Дискретная модель задачи об абсолютной устойчивости для систем управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Кириченова, Ольга Владимировна

• Кириченова, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кириченова, Ольга Владимировна

Введение.

Глава 1. Метод функций Ляпунова для почти - периодических систем разностных уравнений.

§1.1. Почти-периодические функции дискретного аргумента.

§1.2. Леммы Фробениуса и Потапова о блок-матрицах второго порядка.

§1.3. Признак асимптотической устойчивости для нелинейной почти-периодической системы разностных уравнений.

§1.4. Признак экспоненциальной устойчивости для линейной почти-периодической системы разностных уравнений.

§1.5. Коэффициентный признак экспоненциальной устойчивости для векторного уравнения второго порядка.

Глава 2. Задача об абсолютной устойчивости для дискретных систем автоматического управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом.

§2.1. Управляемость и наблюдаемость дискретных нестационарных систем управления.

§2.2. Признак абсолютной устойчивости для дискретной системы прямого управления.

§2.3. Коэффициентный признак абсолютной устойчивости для векторного уравнения второго порядка.

§2.4. Признак абсолютной устойчивости для дискретной системы непрямого управления.

Дополнение. Устойчивость аналого - цифровой системы управления с гироскопическим трением в управляемом объекте и запаздыванием в управляющем устройстве.

§3.1. Математическая модель системы управления.

§3.2. Основные леммы.

§3.3. Признак устойчивости АЦС.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретная модель задачи об абсолютной устойчивости для систем управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом»

1. В течение последних 50 лет в теории нелинейных систем автоматического управления интенсивно исследуется класс задач, объединённых под общим названием " задача об абсолютной устойчивости". Формулировка, объединяющая разные варианты задачи, такова: система динамических уравнений, моделирующая систему управления, известна лишь с точностью до принадлежности к некоторому классу; требуется найти условия, обеспечивающие устойчивость одновременно всех систем из этого класса. К проблеме такого типа приводят задачи об управлении курсом самолёта с помощью автопилота, об управлении термоядерным синтезом, об управлении ориентацией космических аппаратов и другие. Первые серьёзные результаты в этой области были получены в книге А.И. Лурье [1]. В последующие годы в связи с потребностями практики интерес к этой проблематике быстро нарастал и не ослабевает по настоящее время. Ей посвящено большое число исследований математиков, механиков, инженеров, на этой основе решён ряд практических задач автоматического управления (см. [1 - 46] и списки литературы в книгах [8, 13, 15, 18]). Результаты В.М. Попова, В.А. Якубовича, Р. Калмана, С. Лефшеца, A.A. Воронова, М.А. Красносельского и других авторов, в том числе связанные с фундаментальными понятиями "гиперустойчивость", "полная наблюдаемость", "полная управляемость", легли в основу общей теории систем [47].

2. Имеющиеся результаты по теории абсолютной устойчивости относятся главным образом к аналоговым системам (с непрерывным временем) управления с стационарным управляемым объектом. В этой ситуации разработаны на основе второго метода Ляпунова эффективные критерии абсолютной устойчивости.

В работах В.А. Якубовича, A.B. Савкина и В.А. Якубовича,

А.П. Молчанова и М.В. Морозова [48 - 50] разработаны эффективные критерии абсолютной устойчивости для систем управления с периодически-нестационарным управляемым объектом.

В последние годы в связи с широким применением вычислительных машин для управления автоматическими устройствами значительно возрос интерес к дискретным системам управления [51 - 55]. Формулировка задачи об абсолютной устойчивости для дискретной системы прямого управления импульсного типа (сигналы квантуются по времени) с одной нелинейностью такова.

Такая система моделируется (после перехода к уравнениям в отклонениях и линеаризации по управляемому объекту) системой разностных уравнений в вещественном фазовом пространстве МЛГ хп = Апхп + Ъип, гс € 2+= {0,1,2,.}, ' «п = <р(<гп),

7п — С Хп.

Здесь хп — х(пт) — квантованный фазовый вектор, т > 0 — период квантования по времени, хп — разностная производная: 1

•Еп — •) Г

Ап = А(пт) — матрица управляемого объекта, иП1 стп — управляющий сигнал и сигнал обратной связи, 6, с — постоянные векторы размера М, называемые соответственно вектором управляемости и вектором наблюдаемости,. * означает транспонирование, <р{ст) — нелинейная функция, имеющая смысл характеристики сервопривода. Функция (р(а) известна с точностью до принадлежности к некоторому классу Ф. Требуется найти критерий, гарантирующий асимптотическую устойчивость решения хп — 0 системы (0.1) при всех (р € Ф.

