Матрицы Мальцева двойственных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Костромина, Юлия Владимировна

• Костромина, Юлия Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Костромина, Юлия Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Обозначения и некоторые определения

Глава 1. Матрицы Мальцева

§ 1. Описание Мальцева групп без кручения конечного ранга

§ 2. Ортогональные модули

§ 3. Матрицы Мальцева локально свободных групп

§ 4. Матрицы Мальцева факторно делимых групп

Глава 2. Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева

§ 5. Матрицы Мальцева группы Нот (Я, С)

§ 6. Матрицы Мальцева группы Нот((7, Я)

Глава 3. Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева

§ 7. Матрицы Мальцева группы

двойственной факторно делимой группе

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матрицы Мальцева двойственных групп»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных абелевых групп, основанная на результатах Прюфера [20], Ульма [23] и Цыпи-на [25]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [4] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [17], А. И. Мальцев [33] и Д. Дерри [7] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.

В 40-50-е годы произошло выделение теории абелевых групп из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [31].

В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения (преимущественно конечного ранга). Рост

интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий Капланского [16], Фукса [40] и Гриффита [8], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги, Фукс написал совершенно новую двухтомную монографию [40].

В последующие годы интерес к примарным группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Йонссоном [15], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых, это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли Корнер, Е. А. Благовещенская и A.B. Яковлев [26], [41]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (бурное развитие данного направления отражено в монографии Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

Бьюмонт и Пирс [5] и Рейд [21] уточнили понятие квазиизоморфизма и ввели несколько схожих новых. Понятие квазиизоморфизма не сыграло заметной роли в решении структурной проблемы для групп без кручения конечного ранга. Тем не менее комплекс идей и понятий, связанных с ним, оказались очень полезными при изучении различных классов абеле-

вых групп и их колец эндоморфизмов. Например, в своих статьях [12], [39] А. А. Фомин получил описание с точностью до квазиизоморфизма некоторых весьма широких классов групп без кручения конечного ранга. Это описание включает известную характеризацию Бьмонта и Пирса групп без кручения ранга 2.

В литературе 70-х годов отмечалось, что трудность в исследовании групп без кручения в малочисленности используемых методов. Лучше обстоит дело с группами конечного ранга. Несколько новых идей, возникших в 70-х годах, оказались довольно удачными и вызвали бурное развитие теории групп без кручения конечного ранга [3]. Результаты Бьюмонта и Пирса, Рейда, связанные с понятием квазиизоморфизма, приобрели новое значение.

Также Р. Пирсом были получены основные результаты относительно групп гомоморфизмов. Тот факт, что множество всех гомоморфизмов абе-левой группы А в абелеву группу В образует абелеву группу Нот(Д.В), оказался исключительно важным. В последнее время тематика, связанная с группой Ногп(Л, В) и вообще с гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Это связано с многочисленными приложениями этих вопросов в смежных областях, а именно, при решении задач в теории групп и модулей. Список работ [13], [14], [22], [24], [27]—[30], [34]—[36], посвященный изучению групп гомоморфизмов абелевых групп и их свойств, далеко не полный.

В 1961 г. в совместных работах Р. Бьюмонта и Р. Пирса [5] были описаны

два класса абелевых групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма, это класс факторно делимых групп и класс групп без кручения ранга 2. И тот и другой классы были описаны при помощи новых инвариантов, которые для разных классов никак не связаны между собой. На основе описания факторно делимых групп был получен ряд хороших результатов, из которых наиболее интересными на наш взгляд являются работы [2], [6], [10], [11], [19], [28]. Но особенно большой резонанс имело описание групп ранга 2. Число публикаций по этой теме составляет ни один десяток статей. Увеличить ранг на единицу, т. е. построить инварианты в духе Бьюмонта-Пирса, описывающие с точностью до квазиизоморфизма группы без кручения ранга 3. удалось только в 1989 г. А. А. Фомину [38]. После чего им была получена и общая теорема для произвольного конечного ранга [12].

