Определяющие функционалы задачи микроволнового нагрева в одномерном случае тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ермаков, Илья Валерьевич

• Ермаков, Илья Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ермаков, Илья Валерьевич

Оглавление

Введение

1 Физические основы и некоторые применения микроволнового нагрева

1.1 Физическая суть микроволнового нагрева

1.2 Применение микроволнового нагрева

1.3 Начально-краевая задача

1.4 Обзор работ по нагреву керамики

1.5 Устройства микроволнового нагрева

2 В-аттрактор при вытягивании назад и определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева

2.1 Построение коцикла для задачи микроволнового нагрева

2.2 Существование В-аттрактора при вытягивании назад для задачи микроволнового нагрева

2.3 Определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева

3 Частотные условия диссипативности и существования определяющих операторов задачи микроволнового нагрева

3.1 Эволюционная система автоматического управления

3.2 Определяющие операторы

3.3 Частотная теорема для эволюционных систем

3.4 Частотные условия существования определяющих операторов для задачи микроволнового нагрева

3.5 Замечание

4 Численные эксперименты по аппроксимации определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева

4.1 Вычислительная схема

4.2 Зависимость решения от граничных условий

4.3 Эксперименты с определяющими функционалами при вытягивании вперед

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определяющие функционалы задачи микроволнового нагрева в одномерном случае»

Введение

Работа посвящена изучению определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Она состоит из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. В работе рассматривается эта задача в случае одной пространственной переменной. Это парная система, состоящая из нелинейных уравнений гиперболического и параболического типов. Исследование ведется в предположении присутствия неавтономного воздействия, которое в системе присутствует в граничных условиях уравнений Максвелла.

Микроволновый нагрев имеет большое значение для практики. Области его применения разнообразны - приготовление еды, промышленная обработка материалов, медицина (лечение опухолей). В качестве конкретного примера нами выбран нагрев керамики.

Пусть имеется эволюционное уравнение в некотором функциональном пространстве, имеющее решение. Определяющими функционалами этого уравнения называются линейные функционалы на пространстве решений, однозначно определяющие асимптотику решений уравнения. Это означает, что для любых двух решений уравнения из стремления к нулю разности функционалов от этих решений следует стремление к нулю разности этих решений. Вопрос существования определяющих функционалов

для разных уравнений изучался во многих работах. Так, широко известны результаты о существовании конечного числа мод для системы Навье-Стокса ([4], [25]). В [15] строится общая теория определяющих функционалов для эволюционных уравнений гиперболического и параболического типов.

Для изучения свойств автономных уравнений широко используется понятие динамической системы. Теория определяющих функционалов для уравнений тривиально переносится на язык динамических систем. Для неавтономных уравнений вводится обобщение понятия динамической системы - понятие коцикла. Возникает необходимость ввести теорию определяющих функционалов для коциклов, учитывая два возможных вида асимптотики коциклов - вытягивание вперед и назад. Определяющие функционалы изучались и для неавтономных уравнений, но рассматривалось понятие определяющих функционалов при вытягивании вперед. Известна лишь одна работа ([36]), где рассматриваются определяющие функционалы при вытягивании назад. В указанной работе рассматриваются процессы - частный случай коциклов. Стояла задача обобщить эту теорию на коциклы общего вида.

Вопрос существования определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева ранее не изучался даже в автономном случае. Также не изучалось ранее для этой задачи существование аттрактора какого-либо вида, которое требуется для получения свойств определяющих функционалов.

Тем не менее, имеется обширная литература, где изучаются другие математические свойства задачи микроволнового нагрева при разных по-

становках задачи. Данная задача в постановке, наиболее похожей на нашу, изучались в работах Н.-М. Yin ([48], [41] и др.) В этих работах были получены результаты о существовании слабого решения, сходимости к нулю решения автономной задачи. Мы опираемся на некоторые из данных результатов.

Переходим к краткому изложению содержания работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе описан физический механизм микроволнового нагрева произвольного материала. Выводится начально-краевая задача микроволнового нагрева для трехмерного случая. Рассматривается частный случай одной пространственной переменной. Показано, как преобразуется начально-краевая задача в этом случае.

Даются сведения по нагреву керамики. Особенностями микроволнового нагрева керамики являются высокая температура нагрева, однородность материала, возможность перегрева при некоторых условиях (в нашей работе не встречающихся). Приводятся устройства микроволнового нагрева керамики. Показана ситуация при нагреве керамики, для которой хорошо применима одномерная модель - нагрев керамических стержней в камере.

Во второй главе содержатся основные результаты работы. Строится коцикл, соответствующий задаче микроволнового нагрева. Доказывается существование глобального В-аттрактора этого коцикла при вытягивании назад и вперед. Существовование аттрактора какого-либо вида само по себе являтся важным свойством для коциклов, и оно также требуется для существования определяющих функционалов. Строится теория определя-

ющих функционалов для коциклов в общих гильбертовых пространствах. Развивается специальный случай этой теории для коцикла парной структуры на произведении гильбертова и метрического пространств, когда одна часть коцикла устойчива. Используя упомянутые результаты, доказывется существование определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева при вытягивании назад и вперед.

Результаты из теории определяющих функционалов для коциклов и о существовании глобального B-аттрактора для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева, при вытягивании назад изложены в работах I.V. Ermakov, Yu.N. Kalinin, V. Reitmann [23], I.V. Ermakov, V. Reitmann [22]. Результаты о существовании определяющих функционалов для этого коцикла приведены в работе И.В. Ермакова, Ф. Райтманна [2].

Третья глава посвящена применению частотного метода к доказательству существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Используется бесконечномерный вариант частотной теоремы, полученный в работах А.Л.Лихтарникова и В.А.Якубовича ([9], [10]). Получены частотные условия существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для бесконечномерных эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Далее эти общие теоретические результаты применяются к задаче микроволнового нагрева. Получены с помощью частотного метода существование глобального B-аттрактора коцикла данной задачи при вытягивании назад и существование определяющих функционалов при вытягивании вперед. Эти результаты получены при несколько иных предположениях о параметрах задачи, чем во второй главе, и частично включают в себя ана-

логичные результаты второй главы.

