Абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал абелевой группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Компанцева, Екатерина Игоревна

• Компанцева, Екатерина Игоревна
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Компанцева, Екатерина Игоревна

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Глава I. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ НЕРЕДУЦИРОВАННОЙ ГРУППЫ.

§ I. Абсолютные радикалы прямой суммы и прямого произведения групп.

§ 2. Абсолютные радикалы нередуцированной группы.

Глава П. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ КОПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЫ.

§ 3. Умножения на алгебраически компактной группе.

§ 4. Подгруппы группы (г , являющиеся ниль-идеалами в любом кольце на (т.

§ 5. Абсолютные радикалы копериодической группы.

Глава Ш. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ СМЕШАННОЙ ГРУППЫ.

§ 6. Абсолютные радикалы смешанной группы, имеющей делимую факторгруппу по периодической части.

§ 7. Абсолютные радикалы группы из класса К

§ 8. Абсолютные радикалы группы ранга без кручения I

Глава 1У. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ ВЕКТОРНОЙ СЕПАРАЕЕЛЬНОЙ

И ВПОЛНЕ РАЗЛ0ШМ0Й ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ.

§ 9. Определения и предварительные результаты.

§ 10. Основные теоремы и следствия из них.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал абелевой группы»

В последние годы в работах по теории абелевых групп все чаще встречаются исследования, основная цель которых - выяснить, как зависят свойства кольца от строения его аддитивной группы и, в частности, какую информацию может дать аддитивная группа кольца о его радикалах. В этой связи весьма существенным представляется для данной группы £ ^ выделить такие ее подгруппы, которые содержатся в радикале (Джекобсона, верхнем ниль-радикале и т.д.) любого ассоциативного кольца, аддитивная группа которого совпадает с & , а также определить максимальную подгруппу среди всех таких подгрупп.

Диссертационная работа в целом посвящена изучению абсолютного радикала Джекобсона и абсолютного ниль-радикала групп. Под абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радика-лом) группы С- понимается пересечение Я*( Ю (соответственно (т) ) радикалов Джекобсона (соответственно верхних ниль-радикалов) всех ассоциативных колец, построенных на & как на аддитивной группе.

Для определения кольцевой структуры на группе £ необходимо указать гомоморфизм у : & ® & -» & , который называется умножением на 0 . Группа £ с заданным на ней умножением определяет некоторое кольцо (не обязательно ассоциативное), аддитивная группа которого совпадает с & , это кольцо называется кольцом на группе £ .

Т)

Все группы, рассматриваемые в работе, - абелевы, и слово группа здесь и везде в дальнейшем означает абелева группа.

Проблема определения колец на аддитивной группе была поставлена Бьюмонтом /22/, который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп* Приблизительно в то же время Селе /48/ исследовал нильгруппы, т.е. группы, допускающие только нулевое умножение. Селе доказал, что периодическая группа является нильгруппой тогда и только тогда, когда она делима, и что не существует смешанных нильгрупп. Однако, если в классе периодических групп нильгруппы могут быть охарактеризованы явным образом, то в классе групп без кручения описание нильгрупп - весьма трудная проблема, Ри и Уиснер /45/ описали *вполне разложимые нильгруппы. Некоторые весьма частные классы нильгрупп без кручения рассмотрены Фуксом /18, 35/,

Селе /49/, обобщая понятие нильгруппы, ставит вопрос об ^изучении групп, на которых все кольца нильпотентны, и определяет ступень нильпотентности группы следующим образом. Пусть п - натуральное число, (? - группа; если существует ассоциативное кольцо и на группе & , для которого (ХГУ О , и для любого ассоциативного кольца и на & имеет место равенство И11*^ О , то говорят, что группа 0- имеет ступень нильпотентности п ; если числа п с указанным свойством не существует, то ступень нильпотентности группы £ равна оо . Ри и Уиснер /45/ ввели понятие сильной ступени нильпотентности группы & , опустив в определении ступени -нильпотентности условие ассоциативности колец.

Селе /49/ полностью решил вопрос о ступени нильпотентности периодических групп: на периодической группе & , не являющейся делимой, всегда существует ассоциативное кольцо, которое не является ниль-кольцом, и, следовательно, ступень нильпотентности (и сильная ступень нильпотентности) группы С- равна .

Уиклесс /53/ сводит вопрос о группах, допускающих только нильпотентные кольца, к изучению групп без кручения с таким свойством и исследует группы без кручения конечного ран-^га. Винсонхалер и Уиклесс /52/ для вполне разложимой группы нашли условия, при которых на ней существуют только нильпотентные кольца, В работах /46, 47 , 53/ изучается связь между множеством типов элементов группы без кручения и существованием на ней нильпотентных кольцевых структур. Исследованию ступени нильпотентности и сильной ступени нильпотентности групп посвящены статьи /28, 29, 30, 32, 37/, однако полного решения проблемы не получено пока ни для одного класса групп без кручения.

