Некоторые задачи теории приближений в пространствах Lp на сфере с весом Данкля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Вепринцев Роман Андреевич

• Вепринцев Роман Андреевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Вепринцев Роман Андреевич

Обозначения

Введение

Глава 1. Гармонический анализ Данкля на сфере

1.1. Элементы общей теории Данкля

1.2. Оператор сплетения Данкля

1.3. Свертка на сфере с весом Данкля и интеграл Пуассона

1.4. Группа диэдра 1т

1.5. Абелева группа Ъ^ и оператор сплетения Данкля

1.6. Оператор обобщенного сдвига и связанные вопросы

1.7. О фундаментальных множествах функций на сфере

Глава 2. Константа Джексона в пространствах Ьр,

1 < Р < 2, на сфере с весом Данкля

2.1. Наилучшее приближение, модуль непрерывности

и константа Джексона

2.2. Неравенство Джексона в Ьр,к(§'1-1)

2.3. Оценка снизу константы Джексона в Ьр на сфере

с весом Данкля, связанным е группой диэдра 12т

2.3.1. Формулировка редуцированной задачи

2.3.2. Решение редуцированной задачи

2.4. Оценка снизу константы Джексона в Ьр на сфере

с весом Данкля, связанным с абелевой группой Ъ

2.4.1. Об операторе сплетения Данкля, связанном

с абелевой группой

2.4.2. Доказательство оценки снизу

Список литературы

Список публикаций автора по теме диссертации

Обозначения

N — множество натуральных чисел, No = N U{0} — множество неотрицательных целых чисел, R — множество действительных чисел, C — множество комплексных чисел;

z Е C, Z — число, комплексно сопряженное с z; d Е N, Nq = {а = (а\,..., ad): aj Е N0, 1 < j < d} — множество мультииндексов;

а = (а1,... ,ad) Е Nd — мультииндекс, \a(j) \ = aj + ... + ad, 1 < j < d;

a = (ai,..., ad) Е Nq, xa = x^1 ... x®id — моном от d переменных x1,... ,xd степени \a\ = ai + ... + ad;

d Е N, nd — пространство полиномов от d переменных с комплексными коэффициентами, nd (Sd-i) — пространство сферических полиномов от d переменных с комплексными коэффициентами (т. е. множество сужений на Sd-i всех полиномов из nd);

d Е N, n Е N0, Pd С nd — подпространство однородных полиномов степени n, pq(Sd-i) С nd(Sd-i) — подпространство однородных сферических полиномов степени n (т. е. множество сужений на Sd-i всех полиномов из P d );

d Е N, Rd — d-мерное действительное евклидово пространство со

d

стандартным скалярным произведением (u,v) = ^ UjVj;

j=i

{ej}d=i — стандартный ортонормированный базис в Rd; (u) = {cu: c Е R} — линейная оболочка, натянутая на вектор u Е Rd;

\\u\\ = \/(u, и) — норма (или длина) вектора u Е Rd;

Sd-i = {x Е Rd: \\х\\ = 1} — единичная сфера в Rd (d > 2),

Bd = {х Е Rd: \\х\\ < 1} — единичный шар в Rd (d Е N), [-1,1] = в1 ;

C(X) — пространство комплексных непрерывных функций f на

X = Sd-i; Bd; Rd с нормой \\f \\^,x = sup \f (х)\, C[-1,1] = C(B1);

xex

dw — лебегова мера на Sd-i, wd-1 = f§d-1 dw — площадь сферы; 0(Rd) — группа ортогональных преобразований Rd;

d-2 . 2 '

su G 0(Rd) — отражение вдоль ненулевого вектора и G Rd; R = R+ U (-R+) — представление системы корней R в виде объединения положительной R+ и отрицательной -R+ подсистем; W = W(R) С 0(Rd) — группа отражений, связанная с R; к — неотрицательная функция кратности на системе корней R, Yk = к(и), Хк = Yk +

Dp(x) = ^ + E к(и)p(x) -p(\u(x)) Ue), p G nd, 1 < j < d,

OXj ^ (u,x)

— дифференциально-разностные операторы Данкля; d

Ак = ^ — лапласиан Данкля; j=i

wK(x) = П \{u,x)\2k(u, x G Sd-1, — вес Данкля на сфере Sd-1; daK (x) = aKwK (x) dw(x), x G Sd-1, — вероятностная мера на Sd-1,

aK — нормировочная константа; d1

(§ 1), 1 < р < то, — весовые пространства комплексно-значных измеримых по Лебегу функций / на сфере с конечной нормой

fWp,§d-\K =(f \f(x)\p d°K(x)) / , 1 < p<

kjsd-1 J

f W^,§d-i,K = esssup \f (x)\, p = ж,

xesd-1

Ьр(§1-1) = ЬРо (§1-1) — безвесовые пространства Лебега (при к = 0) на сфере ;

(§1-1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (/,д)К1$— = /(х) д(х) (х);

АП(к), п <Е N0, — подпространства к-сферических гармоник степени п, ортогональные относительно скалярного произведения (•, • )к,8а-1, N(п, й) — размерность АП(к), {SKjj(•): 1 < 3 < N(п, й)} — действительный ортонормированный базис подпространства АП(к);

п Е N0, Ргп(к) — оператор ортогонального проектирования из Р2к(^-1) на ЛП(к), Рп(к;х,у), х,у Е , — воспроизводящее ядро подпространства ЛП(к);

те

Ргп (к; /) — ряд Лапласа - Данкля функции / Е £1)К );

п=0

Ук — оператор сплетения Данкля; т Е [-1,1], Мтк — оператор обобщенного сдвига; Г(-) — гамма-функция;

г е к, (г)0 = 1, (г)п = г(г + 1)... (г + п - 1), п е N — символ

Похгаммера;

А > 0, {СП(•): п Е — многочлены Гегенбауэра, ортогональные с весом (1 - г2)А-1/2 на отрезке [-1,1], СП(•) = ;

п Е N5 т,п,\ — наибольший нуль многочлена Гегенбауэра (•), 6п,х = агееоз тп,\;

> -1, {Р.(•): п Е — многочлены Якоби, орто-

гональные с весом (1 - г)7(1 + г)6 на отрезке [-1,1], такие, что

II Р(7,6) II = 1 •

НРп Нте,[-1,1] = 1;

А > -1/2, ^ ^ 0, {С(•): п Е — обобщенные многочлены Гегенбауэра, ортогональные с весом \г\2^(1 - г2)А-1/2 на отрезке

[-1,1];

А > 0, 4 Е N <ЫХ,Л(у) = охл{ 1 - \\у\\2)А 1 ёу, у Е В, — вероятностная мера на шаре В^, — нормировочная константа,

