Представление родом квадратичных форм коразмерности два тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Куранова, Наталья Юрьевна

• Куранова, Наталья Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куранова, Наталья Юрьевна

Введение.

1. Классификация представлений квадратичных форм

§1. Целочисленные квадратичные формы и их инварианты

§2. Примитивные представления форм.

§3. Вложение форм над локальными кольцами

§4. Вес примитивных представлений квадратичной формы родом форм.

§5. Вес всех представлений квадратичной формы родом форм

2. Представление бинарных квадратичных форм родом нечетных кватернарных форм

§1. Вес примитивных представлений

§2. Вес всех представлений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представление родом квадратичных форм коразмерности два»

1. Одной из центральных задач арифметической теории квадратичных форм является получение формул для числа представлений X формы А положительно определенной формой Q, т. е. нахождение количества решений матричного уравнения

Q[X] = tXQX = A1 XeMatn>m( Z). (1)

В основе диссертационного исследования лежит задача о представлении родом [Q] квадратичных форм А коразмерности два, при изучении которой выявлен параллелизм арифметических и геометрических свойств квадратичных форм. Уравнение (1) определяет т векторов с нормами Q[Xi] и скалярными произведениями XjQXj. Тем самым (1) содержит геометрическую информацию о взаимном расположении целых точек на различных эллипсоидах.

Для алгебраических целей отождествим квадратичные формы с их матрицами. Представление X называется примитивным, если наибольший общий делитель всех миноров порядка т матрицы X равен единице.

Цель работы - найти условия существования представлений р - элементарных форм аА размерности т = п — 2, где параметр а - целое число, (a,detA) = 1; получить формулы для веса рп(аА; [Q]) примитивных представлений и для веса п(аА; [Q]) всех представлений в случае, когда определители форм Q и аА взаимно простые; рассмотреть приложение формул к задаче об угловом распределении пар целых точек на трехмерных эллипсоидах. Для достижения поставленной цели в работе используются теория р-символов Конвея и Слоэна, локальный метод Минковского-Хассе и аддитивный метод склейки форм.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Найдены условия существования представлений формы а А родом [<5] для любых положительно определенных форм аА и Q размерностей га = п — 2 и тг соответственно с взаимно простыми определителями;

2. Получены формулы веса примитивных рп(аА; [Q]) представлений для любых положительно определенных форм аА коразмерности два;

3. Получены формулы для веса примитивных рп{аА\ [Q]) и всех представлений п(aA] [Q]) бинарной формы аА родом [Q] кватернарных форм;

4. Рассмотрены приложения формул веса к одноклассным формам Уот-сона, тем самым получено число представлений г (а Л; Q) формы а А индивидуальной формой Q, что особенно важно в теории чисел;

5. Получены формулы для среднего числа пар целых векторов, расположенных под углом а с рациональным cos а на трехмерных сфере или эллипсоиде.

Полученные результаты позволяют решать вопросы о существовании и числе решений диофантовых квадратичных уравнений и систем, а также рассматривать угловое распределение пар целых векторов на различных эллипсоидах.

2. Задача о представлении квадратичными формами имеет долгую историю, на протяжении которой многие математики внесли свой вклад в ее решение.

1) Истоки.

Основоположниками теории квадратичных форм являются Ферма и Эйлер. Но еще Диофант располагал общими приемами решения уравнений до четвертой степени включительно в рациональных положительных числах. Задачи Диофанта привели Ферма к поиску целочисленных решений квадратных уравнений с двумя неизвестными. В 1770 г. Лагранж доказал, что любое натуральное число а представимо в виде суммы четырех квадратов. Гаусс, а затем Дирихле, продолжая исследования Эйлера и Лагранжа, создали теорию квадратичных форм. Гауссом были всесторонне изучены бинарные формы: он и позднейшие исследователи наметили также основные пути решения проблемы классификации тернарных форм и форм более высокой размерности. Так Гаусс (1801) вывел формулу количества примитивных представлений рг(а\ 1з) числа а суммой трех квадратов. Таким образом, первоначально рассматривалась задача о представлении целых чисел целочисленной положительно определенной квадратичной формой Q.

Якоби (1829) с помощью тета-рядов получил аналитически, а затем чисто арифметически формулы для количества представлений числа а суммой 4,6,8 квадратов. Эйзенштейн (1849) получил некоторые результаты о количестве представлений числа а суммой 3,5,7 квадратов. Смит (1867) построил теорию, из которой вытекает формула для рп(а; 15); он получил полную систему инвариантов рода [Q]. Смитом и Минковским была построена арифметическая теория квадратичных форм.

2) Представление формы родом.

Венков Б.А. [5] нашел метод получения особого типа формул представлений чисел тернарными формами и на этом пути доказал теорему о представлении бинарных форм тернарными (1929), используя свойства кватернионов. Условия представимости сформулированы в терминах делителей коэффициентов матрицы бинарной формы.

Теория родов впервые была создана Гауссом для бинарного случая, в котором она имеет специфические особенности и тесно связана с группой форм относительно операции гауссовой композиции [6]. Род состоит из непересекающихся классов целой эквивалентности. Формы, принадлежащие одному роду, рационально эквивалентны.

Первый общий результат по представлению формы родом был получен Зигелем (1935). Зигель определяет массу рода [G] положительно определенной формы G размерности т > 2 как где {Gj} пробегают множество классов рода [G] и o(Gi) - порядок группы всех целых автоморфизмов 0(Gi) квадратичной формы Gi.

Формула Зигеля [51] для массы m([G]) рода [G] есть бесконечное произведение р-масс mp(G) по всем простым числам, включая р = оо. Отождествим квадратичную форму G с ее матрицей G = lG и пусть г > 0 - целое число. Обозначим N(G,pr) число всех матриц X по модулю рг из множества матриц Mfc(Z) с коэффициентами из кольца целых чисел Z, удовлетворяющих матричному сравнению п 2m»(G)

3) г=оо,2,3,.

XGX = G (mod рг).

Важно отметить, что р-адическая плотность ap(G) = p~rk^k~1^2N(G,pr) не зависит от г, если г больше некоторой границы, зависящей от р и G. Плотность aoo(G) и масса m00(Gf) определяются аналогичным образом, как предел отношения некоторых конечных объемов, рассматриваемых как подмножества в соответствующих пространствах.

В своей инаугурационной диссертации Минковский (1885) дал формулу для массы любого рода положительно определенных форм [49]. Зигель (1935) заметил, что формула Минковского для массы рода в общем случае содержала неправильную степень двойки. Он получил правильную формулу несколько другого вида, а также получил формулу для веса представлений формы А размерности т квадратичными формами рода [Q] некоторой положительно определенной формы Q размерности п, большей т, частным случаем которой является формула для веса представлений данного числа родом [52].

