Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Андреева, Татьяна Юрьевна

• Андреева, Татьяна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреева, Татьяна Юрьевна

Обозначения

Введение

1 Вспомогательные утверждения

2 О числе решений уравнения 4a(xj + + Ъ(х\ + х2) = к

3 О числе решений уравнения 4а(х\ + х\) + b(x\ + х\) = к, при условии х\ + х\,к) =

4 О числе решений уравнения 4a(xf + Xj) -f 6(0:3 + £4) = к, при условии x23 + x24,k) = D

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида»

Вопрос о представимости чисел в виде суммы двух квадратов - вопрос, имеющий давнюю историю: он рассматривается еще в "Арифметике"Диофанта (около 250 года нашей эры), но точный смысл утверждений Диофанта неясен. Решение этого вопроса дал впервые немецкий математик Жирар в 1625 г. и немного позднее Ферма. Первым из известных нам доказательств является доказательство Эйлера, опубликованное в 1749 году.

Жирар и Ферма заметили, что любое натуральное число представляется как сумма четырех квадратов целых чисел. Учитывая, что в таком представлении некоторые слагаемые могут равняться нулю, эту теорему можно перефразировать так: каждое натуральное число представляется как сумма не более четырех квадратов натуральных чисел. Некоторые историки считают, что этот факт был известен уже Диофанту из Александрии: он не указал необходимых условий представимости числа суммой четырех квадратов, отметив, однако, что суммой двух или трех квадратов могут быть представлены лишь числа некоторого типа (см., например, [1]).

В 1749 г. JI. Эйлер опубликовал доказательство теоремы о представимости натурального числа суммой двух квадратов (доказательство можно найти, например, в [3]). Ж. А. Лагранж в 1770 году доказал, что каждое натуральное число представимо суммой не более четырех квадратов целых чисел (доказательство можно найти, например, в [2]), а в 1875 году А. М. Лежандр сформулировал критерий существования нетривиального решения диофантова уравнения: iixj + a2XiX2 + = 0, где а; попарно взаимно просил и не все одного знака, i = 1,2,3 . Он же доказал, что каждое натуральное число п может быть представлено суммой трех квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда п отлично от чисел 41М, где М = 7 (mod 8). Правда, его доказательство опиралось на факт, известный теперь как теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии и доказанной лишь в 1873 году.

К. Ф. Гаусс в своем труде "Арифметические исследования "на основе развитой им теории бинарных квадратичных форм доказал теорему Лежандра полностью.

Якоби в 1829 году с помощью эллиптических функций получил в неявном виде формулы для представлений целых чисел в виде суммы 4, 6, 8 квадратов. Позднее, в 1834 г., Якоби дал чисто арифметическое доказательство формулы для количества представлений чисел в виде суммы четырех квадратов.

В 1858 - 1865 гг. Лиувилль опубликовал 18 заметок, в которых дает без доказательств целый ряд тождеств арифметического характера, содержащих произвольные числовые функции. Одновременно в огромном числе заметок Лиувиллем дано без доказательства множество результатов о количестве представлений натуральных чисел различными формами с 3, 4, 5 и б переменными, о числе классов бинарных форм и т. п., с одним только упоминанием, что все эти результаты получены из его числовых тождеств. Как пишет Венков в [4] ".результаты Лиувилля хотя и относятся к формулам частного вида (например, х2 + у2 + z2 + 2t2, х2 + 2у2 + 3z2 + 6t2 и т. п.), однако далеко выходят за пределы того, что может дать общая теория квадратичных форм со многими переменными в ее современном состоянии, и потому представляет большой интерес".

Методы, которыми пользовался Лиувилль оставались неразгаданными долгое время. В 1913 -1916 гг. Успенский (см., напр. [4]) не только воссоздал все тождества и результаты Лиувилля, но и нашел много новых формул. Почти все формулы являются следствиями одного основного тождества.

Пусть F(x,y, z) - числовая функция, определённая для всех систем значений трех целочисленных аргументов х, у, z и удовлетворяет только условиям:

F{-x,y,z) = -F(x,y,z),

F(x,-y,-z) = F(x,y, z).

