Вычисление кинетических коэффициентов произвольно вырожденных электронов в замагниченном плотном веществе. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Глушихина Мария Владимировна

• Глушихина Мария Владимировна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Глушихина Мария Владимировна

Введение

Глава 1. Уравнение Больцмана и уравнения переноса

1.1. Уравнение Больцмана и уравнения переноса для произвольно вырожденных электронов

1.2. Метод Чепмена-Энскога для решения уравнения Больцмана ... 20 Заключение к первой главе

Глава 2. Расчёт матричных элементов для интегралов столкновений

2.1. Матричные элементы Ь^к

2.2. Матричные элементы а^к

Заключение ко второй главе

Глава 3. Тензоры теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта для невырожденных электронов в магнитном поле

3.1. Выражения для тензоров кинетических коэффициентов в общем виде

3.2. Тензоры теплопроводности и термодиффузии для невырожденных электронов

3.3. Сравнение точного решения для теплопроводности и термодиффузии в приближении Лоренца с полиномиальным разложением

3.4. Тензоры диффузии и диффузионного термоэффекта для невырожденных электронов

3.5. Сравнение точного решения для диффузии и диффузионного термоэфффекта в приближении Лоренца с полиномиальным разложением

Выводы к третьей главе

Глава 4. Расчёт коэффициентов теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта в случае частичного вырождения

4.1. Тензоры теплопроводности и термодиффузии для частного случая частично вырожденных электронов

4.2. Тензор теплопроводности для сильно вырожденных электронов, полученный методом последовательных приближений

4.3. Тензоры диффузии и диффузионного термоэффекта в случае частично вырожденных электронов

Выводы к четвёртой главе

Глава 5. Расчет коэффициентов теплопроводности, термодифу-зии, диффузии и диффузионного термоэффекта в случае сильного вырождения

5.1. Уравнение Больцмана в приближении Лоренца

5.2. Теплопроводность и термодиффузия вырожденных электронов в магнитном поле

5.3. Диффузия и диффузионный термоэффект вырожденных электронов в магнитном поле

Выводы к пятой главе

Заключение

Цитируемая литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычисление кинетических коэффициентов произвольно вырожденных электронов в замагниченном плотном веществе.»

Актуальность работы

Нейтронные звезды и белые карлики - иногда их объединяют под общим названием "вырожденные звёзды", принадлежат к числу наиболее удивительных объектов во Вселенной. Они имеют малые радиусы, приблизительно 10 км и 1000 км соответственно, но при этом масса нейтронной звёзды сравнима с солнечной. Вещество нейтронных звёзд сжато до очень больших плотностей, вплоть до 1014 г/см3 в центральных областях, возможно, и более. Плотность вещества белых карликов меньше, может достигать 108 г/см3. Кроме экстремальных плотностей у вырожденных звёзд наблюдаются одни из самых больших значений магнитных полей во Вселенной - до 1015 Гс у поверхности нейтронных звёзд, и около 108 Гс у поверхности белых карликов. Вырожденные звёзды образуются на конечной стадии эволюции звезд. При гравитационном коллапсе ядер обычных звезд с массой М > 8М0 вещество центральных слоев сжимается до ядерных плотностей и нейтронизуется. При образовании нейтронной звезды выделяется огромная энергия, примерно 20% энергии-массы покоя звезды, но почти вся она выделяется в виде нейтрино [1, 2, 3]. Коллапс прекращается, когда в центре формируется стабильная нейтронная звезда. Общее число нейтронных звезд в галактике оценивается в 108 — 109, из них радиопульсаров, то есть молодых нейтронных звезд - порядка 105[4]. В звёздах с массой до 8 М0 термоядерная эволюция ядра с массой меньше критической массы Чандрасекара не доходит до образования элементов группы железа. В зависимости от начальной массы, она останавливается на стадиях гелиевого или углеродно-кислородного вырожденного ядра. Такое ядро постепенно остывает и превращается в белый карлик. Предполагается, что белые карлики составляют от 3% до 10% от всего звездного населения нашей галактики [5].

Внутреннее строение нейтронных звёзд и белых карликов известно с боль-

шой степенью неопределенности из-за отсутствия лабораторных данных о свойствах вещества в сверхплотном состоянии. Специфические свойства ионизированного газа при сверхвысоких плотностях определяются вырождением. Из-за принципа Паули в вырожденном газе скорости электронов даже вблизи абсолютного нуля остаются большими, следовательно давление вырожденного газа мало зависит от температуры.

Наблюдательные проявления белых карликов ярко видны в составе тесной двойной системы, где под действием приливных сил вещество перетекает со звезды-компаньона, что приводит к увеличению массы белого карлика. При приближении к чандрасекаровскому пределу возникает термоядерное горение, приводящее к взрыву. Такие системы называеются взрывными или катаклиз-мическими переменными. Одиночные удалённые белые карлики наблюдать достаточно трудно из-за их малой светимости Lwd ~ 1O-3L0 [5].

