Влияние неупругих столкновений частиц на процессы переноса в частично ионизованной многокомпонентной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Степаненко, Александр Александрович

• Степаненко, Александр Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Степаненко, Александр Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Современное состояние исследований процессов переноса

в частично ионизованной многокомпонентной плазме

1.1. Метод Чепмена-Энскога. Плазма с бесструктурными частицами

1.2. Метод Чепмена-Энскога. Химически активная плазма

с частицами, обладающими внутренними степенями свободы

1.3. Метод моментов Грэда

1.4. Процессы переноса пылевых частиц в плазме

2. Система линеаризованных уравнений моментов для частично ионизованной многокомпонентной плазмы в магнитном поле с учетом неупругих столкновений частиц и

химических реакций

2.1. Уравнения сохранения

2.2. Линеаризованное кинетическое уравнение

2.3. Линеаризованные уравнения моментов

2.4. Общие линейные соотношения переноса для плазмы с учетом процессов неупругого взаимодействия частиц и химических реакций

3. Линейные соотношения переноса для электронов плазмы

3.1. Система скалярных уравнений переноса для электронов

3.2. Оценка величины коэффициента неупругих

потерь электронов

3.3. Системы векторных и тензорных уравнений переноса

для электронов

3.4. Оценка вклада неупругих столкновений электронов в величину электропроводности плазмы

4. Линейные соотношения переноса для тяжелых частиц плазмы

4.1. Линейные соотношения переноса для тяжелых частиц плазмы, обладающих внутренними степенями свободы, в приближении 17 114 моментов

4.2. Линейные соотношения переноса для бесструктурных тяжелых частиц плазмы в приближении 21 момента

4.3. Расчет коэффициентов переноса тяжелых частиц плазмы в магнитном поле в приближении 21 момента

5. Термосила, действующая на заряженную пылевую частицу

в простой полностью ионизованной плазме

5.1. Вводные замечания

5.2. Ионная термосила

5.3. Электронная сила увлечения

Заключение

Список цитируемой литературы

Приложения

Приложение 1. Вид «химических» интегралов , Ьга и

для реакций ионизации электронным ударом и трехчастичной рекомбинации

Приложение 2. Матричные элементы 1 и рп1 для упругих

столкновений электронов

Приложение 3. Парциальные интегральные скобки для электронов

с учетом неупругих столкновений

Приложение 4. Матричные элементы в уравнениях переноса

тяжелых частиц

I п

Приложение 5. Выражения для коэффициентов в приближении 21 момента

Приложение 6. Динамика пылевых частиц с вращательной

симметрией

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние неупругих столкновений частиц на процессы переноса в частично ионизованной многокомпонентной плазме»

Введение

1. Актуальность работы

Моделирование процессов, протекающих в частично ионизованной многокомпонентной плазме, находящейся в магнитном поле, является актуальной задачей при разработке и оптимизации различных газоразрядных приборов и устройств, использующих низкотемпературную плазму [1,2], при анализе явлений, возникающих в пограничном слое космических аппаратов, входящих со сверхзвуковой скоростью в атмосферы планет [3], а также при исследовании процессов в ионосферной и космической плазме [4,5]. Даже в высокотемпературной плазме лабораторных установок термоядерного синтеза, в основном объеме которых плазма является полностью ионизованной, учет присутствия нейтральных частиц может оказаться существенным при анализе явлений, происходящих в пристеночной плазме термоядерных установок, например, в диверторной области токамака [6].

Существенно, что в отличие от полностью ионизованного газа частично ионизованная плазма характеризуется большим многообразием протекающих в них химических и физических процессов, поскольку содержит значительное количество нейтральных частиц - молекул и атомов, вращательные, колебательные и электронные уровни которых активно возбуждаются в процессе взаимодействия частиц. Важную роль при этом играют резонансная перезарядка ионов на атомах, диссоциация молекул и ионизация атомов, обратная им рекомбинация с участием трех частиц и ряд других процессов, связанных с неупругими столкновениями частиц и химическими реакциями в плазме.

Большинство моделей, применяемых для описания процессов переноса в частично ионизованной плазме, основаны на использовании гидродинамических уравнений переноса для компонент плазмы, получаемых методами

кинетической теории, либо на применении статистического метода Монте-

5

Карло. Последний метод позволяет включить в рассмотрение достаточно большое число каналов упругого и неупругого взаимодействия частиц, а также все возможные химические реакции частиц. Однако, несмотря на полноту описания процессов, расчеты на основе метода Монте-Карло оказываются очень трудоемкими и требуют большого машинного времени. Гидродинамические модели плазмы, наоборот, могут не учитывать всех процессов взаимодействия частиц среды, однако вычисления, проводимые на их основе, требуют значительно меньших вычислительных затрат. Поэтому представляется актуальным получение системы гидродинамических уравнений переноса (уравнений магнитной газодинамики) для многокомпонентной частично ионизованной плазмы на основе кинетической теории, которые позволяли бы учитывать как можно большее число физических и химических процессов, протекающих в плазме.

Наконец, в плазме помимо обычных частиц могут присутствовать также пылевые частицы, представляющие независимые компоненты плазмы [7]. Поэтому наравне с анализом процессов переноса обычных плазменных компонентов, таких как молекулы, атомы, ионы и электроны, представляют интерес вопросы, связанные с динамикой взаимодействия пылевых и обычных частиц в плазме и их влияния на свойства переноса. 2. Цель и задачи работы

Кинетическая теория явлений переноса в многокомпонентных газовых смесях и частично ионизованной плазме развивалась во многих работах. В основе такой теории лежит обычно использование кинетического уравнения Больцмана, приближенное решение которого ищется с помощью хорошо разработанных метода Чепмена-Энскога или метода моментов Трэда. Целью настоящего диссертационного исследования является применение обобщенного метода моментов Грэда для анализа свойств переноса частично ионизованной многокомпонентной плазмы в магнитном поле, частицы которой наряду с упругими столкновениями участвуют также в неупругих столкновени-

ях и химических реакциях. Для достижения этой цели был поставлен ряд задач:

1. получение на основе обобщенного метода моментов Грэда полной и упрощенной систем линеаризованных уравнений моментов для многокомпонентной частично ионизованной плазмы в магнитном поле с учетом как упругих, так и неупругих столкновений частиц и химических реакций;

2. получение приближенной системы уравнений переноса для электронов, отделяемой от уравнений переноса для тяжелых частиц плазмы. Анализ выражений для поправок, возникающих в уравнениях переноса электронов за счет неупругих столкновений электронов с атомами и молекулами, а также процессов ионизации атомов электронным ударом и трехчастичной электрон-ионной рекомбинации в плазме;

3. получение конкретных оценок вклада неупругих столкновений в скалярные, векторные и тензорные коэффициенты переноса электронов;

4. получение системы уравнений переноса для тяжелых частиц химически активной плазмы, обладающих внутренними степенями свободы, в магнитном поле в приближении 17 моментов. Получение выражений для скалярных, векторных и тензорных коэффициентов переноса частиц;

5. получение системы уравнений переноса для электронов, ионов и нейтралов многокомпонентной плазмы, состоящей из бесструктурных частиц, в приближении 21 момента, обеспечивающем достаточную точность расчета коэффициентов переноса плазмы в условиях как сильной, так и слабой ионизации плазмы;

6. проведение расчетов коэффициентов теплопроводности и вязкости тяжелых частиц для частично ионизованных плазменных сред, параметры которых соответствуют параметрам диверторной плазмы термоядерного реактора в режиме газовой мишени. Анализ влияния процесса резонансной перезарядки на коэффициенты переноса ионов и атомов в таких средах;

7. проведение расчетов коэффициентов переноса для частично ионизованной плазмы в смесях Б-Не и О-Т. Анализ влияния сложного химического состава на коэффициенты переноса ионов и атомов в такой плазме;

8. получение поправок к термосиле, действующей на сферическую пылевую частицу, а также выражений для сил и моментов сил, действующих на пылинки с вращательной симметрией, в пылевой плазме, находящейся в магнитном поле.

3. Методы исследования

Основной теоретический метод, используемый в настоящей работе для получения аналитических результатов, - обобщенный метод моментов Грэда, применяемый при решении линеаризованного кинетического уравнения Больцмана. Численные расчеты коэффициентов переноса плазмы, полученных с использованием этого метода, реализуются в среде компьютерного моделирования БсПаЬ.