Тогда имеет место формула:

53 F(A + Д', h, Д - Д') = 2 53 F(8-2i,d + i,2d + 2i-S)+T, m, m, m=h2+ AA' m=i2+dS где m > 0 - данное целое число, h, i = О, Д, A', d, 5 > 0 - целые числа, T = 0, если m - не квадрат и

24-1

Т = 53 {F(2s, s - j, 2s - 2j) - 2F(j, s,j)}, j=i если m = s2.

Клоостерман в 1926 году с помощью модулярных функций и сингулярных рядов в [5] получил асимптотическую формулу для числа представлений г(п) положительного целого п в виде ах2 + by2 + cz2 + dt2. Он показал, что

Vabed для любого положительного е, где

2пчгр Я ] Aqi Aq — Ч 4 'У , Sgp,qSbp,qScp,qS(lp,qC q-1 р

Sap,qi Sbp,qi SCp,qt Sdp,q ~ ГИЛ'ССОВЫ СУММЫ И Ер обозначает Сумму, В КОТОрОЙ р пробегает все положительные целые, меньшие q и взаимно простые с ним,

S(n) > —> 0. log log п

И здесь же он привел точные формулы для числа представлений чисел формами xl+xl+a(xl+xl), при а = 3,5, б, 7. При этом, если а = 3, сингулярный ряд дает точное значение для числа представлений соответствующей формой. В случае а — 5,6,7 в формулы Клоостермана входят дополнительные члены, которые Клоостерман определил как коэффициенты разложений в степененной ряд произведений некоторых тэта-функций Якоби.

Т. Эстерманн в [б] рассмотрел уравнение a\h\ + + аз^з + ~ где /ii,/i2)^3,/i4 положительные целые и \amh2m\ <п(т = 1,2,3,4). Для чисел ai,a2,az,ai выполняется одно из следующих условий: (i) Два из них положительны и два отрицательны; (И) а^язЩ < 0.

Для числа решений v(n) он получил асимптотическую формулу круговым методом Харди-Литтлвуда: v п) - Ща^а^а^ *Dn С2п кг

-2т ч где С2 > 0, оо 4

D= Е B(q), B(q) = Е { П а,пг)}е

0=1 r<q rn = l м)=1 q -amr}2

S(q,amr) = Е в2™" , А'= / {J(u)}2{J{-u)}2du, в случае (i),

J = 1 -00

00 1

К = / {J(u)}3J(-u)du, в случае (ii), J (и) = /eWa.

-00 О

Коган JI. А. в 1960 - 1966 гг., (см. [7]) применяя метод Якоби - Рамануджана -Харди - Райта - Вальфиша к исследованию квадратичных форм с четырьмя переменными, доказал этими методом большое количество результатов Лиувилля, опубликованных без доказательства. Он установил связь между гипотезой И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете и проблемой нахождения формул типа Лиу-вилля, базируясь на теории модулярных форм.

В [8], [9] Дж. Чок рассматривал уравнение р(х\ + re2) — q(x\ + х\) = а, в целых х1,х2,хз,х4, которое является частным случаем уравнения, рассмотренного Т. Эстерманном в [6], и расширил уже имеющиеся результаты с помощью метода

Хооли. Предполагая, что р(х\ + х\) < h2,(p,q) = 1 ,р > 0, q > 0, q - нечетное,

Д2

2pq,a) = 1 и О Ф |а| = о(/г'2), когда h оо и при — » (pq)3, когда pq -> оо, Р для числа решений 5, с условием + я2, а) = 1, была получена оценка:

7Г /г' „

9}0) hsp ц 4

8 pq

1+tf где —Яа(1)Я9(1)£2ра(1)С2^а(2). а

В [10] Белозеров Г.С. также рассматривал уравнение а(х\ + х%) - Ь(х2 + х\) = к в целых х1,х2,хз,х4, при условии х\ + х2 < N, при N —^ оо. Считая, что а,Ь,к -заданные натуральные, Ь, к - нечетные, к = o(aN) и (а, Ь) = (Ь,к) = (а, к) = 1, а > 6, была получена асимптотическая формула для числа решений А(а, Ь, к; iV):

Ь,fc; N) = £3(о, 6, Л) (?) ' где

Е3(а,Ь,к) =

Е2(а, Ь. к), если а ф 0 (mod 4), 2Е2(а, Ь, к), если а = 0 (mod 4), к = -b (mod 4), 0, если а = 0 (mod 4),k = b (mod 4).

