Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Гриншпон, Самуил Яковлевич

• Гриншпон, Самуил Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гриншпон, Самуил Яковлевич

Введение . 2

I Вполне транзитивность абелевых групп 30

§1. ^-группы.31

§2. Вполне транзитивные семейства абелевых групп и К -монотонность . . 41

§3. Свойства вполне транзитивных К -прямых сумм абелевых групп . 64

§4. Вполне транзитивность периодических групп и их К -прямых сумм . . 71

§5. Условия равенства нулю группы гомоморфизмов.75

§6. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения.84

§7. Вполне транзитивность смешанных групп и К -прямых сумм обобщенно узких групп.94

II Вполне характеристические подгруппы вполне транзитивных групп. Н-группы и х-группы 104

§8. Гомоморфные оболочки подгрупп абелевых групп.106

§9. Вполне характеристические подгруппы вполне транзитивных периодических групп.110

§10. Свойства вполне характеристических подгрупп групп без кручения.

X-группы.113

§11. Вполне характеристические подгруппы К-прямых сумм групп без кручения.122

§12. Смешанные Н-группы.131

§13. Фильтры нижних полурешегок и вполне характеристические подгруппы вполне транзитивных групп.138

III Вполне характеристические подгруппы сепарабельных и вполне тран-зитивно разложимых групп. Группы, близкие к векторным, и их вполне характеристические подгруппы 146

§14. Вполне характеристические подгруппы слабо С-сепарабельных групп

§15. Вполне характеристические и широкие подгруппы абелевых р -групп

§16. Вполне характеристические подгруппы сепарабельных групп без кручения .160

§17. Вполне характеристические подгруппы вполне транзитивно разложимых групп.174

§18. Вполне характеристические подгруппы вполне разложимых групп

§19. Вполне характеристические подгруппы прямых произведений групп без кручения.185

IV f.i.-корректные абелевы группы. Дистрибутивность и обобщенная дистрибутивность решеток вполне характеристических подгрупп 192

§20. Свойства f.i.-корректных групп .193

§21. f.i.-корректность периодических групп.196

§22. f.i.-корректность ^-групп.206

§23. f.i.-корректность вполне разложимых групп без кручения.211

§24. f.i.-корректность to -упорядоченных групп.218

§25. Дистрибутивность и обобщенная дистрибутивность решеток вполне характеристических подгрупп абелевых групп .220

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность»

Теория абелевых групп является одной из важных ветвей современной алгебры. Эта теория активно взаимодействует с различными областями математики: с одной стороны в теории абелевых групп тесно переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, теории модулей, колец, категорий, топологических групп, а с другой стороны теория абелевых групп часто является источником идей для смежных областей алгебры. Широкая применимость абелевых групп в различных областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевых групп в последние годы (см. [Миш1], [Миш2], [МишЗ], [MM], [Mi]).

Важной задачей теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой. Истоки теории вполне характеристических подгрупп абелевых групп лежат в теории линейных операторов векторных пространств, при изучении которых центральную роль играют инвариантные подпространства. Знание строения вполне характеристических подгрупп абелевой группы и их решетки существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств ее колец эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраических систем, связанных с исходной группой (см., например, [Mel], [Rl], [Р], [BEIP], [Миш2], [МишЗ], [Mi]).

Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне инвариантных подмодулей модулей. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп и решетках таких подгрупп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.

Для некоторых достаточно широких классов абелевых р -групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Р. Бэра ([В]), Р. Лингона ([L]), И. Капланского ([К]), К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенпггадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова ([BEIP]), Р. Пирса ([Р]). Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абелевых р -групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского, и в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода такого описания на этот язык.

О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и смешанных абелевых групп, в отличие от примарных групп, известно, вообще, очень мало, что связано в первую очередь с тем, что сами группы без кручения и смешанные группы еще недостаточно изучены. Описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для одного класса однородных групп без кручения получено П. А. Крыловым ([Кр1], [Кр2]), а в [П1] В. С. Пятков описал вполне характеристические подгруппы прямых сумм однородных сепарабельных групп без кручения. Хорошо известен результат Р. Гебеля ([в]) о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп (в частности, прямых сумм и прямых произведений бесконечных циклических групп, а также групп Бэра-Шпекера). В работах А. И. Шапошникова ([Ш1], [Ш2]), А. И. Москаленко ([Мо]) и А. А. Фомина ([Фо]) изучаются сервантные вполне характеристические подгруппы абелевых групп из некоторых классов. Вполне характеристические и сервантные вполне характеристические подгруппы алгебраически компактных групп рассматриваются А. Мадером в [М]. Связь между строением делимой и редуцированной частей абелевой группы специального вида со строением соответствующих частей ее вполне характеристической подгруппы установлена М. Брамре ([Вг]).

В диссертации разрабатывается направление исследования вполне характеристических подгрупп произвольных абелевых групп, тесно связанное с понятием "вполне транзитивность". Основная идея состоит в следующем. Задается некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы, записываемое в терминах высотных матриц элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы, осуществляется, конечно, так, чтобы соответствующие группы составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию Н-группы, то есть такой редуцированной абелевой группы А, в которой всякая вполне характеристическая подгруппа имеет вид А(М) = {а е А | Н(о) ^ М} , где Н(а) — высотная матрица элемента а , М — некоторая и х и> -матрица, элементами которой являются порядковые числа и символы оо. (Заметим, что как вытекает из теоремы 8.5 настоящей работы при изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп молено ограничиться редуцированными группами).

Выделение Н-групп в ряде классов абелевых групп фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.

Всякая Ж-группа, как показано в §2 диссертации, является вполне транзитивной группой, то есть абелевой группой, в которой для любых двух элементов а и Ь таких, что Н(а) ^ Н(6) (Ща), Н(6) — высотные матрицы элементов а и 6 соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь. Обратное, как вытекает из результатов работы, в общем случае неверно, но имеет место для периодических групп.

