Метод функции Ляпунова для анализа устойчивости на конечном промежутке времени процессов нагрева с учетом их многозначности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Скопинов Сергей Николаевич

• Скопинов Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Скопинов Сергей Николаевич

типа гистерезиса

4.4.1 Пример задачи нагрева стержня с управлением на

границе

4.5 Эволюционные вариационные неравенства с нелинейностями типа гистерезиса и операторами выхода

Заключение

Литература

82

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод функции Ляпунова для анализа устойчивости на конечном промежутке времени процессов нагрева с учетом их многозначности»

Введение

Актуальность темы. Описание устойчивости на конечном промежутке времени задачи микроволнового нагрева играет существенную роль для наблюдения за процессом этого нагрева и управления им для обеспечения необходимой температуры. Микроволновый нагрев широко применяется для приготовления пищи, в промышленности и других областях. Одна из других важнейших задач микроволнового нагрева - это её медицинское применение, которое характерно для рассматриваемых задач в данной работе. В этом случае нагрев тканей в области опухоли и, вследствие этого, уничтожение злокачественных клеток, может заменить хирургическую операцию по удалению раковой опухоли, которая может находиться в области щитовидной железы, в области лёгких и других органов человека. Актуальность темы подтверждается также тем, что она входила в число исследований, поддержанных Немецко-Российским научным центром (G-RISC). Диссертант проходил стажировку в Германии в течение месяца (Freie Universitaet Berlin, июнь 2011г.).

Разработанность темы. Наличие устойчивости на конечном промежутке времени задачи микроволнового нагрева - важное свойство, характеризующее поведение её решения. Оно является близким по отношению к понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следует из него, так как не предполагает непрерывность решения задачи. В отличие от устойчивости на бесконечном промежутке времени в рамках тео-

рии Ляпунова здесь используется свойство, которое не следует из условия устойчивости на бесконечном промежутке времени. В отечественной литературе понятия устойчивости на конечном промежутке появляются при изучении свойств механики (Г.В. Каменков [6], Н.Х. Арутюнян и др. [1]). Вопрос устойчивости на конечном промежутке в современной трактовке был рассмотрен для обыкновенных дифференциальных уравнений в работах L. Weiss, E.F. Infante ([6]) и др., затем это понятие было расширено для разрывных систем, для которых нет условия единственности решения (А.В. Капустян и др. [34]).

Цель работы. Основной целью работы является исследование устойчивости на конечном промежутке времени для задачи микроволнового нагрева. Другими задачами, рассматриваемыми в данной работе, являются использование теории процессов для различных задач нагрева для изучения устойчивости на конечном промежутке времени, рассмотрение этих свойств для вариационных неравенств и проведение численных экспериментов для демонстрации устойчивости такого вида.

Методы исследования. В диссертации использованы следующие методы исследования:

- построение функционалов Ляпунова в виде квадратичных форм в различных функциональных пространствах,

- построение функционалов Ляпунова с помощью частотных методов в бесконечномерных гильбертовых пространствах,

- определение классов процессов с помощью решения задач нагрева,

- рассмотрение и анализ устойчивости на конечном промежутке времени для задач с гистерезисной нелинейностью в виде вариационного неравен-

ства,

- численное моделирование задачи нагрева конечно-разностным методом в Ма1ЬаЬ.

Результаты, выносимые на защиту.

- Получены достаточные условия устойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаче нагрева с помощью оценки решений в разных нормах функциональных пространств и с помощью функционалов Ляпунова.

- Доказаны достаточные условия устойчивости на конечном промежутке времени для трехмерной задаче нагрева.

- Приведены достаточные условия устойчивости на конечном промежутке времени для вариационных неравенств, описывающих эволюционные системы с нелинейностями типа гистерезиса.

- Проведены численные эксперименты для одномерной задачи нагрева, иллюстрирующие свойство устойчивости на конечном промежутке времени.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны. Они совпадают с известными результатами для устойчивости на конечном промежутке времени в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Если процесс является динамической системой, результаты совпадают с аналогичными из теории динамических систем. Численное моделирование подтверждает правильность теоретических выводов для одномерной задачи микроволнового нагрева.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми, в частности впервые рассмотрена устойчивость на конечном

промежутке времени решений задачи нагрева, используя при этом элементы теории процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Введенные элементы теории процессов могут быть использованы для исследования различных систем, описывающих прикладные задачи.