Изучение групп, на которых можно определить только нулевое или только нильпотентные кольца (ниль-кольца), представляет непосредственный интерес при описании абсолютных радикалов, так как ясно, что для таких групп абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал совпадают со всей группой. С другой стороны, описание абсолютного ниль-радикала группы из некоторого класса повволяет выделить в этом классе группы, допускающие только ниль-кольца.

С проблемой исследования абсолютных радикалов группы & тесно связан вопрос о том, какова роль тех или иных подгрупп группы 0- в кольцевых структурах,определенных на £ , например, какие из подгрупп группы & являются подкольцами, идеалами (ниль-идеалами, нильпотентными, квазирегулярными идеалами й т.д.) в любом кольце на & , Фридом /33/ найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы подгруппа А произвольной группы & являлась идеалом в любом кольце на & . Фактически, в условии, приведенном Фридом, проблема переформулирована (что не дает никакого действительного проникновения в ее суть) в терминах подгрупп, которые эндоморфизмами определенного вида отображаются на себя. В работах /4, 19, 42/ исследуется вопрос о том, при каких условиях каждая подгруппа аддитивной группы кольца является подкольцом.

При изучении и построении колец на группах часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда умножение, определенное на подгруппе, необходимо продолжить до умножения на всей группе. Пусть А - подгруппа группы £ , и пусть задано частичное умножение, т.е. гомоморфизм ¡) " А ® А —б- , проблема заключается в продолжении гомоморфизма ? до гомоморфизма т® О ф Фуксом /18/ показано, что всякое кольцо без кручения может быть вложено как подкольцо в минимальное делимое кольцо без кручения, единственное с точностью до изоморфизма. Там же доказывается, что умножение на произвольной группе всегда продолжается до умножений на ее сервантно-инъективной и копериодической оболочках, причем такое продолжение единственно, если соответствующая оболочка является ре-,дуцированной. В некоторых случаях данные продолжения сохраняют полиномиальные тождества (например, ассоциативность, коммутативность). Вопросы, связанные с сохранением полиномиальных тождеств при продолжении частичных умножений, рассматривались также Фейгельштоком /31/.

Фуксом /34/ было показано, что любое умножение на периодической группе полностью определяется заданием умножения на ее базисной подгруппе. В связи с этим особый интерес представляют смешанные группы & , обладающие следующим свойством: любое умножение на периодической части группы (г продолжается, притом сднозначно, до умножения на всей группе & . Класс всех таких групп обозначим через К . Ясно, что для того, чтобы определить умножение на группе 6 из класса К , достаточно задать значения попарных произведений элементов из некоторого базиса периодической части группы & . Этот факт дает удобный метод построения колец на группах из класса К . Проблема описания групп из класса К1 сформулирована в /50, с. 34, проблема 38/. В работе А.И.Москаленко /II/ исследуется строение тензорных степеней групп из этого класса. В /14/ А.И.Москаленко получено описание групп из класса К , имеющих не более чем счетный ранг без кручения и не содержащих элементов бесконечной высоты.

Наиболее близкими по проблематике к исследованию абсолютных радикалов групп являются работы, в которых изучается связь между структурой группы и строением радикалов определенных на ней колец. Бьюмонт и Пирс /24, 25, 43/ классифицировали группы без кручения конечного ранга в зависимости от того, каков радикал Джекобсона делимой оболочки ассоциативного кольца, построенного на группе. В их работах был установлен интересный аналог основной теоремы Веддербёрна о конечномерных сепарабельных алгебрах.

Хаймо в /38/ поставил два вопроса: I) дана группа & , какие радикальные кольца с ненулевым умножением могут быть на ней определены (напомним, что радикальным называется ассоциативное кольцо, которое совпадает со своим радикалом Джекобсона);

2) дана подгруппа А группы £ , сколько колец можно определить на 6 , у которых радикал Джекобсона совпадает с А . Он дает ответ на эти вопросы для циклических групп, делимых периодических групп, делимых групп без кручения конечного ранга, групп без кручения ранга один, а также для некоторых прямых сумм групп из перечисленных классов. Бьюмонт и Лоувер /23/ изучали связь между группами, на которых не существует ни одного радикального кольца с ненулевым умножением, и группами, на которых любое ненулевое кольцо полупросто. Ими получено описание радикала Джекобсона произвольного кольца на группе без кручения ранга I. Полное описание всех колец на таких группах (каждое из них - ассоциативно) было сделано Редеем и Селе /44/, а также Бьюмонтом и Цукерманом /26/ еще в начале -пятидесятых годов.

Основные результаты по теории аддитивных групп колец систематизированы в монографии Фукса /18/. Там же сформулирована проблема (проблема 94) исследования абсолютного аннулятора, абсолютного радикала Джекббсона и т.д. для группы (т (под абсолютным аннулятором группы & подразумевается множество элементов из 0 , лежащих в аннуляторе всякого кольца на & ).