Ранние варианты формулы (3), часто называемой масс-формулой Минковского - Зигеля, получили Эйзенштейн (к = 3), Смит (det G нечетный). Конвей и Слоэн в [32], [33] получили масс-формулу для рода форм кубических решеток Ъп. В случае к = 2 формула (3) не что иное, как формула Гаусса-Минковского, выражающая число классов бинарных положительно определенных форм данного дискриминанта через значение L -функции Дирихле L (s, для s = 1.

Уотсон выбрал направление поиска одноклассных родов [Q] (h(Q) = 1) [53] - [57]. Он доказал, что всякий род [Q] форм Q для размерностей п = dimQ >11 состоит по меньшей мере из двух классов, и получил для 3 < п < 10 при дополнительных ограничениях все одноклассные формы Q. Уотсон показал, что число классов в роде стремится к бесконечности, когда п стремится к бесконечности.

3) Вес представлений.

Обратимся теперь к другой формуле Зигеля. Снова отождествим квадратичные формы А и Q с их матрицами. Весом представлений формы А родом [Q] называют сумму

И; [«]) = £ £ ^-у (5) где {Qi} (г = 1 ,.,#) - все классы рода [Q], Мщт( Z) - множество п х т-матриц с целыми коэффициентами и Qi[b] = bbQib. Применение (5) к одноклассным формам Уотсона дает число представлений r(A\ Q) индивидуальной формы Q, что особенно важно в теории чисел.

Для взвешенного среднего Зигель получил разложение в произведение а ГПП / f ГПП J П»=оо,2,3,. ар(л'> Ю1). гп<п~1, п{А; {Q))/m{[Q}) = < ' (6) 2 Пг=оо,2,3,. apw гп = п- 1, локальных плотностей ар(А; [Q]) = о;р([Л]; [Q]), зависящих только от р-адического поведения форм А и Q. Для р ф оо, 2 множители ap(yl; [Q]) являются естественным обобщением множителей mp(Q), точнее плотности определены равенством ap(A\[Q]) = p-r(mn-Tn(m+1)/2)N(A, Q,pr), где N(A,Q,pr) - число решений 6modpr из Mn>m(Z) матричного сравнения Q[b] = A (mod рг) и степень г больше некоторой границы, зависящей от р, А и Q.

Предпринимались многочисленные попытки вычислить локальные плотности ар, применяя многомерные гауссовы суммы и точную формулу для обычной суммы Гаусса. Китаока в работах [41] - [44], используя зигелевы модулярные формы, вычислил для некоторых случаев ар и получил результаты относительно условий представимости формы формой размерностей п > 2т + 2 и п > 2т + 3. Для общего случая коразмерности один Китаока доказал: для любой формы Qi рода SF, i = l,.,h существует форма А, представимая только формой Qi.

Формула Зигеля (б) имеет весьма интересную интерпретацию и отвечает на принципиальный вопрос о диофантовых квадратичных системах: среднее количество представлений над кольцом целых чисел Ъ некоторой квадратичной формы формами рода сводится к представлениям над локальными кольцами целых р-адических чисел Zp этой же формы любой другой формой рода.

Используя операторы Гекке и тета-ряды, можно получить некоторую информацию о мультипликативных свойствах числа целочисленных представлений квадратичных форм. Для размерности т = 2 этот подход позволяет выразить число представлений r(paA]F), а = 1,2,3,. через r{A\F). А.Н. Андрианов [1], [2] для произвольных размерностей т получил усреднение числа представлений формы А родом [Q]

J] r(A[M)-[Q)). СО

АтМ: Am=GLm (Z), М£Мт (Z), det М=а

В последнее время А.Н. Андрианов [31] исследовал случай сингулярных операторов Гекке Т(р) для р, одновременно делящих определители форм А[МJ и Q.

A.Дж. Эрнест исследовал представимость бинарных квадратичных форм положительно определенными кватернарными формами. В [37] он доказал, что существует только конечное число классов примитивных 2 -регулярных положительно определенных квадратичных Z форм размерности 4.

B.Г. Журавлев [11] применил аддитивный подход к вычислению веса представлений, впервые предложенный Гауссом [б] для нахождения количества представлений г (а; 13) числа суммой трех квадратов целых чисел и связывающий примитивные представления с бинарными формами.

Все решения матричного уравнения Q[X] = А (X G Mn>m(Z)) можно выразить через примитивные, у которых наибольший общий делитель всех миноров матрицы X порядка т равен 1. Разлагая форму Q на составляющие А и G, приходим к зависящему от Q и А отображению X :ь-> {С?} = (G(X)} примитивных решений в множество классов эквивалентности квадратичных форм одного и того же определителя.

В 1996 году В.Г. Журавлев доказал общую формулу для веса примитивных представлений формы А родом [Q] положительно определенных форм Q, сцепляющих А с формой G: рп(А', [Q], G) = m(G) • с(Л; [Q], [G]), (8) где m(G) - масса рода [G], а второй сомножитель разлагается в произведение c(A][Q},[G}) = c(A]Q,G) п cp04;Q,G), (9) p\2alevd при этом aiev - ступень матрицы А, то есть наименьшее положительное целое число такое, что матрица А"1 имеет целые коэффициенты; и detQ = d. Множитель ср(А;Q,G) равен числу решении Ср из Л/т)Пт(2р) сравнения aievA~l\C^[ + G = 0 (mod aievZp) таких, что полученная из А и G с помощью склейки Ср форма Qg(^p) эквивалентна квадратичной ' форме Q над кольцом Zp. Реально приходится рассматривать конечное число дискриминантных простых p\2aievd.

Глубокое развитие теории рациональных квадратичных форм (Мин-ковский, Хассе, Витт) позволило Конвею [16], не используя символ Гильберта норменного вычета, ввести полную систему инвариантов для квадратичных форм. Разработанная система р-символов для целочисленных форм даёт удобное обозначение для рода квадратичных форм. Кроме того, Конвей [16] приводит условия существования для каждой составляющей жорданова разложения формы. На основе новой техники Конвеем были классифицируемы роды р-элементарных форм для всех простых р. Форма А будет р-элементарной тогда и только тогда, когда р входит в ступень atev формы в первой степени, и тогда жорданово разложение формы Л имеет вид Л = Лх ф .

Кнезер исследовал интересный в теории чисел переход для колец Z Zp, р = оо, 2,3,.; используя его, он доказал теорему о представимости числа а формой Q надкольцом Z [46]. Над локальными кольцами Zp квадратичные формы ведут себя проще, чем над глобальным кольцом Z, так как имеют меньшее число локальных инвариантов. Обобщение на представления форм формами над Z исследовали Сия, Китаока, Кнезер в [39], [40].