тх = шх,1;

(В^), 1 < р < то, — весовые пространства комплекснознач-ных измеримых по Лебегу функций / на шаре В^ с конечной нормой

\\/\\р,ЩА = {( \/(у)\Р ётА4 (у))/Р, 1 < р< ТО

\\/,А = ей88Ир\/(у)\, р = ТО,

Ьра [-1,1] = ЬрЛ (В1);

^2аа [-1,1] — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (/,д)А,[-1 ,1] = /!1 /(г) д(г) ётА(г);

1 < р < то,

М™(д) = {Ук[д((х, •))]: X е й'"1}, д е С[-1,1]:

Мрк(д) = {ук [д((х, •))] : х е й'"1}, д е Ьр,Хк+1/2[-1,1]:

образы оператора сплетения Данкля;

А > 0,

Лп,х(д) = ] д(г) С*(г) &т<х+1/2(г), п е N0,

коэффициенты Фурье - Гегенбауэра функции д е Ь1^\+1/2 [-1,1]; / е Ь1,к(й"), д е Ь^+1/2[-1,1],

(/*. д)(х)= /(у) Ук [д((х, •))](у) Л*к (у), X е й'"1, Jsd-l

— сферическая свертка;

п е N0, д е Ь^+1/2 [-1,1], (УК *к д)(х) = К,хк(д) УК(х), X е й'"1, у: еАП(к),

— формула Функа-Гекке для к-сферических гармоник;

г е (0,1), РК/ — интеграл Пуассона функции / е Ь1кК(й'"1), РК(х,у), х,у е й'"1, — ядро Пуассона;

г е (0,1), РК(г,х,у), г е [-1,1], х,у е й'"1, — ядро Уотсона-Данкля;

Ь е N 1 < р < то,

Еь(/)р,§*-1,к = ^ < \\/ - Цр^-1,к : К е А:(к) >

I :=0 )

— величина наилучшего приближения функции / е Ьрк (й'"1) линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше Ь- 1;

1

1 < Р < 2, 6 е [0, п],

ЛПр(/)=/ / \/(х) - /(у)\рРп (к; х,у) ¿ак (х)6^к (у), п е N0, Jsd-1 J

^ 1/Р

^ (/; г) —^ ткЩр (/)) Р, г е [-1,1]

п=0

М(6,/)р,§^-1,к = тах Ор,к(/;С089)

0< в<.о

модуль непрерывности функции / е Ьр^

1 < Р < 2, 6 е [0, п], X е N5

й-1\.

{

1Г(£ Т \ ) Еь (/)р,§а-1,К Г- ^ т /<сй-

К(6, Ь)р^-1,к — яир { ^— : / е Ьркш

ш(6, /

), / ф сопя!

}

константа Джексона в Ь

р,к

й-1

т е N51т — группа диэдра, которая при т > 3 является группой симметрий правильного т-угольника; d > 2, — группа перемен знаков;

а > в > -1/2, (г) — \ 81п(г/2)\2а+1 \ соБ(г/2)\2в+1 — вес Якоби на отрезке [0, п];

&тав (г) — са вуаф (г) dг, г е [0, п], — вероятностная мера на отрезке [0, п], са в — нормировочная константа;

Ьр, а, в [0, п], 1 < р < то, — весовые пространства комплекснознач-ных измеримых по Лебегу функций д на отрезке [0, п] с конечной нормой

|д\\р,ав — ( ^ \д(г)\р ^ав (г))

\д\\ж,ав — е888ир \д(г)\,

1/р

1 < р < ТО,

р — то;

ным

Ь2,а,в [0, п] — комплексное гильбертово пространство со скаляр-произведением (/, д)а,в — ¡^ /(г) д(г) dma, в (г);

R e N0, 1 < p < oo,

R

\a,r Р(ав) (cos ф)

Er(f )р,а,в = min f (ф) -J2 arР(а,в) (cos ф)

ao ,...,aR £L z—'

r=0

— величина наилучшего приближения функции f e Lpa в [0, п] пространством косинус-полиномов Якоби порядка не выше R;

0 e [0, п], Т(а,в — несимметричный положительный оператор обобщенного сдвига в пространствах Lp,a,p [0, п], 1 < p < 2;

5 e [0, п], 1 < p < 2, ш(5, f )р,а,/з — модуль непрерывности функции f e Lp,a,e [0,п];

1 < p < 2, 5 e [0,п], R e No,

K(5,R)p,a,e =svv[ Ef}{\P'a,i3 : f e Lp,a,e[0,п], f ф const J

[u(5,f )p, a, в

— константа Джексона в пространстве Lp, а, в [0, п];

1 < p < o, fxp(•) = \ f (•) — f (x)\p — p-я степень модуля разности функции f e C(Sd-1) и ее значения в точке x e Sd-1; p e [1, o], p' = p—i — показатель, сопряженный с p; An x Bn, n e No ^ 3ci ,C2 > 0: ci An < Bn < c2An, n e No; [x] — целая часть числа x e R;

const — произвольная постоянная, C(a,... ,b) — постоянная, зависящая от параметров a,... ,b;

□ — знак, обозначающий окончание доказательств утверждений.

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи теории приближений в пространствах Lp на сфере с весом Данкля»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению задачи о точной константе в неравенстве Джексона и доказательству критериев фундаментальности образов оператора сплетения Данкля в пространствах Ьр на евклидовой сфере с весом Данкля.

Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона (или константах Джексона) между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Ьр, 1 < р < то, является важной экстремальной задачей теории приближений. Она привлекала внимание многих математиков. Наиболее изучен случай пространства Ь2. Точные неравенства Джексона установлены и в пространствах Ьр, 1 < р < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Ьр при р > 2 отсутствуют.

Первое точное неравенство Джексона в пространстве Ь2 на торе Т — (—п, п] было доказано Н. И. Черных [55]. Точные неравенства Джексона в Ь2 были доказаны для многомерного тора Тй (В. А. Юдин [61], В.Ю. Попов [45]), евклидова пространства (И. И. Ибрагимов и Ф. Г. Насибов [21], В.Ю. Попов [43,44], А. Г. Ба-бенко [4], А. В. Московский [39]), гиперболоида Нй (В.Ю. Попов [47], Д. В. Горбачев и М.С. Пискорж [18]), евклидовой сферы §й-1 (В. В. Арестов и В. Ю. Попов [2], В. Ю. Попов [46], А. Г. Бабенко [3]), проективных пространств (А. Г. Бабенко [5]).

Точные неравенства Джексона в Ь2 с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных [56], А. Г. Бабенко [3-5], А. И. Козко и А. В. Рождественским [37], С.Н. Васильевым [11,12], В. С. Балаганским [8] и другими.

