Количество представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Евсеева, Юлия Юрьевна

• Евсеева, Юлия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Евсеева, Юлия Юрьевна

Введение

1 Формула для количества представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами

§1 Мнимые квадратичные поля.

§2 Модули в квадратичном поле

§3 Соответствие между модулями и формами.

§4 Представление чисел бинарными квадратичными формами

§5 Кольца Гекке.

§6 Модулярные формы и операторы Гекке.

§7 Действия операторов Гекке на тета-ряды.

2 Бинарные квадратичные формы с числом классов к <

§1 Двуклассные формы.

§2 Трехклассные формы.

§3 Четырехклассные формы. Циклический случай.

§4 Четырехклассный формы. Нециклический случай

3 Циклические многоклассные бинарные квадратичные формы

§1 Характеры циклических бинарных квадратичных форм

§2 Формула для количества представлений многоклассными циклическими квадратичными формами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Количество представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами»

Актуальность данного диссертационного исследования обусловлена одной из центральных проблем арифметической теории квадратичных форм -получением формул для количества представлений г(/, т) натуральных чисел т бинарными квадратичными формами /(ж, у) = ах2 + Ьху + су2 , а, 6, с £ Z, т. е. нахождением количества целых решений диофаптового уравнения ах2 + Ьху + су2 = т.

Цель работы - получить формулу для количества представлений натуральных чисел бинарными многоклассными квадратичнымР! формами. Рассмотреть случаи бинарных квадратичных форм с числом классов Н ^ 4 и произвольной циклической группы класов. Получить и доказать основные арифметические свойства для числа представлений.

Для достижения поставленной цели в работе используются теория бинарных квадратичных форм, мнимых квадратичных полей, теория операторов Гекке и тета-рядов.

Новизна диссертационной работы заключается в нескольких моментах. Во-первых, впервые получена общая формула, позволяющая найти количество представлений натуральных чисел многокласснымрт бинарными квадратичными формами отрицательного дискриминанта.

Во-вторых, решена обратная задача теории представлений, состоящая в том, чтобы по числу представлений судить о числе классов форм.

Задача о количестве представлений г(/, га) является классической задачей теории чисел. Диксон в своей монографии [20] подробно описал историю изучения бинарных квадратичных форм.

Остановимся на истории изучаемого вопроса. Основоположниками теории квадратичных форм являются Ферма и Эйлер. Но еще Диофант располагал общими приемами решения диофантовых уравнений до четвертой степени в рациональных положительных числах. Задачи Диофанта привели Ферма к поиску целочисленных решений квадратных уравнений с двумя неизвестными. Ферма рассмотрел задачу представимости числа в виде х2 + у2 — га.

Эйлер, а затем Лагранж полностью решили задачу Ферма о двух квадратах. Ими же были рассмотрены и другие конкретные квадратичные формы. Исследования в этом направлении привели Лежандра в 1798 г. к открытию закона взаимности - центральной задаче теории числел Х1Х-го столетия.

Гаусс [4] впервые начал изучать случай произвольных бинарных квадратичных форм. Он ввел понятие эквивалентности квадратичных форм. На множестве классов бинарных квадратичных форм фиксированного дискриминанта Гаусс определил операцию композиции, относительно которой множество классов образует коммутативную группу. В последствии операция умножения получила название гауссовой композиции.

На протяжениии XIX века была выявлена связь бинарных квадратичных форм с квадратичными полями [21] (Кронекер, Дирихле, Дедекинд). На основе этой связи удалось доказать общую формулу для суммы количества представлений натурального числа всеми формами данного дискриминанта. В случае если форма одноклассная эта формула принимает вид r(/,ra) = e(D)p(m), (1) где g(D) - число целых автоморфизмов формы f(x, у), р{т) -мультипликативная функция, определенная на степенях простых чисел следующим образом: р(ра) = а + 1 для xi О) = +1;

II, если 2 | а р{ра) = \ для xiО) =

I 0, если 2 \ а р(ра) = 1 Для xi(Р) = 0.