Для редуцированных абелевых р -групп понятие " вполне транзитивная группа" ввел И. Капланский (редуцированная абелева р -группа называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а и Ь, для которых Н{а) ^ Н(Ь) , где Н{а) , Н(Ь) — индикаторы элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь ([Ф1], с. 11))- И. Капланскому удалось установить, что всякая сепарабельная редуцированная р -группа является вполне транзитивной ([К], с. 58; [Ф2], с. 10-11). Он ставит вопрос (проблема 25 из [Рг]): будет ли любая абелева р -группа вполне транзитивной. В [Н] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная р -группа является вполне транзитивной. Интересные результаты о вполне транзитивных р -группах А, связанные с действием кольца эндоморфизмов В (А) на ршА, получены А. Корнером ([С1]); здесь лее построен пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р -групп ([ГС]). Свойства вполне транзитивных р -групп рассматривались в ряде работ (см. [Миш1], §1; [Миш2], §1).

Понятие вполне транзитивной группы без кручения, то есть такой абелевой группы без кручения, в которой для любых двух элементов а и Ъ таких, что х{а) ^ х{Щ (х(а) ■> х{Ь) —характеристики элементов а и 6 соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ, появилось и применялось для решения различных задач теории абелевых групп в работах [Г8], [Кр1], [Д1] (в этих работах группы с указанным выше свойством назывались транзитивными; позднее в работах разных авторов, включая и авторов перечисленных статей, такие группы стали называться вполне транзитивными). Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (см., например, [АХ], [КрЗ], [Hal], [DS], [AVW], [Д2], [Кр4], [Ч]).

В [Г12] автор и В. М. Мисяков рассматривают понятие "вполне транзитивность" для произвольной абелевой группы, которое формулируется в терминах высотных матриц элементов группы и согласуется с введенными ранее определениями вполне транзитивной р -группы и вполне транзитивной группы без кручения. Вполне транзитивные смешанные р-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [F]. В р-локальных группах по аналогии с абелевыми р -группами можно рассматривать индикаторы (высотные последовательности) элементов и естественно определить вполне транзитивность для таких групп точно так же, как и для р-групп (такое определение вполне транзитивности для р-локальных групп согласуется с определением вполне транзитивности для произвольных абелевых групп из [Г12]). В [F] показано, что редуцированная ранга без кручения 1 р-локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая часть сепарабельна. Вполне транзитивность редуцированной р -адической алгебраически компактной группы установлена А. Ма-дером в [М]. Исследование вполне транзитивности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [Ми1].

Интерес к изучению вполне транзитивных групп объясняется следующими обстоятельствами. Вполне транзитивными являются, например, такие группы, имеющие фундаментальное значение в теории абелевых групп: р -группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы, однородные сепарабельные группы, — которые исследовались в работах JI. Я. Куликова, А. П. Мишиной, Ю. JI. Ершова, Р. Бэра, И. Капланского, Л. Фукса, Е. Сонсяды, Д. Лося и других математиков. К вполне транзитивным группам относятся также квазисервантно инъективные ([R2]) группы без кручения и сильно однородные группы ([А1], [КрЗ]), интенсивно изучающиеся в последнее время (задача изучения свойств квазисервантно инъективных групп сформулирована Л. Фуксом в [Ф1] как проблема 17а). Кроме того, многие подклассы вполне транзитивных групп оказываются весьма широкими и состоящими из групп, ранее не рассматривавшихся. Если еще учесть, что вполне транзитивные группы допускают содержательное изучение, то становится понятной целесообразность их изучения.

Вполне транзитивные группы играют важную роль при исследовании вполне характеристических подгрупп абелевых групп.

В диссертации проведено исследование вполне транзитивных абелевых групп и получено описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для абелевых групп из различных классов. Многие результаты работы связаны с К-прямыми суммами абелевых групп где К — идеал булевой алгебры 1^(1) всех подмножеств множества I. Конструкция К -прямых сумм абелевых групп включает в себя, как частные случаи, прямые суммы и прямые произведения групп. В общем случае о К-прямых суммах абелевых групп известно очень мало. В [Ф1] Л. Фукс ставит проблему 11: исследовать К-прямые суммы циклических групп. В диссертации получены различные свойства К-прямых сумм абелевых групп, позволяющие устанавливать их вполне транзитивность и описывать вполне характеристические подгруппы этих групп. В частности, полученные в работе результаты содержат критерий вполне транзитивности групп из проблемы 11 и описание вполне характеристических подгрупп таких вполне транзитивных групп.

Заметим, что любой результат диссертации, относящийся к К-прямым суммам групп из некоторого класса, справедлив для любой группы из этого класса (достаточно взять индексное множество I одноэлементным).

Методы исследования, развитые в работе, базируются на систематическом использовании введенных и изученных в диссертации понятиях: гомоморфной оболочки, Н-группы, вполне транзитивного семейства групп и семейства групп, удовлетворяющего условию К-монотонности. Применяются также различные методы теории абелевых групп, теории модулей, теории упорядоченных множеств и решеток, некоторые топологические и теоретико-множественные идеи. Переплетение этих методов позволило существенно расширить известные ранее классы вполне транзитивных групп и получить информацию о вполне характеристических подгруппах таких групп. Развитая в работе техника дала возможность описать вполне характеристические подгруппы и их решетки не только для многих классов вполне транзитивных групп, но и для различных теоретико-групповых конструкций, получаемых из исследованных групп (прямых сумм и прямых произведений, прямых пределов,сепарабельных групп), которые уже не являются, вообще говоря, вполне транзитивными группами. Эти конструкции включают в себя как многие известные классы групп, так и новые классы групп.

Из результатов диссертации, относящихся к вполне транзитивным группам, вытекают известные соответствующие результаты С. Файлса, Б. Голдсмита, Ю. Б. До-брусина и В. М. Мисякова. Отметим также, что теорема 4.2 работы выделяет широкий класс групп, дающих отрицательное решение проблемы 25 из [Рг]. В качестве следствий результатов диссертации о вполне характеристических подгруппах абелевых групп получаются известные результаты Р. Гебеля, М. Брамре, Ю. Хау-зен, К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенштадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова, П. А. Крылова, В. С. Пяткова, А. И. Шапошникова.

