κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Рогозинский, Михаил Иванович

• Рогозинский, Михаил Иванович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Рогозинский, Михаил Иванович

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Вполне транзитивность и к -вполне транзитивность групп без кручения

§1. Предварительные сведения

§2. £ -длина и к -вполне транзитивность групп без кручения . 31 §3. к -вполне транзитивность прямых сумм групп без кручения

2 к -вполне транзитивные вполне разложимые группы без кручения

§4. Вполне разложимые к -вполне транзитивные группы

кручения при различных значениях к

3 к -вполне транзитивность однородно разложимых и однородно сепарабельных групп без кручения

§6. к -вполне транзитивность однородно разложимых групп

без кручения

§7. А;-вполне транзитивность групп без кручения для всех натуральных к

Литература

Список обозначений

В данной работе под словом «группа» будем подразумевать абелеву группу. Обозначать группы будем большими латинскими буквами ДБ,

Следующими символами будут обозначаться: N - множество натуральных чисел;

Р - множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания;

(¡2 - полная рациональная группа; Z - группа целых чисел;

Нот(А, В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В; Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; А / В - факторгруппа группы А по подгруппе В; ф - прямая сумма; П - прямое произведение;

(ai,

Z(p~) - квазициклическая р-группа (группа типа р00); Q^ - подгруппа группы Q, состоящая из дробей со знаменателями, равными степеням простого числа р;

- подгруппа группы Q, состоящая из дробей со знаменателями, взаимно простыми с простым числом р; о(а) - порядок элемента а; hp{a) - р-высота элемента а;

Ха{о) , х(а) ~ характеристика элемента а группы А; tа{о) , t(a) - тип элемента а группы А; г (А) - ранг группы А;

7Tj для прямой суммы групп ф Gi — проекция на прямое слагаемое

ш

Gi

1(а) - для элемента а из прямой суммы групп ф Gi — множество

iei

индексов г 6 J, таких что 7г^а) ^ 0;

Gt ~ однородная группа без кручения типа t, то есть группа без

кручения, все ненулевые элементы которой имеют тип t.

1т{о) — для элемента а однородно разложимой группы G = ф Gt

teT

— множество типов t G Г, таких что щ(а) ^ 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения»

Введение

Актуальность темы. Одним из интенсивно изучаемых и важных классов теории групп является класс абелевых групп. Теория абелевых групп тесно связана с теорией колец и модулей. С одной стороны, теория абелевых групп опирается на методы теории модулей, с другой стороны, является одним из источников развития этих методов.

В классе абелевых групп значительный интерес представляют группы, насыщенные эндоморфизмами. К таким группам относятся вполне транзитивные абелевы группы. Первоначально, понятие вполне транзитивности возникло в контексте изучения вполне характеристических подгрупп р-групп, но вскоре приобрело самостоятельную ценность как объект исследования.

Для редуцированных абелевых р-групп понятие «вполне транзитивность» ввел И. Капланский: редуцированная абелева р-группа называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов а и Ь, для которых Н(а) < Н(Ь), где Н{а), Н(Ь) — индикаторы элементов а и Ъ

соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ ([14]). И. Капланский показал, что всякая сепарабельная редуцированная р-группа является вполне транзитивной. Далее, он ставит вопрос, будет ли всякая р-группа вполне транзитивной.

В [29] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная р-группа является вполне транзитивной. А. Корнер ([21]) изучал вполне транзитивные р -группы в связи с действием кольца эндоморфизмов Е(А) на ршА. Он построил пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р -групп ([25]). Свойства вполне транзитивных р-групп рассматривались в ряде работ (см., например, [12], [13], [26]).

В [2] показано, что всякая р-группа, первая ульмовская подгруппа которой циклическая, является вполне транзитивной. С.Я. Гриншпоном доказана теорема ([2]), выделяющая широкий класс р-групп, не являющихся вполне транзитивными.

П.А. Крылов в [7] по аналогии с понятием вполне транзитивности для р -групп вводит понятие вполне транзитивной абелевой группы без кручения.