В широком классе случаев, встречающихся на практике, харак

0.1) теристика (р(а) удовлетворяет условиям (рис. 1)

0) = 0, <т<р(аг) > 0 при <7^0,

0.2) ri) - ^(<т2)| < L\ai - вг2|, с известной константой Липшица L > 0.

0) 7 о

СГ рис. 1а рис. 16

Далее класс функций (0.2) будем обозначать Ф^, задача об абсолютной устойчивости будет рассматриваться в этом классе характеристик.

3. Случай, когда управляемый объект стационарен: Ап = А = — const исследован аналогично непрерывному случаю в ряде работ [56 - 71] на основе разностного варианта второго метода Ляпунова [53, 72, 73]. Большой интерес для практики представляет случай, когда элементы матрицы Ап — тригонометрические многочлены или, более общо, почти-периодические функции дискретного аргумента (определение будет дано ниже). Такая ситуация имеет место, в частности, в задаче управления ориентацией космического аппарата, движущегося по сильно эллиптической траектории. Такая же ситуация возникает, если целью управления является обеспечение устойчивости периодических или почти-периодических режимов работы управляемого объекта: после линеаризации управляемого объекта на этом режиме и перехода к квантованным п dij(n) = dijfi + aij,k sin(UkTl + <Pk) k=1 по времени сигналам получается система вида (0.1) с почти-периодической матрицей Ап.

4. Трудность исследования абсолютной устойчивости систем управления вида (0.1) с почти-периодически нестационарным управляемым объектом состоит в том, что до последнего времени не были разработаны эффективные методы анализа устойчивости для уравнений с почти-периодическими коэффициентами (в непрерывном и дискретном случаях), за исключением специальных классов уравнений с малым параметром — см. теоремы И.З. Штокало в [74], обзор Ю.С, Колесова [75], книгу В.Н. Фомина [76]. Некоторые результаты получены в работах В.М. Чересиза [77 -79] в терминах положительно-определённых функций v(x, у) пары векторных аргументов.

В вышедшей в 1992 г. работе С.М. Добровольского, A.C. Ко-тюргиной, Р.К. Романовского [80] получен критерий экспоненциальной устойчивости для линейной системы дифференциальных уравнений х — A(t)x в терминах функции Ляпунова v = x*G(t)x с почти-периодическими А, G, 6', в котором существенно ослаблено условие на производную v вдоль траекторий системы по сравнению с общим результатом Ляпунова для линейных систем.

Основным содержанием диссертационной работы является распространение результатов этой работы на разностные системы

Xn+i - Джп, xn:Z-+M.N, (0.3) с почти-периодической по п правой частью и разработка на этой основе критериев абсолютной устойчивости для импульсных систем управления вида (0.1) с почти-периодической матрицей Ап.

Работа состоит из введения, двух глав, дополнения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Кириченова, Ольга Владимировна

Основные результаты, полученные диссертантом, следующие:

- Разработан специальный вариант метода функций Ляпунова для почти-периодических систем разностных уравнений (линейных и нелинейных), в котором условие на разностную производную функции Ляпунова в силу системы значительно ослаблено по сравнению с известным результатом для разностных систем общего вида.

- Доказаны необходимые и достаточные условия полной управляемости и наблюдаемости для дискретных нестационарных систем управления.

- На этой основе получены эффективные признаки абсолютной устойчивости для дискретных систем прямого управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом.

-Получен также эффективный признак абсолютной устойчивости для дискретной системы непрямого (мягкого) управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом .

- Разработана и исследована на устойчивость математическая модель аналого-цифровой системы управления с гироскопическим трением в управляемом объекте и запаздыванием в управляющем устройстве.

Полученные в работе признаки абсолютной устойчивости могут быть использованы при разработке дискретных импульсных систем автоматического управления.

Заключение.

Одна из интенсивно разрабатываемых проблем теории нелинейных систем автоматического управления - задача об абсолютной устойчивости. Ей посвящено большое число исследований, ряд монографий. Имеющиеся результаты относятся главным образом к системам управления со стационарным управляемым объектом. В последние годы некоторые из этих результатов рапространены на системы управления с периодически нестационарным управляемым объектом (работы В. А. Якубовича и его учеников).