При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связи их строения со строением самой группы важную роль играет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющее и самостоятельный интерес.

Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы ([Л]). Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ([К]) ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение ([К]), однако в работе [Сг] приведен пример неизоморфных р -групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения пример такого рода был построен в [Э]. В ряде работ исследуется, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (см., например, [Сг], [Ро1], [П1], [Пр]). Понятия, близкие к изоморфизму (почти изоморфизм, квазиизоморфизм и другие), оказадись очень полезными при изучении строения абелевых групп и их колец эндоморфизмов (см., например, [Л],

Кр5], [Ш]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна явилась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [Со] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] георетико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (см., например, [НН], [Ро2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Б], с. 20-21).

Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.

При изучении абелевых групп, почти изоморфных по некоторым подгруппам, удобно считать, что одна группа зафиксирована, а другая — пробегает весь класс абелевых групп. Назовем абелеву группу А О.-корректной, если для любой абеле-вой группы В из того, что А = В' и В = А', где А', В' — вполне характеристические подгруппы групп А и В соответственно (то есть А и В почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам), следует изоморфизм А = В .

В диссертации исследованы свойства О.-корректных групп и получено их описание в ряде классов абелевых групп. Из результатов работы о О.-корректных группах вытекают известные ранее результаты о таких группах.

Одним из важных направлений в теории модулей является изучение дистрибутивных и эндодистрибутивных модулей (модуль называется дистрибутивным (эндо-дистрибутивным), если решетка всех его подмодулей (всех его инвариантных подмодулей) дистрибутивна). Дистрибутивные и эндодистрибутивные модули рассматривались в монографиях [Ко], [Ве], [Пи], они исследовались в большом цикле работ А. А. Туганбаева (см., например, [Т1], [Т2], [ТЗ], [Т4], [Т5]), в работах Г. Е. Пунинско-го ([Пун]), В. Камилло ([Са]), В. Стефенсона ([Э1]) и других авторов (см. [БЛММСТ], [ММСТ1], [ММСТ2]).

В диссертации с помощью описаниея решеток вполне характеристических подгрупп, полученных в работе, проводится исследование дистрибутивности и обобщенной дистрибутивности решеток вполне характеристических подгрупп абелевых групп из различных классов.

Изложим подробнее содержание работы, состоящей из четырех глав.

В §1 главы I рассматривается отображение срс : А —>■ £ абелевой группы в нижнюю полурешетку, обладающее рядом естественных свойств, и вводятся понятия группы вполне транзитивной относительно функции <рс и <рс -группы. Устанавливаются взаимосвязи между этими понятиями. В частности, показано, что любая <рс -группа вполне транзитивна относительно функции (рс (предложение 1.5). Получено описание решетки вполне характеристических подгрупп <рс -групп при некоторых ограничениях на нижнюю полурешетку С, в частности, в случае, когда С — полная нижняя полурешетка (теорема 1.7, следствие 1.10). Полученные общие результаты применяются затем для получения различных фактов о вполне характеристических подгруппах и их решетках для редуцированных р -групп и групп без кручения (теорема 1.15, теорема 1.20, следствие 1.23). В §2 вводится понятие Н-группы и общее понятие вполне транзитивности для произвольной абелевой группы. С помощью результатов §1 устанавливается, что всякая Н-группа является вполне транзитивной группой (предложение 2.3) и описывается решетка вполне характеристических подгрупп Н-групп (теорема 2.4). Дальнейшие результаты этого параграфа и всей главы I связаны с вполне транзитивными группами.

Для изучения вполне транзитивных групп вводится понятие вполне транзитивного семейства групп, а именно, семейство {Ai}iei редуцированных абелевых групп называется вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп (Aj15Aj2), ii,¿2 € I (¿1 может совпадать с выполняется условие: из того, что а £ Ajj b € Ai2 и Н(о) < ЩЬ) следует, что существует <р € Нот(Д1? Aj2) со свойством <р(а) — b. Понятие вполне транзитивного семейства абелевых групп без кручения было введено автором в [Г8] и обобщено для произвольных абелевых групп в [Г12]. В [FG] С. Файле и Б. Голдсмит для изучения вполне транзитивных абелевых р-групп вводят понятие вполне транзитивной пары абелевых р-групп {G\,Gi~} , которая является ничем иным, как вполне транзитивным семейством (в смысле определения из [Г12]), состоящим из двух групп.

В §2 настоящей работы показывается, что всякое семейство редуцированных абелевых групп без кручения, состоящее из алгебраически компактных групп или однородных сепарабельных групп, вполне транзитивно (леммы 2.6 и 2.7).

Назовем группу А прямо тотально проективной, если каждый элемент этой группы вкладывается в тотально проективное прямое слагаемое группы А. р-группа называется 1Т -группой, если она изоморфна изотипной подгруппе некоторой тотально проективной группы ([НМ]). ^-группа С? называется С\ -группой (А — предельное порядковое число), если С /раС — тотально проективная группа для любого а < Л ([\У]). В работе установлено, что семейство редуцированных периодических абелевых групп вполне транзитивно, если каждая примарная компонента группы, входящей в это семейство, является прямо тотально проективной группой или 1Т-группой (предложение 2.12). Из этого предложения вытекает такой результат.

Следствие 2.13. Пусть —семейство редуцированных периодических абелевых групп, каждая примарная компонента которых принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп:

1) классу тотально проективных групп;

2) классу сепарабельных групп;

3) классу С\ -групп длины А для любого порядкового числа А конфиналъного и;

I) классу счетных групп;

5) классу групп Прюфера произвольной длины;

6) классу 1Т -групп.

Тогда семейство групп {А;}ге/ является вполне транзитивным.

Одними из центральных понятий, вводимых в §2, являются понятия К -монотонности и монотонности.