Полученные результаты для задачи микроволнового нагрева представляют теоретический интерес для изучения других задач нагрева, в частности, индукционного нагрева, который протекает при более высоких температурах. Ценность полученных результатов по устойчивости на конечном промежутке времени усиливается связью данной темы с практикой. Приведенные в диссертации результаты могут быть использованы при практическом использовании процесса и микроволнового нагрева тканей биоматериала с целью предсказания температурного профиля и управления процессом нагрева.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "The 9th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications" (Орландо, Флорида, США, 2012), "The 8th International Conference of Differential and Functional Differential Equations" (Москва, 2017), "Science and Progress" в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург, 2010, 2011, 2015) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета (2010-2014). Кроме того, диссертантом были сделаны два доклада в рамках стажировки в Свободном университете Берлина (Freie Universitaet Berlin) на семинарах группы профессора Б. Фидлера (Герма-

ния, Берлин, 2011).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в пяти печатных работах, в том числе в трех статьях. Статьи [13], [32], [31] опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, рецензируемых системой Scopus.

В работе [13] соавтору принадлежит постановка задачи об устойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволнового нагрева, все результаты получены диссертантом самостоятельно. В работе [31] соавторам принадлежит постановка задачи и результаты по теории функционалов наблюдения. Результаты по ассимптотическому поведению решения принадлежат диссертанту. В работе [32] соавторам принадлежат постановка задач и исследование устойчивости с использованием символов операторов. Все результаты по устойчивости вариационных неравенства принадлежат диссертанту.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы (всего 15 разделов), заключения, списка литературы, включающего 40 наименований. Работа изложена на 88 страницах машинописного текста и содержит 4 рисунка.

Центральным понятием в работе является понятие устойчивости на конечном промежутке времени. Оно является близким по отношению к понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следует из него, так как не предполагает непрерывность решения задачи. В отличие от устойчивости на бесконечном промежутке в рамках теории Ляпунова здесь используется несколько другое понятие. В отечественной литературе понятия устойчивости на конечном промежутке появляются при изучении

вопросов механики вязко-упругих пластических тел: Н.Г. Четаев [15], Г.В. Каменков [6], [1]. Вопрос устойчивости на конечном промежутке в современной трактовке был рассмотрен для обыкновенных дифференциальных уравнений L. Weiss, E.F Infante. ([49]), потом это понятие было расширено для разрывных систем, для которых нет условия единственности решения ([41]). Также понятие устойчивости на конечном промежутке может рассматриваться как понятие практической устойчивости для динамических систем [5], [51]. Также в течение всей работы серьёзное внимание уделяется понятию процесса.

В первой главе работы описывается микроволновый нагрев в промышленности и в медицине. Особое внимание уделяется медицинскому вопросу. Помимо этого, в первой главе формулируется начально-краевая задача микроволнового нагрева.

Во второй главе вводится понятие процесса, впервые предложенное в работе C.M. Dafermos, [23], которое является частным случаем коцикла ([27]). Процесс такого типа строится для задачи микроволнового нагрева в одномерном и трёхмерном случаях. Для процесса, введённого для данного типа задач, вводится понятие устойчивости на конечном промежутке. Для него доказываются достаточные условия существования такой устойчивости. Для задачи микроволнового нагрева в одномерном случае они выводятся с помощью прямого вычисления условия устойчивости из определения, а также с помощью специальных варьируемых функций, в том числе функционала Ляпунова. Для трёхмерного случая были также получены достаточные условия устойчивости с помощью функционала Ляпунова и "полярного разложения" ([24]), характерного для функций в специ-

альных функциональных пространствах. В конце второй главы получены численные эксперименты на основании разностных схем, демонстрирующие устойчивость на конечном промежутке времени с учётом параметров, характерных для медицинской задачи нагрева.

В третьей главе понятие процесса расширяется до многозначного процесса, где эволюционный оператор может определен неоднозначно ([34]),так как в реальных задачах математической физики не всегда можно использовать глобальное существование и однозначность решения. Это понятие является обобщением понятия многозначных полугрупп, которое приведено в работах [35], [16]. Для процессов такого типа вводятся понятия устойчивости и неустойчивости на конечном промежутке времени. Для них выводятся условия существования устойчивости и неустойчивости с помощью специальных варьируемых функций, в том числе функционала Ляпунова. В дальнейшем в этой главе в качестве примера рассматривается одномерная задача нагрева с условием дифференциального включения, которое рассматривается вместо уравнения теплопроводности, для которой вводится многозначный процесс.

