Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Панин, Илья Александрович

• Панин, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панин, Илья Александрович

Введение.

Глава 1. Сечения рассеяния.

1.1. Рассеяние на заряженных частицах.

1.1.1. Обозначения.

1.1.2. Потенциал взаимодействия.

1.1.3. Сечения рассеяния.

1.2. Рассеяние на нейтральных частицах.

1.2.1. Транспортные сечения.

1.2.2. Аппроксимация.

Глава 2. Приближения Чепмена-Энскога.

2.1. Общие выражения.

2.2. Дебаевские интегралы.

2.3. Алгоритм вычисления интегральной экспоненты.

2.3.1. Проблема.

2.3.2. Прецизионные вычисления.

2.4. Атомные интегралы рассеяния.

2.4.1. Контроль точности.

2.4.2. Замечания.

Глава 3. Сходимость приближений Чепмена-Энскога.

3.1. Общие формулы.

3.1.1. Лоренцев газ.

3.1.2. Приближения ЧЭ для лоренцева газа.

3.2. Рассеяние на ионах.

3.2.1. Общие формулы.

3.2.2. Точное выражение.

3.2.3. Сходимость.

3.3. Рассеяние на нейтральных частицах.

3.3.1. Общие формулы.

3.3.2. Частный случай.

3.3.3. Расчеты.:.

3.3.4. Замечания.

3.4. Выводы.

Глава 4. Программа и результаты расчетов.

4.1. Описание программы.

4.2. Результаты расчетов характерных параметров.

4.3. Проводимость.

4.4. Математическая точность.

4.5. О сечениях нейтралов.

4.6. Соотношение вклада нейтралов и зарядов.

4.7. Сходимость приближений Чепмена-Энскога.

4.7.1. Железо.

4.7.2. Аргон.

4.8. Итоги.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме»

Как частично ионизованные газы (газо-плазменные смеси) так и полностью ионизованная плазма играют важную роль в физике и технических приложениях. Они образуются при больших выделениях энергии и являются рабочим телом различных конструкций: мощных газовых разрядов, МГД-генераторов, магнито-коммулятивных устройств и т.п. Для математического моделирования таких конструкций уже более полувека используют газодинамические компьютерные программы. Но для работы таких программ их необходимо снабдить надежными данными о теплофизических свойствах рабочих тел. К этим свойствам относятся уравнение состояния (точнее, полный набор термодинамических функций) и транспортные коэффициенты -в первую очередь, проводимость и коэффициент теплопроводности. Надежным методам нахождения последних двух величин посвящена данная диссертация.

Проводимость обусловлена движением заряженных частиц в электрическом поле. В плазме заряженными являются атомарные или молекулярные ионы и электроны. Поскольку масса электрона в десятки тысяч раз меньше масс ионов, их подвижность в сотни раз больше. Поэтому проводимость практически всегда обусловлена движением электронов, а ионы и атомы при этом можно считать неподвижными.

Теплопроводность вызвана движением любых частиц при наличии градиента температуры. При низких температурах, когда степень ионизации крайне мала, теплопроводность обусловлена преимущественно атомами и молекулами. В этой области температур выдающиеся результаты получены И.А. Соколовой [1]. В диссертации рассматриваются более высокие температуры, когда степень ионизации поднимается до -10%, и роль электронов становится преобладающей. Поэтому далее будем рассматривать только электронную теплопроводность.

Такая постановка существенно упрощает задачу. Достаточно рассмотреть уравнение Больцмана лишь для электронов, считая молекулы, атомы и ионы неподвижными рассеивающими центрами. Однако рассеяние электронов на электронах надо рассматривать аккуратно.

В данной работе проведено решение уравнения Больцмана (линеаризованного по внешним полям) для электронов с использованием 5-го приближения Чепмена-Энскога. Это обеспечивает хорошую математическую точность расчета. Кроме того, потенциал взаимодействия уточнен так, что он становится применимым для очень плотной плазмы. Последнее обеспечивает высокую физическую точность расчетов.