Наблюдательные проявления нейтронных звезд многообразны. Раньше всех, в 60-х годах прошлого века, были обнаружены классические радиопульсары и аккрецирующие нейтронные звезды в тесных двойных системах. Если в тесной двойной системе у нейтронной звезды магнитное поле > 1010 Гс - наблюдается феномен рентгеновского пульсара. Если магнитное поле на НЗ меньше 1010 Гс перетекшее вещество накапливается и, при превышении некоторого критического значения плотности и температуры, на поверхности НЗ происходит термоядерный взрыв. Такие взрывы наблюдаются в виде вспыхивающих рентгеновских источников или барстеров [6].

Позднее были открыты различные типы одиночных нейтронных звёзд, такие как: мягкие гамма повторители (SGR), аномальные рентгеновские пульсары (AXPs), центральные компактные объекты в остатках сверхновых (CCOs in SNRs), вращающиеся радио транзиенты (RRATs) и рентгеновские одиночные нейтронные звёзды XDINS, у последних есть ещё и неформальное название -Великолепная семёрка (Magnificent Seven - M7)[7, 8, 9].

Первый объект из Великолепной семерки, RXJ1856-3754 был открыт 1996 году [10]. В дальнейшем были открыты: RX J1605.3+3249, RBS1223, RX J0806.4-4132, RX J0720.4-3125, RX J0420.0-5022, 1RXS J214303.7+065419 [11]. Эти звёзды расположены недалеко друг от друга, на расстоянии нескольких сотен парсек, их возраст составляет несколько сотен тысяч лет, они излучают в мягком рентгеновском диапазоне спектра из-за остывания их поверхности и являются радио-тихими. Среди всех нейтронных звёзд с тепловым излучением только M7 обладают чистым чёрнотельным спектром, без добавления излучения от аккреционного диска, окружающей туманности или остатка сверхновой[12, 13]. Все объекты из XDINS были обнаружены спутником ROSAT и, несмотря на усиленные поиски, с 2001 года не было обнаружено новых кандидатов. Но в 2011 году, по данным наблюдений телескопа Chandra, был обнаружен объект PSR J0726-2612, который подходил по параметрам для XDINS, и позднее, данные с XMM-Newton показали, что пульсар не только является XDINS, но еще и обладает радиозлучением.[14]

Наблюдения теплового излучения от поверхности нейтронной звезды крайне важны, они могут предоставить информацию о массе и радиусе звезды, что необходимо для определения уравнения состояния её материи, химическом составе внешней оболочки, распределении температуры по поверхности и конфигурации магнитного поля [15]. Анализ теплового излучения M7 в рентгеновском диапазоне указывает на периодические изменения [16], причиной которых является анизотропное распределение температуры по поверхности звезды. В широкой области от оптического до рентгеновского диапазона спектр излучения таких НЗ не может быть представлен как спектр излучения с поверхности с одной температурой. Анизотропия температуры встречается в областях с низкой и средней плотностью, таких как твердая кора, где сложная геометрия магнитного поля могла вызвать магнитотепловую эволюцию. В некоторых предельных случаях при достаточно сильном магнитном поле анизотропия мо-

жет существовать в плохо изученной внутренней области, где за отток энергии отвечают также процессы с участием нейтрино [17].

Для того, чтобы описать тепловое излучение и понять процессы влияющие на распределение заряда и тепла по поверхности нейтронной звезды необходимо знать свойства переноса в её веществе. В зависимости от состояния вещества внутри НЗ выделяются четыре основные зоны: внешняя и внутренняя кора, и внешнее и внутреннее ядро [18]. Ширина внешней коры 300 — 600 м, плотность Р < Pnd = 4 * 1011 г/см3. Величина pnd соответствует плотности, при которой в равновесии появляются свободные нейтроны. Внешняя кора состоит из приповерхностного слоя невырожденных электронов, которые становятся вырожденными при продвижении глубже к центру звезды, и ионов. Ионы обычно рассматриваются как невырожденные. Они могут находиться в газообразном состоянии, могут формировать кулоновскую жидкость или кулоновский кристалл [19]. Кристаллическая структура кулоновских кристаллов отличается от кристаллов, которые находятся на Земле. В земных кристаллах главный вклад в упругость вносит взаимодействие между ионами и атомами, вклад свободных электронов в давление существенно меньше. В коре нейтронной звезды упругость электронов в сотню раз превосходит упругость кристаллической решетки. Прочность решетки такого кристалла мала, и она легко ломается при внешнем воздействии[20].

Внутренняя кора, с толщиной от 500 до 800 метров от поверхности, гле плотность вещества лежит в диапазоне pnd < р < 0.5р0, где р0 = 2.8 * 1014 г/см3 - это ядерная плотность. Во внутренней коре электроны находятся в состоянии ультрарелятивистского вырожденного газа, ядра обогащены нейтронами. Свободные нейтроны образуют сильно вырожденную Ферми-жидкость.