Формула, полученная В.Г.Журавлевым [11], в совокупности с масс-формулой и каноническими 2 -символами локальных форм Конвея-Слоэна позволяют вычислять вес примитивных представлений в терминах локальных инвариантов: pn(A,[Q]) = c(n-m)-std{n-m,\G\) ap(A,Q), (10) p\2aievd где o—\ для n — m = l и с = 1 для n — m > 1, std(n — га, |G|) - стандартная функция, равная произведению £ -функции Римана и L -функции Дирихле. Значения std(n—m, |(?|) посчитаны Конвеем и Слоэном [33]. Локальные множители ap(A,Q) определены через р-адические инварианты форм А и Q и равны ap{A, Q) = ср(А, Q, G) • mp{G)/stdp{n - m, |G|), (11) где mp(G) - р-масса рода [G], stdp(n — m, |Gj) - стандартная р-масса рода [G]. В [11] получены локальные множители (11) для взаимно простых уровня atev и определителя d с условием щех} = |А|, aiev - бесквадратное число.

Одной из задач диссертации является получение в явном виде локальных множителей ap(A,Q) (11) в случае, когда ступень р-элементарной формы А не совпадает с ее определителем.

4) Представление родом квадратичных форм четной и нечетной коразмерности.

Задача о представлении форм квадратичными формами существенно различается для случая четной и нечетной коразмерности, поскольку им соответствуют тета-ряды полуцелого и целого веса соответственно. Случай нечетной коразмерности был всесторонне изучен В.Г. Журавлевым [11] и его учениками (В.Е. Крылов, С.В. Федорова, А.В. Хорошева). В.Е.Крылов [17] рассмотрел случай представления родом [Q] квадратичных форм А коразмерности один. В частности, для п = 3 теорема дает формулу для числа рг{А\ 1з) примитивных представлений бинарной формы суммой трех квадратов. В отличии от [5], где диагональные элементы предполагаются бесквадратными числами, теоремой, полученной В.Е.Крыловым, исчерпываются все бинарные формы А.

Более общий случай изложен в работах С.В. Федоровой [27] и А.Н. Хорошевой [30], где рассматриваются представления р -элементарных и р -одномерных форм А нечетной коразмерности. Ими определены необходимые и достаточные условия существования примитивных представлений квадратичной формы А родом [Q]; получены формулы веса примитивных представлений рп(А; [Q]); доказана единственность представления формы А некоторой формой Q из рода [Q] для форм А простого определителя а = р, не делящего detQ.

Четная коразмерность в большей степени рассмотрена для случая представления натурального числа квадратичной формой. Предметом исследований данной работы является представление родом [Q] квадратичных форм аА коразмерности п — т = 2. В диссертации получены результаты не только для примитивных представлений формы родом, а также получены формулы для веса всех представлений р -элементарной формы а А родом [Q].

С помощью метода деформации можно из одной известной формулы веса для представлений формы родом находить бесконечно много других формул веса для квадратичных уравнений от меньшего числа переменных, полученных в результате специализации квадратичной системы уравнений (1). В работах Н.В.Будариной [3], [4] изложен способ получения систем диофантовых уравнений от меньшего числа переменных, которые являются проекциями базовой системы (1). В [3] исследованы специализации матричных квадратичных уравнений, сохраняющих инвариантный тип уравнения и формулу веса для представлений квадратичной формы родом положительно определенных форм нечетной коразмерности. Использование метода деформации также дает возможность получить альтернативным способом формулу веса представлений формы родом.

5) Геометрическая интерпретация положительно определенных квадратичных форм.

Уравнение

Q[X] = А определяет т векторов Xi,. ,Хт с нормами Q[Xi) = an и скалярными произведениями lXiQXj = а^-, где А = (а^), т. е. содержит информацию о взаимном расположении целых точек на эллипсоидах. В частности, а ъ\ представлению бинарной формы А = кватернарной формой

Q = I4 с единичной матрицей порядка 4 отвечает пара векторов Xi,X2 , расположенных на сфере S3(R) радиуса R = у/а под углом а с cos о; = - .

Усилиями ряда специалистов по теории квадратичных форм (Харди-Литтлвуд, Гекке, Клостерман, В.А. Тартаковский) были получены асимптотические формулы для количества целых точек на целочисленном эллипсоиде с числом переменных I > 4. Случай I = 3 длительное время представлял нерешенную проблему. Важные, но не окончательные, результаты получили Ю.В. Линник [24] и А.В. Малышев [25], а в последние годы Е.П. Голубева [7], [8] и Ю.Г. Тетерин [26], но лишь в 1987 году появление работы Иванца [38] позволило существенно продвинуться для случая тернарных форм.

Более тонкой проблемой равномерного распределения целых точек на /-мерном эллипсоиде, где / > 4, занимались Райтт [59], [60], А.В. Малышев [25], Поммеренке [50], а позднее для 1 = 3- Е.П. Голубева и О.М. Фоменко [9], [10], Дьюк и Шульце-Пиллот [36]. В работах О.М. Фоменко [28], [29] получены результаты о равномерной распределенности сразу для всех /-мерных эллипсоидов, / > 3. Задача, решенная в диссертации, позволяет рассматривать угловое распределение целых пар векторов на трехмерных эллипсоидах, которое, как оказалось, не равномерно.

6) Изоспектралъная проблема.

Пусть Q = Yaj^i Qij%iXj - положительно определенная форма от п переменных, где qij € Z; r(m,Q) - количество представлений числа т формой Q, то есть число решений уравнения Q[X] = т. И пусть 0q(z) = X)m=i Г{т-,0)чгп ~ тета-ряд формы Q, где q = ешг . Формы Q и Q' называются изоспектральными, если их тета-ряды совпадают, то есть для VmGiV: r(m,Q) = r(m,Q').

Одна из центральных проблем - поиск наименьшей размерности п, при которой существуют две изоспектральные неэквивалентные формы. Так Витт [58] нашел примеры изоспектральных форм размерности 16,

Кнезер [48] - размерности 12. Уотсон в [54] доказал, что нет двух изо-спектральных бинарных форм, то есть множество (r(m,Q)} однозначно определяет бинарную квадратичную форму Q. Китаока [45] обнаружил изоспектральные формы размерности 8. В последние годы этой проблемой занимались Конвей и Слоэн [35], которые доказали, что существует бесконечное семейство пар изоспектральных кватернарных форм. Также ими были приведены примеры таких форм от 5 и 6 переменных. Шеманн [61] рассмотрел изоспектральные формы размерности 4, а позднее в [62] доказал, что не существует изоспектральных тернарных форм.

Таким образом, если Q и Q' - неэквивалентные квадратичные формы размерности 2 или 3, то Зга € N такое, что r(m, Q) ф r(m, Q'). И тогда можно различать бинарные и тернарные формы из разных классов по их тета-рядам. Утверждение неверно для кватернарных форм.