Определение 2.16. Пусть {Сг;}^ — некоторое семейство абелевых групп, К — идеал булевой алгебры *Р(/), С — абелева группа. Будем говорить, что группа удовлетворяет условию К-монотонности относительно семейства {Сч}г-е/ , если для любого элемента д 6 С из выполнения условия: ^ т^Ш^а./)}/^, где а} Е С1, 3 (Е К и Щ ^ ^о следует существование элементов д\,.,дг € С со следующими свойствами: 1) дх +. + дг = д , 2) для каждого элемента ди (к = 1, г) найдется такой элемент а^ ( ^ 6 «/), что Н(^) ^ Ш(а1к).

Для того, чтобы исключить фиктивное вхождение некоторой группы G¿ в семейство {Gi}iei, будем полагать, что К содержит все одноэлементные подмножества (а, значит, и все конечные подмножества) множества I.

Определение 2.18. Пусть {G¿}?6/ — некоторое семейство абелевых групп, К — идеал булевой алгебры V(I). Будем говорить, что семейство групп удовлетворяет условию К-монотонности, если каждая группа Gj (j £ I) удовлетворяет условию К-монотонности относительно семейства {G¿},e/.

Если в определении 2.18 (используя определение 2.16 относительной К-монотонности) вместо условия |,/| ^ записать |,/( < К0, то будем говорить, что соответствующее семейство абелевых групп {Gi}ieI удовлетворяет условию монотонности. Так как мы предполагаем, что все конечные подмножества множества I принадлежат К, то в этом случае можно не требовать, чтобы J £ К .

В работе строятся примеры групп, удовлетворяющих и не удовлетворяющих условию К -монотонности относительно некоторых семейств групп, а также — примеры семейств абелевых групп, удовлетворяющих условиям К-монотонности и монотонности. Показано, в частности, что

1) если {Gi}iei — семейство однородных групп одного и mogo же типа, К — идеал булевой алгебры V(I), то {C¿}¿ef удовлетворяет, условию К -монотонности (лемма 2.21);

2) всякая вполне транзитивная периодическая группа G удовлетворяет условию К -монотонности относительно любого семейства абелевых групп {Gi}ie¡ и любого идеала К булевой алгебры V(I) (теорема 2.22).

В §2 обсуждается также вопрос о переносе определений вполне транзитивных групп и вполне транзитивного семейства групп на нередуцированные группы. Показано, что при изучении вполне транзитивных групп, вполне транзитивных семейств групп и К-монотонности (монотонности) можно ограничиться редуцированными группами.

Центральными результатами §3 являются теоремы 3.1 и 3.5.

Теорема 3.1. Если группа А, являющаяся межпрямой суммой групп A¿ (i € I), вполне транзитивна, то семейство групп {A¡}iei вполне транзит,ивно и удовлетворяет условию монотонности.

Теорема 3.5. А = фкАг- (i € /) — вполне транзитивная группа, если семейство групп {Ai}iEi вполне транзитивно и удовлетворяет условию К -монотонности.

Отсюда, в частности, вытекает критерий вполне транзитивности прямых сумм абелевых групп (следствие 3.6), полученный в [Г12]. Такой критерий для абелевых групп без кручения был получен в [Г8]. Для р -групп Ч. Меджиббен показал, что прямая сумма двух вполне транзитивных групп не обязательно вполне транзитив-на ([Mel]). Из теоремы 3.5 вытекают достаточные условия вполне транзитивности прямого произведения абелевых групп, полученные в [Ми1]. Применяя результаты и методы §§1-3, в последующих параграфах главы удалось значительно расширить известные ранее классы вполне транзитивных групп.

В §4 рассмагивается вполне транзитивность периодических групп и их Непрямых сумм. Хорошо известно ([Ф2]), что р-группы, не содержащие отличных от нуля элементов бесконечной высоты (то есть такие р -группы G, у которых первая ульмовская подгруппа G1 — 0), являются вполне транзитивными. В настоящей работе доказан следующий результат.

Теорема 4.2. Пусть В — не более чем счетная ограниченная р -группа. Существует р -группа G, не являющаяся вполне транзитивной и такая, что G1 = В тогда и только тогда, когда г(В) ^ 2.

Из приведенной теоремы вытекает, что всякая р -группа, первая ульмовская подгруппа которой циклическая, является вполне транзитивной. Эта георема выделяет также широкий класс групп, дающих отрицательное решение проблемы 25 из [Рг].

В этом параграфе получен критерий вполне транзитивности К-прямой суммы периодических групп (теорема 4.4). Установлено, что следующие условия для периодических групп Ai (i £ I) эквивалентны: 1) существует идеал К булевой алгебры

V(I) такой, что ©KAj — вполне транзитивная группа; 2) ф Ai — вполне т,ранiei зитивная группа; 3) Д А, — вполне транзитивная группа; 4) для любого идеала iei

К булевой алгебры V(I) ©KAj —вполне транзитивная группа (следствие 4.5).

Широкие классы вполне транзитивных К-прямых сумм периодических групп описывает следующая теорема.

Теорема 4.6. Пусть А = ©KAj (i Е I), где Ai — периодические группы, каждая примарная компонента которых принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп:

1) классу тотально проективных групп;

2) классу сепарабелъных групп;

3) классу Сх -групп длины А для любого порядкового числа А конфиналъного oj;

4) классу счетных групп;

5) классу групп Прюфера произвольной длины;

6) классу IT -групп.

Тогда А — вполне транзитивная группа.

С помощью приведенных выше результатов показано, что всякая К -прямая сумма алгебраически компактных групп (в частности, любая алгебраически компактная группа) является вполне транзитивной группой (теорема 4.9).