Редуцированная абелева группа без кручения называется вполне транзитивной, если для любых двух элементов а и Ь, таких, что х(а) ^

х(Ь), где х(а); х(^) — характеристики элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь.

Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (см., например, [2], [3], [5], [6], [8], [9], [10], [16], [17], [18], [19], [22], [27], [28]).

В [4] С. Я. Гриншпон и В. М. Мисяков рассматривают понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы (в том числе и нередуцированной), которое формулируется в терминах высотных матриц и согласуется с соответствующими понятиями для р-групп и групп без кручения. Это понятие уточнялось в [2]. Вполне транзитивные смешанные р-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [24]. Там же показано, что редуцированная ранга 1 без кручения р -локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая часть сепарабель-на. Вполне транзитивность редуцированной р-адической алгебраически компактной группы установлена А. Мадером в [31]. Исследование вполне транзитивности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [11].

Ряд содержательных результатов о вполне транзитивных группах и их К -прямых суммах получены С. Я. Гриншпоном ([1], [2], [3]).

Естественным обобщением вполне транзитивности является понятие

к -вполне транзитивности. Истоки этого понятия лежат в известной теореме линейной алгебры, говорящей о том, что всякую линейно независимую систему, состоящую из п векторов, можно перевести линейным оператором в произвольную систему, состоящую из того же количества векторов.

Понятие к -вполне транзитивности для абелевых р -групп ввел в [20] Д. Кэрролл в следующем виде.

Пусть (7 — абелева р-группа и к € N. Группа С называется к-вполне транзитивной, если для любых кортежей X = (а?!, ...,Хк), У — (т/1, ...,Ук) элементов группы С? из выполнения условий:

(1) Н{хг) < Н(уг) для всех г = 1,к]

(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при г ^ j ф для всех целых г, я, кроме случая гх{ = вх^ = 0;

следует существование эндоморфизма в £ Е(С) со свойством в(хг) = Уг (г = 1, к).

Там же Д. Кэрролл показал, что тотально проективные и сепарабель-ные р -группы являются к -вполне транзитивными для всех к £ N.

В настоящей диссертационной работе вводится понятие А;-вполне транзитивности для абелевых групп без кручения.

Пусть — абелева группа без кручения и к Е N. Кортеж X = (х1,...,хк) ненулевых элементов группы С? назовем Ь -независимым, ес-

ли при ¿/] несравним с для всех г, у = 1, к.

Пусть С— абелева группа без кручения и к £ N. Группа С называется & -вполне транзитивной, если для любых кортежей длины & X = {х\,..., ж/с); У = (г/1,.... Уа;) элементов группы С из выполнения условий:

(1) < хЫ для всех г = 1,/с;

(2) кортеж X — -независим;

следует существование эндоморфизма в группы , такого что в(х{) = у{ для всех г = 1, к.

Показано, что замена условия Ь -независимости кортежа X на его линейную независимость значительно сужает класс рассматриваемых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование свойств к -вполне транзитивных абелевых групп без кручения и описание к -вполне транзитивных групп в различных классах абелевых групп без кручения.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, а также некоторые идеи и факты, связанные с комбинаторикой.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать

следующие.

• Найдено значение Ь -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

• Исследована связь между 1-независимостью и линейной независимостью в к -вполне транзитивных группах.

• Доказано, что абелева группа без кручения к -вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда А;-вполне транзитивна ее редуцированная часть.

• Показано, что вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются к -вполне транзитивными для всех к > 1.

• Найдены необходимые и достаточные условия к -вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.

• Для вполне разложимых групп с жесткой системой прямых слагаемых ранга 1 доказано, что из А;-вполне транзитивности для некоторого к > 1 следует (к + 1) -вполне транзитивность. При этом приведены примеры, когда обратное неверно.

• Полностью описаны однородно сепарабельные (в том числе однородно разложимые, сепарабельные и вполне разложимые) группы без кручения, являющиеся к -вполне транзитивными при всех /с € N.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использо-

ваны в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для бакалавров, магистрантов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на XIII Всероссийской конференции студентов, апирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2009), Международных молодежных научных форумах «Ломоносов-2011», «Ломоносов-2013» (Москва, 2011. 2013), на II Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск,

2011), на всероссийском симпозиуме «Абелевы группы и модули» (Бийск,

2012), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию Механико-математического факультета (Томск, 2013).

Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета и дважды — на семинаре кафедры алгебры Московского государственного педагогического университета (2011, 2013). По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Данная диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы, работа изложена на 80 страницах. Библиография содержит 39 наименований.

Содержание работы. Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

В первой главе диссертации вводятся ключевые понятия 1-длины и А;-вполне транзитивности для групп без кручения и рассматриваются некоторые общие свойства данных понятий.

Первый параграф содержит основные определения и известные результаты, используемые в работе.

Во втором параграфе вводятся понятия Ь -независимости, t-длины и к -вполне транзитивности для групп без кручения. В этом параграфе исследована связь между t-независимостью и линейной независимостью и найдены значения 1 -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.

Условие контрастности для типов было введено в [1] и означает следующее.

Говорят, что однородно разложимая группа С = ф (Т — неко-

гет

торое множество типов) удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух типов ^^ Е Т и любого простого числа р, такого что рС?^ С^ , имеет место р(?£2 = .

1-длина группы Сг (обозначается ) — это наибольшая длина 1-

независимого кортежа в группе С. Если в группе С? для всякого к Е N существует t-независимый кортеж длины к, то полагаем = со.

Основными результатами второго параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.4. Пусть С = ф ^ — однородно разложимая редуци-

гет

рованная группа. Если С удовлетворяет условию контрастности для

Га]

типов, то к^С) — Сп , если \Т\=п и £^((7) = оо, если \Т\ > ^о •

Теорема 2.6. Пусть к > 2 и С является к -вполне транзитивной группой. Тогда всякий Ь -независимый кортеж длины к является линейно независимым.

Третий параграф первой главы посвящен изучению семейства прямых слагаемых к -вполне транзитивных групп без кручения. В этом параграфе также установлено, что при исследовании к -вполне транзитивных групп без кручения можно ограничиться редуцированными группами. В начале параграфа вводится следующее понятие. Пусть к Е N и М = семейство групп без кручения. Се-

мейство М назовем к -вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп (С^, г, у е I и любых двух кортежей

X — [х\,..., Хк)\У = (у1,...,ук) элементов групп соответственно

из выполнения условий

(1) хОг) < х(Уг) для всех 1=1, к;

(2) кортеж X — Ь -независим;

следует существование 0 6 Нот(Сг, С^), что в{х^ = Уг (г = 1, к).

Основными результатами третьего параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть к £ N. Если группа без кручения С = ф яв-

ге/

ляется к-вполне транзитивной группой, то семейство М = {СчКег является к -вполне транзитивным семейством групп.

Теорема 3.5. Группа без кручения (7 к -вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда к -вполне транзитивна ее редуцированная часть.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованиям к -вполне транзитивности вполне разложимых групп.

Для вполне разложимых групп ранга 2 получен следующий результат. Теорема 4.1. Вполне разложимые группы без кручения ранга 2 являются к -вполне транзитивными для всех к > 1.

Далее в параграфе 4 рассматриваются вполне разложимые группы

С = ф Аг, семейство прямых слагаемых ранга 1 которых обра-

ге/

зует жесткую систему групп. Для таких групп получены необходимые и достаточные условия к -вполне транзитивности для произвольного натурального к.

Для удобства введем следующее обозначение. Для всякого J С I обозначим 1;,/ = т£ ^ . В частности, если 3 = {г} , то tJ = ^ = 1(Аг).

Теорема 4.5. Пусть G = ф Л — вполне разложилшя группа, се-

iei

Aieücmeo прямых слагаемых ранга 1 которой {Ai}iGl образует жесткую систему групп, и пусть к £ N. Группа G является к -вполне транзитивной тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств J\i 1/2; •■•; Jk С I, таких что типы tjm и tjn несравнимы при тф п, выполнены условия I- JmC\Jn — & пРи т ^ п;

II. группы Gm = ф А( удовлетворяют условию контрастности для типов (т - 1, к) ;

III. если для некоторого конечного мноэ/сества J С I и числа т = 1, к справедливо tj > tjm, то J С Jm.

В пятом параграфе рассмотрена зависимость между к -вполне транзитивностью и (к + 1) -вполне транзитивностью для групп указанного строения. Доказан следующий результат.

