Подпрямые суммы абелевых групп без кручения первого ранга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Трухманов, Вячеслав Борисович

• Трухманов, Вячеслав Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трухманов, Вячеслав Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРОСТЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ.

§ I. Ранг и индуцирующая группа простой специальной группы.

§ 2. Элементарные свойства простых специальных групп.

§ 3. Простые специальные группы с изоморфными индуцирующими группами.

§ 4. Простые специальные группы с неизоморфными индуцирующими группами.

ГЛАВА II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ.

§ 1. Специальная группа и ее образующие элементы

§ 2. Подгруппы специальной группы и р-специальные группы.

§ 3. Прямые слагаемые и прямые разложения специальной группы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подпрямые суммы абелевых групп без кручения первого ранга»

Актуальность исследования. Особое место в теории абелевых групп занимает теория абелевых групп без кручения конечного ранга, у истоков кото-<ф рой в 30 - 50-х годах стояли JI.C. Понтрягин, А.Г. Курош, А.И. Мальцев, Л.Я.

Куликов, Р. Бэр и другие. В современной теории абелевых групп без кручения конечного ранга переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, модулей, колец, категорий, представлений. В настоящее время теория абелевых групп без кручения второго ранга находится в состоянии интенсивного развития. В 1961 году Р. Бьюмонт и Р. Пирс в совместной статье [10], дали удовлетворительное описание абелевых групп без кручения второго ранга с точностью до квазиизоморфизма. Эта работа послужила началом серьезных исследований абелевых групп без кручения второго ранга.

Р. Бьюмонт и Р. Пирс также ввели класс факторно-делимых групп, кото-^ рые описываются при помощи достаточно простых инвариантов. Используя инварианты Бьюмонта - Пирса, Арнольд построил двойственность в классе факторно-делимых групп. Эту двойственность A.A. Фомин распространил на класс двухтипных групп, который является обобщением класса групп без кручения второго ранга.

Основополагающие результаты по теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга были получены Л.Я. Куликовым. Л.Я. Куликов [20] впервые стал рассматривать подпрямые суммы абелевых групп без кручения. Он показал, что любая счетная ненулевая редуцированная (обобщенно р-примарная) абелева группа без кручения представима в виде подпрямой суммы (обобщенно р-примарных) S-групп, существуют абелевы группы без кручения континуальной мощности, не представимые в виде подпрямой суммы S-rpynn. В.Х. Фарукшин [29] рассмотрел специальную подпрямую сумму типа Q двух групп и нашел необходимое и достаточное условие разложимости этой специальной подпрямой суммы в прямую сумму собственных подгрупп. В.А. Дегтяренко [14] изучала строение подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной группой ), где I - конечное множество. е/

В представленной диссертационной работе изучаются абелевы группы без кручения второго ранга специального вида, для которых оказалось возможным построение числовых характеристик. Цель и задачи исследования: изучить строение подпрямой суммы двух циклических групп; изучить строение подпрямой суммы двух рациональных групп. Методы исследования. Используются методы теории абелевых групп, методы теории чисел, методы теории решеток.

Новизна результатов. Все полученные результаты являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

Построен класс простых специальных групп.

Установлено биективное соответствие между классом простых специальных групп и некоторым множеством упорядоченных пар целых чисел.

Исследована взаимосвязь между простыми специальными группами с различными, неизоморфными, индуцирующими группами.

Построен класс ^-специальных групп, являющийся обобщением класса простых специальных групп.

Установлено биективное соответствие между классом /»-специальных групп и мультипликативной группой обратимых элементов кольца целых р-адических чисел.

Построен класс специальных групп, являющийся обобщением класса р-специальных групп.

Установлено биективное соответствие между классом специальных групп и мультипликативной группой обратимых элементов кольца универсальных чисел.

Получены необходимые и достаточные условия, при которых специальная группа будет разложимой в прямую сумму своих подгрупп.