Четвертая глава содержит результаты численных экспериментов с системой микроволнового нагрева, иллюстрирующие теоретические выводы второй и третьей глав. Результаты экспериментов показывают разнообразие видов решения в зависимости от граничных условий и свойства определяющих функционалов при вытягивании вперед.

1. Физические основы и некоторые применения микроволнового нагрева

1.1. Физическая суть микроволнового нагрева

Электромагнитное поле - это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Оно представляет собой взаимосвязанные электрическое поле и магнитное поле. Взаимная связь электрического и магнитного полей заключается в том, что всякое изменение одного из них приводит к появлению другого. Электромагнитными волнами называются изменения электромагнитного поля, распространяющиеся в пространстве. Электромагнитное излучение разделяют по длине волны на радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимое излучение, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи. К микроволнам принято относить часть электромагнитного спектра с частотами 300 МГц - 300 ГГц. В отечественной литературе микроволное излучение также называют СВЧ излучением.

Главным механизмом нагрева микроволнового нагрева диэлектриков является диполярный нагрев. Он происходит в диэлектриках, молекулы которых являются диполями. Диполи меняют ориентацию под действием изменений электрического поля. В результате трения диполей происходит нагрев материала.

Кроме диполярного нагрева, для воды также возможен ионный механизм нагрева под действием электромагнитного излучения. В этом слу-

чае возникает электрический ток из-за движения ионов, который приводит к нагреву материала. Однако такой механизм является существенным на низких частотах, на высоких частотах (более 1 ГГц) его вклад незначителен.

1.2. Применение микроволнового нагрева

Общий обзор применений

Микроволны имеют очень много применений. Одно из них - нагрев с помощью микроволн. Преимуществами микроволнового нагрева являются:

• нагрев внутренности материала, а не поверхности,

• быстрота процесса нагрева,

• быстрота включения и отключения,

• возможность нагрева с требуемой локализацией.

Микроволновый нагрев имеет различные применения. Можно выделить три области его использования, о которых мы дадим здесь общее представление.

1. Применение для приготовления еды. Часто встречающийся в быту прибор для микроволнового нагрева - микроволновая печь, которая используется для приготовленияя и подогрева еды. Также этот нагрев применяется для производства еды в промышленных условиях. Сюда относятся приготовление мяса, сушка макарон, приготовление чипсов, пастеризация и стерилизация большого числа продуктов.

2. Индустриальные применения. Микроволновый нагрев используется для обработки многих органических и неорганических материалов ( по-

лимеров, минералов, керамики, вулканизация резины), для сушки кожи и тканей.

3. Применение в медицине. Известен метод гипертермии лечения рака. Он заключается в повышении температуры, при котором погибают раковые клетки. Ткань тела допустимо нагревать до температуры не более 44°С. Температура должна выбираться так, чтобы минимально повредить окружающую здоровую ткань. Раковые области особо чувствительны к температурам 40 — 44°С благодаря более низкому кровотоку, чем в здоровой ткани. Гипертермия может использоваться в сочетании с лучевой терапией или химиотерапией. Также микроволновый нагрев используется для хирургических операций. Например, делается операция на сердце для лечения фибрилляции (нерегулярного сердцебиения). При такой операции в сердце помещается микроволновый катетер и происходит аблация (разрушение) маленького участка мышцы. Благодаря этому создаются рубцы, блокирующие проводимость неправильных электрических импульсов в мышце. Так восстанавливается правильный сердечный ритм.

Частоты микроволнового излучения, разрешенные для применения, стандартизованы и могут зависеть от региона. Для микроволнового нагрева чаще используются частоты 433.92 МГц, 915 МГц, 2450 МГц.

Нагрев керамики

В качестве приложения для нашей теории мы выбрали нагрев керамики.

Обычно керамикой называют любой неорганический или неметаллический материал, устойчивый к нагреву до температуры более 1000°С.

Большинство типов керамики состоят из сложных оксидов и силикатов, хотя есть некоторые исключенния. Потребность в керамических материалах делает нужными эффективные методы их создания. Обработка керамики с помощью микроволнового нагрева более предпочтительна, чем обычным методом нагрева снаружи. Это связано с тем, что микроволновый нагрев обладает равномерностью быстротой по сравнению с нагревом снаружи.

1.3. Начально-краевая задача

Микроволновый нагрев моделируется уравнениями Максвелла, которые описывают распространение микроволнового излучения, и уравнением теплопроводности, описывающим распространение тепла в материале.

Изложим здесь кратко теорию, связанную с уравнениями Максвелла, в соответствии с [12]. Пусть О, - область в М3. Уравнения Максвелла будем рассматривать для этой области. Пусть 7 обозначает ток, И - ток смещения, Е - электрическое поле, В - плотность магнитного потока, Н - величине магнитного поля. Это векторные величины. Скалярными величинами являются плотность электрического заряда д, электропроводность сг, электрическая проводимость е , магнитная проводимость Считаем, что электропроводность а зависит от температуры: а = сг(в), а электрическая и магнитная проводимость зависят от координаты х £ К3: ¡1 = /-¿(а;),

Двумя главными уравнениями являются закон индукции Фарадея

Вг + го^ = О

(1.1)

и следствие из теоремы о циркуляции магнитного поля

А + 7 - rot# - ^

(1.2)

где вектор-функция F считается заданной.

Также к основным уравнениям Максвеллла принято относить и два других уравнения, одно из которых выводится из уравнения (1.1), а другое можно рассматривать как определение плотности электрического заряда

W-D = q.

(1.3)

V • В = 0.

Соотношения (1.1), (1-2) дают шесть скалярных соотношений с пятнадцатью неизвестными. Вводятся дополнительные уравнения, зависящие от предположений о свойтвах среды - уравнения состояния. Сюда входят пропорциональность полей и индукций

D = еЕ,

(1.4)

В = /¿Я,

и закон Ома

J = аЕ, (1.5)

то есть электропроводность не зависит от величин, характеризующих электромагнитные явления.

Введем обозначение Qt = Пх (0, Т], 5т — dQ х (0, Т]. Итак, в нашей задаче уравнения Максвелла записываются в виде

u.Ht + rot£ = 0,

(1.6)

eEt + аЕ — rot Я.

