,rij,rj е N, яри j = 1,2,., fc; 1 ^ p ^ oo. Тогда выполнено:

II.м и углом :

Теорема 3.1.3 (см. гл. 3)

Пусть 1 ^ ii < . < ik ^ N, щ G — 1, 2,., к, 1 ^ р ^ оо. Тогда выполнено: 1 1 Ynl'.'.'.nk(f)p,p - • • • >

Получена теорема, являющаяся обратной, замыкающей две вышеприведенные теоремы: Теорема 3.1.4 (см. гл. 3)

Пусть 1 ^ ii < %2 < . < i/. ^ N, щ,., щ £ N, 1 ^ р < оо. Тогда выполнено:

11 1 щ пк

Р Ti\ пк ni.nkf-^ ^ 1 °

1=1 Sh=l

В четвертой главе данной данной работы доказываются вспомогательные неравенства для норм многочленов в разных метриках. Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы: ТЕОРЕМА 4.1.4 (см. гл. 4)

Пусть 1 < р < р' ^ оо, Рп е , тогда т 4 2р 2р' ^ ^ Л=1

Рп\\Р>Р ^ ШпА р Р \\Рп

ТЕОРЕМА 4.2.1 (см. гл. 4)

Пусть 1 ^ т < п, Р8{х) = PSlSn(xi.xn) G Зафиксируем щ . ип-т и определим

Эти неравенства используются в пятой главе при рассмотрении вопросов, связанных с теоремами вложения.

Вложение одного нормированного пространства в другое определяется следующим образом: Пусть Е\,Е2 — нормированные пространства с нормами || • ||i, || • Ц2 соответственно. Говоря, что пространство Е2 вложено в пространство Е\ (обозначается Е2 ^ Е\ ) если Е2 С Е\ в теоретико-множественном смысле и существует постоянная со такая, что ||ж||2 < со||ж||1 выполнено для любого х € Е2.

Первые теоремы вложения для функциональных пространств были получены С. JI. Соболевым [45],[46] и дополнены В. И. Кондра-шовым [26] и В. П. Ильиным [21]. В окончательном виде эти теоремы вложения выглядят следующим образом:

Тогда при всех п—т

Если функция / б WHRn) и

1 < р < р' < со,

ТО

Wlp(Rn) М- W[f{Rn), где [р] — целая часть р. Это значит, что выполняется неравенство

1М1и>])(е») ^ cII/IIw<(E»)5 где с не зависит от / (теорема вложения разных метрик). Если функция / е Wp(Rn) и

71 ТП

О ^ р = 1---1-—, 1 < р < р' < оо,

Р Р то

Wp(Rn) ^ W"]f](Mm), где [р] — целая часть р. Это значит, что существует след функции / Rm= <£>, принадлежащий к классу W^(Mm) и выполняется неравенство c\\f\\wi,(Rn)> где с не зависит от / (теорема вложения разных измерений).

Позднее С. М. Никольским ([33],[34]) были доказаны неравенства для целых функций конечной степени. Было показано, что для любой целой, экспоненциального типа v = (щ,., ъ>п) функции gv е Lp(Rn) выполнены неравенства

А 1-1

1Ык(к») < 2П Д v] 4\\gv\\Lp(Rn), 1 ^р < q < оо;

3=1 п—т

Ы\ьрф*) < 2n~m Д р]Ы\ьРт, 1 < т < п.

Эти неравенства были использованы С.М.Никольским ( [34] ,[37] и [38]) для доказательства теорем вложения классов Щ. Приведем окончательный результат для изотропных классов H^W1) (для анизотропных классов Щ{Еп) теоремы вложения имеют аналогичный вид).

Теорема (С. М. Никольский [39]) Пусть 1 < р < р' < оо, 7i, г е N 0 < р = г — ттД — -т). Тогда

О. В. Бесовым в работах [14],[15] были введены классы 1^(МП), являющиеся обобщением классов Никольского. Для них был доказаны теоремы вложения, аналогичные теоремам для классов Н. В дальнейшем результаты С. М. Никольского и О. В. Бесова были обобщены в работах Л. Д. Кудрявцева ([30],[31]), С. В. Успенского ([63],[64]), А. А. Ваша-рина ([19],[20]), П. И. Лизоркина([32]) и др.