В этих формулах Xi (Р) - характер Дирихле мнимого квадратичного поля дискриминанта D [2].

XX век ознаменовался в арифметической теории квадратичных форм появлением двух фундаментальных идей.

Первая - это идея связанная с модулярными формами (Пуанкаре, Клейн) и операторами Гекке (см., например, [1]). Каждой квадратичной форме ставится в соответствие ее тета-ряд, который является модулярной формой, её уровень определяется дискриминантом. Все такие модулярные формы образуют конечномерное векторное пространство, инвариантное относительно операторов Гекке. Любая модулярная форма может быть разложена по базису собственных функции операторов Гекке. Задача о представимости числа эквивалентна вычислению коэффициентов тета-ряда, что, в свою очередь, сводится к его разложению по базису из собственных функций. Данный подход подробно изложен в книге Петерссона [24], и в принципе позволяет получать формулы представлений в том случае, когда известен базис. Однако нахождение басиза представляет собой отдельную, крайне трудную, не решенную до сих пор задачу.

Вторая - это идея, основанная на дальнейшем развитиии идеи Гаусса о родах квадратичных форм. Зигель [26], [27] доказал общую формулу для числа представлений родом квадратичных форм. Наиболее сильные результаты в этом направлении были получены Журавлевым [11], [12] и Шимурой [25]. Для бинарных форм формула (1) вытекает как частный случай из формулы Зигеля.

Задача о количестве представлений чисел квадратичными формами была решена для некоторых форм специального вида [23], [19], [3], [18]. Однако, несмотря на все эти достижения, задача о количестве представлений числа произвольной бинарной квадратичной формой так и оставалась не решенной. Асимптотические формулы для числа представлений бинарных квадратичных форм получены Фоменко [16], Голубевой [5].

Остановимся на результатах диссертации, полученных при исследованиии количества представлений натуральных чисел т многоклассными бинарными квадратичными формами отрицательного дискриминанта = ах2 4- Ьху + су2 .

В первой главе представлены общие сведения о бинарных квадратичных формах, мнимых квадратичных полях, соответствии между модулями в квадратичном поле и бинарными квадратичными формами. Опираясь на теорию операторов Гекке и гауссову композицию квадратичных форм, получена общая формула для количества представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами.

Рассматриваются бинарные квадратичные положительно определенные формы дискриминанта D < 0, где D совпадает с дискриминантом мнимого квадратичного поля Q(VD), Di бесквадратная часть D, Z{Di) = {Со, С\,., Ch-i\ - группа классов форм, fi € Ci и r(fi:m) - число решений уравнения ж, у) = diX2 + biXy + СгУ2 = га, ж, у е Ъ.

В диссертации доказана

Теорема 1.10. Для количества представлений r(/j,m) натурального числа бинарными квадратичными формами fi(x,y), выполняется формула

УС где к пробегает все характеры группы Z{D\) порядка h, г(х,т) -коэффициенты Фурье тета-ряда ©(z, н) h г=1 г(х, га) = r(x, 1 )х(га), $с(т) - собственные значения этого тета-ряда для операторов Гекке и при этом

ТТл1 ЭД , Xi(Р) ч1 оо ras ps p2s } m=i pep ' *

Во второй главе рассмотрены бинарные квадратичные формы с числом классов К -С 4.

Случай двуклассных бинарных квадратичных форм. Пусть Со = {/о} и Ci — {/1} - различные классы форм дискриминанта D, где /о представляет 1.

Теорема 2.1. Для количества представлений r(/¿,m) в случае h = 2 справедливы следующие равенства: r(/0,m) = (1 + xi(m))p(m), r(/i,m) = (1 - xi(m))p(m), где xri(m) - вполне мультипликативная функция, для простых р с Xiip) — +1 или 0 задаваемая равенствами

1, если г(/0,р) > О, —1, если r(fi,p) > 0.

Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает следующее свойство:

Теорема 2.2. Если h = 2 и число т представимо хотя бы одной из форм /о или fi, то данное число т представимо только одной из указанных форм.

Случай трехклассных бинарных квадратичных форм. В этом случае классы бинарных квадратичных форм удобно пронумеровать следующим образом:

Co.Ci.Ca, Ci = {/<},(» = 0,1,2). При этом гауссова композиция записывается в виде:

Ci * Cj = Ci+j (mod 3) •

Теорема 2.3. При h = 3 имеют место следующие формулы для количества представлений r(/¿,m) натуральных чисел т:

2 ^ r(fo,m) = ~Оо (m) + 2xi (т)), 9 i(p) где щ(т) - мультипликативные функции, определяемые формулами

Я{{ра) = р(ра) для хЛр) - -1,0 или XI(р) = +1 и щ (р) = +1, щ{ра) = е(а) для Хг(р) = +1 и хг(р) ф +1. В этих формулах е(а) задается следующим образом:

Во второй главе диссертации так же рассматриватеся обратная задача теории представлений чисел неодноклассными бинарными квадратичными формами. Эта задача состоит в том, чтобы по числу представлений получать информацию об отдельной квадратичной форме, рассматриваемой как элемент группы классов форм 3 •

Получены следующие арифметические свойства для представления чисел трехклассными квадратичными формами, позволяющие решать обратную задачу теории представлений. Они сформулированы как следствия 2.1-2.3 из теормы 2.3.

Для числа решений г(/^,т3) диофантова уравнения /у(х,у) = т3 {з = 0,1,2), где т - любое натуральное число, справедливо следующее свойство асиметрии

5|т

1, если а = 0 (mod 3), е(а) = —1, если а = 1 (mod 3), 0, если а = 2 (mod 3). г (/о, т3) > r(fi, т3) для ¿ = 1,2.

Найдено условие, при котором натуральное число т представляется только одной трехклассной формой: если т не делится ни на какое простое число р, представляемое квадратичной формой fi, то r(fo,m) = 2 р(т), r(fum) = r(/2,m) = 0.

С другой стороны, доказано, что существуют натуральные числа га, для которых количества представлений трехклассными квадратичными формами равны:

1) Пусть р - простое число, р \ D, fi(x,y) — р. Тогда для любого натурально т взаимно простого с р, и а = За' + 2 с Ы = 0,1,2,. справедливо равенство 2 r(fo,pa ' т) = r{fhpa • га) = -р(тп) (г = 1,2).

2) Если т представляется формой /о и j\, и в разложении т на степени простых чисел содержится р3а+2, где Xi(p) — +1 и Р представимо формой fi, то 2 r{fo,m) = r(fi,m) = -TD(rrí) (i = 1,2), где mf\m состоит из степеней ра с Xi(p) — +1 и

TD(m') = Е L

Далее, в следствии 2.4 доказано, что любая трехклассная бинарная квадратичная форма имеет дискриминант

D = —р, где р - простое число, р = 3 (mod 4), при этом данное простое число р представимо формой /о .

Случай четырехкласных бинарных квадратичных форм. Пусть группа классов бинарных квадратичных форм четвертого порядка циклическая относительно операции гауссовой композиции:

Со, Ci, С2, С3 : С i * Cj = Ci+j (mod 4)} •

Пусть n(p) = г, если /»(ж, у) = р. (2)

Натуральное число т обладает свойством СВ. 1, если найдется такое простое число р , что xi (р) — +1 j п(р) — 1 и са = 1 (mod 2), где ра\\т означает что ра\т и pa+1 \ т. Аналогично, число т обладает свойством СВ. 2, если

Xi(р) — +1 5 п(р) = 1 и ра\\т с а = 0 (mod 2). Далее, т удовлетворяет свойству СВ. 3, если из условия ра\\т cq = 1 (mod 2) следует Xi(p) — О или + 1В диссертации получены следующие свойства для количества представлений натуральных чисел четырехклассными бинарными квадратичными формами, сформулированные в виде следствий 2.5 - 2.9.