Все формулы в тексте приведены в атомной системе единиц (см. Приложение А).

Линеаризованное кинетическое уравнение. Коэффициенты переноса в умеренных внешних полях можно найти, упрощая кинетическое уравнение Больцмана для электронов. Сначала рассмотрим однородную среду, в которой внешние поля F=0. Для нее одночастичная функция распределения/не зависит от координат, а от скоростей зависит по закону Максвелла при любом законе взаимодействия частиц: / = /(0)(v). Затем введем стационарную внешнюю силу F, вызванную внешним электрическим полем или градиентом температуры и т.п. Она приводит к возмущению функции 8f- /(v)- /(0)(v)

Интеграл парных столкновений Lap[fa,fp\ квадратично зависит от функции распределения. Считая возмущение 5fa малым и линеаризуя уравнение Больцмана по нему, получим линейное стационарное кинетическое уравнение для 5f. здесь т„ - масса частицы. а

Эти интегральные уравнения можно решать техникой Чепмена-Энскога, включающей разложение 5/по многочленам Сонина от v [2]. Для короткодействующих сил в нейтральных газах эти разложения обычно быстро сходятся.

Кулоновские силы в плазме дальнодействующие, и столкновения из-за этого являются не парными, а существенно множественными. Строгие математические методы при этом не дают конструктивных результатов, и приходится строить модельные приближения.

В ранних работах [3,4,5] близкие столкновения рассматривались как парные в рамках уравнения Больцмана, а далекие учитывались как диффузия в импульсном пространстве с помощью уравнения Фоккера-Планка. Использовалась классическая механика столкновений, поэтому в кулоновских сечениях возникала расходимость. Её устраняли, обрезая интегралы столкновений на некоторых правдоподобных пределах. В итоге для проводимости было получено так называемое спитцеровское выражение 77=Т3/2/ А , где так называемый кулоновский логарифм А^=1п(1/Г), а параметр л неидеальности плазмы T=Z /(.RT); здесь Т - температура, Z - заряды ионов, R - средний радиус сферы, приходящийся на один ион. Это выражение разумно согласовывалось с экспериментами для очень слабо неидеальной плазмы с Г<0.01. Такие условия реализовывались в горячей неплотной плазме.

Расчеты [3,4,5] использовали лишь низшие приближения Чепмена-Энскога. Введение в расчеты более высоких приближений [6,7,8] улучшило точность и сблизило результаты с экспериментами при Г<0.01. Однако при слабых неидеальностях Г«0.01-0.1 различия с экспериментами были отчетливо видимы. Для устранения этих расхождений предлагались более сложные модели [9,10,11]. Однако для умеренно неидеальной плазмы Г>0.1 они также оказались непригодными.

В упомянутых работах столкновения описывались классически, что приводило к кулоновскому логарифму и параметру Г. Неклассический подход [12,13] привел к некулоновскому логарифму, зависящему от другого параметра; к сожалению, эти работы не были своевременно замечены. Кроме того, в них использовалось лишь низшее приближение теории возмущений. Для описания экспериментов [14,15,16,17,18] с сильной неидеальностью до Г=6 этого было недостаточно.

Однако имеется одна простая модель [19,20,21,22], хорошо описывающая все известные эксперименты, включая эксперименты с сильной неидеальностью. Эта модель использует квантовое описание кулоновских столкновений, и в ней отсутствуют расходимости. Назовем ее квантовой моделью Калиткина. Её можно рассматривать как обобщение модели Константинова-Переля с учетом более высоких приближений Чепмена-Энскога. Эта модель основана на трех предположениях: а) взаимодействия заряженных частиц в плазме считаются парными; б) потенциал взаимодействия является дебаевским (экранированным кулоновским); в) сечение рассеяния вычисляется в борновском приближении.

Попытки построить более точную модель [23] оказались безуспешными.

На сегодняшний день квантовая модель Калиткина остается наиболее точной.

