Почти периодические коциклы и функционалы Ляпунова для построения почти периодических решений в задачах нагрева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Калинин, Юрий Николаевич

• Калинин, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калинин, Юрий Николаевич

Введение

1 Физические модели изучаемые в работе

1.1 Задача микроволнового нагрева материалов

1.2 Задача индукционного нагрева материалов.

2 Почти периодические коциклы и их построение в микроволновой задаче нагрева

2.1 Почти периодические функции.

2.2 Введение в теорию коциклов.

2.3 Устойчивые интегралы для коцикла.

2.4 Почти периодические интегралы для почти периодических коциклов.

2.5 Существование почти периодических решений в задаче микроволнового нагрева в одномерном случае.

3 Существование почти периодических решений для системы управления с монотонной нелинейностью

3.1 Система управления с монотонной нелинейностью.

3.2 Эволюционная система управления Лурье с нелинейностью типа Дуффинга.

3.3 Существование почти периодических решений в задаче индукционного нагрева в одномерном случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Почти периодические коциклы и функционалы Ляпунова для построения почти периодических решений в задачах нагрева»

Теория почти периодических функций была разработана датским математиком Бором Г. [16] в 1924-1926 гг. Но в историческом плане существуют разные варианты почти периодических функций, которые получили развитие в работах таких математиков как Безикович А. [14], Бохнер С. [15], Степанов В. В. [43], Левитан Б. М., Жиков В. В. [9] и многих других. Теория почти периодических функций тесно связана с задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и уравнений с частными производными. Существование почти периодических решений для разных классов эволюционных систем является важной задачей. Хорошо известны результаты о существовании почти периодических решений для разных классов. Например, вопрос о существовании почти периодических решений со значениями в метрическом или банаховом пространстве рассматривается в рамках теории обыкновенных (конечномерных) почти периодических дифференциальных уравнений в работах Красносельского М. А., Бурда В. Ш. и Колесова Ю. С. [7], Левитана Б. М. и Жикова В. В.[9], Fink А. М. [21]. Важные результаты о существовании слабо почти периодических функций для бесконечномерных эволюционных уравнений, абстрактных и в частных производных, в линейном случае были получены Amerio L. и Prouse G. [13]. Рассматривая нелинейные эволюционные уравнения стоит отметить работы Prouse G. [38], Dafermos С. М. [19], Левитана Б. М. и Жикова В. В. [9], в которых получены теоремы о существовании почти периодических по Степанову решений для параболических уравнений с монотонными операторами. Для систем управления нужно отметить такие работы, как Лихтарников A. JL, Якубович В. А. [11], Буркин И. М., Якубович В. А. [5], Красносельскй М. А., Бурд В. Ш. и Колесов Ю. С. [7]. В этих работах, для получения условий существования почти периодических решений используется частотный метод.

Особенно важными в последнее время оказались два метода, которые будут развиты в данной диссертации. Первый метод был предложен в работах Hiño Y. и Murakami S. [23] и Dafermos С. М. [19]. Здесь центральную роль играет рассмотрение исходной неавтономной системы в виде обобщённой динамической системы типа коцикла. В рамках такой интерпретации доказано существование почти периодических интегралов для определённых классов коциклов.

Этот подход изначально был изложен для процессов. В данной диссертации мы рассматриваем его для более общих конструкций, а именно - коциклов. Данное обобщение позволяет доказать существование почти периодических движений для одного класса коциклов. В работе показано, что задача микроволнового нагрева в присутствии почти периодического по Бору возмущения порождает такой класс коциклов. Отметим, что для случая, когда рассматривается задача нагрева с учётом двух фаз, вопрос существования почти периодических решений был изучен в работе Ishii Н. [25].

Другой подход к доказательству существования почти периодических решений развит в работах Панкова А. А. [12] для эволюционной задачи с монотонной нелинейностью. Здесь основным принципом является компактификация Бора топологической группы и использование энергетических функционалов. В работе для построения таких энергетических функционалов типа Ляпунова используется частотный метод. На основе частотной теоремы [11] получены достаточные условия существования почти периодических по Степанову решений. В отличие от имеющейся литературы такой метод для вариационных равенств предлагается впервые. В частности, в рамках такого подхода можно говорить о существовании почти периодического решения в задаче индукционного нагрева материалов.

Переходим к краткому изложению диссертационной работы.