Естественно продолжить эту задачу на представления квадратичной формой Q бинарной формы А. Подобно тому, как множеству {r(m,Q)} соответствует тета-ряд 9q{z) , так и множеству {r(A, Q)} можно поставить в соответствие тета-ряд рода 2. Так в диссертации доказано, что для двух одноклассных неэквивалентных форм Уотсона

Q = 2 1 1 1 ^

12 11 112 1 1116 и Q' = 2 1 0 0 ^

12 0 0 0 0 2 1 0 0 14 определителя 21 множества {г(аЛ, Q)} и {r(aA, Q')} совпадают, если для бесквадратной ступени aiev = ad(A) формы аА наибольший общий делитель (агеи,21) = 1.

3. Формула веса всех представлений формы А родом [Q] содержит редукцию п(А; [Q]) к весу примитивных представлений рп(Л; [Q]) = £ £ * ,

Q}ClQ]b€Mn,m(Z):d(b)=l Q[b]=A использующая

Предложение 1.16 Пусть квадратичная форма Q положительно определенная, а форма А невырожденная, тогда вес п(Л; [Q]) всех представлений Ь : Q[b] = А, отвечающих классам {G{b)} (1.25) из рода [(?] равен сумме следующих весов примитивных представлений:

A-[Q])= Е Рп{А[М~1]-Ш (12)

ЛтМ\А где суммирование ведется по всем классам АтМ, делящим матрицу А, Ат = GLm{Z), М е Mm(Z).

Для вычисления левой части формул веса примитивных представлений (10) и всех представлений (12) требуется знание представителей всех классов форм Qi,., Qh рассматриваемого рода [Q] и порядков o(Qi),., o(Qh) их групп автоморфизмов. В общем случае значения п{А\ [Q]) и pn(A][Q]) не совпадают, но из примитивных решений могут быть получены все. Если ступень формы А совпадает с ее определителем и detA бесквадратный, то любое представление формы А родом [Q] примитивное. Поэтому в этом случае п(А-, [Q))=pn{A- [Q]).

Если род [Q] одноклассный, то формулы веса дают количество примитивных pr{A\ Q) = o{Q) • рп{А\ Q) (13) и всех r(A; Q) = o(Q) • п(А; Q) (14) представлений формы А индивидуальной формой Q

Для одноклассной кватернарной формы Q = I4 с единичной матрицей аг Ь \ порядка 4 и бинарной формы с матрицей аА = а рассмотрим Ъ а2 J уравнение

Q[X] = lXQX = аА, X € M4x2(Z). (15) где \А\ = aia2 — Ъ2 > 0, (а, |Л|) = 1. В координатах Xi, yi уравнение принимает вид квадратичной системы диофантовых уравнений xf + Ху, + ~Ь х\ — aai,

У1+У2+УЗ+У4 =аа2, (1б)

Х\У\ + Х2У2 + 2?зУз + Зд4 = аЬ.

Пусть ступень aiev = ad(A) формы аА нечетная и бесквадратная. Тогда для числа примитивных представлений pr(aA; I4) выполняется формула (10) (Предложение (2.3)) рг(аА; 14) = 3 • • Z(d(A), 1) • Ь Д (р " ) ' (17) где для нечетной Ai

J если d(A) = +1, -3, если d(A) — +3; и для четной Ац к = 1, если d(A) = +3,

Стандартная функция Z(d, 1) содержится в формуле Гаусса в виде числа классов определенных бинарных форм определителя d. По формуле (5) определено число всех представлений г(аА\ 14) = 3 • 2a^+7Z{d{A), 1) • к • a+<j(a), (18) а = а+•а , а+ = Y[pt с = +1 и а = ГТ^ с = -1. Числ о р пробегает нечетные простые делители параметра а, ^^ - символ Лежандра. Если параметр а = 1, то определитель матрицы аА совпадает с ее ступенью aiev = a-detA и все представления являются примитивными.

Формулы (17) и (18) позволяют определит число примитивных и всех решений квадратичной системы (16). Бинарная форма а А не представима кватернарной формой Q = I4 , если d(A) = —l(modS).

Решениями ситемы в случае, если ai = 02 5 являются пары целых векторов, расположенных под углом а с cos о; = ^ на сфере S>3(R) радиуса R = y/aai. Формула (18) позволяет определить их число.

В таблице 2.3 представлены формулы для нахождения числа примитивных и всех представлений, если в качестве А выбрана конкретная форма.

Таблица 2.3 d(A) Форма А Z(d, 1) pr(aA; 14) r{aA-, 14)

1 (::) 1 4 48-2^)np|a(p-(f)) 48 • 2Q(a)a+a(a)

3 1 2 192-2°Wnp,a(p-(f)) 192 • 2Q(a)a+a(a)

3 1 2 64-2"Hnp,a(p-(f)) 64 • 2a(°)a+cr(a-)

5 СО 1 192.2^)np,a(p-(f)) 192 • 2Q(°)a+a(a)

11 CD з 2 576.2«МП„,„(Р-(^)) 576 • 2Q(°)a+<7(a)

4. Остановимся на результатах диссертации, полученных при исследовании представления

Q[X] = *XQX = аА, X € Mnxm(Z) (19) p -элементарной формы а А родом [Q] коразмерности 2. Форма а А пред-ставима родом [Q], если хотя бы для одной формы Q рода [Q] имеет решение матричное уравнение (19). Здесь и далее форма а А с бесквадратной ступенью aiev = а • det(A) такой, что (aiev, det(Q)) = 1.

1) Доказана теорема о весе примитивных представлений формы аА коразмерности два родом [Q].

Теорема 1.2 Пусть Q и а А - целые положительно определенные квадратичные формы размерностей п и т = п — 2 соответственно. И пусть бесквадратная ступень aiev = ad(A) формы аА и определитель формы Q взаимно простые. Тогда аА примитивно представляется родом 3" = [Q\ в том и только в том случае, если множество родов J{A,3) п. 4-4 непустое и, если Q - кватернарная форма, то = +1 для нечетных простых р | а. При выполнении указанных условий вес рп(аА; [Q]) примитивных представлений равен рп(аА; 30 = • Z(d(Q)d(A), 1)а2(аА; Q) • Д (р ~ (~d(Q)d(A)) ) , р\а

20) где а(а) и a(d(Q)) - число нечетных простых делителей параметра а и определителя формы Q соответственно. Множители ct2(aA]Q) для р = 2 определяются формулами (1.121) и (1.122).

Локальные множители ap(aA]Q) зависят только от р-символов форм аА и Q и приводятся в явном виде для нечетных р. Вычисление множителя (*2 (aA] Q) является трудной частью теоремы, поскольку для определения 2-адического символа форм требуются дополнительные инварианты.

2) Для бинарной формы аА и рода [Q] = [Qi] нечетных кватернарных форм определены условия существования примитивных представлений.

Предложение 2 Л Бинарная форма а А примитивно представляется нечетной кватернарной формой Qi, если не выполняется ни одно из следующих условий:

1) (*ва) = 1 для нечетных простых р \ а;

2) Ш\ = +lyd(A) = -l,t(Q) = 4,

3) f^j = +1, d(A) = +3, t(Q) = ±2,

4) ^J = -1, d(A) = +3, t(Q) = 0 для нечетной формы A = Ai;

5)t{Q) = О и j ,

6)t(Q) ,4 u = (iif) для четной формы A = Ац .