В настоящее время все активнее идет изучение абелевых групп с использованием языка категорий. Р. Уорфилд работал с категорией локально свободных групп с гомоморфизмами в качестве морфизмов. Д. Арнольд изучал категории факторно делимых групп с квазиизоморфизмами в качестве морфизмов.

Как уже отмечалось выше абелевы группы без кручения конечного ранга были описаны А. Г. Курошем, Д. Дерри и А. И. Мальцевым в конце 30-х годов XX века. Описание Куроша-Дерри, вошедшее в монографии [32] и [40], получило широкую известность. Однако во многих ситуациях описание Мальцева оказывается более удобным. Недавно А. А. Фомин [9] по-

казал, что описание Мальцева можно рассматривать как двойственность некоторых категорий.

В данной работе с использованием описания Мальцева исследуется двойственность Уорфилда для локально свободных групп и двойственность Арнольда для факторно делимых групп.

Локально свободные группы рассматривались Р. Уорфилдом в [24] в связи с изучением абелевых групп без кручения и их групп гомоморфизмов. В данной работе решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной локально свободной группе в смысле Уорфилда. Также решается задача нахождения матриц Мальцева группы, двойственной факторно делимой группе в смысле Арнольда. Другими словами, перевода двойственности Уорфилда и двойственности Арнольда на язык матриц Мальцева. В 2007 г. в [37] А. А. Фомин ввел категорию матриц специального вида и доказал, что она эквивалентна категории факторно делимых групп и двойственна категории групп без кручения. А. А. Фомин матрицы данной категории называл редуцированными матрицами. Заметим, что это фактически те матрицы, которые А. И. Мальцев называл совершенными, а функторы двойственности категории матриц и категории групп без кручения можно рассматривать как новую версию описания Мальцева [33].

Цель работы. Целью диссертационной работы является переосмысление результатов Мальцева в контексте современного уровня развития теории абелевых групп без кручения конечного ранга и перевод на язык матриц Мальцева двойственности Уорфилда для локально свободных групп и

двойственности Арнольда для факторно делимых групп.

Новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следующие.

1. Описано строение матриц Мальцева локально свободных групп и строение матриц Мальцева факторно делимых групп.

2. Найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения конечного ранга и матрицами Мальцева групп Нот(Д, С) и Нот(С, Я), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1.

3. Найдены соотношения между матрицами Мальцева факторно делимой группы и матрицами Мальцева двойственной ей группы в смысле Арнольда.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-методической конференции Рязанского военного автомобильного института (Рязань, 2009), на Всероссийском симпозиуме "Абе-левы группы" (Бийск, 2010), на Всероссийской конференции посвященной 110-летию математического факультета "Математика, информатика и методика их преподавания" (Москва, 2011), на 5-ом Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 2012), а также на научно-исследовательском

семинаре кафедры алгебры МПГУ. По теме диссертации опубликовано 7 работ ([42]—[48]).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 72 страницы. Список литературы содержит 48 наименований.

Содержание работы. В первой главе диссертации рассматривается описание Мальцева групп без кручения конечного ранга. В первом параграфе приводится строение и основные свойства матриц Мальцева. Во втором параграфе вводится определение ортогонального дополнения модуля и рассматриваются его свойства. В третьем параграфе исследуется строение матриц Мальцева локально свободных групп. В четвертом параграфе — строение матриц Мальцева факторно делимых групп.

Во второй главе диссертационного исследования получено описание двойственности Уорфилда на языке матриц Мальцева. В четвертом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения С конечного ранга и матрицами Мальцева группы Нот(Я, С), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1. Главным результатом четвертого параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть х — скаг( 1д); где И — группа без кручения ранга!. С — локально свободная группа с базисом х\} х'2, хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

/т ^

0 I

(р)\

п1г -(р)

П2г

и набором подстановок

О

1 2

Лр) Лр) ч Н

е £ (р)

р 1

Е г ы

р2

1 / е й аы

. Если х ^ базис

М

Оу

Х\,Х2, ...,хг принадлежит группе = {х е с | сНаг(х) ^ х} и группа определяется относительно этого базиса следующим набором р-матриц Мальцева:

О Т

*т(р)\

п

1 г

-(р) 2г

о

е ъ

£ ^ „м

р '

1 / е ъ о(Р)_4

г/ гае,м э/се набором подстановок

Ар) Лр)

г

Лр)

иу

понента характеристики х 6 группе Я.