4тг 1(1, Х4) nla&fc V F 7 Ы/fc 4

Х4(р)р(аЛр) + p|a6Jfc 4 г / \ f / \ Р где p(a,l,D) означает количество решений сравнения а(х2 4- у2) = / (mod L>). Х4 - неглавный характер по модулю 4, хо4 - главный характер по модулю 4.

Д.Р. Хиз-Браун и Д.И.Толев в [12] рассмотрели представимость натурального 7V в виде суммы квадратов четырех переменных гс2,0:3, где X\ - простое, X2,xz,x^ - почти простые

В [13] Плаксиным В.А. получена асимптотическая формула для количества представлений натуральных N в виде

N = p2 + q2 + x2 + у2, где р, q - нечетные простые, х, у - целые числа.

Дж. Брудерн и Е. Фоури в [14] доказали, что п = 4 (mod 24) есть сумма четырех квадратов со всеми простыми делителями, большими чем п7, где 7 > ^g и нашли нижнюю границу для числа таких представлений. Также они доказали, что при достаточно большом N диофаптово уравнение х2 + х\ — — х\ = 1 имеет больше чем iV2(logiV)4 решений в положительных целых Xi < N со следующими условиями: если р\хгх2х3^4 и р \ 6, тогда р > ДГШз. В данной работе

Аа{х\ + х\) + Ъ{х\ + х{) = к, (1) при к,а,Ь - натуральных, удовлетворяющих условиям (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а4Ь3 -С к, к = b (mod 4),х1,х2,хз > 0 и > 0 - целых. Также здесь рассматривается это уравнение с дополнительным условием на переменные: (х\ + х2, к) = 1 и х\ + х2, к) — D, где D - натуральное, D\k и a4b3D12 <С к. Ставится задача о нахождении числа решений диофантова уравнения (1).

Главным шагом на пути построения асимптотической формулы является использование асимптотики для суммы: п<Х an = l (mod D) где г(п) - количество представлений натурального п в виде суммы двух квадратов с растущей разностью прогрессии D.

В настоящей работе используется результат Р.А. Смита [15]. Если т < Хз и г(п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов целых чисел, то для любого 5 > 0 справедлива оценка:

Erin) - %-—M(b,m) <s X*+sm~Ub,m)5. 4 т п<Х n=b(modm)

В первой главе формулируются и в некоторых случаях доказываются вспомогательные леммы, необходимые для дальнейших доказательств.

Главным результатом второй главы является доказательство теоремы 1: Теорема 1. Пусть к,а,Ь - натуральные, (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а4Ь3 <С к, k = b (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения

4a{xj + х22) + Ь(х23 + х24) - к. в целых Х\,Х2,хз > 0 и х4 > 0. Тогда для S справедлива асимптотическая формула:

T(atb,k)+0(kft+ta~h-$),

8 й b где

T(a,b,k) = Нь{1)Ьа{1)&(2)а£(к).

В третьей главе получена асимптотическая формула для частного случая уравнения (1), при (xj + х2, к) = 1. Основным результатом третьей главы является теорема 2:

Теорема 2. Пусть к,а,Ь - натуральные, (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а463 <С к, к = Ь (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения

4а(х21 + х\) + Ь(х з + х24) = к. в целых Х\,Х2,> 0, х4 > 0 и при условии (х\ + х\,к) = 1. Тогда для S справедлива асимптотическая формула:

S = W{a,b,k) + 0(k%+ta~h

8 ab где

Ф(к)

W(a,b,k) = ^Hk(l)Hb(l)L2ak(l)Q\k(2).

В четвертой главе получена оценка для частного случая уравнения (1) с фиксированным наибольшим общим делителем (х2 + х2, к) = D. Доказывается следующий результат:

Теорема 3. Пусть к, a,b,D- натуральные, (2а, b) = 1, (2ab, к) = 1, к = b (mod 4), a4b3D12 < к, (х% + х\, к) = D, k\D тогда для любого е > 0 справедлива оценка:

S-1'К- Щ^М(к,а,Ъ) «£ k^a-H-b(D),

8 ab L) где

М(к,а,Ь) = Нь(1)Ьн(1)£ь±(2) £ d\D p\D \ V ' X

Е£Ш£)П(1+хЫЛхМ)) е е х(0. г»,2а)=1 ((,2»^)=!

