Кольца эндоморфизмов некоторых классов абелевых групп без кручения второго ранга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Дегтяренко, Валентина Альбертовна

• Дегтяренко, Валентина Альбертовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дегтяренко, Валентина Альбертовна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Список обозначений

Глава 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой кольцо эндоморфизмов данной

под прямой суммы

§ 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклической группой 2(р»)

§ 2. Группа гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов подпря-мой суммы двух групп первого ранга, индуцированной квазициклической группой г(р») и содержащей р-делимые элементы

§ 3. Группа гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов подпря-мой суммы двух групп первого ранга, индуцированной квазициклической группой и не содержащей р-делимых

элементов

§ 4. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®г(р!«>)

§ 5.Аддитивная группа кольца эндоморфизмов подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной конечной

прямой суммой ®г(Р1«0

§ 6. Подпрямые суммы и точные последовательности

Глава 2. Псевдоцоколь подпрямой суммы, индуцированной группой ®г(рд<»). Радикалы кольца эндоморфизмов подпрямой

суммы

§ 7. Псевдоцоколь подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной группой ®г(Рз«>)

§ 8. Киль-радикал кольца эндоморфизмов подпрямой суммы

двух групп первого ранга, индуцированной группой

®г(Рз®)

§ 9. Присоединенно простой радикал кольца эндоморфизмов

абелевой группы без кручения конечного ранга

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольца эндоморфизмов некоторых классов абелевых групп без кручения второго ранга»

ВВЕДЕНИЕ

Одной из первых работ по теории абедевых групп без кручения является работа Бэра [353, а по теории абелевых групп без кручения конечного ранга - работы А.Г.Куроша [20], А.И.Мальцева 1221, Д.Дерри [3?]. Основополагающие результаты по теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга были получены Л.Я. Куликовым [13-17]. В работах [18, 19] Л.Я.Куликов впервые стал рассматривать подпрямые суммы абелевых групп без кручения. Он показал, что любая счетная ненулевая редуцированная (обобщенно р-примарная) абелева группа без кручения представима в виде подпрямой суммы (обобщенно р-примерных) S-групп, существуют абелевы группы без кручения континуальной мощности, не представимые в виде подпрямой суммы S-групп. Фарукшин В.Х. в работе С273 рассмотрел специальную подпрямую сумму типа Q групп Gi и G2 и нашел необходимое и достаточное условие разложимости этой специальной подпрямой суммы в прямую сумму собственных подгрупп. Рожков A.B. в [251 исследует конечную подпрямую степень специального вида свободного произведения свободных групп с циклическими группами простого порядка. Дикинсон и Тамура в работе [383 рассматривают подпрямые произведения групп целых чисел.

Между строением абелевой группы и ее кольцом эндоморфизмов, группой автоморфизмов существует довольно тесная взаимосвязь, Изучение этих взаимосвязей и описание их с помощью классов абелевых групп без кручения и их колец эндоморфизмов - одно из направлений теории абелевых групп. Одной из первых работ, посвященных характеризации колец зндомрфиз-

- и -

mob редуцированных групп без кручения,была работа З.М.Кишки-ной [3]. В начале 60-х годов в совместной работе Бьюмонта и Пирса [341 была получена характеризация колец эндоморфизмов групп без кручения ранга 2. Д.Арнольд в [323 рассмотрел отроение колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 2. Себельдин A.M. в работе [26] решил задачу опре-деляемооти вполне разложимои абелевои группы без кручения овоюл кольцом эндоморфизмов. Рейд в работе [471 выявил связь между строением псевдоцоколя абелевои группы без кручения группы (подгруппы, порожденной всеми минимальными сервантны-ми вполне характеристическими подгруппа»! данной группы) и строением кольца ее квазиэндоморфизмов (минимальной рациональной алгебры, содержащей кольцо эндоморфизмов).

Важную роль в теории колец играют радикалы. Структура абелевои группы может в некоторых случаях определяться свойствами радикала кольца ее эндоморфизмов. Поэтому изучение радикалов колец эндоморфизмов представляет особый интерес. Фейт и Утуми в работе [41] доказали, что радикал Дже-кобоона кольца эндоморфизмов квазинн-ъективного модуля совпадает с множеством всех его эндоморфизмов с большими подмодулями в качестве ядер, а фактор-кольцо по радикалу регулярно в смысле Неймана. Уор и Зельманович в работе [49] описали радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов проективного модуля. Хаймо в [42] описал радикал кольца эндоморфизмов делимой периодической группы.

П.А. Крылов в работах [6 - 123, используя строение псевдоцоколя, получил описание ниль-радикала (сумма всех ниль-идеалов) и радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевои группы без кручения конечного ранга, нашел условия

их нильпотентности и равенства нулю, выяснил строение фактор-кольца кольца эндоморфизмов по радикалу Джекобсона, Для групп произвольного ранга Крылов П.А. решил почти все основные вопросы о ниль-радикале и радикале Джекобсона колец эндоморфизмов сепарабельных и алгебраически-компактных групп. Фарукшин В.Х в работах С27 - 291 обобщил результаты Крылова для обобщенно р-примарных групп. Сэнд в [48] рассматривает строение радикала Джекобсона для кольца эндоморфизмов при-марной абелевой группы.

В.А.Андрунакиевич и Ю.М.Рябухин в Í11 рассматривают кроме ниль-радикала и радикала Джекобсона присоединенно простой радикал (радикал Врауна-Маккоя) алгебры А (пересечение всех максимальных двусторонних идеалов алгебры А). Динго В. в работе [39] исследует Г-кольца, что у каждого гомоморфного образа М ниль-радикал совпадает с присоединенно простым радикалом. Для присоединенно простого радикала 1(А) алгебры А всегда верны включения N(A) С J(A) С 1(А), где N(A) -ниль-радикал, J(А) - радикал Джекобсона алгебры А. В общем случае радикал Джекобсона строго меньше присоединенно простого радикала. Поэтому представляет интерес изучить строение присоединенно простого радикала кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения.

В связи с этим в настоящей диссертации ставились и решались следующие задачи:

- Изучить строение специальной подпрямой суммы типа ®Z(Pi») абелевых групп без кручения первого ранга А и В -группы второго ранга, охарактеризовать строение аддитивной группы кольца эндоморфизмов этой группы;

- Охарактеризовать псевдоцоколь и радикалы колец эндоморфизмов рассматриваемых групп.

Согласно этим задачам диссертация содержит две главы (глава 1 - § 1 - 6, глава 2 - § 7 - 9).

В § 1 будут найдены необходимые и достаточные условия для существования подпрямой суммы двух групп первого ранга А и В, индуцированной группой г(р»), будет показано, что эта подпрямая сумма будет ч-делимой группой (ч - простое число не равное р) тогда и только тогда, когда чА = А и дВ = В. В общем случае эта подпрямая сумма - группа в - не обязана содержать р-делимые элементы, найдено необходимое и достаточное условие, при котором группа 6 содержит р-делимые элементы. В зависимости от типов групп А и В и последовательностей, задающих эпиморфные отображения этих групп на группу I (р°°), будет получено строение подпрямой суммы 6, указаны условия, при которых эта группа будет сильно неразложимой, вполне разложимой, также будет получено строение множества типов группы 8.