Теорема 5.1. Пусть G = ф^ — вполне разложимая группа, се-

iei

мейство прямых слагаемых ранга 1 которой {Ai}i€l образует жесткую систему групп. Если группа G является к -вполне транзитивной для некоторого k > 1, то G также (к + 1) -вполне транзитивна.

В этом параграфе приведен пример вполне разложимой 3-вполне транзитивной группы, не являющейся 2-вполне транзитивной, а также пример вполне разложимой группы, не являющейся к -вполне транзи-

тивной ни для какого к Е N.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованию к -вполне транзитивности однородно разложимых и сепарабельных групп.

Шестой параграф начинается с описания условия контрастности для типов в более удобной для дальнейшего исследования форме.

Предложение 6.1. Однородно разложимая группа G = ф Gt у doter

влетворяет условию контрастности для типов тогда и только тогда, когда для любых различных t\, Е Т тип t\ • ¿2 ~~ делимый.

Следующий результат описывает связь между вполне транзитивностью и к -вполне транзитивностью для однородно разложимых групп.

Теорема 6.3. Пусть G = ф Gt — однородно разложимая группа,

ter

причем |Т| >2. Если G вполне транзитивна, то G не является к-вполне транзитивной для всех к, таких что 1 < k < kt(G) .

Напомним определение однородно сепарабельной группы. Группа без кручения G называется однородно сепарабельной, если существует такое семейство С однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы G можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп из семейства С, ([3]).

В параграфе 7 исследуется к -вполне транзитивность однородно се-

парабельных групп (в том числе вполне разложимых, сепарабельных и однородно разложимых групп без кручения) при всех значениях к. Доказаны следующие результаты.

Теорема 7.1. Однородно разложимая группа (2 = ф (7г является

гет

к -вполне транзитивной для всех к £ N тогда и только тогда, когда С удовлетворяет одному из следующих условий: (/) О — однородная вполне транзитивная группа; (II) С = С^ ф Сгг2, где — вполне транзитивные группы раз-

личных типов, причем ■ ¿2 —делимый тип.

Теорема 7.2. Однородно сепарабельная группа без кручения С является к -вполне транзитивной для всех к £ N тогда и только тогда, когда либо С — однородная вполне транзитивная группа, либо представима в виде = С?^ ф , где , — однородные вполне транзитивные группы различных типов ¿1, ¿2? причем тип ¿1 - ¿2 ~~ делимый.

Следствие 7.3. Сепарабельная группа является к-вполне транзитивной для всех к £ N тогда и только тогда, когда С — однородная группа или £ представима в виде прямой суммы двух однородных групп различных типов и удовлетворяет условию контрастности для типов.

Для формулировки следующего результата, нам понадобится следующее обозначение: /г(а) — для элемента а однородно разложимой группы

G = ^ Gt — это множество типов Ь £ Т, таких что щ{а) ^ О {щ — ¿ег

проекция группы на прямое слагаемое Gt ).

Теорема 7.4. Пусть С — вполне разложимая группа м С = 0

ьет

— ее каноническое разложение. Эквивалентны следующие утверждения:

1. Группа (7 к-вполне транзитивна для всех к Е М;

2. С — однородная группа или С = ф , причем ¿1 • ¿2 ~~ делимый тип;

3. (7 удовлетворяет условию контрастности для типов и

ЫС)<2;

4. С удовлетворяет условию контрастности для типов и \Т\<2;

5. С удовлетворяет условию контрастности для типов и для любых элементов а, Ъ Е С с несравнимыми типами справедливо 1т(а)[)1Т(Ъ) = 0.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Самуила Яковлевича Гриншпона за постановку задач, внимание к моей научной работе, помощь в оформлении статей и данной диссертации.