Практическая ценность. Все результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть применены к изучению различных классов абелевых групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на фк заседаниях семинара по теории абелевых групп и модулей кафедры алгебры

Московского педагогического государственного университета, на секции по естественным наукам Всероссийской научно-практической конференции с участием международных специалистов - «Прогрессивные технологии в машино-и приборостроении» (Нижний Новгород - Арзамас, 2003).

Предварительные сведения. Бесконечную циклическую абелеву группу, которая порождается элементом а, будем обозначать <а>, кольцо целых чисел и его аддитивную группу будем обозначать 2, 2п- кольцо вычетов по модулю п, 2(п) - его аддитивная группа, ее элементы будем обозначать:

0,1,2,., п-1.

Если а - элемент произвольной циклической абелевой группы А, п- целое положительное число, то через [а]пА будем обозначать элемент факторгруппы А/пА, который является смежным классом группы А по подгруппе пА, содержащим элемент а. Если в кольце целых чисел Z два числа тик сравнимы по модулю п, то это условие будем обозначать: т = к (п2).

Для целого положительного числа п через (р(п) будем обозначать известную из теории чисел функцию Эйлера - число целых чисел, взаимно простых с число п, в интервале от 1 до п.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть В и С - подгруппы группы А со свойствами :

В+С=А\

Вг\С= 0.

В этом случае мы будем называть группу А прямой суммой ее подгрупп В и С и писать

А= В Ф С.

Пусть В( (1 е I) - множество групп. Вектором ( ., Ь1, .) над этим множеством групп называется вектор, /-я координата которого при каждом г € I — это некоторый элемент Ь1 е Д. Равенство и сложение векторов определяют-^ ся покоординатно. Таким путем множество всех векторов превращается в группу С, называемую прямым произведением групп Д : с=\\в,. е/

Подгруппа С прямого произведения А абелевых групп называет ся подпрямой суммой групп Аи если для каждого / отображение тс, | С: С А, является эпиморфизмом, где ^zi — проекция прямого произведения А на прямой сомножитель А^.

Известно[34], что группа С является подпрямой суммой абелевых групп А и В тогда и только тогда, когда существуют группа ^ и пара эпиморфизмов у, фл : ^ —» .Г и ц>в'- В —> F таких, что для любых элементов а из группы А и 6 из группы В группа С состоит из всех пар вида (а, Ь) таких, что ср^ {а) = фв (Ь), то есть

С={(а,Ь) | фДя) = фв(6)}. Группу Р будем называть группой, индуцирующей подпрямую сумму С групп А и В, а эпиморфизмы фл и фй будем называть парой эпиморфизмов, определяющих подпрямую сумму С групп А и В для данной индуцирующей группы Р.

Поскольку, при различных парах эпиморфизмов ф^ и фд подпрямые суммы, индуцированные одной и той же группой, различны, то, очевидно, одна группа индуцирует семейство подпрямых сумм групп А и В.

Для индуцирующей группы Р и пары эпиморфизмов ф^ и фв, определяющих подпрямую сумму С групп А и В, введем обозначения: вА = {х е А | ц>А (л) = 0},

Сг={>>€ЕВ|ф5(>>) = 0}. То есть, О а является ядром эпиморфизма ф а и, следовательно, подгруппой группы А, а является ядром эпиморфизма (рв и, следовательно, подгруппой группы В, а прямая сумма © Ов является подгруппой группы О, причем, как известно, фактор-группа С/(Сл© Св) изоморфна каждой из факторгрупп А /Оа и В /Св , которые, очевидно, также изоморфны между собой. Группы Оа и будем называть ядрами подпрямой суммы О групп А и В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Коммутативная диаграмма в —^ А

4 I*

В F где а, р, у 8 - гомоморфизмы, А, В, Г, О - абелевы группы, называется коуниверсальным квадратом, если для любой другой коммутативной диаграммы

С—А

4 1« в ——> г р

Существует однозначно определенный гомоморфизм /: С со свойствами у/= у' и д/= д'.