В § 2 эпиморфизмы, задающие подпрямую сумму 6 двух групп первого ранга А и В, определены так, что группа 0 содержит р-делимые элементы. В зависимости от типов групп А и В, а,следовательно, от типов группы О, будет получено строение кольца эндоморфизмов Е(6) группы 0. Так,если тип группы А - Ъ(А) равен типу группы В - 1(В), то аддитивная группа кольца Е(6) изоморфна прямой сумме Э* ® где

={пс11"оС.с1к-ррг(а,-дЬ) |пег, е {1,.к> 016(а,-дЬ)=«о }-

" I си

подгруппа р-делимой подгруппы 6о группы в, а

= г д е 6 | д= (п<1"оСрга,шд:~урсЬ) п, ш, Г, с£2 >>

Если 1:(А) < I (В), то аддитивная группа кольца Е (6) изоморфна прямой сумме 6в*®йв*} если же 1:(В)<1(А), то Е (6)^*^0*, где (п^^.сЬГ^Р^О) пег, ген,VI е И,.к} Ь(3(ра,0)=®К

Ов* Ь) пег, геы,VI е И,.к} Ьь(0,рЬ)=со|.

Если типы групп А и В несравнимы, то аддитивная группа кольца эндоморфизмов Е(6) изоморфна подгруппе 0дв* группы где

, I х=п(с110С. ^кг)_1рга, пег, Г е N ч 6ав* = Их,0)1 их)=:тГЩА),ЦВ)), VI Ье(ра,рЬ) = со}.

I сЦ >

Также будет получено строение группы гомоморфизмов

Нот(6,в'), где в'- также подпрямая сумма двух групп первого ранга А' и В", индуцированная группой г(р»).

В § 3 будет рассмотрено строение группы Нот(6,в") и кольца Е(й) в том случае, когда эти группы не содержат р-делимых элементов. Результаты получены для некоторых случаев. Так, если типы групп А и В несравнимы, то аддитивная группа кольца эндоморфизмов ЕШ) изоморфна подгруппе йдв*группы 6. Если МА) < ЦВ), то аддитивная группа кольца Е(6) изоморфна подгруппе Бав* группы в, а если 1(В) < Ь(А), то аддитивная группа кольца Е(в) изоморфна подгруппе Оба* группы б, где

г | х=ВД1Л. .а^)"1?1' Ь, Л

8ва* = ио,х)| их)=:тт(А),ив)), Уг Ье(ра,рЬ) =

^ | с!г '

Также в этом параграфе будет получено строение группы

Нот(С,6) и Нот(й,С), где С - произвольная группа первого

ранга, а 6 - произвольная подпрямая сумма двух групп первого

ранга, индуцированная группой г(р«>).

В § 4 рассматривается строение подпрямой суммы двух

групп первого ранга, индуцированной группой ®2(р1<»), где 1

принадлежит конечному множеству. Будут получены результаты,

аналогичные результатам первого параграфа, найдено отроение решетки типов данной подпрямой суммы.

В § 5 будет полностью описано строение аддитивной группы кольца эндоморфизмов Е(0), группы Нот(С,6), Нот(6,С), где О и 8'' - подпрямые суммы двух групп первого ранга, индуцированные группой ®7(р1«>), 1 £ ...и, причем каждая подп-рямая сумма содержит Р1Р2... Р1~делимые элементы, С - произвольная группа первого ранга. Полученные результаты и доказательства аналогичны результатам и доказательствам, приведенным в параграфах 2 и 3.

В заключении первой главы в § б рассмотрены некоторые частные вопросы, связанные с подпрямыми суммами произвольных эбелевых групп бее кручения, индуцированными произвольной группой без кручения Р или группой г(р®)©2(ср). Будут найдены условия, при которых последовательности подпрямых сумм будут точными, сервантно точными, расщепляющимися, установлена связь между подпрямой суммой колец Е(А/Кегф) и Е(В/кегф), где А, В и Р - произвольные абелевы группы без кручения, ф и Ф - эпиморфные отображения групп А и В на группу Р соответственно, кольцами Е(6/(Кегф © Кегф)) и Е(Р).

Вторая глава посвящена радикалам кольца Е(в) и строению псевдоцоколя группы 6.

В § 7 будет рассмотрено строение псевдоцоколя подпрямой суммы двух групп первого ранга - группа 6, индуцированной группой ФЦр!00), 1 е {1,2,..Д.>, содержащей Р1Р2. • делимые элементы. Так, если множество типов группы □ состоит из четырех элементов,то псевдоцоколь группы й совпадает с самой группой 6, если же множество типов группы 0 состоит из двух или трех элементов, то псевдоцоколь группы О совпадает с

подгруппой группы G,состоящей из pip-¿-. .pt-делимых элементов. Если же подпрямая сумма двух групп первого ранга инду-цированая группой Z(p»), не содержит р-делимых элементов и множество типов этой группы состоит из двух или трех элементов, то псевдоцоколь этой подпрямой суммы совпадает о самой подпрямой суммой. Получено строение псевдоцоколя конечной прямой суммы подпрямых сумм групп первого ранга, индуцированных одной квазициклической группой.

В § 8 будет рассмотрено строение ниль-радикала кольца эндоморфизмов подпрямой суммы. Так, если G - подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®Z(Pj®), je I = {1,2...t>, содержащая pipg-..Ptr делимые элементы и t(A) = t(B), то NÍE(G)) = i te E(G)jt e Hom(GB,GD(i))> = = ít e E(G) ¡x e Hoití(Ga,Gd(I))}, где Gdcd - подгруппа группы G, состоящая из pipg.•.pt-делимых элементов, Ga=-í (x,0) |x e a & Ф(x) = 0>, Gb=-í (0,x) |x £ В & ф(х) = 0> -подгруппы группы G, ф и ф эпиморфизмы групп А и В на группу ©Z(p.j«>) соответственно. Если же типы групп А и В не равны, то N(E(G)) = 0. Также будет получено строение ниль-радикала кольца эндоморфизмов конечной прямой суммы подпрямых сумм групп первого ранга, индуцированной группой Z(p»). Если подпрямая сумма индуцированна группой Z(p»), не содержит р-делимых элементов и множество типов этой подпрямой суммы состоит из двух или трех элементов, то также N(E(G)) = 0.

§ 9 посвящен присоединений простому радикалу кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения. В общем случае радикал Джекобсона не равен присоединение простому радикалу. Будут рассмотрены группы, для кольца эндоморфизмов которых присоединенно простой радикал равен нулю, совпадает с

ниль-радикалом. Будет показано, что присоединению простой радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы конечного ранга и кольца эндоморфизмов конечной прямой суммы подпрямых групп первого ранга, индуцированных группой Ъ (р«>), содержащей р-делимые элементы, совпадает с радикалом Джекобсона этого кольца эндоморфизмов.