В четвёртой главе изучаются эволюционные вариационные неравенства. Для них вводится другое понятие процессов из теории управления, которое вводится в работах А.Л. Лихтарникова, В.А. Якубовича ([9]). С помощью частотных методов выводятся функционалы Ляпунова, которые используются для исследования устойчивости на конечном промежутке вариационных неравенств. Также в этой главе описываются функционалы наблюдения для класса вариационных уравнений с многозначной нелинейностью. В конце последней главы в качестве иллюстрации частотных ме-

тодов приводится задача нагрева стержня, для которой доказывается выполнение частотного условия.

1. Задача микроволнового нагрева

1.1. Применение микроволнового нагрева

Микроволны - это электромагнитные волны очень короткой длины и с соответствующей сверхвысокой частотой колебания в диапазоне от 3 • 108 ГГц до 3 • 1011 ГГц. В взаимодействии с различными материалами они индуцируют микроволновый нагрев. Они и другие решения уравнения Максвелла описывают процесс микроволнового нагрева. Процесс микроволнового нагрева широко известен своими приложениями в промышленности, медицине и в других областях. Одна из важнейших задач микроволнового нагрева - это её медицинское применение, которое может быть характерно для рассматриваемых задач в данной работе. В этом случае нагрев тканей может заменить хирургическую операцию по удалению раковой опухоли, которая может находиться в области щитовидной железы, в области лёгких и других органов человека.

Одно из таких приложений - гипертермия, нагрев тканей опухоли микроволновым излучением. Простейший способ такого применения - когда раковая опухоль находится близко к поверхности тела. В этом случае пациент помещается в специальную установку, которая имеет до N = 24 источников микроволнового излучения ([36]), которые находятся вокруг тела пациента и действуют на одинаковой частоте. На рис. 1.1 изображен вариант установки для лечения пациента с помощь процедуры микроволнового нагрева

Рис. 1.1. Устройство для микроволнового нагрева [28]

Качество процедуры гипертермии измеряется с помошью температуры Т90, что означает температуру, которая достигается по крайней мере в 90 процентах области опухоли. Гипертермия обычно подразумевает нагрев тела пациента до температуры 41 — 45°С, длительность такой процедуры может достигать 30-60 минут.

Ещё одним важным применением микроволнового нагрева в медицине является процесс тепловой аблации ([30]). Отличие аблации от процесса гипертермии в первую очередь выражается в температуре нагрева и времени воздействия. Температура нагрева для процесса аблации выше 55 — 60°С, воздействие происходит в короткие промежутки времени (от нескольких секунд до одной минуты). Цель тепловой аблации - уничтожение полностью опухоли, уничтожение всех раковых клеток с минимальным повреждением окружающих здоровых клеток. Способ воздействия тепловой аблации - производить энергию в большом количестве (нагрева или заморозки) используя аппликатор наподобие иглы, помещённый непосредственно в область опухоли. Для эффективного воздействия процесса аблации необхо-

димо разрушить тонкий слой материала вокруг опухоли из-за неопределённости чёткой границы опухоли.

Таким образом, с точки зрения математической модели, в обоих описанных случаях применения микроволнового нагрева в медицине можно считать, что область воздействия О и область раковой опухоли О' приблизительно совпадают, и задача воздействия излучения (система Максвелла и уравнение теплопроводности) может быть рассмотрена только в области О. Для этой микроволновой задачи нагрева существуют ряд параметров, которые характерны именно для неё: а - электропроводность, д - электрическая проницаемость, е - магнитная проницаемость.

Помимо медицинской задачи нагрева также в третьей главе рассматривается другой тип задачи нагрева (стержня), имеющий применения в промышленности.

1.2. Начально-краевая задача микроволнового нагрева

Физический процесс микроволнового нагрева может быть описан с помощью уравнений Максвелла, определяющих распространение микроволнового излучения, и уравнением теплопроводности, показывающим распространение тепла в материале.

Пусть О - область в К3. Уравнения Максвелла будут рассмотрены в этой области. Пусть J обозначает плотность тока, О - ток смещения, Е -вектор напряженности электрического поля, В - вектор плотности магнитного потока, Н - вектор напряженности магнитного поля. Скалярными величинами будут плотность электрического заряда д, электропроводность а, электрическая проводимость е , магнитная проводимость д. Считаем, что

электропроводность, электрическая и магнитная проводимость зависят от пространственной переменной х € О: д = д(х), е = е(х), а = а(х).