Таким образом, можем сделать вывод, что группа б является подпрямой суммой абелевых групп А и В тогда и только тогда, когда диаграмма

7 —А

4 I* в^Р в которой а, Д у, 6 - эпиморфизмы, является коуниверсальным квадратом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть {Д} - система групп, занумерованных с помощью индексов, составляющих частично упорядоченное множество I, которое является направленным в том смысле, что для любых г, j е / существует такое к е I, что i<k и j <к. Предположим, что для каждой пары индексов i, j, где i <j, задан гомоморфизм njiAi —> Aj (i <j), причем выполнены условия:

1) 7t/ является тождественным отображением группы А,- при любом i е/;

2) если i <j <к, то зг* я/ = . В этом случае система

А = {Л,-(/€/); я/} называется прямым спектром.

Составим прямую сумму © А, =А групп из прямого спектра А i и возьмем ее подгруппу В. порожденную всеми элементами из А вида ai-KJial (i<j).

Прямым (или инъективным) пределом или просто пределом прямого спектра А называется факторгруппа А/В: lim/ Ai = А/В = А*. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть р - некоторое простое число. Последовательность целых чисел и} = {х0> X/ , ••• > обладающая тем свойством, что хп = Хп.1 ( р") для всех п > 1, определяет новый объект, называемый целым р-адическим числом. Две последовательности {jc„} и {х'„} тогда и только тогда определяют одно и то же целое /7-адическое число, когда хп = х'п (рп+1) для всех п >0.

Последовательность {*„}, в которой

О <хп <рп+', называется канонической. В [13] доказано, что каждое целое р-адическое число определяется некоторой канонической последовательностью. Целые р-адические числа образуют кольцо, которое мы будем обозначать Ър. Прямое произведение ]"[£* колец р-адических чисел по всем простым р будем назы-р вать кольцом универсальных чисел.

Первая глава посвящена изучению класса простых специальных групп. Дадим точное определение данного класса групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Подгруппу О прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп А и В будем называть простой специальной группой, если для некоторого целого положительного числа п * 1, группа С является подпрямой суммой данных групп, индуцированной конечной циклической группой 2(п).

В данной работе получены следующие основные результаты для класса простых специальных групп.

• Существует взаимно-однозначное соответствие / между классом простых специальных групп, индуцированных группой 2(п), для данного целого положительного числа п, и мультипликативной группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю п.

• Для данного целого положительного числа п существует ровно ср(п) различных простых специальных групп, индуцированных группой 2(п).

• Для данного целого положительного числа п любые две простые специальные группы изоморфны.

• Для данного целого положительного числа п любые две простые специальные группы С1 и С2, индуцированные группой 2(п) равны тогда и только тогда, когда /(С^ = ±/(С2).

Далее в первой главе изучается класс простых специальных групп, индуцированных группой 2(п), где п = 2, 3, . Получены следующие основные результаты для данного класса групп.

• Существует взаимно-однозначное соответствие /* между множеством простых специальных групп, индуцированных группой 2(п), где п = 2, 3, . , и множеством упорядоченных пар целых чисел (т, п), где т = /(С), если = (т, п).

Далее вводится отношение включения на множестве простых специальных групп и формулируется необходимое и достаточное условие данного отношения.

• Простая специальная группа С, индуцированная группой 2(п), является подгруппой простой специальной группы С, индуцированной группой 2(п) тогда и только тогда, когда

1) число п 'делится на число п ;

2)ЯО=Г(С)(тойп).

Множество простых специальных групп, индуцированных группой 2(п), где п = 2, 3, . , образует решетку относительно включения, в которой, для любого простого числа р, простая специальная группа, индуцированная группой 2(р), является антиатомом.

В первом параграфе первой главы также изучаются зависимость между рангом подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп и строением ее индуцирующей группы. Основными результатами первого параграфа являются

ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, (7 - подпрямая сумма групп А и В с индуцирующей группой Тогда следующие условия равносильны: 1) Группа С/ имеет ранг 1.

2)<^еев = {(о, о)}.

3) Группа ^ изоморфна группе 2 целых чисел.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть А = < а >, В = </?> - бесконечные циклические абелевы группы. Существует ровно две подпрямые суммы первого ранга групп А и В.