Первое точное неравенство Джексона в Ьр, 1 < р < 2, на торе Т также было доказано Н.И. Черных [57]. Точные неравенства Джексона в Ьр, 1 < р < 2, были доказаны для тора Тй (В. И. Иванов [28]), евклидова пространства (О. Л. Виноградов [14], А. В. Московский [39]), тора Т с периодическим весом Якоби (Д. В. Чертова [58]).

В пространствах Ьр, 1 < р < 2, трудным является как получение оценки сверху, так и доказательство ее точности. Дополнительные сложности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига. Нижние оценки в пространствах Ьр, 1 < р < 2, получены в работах В. И. Бердышева [10] для тора Т, В. И. Иванова [32] для произвольной компактной абелевой группы, В. И. Иванова и Ю. Лю [31] для тора Т с периодическим весом Яко-би, В. И. Иванова и Д. В. Чертовой [35] для прямой со степенным весом.

Последние 25 лет в работах Ч. Данкля, М. Реслер, Х. Триме-ша, Ю. Шу и других математиков активно развивается гармонический анализ в пространствах Ьр на евклидовом пространстве ^ и евклидовой сфере с обобщенным степенным весом Данкля.

Он нашел широкое применение в уравнениях математической физики, теории вероятностей, теории функций и теории приближений. Гармонический анализ Данкля базируется на использовании дифференциально-разностных операторов и интегрального преобразования Данкля, оператора сплетения Данкля, который позволяет из ядра преобразования Фурье получить ядро преобразования Данкля.

Прямые и обратные теоремы теории приближений в Ьр на сфере с весом Данкля доказаны Ю. Шу [85]. Близкие результаты получены С. С. Платоновым [41,42]. Точные неравенства Джексона в пространствах Ь2 на различных многообразиях с весом Данкля доказаны в работах [17,23-26,34,53,71,72,74,78]. В [33] получено точное неравенство Джексона в пространствах Ьр(ил), 1 < р < 2, с весом Данкля, связанным с абелевой группой .

Семейство функций в банаховом пространстве называется фундаментальным, если его конечные линейные комбинации образуют в нем плотное множество. Еще в 1933 году Н. Винер [81] доказал, что система сдвигов одной функции фундаментальна в тогда и

только тогда, когда преобразование Фурье этой функции отлично от нуля во всех точках. Для семейства функций {д((х, •)): х <Е },

где д — фиксированная функция одной переменной, (•, •) — скалярное произведение в , С. Сун и Э.У. Чейни [79] и В. А. Менегатто [75]

нашли условия фундаментальности в С (§й 1) и Ьр(§й-1), 1 < р< то, соответственно. Они состоят в отличии от нуля всех коэффициентов Фурье - Гегенбауэра функции д.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона и критериев фундаментальности образов оператора сплетения Данкля в пространствах Ьр на евклидовой сфере с весом Данкля.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа Данкля, теории вероятностей, теории матриц.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. В гармоническом анализе Данкля на евклидовой сфере (с весом Данкля) получены новые свойства оператора сплетения Данкля и оператора обобщенного сдвига, необходимые для введения модуля непрерывности в Ьр, 1 < р < 2. Доказаны критерии фундаментальности образов оператора сплетения в пространстве непрерывных функций и пространствах Ьр, 1 < р < то.

2. Доказано точное неравенство Джексона в Ь2 на евклидовой сфере с произвольным весом Данкля.

3. Доказано неравенство Джексона в Ьр, 1 < р < 2, на евклидовой сфере с произвольным весом Данкля. Точность константы в неравенстве Джексона установлена для весов Данкля, связанных либо с группой диэдра, либо с группой перемен знаков.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в исследованиях по гармоническому анализу Данкля и неравенствам Джексона.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной научной конференции «Современные проблемы ма-

тематики, механики, информатики» в г. Туле (2013, 2014), Международном научном молодежном форуме «Ломоносов — 2014» в г. Москве (2014), молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2014» в г. Казани (2014), Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» в г. Екатеринбурге (2015), Международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2015), Международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V» в г. Ростове-на-Дону (2015), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В. И. Иванова в ТулГУ (2013-2015).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 статьях [86-90], из которых 4 статьи [86-89] опубликованы в журналах, включенных в перечень ВАК, и одна статья [90] опубликована в журнале, включенном в международную базу цитирования Scopus. Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [91-98].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Главы разбиты на параграфы, которые делятся на разделы. Нумерация формул, утверждений и замечаний идет по главам и параграфам. Общий объем диссертации составляет 134 страницы. Библиография содержит 98 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы цели и основные результаты.

Первая глава содержит 7 параграфов и посвящена изучению свойств оператора сплетения Данкля и оператора обобщенного сдвига, доказательству критериев фундаментальности образов оператора сплетения в пространстве непрерывных функций и пространствах Lp, 1 < p < o, на евклидовой сфере с весом Данкля.

В параграфе 1.1 излагаются элементы общей теории Данкля и доказываются некоторые свойства воспроизводящих ядер подпространств к-сферических гармоник.

Пусть ви — отражение вдоль вектора и е \ {0}, Я — система корней в , Я+ — положительная подсистема в Я, Ш — Ш(Я) — группа отражений, связанная с Я, к — функция кратности на Я (т. е. неотрицательная функция на Я, инвариантная относительно Ш),

Эдх) — д-рх)+ £ к(и) р(х)-р(д.и(х)) (и,е3), р е Пй, , — ТД

ОХ3 ^ (и, X)

3 и£Я+ Х ' '

— операторы Данкля, Дк — Р2 + ... + Р2 — лапласиан Данкля,

(х) — Ц \{и,х)\2к(и), X е Бй-1,

— вес Данкля на сфере, связанный с системой Я и функцией к.

С каждой функцией кратности к связывают числа ■ук — X] к(и),

и£Я+

— + • Мы всегда предполагаем, если не оговорено противное, что ^к > 0, т. е. к ф 0. Отсюда Хк > 0. При к ф 0 вес Данкля становится единичным, операторы Данкля переходят в соответствующие частные производные.

Пусть daк — акwк dw — вероятностная мера на сфере §й-1, ак — нормировочная константа, Ьр, к(§й-1), 1 < р < то, — пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций / на сфере §й-1 с конечной нормой

/\р,§а-1,к —{( \/(х)\р ^к(х^ / , 1 < р< то,

yJsd-1 У

/\\те ,§¿-1, к — ^ЗИр\/(x)\, р — то.

I те

х£§а-1

Пространство Ь2, к (§й 1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (/, д)к^-1 — /§л-1 /(х)д(х) daк(х).

Полином Р £ П называется к-гармоническим, если АкР = 0. Сужение однородного к-гармонического полинома степени п £ N0 на сферу называется к-сферической гармоникой степени п.