Под действием микроволн возникает источник тепла в материале. Локальная плотность внутреннего источника тепла в материале равна q — j ■ Е, где j - плотность тока. Из закона Ома следует, что j — аЕ. Отсюда q = а\Е\2. Распространение тепла в материале описывается уравнением теплопроводности

0t- V ■{k{x,6)Ve) = a{9)\E\\ (1.7)

где к(х,в) - коэффициент теплопроводности. Дополним задачу граничными условиями

v х Е(х, t) = v х G(x, t), (х, t) 6 Sr, 9(x,t) = 0, (x,í)GSr.

(1.8)

где V - внешняя нормаль к П, С(х,£) - заданная функция, и начальными условиями

Е(х, 0) = Eq(x), Я(ж, 0) = Н0(х), в(х, 0) = в0(х), х е П. (1.9)

Мы ввели начально-краевую задачу (1.6)-(1.9).

Для волны, движущейся в положительном направлении оси х, можно считать, что направление вектора электрического поля совпадает с направлением оси у, а магнитного поля - с направлении оси 2. Тогда электрическое и магнитное поля являются функциями только координаты х и времени £:

Мы считаем, что свободный заряд q системы равен нулю. Тогда уравнения Максвелла сводятся к виду

Liht + ех = 0,

(mi)

ee¿ + ае — hx.

Полагая далее, что /¿ = 6=1, система (1.11) может быть сведена к одному волновому уравнению

E(x,t) = (0, е(х, t), 0), Н(х, t) = (0, 0, h(x, t)).

(1.10)

Фи - Фхх + = 0.

(1.12)

Это делается путем замены

Считаем, что материал представляет собой тонкий стержень, направленный вдоль оси х. Тогда уравнение теплопроводности имеет вид

01-0хх = <т{0)\фг\2. (1.13)

Начальные и граничные условия имеют вид

0(о,г) = 0(1,г) = о, t > о,

(1.14)

(1.15)

ф (х, 0) = ф0 (х), (х, 0) = ф1 (х), 0 < х < 1, 0(ж,О) = 0о(х), 0 < х < 1.

Мы ввели начально-краевую задачу (1.12) - (1.15) в том виде, в каком она приведена в [41], с несколькими отличиями в обозначениях. Данная одномерная модель с незначительными отличиями применяется для изучения микроволнового нагрева керамики в ряде работ ([34], [27], [40] и др.) Так, в работе [27] одномерная задача микроволнового нагрева уравнения описывается уравнениями (в наших обозначениях)

-ч

JXXl

Фи + афь = с ф2

где а, с, v - некоторые константы, а 7 - некоторая функция.

Обсудим другие виды граничных условий уравнения теплопроводности. В общем случае граничные условия для керамики для одномерного случая (х G (0,1)) имеют вид ([27])

ех - Вг{в - бг) - ВГ{64 - et) = 0, ж = о, вх + вг{в - ег) + вг(в4 - ef) = 0, x = i,

где Ог - температура внешней среды, Вг - число Био (Biot number), которое является мерой потерь тепла при конвекции, Вг-излучательный эквивалент числа Био. Такая форма граничных условий учитывает теплопотери при конвекции и излучении по закону Стефана-Больцмана. При малых потерях тепла через конвекцию и излучение (Вг, Вг 0) применяется граничное условие с нулевым потоком через границу. При больших потерях тепла через конвекцию и излучение (Вг, Вг —» оо) применяется граничное условие с фиксированной граничной температурой. Граничное условие с нулевым потоком через границу используются во многих работах, где изучается нагрев керамики. Так, в [27] говорится, что в изучаемой там ситуации число Био и его излучательный эквивалент небольшие (порядка 10~4). Такие условия могут быть реализованы, если тонкий изолирующий слой помещен между стержнем и стенкой волновой камеры. В то же время в работе [37] указано, что как правило в приложениях число Био находится в пределах от 0,01 до 100. Мы будем далее действовать в предположении, что число Био Вг и число Вг велики и применяются граничные условия Дирихле

0(0,i) = 0(1, t) = 0.

Эти условия реализуются, когда стержень в прямом контакте со стенками волновой камеры ([37]).

1.4. Обзор работ по нагреву керамики

Имеется обширная литература, где изучаются различные вопросы нагрева керамики. Здесь мы дадим представление о том, какие вопросы изучались в задаче микроволнового нагрева керамики.

В общем случае свойства материала, такие как скорость распространения микроволн, электропроводность и поглощение микроволн зависят от температуры, поэтому уравнения нелинейно связаны и трудноразрешимы. Введение зависимости свойств материала от температуры вызывает новые явления, одними из наиболее важных для индустриального применения является локальный перегрев, или "горячее пятно" (hotspot) и убегание температуры (thermal runaway). Изучение этих явлений занимает важное место в литературе.

Убегание температуры заключается в резком возрастании температуры при малом изменении мощности излучения или параметров нагреваемого материала. Важным результатом, полученнным при изучении явления убегания температуры, является S-образная кривая зависимости температуры равновесия от интенсивности поля, полученная во многих работах ([34], [33], [37], [40]). При убегании температуры происходит скачкообразный переход на другую ветвь этой зависимости.

"Горячим пятном" называется маленькая область большой температуры относительно окружающего материала. В математическом описании температура стремится к бесконечности на конечном промежутке времени. Такое явление перегрева возникает из-за возрастания поглощения энергии микроволн материалом при возрастании температуры выше критического уровня. Теоретическому анализу этого явления помогает локальный характер, микроволновое поле имеет постоянную амплитуду на всей зоне локального перегрева, поэтому можно раздельно рассматривать уравнения Максвелла и теплопроводности.

В работе [27] дается обзор подходов к математическому моделиро-

ванию микроволнового нагрева керамики. Главная цель этих моделей -предотвращение "горячих пятен". Рассмотрены модели, где рассматривается отдельно уравнение теплопроводности, а электрическое поле считается независимым от температуры и модели, где рассматривается парная система.