Но модель обладает и рядом недостатков. Она выполнена в 4-м приближении ЧЭ, его точности еще хватает для проводимости, но маловато для теплопроводности. Модель не применима к сверхплотной плазме (по плотности близкой к твердым телам). В этой области получаются существенные расхождения с экспериментами или даже срыв расчетов. Кроме этого, очень грубо учитывается вклад столкновений электронов с нейтральными частицами (как константа, независящая от скорости частиц). Поэтому в области невысоких температур, где этот вклад особенно ощутим, получаются результаты, отличные иногда в несколько раз от экспериментов.

Данная диссертация посвящена совершенствованию квантовой модели Калиткина. В главе 1 потенциал взаимодействия уточнен так, что он становиться применим для очень плотной плазмы, а также произведена аккуратная оценка вклада столкновений с нейтральными частицами. В главе 2 построено более высокое, 5-ое приближение Чепмена-Энскога. Пятое приближение является оптимальным в том плане, что дает высокую математическую точность, удовлетворяя потребности практики, и не слишком сложно для вычислений. Кроме того в главе 2 предложен новый высокоточный алгоритм расчета интегральной экспоненты, что также позволяет повысить математическую точность. В области невысоких температур проведено существенное повышение физической точности модели за счет использования наиболее точных сечений рассеяния электронов на нейтралах. В главе 3 проведено исследование сходимости приближений Чепмена-Энскога. В главе 4 на основе усовершенствованной квантовой модели Калиткина создана программа и проведены расчеты для ряда веществ.

Предпринятые шаги повысили точность модели и сделали её применимой в огромном диапазоне температур и плотностей плазмы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Панин, Илья Александрович

3.4. Выводы

1. Сравнение с точным ответом в случае лоренцева газа показывает, что приближения ЧЭ почти всегда быстро сходятся, 5-е приближение обеспечивает точность -0.1% для проводимости и ~1% для теплопроводности.

2. В полной задаче сравнение соседних приближений дает достаточно надежную оценку достигнутой точности. Такая оценка введена в программе (гл. 4).

Глава 4. Программа и результаты расчетов.

4.1. Описание программы

На основе описанных выше методов был составлена программа. Она позволяет рассчитывать подробные таблицы проводимости и электронной теплопроводности. В качестве исходных данных для нее задаются сетка по температуре и объему (плотности), а также данные по составу газоплазменной смеси во всех узлах этой сетки (они берутся как результат расчета другой программы).

По составу смеси требуются следующие величины: концентрация электронов хе, концентрации всех сортов нейтральных частиц х}, средний квадрат заряда ионов £. Сведений о детальном ионном составе не требуется.

Хотя формулы написаны для двухтемпературной плазмы, фактически все расчеты выполняются для однотемпературной плазмы по простой причине: объем таблиц для трех независимых переменных Te,Tt,V был бы неприемлемо большим для использования в прикладных газодинамических расчетах.

Приведем некоторые примеры расчетов и обсудим их результаты.

4.2. Результаты расчетов характерных параметров.

Для водорода на рис. 4.1 приведены изолинии классического параметра неидеальности Г. Именно величина 1/Г входит в кулоновский логарифм рассеяния. Видно, что даже для разреженной плазмы (lgN= 17, где N-концентрация тяжелых частиц в см"3) кулоновский логарифм невелик и может стать меньше 10. Для больших плотностей (lgN= 22) кулоновский логарифм близок к нулю, и классическая теория проводимости дает абсурдные результаты.

На рис. 4.2 также для водорода показаны изолинии полуквантового параметра, определяющего проводимость в полуквантовой теории. Видно, что этот параметр остается большим даже при огромной плотности (lg N= 23). Это обеспечивает хорошую применимость полуквантовой теории. lg N, cm"3

Рис. 4.1. Изолинии классического параметра Г для водорода. Около линий указаны значения lg Г.

Ig N, cm"3

Рис. 4.2. Изолинии полукванового параметра рассеяния для водорода. Около линий указаны значения lg(262).

