Математическое моделирование теплофизических свойств вещества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Волощенко, Ольга Александровна

• Волощенко, Ольга Александровна
• 1983

Оглавление диссертации Волощенко, Ольга Александровна

ВВБЩЕНИЕ.

ГЛАВА. I. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПЕРЕНОС В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ

ПЛАЗМЕ.

§ I. Основное уравнение и используемые приближения

§ 2. Интеграл столкновений

§ 3. Расчет кинетических коэффициентов.

ГЛАВА П. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПЕРЕНОС В КЛАССИЧЕСКОЙ

ПЛАЗМЕ.

§ 4. Эффективные сечения.

§ 5. Классический газ электронов

§ 6. Выделение кулоновских особенностей.

§ 7. Границы применимррти прямого метода решения линеаризованного уравнения Больцмана.

ГЛАВА Ш. РАСЧЕТ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЕИДЕАЛЬНОЙ

КЛАССИЧЕСКОМ ПЛАЗМЫ.

§ 8. Описание алгоритма

§ 9. Исследование сходимости метода.

§ 10. Обсуждение результатов расчета кинетических коэффициентов неидеальной плазмы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование теплофизических свойств вещества»

При разработке современных методов описания электронного переноса в многокомпонентной плазме основное внимание традиционно уделяется использованию кинетических уравнений.

Точное описание макроскопических свойств плазмы в стационарном случае всегда связано с некоторой скалярной функцией распределения -f. (z у \pj координат ~г и скорости V для каждой газовой компоненты. Эти функции в свою очередь описываются уравнениями Больцмана для компонент [ I ] i где J C-fi, {{] есть интеграл столкновений, -ско

I о » «> рость, углы рассеяния в системе центра инерции l ~ и ^ ^ частиц, a 6cJ - дифференциальное сечение рассеяния этих частиц, р - внешние силы.

Решая систему уравнений (I), мы находим явный вид функций расцределения ~fc (^y^J соответствующих заданным внешним силам и данному характеру взаимодействия между частицами. В общем виде такая задача крайне сложна. Заметно проще определение функции распределения при малых отклонениях системы от равновесного состояния.

Для электронов, из-за их относительно малой массы и вследствие преобладающей роли упругих столкновений в широком диапазоне скоростей, мы можем продвинуться довольно далеко, определенным образом видоизменяя уравнение Больцмана.

Остановимся на упрощениях системы (I), которые производятся с целью получения простых формул для проводимости и теплопроводности плазмы.

Основным способом упрощения системы (I) является учет только электронного переноса в плазме £3,6-9] . Это упрощение опирается на наглядные физические представления. Масса электрона

1Уье = I, а у тяжелых частиц /п- > 2000. При тепловом равновесии энергии всех частиц в среднем одинаковы, поэтому скорости электронов в jync /ггъ^ У/ 40 раз превышают скорости ионов и атомов. Таким образом, электроны, обладая высокой подвижностью, х) определяют перенос заряда и энергии в плазме .

Интеграл столкновений в уравнении Больщлана для электронов учитывает столкновения электронов как с заряженными, так и с нейтральными частицами. Основную трудность при этом вызывает правильный учет электрон-электронных столкновений. Поэтому наиболее простой способ получения формул для электронных коэффициентов переноса заключается в отбрасывании из интеграла столкновений той его части, которая описывает электрон-электронные столкновения. В полученные таким образом формулы вводятся затем эффективные поправки на электрон-электронное взаимодействие. Указанным способом были получены известные формулы Спитцера [l3], получившие строгое обоснование лишь в 1961 году (см. [ 14] ).

Следующим шагом на пути уточнения описания электрон-электронных соударений является сведение интеграла столкновений электронов к так называемому Фоккер-Планковскому виду. При этом происходит переход от исходного интегро-дифференциального уравх) При очень низких температурах имеют место ионная проводимость и атомная теплопроводность, но вклад их в перенос заряда и энергии в плазме невелик.

Здесь и далее используется атомная система единиц. нения Больцмана к уравнению в частных производных, которое решается численно различными методами (см.[15-17] ). Этот подход учитывает отклонения электронов при столкновении только на малые углы, описывая тем самым далекие слабые столкновения. Результаты, полученные с использованием столкновительного члена Фоккера-Планка с учетом парности столкновений эквивалентны результатам расчетов по методу последовательных приближений Чэпмена-Энскога (см.[12], f19j ).

Самым известным и широко используемым методом расчета коэффициентов переноса многокомпонентной плазмы является метод последовательных приближений Чэпмена-Энскога.