В работе [39] микроволновый нагрев одно- и двумерных стержней исследуется при линейной обратной связи. Под одномерными стержнями понимаютя стержни, толщиной которых можно пренебречь, под двумерными стержнями - цилиндрические стержни, имеющие некоторые длину и диаметр. Развита полуаналитическая модель и численная схема, проведено сравнение их результатов. Полуаналитическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую эволюцию температуры и электрического поля. Найдена область в пространстве параметров, при которой возникают предельные циклы. Полуаналитическая модель дает точные оценки для температуры, в том числе оценки амплитуды и периода предельных циклов.

В работе [42] изучается нагрев одномерного материала, для которого не выполняется закон проводимости Ома. А именно, свойства материала зависят от мощности электрического поля. Установлено, что при малой амплитуде микроволн нагрев описывается уравнением Гинзбурга-Ландау.

Работа [33] посвящена нагреву 3-мерных дисперсионных объектов. Предполагается, что присутствуют омический и диполярный нагрев, диэлектрические свойства материала описываются моделью поляризации Де-бая. Вводится метод усреднения, основанный на разных временных масштабах микроволновых колебаний, диффузии тепла и потерь тепла на гра-

нице. Этот метод позволяет улучшить сходимость численного алгоритма при слабой теплоотдаче в окружающею среду. При некоторых предположениях температура имеет состояние равновесия, возможна неединственность. Зависимость температуры (равновесия) от энергии микроволн может быть Б-образной (то есть на некотором интервале энергии зависомость трехзначна, причем верхняя и нижняя ветви устойчивы, а средняя неустойчива) или двузначной (нижняя ветвь устойчива, нижняя - неустойчива). Изучена также система с линейной обратной связью и показано, что такая обратная связь достаточна для достижения заданной конечной температуры.

В работе [40] представлен численный метод решения парной системы микроволнового нагрева, основанный на методе конечных разностей. Приведен метод управления мощностью излучения для недопущения убегания температуры. Проведена симуляция процесса нагрева при наличии такого управления.

Мы работаем в ситуации, когда нет явления убегания температуры. При наших граничных условиях это явление не происходит, в отличие от рассмотренных работ, где изучается это явление.

Вопрос существования определяющих функционалов не рассматривался для задачи микроволнового нагрева.

1.5. Устройства микроволнового нагрева

Дадим понятие об устройствах микроволнового нагрева. Часть материала этого раздела и рисунки 1.1 - 1.4 взяты из работы [20].

Необходим аппликатор какого-то вида, чтобы передать микроволно-

вую энергию от источника материалу. На рис. 1.1 показан один из вариантов промышленной системы микроволнового нагрева (например, для нагрева пищи). Магнетрон поставляет энергию в камеру (cavity) через волновод (waveguide). Циркулятор (iso-circulator) может использоваться, чтобы

поглощать отражения от камеры. Это предотвращает повреждения магнетрона. Домашняя микроволновая печь устроена так же с тем отличием, что циркулятор не используется, так как присутствуют низкие уровни энергии. Также в домашних печах волновод короткий. Для больших печей камера может быть длиной в несколько метров и иметь несколько магнетронов. Часто применяется конвейерная лента, чтобы перемещать продукт через печь. От аппликатора зависит эффективность нагрева и степень равномерности нагрева. Если нагрев сконцентрирован на маленькой площади нагрузки, то больше энергии потребуется, чтобы нагреть весь продукт, чем при равномерной нагреве.

Многомодовый , аппликатор

Нагреваемый образец

Рис. 1.1. Устройство для микроволнового нагрева

Выделяются два типа аппликаторов: одномодовые резонансные камеры и многомодовые камеры. Первый тип идеален для узких приложений, когда форма продукта позволяет специальный вид аппликатора, нагрев текстильных нитей, жидкостей, сеток, керамических стержней. Многомо-довый тип подходит для многих применений, может нагревать много видов материалов с разными геометриями. Благодаря широкой области применения многомодовые аппликаторы доминируют. Но их труднее моделировать. Существуют и другие типы аппликаторов, например извилистый аппликатор (meander applicator), но их применение очень ограничено.

Одномодовая камера является аппликатором, разработанным для работы в одном резонансном режиме. Размеры камеры выбираются так, чтобы резонансная частота камеры совпадает с частотой источника, когда камера загружена. Две таких камеры показаны на рисунках 1.2, 1.3. Использование таких камер ограничивается образцами в виде стержня, такими как текстильные волокна, цилиндрические керамические образцы или жидкость, текущая черех трубку. Для таких образцов одномодовая камера идеально подходит.

Большое значение имеют специальные виды электромагнитных волн, распространяющихся в волноводе, или режимы (modes): ТЕ (Transverse Electric), ТМ (Transverse Magnetic), ТЕМ (Transverse Electric and Magnetic). Пусть волна распространяется в направлении оси z. В режиме ТЕ нет составляющей электрического поля в направлении распространения волны (Ez — 0), в режиме ТМ - составляющей магнитного поля (Hz = 0), в режиме ТЕМ нет обоих составляющих (Ez = 0 и Hz = 0). Существуют волноводы, рассчитанные для работы в данных режимах. Чис-

ленные индексы обозначают частотные свойства волновода.

Держатель

Образец

Волновод

Камера

Рис. 1.2. Одномодовая камера режима ТМШ

Регулировка апертуры

Образец

Держатель

Рис. 1.3. Одномодовая камера режима ТЕюз

Камеры обычно связаны с волноводом через апертуру, как показано на рисунке 1.3, размер апертуры определяет соответствие импедансов между источником и камерой и таким образом количество энергии, которая передается образцу.

Многомодовая камера, изображенная на рисунке 1.4, представляет собой металлический ящик, обычно прямоугольной формы, который поддерживает большое число резонансных режимов. Благодаря поддержке

ку

х

Рис. 1.4. Многомодовая камера

большого числа резонансных режимов около рабочей частоты достигается определенная равномерность нагрева. Такой тип аппликатора труден для анализа. Домашняя микроволновая печь относится к многомодовым камерам.