список

- 12 -обозначений

г(р1<») - квазициклическая группа

Р1 - простое число

© - прямая сумма

П - прямое произведение

1(А) - тип группы первого ранга А

G = Aj_[В - подпрямая сумма двух абелевых групп без кручения

Ф,Ф

Ga - -С (х,0) |х 6 А & ф(х) = 0} gb = <(о,у)|у е в & ф(у) = 0}

Gd - р-делимая подгруппа подпрямой суммы G двух абе-

левых групп без кручения первого ранга, индуцированная группой Z(poo) Gd(I) - PiP2---Pt~делимая подгруппа подпрямой суммы G

двух абелевых групп без кручения первого ранга, индуцированная группой Z(pi<»), где iei={i,2,.. t> t(GA) - тип группы Ga t(Gb) - тип группы Gb t(Gd) - тип группы Gq

t(Gd(i)) - тип группы Gdcd t (Gab) = inf-ct(ga),t(gb)> typesetG - множество типов группы G П(С) = { p ipC # С, p - простое число>

д = -nEmini-^-1

Дз = -n2(3)mi(3)ni(j)'1m2(d)~1

zi(i) = 1 + rip +...+ rip1, где ri£-il,2,. .p-i> Z2(i) = 1 + sip +...+ sip1, где sie-f'1,2,. .p-l> 21 (i, j) = 1 + Г1,.зРз +...+ ri#3 Рз1, где r-i, зе{1,2,, .Рз-1} Z£(i,j) = 1 + si, ¿p., +...+ si, 3Р31. где Si, .j£-il,2,. .p.j-1}

6о* Чпс11_о:.с1к~дрг(а5-дЬ) |пег, Гег,¥1 е И, .к}(Ь6(а,-дЬ)=со^ 4 1 с14 ' '/

= / д е □ | (пс^^^р1 а, грсЬ) п, гп, £", с£2 ^ { I Ь^(а,Ь) = со, Ь%(а,Ь) » « } .

=<(пс!1"с4^к"ррга,0)|пе2, Геи,VI е {1,.к> Ь6(ра,0)=«>Ь ^ I ^

ев* ={ (0,пс11~^ак"рРгЬ)|пе2, Ген,VI е <1,.к> Ье(о,рЬ)=®Ь 4 I С11

г | х=пС<^1**- ^кг)_1рга, п е г, Г е N

Зав* = их,0)| их)=1пт(А)Д(В)), VI Ье(ра,рЬ) = со}. 4 I сЦ

( | х-к^.с^Г^ Ь, 1 е N ^

Вва* = {(0,х) 1 их)=1птСА),МВ)), Уг Ьа(ра,рЬ) -

^ I аг }

аед(ш) - характеристика элемента ш группы А

Ьрк(ш) - р-высота элемента ш группы 6

* - изоморфизм

= - сравнение

рП - сервантная вполне характеристическая подгруппа

ЗосО - псевдоцоколь группы й

АгтСЗосв) - аннулятор псевдоцоколя группы 6

Е(0) - кольцо эндоморфизмов группы 6

Нош(6,6') - группа гомоморфизмов группы 6 в группу 6'

Н(Е((3)) - ниль-радикал кольца эндоморфизмов группы О

Л(Е(8)) - радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы □

I (Е(б)) - присоединение) простой радикал (радикал Брауна-

Маккоя) кольца эндоморфизмов группы й 1ш - образ гомоморфизма <х

Кегф - ядро гомоморфизма <р ® - тензорное произведение

Ъ - группа целых чисел

Ц - поле рациональных чисел

ГЛАВА 1, Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная группой ®Z(pi»)5 кольцо эндоморфизмов данной подпрямой суммы.

§ 1. Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклической группой Z(p»).

Пусть G абелева группа без кручения, E(G) - ее кольцо эндоморфизмов. Подгруппа G прямого произведения А = П Bi называется подпрямой суммой групп Bi, если для каждого i отображения i.-rti G Bi является эпиморфизмом [213. Пусть нам даны две группы без кручения А и В и эпиморфные отображения ф и ф групп А и В на группу F. Элементы (a,b) е А ® В, где Ф(а) = ф(Ь),образуют подгруппу G группы А ® В. Она будет являться подпрямой суммой групп А и В. Очевидно, что Кегф©Кегф является подгруппой группы G.

Пусть А и В группы первого ранга, Z(p®) - квазициклическая группа. Рассмотрим множество {(х,у){ф(х) = Ф(у)>, где ф и ф - эпиморфные отображения групп А и В на группу Zip®) соответственно. Это множество является аддитивной группой -подпрямой суммой групп А и В, индуцированной группой Z(p®), или специальной подпрямой суммой типа Z(p°°) групп А и В. Будем обозначать эту группу следующим образом: G = A j IB. Не-

Ф,Ф

трудно видеть, что G - абелева группа без кручения второго ранга.

В этом параграфе рассматривается строение группы G, строение решетки типов группы G, находятся необходимые и достаточные условия: q-делимости группы G, существования р-делимых элементов, вполне разложимости и сильном неразложимости

группы G.

Так как группа Z(p») является р-делимой группой, то для того, чтобы можно было задать эпиморфные отображения групп А и В на группу Z(p»),необходимо, чтобы А и В также были р-делимыми группами. Действительно, пусть ф(х) = с £ Z(p«>). тогда для любого натурального n p~nc £ Z(p»). Пусть b - прообраз этого элемента. Тогда рпф(Ь) = с - ф(х), то есть рпЬ£А. Так как А - группа первого ранга, то найдутся такие целые к и f, что kpnb = fa, откуда kf_1b = р~па £ А. Найдем, каким условиям должен удовлетворять эпиморфизм ф группа А на группу Z(p®).

Лемма 1.1. Пусть c-i, сг, с-з, ____, где peí = 0, рог =

ci, ... - порождающие элементы группы Z(p®). Эпиморфизм ф группы первого ранга А на группу Z(p») полностью определяется счетной последовательностью (а,г1,гг,...,ri,..), где а£А, Ti £ {0>... , р - lh Ф(а) = ci,..., ф(ар-1) = ci+i + r±Ci +

+ r2Ci-i + ... +rici. Мощность множества всех различных эпи-

_эео

морфизмов из группы А на группу Z(p«>) равна 2 .

Доказательство. Пусть а - некоторый элемент группы А и Ф(а) = ci. Тогда ф(ар-1) = хсп, где х £ Z и х и р взаимно просты, откуда pxcn = ci, то есть рх = pn_1(modpn). Следовательно, х spn_2(modpn~1), что невозможно, если п > 2 или п = 1, Таким образом, ф(ар-1) = хсг, откуда х = l(modp), то есть х = 1 + pt, где t £ Z.

Следовательно, образом элемента ар-1 при данном эпиморфизме ф могут быть р различных элементов: С2, сг + ci, ... , 02 + (p-l)ci. Допустим, ф(ар-1) = сг + rioi, где ri £ <0,... , р - 1). Пусть Ф(ар-2) = хсз, тогда рхсз = сг +

-v\ . m , г — í v~. , ш, 1 w\ rí r\ Ч TTv-x т*\ »л тч гт г*г e-, л пт тмгт» л. тттг,—т пттп т» /л -п т ittttt т л

1 1'-;1 г л - i -г i -ц_мшиир ,! . применим услииутдемиа, сшсьлил'и-шые

приведенным выше, получаем, что Ф(ар~2) = сз + riC2 + Г2С1, где Г2 е -(0,1, ... ,р-1> и т.д.