Пространство к-сферических гармоник степени п обозначаем через АП (к).

Пространство Ь2, к ) разлагается в ортогональную сумму

те

подпространств АП(к): Ь2, к) = ^ ФАП(к).

п=0

Оператор Ргп(к) ортогонального проектирования из Ь2, к) на АП(к) можно записать в интегральной форме

Ргп(к; /,х) = /(у)Рп(к; х,у) (1ак(у), х £ , Jsd-1

где Рп(к; •, •) — воспроизводящее ядро пространства АП(к).

Для функции / £ Ьр, к(&-1), 1 < р < то, рассмотрим числа

К,р(/)= [ / /(х) - /(у)\р Рп (к; х,у) ¿ак (х)&ак (у), п £ N0.

Эти числа также изучаются в параграфе 1.6.

Для воспроизводящих ядер и чисел Лкп, р(/) доказываются следующие утверждения.

Лемма 0.0.1. Для любой функции / £ Ь1, к(Ба-1)

Рп(к; х, у)/(у)/(х) ¿ак(у)&ек(х) ^ 0, п £ N0.

Jsd-1 ./

Свойство воспроизводящих ядер, выраженное в лемме 0.0.1, называется положительной определенностью.

Лемма 0.0.2. Пусть / £ Ьр, к), 1 < р < 2, К £ ¿2, к).

те

Тогда ЛПр(/) < 0, п £ N и £ ЛП,2(К) = 0.

п=0

В параграфе 1.2 определяется оператор сплетения Данкля из весового пространства Ь1 на В^ в пространство Ь1, к ) и исследуются его свойства.

Ч. Данкль доказал, что для каждой функции кратности к существует единственный линейный оператор Ук на П, такой, что

д

Ук (РП) , п £ N0, Ук 1 = 1 и V, Ук = Ук дхт., 1 < 3 < л.

Оператор Ук называется оператором сплетения Данкля.

М. Реслер доказала, что для любого х £ К« существует единственная вероятностная мера на борелевской а-алгебре пространства К« с носителем в выпуклой оболочке множества ^(х): w £ Ш}, такая, что

Укф)= [ р(у) ^ (V) для каждого р £ П«.

Пусть Л > 0, ¿шл,«(у) = (1 - \\у\\2)Л-1 ¿у, у £ В«, — вероятностная мера на шаре В«, сл« — нормировочная константа, Ьрлл (В«), 1 < р < то, — пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций / на шаре В« с конечной нормой

\\/\\рМл =([ \/(у)\р &тЛ4 (у])/ , 1 < р<

V Bd 7

\\/\\те^,Л = ей88Ир\/^ \ < Ж, р = Ж.

В параграфе определяется линейный ограниченный оператор

Ук : Ь1 ^ (В«) ^ Ь1 к(§«- 1), (0.0.1)

сужение которого на пространство С (В«) совпадает с оператором

Ук : С (В«) ^ С (§«-1), Ук / (х) = ( / (С) ФХ (С), х £ §«-1,

и доказываются следующие его свойства.

Лемма 0.0.3. Пусть / £ Ь1Пк (В«). Тогда имеют место следующие свойства:

1) К,/(х) ¿ак(х) = /ва /(у) (у).

2) Если / ^ 0 почти всюду в шаре В^, то Ук/ ^ 0 почти всюду на сфере .

3) УК./||1,§Й-1,К < ||/.

4) Если / е (В), то П^/Нгс,§¿-1,« < ||/,7к •

По теореме Рисса-Торина оператор Ук (0.0.1) продолжается на пространства Ьр, 1 < р < то, с сохранением нормы.

В параграфе 1.3 вводятся такие понятия, как свертка на сфере с весом Данкля, ядро Пуассона и интеграл Пуассона функции / е ), формулируются их известные свойства.

В параграфе обосновано следующее утверждение, которое используется в параграфе 1.6.

Лемма 0.0.4. Пусть г е (0,1). Функциональный ряд

те

РК (£,х,у) = ^ гп (£)Рп (к; х,у),

п=0

зависящий от трех переменных £ е [—1,1], х,у е , сходится равномерно и абсолютно по этим переменным и

1 + г

0 < Ргк (£,х,у) < +

(1 — г)2Ак + 1 '

/ Ргк (£, х, у) ¿ак (х) = 1, РК (£, х, у) = Ргк (г,у,х). J§d-1

Параграфы 1.4 и 1.5 посвящены изложению известных фактов относительно групп диэдра 1т, т е М, и абелевой группы . В параграфах выписываются их системы корней, общий вид функций кратности на них, общий вид веса Данкля, связанного с этими группами, ортогональные базисы в подпространствах к-сферических гармоник. Для оператора сплетения Данкля на П, связанного с абелевой группой , получено представление в виде произведения d операторов,

каждый из которых действует на полином только по одной переменной.

Вышеупомянутые сведения об этих группах понадобятся при доказательстве оценок снизу констант Джексона во второй главе.

В параграфе 1.6 вводится оператор обобщенного сдвига Мк, £ £ £ [-1,1], впервые появившийся в работах Ю. Шу, формулируются его известные свойства и доказываются новые, подготавливается основа для определения во второй главе модуля непрерывности функции / £ Ьрк(Б«-1), 1 < р < 2.

Пусть т £ [-1,1]. На пространстве сферических полиномов П« (Б«-1) определим линейный оператор Мк по формулам

Ргп(к; МкН) = СЛК (т)Ргп(к; Н), п £ N0, Н £ П«(Б«-1).

Ю. Шу показал, что оператор М к продолжается по непрерывности до линейного ограниченного оператора на пространстве Ьрк (Б«-1), где 1 < р < то, или пространстве С (Б«-1), который также будем обозначать через М к.

Оператор обобщенного сдвига М к будем применять к функциям

/х,р (•) = \/(•) - / (х)\р, х £ Б«-1, 1 < р< то, / £ С (Б«-1).

Лемма 0.0.5. Пусть / £ С (Б«-1 ), 1 < р < то. Тогда функция мк/ур(у) двух переменных у £ Б«-1 и т £ [-1,1} непрерывна по каждой переменной у и т в отдельности.

Лемма 0.0.6. Пусть 1 < р < 2, / £ С (Б«-1). Тогда

„ те

/ Мк/х,р(х) ¿ак(х) = £ СПК (т)ЛкЩр(/),

п=0

причем функциональный ряд, стоящий справа, сходится равномерно и абсолютно по т £ [-1,1].

Пусть 1 < р < 2. Рассмотрим оператор

Ор,к: Ьрк) ^ С[-1,1], действующий по правилу

те 1/р

Ор,к(/; *) = (£ САКткЩр(/)) Р, t е [-1,1].