Аппликаторы, изображенные на рисунках 1.2, 1.3, по сути допускают одномерную модель, если считать образец достаточно тонким. Однако к ним непосредственно неприменима введенная нами одномерная модель, так как электрическое и магнитное поля не имеют требуемого вида (1.10), поэтому трехмерные уравнения Максвелла (1.6) не сводятся к уравнению (1.12). Например, для аппликатора, изображенного на рисунке 1.3, векторы электрического и магнитного поля имеют вид E(x,t) — (0, в2(х, £), 0), H(x,t) = (hi(x, t), 0, /гз(х, t)) ([37]). Существует аппликатор, для которого одномерная модель применима непосредственно - аппликатор бегущей волны (travelling wave applicator), изображенный на рисунке 1.5. Этот аппликатор пропускает только волны, распространающиеся вдоль оси образца. Тогда векторы Е и Н ортогональны оси х и можно предполагать без

ограничения общности, что направление вектора Е совпадает с направлением оси тогда направление вектора Н совпадает с направлением оси г.

Распространен! поля

\=0

Волновод Образец

N ( /

_х

Рис. 1.5. Аппликатор бегущей волны ([43])

2. В-аттрактор при вытягивании назад и определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева

2.1. Построение коцикла для задачи микроволнового нагрева

Элементы теории коциклов

Понятие коцикла является обобщением понятия динамической системы. Введем основные понятия теории коциклов, которые будут использоваться далее ([32]).

Пусть - метрическое пространство, называемое базисным про-

странством. Пара , с?)), где тг : Ц —>• ф, для любого £ Е К,

называется базисным потоком, если

Пусть (М, р) - другое метрическое пространство, которое назовем фазовым пространством.

Определение 2.1 Пара ({</?*($, О^м+^д > (М> й))> где <Р*{<!>') ■ м ~> М для любых t Е Е называется коциклом над базисным потоком

г1 о т3 = т1+3 V*, в Е К.

(2.1)

({т%к,(д,^)); если

•) = 1(1М Е <2,

<//+5(д, •) = ^(ЛЙ, </(</>')) V? £ <2, V*. 5 Е М

(2.2)

Для краткости коцикл ({<£>*(<?, д<=<э ? У9)) наД базисным пото-

ком , (Я, (£)) будем обозначать (</?, т).

Коцикл (с/?, г) будем называть непрерывным, если отображение

•) : М —» М непрерывно для любых £ Е М+, q Е Q.

Определим пространство И^ = С} х М и семейство отображений : И^ 1У, Ь £ действующих по правилу и) = Динамическая система , ^К) называется косым произведением.

Неавтономным множеством будем называть семейство ^ = {Z(q)}qeQ, где Z(q) С М для любого q Е Q. Неавтономное множество называется ограниченным (замкнутым, компактным), если для любого q е Q множество Z(q) ограничено (замкнуто, компактно) в М.

Ограниченное неавтономное множество Ё называется глобально В-поглощающим при вытягивании назад или глобально В-ри11Ьаск поглощающим множеством для коцикла (</?, т), если для любого q Е М и любого ограниченного множества В С М существует Т = Т(д, В) такое, что

для* >Г.

Ограниченное неавтономное множество £ называется глобально В-поглощающим при вытягивании вперед или глобально В^огузагё, поглощающим множеством для коцикла (<р,т), если для любого q Е М и любого ограниченного множества В С М существует Т — Т(<7, В) такое, что

Неавтономное множество & называется глобально В-притягивающим при вытягивании назад или глобально В-риШаск притягивающим, если

для любого ограниченного множества В С М, любого q £ Q

lim dist(^(r"i(g), В), Z(q)) = 0.

t—>+oo

Полурасстояние по Хаусдорфу dist(X, Y) между двумя непустыми подмножествами X, Y пространства (М, р) определяется так:

dist(X, Y) — sup inf р(х, у), хех veY

Неавтономное множество Z называется глобально В-притягивающим при вытягивании вперед или глобально В-forward притягивающим, если для любого ограниченного множества В С М, любого q £ Q

lim = 0.

t—»+oo

Неавтономное множество Z называется инвариантным, если для любых q £ Q и t > 0 выполняется равенство ^{q, Z(q)) = Z(rt(q)).

Определение 2.2 Неавтономное множество называется глобальным B-аттрактором при вытягивании назад или глобальным B-pullback аттрактором для коцикла (ср, т), если оно компактно, инвариантно и является глобально В- притягивающим при вытягивании назад.

Определение 2.3 Неавтономное множество называется глобальным B-аттрактором при вытягивании вперед или глобальным B-forward аттрактором для коцикла (ср.т), если оно компактно, инвариантно и является глобально В- притягивающим при вытягивании вперед.

Для доказательства существования B-аттрактора при вытягивании назад мы будем использовать следующий результат (теорему Клоедена-Шмальфуза).

Теорема 2.1 ([32]) Пусть коцикл (ср,т) имеет, компактное глобальное B-притягивающее множество при вытягивании назад Z = {Z(q)}qeQ. Тогда (</?, т) имеет единственный глобальный B-аттрактор при вытягивании назад А — {A(q)}qeQ, где для любого q £ Q

A{q) = niGM+Us>t>sm+<ps(T-s(q),Z(T-s(q)).

Здесь черта обозначает замыкание в М.

Приведем также другой вариант этой теоремы, который будет использоваться в третьей главе. Этот вариант требует наличия В-поглощающего множества при вытягивании вперед.

Теорема 2.2 ([32]) Пусть коцикл (</?,т) имеет компактное глобальное В-поглощающее множество при вытягивании вперед Z = {Z(q)}q&Q. Тогда (</?, г) имеет единственный глобальный B-аттрактор при вытягивании назад А = {A(q)}qeQ, где для любого q G Q

A{q) = nieM+Us>t,seR+Vs{T-s{q), Z{q)).

Приведем также определение равномерного глобального В-аттрактора.

Неавтономное множество Z называется равномерно глобально В-притягивающим при вытягивании назад, если для любого ограниченного множества В С М

lim supdistO^T-'fa), В), Z(q)) = 0.

t^ + oo qeQ

Неавтономное множество Z называется равномерно глобально В-притягивающим при вытягивании вперед, если для любого ограниченного

множества В С М

lim supdist((/?i(g, В), Z(rt(q))) = 0.

i^+oo qGQ

Определение 2.4 Неавтономное множество называется равномерным глобальным B-аттрактором при вытягивании назад (вперед) для коцикла (</?, т), если оно компактно, инвариантно и является равномерно глобально В- притягивающим при вытягивании назад (вперед).