Вкратце этот метод состоит в следующем. В случае слабого отклонения системы от равновесного состояния значения неравновесных функций распределения частиц -f^ близки к равновесным • Поэтому функции распределения частиц определяются с точностью до первого приближения

В методе последовательных приближений Чэпмена-Энскога (Ч-Э) [1] искомая поправка Фс к равновесной функции распределения электронов ищется в виде разложения по полиномам Сонина, и решение уравнения Больцмана сводится к определению неизвестных коэффициентов разложения. Вычисление транспортных коэффициентов многокомпонентной плазмы по методу Ч-Э связано с определенными математическими трудностями, так как в -ом приближении Ч-Э в формулы для проводимости и теплопроводности многокомпонентной плазмы входят отношения определителей К - порядка. Вычислять кинетические коэффициенты, используя приближения выше четвертого уже трудно, однако для большинства элементов и их смесей приближения Ч-Э сходятся быстро и четвертого приближения практически достаточно для достижения нужной точности расчета (см.Г12] ).

В большинстве работ, посвященных расчету транспортных коэффициентов плазмы по методу Ч-Э при вычислении сечения рассеяния заряженных частиц использовался кулоновский потенциал. Однако кулоновский потенциал взаимодействия является дально-действунцим, что всегда приводит к расходящимся на бесконечности интегралам рассеяния. Поэтому, как правило, при вычислении интегралов рассеяния с использованием кулоновского потенциала в качестве верхнего предела интегрирования выбирают Т$ - величину дебаевского радиуса. Применение такого "обрезанного" кулоновского потенциала накладывает ограничения на область применимости получающихся выражений для коэффициентов переноса. Такие формулы применимы, когда £ , что соответствует области высоких температур и низких плотностей плазмы.

Первая попытка использовать при вычислениях кинетических коэффициентов плазмы более естественный для данной задачи де-баевский потенциал была сделана Либовым [ 4 ] . Однако в 4 ] сечение рассеяния вычислялось классически, что неизбежно приводило к необходимости введения искусственного обрезания расходящихся интегралов. К задачам переноса в плазме сечение рассеяния на дебаевском потенциале, вычисленное по правилам квантовой механики, было применено Н.Н.Калиткиным и В.С.Роговым Г30-32; 42J. Описанная в этих работах методика расчета кинетических коэффициентов плазмы, основанная на теории Чэпмена-Энскога, не накладывает дополнительных ограничений на область ее применимости.

Обратим внимание еще на один метод, использующий разложение функций распределения частиц плазмы в ряд по ортогональным полиномам. Этот метод, предложенный Трэдом (см.Г20]), обладает небыстрой сходимостью. Например, вГ21] показано, что 13-момент-ное приближение Грэда для случая слабого отклонения плазмы от равновесия дает для электропроводности тот же результат, что и первое приближение Ч-Э. Однако, в отличие от метода Ч-Э, метод Грэда применим и для расчета кинетических коэффициентов сильно неравновесной плазмы.

Рассмотрим наиболее известные методы расчета коэффициентов электронного переноса в плазме, не использующие разложение функции распределения электронов в ряды.

Простейшая формула для проводимости выводится на основе представления о средней длине свободного пробега и имеет вид h ~ 1 (4)

L tne ])еи

Частоту столкновений вычисляют разными методами см.Г12] ). Результат расчета по формуле (4) отличается более чем в два раза от точного значения проводимости, полученного по методу Ч-Э. Поэтому формулы типа (4) следует применять только для оценки проводимости по порядку величины.

Лином, Резлером и КантровицемГ 22] была предложена приближенная формула для проводимости, основанная на предположении о том, что удельные сопротивления, связанные с нейтральными частицами и ионами должны складываться = -£ j. . (5)

Г " X en ьес Формула (5) дает хорошие результаты в пределах как слабо, так и полностью ионизованной плазмы, если при вычислении величины для нейтральной компоненты использовать лоренцевское выражение, а для - выражение Спитцера-Харма. Хотя формула (5) более предпочтительна нежели формула (4) величина может все же отличаться от точного значения примерно вдвое при промежуточных степенях ионизации.

Популярную формулу для проводимости предложил Фрост [ 23 ] . Вид ее выбран аналогично формуле для проводимости лоренцевского газа. В формуле Фроста транспортные сечения рассеяния электронов на тяжелых частицах и электронах складываются, причем транспортное сечение электрон-ионных столкновений модифицировано таким образом, что формула Фроста в пределе полностью ионизованной плазмы сводится к выражению Спитцера-Хэрма, а для низких степеней ионизации дает значение проводимости в лоренцевом пределе.