, где з — р-тая ком-

В пятом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева группы без кручения конечного ранга С и матрицами Мальцева группы Нот(С, К), где С — локально свободная группа, Я — группа без кручения ранга 1. Основной результат данного параграфа также сформулирован на языке ортогональных дополнений. Главными результатами пятого параграфа являются следующие теоремы.

Пусть А£

(\х ... О

р-матрица й-го слоя группы

у6Г1 ... 6ггу

Обозначим через В1, В2,..., Вг — столбцы матрицы А3. Через Р^ будем

обозначать класс вычетов, представителем которого является элемент 6,

г.]

для всех г — 1, г, у = 1, г.

Теорема 6.3. Пусть С — локально свободная группа с фиксированным базисом хх, хг,..., хг, Я — группа без кручения ранга 1 такая, что Ьуре{Я) ^ ОТ (О) и бесконечности у данных типов на одинаковых местах. И пусть С* = Нот(С, Я) — группа, двойственная группе (7, с дуальным базисом ..., х*. который определяется следующим образом:

х*{х^) = 0, если г ^

х*(хг) = 1.

Пусть С1, С2,..., сг — целые числа, являющиеся представителями классов вычетов 7ь 72, 7г по модулю рв. Тогда

С1х1 + С2Х*2 + ...+СгХ; еС* ^ в1 + ъВ2 + ___ + ъВг = 0 е колъ_ рв

це Ъгг.

Теорема 6.4. Пусть т = [(тр)] некоторый тип, Я — группа ранга 1 типа т такая, что характеристика единицы равна (тр). С? — локально свободная группа класса Ш1г, £1,Х2, ...,хг — базис группы С, для которого (ск^) ^ (тр). Тогда р171?-модули двойственной в смысле Уорфилда группы Нот(С, Я) относительно дуального базиса х\.х\, ...,х* являются ортогональными дополнениями ртр -модулей группы С относительно базиса

Х\, Х2, •••, хг для всех простых чисел р с тр < оо.

Теорема 6.5. Пусть С — локально свободная группа ранга г с базисом Х\,Х2,...,хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

га 1, заданная типом Бэра. И пусть Нот(С, Я) — группа, двойственная группе С в смысле Уорфилда. такая что Ьуре(Я) ^ ОТ(С) и бесконечности у данных типов па одинаковых местах. Через в обозначим р-тую компоненту характеристики единицы в группе Я. Тогда группа Нот(С?, Я) определяется следующим набором р-матриц Малышева:

(Т ... п^А € Ъ^

О Т ... пЙ? €

\о о ... 1 / е ъ

и набором подстановок

, Я — группа без кручения ран

О О

у о о

и набором подстановок

Зк,к = 1

в к,к-1 — Пк-1,к (через щ3 будем обозначать разность рХ] Хг — щ3),

Як,к-2 = Пк-2,к — Пк-2,к-1$к,к-Ъ

Як,к-3 = Т1к—3,к ~ Пк-3,к-23к,к-2 ~ Т1к-ЗЛ-18к,к-1,

вк,к-1 ~ Пи-г,к ~ ^к—г,к—1+1 Зк,к—г+1 ~ П>к~1,к-1+28к,к-1+2 ~ ■■■ ~ "^к-1,к-\8к,к—1-

В третьей главе диссертационного исследования получено описание двойственности Арнольда на языке матриц Мальцева. В седьмом параграфе найдены соотношения между матрицами Мальцева факторно делимой группы и матрицами Мальцева двойственной ей группы в смысле Д. Арнольда. Основной результат данного параграфа также сформулирован на языке ортогональных дополнений. Главными результатами седьмого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 7.1. Пусть (7 — факторно делимая группа ранга г с базисом х\, Х2, •••, хг, относительно которого она определена набором р-матриц Мальцева по всем простым числам р:

(

1 0 ... О «<? ... аМ е Z> О 1 ... О а<? ...

АЪ)

о о ... О О о

о о ... о о о

о е ъх.