В четвертой главе данной работы для обобщенных весовых классов Никольского и Бесова доказываются теоремы вложения разных метрик: Теорема 5.3.1 ( см. гл. 5 ) Пусть 1<р<р1<оо, г = (ri,., гт),

HrJRn) т

- — — ] У) — > 0, г' = (ri

Р Pl J Tj ' к 1

4 7 3=1

••>rm)> r'j — нгг Тогда, если

Другими словами теорема утверждает, что g В* в и разных измерений:

Теорема 5.4.1 ( см. гл. 5 )

Пусть f б ВТрАр{Жп), г = (п,. ,r„), п > 0, р, в ^ оо, 1 < т < п. Пусть <р = /|Еш — след функции /. Тогда

Ч> G ^.„СП, п где г' = (нгъ ., xrm), Е "

Р т+1

Другими словами теорема утверждает, что (R") м- .BJ^ (Мт).

В I960 К. И. Бабенко([9]-[10]) предложил новый метод приближения — гиперболическим углом. Пусть заданы числа 71,.,7т > О,N € Ъ и функция / = /(ж 1, .,жт) Е 1/р([0, 27г]т) (К. И. Бабенко рассматривал случай р — 2). Тогда наилучшим приближением / гиперболическим углом называется Ejj(f) = inf ||/ — Р||р, где нижняя грань берется по полиномам Р вида

Р = ch.km exp[i{kiXi + . + kmxm)).

Для приближения гиперболическим углом классов функций с доминирующей смешанной производной им были получены следующие оценки:

Теорема (К. И. Бабенко, [9]) Пусть f € 5Я£, п. = . = r„ < rv+1 ^ . ^ щ. Выберем 7 следующим образом: 71 = . = 7^ = 17^+1 = . •, = Тогда

EUf)2 d H/IUjBj^M-^OogM)^-1)/2 с константой, не зависящей от f и М.

Позднее С. А. Теляковским ([51]) был предложен метод выбора 7, позволяющий получить более точные оценки, кроме того, им были получены результаты для произвольного 1 ^ р ^ оо. ТЕОРЕМА (С. А. Теляковский, [51] )

Пусть f е SHp,ri = . = г у < 7v+i < . ^ Г]у- Выберем 7 следующим образом: 7l = . = lv = 1,1 < ъ+1 < ., 1 < jN < Тогда

EUfkp =< ll/IUjaj^M-^pogM)^1)/2 ■ с константой, не зависящей от f и М.

Полученные оценки для приближения классов функций с доминирующей смешанной производной позволили получить асимптотически точные оценки поперечников соответствующих классов.

Задача о поперечнике функционального класса впервые была поставлена А. Н. Колмогоровым в 1936 году ( [24],[25]) в следующем виде: пусть X — некоторое ограниченное множество в банаховом пространстве В, тогда поперечником этого множества называется величина dn(X) = inf sup inf \\x — у\\вdirn(Ln)^n хеХУ^п

A. H. Колмогоров нашёл поперечники W£2 в периодическом и непериодическом случаях. Впоследствии, идеи А. Н. Колмогорова были продолжены в работах У. Рудина ([75]), С. Б. Стечкина ([49]), Б. С. Кашина ([22],[23]), В. М. Тихомирова ([61]) и др. В. А. Абиловым в [1] — [3] были получены точные оценки поперечников весовых классов Никольского с весом Чебышева-Эрмита в метрике Ь2.