Неоднократно делались попытки построить интерполяционные формулы для расчета электропроводности и теплопроводности плазмы. Авторы таких работ (см. напр.f25 , 26 ] ) стремились перекрыть при этом широкий диапазон изменения плазменных параметров, вплоть до сильного вырождения электронной составляющей. Построение таких формул несомненно представляет интерес для изучения качественного поведения коэффициентов переноса, хотя, как правило, математическая точность этих формул невысока.

Среди приближенных методов расчета кинетических коэффициентов плазмы, не использующих разложение функции распределения электронов в ряды, укажем методы, предложенные Гоулдом и Де-ВаттомГ271 , Г.Э.Норманом и А.С.Каклюгиным [28] , а также В.Е.Фортовым с сотрудниками [29а - 29^].

В заключение обзора работ, посвященных изучению электронного переноса в классической плазме, сделаем некоторые замечания об области их применимости. Для этого состояние равновесной плазмы будем характеризовать параметром вырождения и параметром неидеальности

Z7T(J-hic) frC7 Ш

7) где X - степень ионизации, - эффективный заряд ионов,

Область применимости остальных упоминавшихся теорий можно установить лишь при помощи сопоставления с экспериментами. В работе [ 33] из сравнения результатов экспериментальных и теоретических работ делается вывод, что большинство упоминавшихся теорий цри-годно для описания только идеальной плазмы, а в случае неидеальной плазмы они сильно отличаются от экспериментов. Например, теории [ 2,3,6,13,22J удовлетворительно описывают эксперименты только при Y - 0.01, а теории [ 14, 27-29] - при 0.1 . Хорошие результаты при более высоких значениях параметра неидеальности ( <Г ^ 3 ) дает теория, развитая в работах[ 31-33].

Процессы переноса в плазме с сильновырожденной электронной компонентой изучались не так интенсивно как в случае классического газа электронов. Это связано с более сложным видом интеграла столкновений в квантовом аналоге классического уравнения Больцмана (см. напр.[34] ).

Как и для случая классического газа электронов, решение квантового уравнения удается получить только при слабом отклонении системы от равновесия. Лампе [ 35-37\ использовал разложение,

УЬ - суммарная концентрация тяжелых частиц.

Для идеальной плазмы (1) хорошие результаты дает теория Спитцера Г 13 ] . Эта теория применима при -бг { , то есть при ^ 0.01, что является жестким ограничением. аналогичное процедуре Чэпмена-Энскога, и конечные выражения для коэффициентов электропроводности и теплопроводности получены с учетом трех членов ряда. Разложение поправки к равновесной функции распределения в быстро сходящийоя ряд было использовано и в [38] .

Таким образом, наиболее успешными методами расчета коэффициентов электронного переноса в плазме являются те из них, в которых используется разложение неизвестной функции распределения электронов в ряд. Хотя для большинства элементов и их смесей такие методы обладают хорошей сходимостью, имеются случаи, когда сходимость приближений плохая. Так для аргона даже двенадцатое приближение Ч-Э не обеспечивает нужной точности расчета (см.[з,5]) Это связано с тем, что на кривой транспортного сечения аргона есть участок быстрого роста, который ухудшает сходимость приближений. Кроме того, для конкретных формул метода Ч-Э существенным моментом является предположение о невырожденности электронов.

Актуальной задачей, как видно из сказанного выше, является разработка метода расчета транспортных коэффициентов плазмы, точность которого достаточно высока и надежно контролируется в процессе расчета. Целью настоящей работы является решение этой задачи.

Научная новизна и практическая ценность работы. Разработан прямой метод решения линеаризованного уравнения Больцмана, не использующий разложение искомой функции распределения электронов в ряд. Для слабонеравновесной плазмы решение уравнения Больцмана сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма П рода. Точность расчета транспортных коэффициентов не зависит от вида сечения рассеяния электронов на атомах. Развитый метод позволяет вычислять транспортные коэффициенты плазмы при любой степени вырождения газа свободных электронов.

Материал диссертации изложен в трех главах, разбитых на 10 параграфов. Нумерация формул, рисунков и таблиц своя в каждом параграфе.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Волощенко, Ольга Александровна

Основные результаты работы состоят в следующем:

1) Получено линеаризованное уравнение Больщана для электронов с произвольной степенью вырождения. Оно приведено к форме одномерного уравнения Фредгольма П рода.

2) В предельном случае классических электронов разработан экономичный алгоритм его численного решения методом сеток, использующий явное выделение узких экстремумов подинтегральных выражений. Проведено теоретическое и численное исследование сходимости метода.