Во внешнем ядре плотность вещества лежит в диапазоне от половины до двух р0, предполагается, что оно представляет собой однородную материю из сильно вырожденных протонов, нейтронов, электронов. Нуклоны образуют

неидеальные ферми-жидности, а электроны - идеальные ферми-газы. В массивных нейтронных звёздах может быть и внутреннее ядро, в котором предполагается плотность от двух до двадцати р0. Состав внутреннего ядра достоверно не известен. [18]

Данная диссертационная работа посвящена расчёту кинетических коэффициентов в произвольно вырожденном, замагниченном, плотном веществе, которое входит в состав внешней и внутренней коры нейтронной звезды, а так же центральных слоёв белых карликов. Потоки тепла и плотности токов в оболочке нейтронных звёзд определяются коэффициентами теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта. Теплопроводность — основная величина, необходимая для вычисления взаимосвязи между внутренней температурой нейтронной звезды и эффективной температурой на ее поверхности. Связь между этими величинами влияет на тепловую эволюцию нейтронной звезды и ее радиационные спектры. Диффузия необходима для вычисления распределения токов, что позволит исследовать геометрию магнитного поля на поверхности звезды и, возможно, глубже в коре.

Классические методы кинетической теории газов были разработаны Максвеллом, Больцманом, Гильбертом, Энскогом и Чепменом. Эти методы представлены в монографии Чепмена и Каулинга [21]. Они основаны на решении уравнения Больцмана методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения берется термодинамически равновесная функция распределения: для невырожденного газа — распределение Максвелла, для случая, когда вырождение важно, — распределение Ферми-Дирака. Равновесная функция распределения не дает точное решение уравнения Больцмана при наличии неоднородности. Согласно методам, предложенным в [21], необходимо искать решение уравнения Больцмана в первом приближении как разложение по полиномам Сонина (Лагерра), которое справедливо для невырожденного газа. Чтобы учесть вырождение, используется система ортогональных функций, ко-

торые являются обобщением полиномов Сонина, предложенная в [22, 23, 24], см. также [25]. Обычно для вычисления теплопроводности берутся первые два члена разложения. В [26] было показано, что такое приближение дает существенные погрешности для коэффициента теплопроводности, которые становятся намного меньше, когда используется разложение до третьей степени полинома. Первое применение уравнения Больцмана к газу из заряженных частиц было сделано Чепменом [21]. Из-за расходимости интеграла столкновений при больших прицельных параметрах для частиц с кулоновским взаимодействием в качестве верхнего предела интегрирования по прицельному параметру было взято среднее расстояние между частицами. Таким образом, были получены коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии для газов, состоящих из заряженных частиц. Расхождение интеграла столкновений для кулоновского взаимодействия при больших прицельных параметрах показывает, что рассеяние частиц с большим прицельным параметром и малым изменением импульса при единичном столкновении играет более важную роль, чем столкновения с большим изменением импульса. Ландау использовал этот факт для упрощения интеграла столкновений Больцмана [27]. Он выполнил разложение функции распределения после столкновения при малых изменениях импульса и оставил первые два члена разложения. Полученный таким образом интеграл называют интегралом столкновений Ландау. Другой вывод интеграла столкновений Ландау был сделан Чандрасекаром [28], который использовал аналогию с броуновским движением, которое описывается уравнением Фоккера-Планка. Коэффициенты теплопроводности, электропроводности, термодиффузии и диффузионного термоэффекта для полностью ионизованного газа без магнитного поля были численно получены в работах [29, 30]. Кинетические коэффициенты для невырожденной плазмы при наличии и отсутствии магнитного поля были вычислены в [31, 32, 33] с использованием метода разложения Чепмена-Энскога с интегралом столкновений в больцмановском виде. В случае отсутствия маг-

нитного поля результаты [31, 32, 33] совпадают с результатами [29, 30], так как столкновительные члены в виде Больцмана и Фоккера-Планка для кулонов-ского взаимодействия эквивалентны. Идентичность интегралов столкновений Ландау и Фоккера-Планка показана в [34], см. также [35].

Уравнение Больцмана можно решать методом Грэда, который также называют методом моментов [36]. Свойства переноса в полностью ионизованной плазме методом Грэда были исследованы в работах Самохина [37, 38, 39]. В методе Грэда функцию распределения можно представить в таком виде, что зависимость от времени и координат будет проявляться через соответствующую зависимость моментов скоростей частиц, это достигается с помощью разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита-Чебышева. Отличие метода Грэда от метода Чепмена-Энскога состоит в том, что такие моменты скоростей, как тензор вязких напряжений, тепловой поток и т. д. рассматриваются не как вспомогательные переменные, выражения которых необходимо знать для получения уравнений гидродинамики, а как вполне самостоятельные переменные, характеризующие движение газа [40].