Таким образом, чтобы задать эпиморфизм ф необходимо задать счетную последовательность (a,ri,r2, ... , Fi,... ), где а £ A, ri е {О,... , р - 1>. Покажем, что, зная элементы этой последовательности, можно определить образ любого элемента группы А при эпиморфизме ф.

Действительно, если хт_1р~Ла е а, где х,т е z, тир, х и р - взаимно просты, то ф(ах1гГ1р~оС) е ZCp04"1"1) и, если ф(апГ 1p~cí) = ycoí+i, то Coí+i + riCoí + ... H-r^ci « тф(ат~1р"оС) = mycoí+i. Откуда rny = 1 + np + ... + г^р* (modpoc+1). Так как (т,р) =1, то решением этого сравнения относительно у будет единственный класс чисел сравнимых с и(1 + пр + ... + г^р**) по модулю р*+1, где mu + p^+1v = 1, 11, v £ Z. Тогда ф(а1л_1р~°') = xu(l + rip + ... + г^р*)c<*+i. Последнее утверждение леммы очевидно.

Аналогично, для любой р-делимой группы без кручения ранга 1 также имеется континуальное множество эпиморфизмов на группу Zip«), каждый из которых определяется бесконечной последовательностью элементов (b,si,s2, ••■ » si,... ), где Ф(Ь) =С1, ... , ф (bp-4*) = Coi+1 + SlCoí + ... +SaíCl, Ti 6 ■{O,... , p - 1Ь Таким образом, эпиморфизмы ф и ф задаются при помощи двух р-адических чисел R=(ri,r2,... ,...) и S=(si,S2»••.* Si,...)• Так как каждая подпрямая сумма двух групп определяется эпиморфизмами ф и ф, то мощность множества всех подпрямых сумм, индуцированных двумя группами без

- , . / 2

кручения первого ранга А и В и группой Z(p»), равна |2 | .

Рассмотрим строение группы G = AJ_[В в зависимости от

ф * ф

- 17 -

строения групп А и В и эпиморфизмов ф и ф.

Предложение 1.2.

Пусть С = А ]_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой гСр»), д - произвольное простое число отличное от р. Тогда группа □ является д-делимой тогда и только тогда, когда дА - А и дВ = В.

Доказательство. п.1 Пусть дА = А, дВ = В и (х,у) £ 8. Если ф(х) = ф(у) = 0, то ф(ч_пх) = Ф(д~пу) = 0 для любого натурального п. То есть (д~пх,д~пу) е б и дп(д~пх,д~пУ) = (х,у). Если ф(х) - ф(у) = Ьск, где (1.,р)=1, и Ф(д~пх) = гск, (г,р) =1, то дпг = Сгпос^р^1). Это сравнение будет иметь единственное решение, например, ос. Теперь Ф(д~пх) = оссц. Аналогично, если Ф(Ч-"у) = гюк, то . ЦтоЧр^'1) и

дпе£ а 1.(тос1рк+1), то есть Ф(д~пу) = осск. Следовательно, (д~пх,д~пу) е в.

п.2 Если 6 д-делимая группа, то для любого элемента (х,у) е в существует элемент (Т,Ь) е 6 такой, что (х,у) = дп(Г,й), откуда (х,у) = (дпГ,дпЬ), то есть х = дпГ, у = дп11. Следовательно, дА = А, дВ = В. Предложение доказано. Предложение 1.3.

Пусть 6 = А | 1В - подпрямая сумма двух групп первого ранга Ф,Ф

А и В, индуцированная группой г(р<»), * - такой элемент группы А, характеристика которого эедО) равна (1Ч). Тогда в группе 6 существует элемент (х,у), характеристика которого ®е(х,у) = (1Ч*), где 1а* = 1а если д * р и 1Р* - 0.

Доказательство. Пусть ф(*) = иск, где и е 2, к > 1. Тогда ф(рк+1*0 = О и элемент (рк+1уу,0) е 6. Нетрудно видеть, что ч-высота элемента (рк+1де,0) в группе Б - Ьс^(рк+1ш,0) равна 1ч, если д * Р и пРа(рк+Ч/30) = 0.

Следствие 1.4 Если цА = А или дВ = В, где д простое число отличное от р, то в группе 6 существуют д-делимые элементы.

Следствие 1.5.

Пусть О = А Л_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой 2(р®), тип группы А - г. (А) = С (гпд) 3, тип группы В - (В) = С (пд) 3. Тогда в группе 6 существуют подгруппы 0д= -((х,0) 1ф(х)=0> и бв = -С (0,у) |ф(у)=0>, такие., что 1:(Са) = [ (та*)3, где тд*=*тч, если и шч*=0, если ч=р; 1(0в) = Е(па*)3, где па*=пд, если и пч*=0, если о3 = р. Множества 8дв = -С (х,0)) 1(х,0) = 1п1-С1 (6д) ,1 (6в)>> и авд = -С (0., у) | ь С05 у) = 1пГ{1(8а) Д.(6в)>> также образуют подгруппы группы в, причем Сдв - подгруппа группы Сд, а Свд -подгруппа группы Св. Эти подгруппы изоморфны и 1(6дв) = = цбва) - шг-[1.(6а)д.(св)>.

Заметим, что в силу задания эпиморфизмов ф и ф в группе С может и не быть р-делимых элементов. Действительно, пусть Ф(а) = Ф(Ь) = С1 и п * б±. Тогда ф(р-1а)=С2+Г1С1* ф(р~1Ь)= = 02+3101. Следовательно, р_1(а,Ь) 0. в. Найдем условия, при которых р-делимые элементы существуют. Предложение 1.6.

Пусть О = А ]_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой г(р°°), ф(а) = Ф(Ь) = 01, где 01, С2, сз, .... - порождающие элементы группы г(р®), эпиморфизмы ф и ф заданы р-адическими числами К! и 3. Элемент (а,Ь) группы С является р-делимым тогда и только тогда, когда для любого натурального 1 существуют такие целые числа что

г'1 - - 1-1-1 + 1-1р, 1о = о (1)

- 19 -

Доказательство, п.1 Пусть элемент (а,Ь) является р-делимым. Так как (р-1а,р-1Ь)еб., то ф(р-1а)=С2 + r-ici= ф(р~1Ь), откуда ri s si(modp), то есть ri = si - 0 + tip.

Допустим, что для любого i < п выполнены соотношения (1) и докажем их справедливость для п

Ф(ар~п) = Cn+i + Г1СП + ... + rnci=cn+i + sicn + .. + snci = Ф(р_1а), cn+i + rien + ... + rnoi = Cn+i + (ri+to-tip)cn + ... + (rn-i+tn-2_tn-iP)c2 + SnCi. Раскрывая скобки и приведя подобные члены, получаем: rnci = sn - tn-ici, то есть гп = Sn - tn-i(modp).