Равномерный глобальный B-аттрактор при вытягивании назад является также равномерным глобальным B-аттрактором при вытягивании вперед, и наоборот.

Коротко дадим понятие процесса, которое можно понимать как частный случай понятия коцикла.

Пусть (М, р) - метрическое пространство. Семейство отображений {U(t, s)}t>s, где U(t,s) : М —»• М для любых t > s, называется процессом, если

• U(t, 5) о U(s, г) = U(t, т) Vi > s > т,

• U(т, т) = id,M Vt g R,

• U(t, s) при любых t > s непрерывно из M в М.

Несложно убедиться, что процессу {U(t, s)}i>s соответствует непрерывный коцикл ({^(s, -)}ieR+,se]R , (М,р)) над базисным потоком ({т*}4бК,М), где = s -+- t, •) = U(s + t, s). Вместо коцикла, порожденного неавтономным дифференциальным уравнением, можно рассматривать соответствующий процесс. Тем не менее мы будем рассматривать коциклы, чтобы продемонстрировать теорию определяющих функционалов для коциклов.

Существуют другие подходы к введению понятий теории коциклов и их аттракторов. Так, в работе [1] рассматривается семейство процессов, параметризованное символами, строится равномерный аттрактор семейства процессов.

Введенный нами объект "В-аттрактор при вытягивании назад" (В-риПЬаск а^га^ог) упоминается в большом количестве зарубежных источников. В частности, доказывается существование таких аттракторов для коциклов, порожденных широким классом уравнений в частных производных. Однако в русскоязычной литературе редко упоминается этот объект, причем редко используется русскоязычный аналог этого понятия. Единственный найденный нами русский эквивалент - "оттягивающий назад аттрактор", используемый в работе [14].

Асимптотика при вытягивании назад в некоторых ситуациях бывает полезна, в частности, при исследовании численных алгоритмов, когда нет сходимости при вытягивании вперед.

Известные результаты о существовании решения для трехмерной задачи

Уточним здесь введенную ранее трехмерную задачу (2.3)-(2.8) и приведем теоремы существования решения из [41], [47].

еЕг + оЕ = тоЬН.

(2.3)

цЩ + гоЬЕ = 0

(2.4)

6г-Ч-(к(х,0)Чв) = а{в)\Е\

2

(2.5)

V х Е(х,Ь) = V х С(а;,£), ОМ) € 5т,

(2.6)

6(x,t) = 0, (x,t)eST. (2.7)

E{x, 0) = E0(x), H{x, 0) = H0(x), 0{x, 0) = в0(х), x e П. (2.8) Определим пространства Я"(rot, Q) и Ho(rot: Г2), необходимые в даль-

нейшем:

Я(го^П) := {у е Ь2{П)3\тоЬу е Ь2(П)3} ,

Н0(гоЬ, П) := {у Е Я (гей, х V = 0 на Ш} .

Отметим, что эти пространства являются гильбертовыми со скалярным произведением

(у, ги) = / ((г; • ги) + (rotг^ • тоЬги))(1х.

Уп

Понятие обобщенного решения через интегральные тождества вводится стандартным образом. Умножим уравнение (2.3) скалярно на гладкую функцию Ф(я,£), гДе = 0, Ф е Ь2(0, Т; Я0(го^ О)) и проинтегрируем:

//

Jn J о

eEt • Фdtdx + f [ crE ■ Фdtdx = [ [ rotЯ ■ Фdtdx.

J a J о JQ JO

Далее, с помощью интегрирования по частям сделаем, чтобы производные в интегральном тождестве были только от функции Ф:

Т гр

[ [ еЕг-Ъ<Ис1х= [ еЕ-Ъ\Ц - [ ( еЕ ■ Ф4 = }п 7о Jn Jо

= -[еЕ(х, 0)-Ф(х,0)- / [ еЕ-%. 7 о 7гг 7 о

В интеграле в правой части мы можем переставить интегрирование по ^ и х и использовать тот факт, что

/ rot Я • Ф dtdx = / Я • гсйФсЙсЬ.

'ft

В итоге мы имеем тождество

[ [ (-еЕ-Ъг + аЕ-Ъ)<1х(И = ( [ (Я-го№)(1х(И + ( еЕ0(х)-Ъ(х,0)с1х, Jo Jn Л

которое мы возьмем в качестве определения слабого решения. Аналогично получаются интегральные тождества для уравнений (2.4) и (2.5).

Определение 2.5 ([48]) Тройка функций (Е(х, £), Н(х, £), 0(х, £) называется слабым решением задачи (2.3)-(2.8) на (О ,Т), если Е{-,-):Н{-,-) Е С([0,Т];(Ь2(П)3); в Е ^(О^Я1^)) и они удовлетворяют интегральным тождествам гТ

/ (-¿¿ЯФг + Е ■ куЬФ)(1х(И = / ^Н0(х) ■ Ф(х, 0)(1х,

[ [ (-еЕ-% + аЕ-У)(1х(И= [ [ (Я-то№)(1х(И + [ еЕ(){х)-^{х,^х, Jo * о ип.

[ \ -О + к(х, 0)40 ■ Уг1)с1х(И = [ [ а\Е\2г}с1хсИ + [ О^х Л) иО. J О * п ио.

для любых Ф,Ф € £2(0;Т,Я0(го^)) П С([0,Т], Ь2{£1)3), г] Е #*((), Т, Я1 (П)) тагсш;, что Ф(я,Т) = Ф(ж,Т) = 0 и 7}(х,Т) = 0 на П.

Уточним, как понимается граничное условие (2.6) для слабого решения. Возьмем обозначение

\У(х,Ь)= [ Е(х, з)с1з. Jo

Из (2.3), (2.4) следует, что

Я(х,£) = Н0(х)---Ц-го^(о;,£).