уо о ... о о о

о у е ъ

и набором подстановок

» »

г

Лр)

ьт

. И пусть С* — группа двой-

ственная группе С в смысле Арнольда, тогда группа С* определяется следующим набором р-матриц Мальцева:

(г о .. 0 1 .. . 0 . 0 (р) (р) а12 (р) -а 21 •• (р) а22 (р)\ ■ ~ат1 (р) ат2 е е 2

а *(р) _ 0 0.. 0 0.. . 1 . 0 (р) ~а\п 0 (р) -«2п -0 (р) О^тп 0 е е 2К1

0 0.. . 0 0 0 0 е

^0 0 .. . 0 0 0 . 0 ) е гьт

набором подстановок (■ 2 Лр) -у

"г-1

Теорема 7.3. Пусть С — факторно делимая группа, £1, хг,..., хг — базис факторно делимой группы С. Тогда р-адические модули двойственной в смысле Арнольда группы С* относительно дуального базиса х\, ...,х* являются ортогональными дополнениями р-адических модулей группы С относительно базиса Х\,Х2,..., хг.

Таким образом из приведенных выше результатов видно, что матрицы взаимодвойственных по Арнольду факторно делимых групп связаны наиболее просто, а именно, их матрицы Мальцева фактически переходят друг в друга при транспонировании. Связь же матриц Мальцева локаль-

но свободных групп менее наглядная. В случае эквивалентных групп мы получаем матрицу с такими же коэффициентами, но с изменением типа Ричмена группы. Случай двойственных групп по Уорфилду оказывается самым трудоемким, матрица Мальцева двойственной группы вычисляется при помощи громоздких реккурентных соотношений.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N — множество натуральных чисел

Р — множество всех простых чисел

Ъ — кольцо (группа) целых чисел

<0) — поле (группа) рациональных чисел

— кольцо (группа) всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р

Ът — кольцо (группа) классов вычетов по модулю т

Zpoo — квазициклическая группа

— кольцо (группа) целых р-адических чисел <0>р — поле (группа) р-адических чисел

Нош(Л, В) — группа гомоморфизмов из группы А в группу В

А® В — тензорное произведение групп А и В

А 0 В, ф Аг — прямая сумма групп (модулей)

ге1

\\Аг — прямое произведение групп (модулей) ге/

Ап — прямая сумма п копий группы (модуля) А

г (А) — ранг (без кручения) группы А

гр(А) — р-ранг группы А

сНгпр V — размерность ^-пространства V

— р-высота элемента а

— характеристика элемента а

периодическая часть группы А р-примарная часть группы Ь(А) подгруппа, порожденная множеством М подгруппа, сервантно порожденная множеством М

порядок элемента а

Так как все группы, рассматриваемые в настоящей работе, являются абелевыми, то в словосочетании «абелева группа» слово «абелева», как правило, будем опускать. Терминология и обозначения, используемые нами, в основном соответствуют принятым в книге Фукса [40]. Впервые определяемый термин выделяется курсивом. Символ ■ обозначает конец доказательства или его отсутствие.

Подгруппа С группы (? называется сервантной, если для любого элемента с е С и любого натурального числа п из разрешимости в группе С уравнения

следует его разрешимость в подгруппе С. Часто используется следующий критерий сервантности: подгруппа С сервантна в группе С тогда и только тогда, когда пС — С п пС для любого

Пусть М — произвольное подмножество элементов группы С. Подгруппа группы С, состоящая из всех элементов а, таких что па е (М) для

Сервантные подгруппы

пх = с

некоторого натурального п, называется сервантной оболочкой множества М в группе С (или подгруппой, сервантно порожденной множеством М) и обозначается (М)*. В частности, (М)* содержит все элементы конечного порядка группы С. Заметим, что данное определение в общем случае отличается от аналогичного в [40], где сервантной оболочкой множества М называется пересечение всех сервантных подгрупп, содержащих М (хотя для групп без кручения эти формулировки эквивалентны).