4.3. Проводимость.

На рис. 4.3 показана проводимость железа, рассчитанная в пятом приближении Чепмена-Энскога. При наименьшей плотности lgN= 17 поведение изолинии хорошо соответствует классическим представлениям. В интервале 7"= 1 — 10 КэВ вещество полностью ионизовано, и наклон изолинии соответствует классическому закону rj ~ Тш. В диапазоне 1 эВ — 1 КэВ средний наклон изолинии несколько меньше, так как происходит ионизация железа, и появление ионов большей кратности увеличивает рассеяние электронов и несколько уменьшает проводимость. На изотерме Г=10 КэВ вещество полностью ионизовано, и проводимость слегка возрастает с увеличением плотности. Это объясняется уменьшением дебаевского радиуса, что приводит к уменьшению рассеяния частиц. Поведение линий при больших плотностях и невысоких температурах существенно более сложное.

Рис. 4.3. Проводимость железа.

4.4. Математическая точность.

Она определяется 1) математической точностью вычисления всех интегралов рассеяния на заряженных и нейтральных частицах, и 2) сходимостью приближений ЧЭ.

Интегралы рассеяния на заряженных частицах математически точно выражаются через специальную функцию - интегральную экспоненту. Для расчета самой интегральной экспоненты были разработаны прецизионные формулы, обеспечивающие относительную погрешность 2*10"15 (параграф 2.3). Для рассеяния на нейтральных частицах выше построены квадратуры, гарантирующие относительную погрешность 10"5 (параграф 2.4). Такая точность превышает потребности практики. Эти погрешности надежно контролируются в ходе работы программы. Они настолько невелики, что этот источник погрешности никогда не давал о себе знать в практических расчетах.

Сходимость приближений ЧЭ при типичных модельных потенциалах взаимодействия частиц была исследована в главе 3 на примерах с известными точными решениями. Это исследование показало, что в большинстве случаев мы можем рассчитывать на точность не хуже 0.1% для проводимости и 0.5% для теплопроводности в 5-м приближении ЧЭ. Одновременно было замечено, что контроль по убыванию разности соседних приближений дает примерно ту же оценку, что и контроль по сходимости к известным точным ответам.

На практике точный ответ неизвестен. Однако из сказанного видно, что достаточно ограничиться контролем скорости убывания разностей между соседними приближениями ЧЭ. Обычно эти разности быстро убывают. Тогда можно считать, что погрешность 5-го приближения будет меньше разности 4-го и 5-го приближений. Такой контроль был включен в программу расчетов. Этот источник погрешности больше первого, так что за ним надо следить в ходе расчетов.

4.5. О сечениях нейтралов.

Дополнительным источником математической погрешности может стать недостаточно аккуратная аппроксимация транспортных сечений рассеяния электронов на нейтральных частицах. Оценку этого фактора мы провели на примере атомарного водорода (рис. 1.2). Экспериментальные точки в выбранных координатах здесь расположены почти на одной прямой (1.10).

Соответствующая сплайн-аппроксимация из [27] хорошо описывает экспериментальные точки; разность между ней и (1.10) кажется небольшой. Среднеквадратичное уклонение составляет 10% от величины сечения. Существенна ли эта разница?

Для проверки этого были проведены расчеты проводимости с обеими аппроксимациями сечения. Для сравнения был выбран диапазон температур 215 3

10 тыс. К и малая плотность (концентрация атомов 10 см" ). При таких условиях молекулы присутствуют лишь при низких температурах, причем в малых концентрациях, так что их вклад невелик. Ионы появляются лишь при самых высоких температурах; правда, их вклад уже нельзя считать малым, так как сечение рассеяния электронов на заряженных частицах много больше, чем на нейтральных. Результаты расчетов приведены в табл. 4.1.

В этой таблице даны величины 100• ln(^5 /rjt) и 100• 1п(Яя / Я,). Здесь j]s, As - транспортные коэффициенты, полученные при использовании сплайн-аппроксимации; 77,, X, относятся к линейной аппроксимации сечения на атомах. Указанные величины практически совпадают с процентными отклонениями r/s от 77, и As от А,,. Проанализируем полученные результаты.