Фридом /33/ было доказано, что абсолютный аннулятор группы £ всегда является ее вполне характеристической подгруппой (и, значит, абсолютный аннулятор группы & - идеал в любом -кольце на £ ). Сложнее обстоит дело с абсолютными радикалами групп. Хотя во всех изученных на данный момент ситуациях абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал группы & оказались вполне характеристическими подгруппами группы & , в общем случае вопрос остается открытым.

Проблема описания абсолютного аннулятора, абсолютного радикала Джекобсона и абсолютного ниль-радикала группы полностью была решена Фуксом в классе всех периодических групп /18/, Фукс доказал, что для периодической группы 6 ее абсолютный аннулятор совпадает с первой ульмовской подгруппой

С- * группы & , абсолютный ниль-радикал и абсолютный радикал Джекобсона группы & совпадают с ее подгруппой Фраттини П р& , причем существует ассоциативное и коммутативное р кольцо на & , аннулятор которого равен £ , а верхний и нижний ниль-радикалы и радикал Джекобсона совпадают с

Л р(т .В качестве упражнения в /18/ формулируется следуюг 1 щий факт: радикал Джекобсона произвольного кольца на смешанной группе обязательно содержит подгруппу Фраттини ее периодической части.

Гарднером /39/ получено описание абсолютного аннулятора вполне разложимой группы без кручения. Обобщая понятие абсолютного аннулятора, он для вполне разложимой группы & индуктивно определяет возрастающую цепочку подгрупп, являющихся идеалами в любом кольце на & . Вид этой цепочки позволяет узнать значение сильной ступени нильпотентности группы & , а также в терминах данной цепочки формулируется достаточное условие для того, чтобы группа & допускала только иильпо-тентные умножения. Гарднер и Джекетт /40/ продолжили изучение тех же вопросов для векторных и сепарабё'льных групп, а также для некоторых прямых произведений узких групп.

А.И.Москаленко /12, 13, 15/ найдены абсолютные аннуляторы для следующих классов групп: смешанных групп с делимой факторгруппой по периодической части, смешанных групп ранга без кручения I, копериодических групп. Частично эти результаты независимо получены Д.Джекеттом /36/. В своей работе Дкекетт рассматривает клаос £ всех групп (г ранга без кручения I, вло-жимых в качестве сервантных подгрупп в П Тр(С-), где Тр(£) -р -компонента периодической части Т(О-) группы 0- . Он показывает, что нерасщепляемая редуцированная смешанная группа & лежит в Я тогда и только тогда, когда Тр (£) - ее прямое слагаемое при любом р , а факторгруппа (г/Т(&) изоморфна группе 5 всех рациональных чисел. В /36/ получено описание абсолютного анну-лятора группы из класса В, урегулированной копериодической группы и показано, что абсолютный аннулятор произвольной копериодической группы & содержится в ее первой ульмовской подгруппе с.

В работе /36/ Дкекетт исследует такве абсолютный радикал Дкекобсона для некоторых классов групп. Он доказывает, что если и ^ - элемент бесконечного порядка группы & , то &*(£)=Л р£ , если высотная матрица Н(д) (см. /41/) обладает определенными (указанными в работе) свойствами; в противном случае Я*(&) -П рТ(&). Кроме того доказано, что если б- - копер риодическая (редуцированная алгебраически компактная) группа, то &*(&)£ Арб- (соответственно К*(0=С! рО- ). р ' г

Отметим, что результаты Д.Джекетта являются частным олучаем результатов автора, получившего полное описание абсолютного радикала Дкекобсона произвольной смешанной группы ранга без кручения I, алгебраически компактной группы (1981 г., /54/; доказательства этих результатов содержатся в /56, 57/) и копериодической группы /55, 58/. Отметим также, что методы доказательств в работах автора существенно отличаются от методов в статье Д.Дкекетта.

Подводя итог изложенному, заключаем, что актуальность темы исследования абсолютного радикала Дкекобсона и абсолютного ниль-радикала группы обусловлена следующим. Данное исследование способствует более полному выявлению зависимости между свойствами кольца и строением его аддитивной группы« Изучение абсолютных радикалов группы б-тесно связано с проблемой описания колец на б- , и, поскольку речь идет о свойствах кольца, обусловленных строением его аддитивной группы, рассматриваемые вопросы представляют определенный интерес не только для теории абелевых групп, но и для теории колец» В процессе исследования строятся конкретные примеры колец и изучаются их свойотва, а также в некоторых случаях дается описание методов построения всех умножений на данной группе (например, на редуцированной алгебраически компактной группе, на урегулированной копериодической группе и др.). В связи с тем, что любое умножение на произвольной группе продолжается до умножений на ее сервантно-инъективной и копериодической оболочках, возникает необходимость изучения колец на алгебраически компактных и копериодических группах. Исследование кольцевых структур на этих группах может дать интересную информацию о свойствах колец, аддитивная группа которых уже не является копериодической (таким путем, например, получены основные результаты § 4 диссертации)» Изучение абсолютных радикалов группы £ глубже раскрывает роль тех или иных подгрупп группы От в кольцах на (г, позволяет указать подгруппы группы 0-, являющиеся ниль-идеалами (нильпотентными, квазирегулярными идеалами и т.д.) в любом кольце на б- . Описание абсолютных радикалов групп из некоторого класса дает возможность выделить в этом классе группы, на которых любое ассоциативное кольцо является ниль-кольцом (радикальным кольцом)»