Ранг и р-ранг

Система элементов а^ а2, .. ., ап К-модуля М называется линейно независимой над К, если для любых к2, ..., кп Е К из равенства

к\а\ + к2а2 + ... + кпап = 0

всегда следует, что к\а\ = к2а2 = ... = кпап = 0. Систему элементов, не являющуюся независимой, называют зависимой. Бесконечная система называется линейно независимой, если независима любая ее конечная подсистема. Рангом без кручения абелевой группы С называется мощность максимальной линейно независимой системы факторгруппы рас-

сматриваемой как модуль над кольцом Ъ. Всюду в работе ранг без кручения мы будем называть просто рангом группы и обозначать т(С).

Размерность факторгруппы С/рС, рассматриваемой в качестве векторного пространства над полем Ър, называется р-рангом группы С и обозначается Если С — группа без кручения, то ^ г(С?) для любого простого р.

Характеристики и типы

Характеристикой называется любая последовательность целых неотрицательных чисел и символов оо, занумерованная простыми числами. Характеристики мы будем обозначать или в виде последовательностей (тр), или с помощью греческих букв х, ф и Ф- Две характеристики называются эквивалентными, если они различаются не более чем конечным числом конечных р-компонент. Иными словами, характеристики (тр) и (кр) эквивалентны тогда и только тогда, когда множества простых чисел {р \ тр = сю} и {р | кр = сю} совпадают, а множество {р \ тр ^ кр} конечно.

Класс эквивалентных характеристик называется типом. Для обозначения типов будем использовать греческие буквы г и ст. Если тип т содержит характеристику х = (тр)> т0 будем писать г = [х] = [(?%>)]•

Характеристика (0, 0, ...) называется нулевой. Если все р-компоненты характеристики х, кроме, быть может, конечного числа, равны 0, то х называется почти нулевой характеристикой. Тип называется нулевым (почти нулевым), если он содержит нулевую (почти нулевую) характеристику. Характеристику (сю, оо, ...) будем обозначать греческой буквой р.

Множество характеристик частично упорядочено: (тр) ^ (кр) тогда и только тогда, когда тр ^ кр для любого простого р. Частичный порядок на множестве типов определяется следующим образом: т ^ а тогда и только тогда, когда существуют характеристики % е т, (/? е а, такие что х ^ <Р-

Характеристика (тр) называется идемпотентной, если тр = оо или тр = 0 для любого простого р. Если же тр ^ оо при любом простом р, то характеристика (тр) называется локально свободной. Тип, содержащий

идемпотентную (локально свободную) характеристику, называется идем-потентным (локально свободным).

Наибольшее целое неотрицательное число га, для которого уравнение ртх = а, где а Е G, разрешимо в G, называется р-высотой элемента а в группе G и обозначается т — hp(a). Если это уравнение разрешимо в G при любом натуральном га, то говорят, что а имеет бесконечную р-высоту в G и пишут hp(a) = оо. Последовательность (hp(a)) называется характеристикой элемента а в группе G и обозначается char(a). Тип [(/гр(а))] называется типом элемента а в группе G.

Группы без кручения конечного ранга

Если G — группа без кручения ранга 1, то все ее ненулевые элементы имеют один и тот же тип. Этот тип называется типом группы G. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их типы совпадают.

Пусть G — группа без кручения конечного ранга п со свободной под-

п

группой F = ф ZХ{] Гр — р-ранг группы G для каждого простого р. Тогда

г=1

периодическая группа G/F имеет вид

G/F = е tp(G/F) 9¿ е éф © • м

i— 1 IV— I p

ptP peP

Последовательность типов [(&ip)], [(fop)], •••, [(foip)], где fop взяты из (*) называется типом Ричмена группы G (считаем, что fop = оо при г > гр). Если G — группа ранга 1, то ее тип Ричмена совпадает с ее обычным типом, т. е. тип Ричмена можно считать обобщением понятия типа с групп

ранга 1 на группы произвольного конечного ранга. Группа без кручения конечного ранга задается своим типом Ричмена тогда и только тогда, когда она вполне разложима, т. е. когда она раскладывается в прямую сумму групп ранга 1.