Видно, что при Т<7 тыс. К, когда ионов практически нет, эти отклонения отнюдь не малы: они достигают почти 9% для проводимости и 7% для теплопроводности. Таким образом, ошибка в аппроксимации сечения искажает транспортные коэффициенты много сильней, чем неточность квадратурных формул или приближений ЧЭ. Если мы хотим при низких температурах иметь высокую точность результата, нужно аппроксимировать сечение с хорошей точностью.

При Т>1 тыс. К различия быстро убывают. Это объясняется появлением заметного количества ионов, рассеяние на которых становится доминирующим. В этих условиях точность аппроксимации сечений рассеяния на нейтральных атомах не очень существенна. t

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панин, Илья Александрович, 2009 год

1. И. А. Соколова. Компьютеризованная библиотека транспортных свойств атмосферных газов и плазмы. // Математическое моделирование, 1998, т. 10, №. 2, с. 25-40.

2. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. / М: Изд. иностранной литературы, 1960. 511 с.

3. R. Landshoff. Transport phenomena in a completely ionized gas in presense of a magnetic field. Phys. Rev., 1949, v. 76, no. 7, pp. 904-909.

4. R.S. Conen, L.jr. Spitzer, P. McRoutly. The electrical conductivity of an ionized gas. Phys. Rev., 1950, v. 80, no. 2, pp. 230-238.

5. R. Landshoff. Convergence of the Chapman-Enskog method for a completely ionized gas. Phys. Rev., 1951, v. 82, no. 3, p. 442.

6. R. S. Devoto. Transport properties of ionized monatomic gases. Physics of fluids, 1966, v. 9, no. 6, pp. 1230-1240.

7. C.P. Li, R.S. Devoto. Fifth and sixth approximations to the electron transport coefficients. Phys. of Fuids, 1968, v. 11, no. 2, pp. 448-450.

8. C.H. Kruger, M. Mitcher, U. Daybelge. Transport properties of MHD-generator plasmas. AIAA journal, 1968, v. 6, no. 9, pp. 1712-1723.

9. T. Kihara, O. Aono. Unified theory of relaxations in plasmas; part I, basic theorem. J.Phys. Sc. Jap., 1963, v. 18, p. 837.

10. К Itikava. Transport coefficients of plasmas; application of unified theory. J.Phys. Soc. Jap., 1963, v. 18, p. 1499.

11. H.A. Gould, H.E. DeWitt. Convergent Kinetic equation for a classical plasma. Phys. Rev., 1967, v. 155, no. l,pp. 68-74.

12. O.B. Константинов, В. И. Перель. //ЖЭТФ, 1960, №. 39, с. 861.

13. О.В. Константинов, В.И. Перель. Уточнение кинетических коэффициентов плазмы. // ЖЭТФ, 1961, т. 41, №. 4(10), с. 1328-1329.

14. Н.Н. Огурцова, И. В. Подмошенский, В.А. Смирнов. Измерение электропроводности неидеальной плазмы при 38000 К и давлениях 500-2500 бар. // ТВТ, 1974, т. 18, №. 3, с. 650-652.

15. В.А. Сеченов, Э.Е. Сон, О.Е. Щекотов. Проводимость неидеальной цезиевой плазмы за отраженной ударной волной. // Письма ЖТФ, 1975, т. 1, №. 19, с. 891-895.

16. В.А. Сеченов, Э.Е. Сон, О.Е. Щекотов. Электропроводность цезиевой плазмы. // ТВТ, 1977, т. 15, №. 2, с. 411-415.

17. И.В. Ермохин, Б.М. Ковалев, П.Л. Кулик, Рябый В.Я. Температурная зависимость электропроводности плотной цезиевой плазмы, полученной импульсным изобарным омическим нагревом. // ТВТ, 1977, т. 15, №. 4, с. 695-702.