Два главных уравнения электродинамики - это закон индукции Фа-радея

Бг + юЬЕ = 0 (1.1)

и закон Ампера

А + 3 — гоШ = Г, (1.2)

где вектор-функция Г считается заданной.

Также к основным уравнениям Максвеллла можно отнести два других уравнения, одно из которых является определением плотности электрического заряда, , а второе выводится из (1.1)

V-В = д,

(1.3)

V • Б = 0.

Вводятся дополнительные уравнения, зависящие от предположений о свойствах среды - материальные уравнения. Сюда входят пропорциональность полей и индукций

В = еЕ, е = е(х),

, ( (1.4)

Б = дН, д = д(х),

и закон Ома

3 = аЕ, (1.5)

то есть электропроводность не зависит от величин, характеризующих электромагнитные явления.

Введем обозначение Qт = О х (0,Т], = дО х (0,Т]. Считаем, что свободный заряд д системы равен нулю, а также вектор-функция Г равна

нулю. Для нашей задачи уравнения Максвелла будут записываться в виде

дН + гЫЕ = 0, (х, г) е От

' V , У ^т (1.6)

еЕг + аЕ = гсШ, (х, г) е От. Под действием микроволнового излучения возникает источник тепла в материале. Он может быть описан с помощью закона Джоуля-Ленца: Локальная плотность внутреннего источника тепла в материале равна д = I • Е - Джоулево тепло. Из закона Ома следует, что I = аЕ. Отсюда д = а|Е|2. Распространение тепла в материале описывается уравнением теплопроводности

в - V • (к(х, в)Ув) = а(в)|Е|2, (х, г) е От (1.7)

где к(х, в) - коэффициент теплопроводности.

Здесь уже нужно рассматривать функцию электропроводности а как функцию от температуры, т.е. а = а(в), для обеспечения обратной связи уравнения теплопродности с системой Максвелла. Введём для задачи граничные условия

V х Е(х,г) = V х с(х,г), (х,г) е 5Г,

(1.8)

в(х,г) = 0, (х,г) е Sт.

где V = V(х) - внешняя нормаль к дО, х е дО, а С(х,г) - заданная функция, и начальные условия

Е(х, 0) = Ео(х), Н(х, 0) = Но(х), в(х, 0) = во(х), х е О, (1.9)

где Е0(х),Н0(х),в0(х) - заданные функции. Сформулирована начально-краевая задача микроволнового нагрева (1.6)-(1.9).

В одномерном по пространству случае можно считать, что направление вектора электрического поля совпадает с направлением оси у, а магнитного поля - с направлением оси г. Тогда электрическое и магнитное

поля являются функциями только координаты х и времени Ь:

Е(х,Ь) = (0, е(х, 0),Я(х,Ь) = (0,0,й(х,Ь)), (х,Ь) е ^т = (0,1) х (0,Т],

(1.10)

где е(х, Ь), Н(х, Ь) - скалярные функции. Тогда уравнения Максвелла можно преобразовать следующим образом:

дЯг + го1Е = дЯг +

гх «у «х

А д А

дх ду дх

0 е(х, Ь) 0

(1.11)

еЕг + аЕ =

гх гу «х

А. А А

дх ду дх

0 0 Н(х,

(1.12)

При проекции первого уравнения на ось г, а второго на ось у, получим следующие уравнения

дht + вх = 0,

(1.13)

евг + ае =

Полагая далее, что д = е =1, система (1.13) может быть сведена к одному волновому уравнению

и)ы - и)хх + а(в)'Шг = 0. Это делается путем замены

/ш(х,Ь) = / е(х,т)<т. Уравнение теплопроводности принимает вид

й - Охх = а(й)К|2.

(1.14)

(1.15)

Начальные и граничные условия имеют вид

т (0,г) = Л(г),т (1,г) = ,Ш, г> 0, в(0,г) = в(1,г) = 0, г> 0,

где /,/2 - заданные измеримые функции,

(1.16)

т (х, 0) = т0 (х) (х, 0) = гш1 (х), 0 < х < 1,

(1.17)

в (х, 0) = в0 (х),

0 < х < 1.

где т0,т1 и в0 - заданные функции.

Таким образом, введена начально-краевая задача (1.14) - (1.17) в одномерном случае (см. [40]).