Брагинский [41] вычислил кинетические коэффициенты для невырожденной плазмы в магнитном поле, состоящей из электронов и одного сорта положительно заряженных ионов, используя кинетические уравнения, нормированные на средние скорости, различные для ионов и электронов. Использовался интеграл столкновений Ландау и учитывались два полинома в разложении. Такой же подход использовался в [42, 43], где представлены вычисления кинетических коэффициентов для полностью ионизированной плазмы со сложным составом. Кинетические коэффициенты для полностью ионизированной плазмы в магнитном поле были получены прямым численным расчетом уравнения Фоккера-Планка в [44]. Электропроводность высокотемпературной плазмы в однородном магнитном поле, состоящей из электронов и положительно заряженных ионов, была рассчитана в работе [45] методом Чепмена-Энскога с использова-

нием разложения по полиномам Сонина до 50-го члена.

Компоненты тензора теплопроводности для вырожденных звездных ядер были вычислены в приближении Лоренца для водородной плазмы в [46]. В [47] представлены нерелятивистские вычисления на основе квантового уравнение переноса Ленарда-Балеску для теплопрводоности и электрической проводимости плазмы с сильно вырожденными, слабо связанными электронами и невырожденными, слабо связанными ионами.

Проводимость электронов в нейтронных звёздах и белых карликах при наличии магнитного поля была исследована в [48, 49]. Отношение между электропроводностью и теплопроводностью вдоль и поперек силовой линии магнитного поля, рассмотренное в этих работах, было получено феноменологически, с использованием теории свободного пробега.

Выражения для описания влияния магнитного поля на теплопроводность и электропроводность электронов в виде, использованном в статьях [48, 49], применялись и в последующих работах (см. [50, 51]).

В диссертационной работе показано, что кинетические коэффициенты произвольно вырожденных электронов в магнитном поле, полученные из решения уравнения Больцмана существенно точнее учитывают влияние магнитного поля на проводимость электронов в вырожденных звёздах. Новые коэффициенты переноса могут использоваться для моделирования распределения температуры и заряда, геометрии магнитного поля в белых карликах, на поверхности и в коре замагниченных нейтронных звёзд, описания поведения плазмы, получаемой и ускоряемой в лабораторных условиях.

Учитывая недавнее обнаружение нового объекта, похожего по свойствам на ХЭШБ [14], и перспективы открытия большего числа подобных звёзд, вычисление точных значений кинетических коэффициентов в материи коры замагни-ченной одиночной нейтронной звезды представляется актуальным.

Цель диссертационной работы

состоит в нахождении кинетических коэффициентов произвольно вырожденных электронов в замагниченном плотном веществе. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• Решение уравнения Больцмана методом Чепмена-Энскога с использованием разложения по трем полиномам, обобщающим полиномы Сонина, для произвольно вырожденных электронов в магнитном поле. Расчёты коэффициентов тензоров теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта для приближения невырожденных электронов выполнены в явном виде.

• Решение уравнения Больцмана в приближении Лоренца для сильно вырожденных электронов в магнитном поле и получение в явном виде компонент тензоров теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта.

Научная новизна

Результаты, полученные впервые:

1. Получены аналитические выражения для четырёх тензоров кинетических коэффициентов из решения уравнения Больцмана методом Чепмена-Энско-га в 3-полиномиальном приближении с учетом электрон-электронных столкновений для случая невырожденных электронов в магнитном поле. Учёт третьей степени полинома улучшил точность результатов.

2. Для сильно вырожденных электронов впервые получены асимптотически точные аналитическое выражения для тензора теплопроводности, термодиффузии, диффузии и диффузионного термоэффекта в приближении Лоренца с учётом магнитного поля. Это решение имеет значительно более сложную зависимость от магнитного поля, чем зависимости в предыдущих публикациях.

3. Для частного случая частичного вырождения при б//кТ = 1.011 получены аналитические выражения для кинетических коэффициентов при отсут-

ствии магнитного поля из решения уравнения Больцмана в 3-х полиномиальном приближении. Показано, что сходимость полиномиального приближения к точному значению происходит медленнее, чем для невырожденных электронов.

Научная и Практическая значимость

Основные результаты диссертационной работы, определяющие её практическую и научную значимость, опубликованы в авторитетных научных изданиях. Проведенные расчёты коэффициентов переноса позволяют оценить влияние магнитного поля на перенос тепла и заряда в плотных областях нейтронных звезд и белых карликов. Основные результаты были использованы при постое-нии трёхмерных моделей распределения температуры и заряда по поверхности замагниченной нейтронной звезды и для интерпретации наблюдательных данных [52]. Полученные выражения также могут быть использованы для описания коэффициентов переноса в других замагниченных объектах, содержащих свободные произвольно вырожденные электроны.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Получены компоненты тензоров теплопроводности, диффузии, диффузионного термоэффекта и термодиффузии произвольно вырожденных электронов в магнитном поле на основе решения уравнения Больцмана.