18. С. И. Андреев, Т.В. Гаврилова. Измерение электропроводности плазмы воздуха при давлении свыше 100 атм. // ТВТ, т. 13, №. 1, с. 176-178.

19. Н.Н. Калиткин. Проводимость низкотемпературной плазмы. // Теплофизика высоких температур, 1968, т. 6, №. 5.

20. B.C. Рогов. Расчет проводимости плазмы. // Теплофизика высоких температур, 1970, т. 8, №. 4, с. 689.

21. B.C. Рогов. Проводимость слабо неидеальной многокомпонентной плазмы. // Канд. дисс. Инст. Прикл. Математики АН СССР, 1971.

22. Н.Н. Калиткин, Ермаков В.В. Электронный перенос в плотной невырожденной плазме. // Физика плазмы, 1979, т. 5, №. 3.1. Список ЛИТЕРАТУРЫ55

23. В.Б. Минцев, В.Е. Фортов, В.К, Грязное. Электропроводность высокотемпературной неидеальной плазмы. // ЖЭТФ, 1980, т. 79.

24. Н.Н. Капиткин, JI.B. Кузьмина. Модели неидеальной плазмы. // Препринт ИПМ им. Келдыша, 1989, №. 16, 38 с.

25. Л. Хаксли, Р. Кромптон. Диффузия и дрейф электронов в газах. Пер. с англ. М: Мир, 1977, гл. 14.

26. А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M. и др. Братковский. Физические величины: Справочник. /М: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

27. Н.М. Шляхов. Сплайн-аппроксимации транспортных сечений рассеяния электронов на некоторых атомах и малекулах. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, №. 6, с. 121-128.

28. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, И.А. Панин, И.П. Пошивашо. Квадратуры от функций с особенностями. //ДАН, 2006, т. 410, №. 1, с. 32-35.

29. Дж. Кей, Т. Лэби. Таблицы физических и химических постоянных. / М: Физматгиз, 1962.

30. Y. Itikawa. Interactions of Photons and Electrons with Atoms (Volume 17A). Springer-Verlag, 2003 Online]. http://vAvw.springerlink.com/content/h4767v/

31. Y. Itikawa. Interactions of Photons and Electrons with Molecules (Volume 17C). Springer-Verlag, 2003 Online], http://www.springerlink.com/content/h4767v/

32. Ширмер, Фридрих. Электропроводность плазмы. // Сборник переводов «Движущаяся плазма». М: ИИЛ, 1961.

33. W. Gautschi, W.F. Cahill. Exponential Intergral and Related Functions, in Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, M. Abramowitz, I. A. Stegun, Eds.: National Bureau of Standards, 1972.

34. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. О вычислении интегральной экспоненты. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 1, с. 87-91.

35. Е. С Кузнецов. Избранные научные труды. М: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с. 486.

36. Н.Н. Калиткин, А.Б. Алъшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов. Вычисления на квазиравномерных сетках. / М: Физматлит, 2005, 224с.

37. В.Г. Потемкин. MATLAB 6: среда проектирования инженерных приложений. / 448 с -М: Диалог-МИФИ, 2003.

38. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. / М: ФИЗМАТЛИТ. 2001, 808 с.

39. Н.Н. Калиткин. Численные методы. / М: Наука, 1978. 512 с.

40. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. О сходимости приближений Чепмена-Энскога при расчете электронных транспортных коэффициентов. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 6, с. 86-98.

41. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. Вычисление электронного переноса в плазме в высоких приближениях Чепмена-Энскога. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 4, с. 103-116.

42. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей, / Пер. с англ. М: Иностр. лит-ра, 1961. - 929 с.

43. L. Spitzer, R. Harm. Transport phenomena in a completely ionized gas. Phys. Rev., 1953, v. 89, no. 5, pp. 997-981.

44. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. Вклад нейтральных частиц в электронные транспортные коэффициенты газов. //Математическое моделирование, 2009, т. 21, №. 7, с. 83-92.