В первой главе даётся описание двух задач нагрева, рассмотренных в дальнейшем. Во-первых, задача микроволнового нагрева. Мы приводим наиболее важные физические законы, которые описывают генерацию микроволн, возникновение и распространение тепла в материале. Микроволновое излучение описывают уравнения Максвелла, а распространение тепла в материале описывает уравнение теплопроводности. В итоге мы рассматриваем парную систему из этих уравнений. Важно отметить, что мы рассматриваем эту систему в одномерном случае по пространственным переменным, так как для неё получены наиболее точные теоремы существования глобальных решений в работах Yin Н.-М. [46],[47]. Дополнительно предполагается, что возмущения, которые входят в систему в виде граничных условий, почти периодические.

Вторая задача, которая рассматривается в первой главе, описывает проблему индукционного нагрева материалов. В отличие от предыдущей задачи, источником нагрева является приток тепла через границу материала. Мы так же предполагаем, что источник тепла зависит от почти периодических функций.

Во второй главе даётся введение в теорию коциклов в банаховом пространстве. Для таких коциклов вводится понятие почти периодического интеграла. Для парных уравнений, состоящих из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности, при почти периодическом возмущении показано существование почти периодических решений.

В третьей главе получены частотные условия существования почти периодических решений для эволюционных вариационных равенств с монотонными нелинейностями. Как частный случай рассматривается эволюционная система управления Лурье с нелинейностью типа Дуффинга на границе. В качестве примера рассматривается задача управления температурным профилем стержня с граничным управлением.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Калинин, Юрий Николаевич

Основные результаты работы представлены в работах [26, 29, 20, 27,

Заключение

В диссертационной работе рассматриваются вопросы существования почти периодических решений для разных классов систем.

Изучаются вопросы существования почти периодических решений для задач микроволнового и индукционного нагрева. Для этого строится теория почти периодических интегралов для коциклов. На основе этой теории показывается существование почти периодических интегралов для микроволновой задачи нагрева. Выводятся частотные условия существования почти периодических решений для эволюционных вариационных равенств с монотонными нелинейностями. Доказывается существование почти периодических решений для эволюционных систем с нелинейностью типа Дуффинга, и, как частный случай, задачи индукционного нагрева.

Полученные результаты для задач микроволнового и индукционного нагрева могут быть использованы для контроля за температурой на практике. Разработанные методы позволяют исследовать широкий класс возмущённых эволюционных систем, показать существование почти периодических решений для некоторых классов систем, что представляет теоретическую ценность работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калинин, Юрий Николаевич, 2013 год

1. Блягоз 3. У., Леонов Г. А. Частотные критерии устойчивости в большом нелинейных систем // Вестник ЛГУ. 1978. № 13. С. 18-23.

2. Брусин В. А. Уравнения Лурье в гильбертовом пространстве и их разрешимость // ПММ. 1976. Том 40. №5. С.947-955.

3. Буркин И.М., Буркина Л.И. Об условиях конвергентности одного класса нелинейных систем // Известиях ТулГУ. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". Тула. 2006. Вып. 1. С. 12-29.

4. Буркин И. М., Якубович В. А. Частотные условия существования двух почти периодических решений у нелинейной системы автоматического регулирования // Сибирск. математ. журн. 1975. Том 16. №5. С. 916924.

5. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами // М.: Наука. 1975. 568с.

6. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания // М.: Наука. 1970. 351с.

7. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. // М.: Наука, 1982. 620 с.

8. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения // М.: Изд-во Моск. ун-та. 1978. 204 с.

9. Леонов Г. А. Чурилов А. Н. Частотные условия ограниченности решений фазовых систем // Динамика систем. 1976. Я210. С. 3-20.

10. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Частотная теорема для уравнений эволюционного типа // Сибирск. математ. журн. 1976. Том 17. №5. С.1069-1085.

11. Панков, А. А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально операторных уравнений // Известия АН СССР. Серия Математическая. Киев Наукова думка. 1985. 180 с.

12. Amerio L., Prouse G. Almost Periodic Functions and Functional Equations // New York: Van Nostrand. 1971. 183 p.

13. Besicovitch A. Almost Periodic Functions // New York: Dower. 1954. 206 p.

14. Bochner S. Abstrakte fastperiodische Funktionen // Acta. Math. 1933. 61. 149-184 p.

15. Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I, II // Acta Math. 1925. Vol. 45. P. 29-127. Vol. 46. P. 101-214.