До исследования, изложенного в данной работе, абсолютные радикалы групп фактически не были изучены, за исключением случая периодических групп. Постановка Л.фуксом проблемы описания абсолютных радикалов групп /18/ и появление в самое последнее время результатов, посвященных изучению абсолютного радикала Дкекобсона групп /36/, свидетельствуют об актуальности рассматриваемой темы*

Цель работы - описать абсолютный радикал Дкекобсона и абсолютный ниль-радикал для ряда классов групп, а также изучить некоторые свойства колец на группах из данных классов.

Краткое содержание работы. Диссертация оодержит четыре главы. В первой главе исследуются абсолютные радикалы нередуцированной группы. В § I, носящем вспомогательный характер, изучается связь мевду абсолютными радикалами прямой суммы (прямого произведения) групп и абсолютными радикалами слагаемых (сомножителей)« Доказываются также некоторые общие свойства абсолютных радикалов группы.

Основным результатом первой главы является теорема 2.2, содержащаяся в § 2.

Теорема 2*2. Цусть группа 0- содержит ненулевую делимую подгруппу без кручения, тогда Н*(Й= Л*((г)= П РТ(£), р 1

В частности, если & - нередуцированная группа без кручения,

ТО О.

Далее вопрос об описании абсолютных радикалов сводится к изучению абсолютных радикалов редуцированных групп. Исследование абсолютных радикалов нередуцированной группы позволило вопрос о группах, на которых любое ассоциативное кольцо является ниль-кольцом (радикальным кольцом), свести к изучению редуцированных групп без кручения, обладающих соответствующим свойством, В силу результатов данного параграфа в дальнейшем при описании абсолютных радикалов групп рассматриваются только редуцированные группы, а вопрос о том, при каких условиях любое ассоциативное кольцо на группе является ниль-кольцом (радикальным кольцом), решается в классах редуцированных групп без кручения, исследуемых в работе«

Вторая глава посвящена изучению абсолютных радикалов копе-риодической группы« В § 3 дается описание всех умножений на редуцированной алгебраически компактной группе G- и доказывается, что для такой группы R.*(£) = f| р G-. Это равенство в дальнейшем р г используется при описании абсолютных радикалов копериодической группы (§5)«

В § 4 для произвольной группы G- определяются ее подмножества G-* и , которые, как оказалось, играют существенную роль при изучении абсолютных радикалов группы« Для определения данных подмножеств используется условие (*-) , введенное в /51/, где это условие применяется для исследования длины расщепления смешанной группы«

Определение« Пусть d - действительное число, G- - группа, kp(fl) - р -высота элемента je 6-, N0 - множество целых неотрицательных чисел« Мы говорим, что элемент G-удовлетворяет условию (*) для d и простого числа р , еоли существует неубывающая неограниченная функция f г N0-> N 0 такая, что (vie Na) С pS>> et i £ +

Определим для каждого множества А простых чисел = { gs £ i(3K<=Z4o))(3cte Ю d>± и к^ удовлетворяет условию (*) для d и любого реА}? где: Z - кольцо целых чисел, R. - поле действительных чисел«

Если А совпадает с множеством всех простых чисел» то положим

Доказывается, что для любого множества простых чисел А и для любой группы & подмножество является сервантной вполне характеристической подгруппой группы С-, и имеет место следующий результат.

Теорема 4.10, Пусть & -группа, не содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения. Тогда

1) подгруппа Л р является ниль-идеалом в любом кольце р на (г ;

2) в любом кольце на группе (г ее первая ульмовская подгруппа является нильпотентным идеалом, индекс нильпотентно-г сти которого не больше трех. Если - редуцированная группа, то в любом кольце на & индекс нильпотентности идеала &1 не больше двух (определение нильпотентности в случае неассоциативных колец см. в /3/)щ

Отметим, что это утверждение неверно, если группа б- содержит ненулевую делимую подгруппу без кручения. Как следует из результатов § 2, для таких групп 0- наибольшая подгруппа, являющаяся ниль-идеалом в любом кольце на & , совпадает с подгруппой Л рТ(&) , которая в общем случае может быть подгруп-р ^ пой несчетного индекса группы П р£. р

Основной результат второй главы содержится в § 5.