Следствие 2.5. Для циклических четырехклассных бинарных квадратичных форм и натурального т £ СВ. 3 условие т € СВ. 1 равносильно равенству r(/o,m) =r(/2,m). 12

При этом возможны 2 случая: г(/о, т) - г(/2, т) = р(т) и r(fum) = г(/3, т) - О, или r(fo,m) = r(/2,m) = О и r(fum) = r(/3,m) = />(га).

Следствие 2.6. Длл представлений т циклическими четырехклассными формами условие г (/о, ш) = О или r(/2, т) = О выполняется тогда и только тогда, когда т не делится на простое р с Xi(p) = +1 и п(р) = 1, где п(р) - функция (2).

Следствие 2.7. В циклическом случае при h — 4 имеют место неравентва для т Е СВ. 3: r(fi,m) ф r(fj, т) для i^j = 0,1,2 тогда и только тогда, когда т ^ СВ. 1 и т £ СБ.

Следствие 2.8. Не существует натурального числа т, представимого r(fi, т) > О для всех i = 0,1,2,3 всеми четырехклассными циклическими квадратичными формами данного дискриминанта.

Следствие 2.9. Для четырехклассных циклических квадратичных форм справедливо утверждение: если р - простое число с Xi(p) = +1 > п(р) ----- 1, то r(foiP2) — 2 , r(f2,p2) = 4, r(/i,^) = r(/3,p2)=0.

Пусть группа классов бинарных квадратичных форм четвертого порядка нециклическая. Тогда удобно использовать следующую нумерацию:

Со,о, Сод, Ci,o, С1Д} , Cij = {fij}. В этих обозначениях гауссова композиция записывается в виде

Cij * Ck,l = Ci+k,j+l (mod 2)

В теореме 2.4 получена формула для количества представлений натуральных чисел нециклическими бинарными квадратичными формами и как следствие из нее арифметическое свойство числа представлений.

Следствие 2.10. Натуральное число т, удовлетворяющее СВ. 3, представляется одной и только одной нециклической четырехклассной бинарной квадратичной формой fij{x,y) и число представлений равно r(fij,™>) = 2 р{т).

В третьей главе диссертации рассмотрены циклические бинарные квадратичные формы произвольного порядка.

Пусть группа классов бинарных квадратичных форм циклическая порядка h:

Со, Ci, Ch-l Ci * Cj = Ci+j (mod /i)}-Фиксируем для натурального m разложение на множители т = то • т+ • т (3) с взаимнопростыми rao,m+,m вида т0 = rj1 - ■ • г2е с Xi(r¿) = 0, (4) т+ = pf1 • • • с xife) = +1, (5) т-= qf1 ■ ■ • q6/ с Xi(ft) =-1. (6)

Далее, пусть

6г = ■ ■ ■ = 5f = 0 (mod 2). (7)

На множестве простых р с условием Xi(p) — О или +1 введем функцию а(р) = г, если r(/¿,p) >0 с 0 < г < /г/2.

В теореме 3.1 получена формула для количества представлений циклическими бинарными квадратичными формами и как следствия из нее - арифметические свойства.

Следствие 3.1. Для циклических форм нечетного порядка h количество представлений r(/¿,m) числа т = mo-m+-m (3) с условием, что т удовлетворяет сравнениям (7), не зависит от множителей то, т .

Следствие 3.2. Если группа классов форм циклическая, h нечетное и для т = га0 • т+ • га в множитель т+ (5) входит степень рс Н.О.Д.(a(pi), h )=1 и c¿i = h— 1 (mod /i) 7 тогда выполняются равенства r(fo, "г) = К/ь "г) = . = r(/hi, т).

Если т дополнительно удовлетворяет условию (7), то г(/-; т) = + 1) . . (ап + 1) для 0 < г < /г - 1.