В дальнейшем в работе будут использованы понятия слабого решения для трехмерной и одномерной начально-краевой задачи нагрева в специальных функциональных пространствах (решение, которое удовлетворяет интегральным тождествам, полученных из уравнений с помощью специальных тестовых функций и интегрирования по частям). Для этих решений будет введено понятие устойчивости на конечном промежутке времени и исследованы условия существования данного типа устойчивости.

Замечание 1.1. На протяжении всей работы во всех функциональных пространствах, в обозначении которых встречается символ Н, он будет заменён на Н, чтобы отделить их от напряжённости магнитного поля

Н.

2. Устойчивость на конечном промежутке в задаче

микроволнового нагрева

В этой главе вводится понятие процесса, исследуется вопрос устойчивости процесса на конечном промежутке времени для одномерной и трехмерной задачи нагрева. Вопрос устойчивости данного типа в одномерной задаче нагрева исследуется с помощью прямых оценок норм решения, а также вывода данного свойства, используя функции Ляпунова.

2.1. Некоторые элементы теории процессов

Пусть (N, рм) - полное метрическое пространство. Введём понятие процесса на N аналогично тому, как это сделано в работах [23] и [34]:

Определение 2.1. Отображение ф : Ю ^ N называется процессом на N, где Ю = {(Ь, в, и)1 (Ь, в, и) € х К х#|, если выполняются следующие свойства:

1. ф0(в, •) = - тождественное отображение на N для всех в € К.

2.фж'(в, и) = фг(Ь' + в, ф1'(в, и)) для всех (в, и) € К х N, € К+.

Определение 2.2. Пусть (ф, (N, рN)) - процесс. Зафиксируем (в,и8) -точка в К х N. Однозначное отображение

V(в,us) := {Ь € ^ и(Ь) € N1

назовём движением ф, которое начинается в (.8,и3), если и(Ь) = фг(8,и(8)) УЬ е К и и(8) = иа.

Введём понятие устойчивости на конечном промежутке для процесса:

Определение 2.3. Процесс (ф, (V, ри)) называется (а,в,Ь0,Т',ри,р)-устойчивым, где 0 < а < в,Ь0 > 0,Т' > 0 - произвольные числа, р е N, если из условия ри(р,ф°(:8,и3)) < а следует, что ри(р,фг(8,иа)) < в для всех Ь е [Ь0, Ь0 + Т'), 8, иа е К XV.

Замечание 2.1. Выбор точки р может быть обусловлен наличием стационарного движения фг(.8,р) = р, У.8,Ь е К хК+. В этом случае её можно понимать как точку равновесия. Заметим, что в случае, когда N является банаховым пространством, нет необходимости использования такой точки для понятия устойчивости на конечном промежутке в таких пространствах.

В случае, если N является банаховым пространством, вместо понятия (а, в,Ь0,Т', ри,р)-устойчивости можно использовать понятие (а, в, Ь0, Т', |Н|д/-)-устойчивости.

Замечание 2.2. Понятие устойчивости на конечном промежутке ([49], [32]) является близким по отношению к понятию непрерывной зависимости от начальных данных, но не следует из него, а является в некотором смысле его расширением: в понятии непрерывной зависимости от начальных данных для любого е > 0 существует 5(е) > 0, в нашем же определении параметры 0 < а < в, а также Ь0 > 0, Т' > 0 заданы изначально.

Вернемся к понятию процесса 2.1.

Определение 2.4. Пусть (ф, (N, pn)) - процесс. Отображение

Ф : R xN ^ R

называется функционалом Ляпунова для этого процесса, если выполнены следующие условия:

(i) Однопараметрическое семейство отображений

Ф(г, •): N ^ R,t е R

непрерывно;

(ii) Для любых фиксированных t е R и u е N

<b(t, u) := lims^0+ sup 1 [Ф(t + s, i^s(t, u)) - Ф(^ u)]

Сформулируем следующую теорему:

Теорема 2.1. Пусть (ф, (N, pn)) - процесс, J := [t0,t0 + T') - временной интервал, 0 < а < @,s > 0 - положительные числа, us е N,p е N, и существуют функционал Ляпунова Ф : J x N ^ R в смысле определения 2.4 и интегрируемая функция g : J ^ R такие, что следующие условия выполнены:

(i) ^(t,u(t)) <g(t) (2.1)

для t е J, и произвольных отображений u(t) е C(t0,t0 + T';N) таких, что а < pn(p, u(t)) < в для любого t е J;

(ii) / д(т)dr < min Ф(t,u(t)) - max Ф(s,u(s)) (2.2)

J s u&N:pN (р,и)=в u&N:pN (p,u)=a

для любых s, t е J, s < t.