Теорема 5.6. Если £ - копериодическая группа, не содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения, то

N*((?)= Прб-*, &*(&) = Л р г р

Эту теорему дополняет следствие 5.7, в котором доказано, что на группе (г , удовлетворяющей условию теоремы 5.6, существует ассоциативное и комму г ативное кольцо, верхний ниль-радикал которого совпадает с подгруппой П р& , а радикал Дкекобсона

-с П Р От, р г

В третьей главе изучаются абсолютные радикалы для некоторых классов смешанных групп. Основные результаты этой главы содержатся в § 6, для их получения существенно используются результаты второй главы.

В § I было показано, что если группа 0- не имеет ненулевых делимых гомоморфных образов без кручения, то Прб-е р г

В связи с этим представляет интерес изучение абсолютных радикалов групп, имеющих нетривиальные делимые гомоморфные образы без кручения, в частности, групп с делимой факторгруппой по периодической части (класс всех таких групп обозначаем черезМ ). Изучение групп из класса М обусловлено и тем фактом, что произвольное кольцо на группе М может быть вложено в качестве подкольца в некоторое кольцо с урегулированной копериодичес-кой аддитивной группой, все умножения на которой легко описываются. В § 6 показывается, что для группы из класса М имеют место включения П р N *(£■)£ р&. Единого описания абсолютных радикалов для всех таких групп нет. Построенные примеры показывают, что указанные включения нельзя заменить равенствами ни на каком месте. Доказывается, что в классе М существуют группы £, для которых N *(&) - И*(&) = П рС-*^ Л рб% р р

Показано также, что в классе М существуют группы 0- , для которых И*(&)=ПР&* й*(бЬЛр<г и ЫЧв)? (например, урер р 1 гулированные копериодические группы). Вмеотв с тем, в М существуют группы 0- такие, что 1\1*(£) = = П рб- Ф П г Р

Естественным является вопрос: для каких групп С из класса М абсолютные радикалы максимальны, т.е. имеют место равенства = &*(&)= А В этом направлении получен следующий результат.

Те о р е ы а 6.10. Пусть От - такая группа изМ , что факторгруппа £/6-* имеет конечный ранг. Тогда подгруппа П Р 0р является ниль-идеалом в любом ассоциативном кольце на 0-, и, следовательно, N *(£) - Л*(&) = П р С-* р '

Среди групп &, удовлетворяющих условию теоремы 6.10, содержатся все группы из М конечного ранга без кручения. Вместе с тем, в классе М существуют группы С- более чем счетного ранга без кручения, у которых ранг факторгруппы &/& конечен. Заметим, что из теоремы 6.10 непосредственно следуют результаты Д.Дкекетта /36/ об абсолютном радикале Джекобсона смешанной группы из класса Я .

В заключение параграфа приводится пример группы б- е И, абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал которой являются подгруппами, заключенными строго между подгруппами П аОг* и П рОг.

Р ' Р 1

В § 7 дается описание абсолютных радикалов группы С- из. класса К (этот класс был определен выше) в следующих случаях:

1) £ '- счетная группа;

2) максимальная А - делимая подгруппа без крушения группы 0- выделяется в £ прямым слагаемым, где А ={р |Тр(&)^ о}.

Доказывается, что в указанных случаях имеют .место равенства |\|*(6)= П &*(£) = П р£, причем подгруппы /1 р £* и реА Л реА РеА1 л

1 рОг реализуются в качестве верхнего ниль-радикала и радикала

Р<£Л

Джекобсона соответственно некоторого ассоциативного кольца на

В § 8 получено описание абсолютных радикалов смешанной редуцированной группы ранга без кручения I.

Теоремы 8.3 и 8.5. Пусть £- смешанная редуцированная группа ранга без кручения I, Л= [р |Тр(&)#о}.Тогда

I) если группа & расщепляется и тип Т(е)) неидемпотентен или если группа С- не расщепляется, то fl р£» реА

2) если группа £• расщепляется и тип t(G-/T(G-)) идемпотентен, то N*(Ê)= Л pT(G), R*(0= Л р ' р 1

Четвертая глава посвящена исследованию абсолютных радикалов векторных сепарабельных и вполне разложимых групп без кручения* В § 9 вводятся определения и доказывается ряд лемм, которые используются в § 10 при доказательстве основных утверждений. В § 10 дается описание абсолютных радикалов редуцированных групп из указанных классов.

Пусть - семейство редуцированных групп без кручения ранга I, t (dt) - тип группы Щ .

Определение. Группа fti удовлетворяет условию (с), если существует бесконечное подмножество { 1±> iAj).,} множества 3 такое, что l=ii и для любого натурального п.

Для каждого i<£ 3 определим множества идемпотентный тип и i(RK)> ШО}, А . = {р|(3к<= Обозначим 0 - [¿е й / Яi не удовлетворяет условию (с.)}.