п.2 Обратно, пусть для любого п выполнены соотношения (9), тогда Ф(ар~п) = cn+i + ricn + ... + rnci = cn+i + (si - to + tip)cn + ... + (sn - tn-i + tnp)ci = Cn+l + SlOn + .. + snci = Ф(Ьр~п). Таким образом, элемент (a,b) является р-делимым.

Теорема 1.7.

Пусть G = A j 1В - подпрямая сумма двух групп первого ранга Ф,Ф

А и В, индуцированная группой Z(p»), ф(а)=ф(Ь)=С1, t(A)=t(B) и элемент (а,Ь) является р-делимым, то G - вполне разложимая группа.

Доказательство. Нетрудно видеть, что система элементов di = (a,b) и dg = (0,pb) будет являться максимальной независимой системой элементов группы G. Покажем, что G = <di>* ® <d2>*, где <dj>* - сервантная подгруппа группы G, порожденная элементом di. Очевидно, что подгруппы <di>* и <d2>* непересекаются.

Пусть элемент X = (р_0Т1~1ха,р"дп~1уЬ) Е G, где х,у -целые, ос,0 - натуральные или 0, п - натуральное и в канони-

t -г л. ,-ц п л» t v-% i-1 г~ч тт imir л tttïtt ttt ».-i rr n vn t ttt n mt^t Tt.-im m ^ чтт t ял m . rïm i тт т t—t тт ч* rr

чеишм ийсшилегши чиила п у HduxisyiuT тшшш те приихые ц,Д,дЯ

которых iriq * 0 (t (А) = Е (ïïiq) 3 ). Очевидно, что (X = 0j так как иначе Ф(р~с4гГ1а) * ф(р_&п_1Ь). Как показано ранее, ФСхар-0^-1) = xui(Coi+i + riOtf + ... +rocCi), где ui - одно из целых решений уравнения nui + pot+1v = 1. Тогда ф (уЬр~°Т1-1) = yuiCOoi+i + si Coi +...+SoiCi). Так как фСр"^Г1ха)=ф(р~°тГ1уЬ), ТО XUiC'l + Г!р + . . .+rOÉpot)cei+i = yui(l + SiP +. . . +S0d?0i)C0£+l, то есть х(1 + Г1р+... +roipci) » щ(1 + sip+.. .+sû(po:) (modpct+1).

Используя предложение 1,6, получаем х(1 + rip+.. .+ro£po:) = у(1 + пр+... +го£р<* + t0ip0c+1) (modp0{+1), то есть (x-y)(l + пр+...+r^) - O(modp*+1), откуда x - у s 0(rnodp0^1 ), то есть x = у + tp^*1. Следовательно, X = (p-oCn-1xa, р~°тГ1уЬ) = (p"°Vi~1xa, (xb + tp0i+1b)p~0Ti~1) = (p"oin~1xa,p-oCn_1yb) + (0, tpn-1b) = xp~oCn~1di + tn_1d2. Теорема доказана.

Рассмотрим необходимое и достаточное условие того, что некоторый элемент подпрямой суммы G будет р-делимым элементом. Введем следующие обозначения:

Zl(i)=l + ПР +...+ T'iP1, Z2(i)=l + sip +...+ sip1. (2)

Лемма 1.8.

Пусть G = A j_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой Z(p®), ф(а.) = Ф (b) =ci, Элемент q = (nimi~1p_1a,n2m2~1P~1b) группы G является р-делимым тогда и только тогда, когда для любого натурального з > i верно сравнение П1Ш221(3)srï2miZ2(3)(modpj +1), то есть р-адические числа R и S линейно зависимы. Если q - р-делимый элемент, то также р-делимым элементом будет и элемент qi = (nimi^a.n^^b).

Доказательство, п. 1 Пусть q е G, тогда ф(nimi~^р"1а) = ФСпгша-1?-^) * 0. Тогда П1Ш2Ф(р_1а) = П2Ш1Ф(р-1Ь). Откуда

П1Ш2С1+1(1+Г1Р+...+ГЧ+1Р1+1) = П2Ш1С1+1(1+31Р+...+31+1Р1+1)

или Г11ГЛ22-1 (1) = П2ПЦ22(1} (глос^р1 ). Так как, по условию, д -р-делимый элемент., то для любого з > 1 р"^ е 6. Следовательно, П1!П221Сз) = П2Ш122(з) (тск!р3+1) ДЛЯ ЛЮбОГО 3 > 1.

Обратно, пусть, начиная с некоторой натуральной степени 1 для любого о > 1 П1Ш22кз) - П2Ш±Е2(з} (шос1р3+1). Тогда ф(п11п2р"аа) = ф(п2ш1р~3Ь), то есть д' = (вдгР^а^гВД^Ь) принадлежит группе 6. Но тогда и элемент д = Ш1~1Ш2~1д' е О, Следовательно, д - р-делимый элемент.

п.2 Пусть д - р-делимый элемент. Тогда

П1Ш2(1+Г1Р+. . .+Г1Р1) = П21П1 (1+31Р+. . .+31Р1) (1ГКХ1р1+1)

Но тогда, очевидно, что и для любого з < 1

П1Ш2(1+Г'1Р+. . .+Г1Р^ = П2Ш1(1+31Р+. . .+31?^) 0жх3р3+1) Тогда П1Ш2 = Г121П1 Стос1р). Следовательно, элементы рд, р2д, ... , р*д = (п11П1~1а,П2ГТ12"1Ь) также будут р-делимыми. Лемма 1.9.

Пусть 6 = А ]_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой г(р»), ф(а)=ф(Ь)=С1, элементы д=(г11Ш1"1а,П2т2~1Ь) и = являются р-дели-

мыми элементами группы 6. Тогда имеют место следующие соотношения:

1. икг = П2Ш1 и Ь%к± = щтг;

2. де' = -к±~1Ь2~1к2Ь± = -пгшт!-^"1 = А.:

3. д* = (к11.1_1а,к212_1Ь) = к111_1(а,-дЬ).

Доказательство. Заметим, что, если элемент д является р-делимым, то и Гд будет р-делимым элементом для любого целого Г. Тогда можно выбрать элементы а и Ь групп А и В соответственно так, чтобы элемент (а,-дЬ) принадлежал группе 8.

ег Л ТТг~>т л/-1 ли-\ г лггг» лт% атг тгттг. г\птт гтлтплгт г» п гл ттт птт» лт*т гг» Тлтл тпп»в

[л Дип.стем и 11 и сш е д л и и и и и' а иердиГи ииихнишенин , 1саК гч,ст

А и В группы первого ранга, то всегда найдутся такие целые х и у, что xy"1riimi~1a = kiti^a. Действительно, достаточно взять ху"1 = rii_1m-ikiti_1. Тогда q'= (xy~1nimi~1a,k2t2~1b). Так как q' - р-делимый элемент, то по лемме 1.8 xnit.2Zi(i) = k2ymiZ2(i) (modpi+1) для любого натурального числа i. Тогда xnim2t2Zi(i) = k2ym2miZ2(i)(nradp1+1). Так как q также является р-делимым элементом, то niií^zici) = n2miZ2(i) (modpi+1). Отсюда получаем, что Xnilífct2Z1 ( i ) в Xri2t2ÍT11Z2 {i } 55 { i ) (modp1+1) ИЛИ

xt2n2 = k2yni2(iriodpi+1). Так как это сравнение справедливо для любого натурального i, то х1-2П2 = коутлг- Ранее показали, что xtini = ymiki. Тогда xnin2tit2 = k2ym2tini и xningtito = kiymit2n2. Следовательно, k2iri2tini = kimit2n2. Теперь получаем, что tik2=n2.nii, tik2 = П1Ш2. (Полагаем, что (rij ,mj)=l.)