Большой теоретический и практический интерес представляет разработка эффективных методов расчета на абсолютную устойчивость для систем управления с почти-периодически нестационарным управляемым объектом. К такой проблеме приводит задача об управлении ориентацией космического аппарата, движущегося по сильно эллиптической траектории и ряд других задач автоматического управления. Сказанное относится как к аналоговым (с непрерывным временем), так и к дискретным системам управления, описываемым системами разностных уравнений. Интерес к дискретным системам в последние годы значительно вырос в связи с широким применением ЦВМ в системах управления.

Целью диссертационной работы является разработка специального варианта метода функций Ляпунова для почти-периодических систем разностных уравнений и применения полученных результатов к задаче об абсолютной устойчивости для дискретных систем управления импульсного типа с почти-периодически нестационарным управляемым объектом.

Содержащиеся в работе научные результаты являются новыми, вносят вклад в теорию устойчивости для разностных уравнений и теорию абсолютной устойчивости для дискретных систем управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кириченова, Ольга Владимировна, 1999 год

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Йзд-во АН СССР, 1963. Kaiman R.E. Liapunov Functions for the Problem of Lurie in Automatic Controls. // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. - 1963. - V.49.- P.201-205.

2. Якубович B.A. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования. // ДАН СССР. 1962. - Т.143. №6 - С.1304-1306. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.: Физматгиз, 1962.

3. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967.

4. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. -М.: Наука, 1970.

5. Александров B.B., Жермоленко B.H. Абсолютная устойчивость систем III порядка с нелинейным нестационарным элементом. // Тр. Ин-та мех. МГУ. 1975. - №40. - С. 48-64. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979.

6. Скородинский В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. // Автомат, и телемех. 1981. -№9. - С. 21-29.

7. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

8. Красносельский М.А., Покровский A.B. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости. // "Уст-ть движения. Аналит. мех. упр. движением." М., 1981. - С. 156-169.

9. Красносельский М.А., Покровский A.B. Абсолютная устойчивость систем с несколькими нелинейными звеньями. // ДАН СССР. 1983. - Т.271. №6 - С. 1314-1316.

10. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983.

11. Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Абстрактные критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем по линейному выходу и их применение. // Сиб. Мат. Ж. 1983. - Т. 24. №5. - С. 129-148.

12. Пакшин П.В. Алгебраический критерий абсолютной устойчивости. // ДАН СССР. 1986. - Т.290. №4 - С. 813-815.

13. Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными стационарными элементами. // Автомат, и телемех. 1987. - №5. - С. 66-74.

14. Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с суперпозицией нелинейных элементов. // Автомат. и телемех. 1989. - №12. - С. 166-168.

15. Баркин А.И. Об одном способе представления уравнений Лурье. // Тр. ВНИИ систем, исслед. 1989. - №14. - С. 97-100.

16. Дейч В.Г. Обобщение частотной теоремы на случай неограниченного оператора наблюдения и его приложения к задачамабсолютной устойчивости. // Сиб. Мат. Ж. 1989. - Т. 30., №4. - С. 44-52.

17. Горяга A.B., Добровольский C.M, Романовский Р.К., Сизиков В.П. Критерий устойчивости для линейных систем непрямого управления в критическом случае. // Деп. в ВИНИТИ 1990. №2563-В90,

18. Сизиков В.П. Управление векторным дифференциальным уравнением второго порядка. // Деп. в ВИНИТИ 1991. №1513-В91.

19. Воронов А.А. Об улучшении критерия абсолютной устойчивости систем с дифференцируемыми монотонными нелинейно-стями. // Тр. ВНИИ систем, исслед. 1991. - №14. - С. 22-28.

20. Воронов А.А. О построении областей абсолютной устойчивости систем с секторными ограничениями на нелинейность. // Тр. ВНИИ систем, исслед. 1991. - №14. - С. 28-37.

21. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. // Автомат, и телемех. 1991. - №10. - С. 63-73.

22. Liao Xiaoxin. Absolute stability of general Lurie control systems. // Acta Math. Sci. 1991. - V. 11, №1. - P. 1-12.

23. Ионсиан У., Чжао Суся. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными стационарными элементами в случае бесконечного сектора. // Авт. и телемех. 1991. - №1. - С. 34-42.

24. Xiao Shuxian. The nessesary and sufficient condition of absolute stability for a class of nonlinear control systems with two nonlinear control terms. // Jiong Shuxue = Math. Appl 1993. - V. 6, №2.-P. 151-158.