п=0

Тот факт, что оператор Ор,к корректно определен, доказывается в следующей лемме.

те

Лемма 0.0.7. Если 1 < р < 2, / е Ьр1К($Л-1), то £ ЛП,р(/) = 0

п=0

те

и функциональный ряд ^ С^ (т)ЛПр(/) сходится равномерно и аб-

п=0

солютно по переменной т е [-1,1], причем

те

(т)ЛП,р(/) > 0.

п=0

Выделим свойства оператора Ор,к в несколько отдельных лемм.

Лемма 0.0.8. Пусть 1 < р < 2, /,Л е Ьрк). Тогда справедливы следующие свойства:

1) °р,к(/) < 2|/|р,§^-1,к;

2) Ор,^(/ + Л) < Ор,^(/) + Ор,к(Л);

/ те ~Л \ 1/р

3) Ор,к (/; £)= (Е(СПк (£) - 1)ЛП,р (/)) •

п=1

Лемма 0.0.9. Пусть 1 < р < 2, / е Ьр^), п(-) е С[-1,1]. Тогда

/ / I/(х) - /(у)|р К, [п((х, •»] (у) ¿ак(х)аак(у) =

= 1 п(£)Ор,к (/; £) ¿тАк+1/2 (£).

Лемма 0.0.10. Пусть 1 < р < 2, / £ Ь2,к(Б«-1) — действительная функция и \/ \ = 1. Тогда

(/; £) = 2р-1( 1 - I /(х)мк/(х) ¿ак(х)), £ £ [-1,1].

В параграфе 1.7 доказываются критерии фундаментальности образов оператора Ук в С (Б«-1) и в Ьрк (Б«-1), 1 < р < то.

Пусть Лп^ (д) = - д(£) С* (г) ¿Шх+1/2 (£), п £ N0, — коэффициенты Фурье - Гегенбауэра функции д £ Ь1хХ+1/2 [-1,1], А > 0,

мте(д) = {Ук[д({х, •})] : х £ Б«-1}, д £ С[-1,1],

Мрк (д) = {Ук [д({х, •})] : х £ Б«-1}, д £ Ьр,Хк+1/2 [-1,1],

— образы оператора сплетения Данкля в пространствах С (Б«-1) и в

(Б«-1), 1 < р < то, соответственно.

В следующих двух теоремах установлены условия фундаментальности множеств Мте(д) и Мрк(д).

Теорема 0.0.1. Пусть д £ С[-1,1]. Тогда для того, чтобы множество Мте (д) было фундаментально в С (Б«-1), необходимо и достаточно, чтобы Лп,Хк (д) = 0, п £ N0.

Теорема 0.0.2. Пусть 1 < р < то, д £ Ьрх,

к+1/2[-1,1]. Тогда для того, чтобы множество Мрк (д) было фундаментально в

(§«-1), необходимо и достаточно, чтобы Лп^Хк (д) = 0, п £ N0.

Вторая глава состоит из 4 параграфов, причем параграфы 2.3 и 2.4 содержат по 2 раздела. Она посвящена доказательству неравенств Джексона в пространствах Ьрк(Б«-1), 1 < р < 2. Их точность при р = 2 справедлива для произвольного веса Данкля. При 1 < р < 2 точность неравенств устанавливается для весов Данкля, связанных либо с группой диэдра 1т, либо с абелевой группой Ъ«.

В параграфе 2.1 определяются величина наилучшего приближения функции, ее модуль непрерывности и константа Джексона в про-

странствах LPK (Sd-1), формулируются основные результаты второй главы.

Величина наилучшего приближения функции f E LPK (Sd-1), 1 < p < то, линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше L — 1, где L E N, задается равенством

L-1

el (f )р,в^-1,к = inf {\\f — Чр,§а-\к: h E^Ai (к)}.

n=0

Пусть 1 < p < 2, 0 <8 < п. Модуль непрерывности функции f E LPK (Sd-1) определим равенством

u(8J)psd-\K = nmax (f;cos6). (0.0.2)

Свойства модуля непрерывности (такие, как непрерывность, стремление к нулю при 8 ^ 0+, не убывание, полуаддитивность по функциям) вытекают из свойств оператора Ор к.

Константа Джексона определяется равенством

K(8,L)psd-iK = supj ELL}fiP'Sd-1,K : f E Lp,K(Sd-1), f ф const!.

[^(8,J )p,sd-1,K J

Обозначим через tl^\k наибольший нуль многочлена Гегенбауэра CLK(•). Пусть 8l,\k = arccostl,xk.

Основные результаты второй главы сформулированы в теоремах 0.0.3-0.0.6.

Теорема 0.0.3. Пусть d > 2, L E N. Тогда

K(8,L)2sd-\K = , 8 E [28l,^k ,п\.

Теорема 0.0.3 в безвесовом случае (к ф 0) доказана А. Г. Бабенко. Весовой случай сводится к безвесовому.

Теорема 0.0.4. Пусть d > 2, 1 < p < 2, L e N. Тогда

K(S, 2L - 1)ptsd-iK < 21/p-1, S e [28l,\kП (0.0.3)

При к = 0 и d > 3 теорема 0.0.4 доказана Д. В. Горбачевым.

Доказательство теоремы 0.0.4 в параграфе 2.2 осуществляется с помощью оценки уклонения линейного положительного метода приближения

Ak,2L-2 (f; x)= i f (y) Vk [s2L-2 ((x, •Шу) daK (y), x e Sd-1,

J S-

где s2L-2(•) — некоторый неотрицательный на [-1,1] многочлен степени 2L - 2 по системе : n e N0}, и лемм 0.0.1, 0.0.2, 0.0.9.

Теорема 0.0.5. Пусть d = 2, 1 < p < 2, L,m e N, функция кратности к инвариантна относительно группы диэдра Im. Тогда

K(S,L)ptsiK > 21/p-1, S e (0,п], (0.0.4)

K(S, 2L - 1)ptsik = 21/p-1, S e [2sl,xk,4 (0.0.5)

Исходя из определения групп диэдра, теорему 0.0.5 достаточно обосновать для групп I2m, m e N. Оценка (0.0.4) получается на множестве действительных функций, по модулю равных 1, на котором в разделе 2.3.1 она сводится к оценке снизу константы Джексона в точном неравенстве Джексона в пространствах Lp [0, п], 1 < p < 2, с весом Якоби | $>т(ф/2)\2a+1\ cos^/2)\2e+1, а > в > -1/2, между величиной наилучшего приближения функции f косинус-полиномами и ее модулем непрерывности u(S, f )p,a,e, определяемым с помощью модуля непрерывности (0.0.2) в LpK(S1). Параметры а, в определяются весом. При этом центральную роль играет несимметричный положительный оператор обобщенного сдвига Т(а,в^, для которого

Т(а,в]РПав (cos ф) = Ctm(cos в)РПа,в) (cos ф),

где {РПа,в^ (cos ф): n E N0} — косинус-полиномы Якоби, ортогональные с весом Якоби на отрезке [0, п].