п.2 Воспользовавшись полученным соотношением вычислим Д' = -ki'1t2_1k2ti = д.

п.З Выразим k2t.2_1 = n2rniti"1kini~1m2~1 = -Akiti"1. Следовательно, qs' = (kiti~1aJk2t2~1b) = kiti-1(a,-Ab). Лемма доказана.

Из леммы 1.9 можно сделать вывод, что число Д полностью и единственным образом определяется группой G, а точнее эпиморфизмами ф и ф и не зависит от выбора р-делимого элемента.

Пусть эпиморфизмы ф и ф групп А и В на группу Z(p») заданы таким образом, что в группе G = A J_[В имеются р-дели-

Ф,Ф

мые элементы, Тогда тип этих элементов t(Go) будет равен C(kq.)] где kq=irif-iiTiq,nq> если q^p и kp=® (t(A) = [(mq)], t(B)= C(nq)3) Эти р-делимые элементы также образуют подгруппу группы G. Будем обозначать ее через Gd. Учитывая лемму 1.9, легко по-

тгх ттттгтт тттг% Г*— f •f-*1 / п Л l-i N Í Л v. - wi , v. . im - 1 »л / m Ч _ * f К \ . 1

лунихв, чти ау = г! -¿ли; i a = _nj¿mliii iw¿ , 41 =ui/.

- 23 -

Теперь рассмотрим строение группы G в зависимости от строения групп А и В и эпиморфизмов ф и ф, то есть в зависимости от множества типов группы G. Теорема 1.10,

Пусть G = А | }В - подпрямая сумма двух групп первого ранга Ф,Ф

А и В, индуцированная группой Z(p«0. Если выполнено одно из следующих условий .*

1. Типы групп А и В несравнимы;

2. t. (А) < t (В) или t. (В) < t. (А) и р-адические числа R и S линейно зависимы,

то G - сильно неразложимая группа.

Доказательство. Если типы групп А и В несравнимы, то существуют по крайней мере два простых числа qi и qg таких, что qiA = A, qiB * В, q2B = В, qgA * А или множество F = -íq е Р|0 ^ mq - nq < - счетно (t(A) = C(mq)], t(B) = [ (riq) ]) и для некоторого простого q qA = A, qB * В или наоборот. В этих случаях, используя следствие 1.5,получаем, что типы t(Gab), t(Ga), t(Gb) принадлежат множеству типов группы G, причем эти типы попарно неравны. Следовательно, | typeset.G|>3. Тогда, как показано в [32], G - сильно неразложимая группа.

Во втором случае t(gab)=t (Ga)<1:.(Gb) или t(gab)=t(gb)<t(Ga) и в группе G есть р-делимые элементы (лемма 1.8), то тип t(Go) принадлежит множеству типов группы G. Следовательно, ¡typesetG!=3 и G - сильно неразложимая группа. Следствие 1.11.

Пусть G = A J_[В - подпрямая сумма двух групп первого ранга

Ф,Ф

А и В, индуцированная группой Z(p»), группы А и В удовлетворяют условиям, перечисленным в теореме 1,10, тогда E(G) -коммутативное кольцо и QE(G) = Q ®z E(G) Q.

Этот результат непосредственно следует из теоремы 10 и теоремы 3.3 [32]. Теорема 1.12.

Пусть □ = А ! }В - подпрямая суша двух групп первого ранга

ф,ф

А и В, индуцированная группой г(р«0, Ъ(А) = 1.(В), р-адичес-кие числа К и 5 линейно зависимы, тогда 0 - вполне разложимая группа и в = во ® 0в = йи ® Од-

Доказательство. Из условия теоремы следует, что множество типов группы Б состоит из двух элементов: 1:.(6ав) = = 1(Оа) = Ь(0в) и Заметим, что, если к-1а£А, то

к~1Ь£В, и наоборот.

Рассмотрим элементы а1 = (а,-дЬ) и d2 = (0,рЬ) группы (с!1 - р-делимый элемент.) Нетрудно видеть, что система элементов с11 и 62 будет являться максимальной независимой системой элементов группы 0. Покажем, что в = <сН>* ® <йо>*, где - сервантная подгруппа группы 6, порожденная эле-

ментом с^. Учитывая, что Бо - сервантная подгруппа группы й, получаем, что <с!1>* = йо, <с12>* = бв* причем эти подгруппы не пересекаются.

Рассмотрим произвольный элемент д=(к111~1р1а,к212~1Р3Ь) группы 6, где ¿>0 и з>0, Тогда 11124 = к112р1-1(ра,0) + кг! (0, рЬ) =к! 1 гр1 (а, - дЬ) +к! 1 гР1 _1Д (0, рЬ) +к21 ^ (0, рЬ) = МгР^! + (к11гР1_1А + кгНР^^г. Откуда q = к^Г1?1^ + (к111-1р1-1д + кг12~1Р;5~1)^г е бв ® Ов-

Пусть теперь ч = (к111""1р~1а5к212~1Р~1Ь), где з.>0. Так как ц е й, то ^1221 (1)=кг1122(1) (г^р1+1). Так как (а,-дЬ) - р-делимый элемент, то П1Ш22К1)=П21П122(1) (ио1р1+1) для любого натурального 1. Тогда

к! 12П1Ш221С1 > = кг! 1111111222 с; 1} (шар1 +1)

- 25 -

к! 12Г12ГП122 (1) Е кг11П1Ш222 (1) (ШС1р1 +1) . Так как (22(1) ,р) = 1, то к^пгШ! = к211П1Ш2(шс1р1+1), то есть к! 12П1Ш2 = к211П2Д»1 + 1р1+1. Откуда к^Ьг"1 = к111_1П21П1(п1Ш2)_1 + Ц'ЫгВДгГ1?14"1, то есть кг^-1 = -дк111-1 + 1(1112П1Ш2.)_1Р1+1. Теперь д=(к111~1р~1а, (-дкзД!-1 + 1(1112П1Ш2)"1р1+1)р"1Ь) = к1р(а,-дЬ) + (0 (1112П1Ш2) ~ ^ рЬ) принадлежит группе 8р ® 8в-

Совершенно аналогично можно доказать, что 8 = 8о ® 8д. Теорема доказана.

Пусть теперь А и В две вполне разложимые группы конечного ранга. Рассмотрим строение подпрямой суммы 8 = А]__[_В,

Ф,Ф

индуцированной группой г(р<»).