4. Научная новизна

Научная новизна настоящего диссертационного исследования состоит в получении общей системы уравнений моментов для многокомпонентной частично ионизованной плазмы в магнитном поле с учетом как упругих, так и неупругих столкновений частиц, а также химических реакций, таких как диссоциации, ионизация и рекомбинация. На основе этой системы в работе получены новые члены в уравнениях переноса электронов, возникающие за счет дополнительного учета неупругих столкновений электронов с атомами и молекулами плазмы, а также процессов ионизации атомов электронным ударом и трехчастичной электрон-ионной рекомбинации ионов. Получены обобщенные уравнения переноса тяжелых компонентов в молекулярной химически реагирующей плазме, находящейся в магнитном поле. Научной новизной характеризуется также получение для частично ионизованной плазмы, состоящей из бесструктурных частиц, общей системы уравнений переноса, которая позволяет единообразно и с достаточной точностью описывать динамику заряженных и нейтральных компонентов плазмы в пределах как

слабой, так и сильной ионизации плазмы. В работе получены также новые выражения для ряда сил и моментов сил, действующих на пылевые частицы в плазме в магнитном поле, позволяющие уточнить описание динамики пылинок, имеющих различную геометрию. 5. Новые научные результаты, выносимые на защиту

1. На основе метода моментов Грэда, используемого при решении обобщенного линеаризованного уравнения Больцмана, получена полная система линеаризованных уравнений переноса (уравнений моментов) для частично ионизованной многокомпонентной плазмы в магнитном поле с учетом внутренних степеней свободы частиц и химических реакций, включая реакции диссоциации, ионизации и рекомбинации.

2. Получены уравнения переноса для электронов с учетом неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы, приводящих к возбуждению вращательных и колебательных степеней свободы молекул и электронному возбуждению атомов плазмы, а также реакций ионизации атомов электронным ударом и трехчастичной электрон-ионной рекомбинации. На основе этих уравнений получены выражения для всех транспортных потоков и соответствующих им коэффициентов переноса электронов. Эти результаты являются обобщением соответствующих выражений, полученных Девото [24] на основе метода Чепмена-Энскога для плазмы, состоящей из бесструктурных частиц.

3. Получены выражения для поправок к скоростям реакции ионизации-рекомбинации в уравнении непрерывности для электронов, а также соотношение для величины отрыва температуры электронов от температуры тяжелых частиц. Получены выражения для дополнительных слагаемых в выражении для тензора давлений электронов, соответствующие учету омического нагрева плазмы, химических реакций, а также ненулевой сжимаемости плазмы (электронная объемная вязкость). Найдены соотношения для характерного времени релаксации энергии электронов с учетом упру-

гих и неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы, а также для коэффициента неупругих потерь электронов.

4. Получены расчетные зависимости величины коэффициента неупругих потерь электронов от температуры плазмы для ряда молекулярных (Н2, N2, 02, С02) и атомарных (Н) газов. Выполнены оценки вклада неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы в электронные коэффициенты переноса.

5. В рамках приближения 17 моментов получена система скалярных, векторных и тензорных уравнений переноса для тяжелых компонентов химически активной плазмы, частицы которой обладают внутренними степенями свободы. Получены выражения для коэффициентов переноса тяжелых частиц такой плазмы в магнитном поле.

6. Получена система уравнений переноса для случая химически инертной частично ионизованной плазмы бесструктурных частиц, находящейся в магнитном поле, в приближении 21 момента метода Грэда. Для этих уравнений получены выражения для моментов интеграла столкновений, отвечающих резонансной перезарядке ионов на атомах.

7. На основе системы уравнений переноса в приближении 21 момента найдены выражения для коэффициентов теплопроводности и вязкости произвольного компонента плазмы в магнитном поле. Эти выражения обеспечивают достаточную точность расчета коэффициентов переноса плазмы в пределах как слабой, так и сильной ионизации плазмы.

8. Рассчитаны коэффициенты вязкости и теплопроводности Н, Б, Б-Не и Б-Т плазмы. Показано, что а) учет резонансной перезарядки может оказывать значительное влияние на значения коэффициентов переноса плазмы, б) учет различного изотопного состава Б-Т плазмы может приводить к заметному (до 10%) изменению коэффициентов переноса ионов плазмы, в) учет примеси гелия в дейтериевой плазме, параметры которой соответствуют условиям диверторной плазмы в токамаке в режиме газовой мишени, не

оказывает заметного влияния на коэффициенты переноса ионов дейтерия даже при больших концентрациях примеси (НеЛ)<0.5).

9. В рамках приближения 21 момента Грэда получены выражения для ионной и электронной термосил и электронной силы трения, действующих на сферическую пылевую частицу в полностью ионизованной плазме в магнитном поле; получены уравнения движения пылевой частицы с вращательной симметрией в плазме, находящейся в магнитном поле, а также проанализирована устойчивость вращения таких частиц.

6. Научная и практическая ценность работы

1. Полученная в работе общая система уравнений переноса для химически активной плазмы, частицы которой обладают внутренними степенями свободы и участвуют как в упругих, так и неупругих столкновениях, может быть использована при решении задач газодинамики в различных плазменных средах, начиная от низкотемпературной плазмы газового разряда, ионосферной и космической плазмы и заканчивая горячей плазмой установок термоядерного синтеза.

2. Полученные в работе выражения для коэффициентов переноса электронов, в которых учитываются вклады неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы, могут быть использованы для уточнения результатов расчета соответствующих величин, например, при исследованиях плазмы газового разряда и ионосферной плазмы.

3. Выражения для парциальных коэффициентов теплопроводности и вязкости, полученные для частично ионизованной плазмы в приближении 21 момента Грэда, могут быть использованы для уточнения продольных коэффициентов переноса ионов в гидродинамических кодах (например, в коде В2), используемых при моделировании динамики диверторной плазмы токамаков в режиме газовой мишени. Преимуществом этих выражений по сравнению с выражениями для коэффициентов переноса, получаемых, например, в рамках метода Чепмена-Энскога, является более низкий порядок

определителей (NxN вместо 2Nx2N), через которые они записываются, что приводит к снижению вычислительных затрат.

4. Написаны и апробированы программы расчета парциальных коэффициентов теплопроводности и вязкости произвольного тяжелого компонента плазмы в магнитном поле применительно к Н, D, D-He и D-T плазме.

5. Представленные в работе выражения для сил и моментов сил, действующих на пылевую частицу в плазме, могут быть использованы для повышения точности расчетов динамики пылевых частиц в компьютерных кодах, таких как, например, код DUSTT.

7. Апробация

Результаты диссертационного исследования были доложены на XX Международной конференции по взаимодействию ионов с поверхностью (ВИП-2011) (г. Звенигород, 2011), IX Курчатовской молодежной научной школе (г. Москва, 2011), Научно-координационной сессии «Исследования неидеальной плазмы-2012» (NPP-2012) (г. Москва, 2012), конференции «Знания молодых физиков Родине» (г. Москва, 2012), 5-й Всероссийской молодежной конференции «Фундаментальные и инновационные вопросы современной физики» (г. Москва, 2013), Научных сессиях НИЯУ МИФИ 2011 и 2014 (г. Москва), Международной конференции-конкурсе молодых физиков (г. Москва, 2014), Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы» ФНТП-2014 (г. Казань, 2014), XIV Российской конференции (с международным участием) по теплофизическим свойствам веществ РКТС-2014 (г. Казань, 2014).

8. Публикации

Всего по результатам диссертационного исследования опубликовано 13 печатных работ, из них 3 - в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК (эти работы также входят в базы данных научных публикаций Web of Science и Scopus):

1. Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

1.1. Stepanenko A. A., Smirnov R. D., Zhdanov V. M., Krasheninnikov S. I. On the thermal force acting on dust grain in fully ionized plasma // Phys. Plasmas. 2011. V. 18. P. 033702-1-033702-4.

1.2. Жданов В. М., Степаненко А. А. Влияние резонансной перезарядки на вязкость частично ионизованной плазмы в магнитном поле // Физика плазмы. 2013. Т. 39. № 12. С. 1089-1098.

1.3. Stepanenko A. A., Krasheninnikov S. I. On the theory of dynamics of dust grain in plasma // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. 033702-1-033702-5.

2. Публикации в сборниках трудов конференций:

2.1. Zhdanov V. М., Stepanenko A. A. Application of Grad's moment method to analysis of transport phenomena in partially ionized divertor plasma // Труды 20й международной конференции «Взаимодействие ионов с по-верхностью-2011», 25-29 августа 2011 г., Звенигород. Т. 2. С. 336-337.

2.2. Жданов В. М., Степаненко А. А. Уравнения переноса для многокомпонентной частично ионизованной пристеночной плазмы токамака // Сборник аннотаций работ IX Курчатовской молодежной научной школы, 22-25 октября 2011 г., Москва, С. 209-210.

2.3. Степаненко А. А., Крашенинников С. П., Смирнов Р. Д., Жданов В. М. О силах трения, действующих на пылевую частицу в полностью ионизованной плазме // Научная сессия НИЯУ МИФИ 2011, 1-5 февраля 2011 г., Москва, Т. 1. С. 71.

2.4. Stepanenko A. A., Krasheninnikov S. I. On the dynamics of rotationally symmetric dust grain in magnetized plasma // Труды научно-координационной сессии «Исследования неидеальной плазмы-2012», 67 декабря 2012 г., Москва. URL: http://ihed.ras.ru/npp2012/ program/restore.php?id=865 (дата обращения 05.11.2014).

2.5. Жданов В. М., Степаненко А. А. Влияние резонансной перезарядки на вязкость частично ионизованной плазмы // Труды конференции-конкурса "Знания молодых физиков Родине" 10 декабря 2012 г., Москва, Физическое образование в вузах. 2012. Т. 18. № 4. С. П27.