С помощью типа Ричмена можно охарактеризовать многие подклассы групп без кручения конечного ранга, такие как факторно делимые группы, локально свободные группы, группы Мерли, группы Дюбуа и др. Например, группа без кручения С является факторно делимой (локально свободной) тогда и только тогда, когда все типы, входящие в ее тип Ричмена, идемпотентны (локально свободны).

Произвольная группа С называется р-локалъной, если qG = С для любого простого д, отличного от р. Группа С является р-локальной группой без кручения конечного ранга тогда и только тогда, когда ее тип Ричмена содержит характеристики, все д-компоненты (д ^ р) которых бесконечны.

ГЛАВА 1

МАТРИЦЫ МАЛЬЦЕВА

§ 1. Описание Мальцева

Одной из первых работ полностью посвященных абелевым группам без кручения является статья А.И. Мальцева [33]. В ней он установил взаимно однозначное соответствие между системами рг-матриц (г = 1,2,...) и группами без кручения конечного ранга, при котором каждой совокупности изоморфных между собой групп соответствует класс эквивалентных между собой систем совершенных рг-матриц.

Пусть — группа без кручения конечного ранга с фиксированным базисом Х\,Х2, ...,хг, тогда каждый ее элемент д представляется в виде:

пд = тхХх + 777.2X2 + ■•• + тгхг, где п € Е 2.

Определение 1.1. [33] р-примитивной подгруппой группы С при данном базисе называется подгруппа образованная теми элементами д группы которые могут быть представлены в виде рад = тть\Х\ + 777.2X2 + 4- ... + тгхг, где 7Пг € се Е N.

Легко видеть, что группа С порождается совокупностью всех своих р-примитивных подгрупп С(р), <з = (С(р) | реР).

Для того чтобы разобраться, как устроены матрицы Мальцева группы С, зафиксируем простое число р и рассмотрим подробнее р-примитив-ную подгруппу группы С. Обозначим через множество всех элементов д группы которые могут быть представлены в виде ряд — = т\Х\ + ГП2Х2 + ... + тгхг, где тг е 2, 0 < 5 £ 2. Группа называется в-тым слоем подгруппы Заметим, что каждый слой является свободной группой ранга г. Ясно, что с с ... с с ... и _ _(_ + ... + С(р') + ..., где знак + употреблен в теоретикомно-жественном смысле. Отсюда следует, что при достаточно большом й, мы можем считать, что =

Пусть Г = (х'1, Х2,..., хг). Определим группу и заметим, что = = {д е с | рвд € -р} ^ Пусть у — векторное пространство над ((]) с

базисом х\, Х2, ...,хг, такое что ^ с (? с к Тогда р~вР — {у е V | р^ е

еП-

Рассмотрим целочисленную квадратную матрицу порядка г:

л =

ап ах2

0.1

\

Й21 «22 ••• а2 г

уаГ1 аг2 ... аГг/

Определение 1.2. [33] Матрица А3 называется матрицей слоя (3ес-

аг1Х1 + аг2ж2 + ... + аггхг

-(г = 1,..., г) порождают группу Сг(р*).

ли элементы

рг

Рассмотрим следующие преобразования матриц А3:

(а) умножить или разделить по модулю рв какую-либо строку матрицы на число, не делящееся на р.

(/3) из одной строки матрицы вычесть другую, умноженную на любое целое число.

Определение 1.3. [33] Матрица Л^ группы называется нормальной, если она перестановкой столбцов может быть приведена к виду

^рХх П12рХх ... П1ГрЛ1^

О рХ2 ... п2грХ2

(1)

\ 0 0 ... рк /

где 0 ^ Лх ^ Л2 ^ ... ^ Лг ^ в и 0 ^ щк < рхк~х\

Л 2 ... Л

Пусть I есть подстановка, которая приводит матрицу к

¿2 ... гг)

виду (1). В дальнейшем мы будем записывать нормальные матрицы сразу в виде (1), помня при этом, что с каждой матрицей связана некоторая подстановка, приводящая ее к нормальному виду с данным расположением столбцов.

Заметим, что всякую матрицу А3 преобразованиями (а), (/3) можно привести к нормальному виду. Учитывая этот факт, можно сделать вывод, что нормальные матрицы определяются с точностью до перестановки столбцов, а нормальные матрицы с данным расположением столбцов определяются однозначно.