Глава 1

Вполне транзитивность и к-вполне транзитивность групп без кручения

В этой главе три параграфа. В первом параграфе приводятся известные факты, используемые в дальнейшем при изучении А;-вполне транзитивных групп без кручения. Во параграфе 2 даются основные определения 1-независимости кортежа элементов, 1-длины и к -вполне транзитивности группы без кручения и исследуются общие вопросы к -вполне транзитивности групп без кручения. В третьем параграфе изучается к-вполне транзитивность прямых сумм групп без кручения и доказываются некоторые общие утверждения.

§1. Предварительные сведения

Основными понятиями для групп без кручения являются понятия характеристики и типа.

Пусть С — группа без кручения. Для элемента д Е С? максимальное натуральное число к при данном простом числе р, для которого в группе С разрешимо уравнение ркх = д, называется р-высотой кр(д) элемента д\ если такого числа не существует, то полагаем Кр[д) = сю.

Последовательность р -высот

хЫ = ( V---; VI---)

где р\,... ,рп,... - последовательность всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностью элемента д. Так как характеристика зависит от группы (7, иногда пишут Хс(дО, чтобы подчеркнуть роль С.

Пусть XI = ■ • •, К, ■ ■ •) и Х2 = (¿ъ • • • Л, • ■ •) — характеристики. Будем говорить, что \\ < Х2, если кп < 1п для всех п.

Если XI = (^15 ■ ■ ■ 5 • • •) и Х2 = (¿1, • • •, ¿п, ■ • •) — характеристики, то их произведение определяется как характеристика

XI • Х2 = (к\ + 11,...,кп + 1п,...) где, естественно, оо плюс нечто есть оо.

Частное Xi Х2 двух характеристик xi > Х2 определяется как наибольшая характеристика х, для которой X ' Х2 < Xi ■

Две характеристики (fei,..., кп,...) и (Ii,..., 1п,...) считаются эквивалентными;, если неравенство кп ф 1п имеет место лишь для конечного числа номеров п и только тогда, когда кп и 1п конечны. Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если х(д) принадлежит типу t, то говорят, что элемент д имеет тип t, и пишут t(g) = t или t<5(д) = t, если необходимо указать, что тип элемента д рассматривается в группе G.

Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу. Другими словами, пишут

t = (к\,..., кп,...)

понимая, что характеристику (ki,..., кп,...) можно заменить на эквивалентную.

Для двух типов ti и t2 полагают ti < t2 , если существуют две такие характеристики Xi и Х2, принадлежащие типам ti и t2 соответственно, что Xi <Х2-

Так как умножение характеристик согласовано с отношением эквивалентности в множестве характеристик, то во множестве типов можно ввести, естественным образом, произведение и частное типов.

Отметим, что для любого гомоморфизма : G* —» и элемента g Е G имеет место неравенство t (g) < (t((p(g)).

Группа без кручения G, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип t, называется однородной группой (типа t). Если однородная группа имеет тип t, то пишут t(Cr) = t. Понятно, что всякая группа без кручения ранга 1, а также всякая делимая группа является однородной.

Тип t называется Pk -делимым (рк £ Р, где Р — множество всех простых чисел, занумерованных в порядке возрастания), если у любой характеристики г; £ t на А;-ом месте стоит символ со. Если А — однородная группа типа t и тип t — рк-делим, то pkA — А.

Тип t называется делимым, если он рк -делим для всех рк £ Р.

Пусть А — произвольная группа. Конечная система {ai, <22,.. ., ак} ненулевых элементов группы А называется линейно независимой или просто независимой, если из равенства

ruai + п2а2 + ... + пкак = 0 (щ £ Z)

вытекает, что

niai = П2<22 = ... = пкак = 0

Данное условие означает, что если порядок элемента бц бесконечен, то щ = 0; если порядок элемента а^ конечен, то щ делится на порядок

элемента щ.

Система элементов называется зависимой, если она не является независимой.

Бесконечная система элементов Ь = {щ}^ называется независимой, если любая конечная подсистема элементов из Ь является независимой.