СЛЕДСТВИЕ 2. Подпрямая сумма первого ранга двух бесконечных циклических абелевых групп изоморфна группе целых чисел.

ТЕОРЕМА 1.1.2. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, О - подпрямая сумма групп А и В с индуцирующей группой Г. Тогда следующие условия равносильны:

1) Группа С имеет ранг 2;

2) Прямая сумма йА © С/в содержит в качестве своего элемента пару (а, Ъ), отличную от пары (0,0);

3) Группа ^ изоморфна фактор-группе 2 /п2 группы целых чисел 2 по подгруппе п2 для некоторого целого положительного п не равного единице.

Во втором и третьем параграфах рассматриваются подпрямые суммы ранга два двух бесконечных циклических абелевых групп, имеющие одну и ту же индуцирующую группу, некоторые характеристические свойства элементов таких групп, а также взаимосвязь между такими подпрямыми суммами. Основным результатом второго параграфа также является

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть А = < а > и В = < ¡3 > - бесконечные циклические абелевы группы, пил к- целые числа, не сравнимые с нулем по модулю п в кольце целых чисел 2, и пусть ¿4 - наибольший общий делитель чисел пик, с1т - наибольший общий делитель чисел пит. Тогда выполняются следующие условия:

1) если ¿4 = » то существует простая специальная группа такая, что [ка\: X [т/3\"в с= С;

2) если ¿4 = ¿т ~ 1, то существует единственная простая специальная группа С такая, что [ка]" х [т/3| ¡сС;

3) если с1ь = <1т = с!ф 1, то существует менее или ровно ¿/ различных простых специальных групп С7 таких, что [ка\ "А х [т/3\ ¡сб;

4) если ¿4 Ф с1ш то не существует простой специальной группы С такой, что [каУА х [т/3\"в с в.

Основными результатами третьего параграфа также являются

ТЕОРЕМА 1.3.2. Пусть А -<а> и В=</3> - бесконечные циклические абелевы группы, и Ст - различные простые специальные группы. Если наибольший общий делитель чисел (к - т) и п равен то сумма + содержит прямую сумму с1А Ф сШ в качестве подгруппы. Наоборот, если для некоторого целого положительного числа с1 сумма <3* + <7т содержит прямую сумму с1А Ф с1В в качестве подгруппы и не содержит прямую сумму А Ф с1\В для любого целого положительного числа (Лменьшего с1, то число с1 есть общий делитель чисел (к - т) и п.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть А =< а > и В = < р > - бесконечные циклические абелевы группы, С* и Ст - различные простые специальные группы. Тогда (7* + Ст = А® В тогда и только тогда, когда числа к - т и п взаимно просты.

В частности, если п - простое число, то для любых простых специальных групп О к и От выполняется равенство:

Ск+От= А® В.

В четвертом параграфе изучаются подпрямые суммы ранга два двух бесконечных циклических абелевых групп, имеющие различные, неизоморфные индуцирующие группы, а также решеточные свойства множества всех подпря-мых сумм двух бесконечных циклических абелевых групп. Основным результатом четвертого параграфа также является

ТЕОРЕМА 1.4.5. Пусть А - <а> и В = < ¡3 > - бесконечные циклические абелевы группы, С - простая специальная группа. Группа (7 является максимальной простой специальной группой тогда и только тогда, когда группа С? индуцируется группой 2(р), где р — простое целое положительное число. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Рациональной группой называется абелева группа, изоморфная подгруппе рациональных чисел ().

Очевидно, что ранг такой группы равен единице. Элементы группы Q будем обозначать в виде несократимой дроби —, где т - целое, а п - целое поп ложительное числа. Пусть Р - множество простых чисел, через будем обозначать /-тое простое число, если п - подмножество множества Р, то через ()п будем обозначать множество рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с каждым числом из множества п, через будем обозначать множество рациональных чисел, знаменатели которых являются произведениями степеней чисел из множества п. Если п состоит из одного числа р, то вместо ()л будем писать ()р, а вместо (У будем писать (¿Р. Если а - произвольный элемент рациональной группы, то через (2па будем обозначать множество {та | т едк}.