Доказана теорема, позволяющая вычислить вес примитивных представлений бинарной формы родом нечетных кватернарных форм.

Теорема 2.1 Пусть Q = Qi - кватернарная нечетная форма, а А - бинарная форма и пусть нечетный бесквадратный определитель detQ взаимно прост с нечетной бесквадратной ступенью формы аА. Тогда аА примитивно представляется родом £Г = [Qi] в том и только в том случае, если выполнено условие предложения 2.1. Вес примитивных представлений равен рп(аА, 30 = 2a<e>-<**W)). Z(d(Q)d(A), 1 )k • Д (р ~ ' (21) где

I, если t(aAr) ф t(Q), (2-(^НМ)))"1, (И) если форма А = Ai нечетная; и 1, если t(Q) ее 4 и ф или,

Л = если t(Q) = 0 и = , (23) 2, если £(<2) = ±2, если форма А = Ац четная; а(а) и a(d(Q)) - число нечетных простых делителей а и detQ соответственно, £(*) - странность формы. 3) Рассмотрим представление

Q[X] =А',Хе M4x2(Z) (24) бинарной формы А! = а'А родом кватернарных четных форм Q = Qji. Такое представление возможно, если форма А' четная. Выделим два случая

1) форма А = Ац четная, параметр а' = а, где а нечетное;

2) форма А = Ai нечетная, параметр а' = 2а, где а нечетное. Рассмотрим соответствующие представления

Q[X] = aAjj, X е M4x2(Z) (25) и

Q[X] = 2aAh X е M4x2(Z). (26)

Предложение 3.1 Бинарная форма А' = аАц или 2аAj с бесквадратной ступенью a\ev, взаимно простой с detQ, примитивно предста-вима кватернарной формой Qu, если ^^^ = +1 для нечетных простых р | а.

Доказана теорема, позволяющая вычислить вес примитивных представлений бинарной формы родом четных кватернарных форм.

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и предложения 3.1, тогда для веса примитивных представлений (25) и (26) справедлива формула рп(А[Qn]) = 2. Z(d(Q)d(A), 1) Д (р ~ ) > (27) р|а где если А' = аАц, к = ^ 2, если А' = 2аЛ7 и d(A7) = 3(mod4), (28)

1, если Л = 2аАг и d{Ai) = l(mod4). Решение задачи о нахождении веса представлений п(Л;[д])= £ £ ^ (29) формы А родом [Q] использует формулу (12), которая выражает общее число всех представлений через примитивные представления конечного числа явно определяемых матриц. Следующие теоремы позволяют определить вес представлений бинарной формы аА родами \Qi] и [Qn]

Теорема 2.2 Пусть Q — Qi - кватернарная нечетная форма, а А - бинарная форма и пусть нечетный бесквадратный определитель detQ взаимно прост с нечетной бесквадратной ступенью формы аА. Тогда вес представлений формы аА родом [Qi] равен п(аА, [Q7]) = 2Q(abaWQ)). z(d(Q)d(A), 1) • k]Jp\ (30) р\а при этом

Р = < р, если х(р) = (4-1,4-1), р + 1, если х(р) = (+1,-1), 1, если х(р) = (-1,4-1), 0, если х(р) = (-1,-1),

31) где х(р) = ((^р) ' (> множитель к определен формулами (22) и (23).

Теорема 3.2 Вес представлений бинарной формы А' = аАц или 2aAi родом [Qn] равен п(А'; [Qn]) = 2°<e>-eW»>A;. Z(d(Q)d(A), 1) Цр'. (32) р\а где множитель к определен формулой (28), р' - формулой (31).

5) Рассмотрено угловое распределение пар целых векторов на сфере и эллипсоиде, как связь между арифметическими и геометрическими свойствами квадратичных форм. Так, например, исследуются пары векторов X — (х1,х2,хз,х4) и У = (2/1,2/25Уз>2/4) с целыми координатами, расположенные под углом а с рациональным косинусом на сфере §3(Я) = х3, х4) е Е4 : х\ + х\ + xl + х\ = Л} .

В диссертации определяется среднее значение fj,(R,cosa) для числа целых векторов, расположенных под углом а к целым векторам на сфере В3(Л), которое задается как отношение числа пар целых векторов, расположенных под углом а на сфере радиуса fR, к числу всех целых векторов на этой сфере: . г(аА, 14) . . л(а • ai, cos а) = —-—, ' (33) r(a • ai, I4) ах b где А — I Ь сц

Вводится понятие предельного среднего значения cosa) = lim fi(R, cos а), (34)

Р—юо где pa^j^c R — Pa' • ai, P - простое число, а' есть произведение k — s — 1 различных простых нечетных сомножителей, а\ = или а\ =

Pi Ф Pji Ргф 2), cos а = рациональный.

Доказана теорема 2.4, согласно которой предельное среднее значение Jlk(cosa) для пар векторов х = {xi,x2,x3,x4) и у = (2/1,2/2,2/3,2/4) с целыми координатами, расположенных на сфере S3(R) с бесквадратным редиусом •R, и в случае, если (Pa',d(A)) = 1, определяется равенствами п если А = Ац четная; и fc(cosa) = 24 • 2*- • ^faVn ' (36)

11р|а1(Р+1) если А = Aj нечетная, где а'+ есть произведение простых чисел pi таких, что (~) = +15 сг(*) - сумма делителей. с

Так, например, для угла а = 90° на сфере радиуса R = Р предельное среднее значение /^(О) = 12, а для а = 60° - соответственно = 16 для R = 2P.

Параметр а' позволяет определять предельные средние значения Jtk(cosa) для различных пар целых векторов, расположенных под некоторыми углами а на одной сфере радиуса Ш. В таблице 2.6 для радиусов R = Ppi, R = 2Ppi и таблице 2.7 для R = Рр\р2, R = 2Рр\р2 представлены предельные средние значения ~рк(cos о;) с cos а = и cos а; = —, 7г— соответственно.

Р1Р2 ' 2pip2

Таблица 2.6

R = IIP R = 14Р R = 22 Р cos о: 0 4 11 6 11 8 11 10 и 1 14 з 14 1 2 9 14 1 22 7 22 9 22 1 2 21 22

Jl2{cos а) 24 16 8 8 8 8 4 28 12 16 16 8 32 4

Таблица 2.7

R = 15Р R = 70Р cos о; 0 2 15 4 15 8 15 14 15 3 14 1 2 7 10 53 70 57 70 59 70 9 10 67 70 69 70 cosa) 40 16 20 16 6 24 56 32 12 8 12 14 6 3

Заметим, что угловое распределение пар целых точек на сфере §3(Я) не равномерно. В то же время известно, что распределение целых точек на §3(i?) равномерно по мере. Для всех углов, приведенных в таблицах, предельные средние значения Jik(cos а) целочисленны.