Предложение 1.1. ([15], с.133) Пусть А и В - группы без кручения ранга 1. Если неравенство Ь{Л) < Ь(В) не имеет места, то Нот(А, В) = 0. Если же Ь(А) < Ь{В), то Нот(А, В) является группой без кручения ранга 1 и имеет тип Ь(В) : Ь(А).

Группа С? называется вполне разложимой группой, если она является прямой суммой групп ранга 1, то есть групп, каждая из которых изоморфна либо ненулевой подгруппе квазициклической группы Ъ (р°°) для некоторого простого числа р, либо ненулевой подгруппе полной рациональной группы <0>.

Предложение 1.2. ([15], с.134) Любые два разложения вполне разложимой группы без кручения в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны.

Пусть С — сервантная подгруппа группы С. Элемент а € С \ С

назовем собственным относительно С, если х(в) ^ х{9 + с) Для всех с £ С. Это условие равносильно тому, что Хс{д) — Хс/с{9 + С).

Сервантная подгруппа Н группы С называется сбалансированной, если каждый смежный класс факторгруппы С/Н содержит собственный элемент.

Теорема 1.3. ([15], с.137) Прямые слагаемые вполне разложимых групп без кручения вполне разложимы.

Группа без кручения (7 называется сепарабелъной, если каждое конечное подмножество элементов из С содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы .

Предложение 1.4. ([15], с.141) Однородная группа А сепарабельна тогда и только тогда, когда каэюдая ее сервантная подгруппа, имеющая конечный ранг, служит для А прямым слагаемым.

Следствие 1.5. ([15], с.142) Сервантные подгруппы однородных сепарабельных групп сепарабельны.

Теорема 1.6. ([15]) Прямые слагаемые сепарабельных групп сепарабельны.

Группа Б называется делимой, если пИ = П для любого натурального числа п. Отметим некоторые свойства делимых групп.

Теорема 1.7. ([14], с.118)

1) Если Бг (г £ I) — делимые подгруппы группы А, то и ^

гб/

делимая подгруппа группы А.

2) Прямая сумма и прямое произведение являются делимыми группами тогда и только тогда, когда каждая компонента является делимой группой.

Теорема 1.8. ([14], с.124) Всякая делимая группа И является прямой суммой квазициклических групп и групп, изоморфных полной рациональной группе. Мощности множеств компонент Ъ(р°°) (для каждого р) и Q, составляют полную и независимую систему инвариантов группы И.

Группа С называется редуцированной, если она не содержит ненулевых делимых подгрупп.

Теорема 1.9. ([14], с. 121) Всякая группа А является прямой суммой делимой группы В и редуцированной группы С, А = И ф С. Подгруппа Б группы А здесь определена однозначно, подгруппа С — однозначно с точностью до изоморфизма.

Подгруппа В группы А, которая отображается в себя при всяком эндоморфизме группы А, называется вполне характеристической.

Проводя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 9.3 из [14], получаем такой результат.

Теорема 1.10. Если А = ф А{ и Б — вполне характеристическая

Ш

подгруппа группы А, то 5 = ф(5'Р|Лг-), где — вполне харак-

теристическая подгруппа группы А{ для каждого г £ I.

Множество групп без кручения {СгЬе/ называется жесткой системой, если Нот(С?г, = 0 при г ^ ] и Нот(Сг, = Я, где Я — подгруппа группы <0>.

Группа И называется инъективнощ если для любой диаграммы

О

А-9и В

И

с точной строкой существует гомоморфизм г] Е Нот (В, И), превращающий эту диаграмму в коммутативную.

Теорема 1.11.([14]) Делимые группы иньективны.

Свободной абелевой группой называется прямая сумма бесконечных циклических групп.

Теорема 1.12.([14]) Группа Р является свободной группой тогда и только тогда, когда всякое отображение множества X образующих группы Р в группу А может быть продолжено до (ровно одного) гомолюрфизма ф : Р —> А.

Группа без кручения (7 называется вполне транзитивной, если для любых ее ненулевых элементов а, Ь таких что х (а) < X (&) > существует эндоморфизм в группы С такой, что в (а) = Ь ([7]).