Во второй главе изучаются классы /»-специальных и специальных групп. Дадим сначала определение р-специальной группы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть А и В - рациональные группы. Упорядоченную пару элементов (а, /3), где элемент а принадлежит группе А, элемент Р принадлежит группе В, будем называть образующим элементом подпрямой суммы С групп А и В, если вА = <а>, вв = <р>. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть р - простое число. Абелеву группу без кручения второго ранга О, будем называть р-специальной, если

1) группа С/ является подпрямой суммой рациональных групп, изоморфных рациональной группе

2) группа й обладает образующим элементом.

Для класса р-специальных групп получены следующие основные результаты.

• Существует взаимно-однозначное соответствие Ф между множеством р-специальных групп и множеством обратимых элементов кольца Ъ*р целых р-адических чисел.

• Пусть С] и (72-/»-специальные группы. Группы О) и (72 изоморфны тогда и только тогда, когда

Ф(вд = ±Ф(в2).

• Пусть р = {т1, гп2, тз, . } - целое р-адическое число, представленное канонической последовательностью, - специальная группа такая, что Ф(С) = р ; (7/, С2, Сз - простые специальные группы, индуцированные группой 2(р1) для каждого числа г = 1, 2, 3, . , соответственно, причем /('СУ = /и,. Тогда

1) для каждого числа 1 = 1, 2, 3, . , соответственно, множество С, является подгруппой группы С? ; р'

2) I < ] тогда и только тогда, когда -С (?, с: —;

Р' Р

3) группа О является объединением возрастающей цепи подгрупп С с .

Р Р Р

Далее изучается класс специальных групп. Дадим определение группы данного класса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Абелеву группу без кручения второго ранга (7 будем называть специальной группой, если

1) группа С является подпрямой суммой делимых рациональных групп;

2)группа С обладает образующим элементом.

Для данного класса получены следующие основные результаты.

• Существует взаимно-однозначное соответствие Ф* между множеством специальных групп и множеством обратимых элементов кольца универсальных чисел. р

• Специальные группы б/ и б; изоморфны тогда и только тогда, когда

Ф*(в,) = ±Ф*(02).

• Специальная группа О разложима в прямую сумму своих подгрупп тогда и только тогда, когда '-) = 1. В этом случае, группа <7 представима в виде прямой суммы делимой рациональной и циклической групп.

• Пусть р = {р/, р2, рз, . } универсальное число, где р1 -р-адическое число, ¡=1,2,., С- специальная группа, причем Ф*(С) = р. Пусть для каждого числа / = 1, 2, . , С1 - /^-специальная группа, причем Ф(С) = р1. Тогда

Основным результатом первого параграфа также является ТЕОРЕМА И. 1.4. Пусть А и В - делимые рациональные группы, С -специальная группа, а - ненулевой элемент группы А, ¡3— ненулевой элемент группы В. Упорядоченная пара (а, Р) является образующим элементом группы С тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любого элемента и группы С, либо и = (¡а, б/З), где ^ и 5 - целые числа, либо т т' и = (—а, —р), п п где т, п, т' — целые числа, отличные от нуля, причем числа т и т' взаимно просты с числом п;

2) для любого натурального числа п и любого целого числа к, если элемент

И = (—ос, —Р) п п принадлежит группе О, то и элементы ж т'+кп .т + кп т' к = (—а,-Р) и V* = (-а, —Р) п п п п также принадлежат группе <7.

Введем следующее обозначение: если А и В - делимые рациональные группы и О - специальная группа с образующим элементом (а, Р), где от - элемент группы А, Р - элемент группы В, то для любого натурального п, отличного от единицы, через Сп будем обозначать подмножество группы С, состоящее из т т , всех пар вида (— а, —Р), где т, т - целые числа, взаимно простые с числом с1 ¿/