2. Получено решение уравнения Больцмана в приближении Лоренца для плазмы в магнитном поле с сильно вырожденными нерелятивистскими электронами и невырожденными ядрами. Это приближение, в котором пренебрегает-ся электрон-электронными столкновениями, является асимптотически точным для плазмы с сильно вырожденными электронами. В приближении Лоренца вычислены компоненты четырёх тензоров кинетических коэффициентов в некван-тующем магнитном поле.

3. Методом Чепмена-Энскога получено решение уравнения Больцмана для плазмы в магнитном поле с произвольным вырождением электронов и невы-

рожденными ядрами с использованием разложения по первым трём обобщенным полиномам Сонина. Для невырожденных электронов впервые получено аналитическое выражение для четырёх тензоров кинетических коэффициентов в присутствии магнитного поля в 3-полиномиальном приближении с учетом электрон-электронных столкновений.

4. Исследовано влияние вырождения на сходимость 3-полиномиального решения к точному. Показано на примере приближения Лоренца, что точность приближения рядом ортогональных функций, обобщающих полиномы Сонина, уменьшается с увеличением степени вырождения.

5. Показано, что кинетические коэффициенты, полученные из решения уравнения Больцмана точнее учитывают влияние магнитного поля на проводимость произвольно вырожденных электронов, чем приближенные коэффициенты, полученные феноменологически, с использованием теории свободного пробега. Влияние магнитного поля оказывается более сильным и имеет более сложный характер.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены в качестве устных и стендовых докладов на следующих международных конференциях:

- "Physics of Neutron Stars - 2011" (Санкт-Петербург, 2011 г.)

- "Thirteenth Marcel Grossmann Meeting - MG13" (Стокгольм, Швеция, 2012 г.)

- "Supernovae and Gamma-Ray Bursts in Kyoto, 2013" (Киото, Япония, 2013 г.)

- "40th COSPAR Scientific Assembly" (Москва, 2014 г.)

- "Fourteenth Marcel Grossmann Meeting - MG14" (Рим, Италия, 2015 г.)

- "European Week of Astronomy and Space Science - EWASS 2017" (Прага, Чехия, 2017 г.)

- "Physics of Neutron Stars - 2017" (Санкт-Петербург, 2017 г.)

- "High-Energy Phenomena in Relativistic Outflows VI" (Москва, 2017 г.)

- "28-th Plasma Physics Conference" (Прага, Чехия, 2018 г.)

- "Fifteenth Marcel Grossmann Meeting - MG15" (Рим, Италия, 2018 г.)

- "Hight-Energy Phenomena in Relativistic Outflows VII" (Барселона, Испания, 2019 г.)

всероссийских:

на конференциях Института Космических Исследований:

- "Конференция молодых ученых" (Москва, 2013, 2017 г.) на астрофизических семинарах:

- "Магнитоплазменные процессы в релятивистской астрофизике" (Таруса, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2019 г.)

- Физического института РАН (Москва, 2018 г.)

Достоверность представленных результатов

Достоверность представленных в диссертационной работе результатов вычислений обеспечивается применением хорошо обоснованных классических методов кинетической теории газов, сравнением полученных результатов с результатами предшествующих работ по данной тематике и обсуждением на конференциях и семинарах. Основные результаты опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены автором в результате совместных исследований. Результаты, выносимые на защиту, согласованы с соавторами.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 115 страниц, из них 109 страниц текста, включая 13

рисунков. Библиография включает 81 наименование на 6 страницах.

Глава 1

Уравнение Больцмана и уравнения переноса

1.1. Уравнение Больцмана и уравнения переноса для произвольно вырожденных электронов

Для расчёта кинетических коэффициентов использовано уравнение Больцмана для произвольно вырожденных, нерелятивистских электронов в магнитном поле. Рассматривается электронный газ в кристаллической решетке из тяжелых ядер с учётом взаимодействия электронов с невырожденными ядрами и друг с другом. Ядерная составляющая материи в коре находится в кристаллическом состоянии, поэтому изотропная часть функции распределения может отличаться от распределения Максвелла. Если масса ядра т^ намного больше массы электрона те, то для членов ~ те/т^ детали функции распределения /мо неважны и вычисления могут быть сделаны для произвольной /^0.

Уравнение Больцмана, описывающее изменение функции распределения электронов / с течением времени в присутствии электрического и магнитного полей, записывается как [33]

д? д? е 1 дf

+ с, ТГ--№ + - £гк1 Ск в1) + 3 = 0. (1.1)

от ог1 те с ос1

Здесь (-е),те — заряд (отрицательный) и масса электрона, Е,,В{ — напряженность электрического поля и магнитная индукция, полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты, с — скорость света. Интеграл столкновений J для произвольного вырождения электронов, согласно [21, 22, 23, 24], записывается

в форме

J = Jee + JeN = R

[//i (1 - /)(1 - h) - //l(1 - / )(1 - /i)] £ee bdbdedcu

(1.2)

+

[ / fN(1 - Л - f In(1 - f )]9eNbdbdedcm.