Из того, что Я(-,£) Е 1/2(П)3 следует, что го!Ж(х,£) Е £2(П)3 для почти всех £ Е (О, Т). Поэтому след и х ]№(х. £) корректно определен на <9Г2. Будем считать, что условие (2.6) выполнено тогда и только тогда, когда

и х (\У{х, £) - [ С(х, з)с1з) = 0, (х,£)Е5т. ./о

Приведем один из вариантов теоремы существования решения. (Н1.1) сг локально липшицева на (0, +оо);

(Н1.2) существуют константы 0 < оо < сг\ такие, что сг0 < а(г) < 0\ для любого г > 0;

(Н1.3) о монотонно убывает на (0, +оо).

(Н2) Е0 £ ¿2(П)3,#0 Е Ь2(П)3,во Е ТУ"!(О), > 0 почти везде на (0,1). (НЗ) в(хЛ) £ С([0,Т];Я5(5)).

Теорема 2.3 ([41]) При предположениях (Н1)-(НЗ) задача (2.3)-(2.8) имеет слабое решение для любого Т > 0.

Существование и единственность решения для одномерной задачи

Пусть задана начально-краевая задача

'Фи - Фхх + & {0) Фь = 0, 0<х<1, г > 0, 01-0хх = а{9)ф1 0 < х < 1, I >0,

ф(0,Ь) = Ш,ф(1,Ь) = Ш, t > 0,

в(о, г) = 0(1,*) = о, £ > о,

(2.9)

(2.10)

(2.11)

ф (х, 0) = ф0 (я), ф1 (х, 0) = ф\ (х), 0 < х < 1, в (х, 0) = во (х), 0 < X < 1.

Физический смысл величин такой: в - температура, ф - интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, а - электропроводность, /ь/г - внешние возмущения электромагнитного поля.

Далее будут использоваться соболевские пространства

Н1(0,1), Щ(0,1), И^32(0,1), Ж32Д((0,1) х (О,Т)). Определение этих про-

странств дано в книге [5]. Предполагаем, что

(А1.1) а локально липшицева на (0, +оо);

(А1.2) Существуют константы 0 < а"о < о\ такие, что его < а(г) < о\ для любого 2 > 0;

(А1.3) а монотонно убывает.

(А2) ф0 £ Нх(0,1),ф1 е Ь2(0,1), 00 е Ж32(0,1),0О > 0 почти везде на (0,1).

(АЗ) /ь/г принадлежат классу С2(М) и существует константа С такая, что функции |Л|, |Л1, 1Л'| , 1/2 I ограничены на М константой С.

Перенесем определение слабого решения на одномерный случай.

Определение 2.6 Пара функций (ф(х, £), 0(х, £)) называется слабым решением задачи (2.9)-(2.11) на (0, Т), если

для любых £ 6 Я^Т; Я1 (0.1)),

Здесь мы приводим теорему существования слабого решения из [47], модифицированную для одномерного случая.

для любых Се Ях(0, Т; Я*(0, 1));

Теорема 2.4 Существует единственное глобальное слабое решение (ф{х,г),в(х,г)) задачи (2.9)-(2.11), причем ф е £°°(0, Т; Н\0,1)); в е И^д((0,1) х (О,Т)) для любого Т > 0.

Построение и свойства коцикла для задачи микроволнового нагрева

Сведем задачу к задаче с однородными краевыми условиями. Обозначим /(ж,£) = /"х(¿)(1 — х) + и введем замену Ф(ж;£) = ф{х,Ь) —/(х,*) для х £ [0.1], £ > 0. Получим систему

= + о < ж < 1, ¿>о,

ф(о,г) = ф(м) = о, б»(о,*) = 6(1,г) = о, ь > о, (2.13)

Ф(ж, 0) = Щ(х) = ф0{х) - /(ж, 0), 0 < а: < 1, ф*(х, 0) = Ф^х) = ^(х) - 0), 0 < х < 1, (2.14)

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ермаков, Илья Валерьевич

Заключение

В работе изучаются свойства определяющих функционалов для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева.

Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы уравнений в частных производных. Исследование ведется для случая одной пространственной переменной, тогда система состоит из уравнений гиперболического и параболического типов. Учитывается наличие неавтономного воздействия.

Микроволновый нагрев широко применяется в промышлености, быту, медицине.

В работе строится теория определяющих функционалов для коциклов. Доказывается существование определяющих функционалов для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева. Как промежуточный шаг получено существование глобального В-аттрактора этого коцикла.

Изучены частотные условия существования определяющих функционалов для класса коциклов, порожденных эволюционным уравнениями. Получены условия существования определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева с помощью частотного метода. Частотный метод, однако, имеет серьезные ограничения, требующие дополнительных предположений.

Полученные результаты для задачи микроволнового нагрева могут представлять практическую ценность для изучения свойств процесса микроволнового нагрева, управления этим процессом.

Для дальнейшего исследования представляет интерес изучение задачи при более общих предположениях. Во-первых, сюда относится задача в трехмерном виде. Во-вторых, заслуживает внимания задача с двухфа-зовостью (присутствие в материале жидкой и твердой фазы), для этого случая неизвестен результат о единственности решения. В-третьих, можно предполагать граничные условия другого вида, в частности, условия Стефана-Больцмана для уравнения теплопроводности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ермаков, Илья Валерьевич, 2013 год

Литература

Вишик М.И., Чепыжов В.В. Аттракторы периодических процессов и оценки их размерности. Математические заметки. 1995. Т.57. N 2. С. 181-202.

Ермаков И.В., Райтманн Ф. Определяющие функционалы для системы микроволнового нагрева // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1. Вып. 4. С. 13-17.

Ладыженская O.A. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // УМН. 1987. Т. 42. Вып. 6(258). С.25-60.

Ладыженская O.A. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 72-85.

Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. М.: Наука. 1967. 736 с.

Костин И. Н., Пилюгин С. Ю. Равномерная экспоненциальная устойчивость аттракторов возмущенных эволюционных уравнений. Докл. РАН. 1999. Т. 369, N4. С. 449-450.

Леонов Г. А. Частотные методы в теории колебаний. В 2-х ч. Ч. 1 : Многомерные аналоги уравнения Ван - дер - Поля и динамические

системы с цилиндрическим фазовым пространством / Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И. СПб.: Изд-во С.- Петербург, ун-та. 1992. 366 с.