4 для каждого натурального делителя с1 числа п.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И. 1.5. Пусть А и В - делимые рациональные группы, С - специальная группа с образующим элементом (а, Р), где а - элемент группы А, р - элемент группы В. Тогда для любого натурального числа п множестл во пОп является подпрямой суммой групп <а> и <Д>, с индуцирующей группой Х(п). Наоборот, если Н - подпрямая сумма групп <оо и <Р>, с индуцирующей группой Х(п), то существует специальная группа (7 такая, что О з п'Н. Основными результатами второго параграфа являются ПРЕДЛОЖЕНИЕ Н.2.1. Пусть А и В - делимые рациональные группы, С - специальная группа Для любого простого числа р, через (Т будем обознат чать подмножество группы и, состоящее из всех пар вида (—та, —-р), где г =

Р' Р'

О, 1,2, . ;т,т' - целые числа, взаимно простые с числомр . Тогда, для любого простого числа р, выполняются условия:

1) подмножество (У группы С является /^-специальной подгруппой;

2) группа (У может быть получена как объединение бесконечной возрастающей цепи своих подгрупп

0, с Ср с Ср' С .сС^с., где О; = <<х> ® <р>. 3) система

С={вр, (/6/); тс/'}, где л/ - естественное вложение Су-» Су (7 <}), образует прямой спектр, причем

Иш/ с;^, = с.

ТЕОРЕМА Н.2.3. Пусть А ж В- делимые рациональные группы, С - специальная группа Тогда имеет место равенство:

С = реР причем, для любых различных простых чисел р ид справедливо равенство: врпа) = оА®вв, где группы САиОв- ядра подпрямой суммы С групп А и В.

ТЕОРЕМА И.2.5. Для данного простого числа р существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех /^-специальных групп с фиксированным образующим элементом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца целых/?-адических чисел.

Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех специальных групп с фиксированным образующим элементом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца универсальных чисел - 2р, где реР

2р - кольцо целых р-адических чисел.

ТЕОРЕМА П.2.9. Пусть А и В- делимые рациональные группы, С/ и О2 -различные специальные группы, имеющие один и тот же образующий элемент (а, р). Тогда

1) для различных простых чисел р и д

2) для любого простого числа р, или

КГ , К! 2, или существует целое число к такое, что в'пО'-О,.

Основным результатами, третьего параграфа являются ТЕОРЕМА П.3.4. Пусть А и В - делимые рациональные группы, О — специальная группа. Группа С разложима, тогда и только тогда, когда она содержит в качестве собственной подгруппы делимую рациональную группу, причем в этом случае группа С представима в виде прямой суммы делимой рациональной и циклической групп.

ТЕОРЕМА П.3.5. Пусть А и В - делимые рациональные группы, Си С-специальные группы с различными образующими элементами. Тогда

1) группа С является собственной подгруппой группы С тогда и только тогда, когда существует целое число т, отличное от единицы, такое, что в'^т-'С;

2) для любого целого числа т, существует специальная группа С, где

С^щ-'С, такая, что группа (7 является подгруппой группы С; СЛЕДСТВИЕ. Пусть О и С — специальные группы с различными образующими элементами. Тогда выполняются следующие условия:

-Л

1)Сс О 'тогда и только тогда, когда О „ с <7 для любого натурального числа пф 1;

2) С с О 'тогда и только тогда, когда С? с; (СУ для любого простого числа Р\

3)для любого натурального числа п Ф 1 существует ровно (р(п) групп С у* содержащих группу С„.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трухманов, Вячеслав Борисович, 2004 год

1. Arnold D.M. A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank // Pacific J. Math. - 1972. V. 42. P. 11 - 15.

2. Arnold D.M. A duality for torsion-free modules of finite rank over discrete valuation ring // Proc. London Math. Soc. V. 24, № 3 1972. P. 204 - 216.

3. Arnold D.M. Finite rank torsion-free groups and rings // Lecture Notes Math. -1982. V. 931.

4. Beaumont R.A., Pierce R.S. Torsion free rings // Illinois J. Math. № 5 1961. P. 61-98.

5. Beaumont R.A., Pierce R.S. Torsion free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. № 38 1961. P. 3 -41.

6. Dubois D.W. Cohesive groups and p-adic integers // Publ. Math. Debrecen V.12, № 1 1965. P. 51-58.

7. Murley C.E. The classification of certain classes of torsion free abelian groups // Pacific J. math. V.40. 1972. P. 647 - 665.