2.6. Степаненко А. А. Поперечные свойства переноса в замагниченной частично ионизованной плазме // Сборник трудов 5й Всероссийской молодежной конференции «Фундаментальные и инновационные вопросы современной физики», 10-15 ноября 2013 г., Москва, С. 177.

2.7. Жданов В. М., Степаненко А. А. Коэффициенты вязкости и теплопроводности частично ионизованной плазмы в магнитном поле // Научная сессия МИФИ 2014, 27 января - 1 февраля 2014 г., Москва, Т. 2. С. 105.

2.8. Жданов В. М., Степаненко А. А. Коэффициенты переноса для многокомпонентной частично ионизованной плазмы в магнитном поле // Труды Международной конференции-конкурса молодых физиков, 3 февраля 2014 г., Москва, Физическое образование в вузах. 2014. Т. 20. № 1С. С. 12.

2.9. Жданов В. М., Степаненко А. А. Уравнения переноса для химически активной частично ионизованной плазмы в магнитном поле // Сборник материалов Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы» ФНТП-2014, 20-23 мая 2014 г., Казань, Т. 2. С. 103-106.

2.Ю.Жданов В. М., Степаненко А. А. Влияние неупругих столкновений на электронные коэффициенты переноса в молекулярной плазме // Материалы XIV Российской конференции (с международным участием) по теплофизическим свойствам веществ РКТС-2014, 14-17 октября 2014 г. Казань, Т. 1. С. 350-352.

9. Личный вклад автора

Результаты, представленные в настоящем диссертационном исследовании, были получены соискателем лично либо на паритетной основе с соавторами.

10. Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, 6 приложений и библиографического списка литературы. Полный объём диссертации 218 страниц, включая 24 рисунка и 6 таблиц. Библиографический список включает 182 наименования.

Глава 1

Современное состояние исследований процессов переноса в частично ионизованной многокомпонентной плазме

§1.1 Метод Чепмена-Энскога. Плазма с бесструктурными частицами

Исходным при рассмотрении процессов переноса в газах и плазме является, как известно, кинетическое уравнение Больцмана с записью интеграла столкновений в правой его части в известном представлении Больцмана [8], либо в форме, предложенной Ландау [9]. Одним из методов, предложенных для приближенного решения кинетического уравнения Больцмана, является метод Чепмена-Энскога [8]. Этот метод был разработан в начале двадцатого века Чепменом и независимо от него Энскогом и затем успешно применялся для анализа процессов переноса в бинарной смеси неионизованных химически инертных газов, частицы которых не обладают внутренними степенями свободы. Впоследствии метод модифицировался многими авторами для учета сложного состава смесей газов, а также учета внутренних степеней свободы частиц. Основные результаты, относящиеся к этой области, хорошо известны и изложены в классических монографиях [8,10-12]. В этом параграфе мы дадим обзор литературы, относящейся к применению метода Чепмена-Энскога при исследовании процессов переноса в ионизованных смесях газов (плазме).

Первые работы, посвященные анализу процессов переноса в ионизованных газах, были выполнены применительно к полностью ионизованным плазменным средам [13-17]. В работе [13] исследовались процессы переноса в полностью ионизованной плазме в магнитном поле. Полученные в этой работе выражения для коэффициентов электропроводности, теплопроводности,

15

а также термоэлектрических коэффициентов использовались в работе [14] для анализа сходимости получаемых значений коэффициентов переноса в плазме без магнитного поля. В широко известных работах Брагинского [15, 16] была получена система уравнений переноса для ионов и электронов в полностью ионизованной двухтемпературной плазме в магнитном поле и найдены выражения для всех электронных и ионных коэффициентов переноса. Выражения для коэффициентов электропроводности, теплопроводности, а также термодиффузии для двухкомпонентной полностью ионизованной плазмы в магнитном поле были рассматривались также в работе [17].

В плазме наряду с заряженными частицами могут также присутствовать и нейтральные компоненты, в общем случае представленные молекулами и атомами. Одни из первых работ, посвященных анализу процессов переноса в частично ионизованной плазме, были выполнены Стахановым и Степановым [18], а также Бисноватым-Коганом [19]. Так, в [18] было получено обобщение результатов Брагинского на случай частично ионизованной неизотермической плазмы в магнитном поле. При описании процессов переноса в плазме считалось, что заряженные и нейтральные частиц взаимодействуют как твердые шарики, в то время как для описания взаимодействия заряженных частиц в кинетическом уравнении использовался интеграл столкновений в форме Ландау. В работе [19] рассматривались процессы переноса в двухтемпературной трехкомпонентной плазме в магнитном поле. Были получены общие выражения для тепловых потоков и диффузионных скоростей частиц плазмы, а также уравнения, позволяющие определить парциальные коэффициенты теплопроводности, диффузии и термодиффузии частиц плазмы.

Первые зарубежные работы, посвященные анализу процессов переноса в частично ионизованной плазме, были выполнены Чмиелески и Ферцигером [20, 21], а также Дейбелджом [22]. В работах [20, 21] на основе метода Чеп-мена-Энскога, модифицированного для учета неизотермичности плазмы (отличия температуры электронов от температуры тяжелых частиц), была раз-

вита теория процессов переноса в плазме с учетом и без учета магнитного поля. В рамках второго приближения Чепмена-Каулинга были получены выражения для потоков тепла, массы и импульса, а также связанных с ними коэффициентов переноса плазмы, таких как коэффициенты диффузии, термодиффузии, теплопроводности, электропроводности и вязкости. Главной особенностью работ [20, 21] оказалось выдвинутое авторами предположение о бесконечно малом отношении массы электронов и тяжелых частиц, которое дало возможность отделить кинетическое уравнение для тяжелых частиц от кинетического уравнения для электронов. Применение такого подхода позволило существенно упростить коэффициенты переноса тяжелых частиц, определив их только на температуре тяжелых частиц Тн. В работе [22] Дей-белджем были проанализированы процессы переноса в неизотермической плазме в магнитном поле. Кинетические уравнения электронов и тяжелых частиц отделялись друг от друга за счет малости отношения те / т^, как и в работах [20, 21]. Однако в [22] было принято, что масса тяжелых частиц конечна, так что функция распределения нулевого порядка для тяжелых частиц

,(0) „ ,(0)

' оказывается максвелловскои, в отличие от представления в виде

дельта-функции, принятого в работах [20, 21]. Это привело к некоторому изменению соотношений для коэффициентов переноса по сравнению с работами [20, 21].

Обобщение результатов, полученных в [11] для многокомпонентной газовой смеси, на случай многокомпонентной плазмы было выполнено Дево-то в работах [23-26], в которых исследовались процессы переноса в частично ионизованных смесях одноатомных газов без магнитного поля. В работе [23] Девото были получены выражения для коэффициентов диффузии, термодиффузии, теплопроводности и вязкости произвольного компонента смеси в произвольном порядке приближения Чепмена-Каулинга. На основе этих соотношений была проанализирована сходимости значений коэффициентов переноса. В частности, было показано, что для расчета векторных коэффициен-

тов переноса полностью ионизованной плазмы необходимо использовать как минимум третье приближение Чепмена-Каулинга, для расчета же тензорных коэффициентов переноса (прежде всего коэффициента вязкости) достаточно второго приближения Чепмена-Каулинга. В случае нейтрального газа для расчета векторных и тензорных коэффициентов переноса можно использовать, соответственно, второе и первое приближения Чепмена-Каулинга. В работе [24] была предложена методика полного отделения кинетического уравнения для электронов от кинетического уравнения для тяжелых частиц за счет малости отношения тв / mh, обобщающая соответствующие результаты [20-22]. Это позволило получить упрощенные выражения для коэффициентов переноса электронов, в которых учитываются только сечения столкновения электронов с другими частицами плазмы. Применимость подобного подхода к описанию процессов переноса в плазме была продемонстрирована Девото в этой работе на примере расчета коэффициентов теплопроводности и вязкости аргоновой плазмы. Автором было показано, что значения соответствующих коэффициентов переноса, полученные на основе полных и упрощенных выражений, отличаются не более чем на 1 %. Аналитические результаты работ [23, 24] затем были частично уточнены в работах [25, 26].

Теория процессов переноса, развитая в [23, 24], была позднее использована Девото для расчета коэффициентов переноса ряда частично ионизованных плазменных сред. Так, в [27] на основе полных выражений для коэффициентов переноса работы, полученных в [23], были рассчитаны значения коэффициентов теплопроводности, вязкости, диффузии и электропроводности частично ионизованной аргоновой плазмы. В работах [28, 29] на основе упрощенных выражений для коэффициентов переноса работы [24] были выполнены расчеты соответствующих коэффициентов переноса аргоновой и водородной плазмы в широком диапазоне температур и давлений среды.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Степаненко, Александр Александрович

Заключение

В настоящей диссертационной работе на основе обобщенного метода Грэда решения кинетического уравнения Больцмана было исследовано влияние неупругих столкновений частиц на процессы переноса в частично ионизованной многокомпонентной плазме в магнитном поле, частицы которой обладают внутренними степенями свободы и могут участвовать в химических реакциях. Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании, могут быть сформулированы следующим образом:

1. На основе обобщенного метода моментов получена полная система линеаризованных уравнений переноса (уравнений моментов) для частично ионизованной многокомпонентной плазмы в магнитном поле с учетом внутренних степеней свободы частиц и химических реакций, включая реакции диссоциации, ионизации и рекомбинации.