•£

Хотя в главе 4 рассматривается частный случай уравнения (1), тем не менее, для более общего случая получена асимптотическая формула с положительным главным членом, который будет больше остатка, при условиях, указанных в условии теоремы 1. Для частного случая - теоремы 3 получена только оценка для числа решений уравнения (1), поскольку нельзя сказать, в каком случае главный член будет положительным и больше остатка. Теорема 2 главы 3 является частным случаем теоремы 3 главы 4. В главе 4 получена только оценка, как было сказано выше, тогда как для частного случая + х\, к) — 1 удалось получить асимптотическую формулу с положительным главным членом и при указанных в теореме условиях главный член будет больше остатка.

Основные результаты опубликованы в [23], [24], [25], [26].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреева, Татьяна Юрьевна, 2006 год

1. Dickson L. E. History of the theory of numbers. V. 1.. New York. G.E.Stechert&Co. 1934.

2. Айерленд К., Роузен M. Классическое введение в современную теорию чисел. М.:Мир, 1987.

3. Дэвенпорт Г. . Высшая арифметика. М.: Наука. 1965 г.

4. Венков Б. А. . Элементарная теория чисел. М. 1937 г.

5. Kloosterman Н. D. On the representation of number in the form ax2+by2+cz2+dt2. //Acta mathematica. 1926. 49. P. 407 484

6. Estermann T. A new application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method. //Proceedings of the London Mathematical Society. 1962. Third series. Vol. XII. №4. P. 425-444

7. Коган JI. А. О представлении целых целых положительно определенными квадратичными формами. Ташкент. 1971 г.

8. Chalk J.H.H. An application of Hooley's method for counting solutions of a diophan-tine equation. //C.R. Math. Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. VoLIII. №2. P. 99-103

9. Chalk J.H.H. An asymptotic formula for the number of solutions of a quadratic diophantine equation. //C.R.Math.Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. Vol.III. №4. P. 215220

10. Белозеров Г. С. Асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений: Дисс. к. ф.-м. н. Одесса. 1991.

11. Shimura Goro. The representation of integers as sums of squares. //American Journal of Mathematics. 2002. V. 124. №5. P. 1051-1081.

12. Heath-Brown D.R., Tolev D.I. Lagrange's four squares theorem with one prime and three almost-prime variables. //Journal reine und angew. Math. 2003. 558. P. 159224.

13. Плаксин В. А. Асимптотическая формула числа решений нелинейного уравнения с простыми числами. //Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 45. №2. 1981. С. 321-397.

14. Brudern J., Fouvry Е. Lagrange's four squares theorem with almost prime variables. J. Reine Angew. Math. 454. 1994. 59-96.

15. Smith R.A. The circle problem in an arithmetic progression. //Canad.Math.Bull. 1968. V. 2. №2. P. 175-184.

16. Виноградов И. M. Основы теории чисел. М.:Наука. 1981.

17. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. Череповец: Меркурий-ПРЕСС. 2000.

18. Хооли К. Метод решета в теории чисел. М.: Наука. 1987.

19. Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. М: Институт компьютерных исследований. 2002.

20. Прахар К. Распределение простых чисел. М.:Мир. 1967.

21. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.:Просвещение. 1966.

22. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.'.Едиториал УРСС. 2004.

23. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. Чебышевский сборник. Т. 6. Вып. 2(14). 2005. С. 20-30.

24. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. V Материалы Научной конференции "Ломоносовские чтения"2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". 2006. С. 134.

25. Андреева Т.Ю. Асимптотическая формула для числа представлений натуральных чисел квадратичной формой. Вестник Самарского государственного университета. №6/1(46). 2006. С. 5-18.

26. Андреева Т.Ю. Оценка числа решений квадратичного диофантова уравнения с дополнительным условием на переменные. МИГУ., 2006, Деп. в ВИНИТИ 18.09.06 № 1152-В2006, 32 с. Библ. указатель ВИНИТИ "Депонированные научные работы", 2006, №11.