Здесь прицельный параметр b и s — геометрические параметры столкновения

2m3

частиц с относительными скоростями gee, geN, R = • Интегрирование в электронной части интеграла столкновений в (1.2) производится по фазовому пространству налетающих частиц (dc^) и их физическому пространству ( bdbds) [21]. Функции со скоростями после столкновения отмечены штрихами.

Уравнение Больцмана для электронов с интегралом парных столкновений (1.2) может применяться, когда электронный газ считается почти идеальным, т. е. кинетическая энергия электронов много больше, чем энергия электростатических взаимодействий. Это справедливо для плазмы достаточно малой плотности. В нейтронных звездах и белых карликах условие противоположное: плазма имеет очень большую плотность, при которой важно учитывать вырождение электронов. Из статистической физики известно, что газ из сильно вырожденных электронов становится идеальным, поскольку большие значения энергии Ферми при этом заменяют тепловую энергию [53]. Поэтому расчёты, выполненные здесь, справедливы для плазмы низкой плотности, а также для плазмы с высокой плотностью и вырожденными электронами. Детальное обсуждение применимости интеграла парных столкновений (1.2) и его модификаций для невырожденных газов высокой плотности можно найти в [21].

Введем тепловую скорость электронов Vi = q - c0i, где c0i является средней массовой скоростью. Уравнение Больцмана относительно тепловой скорости можно записать в форме [33]:

dL+«, 01

dt dri

— (Е + - £ ikiVkBi) + me с dt

^ SiklVkBl- ^

dv { meC dv { (1 з)

df дсог .

Vk^--+ J = 0,

ovi ark

где

(I д д

<И д1 С°г дг ^

Уравнение переноса для концентрации электронов, в двухкомпонентной смеси из электронов и ядер может быть получено обычным способом из уравнения Больцмана в квазинейтральной плазме [21, 32, 33] как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Глушихина Мария Владимировна, 2020 год

Цитируемая литература

1. Бисноватый-Коган Г. С., Моисеенко С. Г. Гравитационные волны и сверхновые с коллапсирующим ядром // Успехи физических наук. 2017. Т. 187. С. 906-914.

2. Арделян Н. В., Бисноватый-Коган Г. С., Космачевский К. В., Моисеенко С. Г. Двумерный расчёт динамики коллапса вращающегося ядра с образованием нейтронной звезды на адаптивной треугольной сетке в лагранже-вых переменных // Астрофизика. 2004. Т. 47. С. 47-64.

3. Moiseenko S. G., Bisnovatyi-Kogan G. S., Ardeljan N. V. A magnetorotational core-collapse model with jets // MNRAS. 2006. Vol. 370. P. 501-512.

4. Шкловский И. С. Звёзды: их рождение, жизнь и смерть. Москва: Наука, 1975.

5. Засов А., Постнов К. Общая астрофизика. Фрязино: Век, 2006.

6. Treves A., Popov S. B., Colpi M. et al. The Magnificient Seven: Close-by Cooling Neutron Stars? // X-ray Astronomy 2000, ASP Conference Proceeding Vol. 234. Edited by Riccardo Giacconi, Salvatore Serio, and Luigi Stella. San Francisco: Astronomical Society of the Pacific. 2001. Vol. 1. P. 225-231.

7. Popov S. The Zoo of Neutron Stars // Physics of Particle and Nuclei. 2008. Vol. 39. P. 1136-1142.

8. Popov S. B. Evolution of Isolated Neutron Stars // Astrophysical sources of high energy particles and radiation, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute and 12th Course of the International School of Cosmic Ray Astrophysics, held in Erice, Italy, 10-21 November 2000 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2001. Vol. 44. P. 101-111.

9. Popov S. B., Turolla R., Possenti A. A tale of two populations: Rotating Radio Transients and X-ray Dim Isolated Neutron Stars // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2006. Vol. 369. P. 23-26.

10. Walter F., Wolk S. J., Neuhauser R. Discovery of a nearby isolated neutron star // Letters to Nature. 1996. Vol. 379. P. 233-235.

11. Haberl F. The Magnificent Seven: Magnetic fields and surface temperature distributions // Astrophysics and Space Science. 2006. Vol. 777. P. 497.

12. Turolla R. Neutron Stars and Pulsars. Berlin: Springer, 2009.

13. Popov S. B., Colpi M, Treves A. et al. Neutron Star Census // Astrophysical Journal. 2000. Vol. 530. P. 896-903.

14. Rigoselli M, Mereghetti S., Suleimanov V. et al. XMM-Newton observations of PRS J0726-2612, a radio-loud XDINS // Astron. and Astrophys. 2019. Vol. 379. P. 233-235.

15. Pons J., Walter F., Lattimer J. et al. Towards a mass and radius determination of the nearby isolated neutron star RX J185635-3754 // Astrophysical Journal. 2002. Vol. 564. P. 981-1046.