Для действительных функций f, по модулю равных 1, ш(8, f )p,a,e принимает следующий вид.

Лемма 0.0.11. Пусть 1 < p < 2, f E L2ae[0,п] — действительная функция, \f \ = 1, 8 E (0, п]. Тогда

1/p

f (ф)ТрИ f (ф) dmae (ф))

0

w(8, f )p,a,e = 21-1/p om5 (l — £ f (ф)Т(ав f (ф) dma,e (ф))

Лемма 0.0.11 доказывается на основе леммы 0.0.10.

В разделе 2.3.2 решается сформулированная редуцированная задача, следуя подходу, предложенному В. И. Ивановым и Ю. Лю, с использованием леммы 0.0.11. Из оценок (0.0.3), (0.0.4) следуют (0.0.5) и теорема 0.0.5 в целом.

Теорема 0.0.6. Пусть d > 3, 1 < p < 2, L E N, функция крат-

d 2'

ности к инвариантна относительно абелевой группы Zd. Тогда

Ц5,Ь)р^-1,к > 21/р-1, 6 е (0, п], (0.0.6)

К(6, 2Ь - 1)р^-г,к = 21/р-1, 6 е ,п]. (0.0.7)

Так как равенство (0.0.7) следует из (0.0.3) и (0.0.6), то для доказательства теоремы 0.0.6 необходимо доказать оценку снизу (0.0.6). Оценка снизу (0.0.6) получена в разделе 2.4.2 путем сведения к случаю группы диэдра 12, которая совпадает с . Для этого в разделе 2.4.1 устанавливаются дополнительные свойства оператора Ук, связанного с .

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н., профессору Валерию Ивановичу Иванову за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

Глава 1

гармонический анализ данкля на сфере

В первой главе излагаются элементы общей теории Данкля и гармонического анализа Данкля на евклидовой сфере. Приводятся известные факты теории Данкля и доказываются новые факты. Определяется оператор сплетения Данкля из весового пространства на евклидовом шаре в пространство на евклидовой сфере с весом Данкля, изучаются его свойства. Описываются группа диэдра 1т и абелева группа Ж", или группа перемен знаков. Дается удобное представление оператора сплетения Данкля, связанного с абелевой группой Ъ", на пространстве полиномов. Доказываются утверждения с оператором обобщенного сдвига, необходимые для определения модуля непрерывности в Ьр. Доказываются критерии фундаментальности образов оператора сплетения Данкля в пространствах на сфере.

1.1. Элементы общей теории Данкля

Отражение вдоль ненулевого вектора и £ К" (или отражение относительно гиперплоскости, ортогональной вектору и), обозначаемое

*-» «-» тгт) п, *-» *-»

через ви, есть линейный оператор на К", действующий по правилу

ви (х) = х - 2 ^^и, х £ Кп. \\и\г

Каждое отражение ви является ортогональным преобразованием пространства , т.е. ви £ 0(Кп).

Конечный набор Я С \ {0} называется системой корней, если

(1) Я П (и) = {и, -и} для всех и £ Я;

(2) ви(Я) = Я для всех и £ Я.

Сами векторы, принадлежащие системе Я, называются ее корнями. Подгруппа Ш = Ш(Я) С 0(Кп), порожденная набором отражений

{su: u E R}, называется группой отражений, связанной с R.

Для каждой системы корней группа W конечна, а набор отражений, содержащихся в W, есть в точности {su: u E R} [69, Theorem 6.2.7]. Очевидно, что если u E R, то (—u) = su (u) E R.

Транзитивное отношение < на Rd называется отношением (линейного) порядка, если выполнены следующие условия (см. [49, Определение 2.5], [73, p. 7]):

• для любых не равных друг другу векторов Л, i E Rd либо Л < либо i < Л;

• если Л < то Л + v < ¡1 + v для любого вектора v E Rd;

• если Л < 1, то cX < ci при c> 0 и ci < cX при c < 0.

Вектор Л называется положительным, если 0 < Л.

С каждым базисом ,... в Rd можно связать линейный порядок, задаваемый лексикографически: а = ^ ai& < в = Е biтогда и только тогда, когда для некоторого j выполнено неравенство aj < bj, а при всех i < j имеем ai = bi (т.е. набор (a1 ,...,ad) как «слово в словаре» идет раньше, чем набор (b1,... ,bd)). Заметим, что сами векторы будут положительными.

Подмножество R+ С R, состоящее из положительных векторов относительно заданного линейного порядка, называется положительной подсистемой в R. Поскольку корни объединяются в пары {u, —u}, то имеет место разложение R = R+ U (—R+) системы корней R в дизъюнктное объединение подмножеств R+ и —R+, последнее из которых называется отрицательной подсистемой в R.

Неотрицательная функция к, определенная на системе корней R, называется функцией кратности, если она W-инвариантна, т. е. k(u) = k(w(u)) для всех u E R и w E W.

С каждой функцией кратности связывают следующие два числа:

Yk = Е K(u), Лк = Yk + ———.

uGR+

Благодаря Ш-инвариантности функции к, числа 7к, Хк и дальнейшие определения, использующие положительную подсистему Я+, не зависят от специального выбора Я+ в Я.

Мы всегда предполагаем, если не оговорено противное, что в наших рассуждениях и приводимых далее построениях величина > 0, т. е. к ф 0. Отсюда Хк > 0.

Дифференциально-разностные операторы Т>3, 1 < ] < d, на Пп, определяемые по формулам

др(х) ^ лр(х) - р(ви(х))

дх utR+ <u'x) '

называются операторами Данкля.

Операторы Данкля введены Ч. Данклем в [67, 1.4 Definition]. Они являются однородными операторами степени —1, т.е. Dj(V^) С 1 при n е N, и коммутируют [67, 1.9 Theorem], [69, Theorem 6.4.8], т. е. D{Dj = DjD{, 1 < i,j < d. Оператор

Ак = D2 + ... + D2

называется лапласианом Данкля.

Лапласиан Данкля введен Ч. Данклем в [66]. Он является однородным оператором степени —2, т. е. Ак(V d) С , n ^ 2. Вес Данкля на сфере Sd-1 определяется по формуле

wK(x)= \{и,х)\2к(и), X е Sd-1.

Он является W-инвариантным, т. е. wK(•) = wK(w(•)) для всех w е W, и однородным степени 2^к.