При исследовании вполне транзитивных групп и изучении вполне характеристических подгрупп нам часто требуется информация о том, является ли группа гомоморфизмов Нот (А, С) нулевой для некоторых абелевых групп А и С. Вопрос о равенстве нулю группы гомоморфизмов Нот (А, С) представляет и самостоятельный интерес. §5 посвящен изучению этого вопроса. Пусть 21с — класс всех абелевых групп А со свойством Нот (А, С) = 0. Показывается, что класс 21с замкнут относительно: а) факторгрупп; б) расширений; в) прямых сумм; г) прямых произведений с неизмеримым множеством компонент, если С — узкая группа; д) прямых пределов; е) тензорных произведений на произвольную абелеву группу (теорема 5.1). Устанавливается, что в любой абелевой группе А существует наибольшая подгруппа, принадлежащая классу 21с ; эта подгруппа названа в работе 21с -частью группы А. Показывается, что 21с -часть группы А являет,ся вполне характеристической подгруппой групы А, а если А и С — группы без кручения, то 21 с -часть группы А — сервантная вполне характеристическая подгруппа группы А (предложение 5.6, следствие 5.7). Полностью получен ответ на вопрос, когда группа Нот(А, С) = 0, в случае когда хотя бы одна из групп А , С — периодическая (теорема 5.8, следствие 5.11). В работе также исследуется вопрос о равенстве нулю группы гомоморфизмов Нот(А, С) в случае, когда С — однородная сепарабельная группа, в частности,

С — группа без кручения ранга 1 (см. в связи с этим проблему 30 из [Ф1]). На этот вопрос получен полный ответ для групп А, у которых тип каждого ненулевого элемента их факторгруппы по периодической части не меньше типа группы С (теоремы 5.12 и 5.15). Из полученных в §5 результатов следует описание коузких групп, полученное Л. Димитричем ([D]). Каждая такая группа дает положительное решение проблемы 7 из [Рг]. Вышеперечисленные результаты §5 и методы исследования, примененные в этом параграфе, дают возможность получить следующие факты (следствия 5.13, 5.14, 5.20, 5.21, 5.22 и теорема 5.23):

1. Пусть А — абелева группа. Группа гомоморфизмов группы А в бесконечную циклическую группу равна нулю тогда и только тогда, когда А не содержит бесконечного циклического прямого слагаемого.

2. Пусть А — р -локальная группа, С — редуцированная абелева группа без кручения ранга 1. Нот (А, С) — 0 тогда и только тогда, когда группа А/Т(А) не содержит прямого слагаемого, изоморфного С.

3. Пусть А и С — однородные группы без кручения одного и того же т,ипа, причем С — сепарабельная группа. Нот(А, С) — 0 тогда и только тогда, когда А не содержит прямого слагаемого ранга 1.

4. Во всякой абелевой группе А есть наибольшая подгруппа, не содержащая бесконечного циклического прямого слагаемого; эта подгруппа является вполне характеристической подгруппой группы А, а если А — группа без кручения, то эта подгруппа является еще и сервантной.

5. Группа гомоморфизмов любой алгебраически компактной группы так же, как и любой копериодической группы, в любую редуцированную однородную сепарабельную группу без кручения (в частности, в любую редуцированную группу без кручения ранга 1) равна нулю.

Изучение вполне транзитивных абелевых групп без кручения проводится в §6. В этом параграфе получен критерий вполне транзитивности К -прямых сумм однородных групп (теорема 6.6), из которого вытекают критерии вполне транзитивности вполне разложимых и векторных групп (следствие 6.7).

Л. Прохазка в [Про] ввел понятие сепарабельной группы типа (У4 ). Группа С называется группой типа , если для некоторого простого числа р она изоморфна — аддитивной группе всех целых р-адических чисел. Чтобы подчеркнуть, что группа С изоморфна группе Зр для фиксированного простого числа р, говорят, что <7 — группа типа У* . Группа С называется сепарбельной типа ГР+ (Ур ), если любое ее конечное множество элементов содержится в некотором прямом слагаемом группы С, равном прямой сумме групп типа (З5^ ). Сепарабельной группой типа Ур является, в частности, всякая редуцированная группа без кручения, на которой можно задать структуру унитарного С^* -модуля (— кольцо целых р-адических чисел). Применяя результаты §5 и теорему 6.6, в §6 удается получить удобный критерий вполне транзитивности групп А , представимых в виде А — (г £ I), где каждая группа Ai является однородной сепарабельной группой или сепарабельной группой типа У* для некоторого простого числа р (теорема 6.9).

В §6 вводится понятие однородно сепарабельных групп. Абелева группа А без кручения называется однородно сепарабельной, если существет такое семейство С однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы А можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп семейства С (будем говорить, что семейство С задает однородную сепарабельность группы А). Если Т — множество всех типов групп из семейства С , то для всякого 1 £ Т через С^ обозначается семейство всех таких групп из С , тип которых равен t. Однородно сепарабельными группами являются, в частности, вполне разложимые группы без кручения, сепарабельные группы без кручения, однородно разложимые группы, сепарабельные группы типа Для абелевой группы А обозначим через л(А) множество всех простых чисел р, для которых рА ф А . Доказана следующая теорема.

Теорема 6.13. Пусть А — однородно сепарабельная группа, С = — семейство однородных групп, задающих однородную сепарабельность группы А, Т множество типов групп Ai (I £ I). Следующие условия эквивалентны:

1) А — вполне транзитивная группа;

2) для каждого типа, t € Т семейство групп С4 вполне транзитивно и тг^) Птг(Д2) = 0 , если ф1(Ак) (¡ъ12 Е I);

3) группа А — однородно разложимая группа, причем А^ = {а 6 АЩа) = и {0} — подгруппа группы А для всякого 1 Е Т, « А = — каноничеteт ское разложение группы А, в котором каждая группа А^ вполне транзитивна и тг(А41)Птг(Л2) = 0 при (Ьи12ЕТ).

Эта теорема позволяет получить структурное описание вполне транзитивных сепарабельных групп без кручения и установить, что всякая сепарабельная группа типа является вполне транзитивной однородно разложимой группой.