Теорема 10.1. Цусть 3 - неизмеримое множество, & = П И. - векторная "сепарабельная группа. Тогда

N*(&)= П я i , ft* (е-) = П (Л f/го

1*1 ь ' РеЛс1 если А у то ~ Л

Теорема 10.2. Пусть G- = ® . Тогда N (£) = © Я;

1Г(0=Ф (П рЯО.

РеА I

Описание абсолютных радикалов вполне разложимых и векторных сепарабельных редуцированных групп без кручения позволило указать в рассматриваемых классах группы, на которых любое ассоциативное кольцо радикально (является ниль-кольцом).

Следствие 10,3. Пусть 3 - неизмеримое множество, е-п Я,- - редуцированная векторная сепарабельнаягруппа. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) любое ассоциативное кольцо на нильпотентно;

2) любое ассоциативное кольцо на £ является ниль-кольцом;

3) любое ассоциативное кольцо на б- радикально;

4) С- - прямая сумма конечного числа групп Ис неидемпо-тентных типов.

Следствие 10.4. Пусть £ = @ - редуцирование з ная вполне разложимая группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) любое ассоциативное кольцо на 6- является ниль-кольцом;

2) любое ассоциативное кольцо на £ радикально;

3) кавдая группа ^(¡.еО) имеет неидемпотентный тип, и ни одна из групп не удовлетворяет условию (с).

Показано, что существует вполне разложимая (векторная сепарабельная) группа без кручения С- такая, что любое ассоциативное кольцо на б- нильпотентно, но существует неассоциативное кольцо (с ассоциативными степенями) на б- не являющиеся даже ниль-кольцом.

Таким образом, в работе впервые предпринято систематическое изучение абсолютного радикала Джекобеона и абсолютного нильрадикала .группы. В итоге получены следующие результаты, которые являются основными в работе и составляют ее научную новизну: а) Получено описание абсолютных радикалов группы, содержащей ненулевую делимую подгруппу без кручения. б) Полностью описаны абсолютные радикалы групп из следующих классов: копериодических групп, групп ранга без кручения I в том числе и групп без кручения ранга X), вполне разложимых и векторных сепарабельных групп без кручения. Доказано, что абсолютный радикал Джекобеона и абсолютный ниль-радикал коперио-дической группы & , не содержащей ненулевой делимой подгруппы без кручения, реализуются в качестве радикала Джекобсона и верхнего ниль-радикала соответственно некоторого ассоциативного и комму тативного кольца на группе С-. в) Проведено исследование колец на редуцированных группах, имеющих делимую факторгруппу по периодической части, и абсолютных радикалов таких групп. г) В произвольной группе £ указаны подгруппы, являющиеся ниль-идеалами (нильпответными идеалами) в любом кольце на б-. Для группы, содержащей ненулевую делимую подгруппу без кручения, найдена наибольшая из подгрупп, обладающих указанным свойством. д) Полученные результаты позволили в классах редуцированных вполне разложимых и векторных сепарабельных групп без кручения описать группы, на которых любое ассоциативное кольцо является ниль-кольцом (радикальным кольцом). Отметим, что вопрос о группах, обладающих указанным свойством, сводится к изучению редуцированных групп без кручения.

Новыми являются также некоторые приемы и методы доказательств, использованные в работе; применяются не только результаты теории абелевых групп, но и теории колец.

Результаты, составляющие содержание диссертации, докладывались и обсуждались на заседаниях семирара по теории абелевых групп (научный руководитель - доц. Мишина А.П.) и научно-исследовательского семинара по общей алгебре в МГУ, неоднократно на заседаниях научно-исследовательских семинаров по теории абелевых групп (научные руководители - проф. Куликов Л.Я., доц. Москаленко А.И., доц. Фомин A.A.) и по теории колец (научные руководители - к. ф.-м. н. Пчелинцвв C.B., к, ф.-м.'н. Слинъко A.M.) в МШИ им. В.И.Ленина и опубликованы в работах /5Ф-62/.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Г(£) - абсолютный ниль-радикал группы (г

- абсолютный радикал Джекобсона группы £

6-,|и ) - кольцо, определяемое группой 0- и умножением у на ней М ((г,р1) - верхний ниль-радикал кольца ( Я (в-,/1*) ~ Радикал Джекобсона кольца ( кр(р - р -высота элемента д д) - обобщенная р -высота элемента д С(^) - порядок элемента ^ охрСц) - экспонента элемента ^ д > - циклическая группа, порожденная элементом ^ Т(£) - периодическая часть группы 6-Тр(О-) - р -примарная компонента группы Т((?) и От - множество всех элементов вида пу, где £ (г[п] - множество всех для которых ¡г^ = о

О-1 - первая ульмовская подгруппа группы 6-£(£•) - тип однородной группы без кручения 6- тип элемента ^

- характеристика элемента ^ ¡\1 - множество натуральных чисел

N - множество целых неотрицательных чисел 2 - аддитивная группа целых чисел

- кольцо целых чисел

3 - аддитивная группа рациональных чисел О, - поле рациональных чисел

С}р - кольцо рациональных чисел со знаменателями взаимно простыми с р - группа целых р -одических чисел о; и[х] иа