Теорема 1.13. Пусть А±,А2? В - группы первого ранга .Тогда

1) если рА1 * А4, (1 е {1,2}), то (А1ФА2)! !В=А1*ФА2*фВ*,

Ф,Ф

где А^={(а,0) |а£А1, ф(а)=0>, В* = {(0,Ь)!Ь е В, ф(Ь) = 0>;

2) если рА1= А±, рк% * Аг. то (А1®Ао)1 |В = (А1[ 1В)® А2*,

Ф,ф ф,ф

где А2*=-£(а,о) |а е Аг>;

3) если рА1= кх (1 е -С1,2>), рВ = В, то

(а1®а2)1_1в = (а11_1в) + (А21 1В), ф,ф ф,ф ф,ф

((А1вА2)^в)Х-= ф где

в* = -с(о3Ь) |ь е в, ф(Ь) = 0}.

Доказательство. Рассмотрим строение подпрямой суммы

(А1 ® Аг) 1 |В. Если рА1 ф к\, то к\ е Кегф для любого эпи-Ф,Ф

морфизма ф из группы А1 ® Аг на группу гГр®). Тогда

8 = (А1 ® А2)1_1 В = г(а,Ь)| ф(Ь) =0>. Но любой элемент Ф,Ф

(а,Ь) группы 6 можно представить в виде суммы (а! + аг,Ь) = =(а!,0) + (аг,0) + (0,Ь). Следовательно, 6= А1* © Аг* ® В*,

Пусть теперь рАз= А1, рАг ф Тогда Аг £ Кегф. Рассмотрим элемент 2 = х + у £ А1 ® Ао. ф(г) = ф(х+у) = ф(х), Тогда, если (х+у,Ь) £ 6, то ф(х+у)= ф(Ь). То есть ф(х)=ф(Ь), Следовательно, (у,0) £ С, (х,Ь) £ 0. Отсюда (х + у,Ь) = (х,Ь) + (у,0). Пользуясь выше введенными обозначениями, получаем, что 6 = (А1]_[ВО ® Аг*.

Ф,Ф

Пусть теперь рА1= А1 Ц £ -С1,2>). Тогда существует эпиморфизм ф из группы А1 ® Ао на группу 2(р«0 такой, что Ф(А1) * 0 (1 £ {1,2}), Пусть 2 = X + у £ к± ® А2. Ф(г) = Ф(х+у) = ф(х) + ф(у). Рассмотрим произвольный элемент (2,Ь) £ 6 и покажем, что существуют такие элементы Ь1 и Ьг группы В, что Ь1 + Ьг = Ь и (х +у,Ь1 +Ьг) = (х,Ь1.) + (у,Ьг).

а) Если ф(х) + ф(у) = 0 и ф(х) = - ф(у) =(1^0, то в группе В существует такой элемент Ь', что ф(Ь') = ф(х) = с1. Тогда Ф(Ь' - Ь) = 0 и Ь' будет искомым элементом.

б) Если ф(х) = ф(у) = 0 = ф(Ь), то (х+у,Ь) = (х,Ь) + (у,0).

в) Пусть ф(х+у) = ф(х) + ф(у) = с!1 + (Зг = ф(Ь) # О. Если д± = 0 или d2 = 0, то, очевидно, что в качестве Ь^ можно взять Ь, а в качестве Ьд - 0 (15 з £ {1,2}). Пусть теперь

£ {1, 2>). В группе В существует элемент Ь1, такой

что ф(Ь1) = с!1. Тогда ф (Ь - Ь1) = ф(Ь) - ф (ь±) = + б г -

с!1 = d2. Ь - Ь1 обозначим через Ьг. Теперь, очевидно, что

(х + у,Ь) = (х + у,Ь1 + Ьг) = (х,Ь1) + (у,Ьг).

Обратно, рассмотрим элементы (Х1,Ь1) £ А^]_[В. Тогда

Ф»Ф

(Х1,Ь1) + (х2,Ьг) = (Х1+Х2, Ь1+Ьг) и так как ф(х!> = ФСЬ±),

то (Х1+Х2, Ь1+Ьг) £ 0. Так как множества равны, то С =

(Ах]_[В) + _[В). Заметим, что эти подгруппы пересекают-

Ф.,Ф Ф,Ф

ся по подгруппе (Кегф)* = в*. Теперь легко видеть, что

§ 2 Группа гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов подпрямой суммы двух групп первого ранга, индуцированной квазициклической группой Z(p») и содержащей р-делимые элементы.

Пусть G = AJ_[В и G' = А4]_[В' - подпрямые суммы групп

ф,ф ф,ф

первого ранга А, В, А" и В5' соответственно, индуцированные группой Z(p®). Причем эпиморфизмы ф и ф групп А и А*', В и В'' на группу Z(p») соответственно заданы элементами a,ar,b,b' групп А, А', В и В' соответственно и р-адическими числами R и S, где R = (Г1,Г2,..,Г1,..)5 ф(а'р-1) - фс'ар"1) = ci+i + +Г1С1 + . . .+ TiCl и S= (Si, S¿, . . . , S i , . , ) , фСЬ'р'^^фСЬр"1) = = Ci+i + siсi +...+SiCi. Причем эти р-адические числа R и S линейно зависимы. Тогда, как показано в лемме 1.8, в группах G и G' есть р-делимые элементы. Как показано в лемме 1.9, существование таких элементов зависит только от выбора последовательностей и не зависит от групп А, В, А'' и В*'. Так же как и ранее полагаем, что л = -П2.Ш1П1_1ГП2_1, Как показано в §1.1, в этом случае множество типов группы G может состоять из двух, трех или четырех элементов. В данном параграфе рассматривается строение группы гомоморфизмов Нош(6,0'') и кольца эндоморфизмов E(G) в зависимости от строения множества типов группы G - typesetG.

Вначале рассмотрим строение группы Hom(G,G') если мно-

Теорема доказана.

жество типов группы в состоит из трех элементов.

Для группы в'' рассмотрим следующие подгруппы, зависящие от группы в .

( in£Z,f£N, для каждого i£-{l,.k>

G'BC (GB)H (0,ndrcC.dk~'Jpfb') |hB(b) * 0 - hB* (b')=® )

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дегтяренко, Валентина Альбертовна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. В,А,Андрунакиевич, Ю.М.Рябухин. Радикалы алгебр и структурная теория, - М.5 Наука. 1979.

2. Н.Джекобсон, Строение колец. - М,, ИЛ. 1961.

3. Кишкина З.М. Эндоморфизмы р-примарных. абелевых групп без кручения // Изв. АН СССР, сер, матем., 1945 N 9. - с,201 -

ООО

4. С,Ф,Кожухов, Регулярно полные абелевы группы //Известия Вузов.Математика, 1980, N12,-0, 14-19,

5. П,А.Крылов, Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения //Математический сборник, Т, 95, N210, - 1974, С.

91 А- 99Я

6. П.А.Крылов, Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов // Известия Вузов,Математика. 1976, - N 4, - С,56-66.

7. П,А,Крылов, Абелевы группы без кручения с циклическими р-базисными подгруппами // Математические заметки, 1976. -Т,20. N 6, - С. 805 - 813.

8. П,А,Крылов, 0 полупростоте колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения //Группы и модули, Томск, Изд-во Томск.ун-та, 1976, - С, 23 - 27.