Теорема 1.1. [33] Для любых двух матриц группы каждая может быть получена из другой конечным числом преобразований (а), (/3).

Теперь рассмотрим вопрос о том, какими соотношениями должны быть связаны соответственные элементы нормальных матриц двух последовательных слоев группы

Рассмотрим нормальные матрицы групп С^) и с одинаковым

расположением столбцов:

1 0 ... О ап й!2 ... а\п О 1 ... О а21 а22 ... а2п

О 0 ... 1 ат 1 ат2 ... атп О 0 ... О рх1 ппрХх ... пырХ1 О 0 ... О 0 рх* ... п2прх*

О 0 ... О 0 0 ... рк )

Ns+1 =

Л О

О 1

о о о о о о

О а

и

а

12

а

1 п

О а21 (¿22

а

2 п

-i

1 °"т\ ат2

О pAl П12У V

а

тп

О О -Л2'

ninPXl' П2пРХ2'

у о о ... о о о ... рк' !

Тогда агк = агк{той И если Л'х = Л'2 = ... = Ато_1 = О, но Лто > О, тогда \ — \ + 1 и п[к = пгк (к > г ^ га).

Рассмотрим нормальную матрицу з-того слоя группы построенную на базисе Х\, х2,....., хг:

Л Л Л . \

А, =

1 0 ... О а\\ а\2

О 1 ... О a2i а22

О 0 ... 1 ami ат2

О 0 ... О рХх ni2pXl

О О ... О 0 рХ2

o-ln п

й>ГП.П

ПыР П2пР

М

а2

V

о о ... о о

о

РК j

Обозначим через s — Аг = аг (г = 1,п). Так как 0 ^ Ai ^ Л2 ^ ... ^ Ап, tos — Ai^s — Á2 ^ ... ^ s — Ап, то есть а\ ^ а2 ^ ... ^ ап ^ 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Костромина, Юлия Владимировна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] D. М. Arnold, A duality for torsion free modules of finite rank over a discrete valuation Ring // Proc. London Math. Soc., (3) 24, 1972, 204216.

[2] D. M. Arnold, A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank 11 Pacific J. of Math., 42, 1972, 11-15.

[3] D. M. Arnold, Finite Rank Abelian Torsion Free Groups and Rings // Lecture Notes in Math., v.931, 1982.

[4] R. Baer, Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. J., 3, No. 1, 1937, 68-122.

[5] R. Beaumont, R. Pierce, Torsion free rings // Illinois J. Math., 5, 1961, 61-98.

[6] R. Beaumont, R. Pierce, Subrings of algebraic number fields // Acta Sci. Math. (Szeged), 22, No. 3-4, 1961, 202-216.

[7] D. Berry, Uber Eine Klasse von Abelischen Gruppen // Proc. London Math. Soc., 43, 1938, 490-506.

[8] P. A. Griffith, Infinite abelian group theory, The University of Chicago Press, Chicago-London, 1970.

[9] A. A. Fomin, Invariants for abelian groups and dual exact sequences // J. of Algebra, 322, 2009, 2544-2565.

[10] A.A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible Abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc., 126, 1998, 45-52.

[11] A.A. Fomin, Quotient divisible mixed groups // Contempt. Math., 273, 2001, 117-128.

[12] A.A. Fomin, The category of quasi-homomorphisms of abelian torsionfree groups of finite rank // Proc. of Intern. Mal'cevs Conf., AMS, 1991.

[13] L. Fuchs, Note on Abelian groups,I // Ann. Univ. Sei. Budapest, V.2, 1959, 5-23.

[14] L. Fuchs, Note on Abelian groups,II // Acta Math. Acad. Sei. Hungar, V.ll, 1960, 117-125.

[15] B. Jonsson, On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math. Scand., 5, 1957, 230-235; 7, 1959, 361-371.

[16] I. Kaplansky, Infinite abelian groups, The University of Michigan Press // Ann Arbor, 1954, 1969.

[17] A. G. Kurosch, Primitive torsions freie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. Math., 38, No. 1, 1937, 175-203.