Следствие 6.14. Пусть А —сепарабельная группа без кручения, Т —множество всех типов ее прямых слагаемых ранга 1. Следующие условия эквивалентны:

1) А — вполне транзитивная группа;

2) для любых неизоморфных прямых слагаемых В и С ранга 1 группы А имеем 7Г(В) Птг(С) = 0;

3) группа А — однородно разложимая группа, причем At = {а € А|1;(а) = <;} и {0} — подгруппа группы А для всякого t € Т, -и А = ф Д; — каноническое разложение группы А, в котором 'к[At1) П = 0 при ^ ф t2 £ Т),

Следствие 6.15. Пусть А — сепарабельная группа типа . Тогда

1) А — вполне транзитивная группа;

2) А — однородно разложимая группа, имеющая каноническое разложение А = ф Ац , где для всякого простого числа р £ тг(А) А^ — р -локальная группа. ретг(л)

В §6 показано также, что всякая К -прямая сумма групп типа вполне транзитивна (теорема 6.16), и получен критерий вполне транзитивности однородно разложимых групп (теорема 6.18). Из результатов §6 вытекает, что всякая К-прямая сумма групп без кручения, на каждой из которых можно задать струтуру унитарного -модуля для некоторого простого числа р, является вполне транзитивной. В частности, вполне транзитивной группой является любая К -прямая сумма групп без кручения, каждая из которых полна в р -адической топологии для некоторого простого числа р.

С. В. Рычковым в [Рыч] было введено понятие обобщенно узких групп, как абеле-вых групп, не содержащих неограниченных копериодических подгрупп и подгрупп, изоморфных группе У] 2. Примерами обобщенно узких групп являются узкие группе пы, счетные редуцированные абелевы группы, периодические редуцированные абелевы группы. В. М. Мисяков в [Ми1] ввел понятие в -обобщенно узких групп, как абелевых групп, в которых всякий элемент бесконечного порядка вкладывается в обобщенно узкое прямое слагаемое. Класс £ -обобщенно узких групп шире класса обобщенно узких групп, в частности, он содержит в себе сепарабельные группы, в том числе и ■ Но

Осовными результатами §7 являются теоремы 7.1, 7.7, 7.9 и 7.15. Теоремы 7.1 и 7.15 дают критерии вполне транзитивности К-прямых сумм 5-обобщенно узких групп и К -прямых сумм произвольных сепарабельных групп (в том числе и смешанных). В теоремах 7.7 и 7.9 рассматривается семейство групп {Л«}^/ , в котором каждая из групп является либо периодической группой, либо группой без кручения. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых такое семейство вполне транзитивно и удовлетворяет условию К-монотонности (теорема 7.7), и при которых группа ФКД, где А{ — в-обобщенно узкие группы, вполне транзитивна (теорема 7.9). В §7 получены критерии вполне транзитивности смешанных вполне разложимых, обобщенно векторных и сепарабельных групп. Напомним, что в [Ме2] абелева группа называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Назовем обобщенно векторной группой абелеву группу, являющуюся прямым произведением групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Получены такие результаты.

Следствие 7.12. Пусть А = ф А( — вполне разложимая группа (г (А») = 1 для всякого % £ / )■ Группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых двух неизоморфных групп без кручения А¡, и А; (к,1 £ I) выполняется

7г(Ак) П 7г(А,) = 0 .

Следствие 7.13. Пусть А = Д Д — обобщенно векторная группа. Группа А е/ вполне транзитивна тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любых двух неизоморфных групп без кручения Ак и А\ (к,1 £ I) выполняется 71 (Ак) П 7Г(А;) = 0 ;

2) для всякого простого числа р , для которого существует не р -делимая группа без кручения Ак (к € I) имеем Д Д = Тр(А), где 1р = {г £ 11 Д — р -группа} .

Из теоремы 7.7 непосредственно вытекает критерий вполне транзитивности расщепляющейся смешанной группы (следствие 7.8), полученный В. М. Мисяковым в [Ми1]. С помощью теоремы 7.9 выделяются широкие классы вполне транзитивных абелевых групп (следствия 7.10 и 7.11).

Для произвольных сепарабельных групп (в том числе и смешанных) получен следующий критерий вполне транзитивности.

Теорема 7.14. Сепарабелъная группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых двух неизоморфных прямых слагаемых без кручения В и С ранга 1 группы А имеем их (В) П -к(С) = 0 .

Для К -прямых сумм сепарабельных групп получен такой критерий вполне транзитивности.

Теорема 7.15. Пусть А = фкД (г £ I), где каждая группа Д — сепарабелъная. Группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) если для простого числа р существует группа Д (1^1), содержащая не р-делимое прямое слагаемое без кручения ранга 1, то ТР(А) — фкТр(Д) ;

2) для любых двух неизоморфных прямых слагаемых без кручения В и С ранга 1 группы А имеем к (В) П тт (С) — 0.

Из теоремы 7.15 непосредственно следует, что всякая "К-прямая сумма сепарабельных периодических групп вполне транзитивна, и то, что вполне транзитивность К -прямых сумм сепарабельных групп без кручения равносильна выполнению условия 2) теоремы 7.15.

Отметим, что из результатов главы I работы вытекают основные результаты В. М. Мисякова о вполне транзитивных группах ([Ми1], [Ми2]). Из результатов главы I вытекают также критерий вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения, полученный Ю. Б. Добрусиным в [Д1] и условие вполне транзитивности прямой суммы абелевых р -групп, полученное С. Файлсом и Б. Голдсмитом ([ГС]).

Во второй главе диссертации изучаются вполне характеристические подгруппы вполне транзитивных групп. В этой главе удалось выделить Н-группы в различных классах абелевых групп, что фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах (результаты первого и второго параграфов работы дают возможность получить и описание решетки вполне характеристических подгрупп в таких группах).

Результаты §8 носят общий характер и применяются затем в главах II и III. В этом параграфе вводится понятие гомоморфной оболочки подгруппы А! группы А в группе В, и с помощью него устанавливаются различные свойства вполне характеристических подгрупп абелевых групп. В §8 доказана теорема 8.5, которая дает представление вполне характеристической подгруппы в абелевой группы А, зависящее от строения делимой и редуцированной частей группы А. Из этой теоремы следует результат М. Брамре ([Вг]) о вполне характеристических подгруппах абелевых групп А вида А = ТфСфЯ, где Т — делимая примарная группа, В — делимая группа без кручения, а Н — редуцированная группа без кручения. В §9 рассматриваются вполне характеристические подгруппы периодических групп. Здесь доказано, что периодическая группа А является И-группой тогда и только тогда, когда А — вполне транзитивная группа (предложение 9.1). Отсюда вытекает, что периодическая часть любой вполне транзитивной группы является Н-группой (следствие 9.2). Основным результатом §9 является следующий.