131 0

П 0г1

1еО кольцо целых р -одических чисел кольцо многочленов над ассоциативным кольцом и циклический модуль над ассоциативным кольцом II с образующим элементом в мощность множества О прямая сумма групп 0г-ь ( Iе 3) прямое произведение групп 0--ь (1<= 3) элемент прямой суммы Ф (г; в случае конечного множества 3

А® Е> Ы(А,В) А С в Л

Л С-, тензорное произведение групп А и В элемент прямого произведения . ^ ь с £ $ тензорное произведение \п экземпляров группы С- (см. /18, § 59, упр. 8/) группа расширений группы В при помощи группы А адическое пополнение группы впоследовательность элементов группы предел последовательности Коши элементов группы б- в 2. -адической топологии

Умножение на группе С- часто будем обозначать знаками X , и т.д., т.е. ¡^($1® $2.)= х<Цг. для любых ^ и из От. Кольцо, определяемое умножением х на группе верхний ниль-радикал и радикал Д&екобсона этого кольца обозначаются, соответственно, ( ; ^ ( ; Прямые суммы и прямые произведения идеалов обозначаются так же, как прямые суммы и прямые произведения групп, но кольцевой смысл таких сумм и произведений оговаривается особо. Другие обозначения будем вводить по мере их надобности. Нумерация формул независимая в пределах каждого утвервдения. За всеми определениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к /2, 17, 18/.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Компанцева, Екатерина Игоревна, 1983 год

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1973.

2. Джекобсон Н. Строение колец, -М.: ИЛ, 1961.

3. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

4. Каарли К. Кольца, в которых все подгруппы аддитивной группы являются подкольцами. Ученые записки Тартусского университета, 1974, вып. 336, с. 206-233.

5. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы, I. Труды моек, матем. об-ва, 1952, I, с. 247-326; II - 1953, 2, с. 85-167.

6. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. -Матем. сб., 1945, 16, с. 129-162.

7. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. --Матем. сб., 1941, 9, с. 165-185.

8. Кэртис К., Райнер И, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. -М.: Наука, 1969.

9. Мишина А.П. Сепарабельность полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга I. Матем. сб., 1962, 57, с. 375-383; Доклады АН СССР, 1962, 143, с. 275-276.

10. Мишина А.П. О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга I. Сибирский матем. журнал, 1962, 3, с. 244-249.

11. Москаленко А.И. О длине расщепления абелевой группы. Матем. заметки, 1978, 24, $ 6, с. 749-762.

12. Москаленко А.И. Об абсолютном аннуляторе абелевой группы. -- В кн.; У1 Всесоюзный симпозиум по теории групп (тезисы). Черкассы, 1978.

13. Москаленко А.И. Абсолютный аннулятор копериодической абелевойгруппы. В кн.: ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция (тезисы). Красноярск, 1979.

14. Москаленко А.И. О продолжении умножений на смешанной абеле-вой группе счетного ранга. Матем. заметки, 1981, 29, № 3, с. 375-379.

15. Москаленко А.И. Абсолютный аннулятор абелевой группы. М., 1983. - 10 с. Рукопись представлена Моск. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 18 окт. 1983, № 5707- 83 Деп.

16. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, т. I. М.: Мир, 1977.

17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. I. М.: Мир, 1974.

18. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. 2. М.: Мир, 1977.

19. Хмельницкий И.Л. Кольца, в которых всякая аддитивная подгруппа является подкольцом. Научные труды Свердловского гос. пед. ин-та, 1974, 219, с. II8-I38.

20. Beatcmoat ^CauXi/^i- »J. UbOhfly Шш-Ыи^ри aleh'cub ywufi.- Pcva'fie. fMUL.,55, 327-336.

21. Bea,u,MorctR.$.f ?ivut R. 5. Tctäcu,- {ш Й-9125. ßгымми/t RJ., рцш ß.S. Ц oU^t-lbaU filok. Mo, fa. McUL.

22. SUAi^mcut R.ß., ИЬсКЛъньсиь 14. S. Л с-Иаъ&с!¿^'¡¿^Uocv Q,f iU Hdcjbcu-fü a-f. 'I&t cuUUU/l Ьликоььа-Съг Pacifie.27. fcccuv x, Jtiowl oJUiccu*, yxoccpz ц bv&G^ pvu '-teusik oiu. Czech. ММ. ¡LO (95), i970, ЪЪ'1-ikh

23. F-eijUféóbK S. CW lit nilvtufie- of U¿ ¿ivut UuXtiufo ßota Jlabt. $ti. ¡Hun^dí; rJ3-AH3U), A43-4SZ.

24. F^jebW S. TU 'иьЬЬЦг o\ tU Мм et щп, of. л- xmaik Lw&CiA, cj ïc-copî. ßctcv М/оЛЬ. fitted-, -Hu/i^a/i, ü А уN Ъ'А С 131Ъ) , US-lib .30. eUicdlí S. Jle vtlfebus^e, of- л- къиас £¿Ъ&иёлои» ftee ¡boufb. ~ Jlda, bi. чШ-L, Hi-Z (1914), 29-3Z.