8. Murley C.E. Direct product and sums of torsion-free abelian groups // Proc. American Math. Soc. V. 38, № 2 1973. P. 235 - 241.

9. Richman F. A class of rank 2 torsion free groups // Studies on abelian groups. Paris, 1968.-P. 327-333.

10. Walker E.A. Subdirect sums and infinite abelian groups // Pacific J. Math., №9 -1959. P. 287-291.

11. Warfield R.B. Homomorfisms and duality for torsion free groups // Math. Z. V 107.- 1968. P. 189-200.

12. Биркгоф Г. Теория решеток. М. Наука. 1986.

13. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М., Наука. 1964.

14. Дегтяренко В.А. Подпрямая сумма вполне разложимых абелевых групп без кручения. Деп. в ВИНИТИ 23.10.90. № 5459-В90.

15. Дегтяренко В.А. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклическими группами. Деп. в ВИНИТИ 15.10.92. № 2984-В92.

16. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. №9.-1941. С.165- 182.

17. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. № 16. 1945. С. 129 - 162.

18. Куликов Л.Я. Обобщенно примарные группы // Труды Московского матем. о-ва. № 1. 1952. С. 247 - 326.

19. Куликов Л.Я. Обобщенно примарные группы // Труды Московского матем. о-ва. № 2. 1953. С. 85 - 167.

20. Куликов Л.Я. О прямых разложениях групп // Укр. матем. ж. № 4. 1952. С. 230-275.

21. Куликов Л.Я. Универсально полные абелевы группы // Труды III Всесоюзн. матем. съезда. Москва. 1956. - С. 26 - 28.

22. Куликов Л.Я. Подпрямые разложения счетных абелевых групп без кручения // X Всес. алгебр, коллоквиум. Новосибирск. 1969. - С. 18-19.

23. Куликов Л.Я. О подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // XII Всес. алгебр, коллоквиум. Свердловск. 1973. - С. 30.

24. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., Высшая школа. 1979.

25. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука. 1967.

26. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения с циклическими р-базисными подгруппами // Мат. заметки. Т.20, № 6. 1976. С. 805 - 813.

27. Крылов П.А. О сервантных подгруппах группы целых р-адических чисел // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск, ун-та, 1976. С. 122 - 126.

28. Михелович Ш.Х. Теория чисел. -М., Высшая школа. 1967.

29. Фарукшин В.Х. Эндоморфизмы редуцированных обобщенно примарных групп без кручения . — М., 1982. — 11с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 14 апреля 1982 г. № 1821 82 Деп.)

30. Фомин A.A. Абелевы группы со свободными подгруппами бесконечного индекса и их кольца эндоморфизмов. // Мат. заметки. Т.36, № 2. 1884. С.179.187.

31. Фомин A.A. Двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга // Сиб. матем. ж. Т.21, № 4 1986. С.117 - 127.

32. Фомин A.A. Сервантно свободные группы // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск, ун-та, вып. 6 1986. С. 145 - 164.

33. Фомин A.A. Инварианты и двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга // Алгебра и логика. Т. 26, № 1. 1987. С. 63-83.

34. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы, т.1. М. Мир, 1974.

35. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы, т.2. М. Мир, 1977.

36. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы ранга два бесконечных циклических абелевых групп. Деп. в ВИНИТИ 14.12.01, № 2590-В2001, 26 стр.

37. Трухманов В.Б. Индуцирующие группы подпрямых сумм бесконечных циклических абелевых групп // Перспектива-2. Сб. научных трудов аспирантов, соискателей и молодых ученых АГПИ и АФ НГТУ. Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т, 2002. - С. 54 - 57.

38. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы конечного ранга бесконечных циклических абелевых групп. Деп. в ВИНИТИ 23.10.02, № 1813-В2002, 22 стр.

39. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы второго ранга делимых рациональных групп. Деп. в ВИНИТИ 25.02.04. № 310-В2004, 39 стр.