2. Получены уравнения переноса для электронов с учетом неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы, приводящих к возбуждению вращательных и колебательных степеней свободы молекул и электронному возбуждению атомов плазмы, а также реакций ионизации атомов электронным ударом и трехчастичной электрон-ионной рекомбинации. На основе этих уравнений получены выражения для всех транспортных потоков и соответствующих им коэффициентов переноса электронов. Эти результаты являются обобщением соответствующих выражений, полученных Девото [24] на основе метода Чепмена-Энскога для плазмы, состоящей из бесструктурных частиц.

3. Получены выражения для поправок к скоростям реакции ионизации и рекомбинации в уравнении непрерывности для электронов, а также соотношение для величины отрыва температуры электронов от температуры тяжелых частиц. Получены выражения для дополнительных слагаемых в выражении для тензора давлений электронов, соответствующие учету омического нагрева плазмы, химических реакций, а также ненулевой сжимаемо-

179

сти плазмы (электронная объемная вязкость). Найдены соотношения для характерного времени релаксации энергии электронов с учетом упругих и неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы, а также для коэффициента неупругих потерь электронов.

4. Получены расчетные зависимости величины коэффициента неупругих потерь электронов от температуры плазмы для ряда молекулярных (Н2, N2, 02, С02) и атомарных (Н) газов. Выполнены оценки вклада неупругих столкновений электронов с тяжелыми частицами плазмы в электронные коэффициенты переноса.

5. В рамках приближения 17 моментов получена система скалярных, векторных и тензорных уравнений переноса для тяжелых компонентов химически активной плазмы, частицы которой обладают внутренними степенями свободы. Получены выражения для коэффициентов переноса тяжелых частиц такой плазмы в магнитном поле.

6. Получена система уравнений переноса для случая химически инертной частично ионизованной плазмы бесструктурных частиц, находящейся в магнитном поле, в приближении 21 момента метода Трэда. Для этих уравнений получены выражения для моментов интеграла столкновений, отвечающих резонансной перезарядке ионов на атомах.

7. На основе системы уравнений переноса в приближении 21 момента найдены выражения для коэффициентов теплопроводности и вязкости произвольного компонента плазмы в магнитном поле. Эти выражения обеспечивают достаточную точность расчета коэффициентов переноса плазмы в пределах как слабой, так и сильной ионизации плазмы.

8. Рассчитаны коэффициенты вязкости и теплопроводности Н, Б, Не, Б-Не и Б-Т плазмы. Показано, что а) учет резонансной перезарядки может оказывать значительное влияние на значения коэффициентов переноса плазмы, б) учет различного изотопного состава Б-Т плазмы может приводить к заметному (до 10%) изменению коэффициентов переноса ионов плазмы, в) учет примеси гелия в дейтериевой плазме, параметры которой соответст-

вуют условиям диверторной плазмы в токамаке в режиме газовой мишени, не оказывает заметного влияния на коэффициенты переноса ионов дейтерия даже при больших концентрациях примеси (Не/0<0.5).

9. В рамках приближения 21 момента Грэда получены выражения для ионной и электронной термосил и электронной силы трения, действующих на сферическую пылевую частицу в полностью ионизованной плазме в магнитном поле. Показано, что для пристеночной плазмы токамака продольная компонента ионной термосилы преобладает над продольной компонентой ионной силы трения только для дозвукового течения потока плазмы.

10. На основе соображений симметрии получены общие выражения для сил и моментов сил, действующих на пылевые частицы с вращательной симметрией в плазме, находящейся в магнитном поле. Показано, что вращение пылинки обусловлено силой Лоренца и также ларморовским вращение ионов, падающих на пылевую частицу. Проанализирована устойчивость вращения пылинок.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Михайловичу Жданову, за неоценимую помощь и поддержку, оказанную во время выполнения диссертационных исследований и подготовки рукописи. Автор также хочет поблагодарить профессора Сергея Игоревича Крашенинникова за помощь и руководство в проведении исследований, посвященных анализу динамики пылевых частиц в плазме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степаненко, Александр Александрович, 2014 год

Список цитируемой литературы

[1] Энциклопедия низкотемпературной плазмы // под ред. акад. В. Е. Фортова. Т. 2. - М.: Наука, 2000.

[2] Райзер Ю. П. Физика газового разряда. - М.: Наука, 1992. - 536 С.

[3] Sarma G. S. R. Physico-chemical modelling in hypersonic flow simulation // Prog. Aer. Sci. 2000. V. 36. P. 281-349.

[4] Garcia Munoz A. Formulation of molecular diffusion in planetary atmospheres //Planet. Space Sci. 2007. V. 55. P. 1414-1425.

[5] Schunk R. W., Nagy A. F. Ionospheres: Physics, Plasma Physics, and Chemistry. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009. - 628 c.

[6] Hellander P., Krasheninnikov S. I., Catto P. J. Fluid equations for a partially ionized plasma // Phys. Plasmas 1994. V. 1. P. 3174-3180.

[7] Фортов В. E., Храпак А. Г., Храпак С. А., и др. Пылевая плазма // УФН. 2004. Т. 174. С. 495-544.

[8] Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. - М.: ИЛ, 1960.-511 С.

[9] Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. - М.: Наука, 1971. -338 С.

[10] Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах // пер. с англ., под ред. проф. Д.Н. Зубарева и А.Г. Башкирова. - М.: Мир, 1976. -555 С.

[11] Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей // пер. с англ. - М.: Изд-во Ин. Лит., 1961. - 929 С.

[12] Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении // Термодинамика газов. М.: Машиностроение, 1970. С. 169-414.

[13] Landshoff R. Transport phenomena in a completely ionized gas in presence of a magnetic field // Phys. Rev. 1949. V. 76. No. 7. P. 904-909.

[14] Landshoff R. Convergence of the Chapman-Enskog method for a completely

ionized gas // Phys. Rev. 1951. V. 82. P. 442.

182

[15] Брагинский С. И. Явления переноса в полностью ионизованной двухтемпературной плазме // ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 459-472.

[16] Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы // Под ред. М.А. Леонтовича. -М.: Госатомиздат, 1963. - Вып. 1. - С. 183-272.

[17] Kaneko S. Transport coefficients of plasmas in a magnetic field// J. Phys. Soc. Japan. 1960. V. 15. No. 9. P. 1685-1696.

[18] Стаханов И. П., Степанов Р. С. Уравнения переноса для 3-компонентной плазмы в магнитном поле // ЖТФ. 1964. Т. 34. С. 399-409.

[19] Бисноватый-Коган Г. С. Переноса тепла и диффузия в частично ионизованной двухтемпературной плазме // ПМТФ. 1964. Т. 3. С. 43-51.

[20] Chmieleski R. M., Ferziger J. H. Transport properties of a nonequilibrium partially ionized gas // Phys. Fluids. 1967. V. 10. No. 2. P. 364-371.

[21] Chmieleski R. M., Ferziger J. H. Transport properties of a nonequilibrium partially ionized gas in a magnetic field // Phys. Fluids. 1967. V. 10. No. 12. P. 2520-2528.

[22] Daybelge U. Unified transport theory of partially ionized nonisothermal plasmas // J. Appl. Phys. 1970. V. 41. No. 5. P.2130-2139.

[23] Devoto R. S. Transport properties of ionized monatomic gases // Phys. Fluids.

1966. V. 9. No. 6. P. 1230-1240.

[24] Devoto R. S. Simplified expressions for the transport properties of ionized monatomic gases // Phys. Fluids. 1967. V. 10. No. 10. P. 2105-2112.

[25] Devoto R. S. Third approximation to the viscosity of multicomponent mixtures // Phys. Fluids. 1967. V. 10. P. 2704-2706.

[26] Devoto R. S. Thermal conductivity of multicomponent gas mixtures // Physica. 1970. V. 45. P. 500-505.

[27] Devoto R. S. Transport coefficients of partially ionized argon // Phys. Fluids.

1967. V. 10. No. 2. P. 354-364.

[28] Devoto R. S. Transport coefficients of ionized argon // Phys. Fluids. 1973. V. 16. No. 5. P. 616-623.

[29] Devoto R. S. Transport coefficients of partially ionized hydrogen // J. Plasma Phys. 1968. V. 2. No. 4. P. 617-631.

[30] Гене А. В., Тирскнй Г. А. Уравнения гидродинамики для многокомпонентных смесей с коэффициентами переноса в высших приближениях // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. № 6. С. 153-157.

[31] Колесников А. Ф., Тирский Г. А. Уравнения гидродинамики для частично ионизованных многокомпонентных смесей газов с коэффициентами переноса в высших приближениях // Молекулярная газодинамика. М.: Наука, 1982. С. 20.

[32] Колесников А. Ф. Уравнения переноса для высокотемпературных ионизованных смесей газов в электромагнитных полях // Научные труды Ин-та механики МГУ. 1975. № 39. С. 39-51.