6) Решена задача о представлении форм аАц и 2aAj одноклассны-ми кватернарными формами Уотсона [55] с нечетными и бесквадратными определителями. Поясним решение этой задачи на примере представления , , , \

Qn[X] = А' одноклассной формой Уотсона Q =

2 111 12 11 112 1 1112 бинар

А'\. Бинарная форма А' может быть представлена в виде а или 2а где a,ai,a,2 - нечетные, (aiev,b) = 1. ной формы А' с бесквадратной ступенью, положительного определителя

2а\ Ь

Ь 2 а2 а\ Ъ b а2

Согласно предложению 3.1 и теореме 3.1, если ^^ = +1 для Vp J а, то число примитивных представлений вычисляется по формуле рг(А'; А4) = 120 • 2аЩ • Z{bd{A), 1) Д (р - (^у^) ) , (37) р\а где к= 2 + если А' = аАц ;

2, если d(A) = 2>{modA)\ 1, если d{A) = l(mod4), если А! = 2аЛ/.

Число всех представлений (25),(26) и число всех решений системы дио-фантовых уравнений

2х\ + 2x1 2х\ + 2^4 + 2xix2 + 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2X3 + 2x2x4 + 2x3x4 = 2аа\, + 2 yl + 2 yl + 2 у\ + 2у1у2 + 2yiy3 + 2 ут + 2у2уз + 2y2J/4 + 2у3у4 = 2аа2, (2xi + х2 + х3 + х4)?/1 + (xi + 2х2 + хз + £4)2/2 + (xi + х2 + 2х3 + х4)у3+ +(xi + х2 + х3 + 2х4)у4 = ab,

38) где элементы а, а\, <22 нечетные, согласно теореме 3.2 равно г(Л'; А4) = 120 • 2а{а)к • Z{bd(A), 1) Д р'. (39) р|а

5. Остановимся на содержании диссертации. В каждой главе принята своя нумерация формул, лемм, теорем, предложений и следствий.

В §1 главы 1 вводятся основные понятия и определения, используемые в диссертации; определяются локальные р-инварианты для целых квадратичных форм. Форма А размерности т представима родом 3 форм Q размерности п, если хотя бы для одной формы Q е Э' имеет целочисленное решение уравнение

Q[X] = гХАХ, X е M„,m(Z).

В §2 главы 1 для форм А и Q приводится конструкция склейки формы Q = Qq(C) из Л и ортогональной ей формы G = , где 6 -произвольное примитивное представление А формой Q, а С - изоморфизм дискриминантных форм для А и aG~l. Установлен изоморфизм между орбитами {6} и {С} . Рассматривается разбиение множества примитивных представлений по родам [G] форм G из ортогонального дополнения к А в Q (Предложение 1.8) и разбиение множества примитивных представлений по орбитам сцепки {С} из множества решений матричного сравнения aievA~l[C] = —G(modaievZp) ( Предложение 1.9).

В §3 главы 1 рассматриваются минимальные локальные вложения форм А в Q над Ър. Приводится локальная классификация форм А и Q. Для описания возникающих родов [G] используется локальный метод теории квадратичных форм - переход Z Ър, р — оо, 2,3,. Показано, что с точностью до эквивалентности ~р форма G определяется формами А и Q; определяются р -символы форм G. Приводятся условия существования для каждой жордановой составляющей разложения квадратичной формы над локальными кольцами Ър.

В §4 главы 1 приводится формула Гаусса-Минковского, полученная В. Г. Журавлевым [11] для веса примитивных представлений формы А родом IF = [Q], ассоциированных с родом [G] рп{А; [Q], [G]) = с(п - т) ■ std(n - т, [(?]) Д ар(А; Q). (40) p\alevd

Доказывается теорема о весе примитивных представлений родом квадратичных форм коразмерности два. Локальные множители ар(аА; Q) зависят только от р -символов форм а А и Q и приводятся в явном виде для нечетных р.

В §5 главы 1 приводится формула веса всех представлений формы А родом [Q} положительно определенных форм Q, которая содержит редукцию к весу примитивных представлений.

В §1 главы 2 доказывается теорема о весе примитивных представлений бинарной формы аА родом нечетных кватернарных форм [Q]. Попутно определяются условия, при которых форма примитивно представляется нечетной кватернарной формой. В явном виде определяются локальные множители а2(аА] Q): a2{aAi\Q) = если t(aAi) ф t(Q)(mod8), иначе a2(aA,;Q) = если (421) = , a2M,;Q) = i, если = , a2(aAir,Q) = 1, если = и t(Q) = О,

4Q) ^ ^ и t{Q) s 4 a2{aAn\Q) = 1, если £(Q) = ±2.

В §2 главы 2 доказывается общая формула для веса всех представлений бинарной формы а А родом [Qj] нечетных кватернарных форм . Определена функция х(р) = > всех ПР0СТЫХ нечетных делителей р параметра а. Если х(р) = (—— 1)» т0 форма аА не представима родом [Qj]. Так, например, ситема квадратичных уравнений х^ -Н -Н З'з ~ 2о, у\ + У1 + Уз + 5 у\ = 2а, (41)

Х1У1 + х2у2 + х3у3 + 5х4у4 = а не имеет решений, если найдется такое простое р \ а, что

§3 главы 2 посвящен приложениям результатов, полученных в §1, §2, к конкретным формам. Поскольку для вычисления левой части формул веса примитивных представлений (10) и всех представлений (12) требуется знание представителей всех классов форм Qi,. ,Qh рассматриваемого рода [Q] и порядков o(Q\),., o(Qh) их групп автоморфизмов, то удобно ограничиться одноклассным родом [Q]. И тогда формулы веса дают количество примитивных представлений индивидуальной формой Q: рг(А; Q) = o(Q) • рп(А; Q) и всех представлений: r(A]Q) = o(Q) • n(A]Q).

43)

Для вычисления правой части формул веса нужно знать значение стандартной L -функции Дирихле Z(d, 1), которая содержится в формуле Гаусса в виде числа классов определенных бинарных форм определителя d; для d < 25 значения приведены в [33]. Полученные формулы для вычисления числа решений матричного уравнения Q[X] = а А применимы и для нахождения числа решений соответствующих систем уравнений.

В §4 главы 2 рассматривается вопрос о распределении на сфере §3(Д) = = {(xi,a;2, хз, Х4) £ R4 : х\ + х\ + х\ + х\ = R} пар векторов X = (х1,Х2,осз,Х4) и У = (У1,У2,Уз,Уа) с целыми координатами, расположенных под углом а с рациональным косинусом.