16. Zavlin V. E. First X-ray observations of the young pulsar J1357-6429 // Astrophys. J. 2007. Vol. 665. P. 143.

17. А.В. Кузнецов Н. М. Электрослабые процессы во внешней активной среде. Ярославль: Из-во Ярославского гос. университета им. П.Г. Демидова, 2010.

18. Яковлев Д., Левенфиш К., Шибанов Ю. Остывание нейтронных звёзд и сверхтекучесть в их ядрах // УФН. 1999. Т. 169. С. 825-868.

19. Salpeter E. E. Energy and pressure of a zero-temperature plasma // Astrophys. J. 1961. Vol. 134. P. 669.

20. Бисноватый-Коган Г. Релятивистская астрофизика и физическая космология. Москва: КРАСАНД, 2010.

21. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. Москва: Иностранная литература, 1960.

22. Uehling E, Uhlenbeck G. Transport Phenomena in Einstein-Bose and Fermi-Dirac Gases. I // Physical review. 1933. Vol. 552. P. 43.

23. Uehling E. Transport Phenomena in Einstein-Bose and Fermi-Dirac Gases. II //

Physical review. 1934. Vol. 46. P. 917.

24. Tomonaga S. Z. Innere Reibung und Warmeleitfahigkeit der Kernmaterie // Z. Phys. 1938. Bd. 110. S. 573.

25. Бисноватый-Коган Г., Романова М. Перенос тепла и диффузия нейтронов в коре нейтронных звёзд // ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 449.

26. Имшенник В. О теплопроводности плазмы // Астрономический журнал. 1961. Т. 38. С. 652.

27. Ландау Л. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия // ЖЭТФ. 1937. Т. 7. С. 203.

28. Chandrassekhar S. Stochastic Problems in Physics and Astronomy // Rev. Modern Phys. 1943. Vol. 15. P. 1.

29. Spitzer L., Harm R. Transport phenomena in a completely ionized gas // Physical Review. 1953. Vol. 89. P. 977-981.

30. Spitzer L., Cohen R., McRoutly P. The electrical conductivity of ionized gas // Physical Review. 1950. Vol. 80. P. 230-232.

31. Landshoff R. Transport phenomena in a completely ionized gas in presence of a magnetic field // Physical review. 1951. Vol. 82. P. 442.

32. Marshall W. Kinetic theory of an ionized gas // At. Energy Res Estable. 1960. Vol. -. P. 2419.

33. Бисноватый-Коган Г. С. Перенос тепла и диффузия в частично ионизованной двухтемпературной плазме // Прикладная механика и техническая физика. 1964. Т. 3. С. 43.

34. Rosenbluth M, Macdonald W, Judd D. Fokker-Planck equations for the inverse square forces // Physical review. 1957. Vol. 107. P. 1.

35. Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме // Вопросы теории плазмы. 1963. Т. 1. С. 98.

36. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Communications on pure and applied mathematics. 1949. Vol. 2. P. 331-407.

37. Самохин М. В. Определение коэффициентов переноса в плазме методом Грэда // Журнал технической физики. 1962. Т. 32. С. 1055-178.

38. Самохин М. В. Токи и потоки тепла в двухтемпературной плазме // Журнал технической физики. 1963. Т. 33. С. 667-674.

39. Самохин М. В. Потоки частиц и тепла в многокомпонентной плазме // Журнал технической физики. 1963. Т. 33. С. 675-682.

40. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. Москва: Издательство Физического Института имени Лебедева РАН, 1998.

41. Брагинский С. И. Явления переноса в полностью ионизованной двухтемпе-ретурной плазме // ЖЭТФ. 1958. Т. 33. С. 459.

42. Боброва Н. А., Сасоров П. В. МГД уравнения для полностью ионизованной плазмы сложного состава // Физика плазмы. 1993. Т. 19. С. 789.

43. Bobrova N. A., Lazarro E., Sasorov P. V. Magnetohydrodynamic two-temperature equations for multicomponent plasma // Physics of Plasmas. 2005. Vol. 12. P. 022105-1-19.

44. Epperlein E. M., Haines M. G. Plasma transport coefficients in a magnetic field by direct numerical solution of the Fokker-Planck equation // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29. P. 1029.

45. Kaneko S., Taguchi M. Electrical conductivity of a high-temperature plasma in a uniform magnetic field // J. Phys. Soc. Japan. 1978. Vol. 45. P. 4.

46. Wyller A. On thermal conductivity in degenerate stellar cores // Astrophisica Norvegica. 1964. Vol. 9. P. 79-88.

47. Lampe M. Transport coefficients of degenerate plasma // Physical review. 1968. Vol. 170. P. 306.

48. Flowers E., Itoh N. Transport properties of dense matter // Astrophys. J. 1976. Vol. 206. P. 218-242.

49. Яковлев Д., Урпин В. А. Тепло- и электропроводность в белых карликах и нейтронных звёздах // Астрономический журнал. 1980. Т. 57. С. 526.