Тогда процесс (ф, (N, pn)) будет (а, P,t0,T', pn,р)-устойчивым.

t

Доказательство. Пусть u(-) := D(s,us) = {t G J(s,us) ^ u(t) G N}, s G R,us G N - произвольное движение процесса (ф, (N, pn))• Предположим, что существует минимальное t2 G J такое, что pn(p,u(t2)) = в. Тогда существует также такое ti,to < t1 < t2, что pn(p,u(t1)) = а и PN(p,u(s)) > а для всех t1 < s < t2. Используя понятие производной Ф, запишем следующие соотношения:

pt 2 pt2 Ф(t2,u(t2)) - Ф^и^Ь)) = <b(t,u(t))dr < / д(т)dr. (2.3)

Jt1 Jt1

Из (2.3) получаем, что

t2

Ф^^)) < max Ф(t1,u)W д(т)dr . (2.4)

ugn:PN (p,u)=a Jt1

Соотношения (2.2) и (2.4) показывают, что

Ф^Х^)) < max Ф(t1,u) + min Ф(t2,u) -

ugN'pn (p,u)=a ugN'pn (р,и)=в

max min Ф(t2,u). (2.5)

ugN'pn (p,u)=a ugN:pn (p,u)=fi

Полученное противоречие (2.5) доказывает теорему. □

2.2. Изучение свойства устойчивости на конечном промежутке времени в одномерной задаче нагрева с помощью прямых

оценок норм решения

Рассмотрим начально-краевую задачу

wtt - wxx + a(0)w = 0,x G (0,1),t G (0,T), (2.6)

0t - Oxx = a(9)wt2,x G (0,1),t G (0,T), (2.7)

w(0,t) = &(t),w(1,t) = 6(t),t G (0,T), (2.8)

в(0,Ь) = в(1,Ь)=0,Ь € (0,Т), (2.9)

в(х, 0) = в0(х),х € (0,1), (2.10)

ш(х, 0) = ш0(х), ин(х, 0) = и)\(х), х € (0,1), (2.11)

где в(х,Ь) - температура, ш(х,Ь) - вспомогательная переменная в точке (х,Ь) € (0,1) х (0,Т), описывающая действие электрического и магнитного полей, а = а(в) - диэлектрическая проницаемость, которая зависит от температуры, £]_(Ь),£2(Ь) - заданные функции.

Система (2.6)-(2.11) получена из уравнений Максвелла и теплопроводности в одномерном случае (см. 1 главу (1.14) - (1.17)). Предположим, что следующие условия выполнены:

(А2.1) Существуют константы а0 и а1, такие что 0 < а0 < а (в) < а1(1 + в), Ув > 0;

(А2.2) а удовлетворяет локальному условию Липшица на (0,

(А2.3) £1,6 € С2(0,Т), £(0) = 0,6(0) = 0, щ(х, 0)А(х) € Ь2(0,1).

Приведем теорему существования слабого решения в одномерном случае. Обозначим V := ш^.

Теорема 2.2. ([40]) Существует глобальное слабое решение (ш(х, Ь), v(x, Ь), в(х, Ь)) задачи (2.6)-(2.11); кроме того, € С([0, Т]; Ь2(0,1)); в € Ь2(0,Т; Н1(0,1)).

Приведем задачу (2.6)-(2.11) к задаче с однородными краевыми условиями. Положим

£(х,Ь) := б(Ь)(1 - х)+ Шх (2.12)

и сделаем замену переменных

W(х,Ь) := ш(х,Ь) - £(х,г),У(х,Ь) := Wt(x,t).

Получим систему

Wtt - Wxx + а(вщ = -£и - а(в)£и х € (0,1), Ь € (0,Т), вt - вхх = а(в)(Wt + £t)2, х € (0,1), Ь € (0,Т),

с начально-краевыми условиями

W(0,Ь) = W(1,Ь) = 0, в (0,Ь) = в (1,Ь) = 0, Ь € (0,Т),

W(х, 0) = ^0(х) := Ш0(х) - £(х, 0), х € (0,1), Wt(x, 0) = Wl(х) := ш1(х) - £^х, 0), х € (0,1), в (х, 0) = в0 (х), х € (0,1).