Одним из методов, используемых для оценки поперечников функциональных классов, является метод приближения гиперболическим углом, о котором уже говорилось выше. С. А. Теляковский ([51] — [52]), В. Н. Темляков ([53]- [56]) и др. получили оценки поперечников классов функций представимых в виде свертки и классов с доминирующей смешанной производной. В седьмой главе данной работы приведены аналогичные теоремы для случая обобщенных классов. Определим класс функций с доминирующей смешанной производной следующим образом:

SH* (THN) — это множество функций / из LPtP, таких, что

00

J f(x)p2(xj)dxj = О, где j = l + N, оо и при этом

3=1 3 =1 где I — наименьшее целое, большее max(ri,., r^), ri,., гдг > 0. Теорема 7.1.1(см. гл. 7)

Пусть 0 < 7*1 = . = rv < rp+1 < . ^ rjv- Тогда где С не зависит от т. Теорема 7.1.2(см. гл. 7)

Пусть 0 < 7*1 = . = rv < rv+i ^ . ^ гдг. Тогда

Cm-^ilogmf-1^-^ < dm(SHlP(M.N))L2,p, где С не зависит от т.

Таким образом, для случая р = 2 полученные оценки являются точными.

Автор выражает свои искренние благодарности кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Михайловичу Федорову за руководство работой, а также доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Константиновичу Потапову за внимание к работе.

Глава 2

Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеев, Дмитрий Владимирович, 2006 год

1. Абилов В. А., Абилов М. В., Приближение функций в пространстве L2(RN]exp{-\x\2)), Мат. заметки, т. 57 , вып. 1, 1995, с. 3-20.

2. Абилов В. А., Абилов В. Ф., Некоторые вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Эрмита, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001, т. 41, № 11, с. 1637-1657

3. Абилов В. А., Абилов М. В., Керимов М. К., Некоторые вопросы разложения функций в двойные ряды Фурье-Эрмита., Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004, т. 44, № 9, с. 1596-1607.

4. Алексеев Д.В., Приближение полиномами функций одной переменной в метрике Чебышева-Эрмита., Вестник Моск. Ун-та, 1997, № 6, сс. 68-71.

5. Алексеев Д.В., Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита., Изв. ВУЗов, матем., 2000, № 6, сс. 3-9.

6. Алексеев Д.В., Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной, Воронежская зимняя математическая школа: "Современные методы теории функций и смежные проблемы"., Тезисы докладов, с. 14, Воронеж, 1999 г.

7. Алексеев Д.В., Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита и теоремы вложения. Воронежская зимняя математическая школа: "Теория функций, функциональный анализ и приложения"., Тезисы докладов, с.55, Воронеж, 1997 г.

8. Ахиезер Н.И., Лекции по теории аппроксимации., М., Л.:Гостехиздат, 1947.

9. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами., ДАН СССР, 1960, т. 132, сс. 982-985.

10. Бабенко К.И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами., ДАН СССР, 1960, т. 132, сс. 247-250.

11. Бейтмен А.,Эрдейи Г., Целые трансцендентные функции, т. 2, с. 156, М. "Наука", 1974.

12. Бернштейн С.Н., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, 1912, Собр.соч., Изд. АН СССР, 1952, т. 2, сс. 11-104.

13. Бернштейн С.Н., О свойствах однородных функциональных классов, Собр.соч., Изд. АН СССР, 1952, т. 2, сс. 421-432.

14. Бесов О.В., О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. — ДАН СССР, 1959, т. 126, № 2, сс. 1163-1165.

15. Бесов О.В., Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Тр. МИАН СССР, 1961, т. 60, сс. 48-81.

16. Бугров Я.С., Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных., Труды научного объединения преподавателей физ.-мат. ф-тов пед. ин-тов Дальнего Востока, 1962, т. 1 (Математика), сс. 28-49.

17. Бугров Я.С., Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной., Мат. сборник, 1964, т.64, №3, с.410-418.

18. Бугров Я.С., Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной., Тр. МИАН СССР, 1974, т. 131, сс. 25-32.

19. Вашарин А.А., Граничные свойства функций, имеющих конечный интеграл Дирихле с весом., ДАН СССР, 1957, т. 117, № 5, сс. 742744.

20. Вашарин А.А., Граничные свойства функций класса WJ и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики., Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, сс. 421-454.

21. Ильин В.П., О теореме вложения для предельного показателя., ДАН СССР, т. 96, 1954, сс. 905-908.

22. Кашин Б.С., Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов функций., Изв. АН СССР, 1977, т. 41, сс. 334-351.