Теорема 9.4. Пусть А — (( £ I), где А,- — периодические группы.

Группа А является Ш.-группой тогда и только тогда, когда А — периодическая вполне транзитивная группа.

В §§10, 11 изучаются абелевы группы А без кручения, называемые х -группами, то есть такие группы, у которых любая вполне характеристическая подгруппа имеет вид 5 = А{и) — {а £ А| х{а) ^ > гДе у — некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов оо, х(а) — характеристика элемента а. В §2 было отмечено, что группа без кручения А является Н-группой тогда и только тогда, когда А — х-группа. В §10 получены необходимые и достаточные условия, при которых х -группами являются прямые суммы групп (теорема 10.8, следствие 10.9). В этом параграфе вводится понятие точечно однородной группы, как абелевой группы без кручения А, в которой выполняется условие: если характеристики элементов а и Ь группы А содержат символы оо на одних и тех же местах, то тип элемента а равен типу элемента Ь . Доказан следующий результат.

Теорема 10.12. Группа без кручения А, типы любых двух элементов которой сравнимы, является х -группой тогда и только тогда, когда А — точечно однородная вполне транзитивная группа.

С помощью теоремы 10.12 удалось выделить х-группы в классах квазиоднородных и однородных групп (следствия 10.13 и 10.14) и получить описание решетки вполне характеристических подгрупп для вполне транзитивных однородных групп (следствие 10.14). Одним из основных результатов §10 является следующий.

Теорема 10.16. Для квазиоднородной сепарабельной группы А следующие условия эквивалентны:

1) А — вполне транзитивная группа;

2) А — однородная группа;

3) А — Х'гРУппа

В §10 построен также пример вполне транзитивной группы без кручения, не являющейся х-группой. Из результатов §10 следует описание вполне характеристических подгрупп однородных вполне транзитивных групп, полученное П. А. Крыловым ([Кр1], [Кр2]).

Основными результатами §11 являются теоремы 11.1, 11.7, 11.12 и 11.20, выделяющие х-группы в классах таких абелевых групп: однородно сепарабельных, К-прямых сумм однородных групп, К-прямых сумм сепарабельных групп типа . С помощью основных результатов получено полное описание хгРУпп в классах однородно разложимых групп (теорема 11.11), сепарабельных групп без кручения (следствие 11.13), вполне разложимых групп без кручения (следствие 11.18), векторных групп (следствие 11.19). В одном из основных результатов параграфа (теорема 11.20) даются условия эквивалентные тому, что К-прямая сумма сепарабельных групп типа является хгРУп110й- Приведем этот результат.

Теорема 11.20. Пусть А — К.-прямая сумма сепарабельных групп типа . Следующие условия эквивалентны:

1) А — х-группа;

2) для всякого элемента, а £ А множество {р € П | кр{а) ф оо} конечно;

3) А = ф А(р), где А^ — пересечение всех наибольших # -делимых подгрупп р группы А при д^р (q и р —простые числа).

С помощью этой теоремы получаем такие результаты.

1. Всякая сепарабельная группа типа является х -группой, (следствие 11.21)

2. Всякая ненулевая вполне характеристическая подгруппа группы без кручения А, на которой можно задать структуру унитарного -модуля, имеет вид рпА, где п = 0,1,2,. . (следствие 11.22)

3. Пусть А — К -прямая сумма алгебраически компактных групп без кручения. Для группы А эквивалентны условия 1), 2), 3) теоремы 11.20. (следствие 11.23)

Для алгебраически компактной группы без кручения получен следующий результат.

Следствие 11.24. Пусть А — алгебраически компактная группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:

1) А — х -группа;

2) 7г(А) — конечное множество;

3) А = ф Ар, где каждая группа Ар полна в своей р -адической топологии; рек(А)

4) всякая вполне характеристическая подгруппа группы А имеет вид пА', где группа Ар — р -адическая компонента группы А, С реттх (л)

7Г(А), п = 0,1,2,. .

Из теоремы 11.1, доказанной в настоящем параграфе, вытекает известный результат Р. Гебеля ([С]) о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп фк 2.

Описание Н-групп в различных классах смешанных абелевых групп получено в §12. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 12.1, 12.6, 12.7, 12.8. Теорема 12.1 описывает Н-группы в классе расщепляющихся смешанных абелевых групп. С применением этой теоремы показано, что расширение ограниченной группы при помощи однородной сепарабелъной группы или сепарабельной группы типа является Н -группой (следствие 12.4). Отсюда вытекает, что расширение ограниченной группы при помощи группы без кручения, на которой можно задать структуру унитарного Ц* -модуля для некоторого простого числа р (в частности, при помощи группы без кручения, полной в р -адической топологии) является Ш-группой (следствие 12.5). Описание Н-групп в классе р-локальных групп дает следующий результат.

Теорема 12.6. р -локальная группа А является Ш-группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1) А — вполне транзитивная неограниченная р-группа;

2) периодическая часть группы А — ограниченная р -группа, факторгруппа по которой вполне транзит,иена.

Описаны также Н-группы в классе смешанных групп, представимых в виде Непрямых сумм, у которых каждая смешанная компонента расщепляется (теорема 12.7). В §12 получен также критерий расщепляемости К-прямых сумм абелевых групп.

Теорема 12.8. Пусть (7 = фкСг (г € I)— смешанная группа. Группа С расщепляется тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) если Су (] € I) — смешанная группа, то расщепляется;

2) периодическая часть группы С совпадает с К -прямой суммой периодических частей групп С^ (% £ /).

Полагая в этой теореме К =Т'(1), получаем критерий расщепляемости прямого произведения абелевых групп из [Ми1]. С помощью теорем 12.7 и 12.8 в различных классах К-прямых сумм абелевых групп выделены Н-группы (следствия 12.9 и 12.10).