[33] Колесников А. Ф., Тирский Г. А. Соотношения Стефана - Максвелла для диффузионных потоков плазмы в магнитном поле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. №4. С. 148-154.

[34] Колесников А. Ф., Тирский Г. А. Гидродинамические уравнения и уравнения переноса для ионизированных многокомпонентных двухтемператур-ных смесей газов // Модели в механике сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО СССР, 1979. С. 114.

[35] Kolesnikov A. F. General formulation of the multicomponent plasma transport equations // Physico-Chemical Models for High Enthalpy and Plasma Flow. Saint-Genese: von Karman Institute for Fluid Dynamics, 2002. V. VKI. LS 200207.

[36] Murphy A. B. Diffusion in equilibrium mixtures of ionized gases // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. No. 5. P. 3594-3603.

[37] Murphy А. В., Arundelli C. J. Transport coefficients of argon, nitrogen, oxygen, argon-nitrogen, and argon-oxygen plasmas // Plasma Chem. Plasma Process. 1994. V. 14. P. 451-490.

[38] Murphy A. B. Transport coefficients of air, argon-air, nitrogen-air, and oxygen-air plasmas // Plasma Chem. Plasma Process. 1995. V. 15. P. 279-307.

[39] Murphy A. B. Transport coefficients of helium and argon-helium plasmas // IEEE Trans. Plasma Sci. 1997. V. 25. P. 809-814.

[40] Murphy A. B. Transport coefficients of hydrogen and argon-hydrogen plasmas // Plasma Chem. Plasma Process. 2000. V. 20. No. 3. P. 279-297.

[41] Murphy A. B. Transport coefficients of plasmas in mixtures of nitrogen and hydrogen // Chem. Phys. 2012. V. 398. P. 64-72.

[42] Rat V., André P., Aubreton J., et al. Transport properties in a two-temperature plasma: Theory and application // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 026409-1-02640920.

[43] Rat V., André P., Aubreton J., et al. Transport coefficients including diffusion in a two-temperature argon plasma // J. Phys. D. 2002. V. 35. P. 981-991.

[44] Rat V., André P., Aubreton J., et al. Two-temperature transport coefficients in argon-hydrogen plasmas—I: elastic processes and collision integrals // Plasma Chem. Plasma Process. 2002. V. 22. No. 4. P. 453-474.

[45] Rat V., André P., Aubreton J., et al. Two-temperature transport coefficients in argon-hydrogen plasmas—II: inelastic processes and influence of composition // Plasma Chem. Plasma Process. 2002. V. 22. No. 4. P. 475-493.

[46] Aubreton J., Elchinger M.F., Rat V., Fauchais P. Two-temperature transport coefficients in argon-helium thermal plasmas // J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. V. 37. p. 34-41.

[47] Aubreton J., Elchinger M.F., Fauchais P., et al. Thermodynamic and transport properties of a ternary Ar-H2-He mixture out of equilibrium up to 30 000 K at atmospheric pressure // J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. V. 37. P. 2232-2246.

[48] Magin T. E., Degrez G. Transport properties of partially ionized and unmagnetized plasmas // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 046412-1-046412-19.

[49] Magin T. E., Graille B„ Massot M. // RTO-EN-AVT-162. 2008. 40 P.

[50] Wang-Chang C. J., Uhlenbeck G. E. Transport phenomena in polyatomic gases // University of Michigan. Engineering Research Report. No. CM 681. 1951. 49 P.

[51] Wang-Chang С. J., Uhlenbeck G. E., de Boer J. // in «Studies in Statistical Mechanics». - Amsterdam: North Holland, 1964. - V. 2. - P. 24.

[52] Mason E. A., Monchick L. Heat conductivity of polyatomic and polar gases // J. Chem. Phys. 1962. V. 36. No. 6. P. 1622-1639.

[53] Monchick L., Yun K. S., Mason E. A. Formal kinetic theory of transport phenomena in polyatomic gas mixtures // J. Chem. Phys. 1963. V. 39. No. 3. P. 654669.

[54] Monchick L., Pereira A. N. G., Mason E. A. Heat conductivity of polyatomic and polar gases and gas mixtures // J. Chem. Phys. 1965. V. 42. P. 3241-3256.

[55] Monchick L., Munn R.J., Mason E. A. Thermal diffusion in polyatomic gases: a generalized Stefan—maxwell diffusion equation // J. Chem. Phys. 1966. V. 45. P. 3051-3058.

[56] Людвиг Г., Хейль M. Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией. - М.: ИЛ, 1963. - С. 39.

[57] Butler J. N., Brokaw R. S. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium // J. Chem. Phys. 1957. V. 26. No. 6. P. 1636-1643.

[58] Brokaw R. S. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium. II // J. Chem. Phys. 1960. V. 32. No. 4. P. 1005-1006.

[59] Chikhaoui A., Dupon J. P., Kustova E. V., Nagnibeda E. A. Transport properties in reacting mixture of polyatomic gases // Physica A. 1997. V. 247. P. 526552.

[60] Валландер С. В., Нагнибеда E. А., Рыдалевская M. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующих смесей газов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

[61] Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в неравновесных течениях реагирующих газов. - СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. - 272 с.

[62] Alexeev В. V., Chikhaoui A., Grushin I. Т. Application of the Generalized Chapman-Enskog method to the transport-coefficient calculation in a reacting gas mixture // Phys. Rev. E. 1994. V. 29. No. 6. P. 2809-2825.

[63] Alexeev B. V., Chikhaoui A., Meolans J. G., et al. Generalized Chapman-Enskog method in the kinetic theory of reacting ionized gases // Phys. Plasmas. 1994. V. 1. No. 10. P. 3199-3210.

[64] Capitelli M., Celiberto R., Gorse C., et al. Transport properties of local thermodynamic equilibrium hydrogen plasmas including electronically excited states // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 026412-1-026412-10.

[65] Bruno D,, Capitelli M., Catalfamo C., Laricchiuta A. Transport of internal electronic energy in atomic hydrogen thermal plasmas // Phys. Plasmas. 2007. V. 14. P. 072308-1-072308-7.

[66] Ern A., Giovangigli V. The kinetic chemical equilibrium regime // Physica A. 1998. V. 260. P. 49-72.

[67] Giovangigli V., Graille B. Kinetic theory of partially ionized reactive gas mixtures // Physica A. 2003. V. 327. P. 313-348.

[68] Giovangigli V., Graille B. The kinetic theory of partially ionized reactive gas mixtures II // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. V. 42. P. 025503-1-025503-31.

[69] Giovangigli V. Multicomponent transport algorithms for partially ionized mixtures // J. Comp. Phys. 2010. V. 229. P. 4117-4142.

[70] Giovangigli V., Graille B., Magin T., Massot M. Multicomponent transport in weakly ionized mixtures // Plasma Sources Sci. Technol. 2010. V. 19. P. 0340021-034002-6.

[71] Kustova E. V., Nagnibeda E. A., Chauvin A. H. State-to-state nonequilibrium reaction rates // J. Chem. Phys. 1999. V. 248. P. 221-232.

[72] Aliat A., Kustova E. V., Chikhaoui A. State-to-state dissociation rate coefficients in electronically excited diatomic gases// Chem. Phys. Lett. 2004. V. 390. P. 370-375.

[73] Kustova E. V., Giordano D. Cross-coupling effects in chemically non-equilibrium viscous compressible flows // Chem. Phys. 2011. V. 379. P. 83-91.

[74] Chikahoui A., Dupon J. P., Genieys S., et al. Multitemperature kinetic model for heat transfer in reacting gas mixture flows // Phys. Fluids. 2000. V. 12. No. 1. P. 220-232.

[75] Kustova E. V. On the simplified state-to-state transport coefficients // Chem. Phys. 2001. V. 270. P. 177-195.

[76] Kustova E. V., Puzyreva L. A.Transport coefficients in nonequilibrium gas-mixture flows with electronic excitation // Phys. Rev. E. 2009. V. 80. P. 046407-1046407-9.

[77] Istomin V. A., Kustova E. V., Puzyreva L. A. Transport Properties of Electronically Excited N2/N and 02/0 Mixtures // AIP Proc. on Rarefied Gas Dynamics. 2011. V. 1333. P. 747-752.

[78] Istomin V. A., Kustova E. V. Influence of electronic excitation on transport Properties of partially ionized atomic gases // Proc. 28th International Symposium on Shock Waves. 2012. P. 119-124.

[79] Capitelli M., Celiberto R., Gorse C., et al. Electronically excited states and transport properties of thermal plasmas: The reactive thermal conductivity // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 016403-1-016403-8.

[80] Bruno D., Laricchiuta A., Capitelli M., Catalfamo C. Effect of electronic excited states on transport in magnetized hydrogen plasma // Phys. Plasmas. 2007. V. 14. P. 022303-1-022303-11.

[81] Capitelli M., Armenise I., Bruno D., et al. Non-equilibrium plasma kinetics: a state-to-state approach // Plasma Sources Sei. Technol. 2007. V. 16. P. S30-S44.