В случае, когда функция кратности к тождественно равняется нулю на системе корней R, оператор Данкля Dj переходит в частную производную d/dxj, лапласиан Данкля Ак переходит в обычный лапласиан А, вес Данкля wK становится единичным весом на сфере.

С помощью вероятностной меры

^(*) = (х) <Мх), * е 8-, = [ ^(х) <Мх),

'к \

\§а-1

введем весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере

Ьр,к ) = { /: ^ С:

||/||р,§*-1,« = 1 |/(х)|р / < ж}, 1 < р< Ь^, . ) = { /: ^ С:

I/= е888Ир I/(х)| < Ж , р = Ж.

)

Пространство Ь2 1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

(/,9)к,§— = / (х)д(х) ^ (х). (1.1.1)

J§d-l

Для непрерывной и неотрицательной на х функции

, •) определим следующие пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на х :

Ь

к х ; С) = { К: х ^ С: ЦЩрр,к,о = ([ [ 1К(х,у)1р С(х,у) ¿ак (х)&ак (у)) 1 < ж),

1 < р < ж,

х ; С) = {К: х ^ С:

= 688 8Ир 1К(х,у)1 < Ж, р = Ж.

Вес Данкля для ^-п.в. х е 1 не ноль. Отсюда произвольное

свойство, справедливое ак-п.в. на сфере, выполняется для w-п.в. х е е Sd-1. Обратное заключение очевидно. Поскольку другие меры на сфере, кроме dw и daK, нами не будут рассматриваться, то всякий раз указание на меру, когда говорим о том, что некоторое свойство выполняется w-п.в. или ак-п.в. на Sd-1, опускаем.

Полином P е nd называется к-гармоническим, если АкP = 0. Сужение однородного к-гармонического полинома степени n е No на сферу Sd-1 называется к-сферической гармоникой степени n. Пространство к-сферических гармоник степени n обозначаем через At (к). Имеем N (n,d) = (n+--1) — (n +--3) при n ^ 2, N (0,d) = 1, N(1, d) = d. Отметим, что N(n, 2) = 2 при n ^ 1, N(n, 3) = 2n +1 при n ^ 0.

Относительно к-сферических гармоник справедливо следующее

Предложение 1.1.1 [66]. Если f, h — к-сферические гармоники различных степеней, то f§d-1 f (х) h(x) daK(х) = 0.

Из предложения 1.1.1 следует, что пространства Adn(к), рассматриваемые как подпространства в L2k(Sd-1), ортогональны относительно скалярного произведения (•, •)Kgd-i (1.1.1):

At (к) ±Am (к), n = m. Имеет место [66, Theorem 1.7]

[n/2]

Предложение 1.1.2. Vd = 0||x||2jAt-2j(к) при n е N0,

j=o

т. е. каждый полином f е Vd имеет единственное разложение

[n/2]

p(x) = Ы2Pn-2j(x), где pn-2j е At-2j(к). j=o

Доказательство следующей леммы, основанное на теореме Вей-ерштрасса об аппроксимации и предложении 1.1.2, аналогично доказательству следствия 2.3 из [50].

Лемма 1.1.1. Множество всех конечных линейных комбина-

оо

ций элементов из У АЛа(к)

п=0

(1) плотно в пространстве С(§^-1) по равномерной норме;

(п) плотно в пространствах Ьрк(§^-1), 1 < р < ж.

Методами стандартной теории гильбертовых пространств показывается с использованием леммы 1.1.1, что пространство Ь2, к (§^-1) разлагается в ортогональную сумму подпространств АП(к) [65], [50]:

о

Ь2 ,к) = £ ФАП(к), (1.1.2)

п=0

т. е. для каждой / е Ь2, к (§^-1) существует единственное разложение

о

/ = ^ У(п) в Ь2к), У(п) еАП(к).

п=0

Оператор ортогонального проектирования из Ь2, к(&-1) на АП(к) Ргп(к): Ь2,к) ^АП(к) (1.1.3)

можно выразить в интегральной форме

Ргп(к; /,х)= [ /(у)Рп(к; х,у) <1ак (у), х е -1, (1.1.4)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вепринцев Роман Андреевич, 2015 год

Список литературы

[1] Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963. 359 с.

[2] Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в Ь2 // Изв. вузов. Матем. 1995. № 8. С. 13-20.

[3] Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 333-355.

[4] Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве Ь2(Кт) // Тр. ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183-198.

[5] Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, вып. 6. С. 27-52.

[6] Бадков В.М. Приближение функций частичными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т. 3, вып. 6. С. 671-682.

[7] Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов: учеб. пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. 132 с.

[8] Балаганский В.С. Точная константа в неравенстве Джексона -Стечкина в пространстве Ь2 на периоде // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 1. С. 79-101.

[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 296 с.

[10] Бердышев В.И. О теореме Джексона в Ьр // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

[11] Васильев С.Н. Неравенство Джексона в Ь2(Тм) с обобщенным модулем непрерывности // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 1. С. 102-110.

[12] Васильев С.Н. Неравенство Джексона в Ь2 (К^) с обобщенным модулем непрерывности //Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 93-99.

[13] Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. 588 с.

[14] Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Ьр(-то, то) // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 3. С. 15-22.

[15] Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Ьр на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 1. С. 50-62.

[16] Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

[17] Горбачев Д.В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном Ь2-неравенстве Джексона-Стечкина // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 83-91.

[18] Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в Ь2 на гиперболоиде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 54-58.

[19] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965. 615 с.

[20] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965. 537 с.

[21] Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 5. С. 1013-1016.

[22] Иванов А.В. Теорема Джексона в пространстве Ь2(Т^) с весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 25-41.

[23] Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44.

[24] Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29-58.

[25] Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т. 88, вып. 1. С. 148-151.

[26] Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 180-192.

[27] Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т. 44, вып. 1. С. 64-79.

[28] Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. С. 15-40.

[29] Иванов В.И. Введение в теорию приближений. Тула: ТулГУ, 1999. 116 с.

[30] Иванов В.И. Об одном числовом неравенстве и его применении // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 28-44.

[31] Иванов В.И., Лю Ю. Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.

[32] Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

[33] Иванов В.И., Смирнов О.И. Неравенство Джексона в пространстве Ьр (К) со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 45-66.

[34] Иванов В.И., Хуэ Х.Т.М. Обобщенное неравенство Джексона в пространстве Ь2 (К) с весом Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 109-118.

[35] Иванов В.И., Чертова Д.В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 81-93.

[36] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

[37] Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в Ь2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 8. С. 3-46.

[38] Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. 576 с.

[39] Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Кп) и Ьр^\(К+) // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44-70.

[40] Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 320 с.

[41] Платонов С.С. О некоторых задачах теории приближения функций на компактных однородных многообразиях // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 6. С. 67-108.