25. Айсагалиев C.A. К теории абсолютной устойчивости регулируемых систем. // Диф. ур-я. 1994. - Т. 30., №5. - С. 748-757.

26. Барабанов Н.Е. О проблеме Айдермана для класса нестационарных систем III порядка. // ДАН. — 1994. — Т. 334, №2. -С. 154-155.

27. Бадмаева C.B., Барабанов Н.Е. Усиление критериев абсолютной устойчивости систем автоматического управления с несколькими нестационарными нелинейностями. // Изв. РАН, Теория и сист. упр.-я. 1996. - №1. - С. 5-9.

28. Андронов A.A., Баутин H.H. Теория стабилизации курса нейтрального самолёта при помощи автопилота с постоянной скоростью сервомотора. // Изв. АН СССР, отд. техн. наук. -1955. -Т. 6., №3.

29. Курцвейль И. К аналитическому конструированию регуляторов. // Автомат, и телемех. 1961. - Т. 22, №6.

30. Майгарин Б,Ж. Исследование устойчивости регулируемых систем с учётом внешней нагрузки гидравлического исполнительного механизма. // Автомат, и телемех. 1963. - Т. 24, №5.

31. Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975.

32. Майгарин Б.Ж., Жуматов С.С. Абсолютная устойчивость программного многообразия и оценка показателей переходного процесса. // Диф. ур-я. 1981. - Т. 17. Ш. - С. 614-623.

33. Майсаканов С.Ж. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости системы управления курсом самолёта с тахометрической обратной связью. // " Аналит. и числ. методы решения задач мат. и мех." Алма-Ата, 1984. - С. 31-37.

34. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Н-ск.: Наука, 1990.

35. Горяга A.B., Добровольский С.М, Романовский Р.К., Сизиков

36. B.П. Об устойчивости линейных систем непрямого управления с гироскопическим трением. // Деп. в ВИНИТИ 1991. Ш50-В91.

37. Сизиков В.П. Частотный критерий устойчивости для систем многомерного управления с гироскопическим трением. // Деп. в ВИНИТИ 1991. №2291-В91.

38. Баркин А.И., Зеленцовский A.JL, Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: Изд-во МАИ, 1992.

39. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

40. Якубович В. А. Частотная теорема для периодических систем. // ДАН СССР. 1986. - Т. 287., №1. - С. 70-73.

41. Савкин A.B. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с нестационарной линейной частью. // Изв. вузов. Мат. 1993. - №4. - С. 101-105.

42. Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем управления с периодической линейной частью. // Автомат, и телемех. 1992. - №2.1. C. 49-59.

43. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.

44. Цыпкин Я.З. Управление в сложных нелинейных системах. М.: Наука, 1984.

45. Иванов В.А., Югценко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983.

46. Чеховой Ю.Н. Приложения метода функций Ляпунова к некоторым квазилинейным задачам теории устойчивости регулируемых систем. // Н-ск. 1986. - С. 146-155.

47. Бесекерский С.А. и др. Микропроцессорные системы автоматического управления. Л., 1988.

48. Антонов В.Г. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости дискретных систем. // УМН. 1976. - Т. 31. №1. - С. 237-238.

49. Sharma T.N., Singh Vimal. On the absolute stability of multivariable discrete-time nonlinear system. // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. - V. 26., №2. - P. 585-586.

50. Kaszkurewicz E., Hsu L. A note on the absolute stability of non-linear discrete-time systems. // Int. J. Contr. 1984. - №40.- P. 867-869.

51. Липатов А.В. Устойчивость дискретной стационарной системы с одним нелинейным блоком. // Автомат, и телемех. 1984.- №9. С. 74-83.

52. Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость дискретных систем управления с нестационарными нелинейностями. // Автомат. и телемех. 1985. - №8. - С. 172-176.

53. Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления в форме численных процедур. // Автомат, и телемех. 1986. -№9. - С. 31-39.

54. Андрусевич В.В. Условия абсолютной устойчивости положительных нелинейных импульсных систем. // Автомат, и телемех. 1986. - №12. - С. 155-157.

55. Юнгер И.Б. Алгебраические критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического управления. // Автомат, и телемех. 1987. - №1. - С. 48-54.

56. Юнгер И.Б., Герасимов О.И. Алгебраические критерии абсолютной устойчивости. // Автомат. (Киев). 1990. - №2. -С. 42-45.