Семейство групп без кручения {Сг}^/ называется вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп С^), 1,3 Е / (г может совпадать с з) выполняется условие: из того, что О ф а Е бгг, 0 ф Ъ Е О] к х{°) ^ х{Ь) 5 следует существование (р Е Нот(Сг,^) со свойством (р(а) = Ъ ([1]).

Говорят, что семейство групп без кручения {Сч^е/ удовлетворяет условию монотонности, если для каждой группы С^ (у £ I) и для любого элемента д £ О^ из выполнения условия 'т{{х(сц)}1е1 < х{з) гДе а1 £ Сч > 3 ~~ конечное множество следует существование элементов д\,...,дТ £ со следующими свойствами

1) дх + ... +дг = д-

2) для каждого элемента д^ (к = 1, г) найдется такой элемент Щк (1к £ 7), что хЫ > Х(Ч), (И).

Несложно показать, что если семейство групп вполне транзитивно, то всякое его подсемейство также вполне транзитивно. Если семейство групп удовлетворяет условию монотонности, то и всякое его подсемейство удовлетворяет этому свойству.

Теорема 1.13. ([1]) Группа без кручения С = фбч вполне транзи-

¿е/

тивна тогда и только тогда, когда семейство групп вполне

транзитивно и удовлетворяет условию монотонности.

Группа без кручения называется однородно разложимой, если она представима в виде прямой суммы однородных групп. Сгруппировав од-

нородные компоненты одного и того же типа, для однородно разложимой группы С получим каноническое разложение С = где Т —

ьет

некоторое множество типов, — однородная группа типа 1.

Говорят, что однородно разложимая группа 6? = ф удовлетво-

ге т

ряет условию контрастности для типов, если для всяких двух типов € Т и любого простого числа р, такого что рб^ ф , имеет место рвг2 = ([2]).

Предложение 1.14. ([2]) Однородно разложимая редуцированная группа вполне транзитивна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов и каждая однородная компонента её канонического разложения вполне транзитивна.

Следствие 1.15. ([2]) Вполне разложимая группа вполне транзитивна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов.

Пусть (7 = ф — однородно разложимая группа. Для всякого геТ

Т\ С Т обозначим Отг — ф .

ьеТу

В частности, если Т\ = {1}, то Сг^ = , если Т\=Т, то = С.

Теорема 1.16 ([3]) Редуцированная сепарабельная группа без кручения С вполне транзитивна тогда и только тогда, когда С — однородно разложимая вполне транзитивная группа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рогозинский, Михаил Иванович, 2013 год

Литература

[1] Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. — 1982. - С. 56-92.

[2] Гриншпон С. Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент, и прикл. матем. — 2002. - Т. 8. - № 2. - С. 407-473.

[3] Гриншпон С. Я. Вполне транзитивные однородно сепарабельные группы // Матем. заметки. — 1997. — № 62. — С. 471-474.

[4] Гриншпон С. Я. О вполне транзитивных абелевых группах / С. Я. Гриншпон, В. М. Мисяков // Абелевы группы и модули. — 1986. — С. 12-27.

[5] Добрусин Ю. Б. Квазисервантно инъективные и транзитивные абелевы группы без кручения // Рукопись деп. в ВИНИТИ. — 1977. № 2942-77 ДЕП.

[6] Добрусин Ю. Б. Квазисервантно инъективные группы // Абелевы группы и модули. — 1979. — С. 45-63.

[7] Крылов П. А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник асп. работ по матем. — 1973. — С. 1520.

[8] Крылов П. А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. ж. - 1983. - № 2. - С. 77-84.

[9] Крылов П. А. Некоторые примеры квазисервантно инъективных и транзитивных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. - 1988. - Вып. 7. - С. 81-99.

[10] Крылов П. А. Вполне транизтивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29. - № 5. - С. 549-560.

[11] Мисяков. В. М. Вполне транзитивность редуцированных абелевых групп // Абелевы группы и модули. — 1994. — С. 134-156.

[12] Мишина А. П. Абелевы группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 10. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - 1972. - С. 5-45.