16. Brezis H. Problemes unilateraux // J. Math. Pures Appl., 1972. №51. P. 1-168.

17. Chueshov I. Order-preserving skew-product flows and nonautonomous parabolic systems // Acta Applicandae Mathematicae. 2001. Vol.65. P. 185-205.

18. Dafermos C. M. Almost periodic processes and almost periodic solutions of evolution equations // Defense Technical Information Center. 1976. P. 4357

19. Ermakov I. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. Vol.47. №13. P. 1837-1852.

20. Fink A. M. Almost Periodic Differential Equations // Berlin: Springer. 1974. 336 p.

21. Habash R., Bansal R. Thermal therapy, part 2: hyperthermia process // Critical Reviews in Biomedical Engineering. 2006. Vol.34, №6. P.491-542.

22. Hino Y., Murakami S. Almost periodic processes and the existence of almost periodic solutions // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 1998. №3. P. 1-19.

23. Hino Y., Murakami S., Yoshizawa T. Stability and existence of almost periodic solutions for abstract functional differential equations with infinite delay // Tohoku Mathematical J. 1997. Vol.49. P. 133-147.

24. Ishii H. Asymptotic stability and existence of almost periodic solutions for the one-dimensional two-phase Stefan problem // Math. Japonica 25. 1980. №4. P. 379-393.

25. Kalinin Y. Almost-periodic temperature fields in the microwave heating problem / Book of abstracts of G-RISC International Student's Conference "Science and Progress 2011". Saint-Petersburg, Russia. 2011. P. 136.

26. Kalinin Y., Reitmann V., Yumaguzin, N. Asymptotic behaviour of Maxwell's equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 754-762.

27. Kalinin Yu. N., Reitmann V. Almost periodic solutions in control systems with monotone nonlinearities // Differential equations and control processes. 2012. №4. P. 1-29.

28. Kloeden P., Schmalfuss B. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 14. P. 141-152.

29. Kloeden P. E., Schmalfuss B. Cocycle attractors of variable time step discretizations of Lorenzian systems // Journal of Difference Equations and Applications. 1997. 3. P. 125-145.

30. Kriegsmann G. A. Microwave heating of dispersive media / / SI AM J. App. Math. 1993. №53. P. 655-669.

31. Langa, J. A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol. 80. P. 525-535.

32. Leonov G. A., Burkin I. M., Shepelyavy A. I. Frequency method in oscillation theory // Dordrecht: Kluwer. 1996. 403 p.

33. Lions J. L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations // Springer, Berlin. 1971. 396 p.

34. Lions J. L. Magenes E. Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications // Vol. I—III. Springer. Berlin. 1972.

35. Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 2001. Vol. 1. P.485-494.

36. Prouse G. Periodic or almost periodic solutions of a non-linear functional equation // Rend. Accad. Naz. Lincei. Ser. 8. 1967. Vol.43, P. 161-167, 281-287, 448-452, Vol. 44, P. 1-10.

37. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-topology // New York: Springer-Verlag. 1994. 188 p.

38. Reitmann V. Frequency domain conditions for the existence of Bohr almost periodic solutions in evolution equations // 3rd IFAC Workshop "Periodic control systems" (PSYCO'07). 2007.

39. Reitmann V., Kantz H. Frequency domain conditions for the existence of almost periodic solutions in evolutionary variational inequalities // Stochastics and Dynamics. 2004. 4. P.483-499.

40. Sell G. R. Lectures on Topological Dynamics and Differential Equations // Van Nostrand Reinhold, London. 1971.

41. Stepanov V. V. Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen // Math. Ann. 1926. 95. P. 437-498.

42. Wexler D. Frequency domain stability for a class of equations arising in reactor dynamics // SIAM J. Math. Anal. 1979. Vol.10 №1. P. 118-138.

43. Wloka J. Partial Differential Equations // Cambridge Univ. Press. Cambridge. 1987. 518 p.

44. Yin H.-M. Global solutions of Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature-dependent electrical inductivity // European Journal of Appl. Math. 1994. Vol.5. P. 57-64.

45. Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature effect // SIAM J. of Mathematical Analysis. 1998. Vol.29. P. 637-651.