В §1 главы 3 доказываются теоремы о весе примитивных и всех представлений бинарных форм aAjj и aAi родом четных кватернарных форм [Qii] . Также определяются условия, при которых форма примитивно представляется четной кватернарной формой. Для всех бинарных форм определены локальные множители а2(АQ).

В §2 главы 3 приводится приложение результатов, полученных выше, к одноклассным квадратичным формам "Уотсона [55] нечетного бесквадратного определителя. Приводятся необходимые сведения о формах, включая: матрицы квадратичных форм, их определители, порядки групп автоморфизмов, р-символы. Результаты представлены в виде таблиц, в которых в качестве А! выбраны конкретные формы.

Кроме того, как было сказано выше, найдены две формы, для которых число представлений любой бинарной формы А' одинаковое. А поскольку уравнениям Q[X] = А' и Q'[X] = А' соответствуют системы диофанто-вых уравнений, то можно говорить об одинаковом числе решений систем уравнений

2х\ + 2х| + 2х\ + 6x4 + 2x1x2 + 2Z1X3 + 2x1x4 + 2x2X3 + 2X2X4 + 2x3x4 = 2aai, 2у? + 2 у% + 2 yl + 6yj + 2угу2 + 2у1у3 + 2 уху4 + 2у2у3 + 2у2у4 + 2 у3у4 = 2aa2, (2xi + х2 + х3 + x4)yi + (xi + 2x2 + Х3 + х4)у2 + (xi + х2 + 2х3 + х4)уз+ +(xi + х2 + х3 + 6х4)у4 = ab

44) и

45)

2х\ + 2x2 + + 4X4 + 2x1x2 + 2x3x4 = 2aai, 2у? + 2 у% + 2у| + 4у| + 2у1у2 + 2 у3у4 = 2aa2, 2х\у\ + 2х2У2 + 2х3у3 + 4х4у4 + х2у\ + хху2 + х4у3 + х3у4 = ab, N где элементы a, ai,a2 нечетные.

В §3 главы 3 рассматривается вопрос о распределении на трехмерном эллипсоиде Eg(i?) пар векторов X = (£1,2:2, £3,^4) и У = (Уъ 2/2, 2/3,2/4) с целыми координатами, расположенных под углом а с рациональным косинусом. В качестве квадратичной формы, соответствующей эллипсоиду, выбрана кватернарная форма с матрицей Q =

2 111 12 11 112 1 1112

В диссертации ступень aiev р -элементарной формы а А ограничена только требованиями aiev = ad(A) и (aiev,det(Q)) = 1. Для таких форм коразмерности два задача о представимости аА родом [Q] решена полностью. Полученные в явном виде формулы позволяют вычислять примитивный вес рп(А[Q]) и общий вес n(A', [Q]) для любых положительно определенных бинарных форм А' и рода [Q] кватернарных форм. Все результаты диссертации новые, проверены эспериментально.

6. Результаты диссертации докладывались на IV международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения."(Тула, 2001), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподовательского состава ВГПУ (1999 - 2005 г. г., секция "Алгебра и теория чисел"), на научных семинарах по "Теории чисел"ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.), В.Г. Журавлева (2000 - 2004 г.г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [18]

- 123].

7. В работе использованы следующие обозначения

Q = Qn ~ положительно определенная квадратичная форма и тождественная ей матрица Грама, lQ - транспонированная матрица Q, |Q|, d(Q) - определитель формы Q, d(A) - определитель формы А, dimQ - размерность формы Q,

Mnxm{R) - множество матриц размера п х т с элементами из кольца R, • Z, Zp - целые рациональные и р -адические числа, Fр - поле вычетов по модулю р, ^^ - символ Лежандра,

GLn(R) - группа целочисленных унимодулярных матриц с элементами из кольца R,

SLn{R) - подгруппа GLn(R) с единичным определителем, {Q} - класс эквивалентности квадратичной формы Q , [Q] - род формы Q, - эквивалентность над кольцами Z и Zp соответственно,

А © G - прямая ортогональная сумма форм А и G, [С]

Л ф G - склейка форм Л и G, где С - форма склейки, Q — Q1 Ф Q>p - жорданово разложение формы Q над кольцом Zp, Qi» Qii ~ нечетная и четная формы соответственно, I4 - единичная матрица размерности 4, fi(R, cos а) - среднее значение для числа целых векторов, расположенных под углом а,

2к(cos а) - предельное среднее значение,

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куранова, Наталья Юрьевна, 2005 год

1. Андрианов А.Н. Двойственность в теореме Зигеля о представлениях родом квадратичных форм и оператор усреднения. Мат. сб. - 1983. Т. 122 № 1. - С. 3 - 11.

2. Андрианов А.Н., Журавлёв В.Г. Модулярные формы и операторы Гекке. М., Наука. 1990.

3. Бударина Н.В. Деформации диофантовых систем для квадратичных форм кубических решеток // Записки научных семинаров ПОМИ.-СПб.: Наука. 2002.-Т. 286, № 18. - С. 5-34.

4. Бударина Н.В. Диофантовы системы уравнений первой и второй степени // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - 2002.- С. 40 -43.

5. Венков Б.А. Исследования по теории чисел. Л., Наука. 1981.

6. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР. 1959.

7. Голубева Е.П. Асимтотическое распределение целых точек, принадлежащих заданным классам вычетов, на гиперболоидах специального вида // Мат. сб. 1984. - Т. 123, № 4. - С. 510 - 533.

8. Голубева Е.П. Представление больших чисел тернарными квадратичными формами // Мат. сб. 1986. - Т.129, № 1. - С. 40 - 54.

9. Голубева Е.П., Фоменко О.М. Асимтотическое распределение целых точек на трехмерной сфере // Зап. науч. семинаров Ленингр. отделения Мат. ин-та АН СССР. 1987. -Т. 160. - С. 54 - 71.

10. Голубева Е.П., Фоменко О.М. Замечание об асимптотическом распределении целых точек на большой трехмерной сфере // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1990. - Т. 185, № 10. - С. 22-28.

11. Журавлёв В.Г. Представление квадратичных форм родом квадратичных форм // Алгебра и анализ. 1996. - Т.8, № 1. - С. 21-112.

12. Журавлёв В.Г. Вложение р-элементарных решеток // Изв. РАН. Сер. матем. 1999.- Т. 63, № 1. - С. 77-106.

13. Журавлёв В.Г. Примитивные вложения в локальные решетки простого определителя // Алгебра и анализ. 1999. - T.ll, JV2 1. - С. 87-117.

14. Журавлев В. Г. Деформации диофантовых квадратичных систем. // Известия РАН. Серия математическая. 2001. - Т. 65, № 6. - С. 5-56.

15. Касселс Дж.У.Ск. Рациональные квадратичные формы. М.,Мир. -1982.

16. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М., Мир. 1990. - Т.2.

17. Крылов В.Е. Представление квадратичных форм коразмерности один // Владимирский государственный педагогический университет. Владимир. 1999. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 12 октября 1999. -N 3043-В99.