9. П,А,Крылов, Радикалы колец эндоморфизмов оепарабельных абелевых групп без кручения// Группы и модули, Томск, Изд-во Томск.ун-та, 1976. - С, 28 - 34,

10. П,А,Крылов, Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов //Известия Вузов, Математика, 1979, - N11 (210) - С. 26 - 33,

11. П.А.Крылов, Квазирегулярный радикал кольца эндоморфизмов

- 118 -

вполне разложимой абелевой группы //6-й всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Львов, 1990, - С, 77.

12, П,А,Крылов, Рад,икал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения //Группы и модули, Томск, Изд-во Томск, ун-та, 1995, - с, 99 - 120.

13, Куликов Л.Я. Обобщенно примарные группы // Труды Моек, мат, об-ва. - 1952. - 1. - с. 247 - 326,

14, Куликов Л,Я, Обобщенно примарные группы /У Труды Моск. мат, об-ва, - 1953, - 2, - с, 85 - 167,

15, Куликов Л,Я, К теории абелевых групп произвольной мощности // Мат. сб. - 1941. - 9, - с, 165 - 182.

16, Куликов Л,Я, К теории абелевых групп произвольной мощности // Мат. сб. - 1945. - 16, - с, 129 - 162,

17, Куликов Л.Я. Универсально полные абелевы группы // Труды III Всес. математ. съезда, - М., 1956, - с, 26 - 28.

18,Куликов Л,Я, Подпрямые разложения счетных абелевых групп без кручения // X. Всес. алгебр, коллоквиум, - Новосибирск. 1969, - с, 18 - 19.

19,Куликов Л,Я, 0 подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // XII Всес, алгебр, коллоквиум, - Свердловск, 1973, - с, 30,

20, Курош А,Г, Теория групп, - М,, 1974,

21, И.Ламбек, Кольца и модули, - М,, Мир, 1971,

22, Мальцев А,И, Абелевы группы конечного ранга без кручения // Мат, сб. - 1958, - 4, - с, 45 - 68,

23, Мишина А.П. Абелевы группы // Алгебра. Топология. Геометрия, 1965, (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР), - М., 1967,- с, 9 - 46.

24, Мишина А.П. Абелевы группы // Алгебра, Топология, Гео-

- 119 -

метрия. 1978, (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР), - М,, 1979,- с, 3 - 64.

25, Рожков А.В, Подпрямые произведения близкие к прямым // Челябинск, 1996, - 27 с,(Рукопись депонирована в ВИНИТИ 29 ноября 1996 г, N 3469 - В96 Деп.)

26, Себельдин A.M. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов.// Матем. зам,, 1972, Т.11, N 4. - с. 403 - 408.

27, Фарукшин В.Х, Эндоморфизмы редуцированных обобщенно при-марных групп без кручения, - М., 1982, - 11 с, (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 14 апреля 1982 г. N 1821 - 82 Деп.)

28, Фарукшин В.Х. Эндоморфизмы абелевых групп без кручения, - М., 1981. - 42 с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 28 мая 1981 г. N 2579 - 81 Деп,)

29, Фарукшин В.Х. Эндоморфизмы обобщенно примарных групп без кручения, - М., 1981. - 11 с,(Рукопись депонирована в ВИНИТИ 13 июля 1981 г. N 3469 - 81 Деп.)

30, Л,Фукс. Бесконечные абелевы группы, Т.1. - М.,Мир,1974,

31, Л.Фукс, Бесконечные абелевы группы, Т.2, - М,.Мир,1977,

32, Arnold D.M. Finite rank torsion-free groups and rings // Lecture Notes Math, - 1982, V.931.

33, Arnold D.M,, Vinsonhaler C, Pure subgroups of finite rank completely decomposable groups, // Lecture Motes Math. 1983, V, 1006, - P, 97 - 143,

34,Beaumont R.A,, Pierce R.S. Torsion-free groups of rank two. Mem, Amer. Soc., N 38 (1961)

35, Baer R, Types of" elements aid characteristic subgroups of abelian groups // Proc, London Math, Soc, - 1935, - 39. - P.

- 120 -

36, Corner Â.L.S. Endomorphisms ring of torsion free abelian groups. // Proc. Internat Conf. Theory Groups. - Canbera. 196'?, - P, 59 - 69.

37, Derri D, Ober eine Klasse von abelscher Gruppen //Proc, London Math, Soc, - 1937, - 43 - P, 490 - 506,

38, Dickinso R., Tamura T. Construction of subdirect of groups of integers I. // Pure Math, and AppI, A, - 1992, V, 3, N 3-4 - P, 161 - 183.

39, Dingguo W. On the Brown - McCoy property for r-rings // Commun, Algebra, - 1996, V. 24, N 2. - P, 477 - 486,

40, Dugas M, On the Jacobson radical of some endamorphism ring,//Proc. Amer, Math, Soc, 1988. V. 12, N. 4 - P. 823 -829.

41, C. Fait, Y, Utumi. Quasi-injective modules and their endomorphism rings // Arch, Math,, 1964, V, 15, - P, 166 -174,

42, Haimo F, Endomorphism radicals which characterise some divisible groups,//Ann, Univ. Sei Budapest, Sec, math, 1967, y.10 - P, 25 - 29,

43, Neal H. McCoy, Subdirect sums of rings, // Bulletin of the Amer, Math, Soc,. V. 53. - 1947, - P, 8556 - 877,

44, Parr J, Endomorphism rings of rank two torsion free abelian groups,//J, London, Math. Soc,, - 1971, - V, 22, - P, 611 - 632,

45, Patterson E.U, On the radical of certain infinite matrices, //Proceeding Royal Soc, Edinburc Sectuona 6A (1957 -1961). P, 263 - 271,

46, Patterson E.U. On the radical of rings of now-finite mabi îuôùûf ociiiue n uueeuiiip uu usui - lauic;, r, 4c itu.

- 121 -

47. J.Reid. On the ring of quasi-endomorphisms of a torsionfree group, Topics in abelian groups. Chicago, 1963,p.51-68,

48. Sands A.D. On the radical of the endomorphism ring of a primary abelian group, //Proc. Udine Conf. on Abelian Groups and Modules, Springer - Verlag. 1984. P, 305 - 314,

49. R. Ware, J, Zelmanovith. The Jacob-con radical of the endomorphisms of a projective module // Proc. Am. Math. Soc,, 1970, V, 26, n 1, - p. 15 -20,

50. В.А.Дегтяренко. Присоединено простой радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой группы без кручения конечного ранга. - Деп, в ВИНИТИ 23.10.90. N 5459-В90.

51. В,А.Дегтяренко.Подпрямая сумма вполне разложимых абеле-вых групп без кручения. Деп.в ВИНИТИ 15.10,92 N 2984 - В92,

52. В.А.Дегтяренко, Подпрямая сумма двух групп первого ранга, индуцированная квазициклическими группами, Деп,в ВИНИТИ 5.11.94 N 2509 - В94.

53. В,А,Дегтяренко, Псевдоцоколь подпрямой суммы вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного ранга, Деп, в ВИНИТИ 10,08,98 N 2545 - В98,