[82] Bruno D., Capitelli M., Catalfamo C., Laricchiuta A. Cutoff criteria of electronic partition functions and transport properties of atomic hydrogen thermal plasmas // Phys. Plasmas. 2008. V. 15. P. 112306-1-112306-7.

[83] Capitelli M., Bruno D., Colonna G., et al. Thermodynamics and transport properties of thermal plasmas: the role of electronic excitation // J. Phys. D: Appl. Phys. 2009. V. 42. P. 194005-1-194005-19.

[84] Bruno D., Colonna G., Laricchiuta A., Capitelli M. Reactive and internal contributions to the thermal conductivity of local thermodynamic equilibrium nitrogen plasma: The effect of electronically excited states// Phys. Plasmas. 2012. V. 19. P. 122309-1-122309-8.

[85] Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Comm. Pure Appl. Math. 1949. V. 2. P. 331-407.

[86] Grad H. Asymptotic theory of the boltzmann equation // Phys. Fluids. 1963. V. 6. P. 147-181.

[87] Herdan R., Liley B. S. Dynamical equations and transport relationships for a thermal plasma // Rev. Mod. Phys. 1960. V. 32. No. 4. P. 731-741.

[88] Жданов В. M., Каган Ю. М., Сазыкин А. А. Влияние вязкого переноса импульса на диффузию в газовой смееи//ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 857-867.

[89] Жданов В. М., Тирский Г. А. Применение метода моментов к выводу уравнений переноса газа и плазмы с коэффициентами переноса в высших приближениях // ПММ. 2003.Т. 67. Вып. 3. С. 406.

[90] Жданов В. М. К кинетической теории многоатомного газа // ЖЭТФ. 1967. Т. 53. С. 2099-2108.

[91] Алиевский М. Я., Жданов В. М. Явления переноса и релаксация в многоатомных газовых смесях// ЖЭТФ. 1968. Т. 55. В. 1. С. 221-232.

[92J Жданов В. М., Скачков П. П. Уравнения переноса в химически реагирующих неоднородных газах// Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 3. С. 473485.

[93] Жданов В. М., Скачков П. П. Уравнения переноса в химически реагирующих неоднородных газах. II Учет внутренних степеней свободы // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 4. С. 125-132.

[94] Жданов В. М., Скачков П. П. К теории неравновесных явлений в химически реагирующих газовых смесях // ДАН СССР. 1973. Т. 211. № 3. С. 555-558.

[95] Лазарев А. В. Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Москва. МГУ. 1978.

[96] Жданов В. М. Явления переноса в частично ионизованном газе // ПММ. 1962. Т. 26. С. 280-286.

[97] Алиевский М. Я., Жданов В. М. Уравнения переноса для неизотермической многосортной плазмы // ПМТФ. 1963. № 5. С. 11-17.

[98] Алиевский М. Я., Жданов В. М., Полянский В. А. Тензор вязких напряжений и тепловой поток в двухтемпературном частично ионизованном газе // ПМТФ. 1964. № 3. С. 32-42.

[99] Жданов В. М. Электропроводность частично ионизованной газовой смеси в магнитном поле // ПМТФ. 1965. № 4. С. 66-70.

[100] Жданов В. М., Юшманов П. Н. Диффузия примесей в режиме Пфирша - Шлютера // Физика плазмы. 1977. Т. 3. В. 6. С. 1193-1202.

[101] Жданов В. М., Юшманов П. Н. Диффузия и перенос тепла в многокомпонентной полностью ионизованной плазме // ПМТФ. 1980. № 4. С. 24-35.

[102] McCormack F. J. Kinetic equations for polyatomic gases: the 17moment approximation // Phys. Fluids. 1968. V. 11. P. 2533-2543.

[103] McCormack F. J. Kinetic moment equations for a gas of polyatomic molecules with many internal degrees of freedom // Phys. Fluids. 1970. V. 13. P. 1446-1451.

[104] Жданов В. M. Явления переноса в многокомпонентной плазме. - М.: Энергоиздат, 1982. - 177 с.

[105] Жданов В. М. Процессы переноса в многокомпонентной плазме. - М.: Физматлит, 2009. - 280 с.

[106] Balescu R. Transport processes in plasmas. V. 1,2. Amsterdam: North Holland, 1988.

[107] Bergmann A., Igitkhanov Yu., Braams В., et al. Implementation into B2 of a 21-moment description for the parallel transport // Contrib. Plasma Phys. 1996. V. 36. P. 192-196.

[108] Fichtmliller M., Corrigan G., Radford G., et al. Multi-species developments in the EDGE2D code // Contrib. Plasma Phys. 1998. V. 38 P. 284-289.

[109] Radford G. J. The application of moment equations to scrape off layer plasmas // Contrib. Plasma Phys. 1992. V. 32. No. 3/4. P. 297-302.

[110] Chankin A. V., Coster D. P. Comparison of 2D models for the plasma edge with experimental measurements and assessment of deficiencies // Book of abstracts 18th PSI Conference. Toledo, Spain. 2008. P. 57.

[111] Igitkhanov Yu. L. Impurity transport at arbitrary densities in the divertor plasma // Contrib. Plasma Phys. 1988. V. 28. P. 477-482.

[112] Rabinski M. One-dimensional modeling of tokamak edge plasma transport in Grad approximation // Contrib. Plasma Phys. 1990. V. 30. No. 1. P. 121-126.

[113] Igitkhanov Yu. L„ Yushmanov P. N. // Contrib. Plasma Phys. 1988. V. 28. P. 341.

[114] Ji J. Y., Held E. D. Exact linearized Coulomb collision operator in the moment expansion//Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 102103-1-102103-16.

[115] Ji J. Y., Held E. D. Landau collision operators and general moment equations for an electron-ion plasma // Phys. Plasmas. 2008. V. 15. P. 102101-1-102101-13.

[116] Ji J. Y., Held E. D. Sovinec C. R. Moment approach to deriving parallel heat flow for general collisionality // Phys. Plasmas. 2009. V. 16 P. 022312-1022312-7.

[117] Ji J. Y., Held E. D. Moment approach to deriving a unified parallel viscous stress in magnetized plasmas // J. Fusion Energy. 2009. V. 28. P. 170-174.

[118] Ji J. Y., Held E. D. Full Coulomb collision operator in the moment expansion//Phys. Plasmas. 2009. V. 16. P. 102108-1-102108-8.

[119] Ji J. Y., Held E. D. Closure and transport theory for high-collisionality electron-ion plasmas // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 042114-1-042114-22.

[120] Krasheninnikov S. I., Smirnov R. D., Rudakov D. L. Dust in magnetic fusion devices // Plasma Phys. Control. Fusion. 2011. V. 53. P. 083001-1-083001-54.

[121] Shukla P. K., Mamun A. A. Introduction to Dusty Plasma Physics. Bristol: Institute of Physics, 2002.

[122] Complex and Dusty Plasmas // Eds. Fortov V. E„ Morfill G. E. CRC Press, 2010.

[123] Tsytovich V. N., de Angelis U. Kinetic theory of dusty plasmas. I. General approach // Phys. Plasmas. 1999. V. 6. P. 1093-1106.

[124] Tsytovich V. N., de Angelis U. Kinetic theory of dusty plasmas II. Dustplasma particle collision integrals // Phys. Plasmas. 2000. V. 7. P. 554-563.

[125] Tsytovich V. N., de Angelis U. Kinetic theory of dusty plasmas. III. Dustdust collision integrals // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 1141-1153.

[126] Tsytovich V. N., de Angelis U. Kinetic theory of dusty plasmas. IV. Distribution and fluctuations of dust charges // Phys. Plasmas. 2002. V. 9. P. 24972506.

[127] Tsytovich V. N., de Angelis U. Kinetic theory of dusty plasmas. V. The hydrodynamic equations // Phys. Plasmas. 2004. V. 11. P. 496-506.

[128] Ricci P., Lapenta G., de Angelis U., Tsytovich V. N. Plasma kinetics in dusty plasmas // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 769-776.

[129] Galvao R. A., Ziebell L. F. Kinetic theory of magnetized dusty plasmas with dust particles charged by collisional processes and by photoionization // Phys. Plasmas. 2012. V. 19 P. 093702-1-093702-12.

[130] Hutchinson I. H. Ion collection by a sphere in a flowing plasma: 3. Floating potential and drag force // Plasma Phys. Controlled Fusion. 2005. V; 47. P. 71-87.

[131] Hutchinson I. H. Collisionless ion drag force on a spherical grain // Plasma Phys. Controlled Fusion. 2006. V. 48. P. 185-202.

[132] Khrapak S. A., Morfill G. E. Dusty plasmas in a constant electric field: Role of the electron drag force // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 066411-1-066411-5.

[133] Khrapak S. A., Ivlev A. V., Morfill G. E. Momentum transfer in complex plasmas // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 056405-1-056405-9.

[134] Baines M. F., Williams I. P., Asebiomo A. S. Resistance to the motion of a small sphere moving through a gas // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1965. V. 130. P. 63-74.

[135] Talbot L., Cheng R. K., Schefer R. W„ Willis D. R. Thermophoresis of particles in a heated boundary layer // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. P. 737-758.