Результаты глав I и II показывают, что в отличие от периодических групп, существуют вполне транзитивные группы без кручения и смешанные группы, не являющиеся Н-группами. В §13 получено полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для вполне транзитивных групп (не обязательно являющихся Ж-группами) из ряда классов групп. В частности, полностью описаны вполне характеристические подгруппы и их решетки для вполне транзитивных К -прямых сумм абелевых групп А, (г £ / ), где каждая группа Ai является периодической группой или однородной группой без кручения (теорема 13.7). Получено полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для К -прямых сумм периодических групп, каждая примарная компонента которых принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп: а) классу тотально проективных групп; б) классу сепарабельных групп; в) классу С\ -групп длины А для любого порядкового числа А конфинального со ; г) классу счетных групп; д) классу групп Прюфера произвольной длины; е) классу IT-групп (следствие 13.9). Получено также полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для К -прямых сумм таких групп: алгебраически компактных без кручения; однородных сепарабельных; групп без кручения, на каждой из которых можно задать структуру унитарного Q* -модуля для некоторого простого числа р (следствие 13.10).

В главе III получено описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для сепарабельных абелевых групп без кручения и р -групп. В этой главе вводится класс вполне транзитивно разложимых групп, содержащий многие известные классы групп, как, например, класс всех прямых сумм однородных сепарабельных групп без кручения, класс всех прямых сумм однородных алгебраически компактных групп без кручения, класс всех вполне разложимых групп без кручения. Для вполне транзитивно разложимых групп получено описание вполне характеристических подгрупп и их решетки. В главе III изучается также строение вполне характеристических подгрупп и их решетки для вполне разложимых смешанных групп и прямых произведений групп без кручения, близких к векторным группам.

Отметим, что исследуемые в этой главе группы не являются, вообще говоря, ни Ж-группами, ни даже вполне транзитивными группами. Однако применяя различные теоретико-групповые конструкции (прямые пределы, прямые суммы, прямые произведения), эти группы можно сконструировать из вполне транзитивных групп. Используя результаты предыдущих двух глав и специальные методы исследования удается получить исчерпывающую информацию о вполне характеристических подгруппах и их решетках для таких групп.

В §14 вводятся понятия сепарабельной и слабо сепарабельной абелевой группы относительно некоторого семейства прямых слагаемых этой группы. Здесь с использованием понятия гомоморфной оболочки дается характеризация вполне характеристических подгрупп слабо сепарабельных групп (теорема 14.6), которая будет применяться в дальнейшем. Исследование вполне характеристических и широких подгрупп абелевых р-групп проводится в §15. В этом параграфе получено новое описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для абелевых р -групп без элементов бесконечной высоты (теорема 15.2, следствие 15.4), а также широких подгрупп и их решетки для абелевых р-групп (следствия 15.3 и 15.6). Из полученных результатов вытекают основные результаты К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенштад-та, Д. Ирвина, Е. Полуянова о широких и вполне характеристических подгруппах абелевых р -групп ([ВЕ1Р]). Исходя из описаний вполне характеристических и широких подгрупп абелевых р-групп, полученных в §15, можно получить значения инвариантов Ульма-Капланского таких подгрупп. В §15 установлен критерий полноты решетки широких подгрупп абелевых р-групп (следствие 15.10), и выяснено, когда решетка вполне характеристических подгрупп периодической абелевой группы является цепью (следствие 15.11).

Полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для сепара-бельных абелевых групп без кручения получено в §16 (теорема 16.8, следствие 16.10). При этом предлагается метод исследования, при котором сепарабельная абелева группа без кручения рассматривается как некоторый прямой предел. В этом же параграфе полностью охарактеризованы сервангные вполне характеристические подгруппы и их решетки для сепарабельных абелевых групп без кручения (следствия 16.11 и 16.14). Из этой характеризации вытекают основные результаты А. И. Шапошникова о решетке сервантных вполне характеристических подгрупп сепарабельных абелевых групп без кручения ([Ш1], [Ш2]).

В §17 рассматриваются вполне характеристические подгруппы однородно разложимых групп А = ф Ах (Т — некоторое множество типов, Аъ — однородная ет группа типа <;), где {А^ет — вполне транзитивное семейство групп. Такие группы названы в работе вполне транзитивно разложимыми. Получено полное описание вполне характеристических подгрупп вполне транзитивно разложимых групп и установлена связь решетки таких подгрупп с решеткой функций со специальными свойствами, отображающих множество Т в множество X всех характеристик (теорема 17.2). С помощью полученного описания вполне характеристических подгрупп установлена связь между некоторыми инвариантами группы и соответствующими инвариантами ее вполне характеристической подгруппы (теорема 17.3). Из полученных в §17 результатов следует описание В. С. Пяткова вполне характеристических подгрупп прямых сумм однородных сепарабельных групп ([П1]).

В [Ме2] известное понятие вполне разложимой группы распространено с групп без кручения на произвольные группы: группа называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1, то есть групп, каждая из которых изоморфна либо подгруппе квазициклической группы Z(p°°) для некоторого простого числа р, либо подгруппе группы Q всех рациональных чисел. В §18 получено полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для вполне разложимых групп (теорема 18.4). В качестве следствий получены результаты о пересечениях вполне характеристических подгрупп с некоторыми подгруппами исследуемых групп (следствия 18.5-18.8). Показано также, что если G — вполне разложимая группа, то любые два разложения группы G в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны, и всякое прямое слагаемое группы G — вполне разложимая группа (предложение 18.3).

В §19 получено описание вполне характеристических подгрупп с некоторым естественным условием на проекции для прямых произведений абелевых групп без кручения из некоторых классов групп; описана также решетка таких вполне характеристических подгрупп (теорема 19.7). Получена характеризация произвольных вполне характеристических подгрупп исследуемых групп (следствие 19.8). В качестве следствий основных результатов §19 получено описание вполне характеристических подгрупп специального вида и их решетки для векторных групп (следствие 19.9). Охарактеризованы также произвольные вполне характеристические подгруппы векторных групп (следствие 19.10).