23. Кашин Б.С., О колмогоровских поперечниках октаэдров., ДАН СССР, 1974, т. 214, сс. 1024-1026.

24. Колмогоров А.Н., Uber die Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionclassen, Ann. of Math. 37 (1936), pp. 107-110.

25. Колмогоров A.H., О наилучших приближениях функций заданного функционального класса., 1936, Математика и механика: Избр. тр., М., Наука, 1985, сс. 186-189.

26. Кондрашов В.И., О некоторых свойствах функций пространства Ьр., ДАН СССР, т. 48, 1945, сс. 563-566.

27. Конюшков А.А., Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье., Мат. сб., 1958, т. 44, сс. 5384.

28. Куликова Т. Ю., Приближение функций в метрике Ь2 с весом Ла-герра., Вестник Моск. ун-та, сер. 1, матем., 1998, № 2, с. 65-66

29. Куликова Т. Ю., Приближение функций в метрике Ь2 с весом Яко-би., Изв. ВУЗов, матем, 1999, № 4, с. 73-76.

30. Кудрявцев Л.Д., О продолжении функций и вложении классов функций., ДАН СССР, 1956, т. 107, № 4, сс. 501-504.

31. Кудрявцев Л.Д., Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений., М., Л.: Изд-во АН СССР, 1959 (Тр. МИАН СССР, т. 55).

32. Лизоркин П.И., Граничные свойства функций из весовых классов., ДАН СССР, I960, т. 132, № 3, сс. 514-517.

33. Никольский С.М., Некоторые неравенства для целых функций конечной степени многих переменных и их применение., ДАН СССР, 1951, т. 76, № 6, сс. 785-788.

34. Никольский С.М., Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных., Тр. МИАН СССР, 1951, т. 38, сс. 244-278.

35. Никольский С.М., Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёльдера., Сиб. Мат. Журн.,1963, т. 4, № 6, сс. 1342-1364.

36. Никольский С.М., Теорема о представлении одного класса дифференцируемых функций многих переменных посредством целых функций экспоненциального типа., ДАН СССР, 1963, т. 150, сс. 484-487.

37. Никольский С.М., Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях., Матем. сб. 33(75), № 2, 1953, сс. 261-326.

38. Никольский С.М., Теорема вложения для функций с частными производными, рассматриваемыми в различных метриках, Изв. АН СССР, сер. матем., 22, 1958, сс. 321-336.

39. Никольский С.М., Приближение функций нескольких переменных и теоремы вложения., М., "Наука", 1969.

40. Потапов М.К., О структурных и конструктивных характеристиках некоторых классов функций, Тр. МИАН СССР, 1974, 131, с. 211-231.

41. Потапов М.К., О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения, Тр. МИАН СССР, 1975, 134, с. 260-277.

42. Потапов М.К., О приближении "углом"., Proceedings of the Conference on Constructive Theory of Functions. Budapest, 1969, pp. 371-399.

43. Потапов M.K., Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углом"., Тр. МИАН СССР, 1972, т. 117, сс. 256-300.

44. Потапов М.К., Вложение классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости., Тр. МИАН СССР, 1974, т. 131, сс. 550553.

45. Соболев C.JI., Об одной теореме функционального анализа., Матем. сб., 4(46), 1938, сс. 471-497.

46. Соболев C.JL, Некоторые применения функционального анализа в математической физике., ЛГУ, 1950,сс. 1-255; Новосибирск, 1962, сс. 1-255.

47. Стечкин С.Б., О порядке наилучших приближений непрерывных функций., Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, т. 15, сс. 219-242.

48. Стечкин С.Б., О теореме Колмогорова-Селиверстова., Изв. АН СССР, сер. матем., 1953, т. 17, сс. 499-512.

49. Стечкин С.Б., О наилучшем приближении заданных классов функций любыми полиномами., УМН, 1954, т. 9, № 1, сс. 133-134.

50. Стечкин С.Б.,Субботин Ю.Н., Сплайны в вычислительной математике., М„ "Наука", 1976, сс. 15-16.