[136] Khrapak S. A. Electron and ion thermal forces in complex (dusty) plasmas // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 013703-1-013703-5.

[137] Winter J. Dust in fusion devices—a multi-faceted problem connecting highland low-temperature plasma physics // Plasma Phys. Controlled Fusion. 2004. V. 46. P. B583-B592.

[138] Krasheninnikov S. I., Mendis D. A. On the drag force on non-spherical dust grain // J. Plasma Phys. 2010. V. 77. P. 271-276.

[139] Krasheninnikov S. I. On the dynamics of nonspherical dust grain in plasma // Phys. Plasmas. 2010. V. 17. P. 033703-1-033703-4.

[140] Алексеев Б. В. Математическая кинетика реагирующих газов. - М.: Наука, 1982.-419 с.

[141] Митчнер М., Кругер Ч. Частично ионизованные газы. - М.: Мир, 1977. - 496 с.

[142] Kunze Н. J. Introduction to Plasma Spectroscopy. Berlin: Springer, 2009.

[143] Khomenko E., Collados M., Diaz A., Vitas N. Fluid description of multi-component solar partially ionized plasma // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 0929011-092901-24.

[144] Waldmann L., Triibenbacher E. Formale kinetische Theorie von Gasgemischen aus anregbaren Molektilen // Z. Naturforsch. 1962. V. 17a. P. 363376.

[145] McCourt F. R. W., Beenakker J. J. M., Kohler W. E., Kuscer I. Nonequili-brium phenomena in polyatomic gases. - Oxford:Clarendon Press, 1990. - V. 1. -600 p.; Oxford:Clarendon Press, 1991. - V. 2. - 350 p.

[146] Жданов В. M., Алиевский М. Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. - М.: Наука, 1989. - 335 С.

[147] Михайловский А. Б. Неустойчивости неоднородной плазмы. - М.: Атомиздат, 1977. - Т. 2. - 360 С.

[148] Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Изд-во Мир, 1964.-456 С.

[149] Gerjuoy Е., Stein S. Rotational excitation by slow electrons // Phys. Rev. 1955. V. 97. No. 6. P. 1671-1679.

[150] Елецкий А. В., Палкина JI. А., Смирнов Б. M. Явления переноса в сла-боионизованной плазме. - М.: Атомиздат, 1975. - 336 С.

[151] Takayanagi К., Itikawa Y. The rotational excitation of molecules by slow electrons // Adv. At. Mol. Phys. 1970. V. 6. P. 105-153.

[152] Itikawa Y. Cross sections for electron collisions with nitrogen molecules // J. Phys. Chem. Ref. Data. 2006. V. 35. No. 1. P. 31-53.

[153] Itikawa Y. Cross sections for electron collisions with carbon dioxide // J. Phys. Chem. Ref. Data. 2002. V. 31. No. 3. P. 749-767.

[154] Itikawa Y. Cross sections for electron collisions with oxygen molecules // J. Phys. Chem. Ref. Data. 2009. V. 38. No. 1. P. 1-20.

[155] Capitelli M., Gorse C., Longo S., et al. Collision integrals of high-temperature air species // J. Thermophys. Heat Trans. 2000. V. 14. P. 259-268.

[156] Bruno D., Catalfamo C., Capitelli M., et al. Transport properties of high-temperature Jupiter atmosphere components // Phys. Plasmas. 2010. V. 17. P. 112315-1-112315-16.

[157] Laricchiuta A., Bruno D., Capitelli M., et al. High temperature Mars atmosphere. Part I: transport cross sections // Eur. Phys. J. D. 2009. V. 54. P. 607612.

[158] Ignatovic Lj. M., Mihajlov A. A. Interaction of electrons with atoms in ground and excited states; potential of interaction, momentum transfer cross-sections // Contrib. Plasma Phys. 1997. V. 37. No. 4. P. 309-326.

[159] Mentzoni M. H., Row R. V. Rotational excitation and electron relaxation in nitrogen // Phys. Rev. 1963. V. 130. No. 6. P. 2312-2316.

[160] Гуревич А. В., Шварцбург А. Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. - М.: Изд-во «Наука», 1973. - 272 С.

[161] Stubbe P., Varnum W. S. Electron energy transfer rates in the ionosphere // Planet. Space Sci. 1972. V. 20. P. 1121-1126.

[162] Атомные и молекулярные процессы // Под ред. Д. Бейтса. - М.: Мир, 1964.-777 с.

[163] Zhdanov V. М., Stepanenko A. A. Influence of resonant charge exchange on the viscosity of partially ionized plasma in a magnetic field // Plasma Phys. Rep. 2013. V. 39. P. 976-985.

[164] Dalgarno A. The mobilities of ions in their parent gases // Phil. Trans. Roy. Soc. 1958. V. A250. P. 426-439.

[165] Мак-Даниель И., Мэзон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. -М.: Мир, 1976.-422 С.

[166] Schneider R., Bonnin X., Borrass К., et al. Plasma edge physics with B2-Eirene // Contrib. Plasma Phys. 2006. V. 46, No. 1-2. P. 3 - 191.

[167] Котов В. Численное исследование диверторной плазмы ИТЭР при помощи пакета B2-EIRENE // диссертация на соискание степени Доктора Естественных Наук, факультет Физики и Астрономии Рурского Университета в Бохуме, 2006.

[168] Белов В. А. Вязкость частично ионизованного водорода // Теплофизика высоких температур. 1967. Т. 5. № 91. С. 37.

[169] Vanderslice J. Т., Weissman S., Mason E. A., et al. High-temperature transport properties of dissociating hydrogen // Phys. Fluids. 1962. V. 5. P. 155164.

[170] Hunter G., Kuriyan M. The Scattering States of HD+ // Proc. R. Soc. Lond. A. 1978. V. 358. P. 321-333.

[171] Newman J. H., Cogan J. D., Ziegler D. L.. et al. Charge transfer in H+-H and H+~D collisions within the energy range 0.1-150 eV // Phys. Rev. A. 1982. V.25. No. 6. P. 2976-2984.

[172] Janev R. K., Reiter D., Samm U. Collision processes in low-temperature hydrogen plasmas // Report JUEL-4105. 2003. 190 P.

[173] Stolterfoht N., Cabrera-Trujillo R., Ohrn Y., et al. Strong isotope effects on the charge transfer in slow collisions of He2+ with atomic hydrogen, deuterium, and tritium//Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. P. 103201-1-103201-4.

[174] Mathers C. D. Simplified expressions for the calculation of the viscosity of partly ionized gases // Physics Letters. 1978. V. 69A. No. 2. P. 119-121.

[175] Tsytovich V. N. Dust plasma crystals, drops, and clouds // Phys. Usp. 1997. V. 40. P. 53-94.

[176] Fortov V. E., et al. Complex (dusty) plasmas: current status, open issues, perspectives // Physics Reports. 2005. V. 421. P. 1-103.

[177] Krasheninnikov S. I., Pigarov A. Yu., Smirnov R. D. et al. Recent progress in understanding the behavior of dust in fusion devices // Plasma Phys. Control. Fusion. 2008. V. 50. P. 124054-1-124054-13.

[178] Khrapak S. A., Ivlev A. V., Zhdanov S. K., et al. Hybrid approach to the ion drag force // Phys. Plasmas. 2005. V. 12. P. 042308-1-042308-8.

[179] Allen J. E. Probe theory-the orbital motion approach // Physica Scripta. 1992. V. 45. P. 497-503.

[180] Stepanenko A. A., Krasheninnikov S. I. On the theory of dynamics of dust grain in plasma // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. 033702-1-033702-5.

[181] Krasheninnikov S. I. On dust spin up in uniform magnetized plasma // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. P. 114502-1-114502-3.

[182] Krasheninnikov S. I., Shukla P. K., Shevchenko V. Spinning of a charged dust particle in a magnetized plasma // Phys. Lett. A. 2007. V. 361. P. 133-135.

Приложение 1. Вид «химических» интегралов J¡xi, Ьга и для

реакций ионизации электронным ударом и трехчастичной

рекомбинации

Ниже рассматривается случай, когда плазма является оптически плотной и достаточно горячей, так что её нейтральная компонента представлена только атомами. Основными реакциями, протекающими в плазме, будут при этом ионизация атомов электронным ударом и трехчастичная рекомбинация:

Здесь использованы обозначения: а{1) - атомы, находящиеся в /-ом квантовом состоянии (обозначения номеров квантовых состояний атомов в этом Приложении совпадают с обозначениями, введенными в разделе 3.1), г - ионы, е - электроны. Ионы, участвующие в реакциях (П1.1) считаются бесструктурными частицами (или, что эквивалентно, находящимися в основном состоянии), поскольку в частично ионизованной плазме температура недостаточна для образования достаточного числа возбужденных ионов, которое бы оказало заметное влияние на коэффициенты переноса плазмы.

Для простоты вслед за работами [56, 62, 63] мы будем использовать

модельные представления интеграла J!a для реакций типа (П1.1) вида:

а{1) + е —>1 + е + е, i + е + е —» а(1) + е.