57. Halanay A., Rasvan V. Absolute stability of discrete systemswith slope restricted nonlinearity. // Rev. Romn. Sei. Techn. Ser. Electrotechn. et Energ. 1990. - V. 35., №1. - P. 101-111.

58. Козякин B.C. Абсолютная устойчивость дискретных рассин-хронизованных систем. // ДАН СССР. 1990. - Т. 312., №5. -С. 1066-1070.

59. Наджафов Э.М., Хаскельберг Л.Г. Алгебраические условия абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем. // Изв. АН Техн. кибер. 1992. - №3. - С. 202-204.

60. Мартынюк A.A. Миладжанов В.Г. Анализ устойчивости решений крупномасштабных импульсных систем. // Электр, мо-делир. 1993. - Т. 15., №6 - С. 8-15.

61. Zhang Jiye. Nessesary and sufficient conditions for the absolute stability of discrete type Lurie control system. // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1995. - V. 16, №10. - P. 995-1001.

62. Баркин А.И. О двух критериях абсолютной устойчивости дискретных систем. // Автомат, и телемех. 1996. - №1. - С. 21-26.

63. Розенвассер E.H. Критерий устойчивости нелинейных дискретных систем. // Автомат, и телемех. 1966. - №12.

64. Бойков И.В., Жечев И.И. Об устойчивости уравнений в конечных разностях . // Сб. "Исслед. по прикл. мат." Вып. 3. -Казань, Казан, ун-т. 1975. С. 36-53.

65. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти-периодические колебания. М., Наука, 1970.

66. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости дифференциально-разностных уравнений с почтипериодическими коэффициентами. // Сб. "Исслед. по уст-ти и теории колебаний". Ярославль, ЯГУ. - 1977. - С. 82-141.

67. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределённых системах. JI: Изд-во ЛГУ, 1972.

68. Чересиз В.М. ^-монотонные системы и почти-периодические решения. // Сиб. Мат. Ж. 1972. - Т. 13, №4. - С. 921-932.

69. Чересиз В.М. Равномерно У-монотонные системы. Почти-периодические решения. // Сиб. Мат. Ж. 1972. - Т. 13, №5. - С. 1107-1122.

70. Чересиз В.М. Устойчивость в почти-периодических системах. // Сиб. Мат. Ж. 1973. - Т. 14, №4. - С. 895-899.

71. Добровольский С.М, Котюргина A.C., Романовский Р.К. Об устойчивости решений линейных систем с почти-периодической матрицей. // Мат. заметки. 1992. - Т. 52, В. 6, №12.

72. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, 1978.

73. Кириченова О.В., Романовский Р.К. Стабилизация стационарной аналого-цифро-аналоговой системы управления с га-мильтоновым управляемым объектом с учётом квантования по уровню и случайного запаздывания. // Деп. в ВИНИТИ 03.04.95 №916-В95.

74. Романовский Р.К., Кириченова О.В. Стабилизация микропроцессорных САУ. // Сб "Динамика систем, механизмов и машин": Тез. докл. Международн.научн.-техн. конф. 21-24 ноября 1995г., Омск. Кн.З. - С. 76.

75. Кириченова О.В., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти-периодическими коэффициентами. // Сиб. Мат. Ж. 1996. - Т. 37, №1. - С. 170-174.

76. Кириченова О.В. Устойчивость решений почти-периодических разностных систем. // Сб " Аналит. мех., устойчивость и управление движением": Тез, докл. 7-ой Четаевской конф. 10-13 июня 1997г., Казань.

77. Кириченова О.В., Романовский Р.К. Задача об абсолютной устойчивости для дискретной нестационарной САУ. // Сб "Динамика систем, механизмов и машин": Тез. докл. 2-ой Международн. научн.-техн. конф. 18-20 ноября 1997г., Омск. Кн.З. - С. 34.

78. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти-периодических систем разностных уравнений. // Сиб. Мат. Ж. 1998. - Т. 39, №1. - С. 45-48.

79. Левитан Б.М. Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М., Изд-во МГУ. - 1978.

80. Фёдоров В.В. Теороия оптимального эксперимента. М., Наука. - 1970.

81. Потапов В.П., Ефимов А.В. /-растягивающие матрицы-функции и их роль в аналитической теории электрических цепей. // УМН. 1973. - Т. 33, №1. - С. 65-130.

82. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М., Наука. 1971.

83. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука. - 1988.

84. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., Наука. - 1970.