51. Теляковский С.А., Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами., Мат.сб., 1964, т. 63, сс. 426444.

52. Теляковский С.А., Две теоремы о приближении функций алгебраическими многочленами., Мат.сб., 1966, 70, № 2, сс. 252-265.

53. Темляков В.Н., Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной., ДАН СССР, 1979, т. 248, № 3, сс. 527-531.

54. Темляков В.Н., О приближении функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью., ДАН СССР, 1980, т. 253, № 3, сс. 544-548.

55. Темляков В.Н., Приближение функций с ограниченной сиешанной производной., Тр. МИАН СССР, 1986, т. 178.

56. Темляков В.Н., Приближение функций с ограниченной смешанной разностью тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций., Изв. АН СССР, сер. матем., 1982, т. 46, сс. 171-186.

57. Темляков В.Н., Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций., Изв. АН СССР, 1985, т. 49, сс. 986-1030.

58. Тиман А.Ф., Теория приближения функций действительного переменного., Москва, Физматгиз, 1960.

59. Тиман М.Ф., Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp., Мат. сб., 1958, т. 46, сс. 125-132.

60. Тиман А.Ф., Тиман М.Ф., Обобщённый модуль непрерывности и наилучшие приближения в среднем., ДАН СССР, 1950, т. 71, сс. 1720.

61. Тихомиров В.М., Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений., Успехи мат. наук, 1960, т. 15, вып. 3, сс. 81-120

62. Ульянов П.Л., Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках., Мат. сб., 1970, т. 81, сс. 104-131.

63. Успенский С.В., О теоремах вложения для весовых классов., Тр. МИАН СССР, 1961, т. 60, сс. 282-303.

64. Успенский С.В., О граничных свойствах функций из "весо-вых'классов W' ДАН СССР, 1961, т. 138, № 4, сс. 785-788.

65. Федоров В.М., Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита., Изв. ВУЗов, матем., 1984, № 6, сс. 55-63.

66. Федоров В.М., Некоторые вопросы теории приближений, Канд. диссертация, М., 1983, с. 56-121.

67. Фройд Г., Об аппроксимации с весом алгебраическими многочленами на действительной прямой., ДАН СССР , 1970 , т. 191 , № 2 , сс. 293-294.

68. Фройд Г., Об одном неравенстве марковского типа., ДАН СССР, 1971, т. 197, № 4, сс. 790-793.

69. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г., Неравенства., М., ИЛ, 1948 г.

70. Чебышев П.Л., Теория механизмов, известных под названием параллелограммов., Собр. соч., М., Л.: Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, сс. 23-51.

71. Jackson D., Uber die Genauuigkeit der Annaherung stetiger durch ganze rationable Functionen gegenbenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung., Preisschrift und Inaugural-Dissertation, Gottingen, 1911.

72. Jackson D., The theory of approximation., Amer. Math. Soc. Colloquium Publication 11, 1930.

73. Lebesque H., Sur les integrates singlieres., Ann. de la Faculte des Sci. de l'Universite de Toulouse, 1909.

74. Peetre J., A theory of interpolation in normed spaces, Notes Universidade de Brasilia, 1963.

75. Rudin W., L2—approximation by partial sums of orthogonal developments., Duke Math. J., 1952, Vol. 19, pp. 1-4.

76. Salem R., Sur certaines fonctions continues et les proprietes de leur series de Fourie., C.r. Acad, sci., 1935, vol. 201, pp. 703-705.

77. Vallee Poussin Ch. de la, Sur la convergence des formules d'interpolation entre ordonees equidistances., Bull.Acad.Belgique, 1908.

78. Vallee Poussin Ch. de la, Lecons sur l'approximation des fonction d'une variable reelle., Gautier-Villas, Paris, 1919.

79. Weierstrass K., Uber die analytsche Darstellbarkeit sogenannter willkurlicher Functionen einer reelen Veranderlichen, Matematische Werke, vol. 3, Mayer & Muller, Berlin, 1903, pp. 1-37

80. Zygmund A., Smooth functions., Duke Math. J., 12(1945), № 1, pp. 47-76.