3) На основе разработанного метода проведены расчеты проводимости и теплопроводности неидеальной плазмы аргона, ксенона и цезия. Исследование сходимости и сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и расчетами по методу Ч-Э показало высокую точность разработанного метода при небольшом объеме вычислений для практически любых форм сечений рассеяния частиц.

Автор выражает глубокую благодарность академику А.А.Самарскому за поддержку данной работы и научному руководителю - доктору физико-математических наук Н.Н.Калиткину за постоянное внимательное руководство.

Автор весьма признателен участникам семинара академика А.А.Самарского за обсуждение вопросов, рассмотренных в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования Волощенко, Ольга Александровна, 1983 год

1. С.Чепмен и Т.Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. ИМ, Москва, 1.60, 510 с.

2. R.S.Devoto. Transtort Properties of Ionized Monatomic Gases. The physics of Fluids. 1966,9, 1230-1240.

3. C.H.Kruger, M.Mitchner, V.Daybelge. Transport Properties of MHD-Generator Plasmas. AIAA Journal, 1968, vol.6, 1712-1723.

4. R.L.Libaff. Transport Coefficients Determined Using the Shielded Coulomb Potential. Physics of Fluids, 1959,2, 40-46.

5. Э.И.Асиновский, В.М.Батенин. К расчету электропроводности частично ионизованной плазмы. ТВТ, 1968, 6, }Ь 6, 666-722.

6. Ширмер, Фридрих. Электропроводность плазмы. Сборник переводов "Движущаяся плазма" ИМ, Москва, 1961, 46-79.

7. S.Schwietzer, M.lvlitchner. Electrical Conductivity of Partially Ionized Gases. AIAA Journal, 1966, vo&4, 1012-1019.

8. R.S.Devoto. Simplifyed Expressions for the Transport Properties of Ionized Monatomic gases. The Physics of Fluids, 1967, vol. 10, 2105-2112.

9. C.P.Li, R»S.Devoto. Fifth and Sixth Approximation to the Electron Transport Coefficients. Physics of Fluids, 1968, vol.11, 448-450.

10. M.N.Rosenbluth, W.M.Donald, D.L.Ladd. Fokker-Plank Equation for an Inverse-Square Force. Phys. Rev. 1957, vol.107, 76-83.

11. Иванов 10.А., Лебедев 10.А., ПолакЛ.С. Кинетика электронов плазмы в постоянном и быстропеременном полях. Физика плазмы, 1980, т.6, с.178-180.

12. М.Митчнер, Ч.Кругер. Частично ионизованные газы. Мир, Москва, 1976, 496 с.

13. Л.Спитцер. Физика полностью ионизованного газа. ИИП, Москва, 1957, 112 с.

14. О.В.Константинов, В.И.Перель. Уточнение кинетических коэффициентов плазмы. ЗВЭТФ, 1961, 41, № 4, 1328-1329.

15. Spitzer, R.Harm. Transport Phenomena in a Completely Ionized Gas. Phys.Rev, 1953, vol.89, 977-981.

16. L.S.Johnson, Electrical Conductivity of Partially Ionized Gas. Physics of Fluids, 1967, vol,10, 1080-1084.

17. R.Cohen, L.Spitzer, P.Rontly, The Electrical Conductivity of on Ionized Gas, Phys. Rev. 1950, vol.80, 230-238.

18. R.Landshoff. Transport Phenomena in a Completely Ionized Gas in Presence of a Magnetic Field.

19. J.S.Cohen, L.G.Suttorp. On the Equivalence of Convergent Kinetic Equations for Hot Dilute Plasmas. Physica. 1932, A110, 81-105,

20. Grad H. Communs. Pure and Appl. Math,, 1949> vol.2, 331-338,

21. В.М.Жданов, Ю.А.Коган, А.С.Сазыкин. Электроцроводность многокомпонентного частично ионизованного газа. НТФ, 1962, 42,857-86<

22. S.C. Lin, E.L.Resler, A.Kantrowitz. Electrical Conductivity of Highly Ionized Argon. Journal of Applied Physics, 1955, vol.26, 95-Ю9,

23. L.S.Frost. Conductivity of Seeded Atmospheric Pressure

24. Plasmas. Journal of Applied Physics, 1961, vol.32, 2029-2036.

25. R.C.Hwa. Effects of Electron-Electron interactions on Cyclotron Resonances in Gases Plasmas. Phys. Rev., 1968, vol.110, 307-313.

26. О.Ю.Ицкович, П.С.Кондратенко. Физика плазмы, кинетические коэффициенты водородной плазмы, 1978, т.4, вып.З, 579-585.