[8] Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Критерии абсолютной устойчивости нелинейных операторных уравнений // Известия АН СССР, Сер. матем. 1977. Т. 41, N 5. С. 1064-1083.

[9] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Частотная теорема для уравнений эволюционного типа // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17. Вып. 5. С. 10691085.

[10] Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Частотная теорема для непрерывных однопараметрических полугрупп // Известия АН СССР, Сер. матем. 1977. Т. 41, N 4. С. 895-911.

[11] Панков A.A. Ограниченность и почти-периодичность по времени решений эволюционных вариационных неравенств // Известия АН СССР, Сер. Матем. 1982. Т. 46. Вып. 2. С. 314-346.

[12] Тамм И.Е. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов. М., Наука, 1989. 504 с.

[13] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М., Мир, 1981. 376 с.

[14] Чебан Д. Н. Глобальные аттракторы неавтономных динамических систем. Кишинев, изд. центр Молд. госун-та, 2002. 387 с.

[15] Чуешов И.Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4 (322). С. 77-124.

[16] Чуешов И.Д. Сильные решения и аттрактор системы уравнений Кармана // Матем. сб., 1990. Т. 181. N. 1. С. 25-36.

[17] Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний // Автом. и телемех. 1964, Т. 25. N 7. С. 10171029.

[18] Brezis Н. Problemes unilateraux // J. Math. Pures, App., 1972. N 51. P. 1-168.

[19] Chueshov I. Order-preserving skew-product flows and nonautonomous parabolic systems // Acta Applicandae Mathematicae. 2001. Vol. 65. P. 185-205.

[20] Dibben D. C. Numerical and experimental modelling of microwave applicators: PhD Thesis. Cambridge University, UK. 1995.

[21] Ermakov I. Existence of the global attractor for the one-dimensional microwave heating problem // Proceedings of the International Student's Conference "Science and Progress". 2010. Saint-Petersburg. P. 77-81.

[22] Ermakov I., Reitmann V. Determining functionals for cocycles and application to the microwave heating problem // Abstracts of the International Conference Equadiff, 2011, Loughborough, UK. P. 135.

[23] Ermakov I.V., Kalinin Yu.N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equation. 2011. Vol. 47, N 13. P. 1837-1852.

[24] Foias C., Kukavica I. Determining nodes for the Kuramoto-Sivashinsky

equation //J- Dynam. Differential Equations. 1995. Vol. 7. N. 2. P. 365-373.

[25] Foias C., Temam R. Determination of the solutions of the Navier-Stokes equations by a set of nodal values // Mathematics of Computation. 1984. Vol. 43. P. 117-133.

[26] Glassey R., Yin H.-M. On Maxwell's equations with a temperature effect, II // Communications in Mathematical Physics. 1998, Vol. 194. P. 343-358.

[27] Hill J. M., Marchant T. R. Modelling microwave heating // Appl. Math. Modelling. 1996. Vol. 20, N. 1. P. 3-15.

[28] Jones D., Titi E. Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations // Indiana University Mathematics Journal. 1993. V. 42. N. 3. P. 875-887.

[29] Kalinin Y., Reitmann V., Yumaguzin N. Asymptotic behaviour of Maxwell's equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2011. V. 16. N. 2. pp. 343353.

[30] Kantz H., Reitmann V. Time series analysis of elasto-plastic bifurcations based on extremely short observation times // Preprint Series DFG-SPP 1114, Potsdam, Germany. 2003. 14 p.

[31] Kantz H., Reitmann V. Determining functionals for bifurcations on a finite-time interval in variational inequalities // Preprint Series DFG-SPP 1114, Hasselt, Belgium. 2003. 16 p.

[32] Kloeden P., Schmalfuss B. Nonautonomous systems, cocycle attractors and

variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. vol. 14. P. 141-152.

[33] Kriegsmann G.A. Microwave heating of dispersive media // SIAM J. Appl. Math. 1993. Vol. 53, N. 3. P. 655-669.

[34] Kriegsmann G.A. Thermal runaway in microwave heated ceramics: a one-dimensional model // Journal of Applied Physics. 1992. Vol. 71, No. 4. P. 1960-1966.

[35] Kukavica I. On the number of determining nodes for the Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity. 1992. N 5. P. 997-1006.

[36] Langa J.A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol. 80. P. 525-535.

[37] Liu B., Marchant T. R. The microwave heating of three-dimensional blocks: semi-analytical solutions // IMA Journal of Applied Mathematics. 2002. N 67. P. 1-31.

[38] Liu B., Marchant T. R. The steady-state microwave heating of slabs with small Arrhenius absorptivity // Journal of Engineering Mathematics. 1998. N 33. P. 219-236.

[39] Liu B., Marchant T.R. The occurrence of limit-cycles during feedback control of microwave heating // Mathematical and Computer Modelling. 2002. N 35. P. 1095-1118.

[40] Liu C., Sheen D. Analysis and control of the thermal runaway of ceramic slab under microwave heating // Science in China Series E: Technological Sciences. 2008. Vol. 51, N 12. P. 2233-2241.

[41] Manoranjan V.S., Yin H.-M., Showalter R. On two-phase Stefan problem

arising from a microwave heating process // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2006. Vol. 15. N 4. P. 1155-1168.

[42] Marchant T. R., Smyth N. F. Microwave heating of materials with nonohmic conductance // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1993. Vol. 53, N 6. P. 1591-1612.

[43] Mercado G. A., Luce B. P., Xin J. Modelling thermal front dynamics in microwave heating // IMA J. Appl. Math. 2002. N 67. P. 419-439.

[44] Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Dynamical Systems Series B. 2001. Vol. 1, N 4. P. 485-494.

[45] Reitmann V. Upper fractal dimension estimates for invariant sets of evolutionary variational inequalities. Preprint, International Conference on Fractal Geometry and Stochastics III, Friedrichroda, 2003.

[46] Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems. New York, Springer, 1993, 650 p.

[47] Yin H.-M. Existence and regularity of a weak solution to Maxwell's equations with a thermal effect // Math. Meth. Appl. Sci. 2006. N 29. P. 1199-1213.

[48] Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature effect // SIAM J. on Mathematical Analysis. 1998. Vol. 29. P. 637-651.