18. Куранова Н.Ю. Представление чисел тремя квадратами //Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. -Владимир: Изд-во ВГПУ. 2001. -Вып.З. - С.80-82.

19. Куранова Н.Ю.Примитивные представления бинарной формы родом положительно определенных форм.// Тезисы докладов IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула: Изд-во ТГПУ. - 2001. - С. 76-77.

20. Куранова Н.Ю. Число примитивных представлений формы родом квадратичных форм //Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. -Владимир: Изд-во ВГПУ. 2003. - Вып.З. - С. 147-152.

21. Куранова Н.Ю. Представление квадратичных форм формами четной коразмерности// Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения". -Тула: Изд-во ТГПУ. 2003. - С. 147-149.

22. Куранова Н.Ю. Представление бинарных квадратичных форм ква-тернарной формой//Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. -Т.302. - С. 68-81.

23. Куранова Н.Ю.Угловое распределение целых точек на трехмерных сферах.// Труды VI Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула: Изд-во ТГПУ. -2004. - С. 64-72.

24. Линник Ю.В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л., Наука. 1979.

25. Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. - Т.65.

26. Тетерин Ю.Г. О числе точек транслированной решетки в области на многомерном эллипсоиде // Записки научных семинаров ЛОМИ. -1986. Т. 151. С. 176. - Т. 183, № 4. - С. 510 - 533.

27. Фёдорова С.В. Представления р-элементарной формы родом. // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. - Т. 258. - С. 65 - 73.

28. Фоменко О.М. Оценки скалярных произведений Петерсона параболических форм и арифметические приложения // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988. - Т.168. - С. 158 - 179.

29. Фоменко О.М. Применение формулы Петерсона для билинейной формы от коэффициентов Фурье параболических форм // Записки научных семинаров ПОМИ. 1993. - Т.204. - С. 143 - 166.

30. Хорошева А.В. Представление чисел родом одноклассных кватернар-ных форм// Вестник ВГПУ. Владимир. 2000. - Вып. 5. - С. 338 -346.

31. Andrianov A.N., Panchishkin A.A. Singular Frobenius operators on Siegel modular forms with characters zeta-functions //L'Institut Fourier, Univer. Grenoble. 1999. № 469. - P. 1 - 31.

32. Conway J., Sloan N. The unimodular lattices of dimension up to 23 and Minkowski-Siegel mass constants //Eur. Combinatoires. 1982. A. 3. -P. 219 - 231.

33. Conway J., Sloan N. Low-dimensional lattices IV. The mass formula // Proc. R. London. 1988. - A 419. - P. 259 - 286.

34. Conway J., Sloan N. Quadratic forms of small determinant // Proc. R. Soc. Lond. 1988. - V. 418.- P. 17 - 41.

35. Conway J., Sloan N. Four-Dimensional lattices with the Same theta Series// Duke Math. Journal. 1992. - V. 66.

36. Duke W., Schulze-Pillot R. Representation of integers by positive ternary quadratic forms and equidistribution of lattice points on ellipsoids // Invent, math. 1990. - V. 99, № 1. - P. 49 - 57.

37. Earnest A.G. The representation of binary quadratic forms by positive definite quaternary quadratic forms //Trans Amer. Math. Soc. 1994. -V. 345, № 2. - P. 853 - 863.

38. Iwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of halfintegral weight // Invent, math. 1987. -V.87, № 2. - P. 385 - 401.

39. Hsia J., Kitaoka Y., Kneser M. Representations of positive quadratic forms // J. reine angew. Math. -1978. V.301. -P.132 - 141.

40. Jocher M., Kitaoka Y. Representations of positive quadratic forms with congruence and primitive conditions //J. Number Theory. 1994. V.48, № 1. - P. 88 - 101.

41. Kitaoka Y. Quaternary even positive definite quadratic forms of prime discriminant //Nagoya Math. J. 1973. - V.52. - P. 147 - 161.

42. Kitaoka Y. Lectures on Siegel modular Forms and representation by Quadratic Forms. Berlin. Springer. 1986.

43. Kitaoka Y. Some remarks on representations of positive definite quadratic forms //Nagoya Math. 1989. V.15. - P. 23 - 41.

44. Kitaoka Y. A note on representation of positive definite quadratic forms in 6 variables //Acta arithm. 1990. V.54, № 4 - P. 317 - 322.

45. Kitaoka Y. Positive definite forms with the same representation numbers//Arch. Math. 1977 - V. 28. - P. 495 - 497.

46. Knezer M. Quadratischer Formen. Gottingen. Math. Inst. 1974.

47. Knezer M. Uber die Ausnahme-Isomorphismem zwischen endlichen klassischen Gruppen. ASUH. 1967. -V. 31. - S. 136 - 140.

48. Knezer M. Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzanlen quadratischen Formen//Math. Ann. 1967. -A. 168. - S. 31 - 39.

49. Minkowski H. Untersuchungen uber quadratischer Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes. Genus enthalt. Konigsberg. Innagural dissertation // Acta Math. 1885. -V. 7. - S. 201 - 258.

50. Pommerenke C. Uber die Gleichverteilung von Gitterpunkten auf m-dimensionalen Ellipsoiden // Acta Arithm. 1959. -V. 5, № 2 - S. 227 -257.

51. Siegel C.L. Uber die analytische Theorie der Quadratischen Formen // Ann. Math. 1935. -V. 36. - S. 527 - 606.

52. Siegel C.L. Lectures on the Analytical Theory of Quadratic Forms. Gottingen. Revised Edition. 1963.

53. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms // Mathematica. 1972. - V.19, № 1. - P. 96 - 104.

54. Watson G.L. Determination of a binary quadratic Form from its values at integer points//Mathematica. -1979. V. 26. - P. 72 - 79.

55. Watson G.L. One-class genera of positive quaternary quadratic forms // Acta Math. 1974. -V. 25, № 5. - P. 461 - 475.

56. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms. II // Mathematica. 1975. -V. 22, № 1. - P. 1 - 11.

57. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in eight variables //J. London Math. Soc. 1982. -V. 26, № 2. - P. 227 - 244.

58. Witt E. Eine Identitat zwischen Modulformen zweiten Grades Abh. Math.Sem.Hamberg. 1941. -V.14. - S. 323 - 337.

59. Wright E.M. The representation of a number as a sum of four "almost proportional"squares // Quart. J. Math. 1936. -V.7. - P. 230 - 240.

60. Wright E.M. The representation of a number as a sum of five or more squares // Quart. J. Math. 1937. -V. 8.- P. 37 - 51; 228 - 232.

61. Schiemann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischen Formen der 4 mit gleichen Darstellungsanzahlen//Arch. Math. 1990. -V. 94. - P. 372 -375.

62. Schiemann A. Ternary positive definite quadratic Forms are determined by their theta seriesn//Arch. Math 1997. -V. 308.- P. 507 - 517.