25. FeÀcjel&bc&iC S. ЧхЬ&л&С'ЫЪ of j^iCcJ*- tnuSU^L'ecUiow and p€>tih>cmÁCLÍ ùcluuklh'M chv йАеМсыл, c^wu-p-*>. — jktci Bti.SщеЛ, n7 úi-a (i9iç>), n-zo.

26. FelcjelUncK S. CTÍU (jetuUbb'-iid nilvbufe of a ficup. -?cJl. MoMu.y 3,8, ь13-4(49В4), Z2Q.

27. Fued S. Ow iU НиЖ^ъои-р*, ef cuv аЛе^ам, ^лххсср Hud cou. ¡ cíe all ¿и, ^ии^ . — Ргес. Cc-Uctj , M-eit'a+u f ko±<èC4 , Я-ST.

28. FticLb X. и^е шлЛ iii-t£ a-ilcíiiiOe G-гирр-е. -«¿iofcL feitec^, 4 С , 5oS .

29. Mec^'^é-Uf С., О и. ftu-xLzA' yi&ufö 6>£ -bcHA^ovu lwu-ui¿ ем,. - Ш, J, Л^Ц 11(196?;, 134-144.

30. О'Ñzít у, fj, Rtn^S ¿¿AcU aAoUtifa %^>cpx>cujyi aí¿ ^UH/Cj-S. Paripé. (ob, Ñí (í$Z6), 30L- $0%.

31. Pitfcce £.S. 4 cd^el'uu J^UoL. A^.J.

32. RecUl 2., Cze£¿ 7. ,, èàÀÏui, kcuv<j¿i"Mccth, Szeged, 1Z А С 13 5"о), Í8-Z9.

33. R.^ U/í Shxv J. ß note си, tobUou- J^ttz VUt- Ptee. finub. 4 (íZS-G), 6-8.

34. Hbaiicn- Jtt ï. Tie- i^p:. «-et tiu,^ Çj. fanibe, Kuitc. CctvuM+vt, /W¿ NÄ (VJW),47. МьсиЫси, JU\,hïe il M> £■■ J ^pe ¿iW- futjwteut ¡ykciUfou,. ~ Acta, UJ, MaAL., 41, rfl-Z (4249),

35. T. TLco-úe, cL^ sLe-to^ и,деMatt, /W,, Ш С434Я), ¿46 .

36. T. ip^u,tÍu,G-'b¿t¡ьс- ¿U1 ß^Sbi ^иУСШ-ииt 54 (±в£±), ±G 2-LSo.

37. Top-fcs ¿и, cdU-tCosi*, Cààca^C , У-ll., Î9(>'à,

38. Tсч^сШ-,' , ÎaW'^V Kei'fLi zJcpe c^i Zfl'liïiUj kbUjbi аЛ&каль ftebup* . - fWA. ¿O (im), b'ó-H •52. l^îtvVo^fcai^ UÏic-icieM Vu. J. Ùci^pb-U-lyu)L¡(yL oMnsk only rúlpoberit P^í-fic

39. U/íe-'kI/. HtUaMs ujLi>L cuUüi cu£y nuípob+d:rui-lii.

40. Компанцева Б.И. Абсолютный радикал Джекобеона некоторых классов абелевых групп. В кн.: ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция (г. Ленинград, 22-25 сентября 1981 г.). Тезисы докладов, ч. 2. - ШАН Ленингр. отделение, 1981, с. 72-73.

41. Компанцева Е.И. Абсолютный радикал Дкекобсона абелевой группы. В кн.: УШ Всесоюзный симпозиум по теории группг. Сумы, 25-27 мая 1982 г.). Тезисы докладов. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 57.

42. Компанцева Е.И. Абсолютный радикал Дкекобсона смешанной абе-Л6Е0Й группы ранга без кручения один. М., 1982. - 16 с. -рукопись представлена Моск. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 31 янв. 1983, № 548 - 83 Деп.

43. Компанцева Е.И. О кольцах на алгебраически компактных абелевых группах. М., 1982. - 22 с. - Рукопись представлена Моск. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 31 янв. 1983,549.83 Деп.

44. Компанцева Е.И. Об абсолютных радикалах копериодической абелевой группы. М., 1983. - 20 с. - Рукопись представлена Моск. гос. пед. ин-том."Деп. в ВИНИТИ 18 окт. 1983,5708-83 Деп.

45. Компанцева Е.И. О кольцах на абелевых группах с делимой факторгруппой по периодической части. М., 1983. - 27 с. -Рукопись представлена Моск. гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 18 окт. 1983, № 5706-83 Деп.