[13] Мишина А. П. Абелевы группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - 1979. - С. 3-63.

[14] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы / JL Фукс — М.: Мир, 1974.

- Т. 1. - 335 с.

[15] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс — М.: Мир, 1977.

- Т. 2. - 416 с.

[16] Чехлов А. Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журнал. - 2001. - Т. 42. - № 3. - С. 714-719.

[17] Чехлов А. Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69/ - №6/ - С. 944-949.

[18] Чехлов А. Р. Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга // Алгебра и логика. — 2001. — Т. 40. — № 6. — С. 698-715.

[19] Arnold D. М. Strongly homogeneous torsion free abelian groups of finite rank // Proc. Amer. Math. Soc. - 1976. - V. 56. - P. 67-72.

[20] Carroll D. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. — 1994.

- Vol. 63. - P. 9-16.

[21] Corner A. L. The independence of Kaplansky's notions of transitivity and full transitivity // Quartery J. Math. - 1976. - V. 27. - P. 15-20.

[22] Dugas M. E-transitive groups in L / M. Dugas, S. Shelah // Contemp. Math. - 1989. - V. 87. - P. 191-199.

[23] Engel K. Sperner theory // Camb. Univ. Press. — 1997. — 120 p.

[24] Files S. On transitive mixed abelian groups // Lect. Notes, in Pure and Appl. Math. - 1996. - V. 182. - P. 2-251.

[25] Files S. Transitive and fully transitive groups / S. Files, B. Goldsmith // Proc. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 126. - № 6. - P. 1605-1610.

[26] Griffith P. Transitive and fully transitive primary Abelian groups // Pacific J. Math. - 1968. - V. 25. - № 2. - P. 249-254.

[27] Grinshpon S. Ya. Fully invariant subgroups, full transitivity and homomorphism groups of Abelian groups / S. Ya. Grinshpon, P. A. Krylov // Journal Math. Sciences. - 2005. - V. 128. - №3.- P. 28942997.

[28] Hausen J. E-transitive torsion-free abelian groups //J. Algebra. — 1987. № 1. - P. 17-27.

[29] Hill P. On transitive and fully transitive primary groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1969. - V. 22. - № 2. - P. 414-417.

[30] Kaplansky I. Infinite Abelian groups // Michigan. — Ann Arbor. — Univ. Michigan Press. — 1968. — 94 p.

[31] Mader A. The fully invariant subgroups of reduced algebraically compact groups // Pubis. Math. - 1970. - V. 17. - № 1-4. - P. 299-306.

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

[1*] Рогозинский М. И. О к -вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 4 (20). С. 25-35.

[2*] Гриншпон С. Я. &-вполне транзитивность однородно разложимых групп / С. Я. Гриншпон, М. И. Рогозинский // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 4 (24). С. 5-14.

Статьи в других научных изданиях:

[3*] Рогозинский М. И. к -вполне транзитивность абелевых групп без кручения // XIII Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», 20-24 апреля 2009 г.: в 6 т. — Т. 1. Естественные и точные науки. Ч. 1. Физика и математика. — Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2009. — С. 14-17.

[4*] Рогозинский М. И. А;-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: матери-

алы II Всероссийской молодежной научной конференции. — Томск, 2011. - С. 41-44.

[5*] Рогозинский М. И. А;-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» / Отв. ред. А. И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2011. — URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1257/30956_5820.pdf (дата обращения 07.10.2013 г.) - ISBN 978-5-317-03634-8

[6*] Рогозинский М. И. А:-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Абелевы группы и модули: материалы всероссийского симпозиума. — Бийск, 2012. — С. 39-43.

[7*] Рогозинский М. И. А;-вполне транзитивность сепара-бельных и однородно разложимых групп без кручения // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013» [Электронный ресурс]. - М.: МАКС Пресс, 2013. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2191/30956_8901.pdf (дата обращения 07.10.2013 г.) - ISBN 978-5-317-04429-9.

[8*] Рогозинский М. И. 1-длина и к -вполне транзитивность однородно разложимых групп без кручения // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета: сборник материалов. — Томск, 2013. — С. 34.