(П1.1)

а) атомы

(П1-2)

б) ионы

J¡ =Т\{кг ' /а! /е ~ "а! /, ) (1са(1се(1се<1се] ,

/

(П1.3)

в) электроны

Je = ^^alKfiÜfk~falfe)KTdc\dcedceXdca +

7 (П1.4)

+m{k;'fälfe - s^fafj^wrdc^dcidc

e\-

I

Здесь У/а/1 и - соответственно вероятности ионизации электронным

ударом и трехчастичной рекомбинации, отвечающие реакциям (П1.1):

Ид/" (са,се|С;,Се,с'еу), №[ес . В этих выражениях вертикаль-

ная черта отделяет скорости исходных компонентов реакций от скоростей

\3 Г , V

т И

продуктов реакций. Константа кг определена как [56]: кг =

™ah

V mime у

\те J

, где h - постоянная Планка. Для W^j" и W- ес справедливо соотношение:

W[ec (с,,се,се1 ¡с;,с;) = krW$n (c'fl,c; |cf,ce,cel). (П1.5)

Для вероятности ионизации справедливо следующее тождество, вытекающее непосредственно из механики парных столкновений [62]:

W^dc-dc^ = gaedcion, (П1.6)

где gae = |vfl - ve| - относительная скорость ионизуемого атома и электрона, d^ion ' дифференциальное сечение ионизации электронным ударом. Конкретное выражение для d(5-lon может быть найдено, например, в работе [62]. Дальнейшее упрощение интегралов столкновений (П1.2)-(П1.4) связано с использованием следующего тождества:

w/WfWiV4. (П1.7)

где со - некоторый числовой множитель, зависящий от параметров взаимодействующих компонентов плазмы. Это соотношение справедливо как для ионизации, так и для рекомбинации частиц плазмы. Явный вид со может быть получен, если представить функцию распределения (2.40) в эквивалентном вид [92, 93]:

f (°) _ - та рхп Jal ~soJ-ТехР h

3 ( 2 ^

УаСа Ед! + !д "Mg

2 кТ

(П1.8)

где |0.а - химическим потенциал, определяемый для произвольного сорта частиц а соотношением:

|ха = кТ 1п

пак

/

т1Яа

та 2% кТ

3/2

(Г11.9)

Тогда если воспользоваться законом сохранения энергии, с учетом (П1.8) и (П1.9) получим для со следующее выражение:

оз = ехр

кТ

(ШЛО)

где 1а - энергия ионизации атомов сорта а из их основного состояния.

Перейдем к получению выражений для линеаризованного момента интеграла столкновений 11а и его моментов . Подстановка соотношения

(2.33) в формулы (П1.2) — (П1.4) приводит к следующим выражениям для а) атомы

4/ +

/а(/0)Л(0) [со(Ф;+Ф;+Ф;, )-(Фа/ + Фе)] и^«*/с>;,</се,

СП 1.11)

б) ионы

ц=-

со.

(О /

1

со

(Фе*+Ф«)-(Ф«+Фе+Фе1)

(П1.12)

в) электроны

4 = (со-1)и/а(/0)Л(0)^Г^«1лй + 1

+1 / /]/0)л(0) [со(Ф;+Ф;+ф;,)-(Фй/ + Фе)] +

/

+2—1,а/1 даА^+

со /

(П1.13)

1

со

-(Фк +Ф'е)-(Ф;+Фе+Фе1)

В условиях химического равновесия концентрации пе и па связаны уравнением Саха, поэтому со=1 и часть слагаемых в правых частях выражений (П1.11)-(П1.13) обращаются в нуль.

Соответствующие выражениям (П1.11)-(П1.13) моменты К^тпс} получаются после подстановки разложения (2.56) в формулу (2.73) с учетом тождества (2.90). В результате окончательные выражения для моментов интеграла столкновений, связанного с протеканием реакций в плазме, Кг^тщ могут быть представлены как а) атомы

Т>г,тщ _ у р 1Ка ~ 1 гг,

п= 0

тп ттпп д тп ттпп д _ \г тп д т а1 ш е 1ае аа \

д'=0

тпп дд

аа

I

г тпп д _ у г ЛУ>) ли)п 'ае ~2-,Яа] 1е п а I

(0) ДО) „тп{^ )КМ {ю| нтп ^ } + нш }

-н:

(Ц

МТ^сАе^'А'Л'сЛ

Сппдд' = /(/°)Л(0)ЯГ & )НГ &

(П1.14)

б) ионы

я:

= у F '

1 тп

п = 0

í • Л

/ / / ^оо , , , .

_атП1тпп +атп1тпп + ^ атпд ¡тпп д

д'=0

(О

-нг Ю -кп Ю-НТ ОЫ

Wl ёса(1с.е(1с1 (1сес1се{,

СппУ —ш/Ч^/^Г (с, )нг Юя{ачМесас», ,

О) /

где коэффициент определен соотношением:

„- (2тУ(т + п'У

Т7 ' = 1 тп

2т + \ „'\(т\\2

и''(т')- (2ш + 2п' + 1)1

(П1.15)

(111.16)

Выражения для Ке' состоят из двух частей, связанных с вкладами от про-

цессов ионизации и рекомбинации. Та часть момента , которая связана с процессом ионизацией электронным ударом, имеет вид:

е\

+

(Ш .17)

Часть момента Я^,тп, которая связана с процессом трехчастичной рекомбинации, может быть представлена как

0) 7

е] СО

(Ф«ЛГ + Ф« ) - (Ф/ + Фв + Фе1)

(П1.18)

Для получения окончательного выражения для Н'е,тп, преобразуем (П1.18), воспользовавшись соотношениями (П1.5), (П1.7):

+

-21140)/;(0) [ш(ф,-+фе+фе! +Ф'е)]яг (у^'Г (с;,с; |сг,се,се]) л^с^с,«,.

(Ш .19)

Можно видеть, что замена штрихованных и нештрихованных переменных в подынтегральном выражении (П1.19) не меняет его и приводит к выражениям, структура которых идентична структуре выражений (П1.17). Объединяя

вместе полученные формулы, получим полное соотношение для Е.}е,тп :

= («0-1) I] /¿0)Л(0)\н?" &) - 2НГ &)

нг {%е) - 2 нг (с; )п [со(Ф;.+Ф;+<?;,)- (%, + Фе)]

В разделе 3.1 было отмечено, что в работе будет рассматриваться только та часть моментов которая зависит от неравновесных параметров электронов ае . Выражение для неё может быть записано как:

I (П1.21)

п= 1

еОп _ пОп , п

S%on = (со-1) 11 /j70)/J0)tf &) 8aedciondcadce, (П1.22)

/

Äc = -2(со-1) ZI /]70)/е(0)Я?л (Г,) gaedoi0ndcadce,

>al 1

тОпп' _ тОпп , тОпп 1ее — 'ее Jon + 1 ее, гее

/

{Я е0и' &) - ш[яе0"' (С)+н2г' )]} gaedclondcadce, (П1.23)

1

{н°/ {%еу со[яе0"' ) + Яе°*' )]}gaedGiondcadce,

Здесь при записи выражений использовано соотношение (П1.6).

Поскольку в разделе 3.1 используется представление разложения

0/7

функции распределения электронов через коэффициенты Ье , то удобно также привести выражения для моментов Rre'0и, которые получаются при переходе в уравнениях переноса для электронов (3.2), (3.10), (3.11), (3.43), (3.44) от коэффициентов

af к

коэффициентам Щ :

Щ'0п = - £ , (П1.24)

и'=1

с0и _ 1—ип —П„ с0и

(П1.25)

ri

ее

= 2"'~п / (2й'+1)!, Tg™' =

Для получения явных выражений для (П1.22), (П1.23) мы используем методику расчетов, предложенную в работах [62, 63] для тройных столкновений, перейдя к переменным Якоби и предполагая, что при ионизационном

столкновении рассеяние частиц изотропно. Тогда пренебрегая в (П1.22), (П1.23) слагаемыми порядка те! т^ и выполняя необходимые интегрирования, получим следующие выражения для нескольких первых членов Б® и гО пп .

1ее,юп •

01

-2 3

(Ш.26)

алоп

/°01 =16 пп 1еелоп

/0П =96п п

1ее,юп 7\)паие

1 п, пг, х 1а>г'

(Ш .27)

а,юп

?

3,_

а,юп

где Е1 -\Еа1\ / кТ = -Еа1 + 1а / кТ ,С1оп1 (С,) - полное сечение ионизации атомов, находящихся во внутреннем состоянии /, а скобка (...) ^ определена следующим образом:

1 оо . .

{Г)а,10а= . [ ехр(^-52)с3о10в,/(СИСК • (П1.28)

(2тсуе)

Рекомбинационные члены и могут быть получены тем же

образом, что и формулы (П1.26), (П1.27). Первые несколько коэффициентов ¿>е,гес имеют вид:

ли / _

. (П1.29)

Выражения для нескольких первых рекомбинационных коэффициентов ^ее,гес • ¡ее,гес > записываются как:

г.00 _ осОО "е.гес ^елоп '

.01

64 , /„2 - 15

'е.ис "-уИ'^К'Ць

/°01 =-32 пп

1ее,гес

,011

128

Ч4-с2

а,юп /

_ 5 £/- 7

V