Если h = р - нечетное простое число, то достаточно потребовать существование степени р^\т+ с a(pi) Ф 0 .

Результаты диссертации докладывались на Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения) (Казань, 2006 г.), XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2006 г.), XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию проф. В.Е. Воскресенского (Самара, 2007 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГГУ (2006-2007 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г. Журавлева.

Основные результаты опубликованы работах автора [6]-[10].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Евсеева, Юлия Юрьевна, 2008 год

1. Андрианов А.Н., Журавлёв В.Г. Модулярные формы и операторы Гекке. М., Наука. 1990.

2. Боревич З.И. Шафаревич И.Р. Теория чисел М.: Наука, 1984.

3. Вепхвадзе Т.В., О представлении чисел положительными бинарными квадратичными формами нечетного дискриминанта, Тр. Тбилис. Мат. ин-та, АН. Груз. ССР, 1974.

4. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР. 1959.

5. Голубева Е.П., Об исключительных числах для бинарных квадратичных форм, Зап. научн. сем. ПОМИ, 1998, т.254.

6. Евсеева Ю.Ю. О количестве представлений числа трехклассной биинарной бинарной квадратичной формой, Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том IV. Москва: Изд-во МГУ, 2006. С.83-84.

7. Евсеева Ю.Ю. О количестве представлений чисел неодноклассными бинарными квадратичными формами, Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ.Москва: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2006. С.51-53

8. Евсеева Ю.Ю. Представление натуральных чисел трехклассными бинарными квадратичными формами, Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, Россия, 21-25 мая, 2007: тез. докл. С.20-21

9. Журавлев В.Г., Евсеева Ю.Ю. Арифметические свойства представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами, Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. № 7. С. 83-84

10. Журавлев В.Г. Элементарная теория Гекке. Владимир: ВГПУ, 2001.

11. Журавлёв В.Г. Представление квадратичных форм родом квадратичных форм, Алгебра и анализ. 1996. Т.8.

12. Коган JI.A. О представлении целых чисел положительно определенными квадратичными формами. Ташкент. ФАН. 1971.

13. Коган JI.A. и др. Представление чисел квадратичными формами. Ташкент. ФАН. 1989.

14. Малышев A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами, Тр. МИАН СССР. 1962. Т.65.

15. Фоменко О.М., Представление целых чисел, принадлежащих подпоследовательностям натурального ряда, бинарными квадратичными формами, Зап. научн. сем. ПОМИ, 1998, т. 254.

16. Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. М: Мир, 1973.

17. Basilla J.M., On the solution of x2 + dy2 = m, Proc. Japan Acad., 80, Ser. A, 2004.

18. Buel D.A. Binary Quadratic Forms, Classical Theory and Modern Computations, N.Y., 1989.

19. Dickson L.E. History of the theory of numbers vol.3, Quadratic and higher forms N.Y. 1992.

20. Dirichlet P. G. L., Lectures on Number Theory (Supplements by R. Dedekind), transl. by J. Stillwell, Amer. Math. Soc., 1999.

21. Kaplan P., Williams K.S. On the Number of Representations of a Positive Integer by a Binary Quadratic Form, Acta Arithmetica, 2004.

22. Pall G., The distribution of intergers represented by binary quadratic forms, Bull. Amer. Math. Soc. 49, No.6, 1943.

23. Petersson H., Modulfunktionen und quadratische Formen, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag, v. 100, 1982.

24. Shimura G., The number of representations of an integer by a quadratic form. Duke Mathematical Journal, 1999, v. 100, n. 1.

25. Siegel C.L. Uber die analytische Theorie der Quadratischen Formen, Ann. Math. 1935.

26. Siegel C.L. Lectures on the Analytical Theory of Quadratic Forms. Gôttingen. Revised Edition. 1963.

27. Sun Z. H. and Williams K.S., On the number of representations of n by ax2 + bxy 4- cy2 , Acta Arithmetica 122.2 . 2006.