[42] Платонов С.С. Гармонический анализ Фурье-Якоби и приближение функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, вып. 1. С. 117-166.

[43] Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Матем. 1972. № 6. С. 65-73.

[44] Попов В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений // Изв. вузов. Математика. 1981. № 12. С. 67-78.

[45] Попов В.Ю. Многомерные приближения в Ь2(Тт) // Теория функций и приближений: труды 3-й Саратовской зимней Школы (27 января - 7 февраля 1986 г.). Межвузовский научный сборник. Ч. 3. Саратов: Саратовский университет, 1988. С. 22-25.

[46] Попов В.Ю. Приближение на сфере в Ь2 // ДАН СССР. 1988. Т. 301, № 4. С. 793-797.

[47] Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на гиперболоиде //Тр. ИММ УрО РАН. 1985. Т. 5. С. 254-266.

[48] Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

[49] Смирнов Е.Ю. Группы отражений и правильные многогранники. М.: МЦНМО, 2009. 48 с.

[50] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 331 с.

[51] Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005. 480 с.

[52] Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

[53] Хуэ Х.Т.М. Обобщенное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 (^) с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 63-82.

[54] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Том I. М.: Наука, 1975. 656 с.

[55] Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

[56] Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513-522.

[57] Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2п) (1 < p < 2) с точной константой // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

[58] Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < p < < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

[59] Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 100-116.

[60] Чертова Д.В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2 на прямой со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 94-109.

[61] Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 309-315.

[62] Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. xvi+664 p.

[63] Calderon C.P., Urbina W.O. On Abel summability of Jacobi polynomials series, the Watson kernel and applications // Illinois J. Math. 2013. V. 57, № 2. P. 343-371.

[64] Chanillo S., Muckenhoupt B. Weak type estimates for Cesaro sums of Jacobi polynomial series // Mem. Am. Math. Soc. 1993. V. 102, № 487. P. 1-90.

[65] Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. New York: Springer, 2013. xviii+440 p.

[66] Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V. 197. P. 33-60.

[67] Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. P. 167-183.

[68] Dunkl C.F. Operators commuting with Coxeter group actions on polynomials. In: Stanton D. (ed.) Invariant Theory and Tableaux. New York: Springer, 1990. P. 107-117.

[69] Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. xviii+420 p.

[70] Freeden W., Schreiner M. Spherical functions of mathematical geosciences. A scalar, vectorial, and tensorial setup. Berlin: Springer, 2009. xv+602 p.

[71] Gu Y., Liu Y. The sharp constants in the Jackson inequality in weighted L2 (Bd) // Journal of Beijing Normal University (Nature Science) (in Chinese). 2013. V. 49, № 4. P. 347-350.

[72] Gu Y., Liu Y. The sharp Jackson inequality for L2-approximation on the periodic cylinder // Acta Math. Sci. 2015. V. 35 Ser. B, № 2. P. 375-382.

[73] Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. xii+204 p.

[74] Liu Y., Song C.Y. Dunkl's theory and best approximation by entire functions of exponential type in L2-metric with power weight // Acta Math. Sin., Engl. Ser. 2014. V. 30, № 10. P. 17481762.

[75] Menegatto V.A. Fundamental sets of functions on spheres // Methods Appl. Anal. 1998. V. 5, № 4. P. 387-398.

[76] Rosier M. Positivity of Dunkl's intertwining operator // Duke Math. J. 1999. V. 98, № 3. P. 445-463.

[77] Rudin W. Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill, 1987. xiv+416 p.

[78] Sun H. The sharp Jackson inequalities for L2-approximation on the disk and the real line with weight [Master's thesis]. Beijing Normal University, 2012.

[79] Sun X., Cheney E.W. Fundamental sets of continuous functions on spheres // Constr. Approx. 1997. V. 13, № 2. P. 245-250.

[80] Trimeche K. The Dunkl intertwining operator on spaces of functions and distributions and integral representation of its dual // Integral Transform. Spec. Funct. 2001. V. 12, № 4. P. 349-374.

[81] Wiener N. The Fourier integral and certain of its applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. xviii+201 p.

[82] Xu Y. Integration of the intertwining operator for ^-harmonic polynomials associated to reflection groups // Proc. Am. Math. Soc. 1997. V. 125. P. 2963-2973.

[83] Xu Y. Orthogonal polynomials for a family of product weight functions on the spheres // Can. J. Math. 1997. V. 49. P. 175-192.

[84] Xu Y. Funk - Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. V. 32. P. 447-457.

[85] Xu Y. Weighted approximation of functions on the unit sphere // Constr. Approx. 2005. V. 21. P. 1-28.

Список публикаций автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:

[86] Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6-26.

[87] Вепринцев Р.А. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49.

[88] Вепринцев Р.А. Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля, связанным с группой диэдра // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 95-123.

[89] Вепринцев Р.А. Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля, связанным с абелевой группой Z2 // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 5-27.

Публикации в других изданиях:

[90] Veprintsev R.A. Dunkl harmonic analysis and fundamental sets of continuous functions on the unit sphere // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 6, № 3. P. 147-151.

Тезисы докладов:

[91] Вепринцев Р.А. Оператор сплетения Данкля и свертка на сфере с весом Данкля // Матер. Международного молодежного научного форума «Ломоносов — 2014» [Электронный ресурс]. М.: МАКС Пресс, 2014.

[92] Вепринцев Р.А. Свертка на сфере с весом Данкля и правая аппроксимативная ^-единица // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научной конференции. Тула: ТулГУ, 2014. С. 20-21.

[93] Вепринцев Р.А. Об операторе сплетения Данкля // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: матер. Тринадцатой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения — 2014» (Казань, 24-29 октября 2014 г.). Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. Т. 50. С. 38-40.

[94] Вепринцев Р.А. О поточечной аппроксимации непрерывной на сфере функции частичными суммами ее ряда Лапласа -Данкля // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 46-й Международной молодежной школы-конференции, 25-31 января 2015 г. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2015. С. 88-89.

[95] Вепринцев Р.А. О сингулярных интегралах в гармоническом анализе Данкля на сфере // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 46-й Международной молодежной школы-конференции, 25-31 января 2015 г. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2015. С. 90-92.

[96] Вепринцев Р.А. Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля, связанным с группой диэдра // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: матер. Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 27 июня - 4 июля 2015 г.). Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ, 2015. Т. 51. С. 109-111.

[97] Вепринцев Р.А., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2, на сфере со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2013. С. 38-43.

[98] Veprintsev R.A. Dunkl analysis and fundamental sets of functions on the unit sphere // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V: матер. Международной научной конференции (Ростов-на-Дону, 26 апреля - 1 мая 2015 г.). Ростов н/Д: ДГТУ. С. 70-71.