50. Itoh N., Hayashi H., Kohyama Y. Electrical and Thermal Conductivities of Dense Matter in the Crystalline Lattice Phase. III. Inclusion of Lower Densities // Astrophys. J. 1993. Vol. 418. P. 405-413.

51. Yakovlev D., Gnedin O., Kaminker A. et al. Neutron star cooling: theoretical aspects and observational constraints // Adv. Space Res. 2004. Vol. 33. P. 523.

52. Kondratyev I. A., Moiseenko S. G., Bisnovatyi-Kogan G. S., Glushikhina M. V. 3D Simulation of Anisotropic Heat Transfer in Outer Layers of Magnetized Neutron Stars // Astronomy Reports. 2020. Vol. 64. P. 226-243.

53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. Статистическая физика. Москва: Физматлит, 2002.

54. Tamm I. E. Basics of the theory of electricity, 9th ed. Moscow: Nauka, 1976.

55. Burnett D. The Distribution of Molecular Velocities and Mean Motion in a Non-Uniform Gas // Proceedings of London Mathematical Society. 1936. Vol. 40. P. 382.

56. Бисноватый-Коган Г. С., Куликов Ю. Н., Чечёткин В. М. Выделение ядерной энергии в оболочках нейтронных звёзд и рентгеновские источники // Астрономический журнал. 1976. Т. 53. С. 975.

57. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Москва: Мир, 1978.

58. Бисноватый-Коган Г. С. Физические основы теории звездной эволюции. Москва: Наука, 1988.

59. Bisnovatyi-Kogan G. S. Stellar Physics I: Fundamental Concepts and Stellar Equilibrium. Berlin: Springer, 2001.

60. Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. Москва: Наука, 2013.

61. Yanke E., Emde F., Losch F. Tafeln Hoherer Funktionen. Berlin: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 2013.

62. Калихман Л. Е. Элементы магнитной газодинамики. Москва: Атомиздат,

1964.

63. Schatzman E. White dwarfs. Amsterdam: North Holland, 1958.

64. Wyller A. A. Thermal conductivity of partially degenerate magnetoplasmas in stellar cores // Astrophysical. Journal. 1973. Vol. 184. P. 517.

65. Sodha M. S. Transport Phenomena in Slightly Ionized Gases: Low Electric Fields // Physical Review. 1959. Vol. 118. P. 486-488.

66. Sodha M. S. Transport Phenomena in Slightly Ionized Gases: High Electric Fields // Physical Review. 1960. Vol. 118. P. 378-381.

67. Zivanovic S., Sodha M. S. Transport phenomena in a nonuniform slightly ionized gas // Progress of Theoretical Physics. 1962. Vol. 27. P. 1128-1136.

68. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Москва: Физматлит, 2005.

69. Kovetz A., Shaviv G. The electrical and thermal conductivities of stellar degenerate matter // Astronomy and Astrophysysics. 1973. Vol. 28. P. 315.

70. Canuto V., Chiuderi C. Transverse electrical conductivity of a relativistic gas in an intense magnetic field // Physical Review D. 1970. Vol. 1. P. 2219-2226.

71. Canuto V. Electrical conductivity and conductive opacity of a relativistic electron gas // Astrophysical journal. 1970. Vol. 159. P. 641-652.

72. Wiranata A., Prakash M. Shear viscosities from the Chapman-Enskog and the relaxation time approaches // Physical review. 2012. Vol. 85. P. 5.

73. Wiranata A., Prakash M., Chakraborty P. Comparison of viscosities from the Chapman-Enskog and relaxation time methods // Central European J. Phys. 2012. Vol. 10. P. 1349.

74. Potekhin A. Y. Electron conduction in magnetized star envelope // Astronomy and Astrophysysics. 1999. Vol. 351. P. 787.

75. Pons J. A., Walter F. M., Lattimer J. M. et al. Towards a mass and radius determination of the nearby isolated neutron star RX J185635-3754 // Astrophys. J. 2002. Vol. 564. P. 981.

76. Page D., Geppert U., Weber F. The cooling of compact stars // Nuclear Phys. A. 2006. Vol. 777. P. 497.

77. Aguilera D., Pons J., Miralles J. 2D Cooling of magnetized neutron stars // Astron. Astrophys. 2008. Vol. 486. P. 271-288.

78. Pons J. A., Miralles J. A., Geppert U. Magneto-thermal evolution of neutron stars // Astronomy and Astrophysics. 2009. Vol. 496. P. 207-216.

79. Page D., Geppert U., Kuker M. Cooling of Neutron Stars with Strong Toroidal Magnetic Fields // Astrophysics and Space Science. 2007. Vol. 308. P. 403-412.

80. Бисноватый-Коган Г., Глушихина М. Вычисление коэффициентов теплопроводности в замагниченном плотном веществе // Физика Плазмы. 2018. Т. 44. С. 355-374.

81. Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы. Вып.1. Под редакцией М. А. Леонтовича. Москва: Госатомиздат, 1963.