27. ГЛ.Гандельман, О.Ю.Ицкович, П.С.Кондратенко. Температурный минимум электропроводности и вязкости в плотной вырожденной водородной плазме. Физика плазмы, 1982, 8, 645-648.

28. Н.А. Gould, Н.Е. De Witt. Convergent Kinetic Equation for a Classical Plasma, Phys. Rev. 1967, vol.155, 68-74.

29. Н.Н.Калиткин. Проводимость низкотемпературной плазмы. ТВТ, 1968, 6, 801-804.

30. В.С.Рогов. Расчет проводимости плазмы. ТВТ, 1970 , 8, $ 4, 689-694.

31. Н.Н.Калиткин, Л.В.Кузьмина, В.С.Рогов. Таблицы термодинамических функций и транспортных коэффициентов плазмы. ИПМ,1972, 112 с.

32. В.В.Ермаков, Н.Н.Калиткин. Электронный перенос в плотной невырожденной плазме. Физика плазмы. 1979, т.5, вып.З, 650-658.

33. ЮЛ.Климонтович. Кинетическая теория неидеального газа инеидеальной плазмы. М., "Наука", 1975, 352 с.

34. М.Lampe. Transport Coefficients of Degenerate Plasma, Phys.

35. Rev. 1968, vol.170, 306-319.

36. H. Lampe. Transport Theory of a Partially Degenerate Plasma. Phys. Rev. 1968, vol.174, 276-280.

37. M.Lampe. W.B.Hubbard. Thermal Conduction by Electrons in Stellar Matter. Astrophys. J. Suppl. ^969, Л 163, vol.18, 297-346.

38. J.Sykes, G.A.Broo&er. The Transport Coefficients of a Fermi Liquid. Annals of physics. 1970, vol.56, 1-37.

39. А.Исихара. Статистическая физика. M., "Мир", 1973, 471 с.

40. О.А.Волощенко, Н.Н.Калиткин. Электронный перенос в неклассической плазме. Препринт ИПМ АН СССР Ш 155, 1981 г., 24 с.

41. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. М., "Наука", 1974.

42. В.С.Рогов. Проводимость слабонеидеальной многокомпонентной плазмы. Диссертация, МГУ, 1971.

43. Кэй, Лэби. Справочник физика-экспериментатора. М., ИИЛ, 1949, 299 с.

44. В.И.Розенова, Ю.М.Волков. Сечения упругого рассеяния электронов на атомах и молекулах. Москва, ИАЭ, 1972.

45. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов. Физматгиз. М., 1962, 1108 с.

46. B.Shizgal. A'Gaussian Quadrature Procedure for Use in the Solution of the Boltzmann Equation and Related Problems. Journal of Computational physics. 1981, vol.41, 309-328.

47. О.А.Волощенко, Н.Н.Калиткин. Электронный перенос в классической плазме. Препринт ИПМ АН СССР № ИЗ, 1982 , 22 с.

48. О.А.Волощенко, Н.Н.Калиткин. Расчет кинетических коэффициентов неидеальной классической плазмы. Препринт ИШ АН СССР В 58, 1983, 22 с.

49. Ю.В.Иванов, В.Б.Минцев, В.Е.Фортов, А.Н.Дремин. Электропроводность неидеальной плазмы. 1ЭТФ, 1976, 71, 216-224.

50. Р.Е.Ровинский. Об электропроводности недебаевской плазмы. Теплофизика высоких температур, 1972, ю, 1-6.

51. С.И.Андреев, Т.В.Гаврилова. Измерение электропроводности плазмы воздуха при давлении свыше 100 ат. Теплофизика высоких температур. 1975, 13, 176-178.

52. В.А.Сеченов, Э.Е.Сон, О.Е.Щекотов. Электропроводность цезиевой плазмы. Теплофизика высоких температур. 1977* 15, 4Ц-415.

53. Н.В.Ермохин, Б.М.Ковалев, П.П.Кулик, В.А.Рябый. Температурная зависимость электропроводности плотной цезиевой плазмы, полученной импульсным изобарным омическим нагревом. Теплофизика высоких температур, 1977, 15, 695-702.

54. Н.Н.Огурцова, И.В.Подаюшенский, В ,Л .Смирнов. Измерение электропроводности неидеальной плазмы при 38000°К и давлениях (5*25).10^ н/м^. Теплофизика высоких температур. 1974, 12, 650-652.

55. В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. Вычислительные методы, том I, М., "Наука". 1976, 302 с.

56. Г.И.Марчук, В.В.Шайдуров. Повышение точности решений разностных схем. М., 1979» 319 с.