[18] A. Mader, Almost completely decomposable groups // Algebra, Logic and Applications, 13, Gordon and Breach, Amsterdam, 2000.

[19] C. E. Murley, The classification of certain classes of torsion free abelian groups // Pasific J. Math., 40, No. 3, 1972, 647-665.

[20] Н. Prüfer, Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Math. Z., 17, No. 1, 1923, 35-61.

[21] J. D. Reid, Abelian groups cyclio over their andomorphism rings // Lecture Notes Math., V. 1006, 1983, 190-203.

[22] P. Schultz, Torsion-free extensions of torsion-free Abelian groups //J. Algebra, V. 30, No. 1-3, 1974, 75-91.

[23] H. Ulm, Zur Theorie der abzählbar-unendlichen abelschen Gruppen // Math. Ann., 107, 1933, 774-803.

[24] R. B. Warfield, Jr., Homomorphisms and duality for torsion-free groups // Math. Z., 107, 1968, 189-200.

[25] L. Zippin, Countable torsion groups // Ann. of Math., 36, No. 1, 1935, 86-99.

[26] E. А. Благовещенская, A.B. Яковлев, Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения // Алгебра и анализ, 1989. т. 1, № 1, с. 111-127.

[27] С. Я. Рриншпон, О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп // Изв. вузов. Математика, 1998, №9, с. 42-46.

[28] О. И. Давыдова, Факторно делимые абелевы группы ранга 1 // Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, №3, с. 25-33.

[29] В. П. Елизаров, Системы линейных уравнений над конечными кольцами // Труды по дискретной математике, 2002, т. 6, с. 31-47.

[30] П. А. Крылов, Об абелевых группах без кручения // Абелевы группы и модули, Томск, 1980, с. 91-101.

[31] Л. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб., 1941, т. 9, № 1, с. 165-181; 1945, т. 16, №2, с. 129-162.

[32] А. Г. Курош, Теория групп. Москва, 1967.

[33] А. И. Мальцев, Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб., 1938, №4, с. 45-68.

[34] А. М. Себельдин, Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Математика, 1973, № 7. с. 77-84.

[35] A.M. Себельдин, О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули, Томск, 1976. с. 78-86.

[36] А. М. Себельдин, А. Л. Силла, Представления первой степени абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика, 2007, Т. 13. №3, с. 185-191.

[37] А. А. Фомин, Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика, 2007, 13 (3), с. 223-244.

[38] А. А. Фомин, Абелевы группы без кручения ранга 3 // Матем. сб., 1989, 180, №9, с. 1155-1170.

[39] А. А. Фомин, Инварианты и двойственность в некоторых классах абе-левых групп без кручения конечного ранга // Алгебра и логика, 1987, 26, № 1, с. 63-83.

[40] Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, Т.1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

[41] А. В. Яковлев, Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1989, т. 175, с. 135-153.

Работы автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

[42] Ю. В. Костромина, Исследование некоторых групп гомоморфизмов абелевых групп // Математические заметки, 2012, т. 91, № 6, с. 942-945.

[43] Ю. В. Костромина, Двойственность Уорфилда и матрицы Мальцева // Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, т. 17, №8, с. 77-94.

[44] Ю. В. Костромина, Двойственность Арнольда и матрицы Мальцева // Вестник Томского государственного университета, 2012, №2 (18), с. 23-28.

Статьи в других научных изданиях:

[45] Ю. В. Костромина, Группы гомоморфизмов абелевых групп // Математика, информатика, физика и их преподавание,Сборник статей к 75-летию кафедры математического анализа МПГУ, Москва, МПГУ,

2009, С. 94-96.

[46] Ю. В. Костромина. Матрицы Мальцева группы, двойственной группе без кручения конечного ранга // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, посвященного 95-летию Л. Я. Куликова, Бийск,

2010, С. 39-41.

[47] Ю. В. Костромина, Строение матриц Мальцева группы С) // Математика, информатика и методика их преподавания, Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета, Москва, МПГУ, 2011, С. 62-63.

[48] Ю. В. Костромина, Матрицы Мальцева группы, двойственной факторно делимой группе // Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск. 2012, С. 32-35.