Определим пространство У = Н^(0,1) х Ь2(0,1) х Ь1(0,1) с нормой

\\(ш^,в)\\2г = тах{||шх||12(0д) + Ыи(0,1), У^^д)1

Определим функцию у(Ь,Ь0,у0) = ^(•,{), V(• ,Ь),в(^,Ь)) как решение задачи (2.14) - (2.16) с нормой

\\(ш^,в)\\2у = тах{\\шх \ \ ¿2 (0,1) + \М\и (0,1), \|в\ь1(0,1)1, (2Л7)

где W(•, Ь), V(^,Ь),в(^,Ь) удовлетворяют условиям (2.14)-(2.16). Также обозначим у(Ь0) = у(Ь0,Ь0,у0) = (W(Ь0), V(Ь0),в(Ь0)) = (^0^1,в0).

Введём многозначный процесс для задачи (2.14)-(2.16). Будем считать

N = У.

В нашем случае

ф'(в,щ) = {у (Ь + в,в,у0)|у(Ь + в, в, у0) € Ю(в,у0)|, Ь € (в,Т),в € (0,Т),

(2.18)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

где у(г,в,у0) = ('ш(^,г),у(^,г),в(^,г)) - решение задачи (2.14)-(2.16), такое что у(в,в,у0) = у0 = ^0^\,00) . Тогда можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 2.3. Задача (2.Ц)-(2.16) порождает процесс (ф, (V,ри))(2.18).

Доказательство теоремы для процессов проводится аналогично тому, как это сделано для коцикла в работе ([27]).

Тогда понятие устойчивости на конечном промежутке процесса (2.18) можно использовать для задачи (2.14)-(2.16). Введём следующее условие:

(А2.4) Рассмотрим уравнение теплопроводности с однородными краевыми

условиями типа Дирихле:

вг - ехх = 0, X е (0,1), г е (0,Т), (2.19)

в (х, 0) = в0 (х), х е (0,1), (2.20)

в(0,г) = в(1,г) = 0, г е (0,т), (2.21)

где в0(-) > 0 - заданная функция. Пусть со - верхняя граница в(х,г) для всех х е (0,1),г е (0,Т), где в(х,г) - решение системы (2.19)-(2.21).

Теорема 2.4. Рассмотрим задачу (2.14)-(2.16). Пусть выполнены условия (Л2.1)-Л(2.4) и следующее условие:

(г) N(г)| < ом г е (0,Т), (2.22)

где

1>г 2

N(г):= / + 1Ы№. (2.23)

^ г=1

Здесь и понимаются в смысле

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Скопинов Сергей Николаевич, 2018 год

Литература

[1] Арутюнян Н.Х., Дроздов А Д., Наумов В.Э . Механика Растущих Вязко-упруго-пластических Тел. - Москва: Наука, 1987.

[2] Барабанов Н. Е, Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и Телемеханика. - 1979. - 12. - С. 5-12.

[3] Березанский Ю. М. Разложение по Собственным Функциям Самосопряженных Операторов. - Киев: Наук. Думка, 1965.

[4] Брусин Ю. М. Уравнения Лурье в гильбертовом пространстве и их разрешимость // Прикл. мат. и механика. - 1976. - 40, 5. - С. 947955.

[5] Геращенко Ф.Г., Панталиенко Л.А. Исследование Задач Практической Устойчивости и Чувствительности Динамических Систем, Зависящих от Параметров. - Киев: ИК, 1990.

[6] Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // ПММ - 1960. - 17, 5. - С. 529-540.

[7] Клюшников, В. Д. Устойчивость Упругопластических Систем. -Москва: Наука, 1980.

[8] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и Квазилинейные Уравнения Параболического Типа. - Москва: Наука, 1967.

[9] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Частотная теорема для уравнений эволюционного типа // Сибирск. математ. журн. - 1976. - 17, 5. -С. 1069-1085.

[10] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Дихотомия и абсолютная устойчивость неопределенных нелинейных систем в гильбертовых пространствах // Алгебра и анализ - 1997. - 9, 6. - С. 132-155.

[11] Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Абстрактные критерии абсолютной устойчивости по линейному выходу и их применение, II // Сибирск. математ. журн. - 1983. - 14, 5. - С. 129-148.

[12] Панков А. А. Ограниченные и Почти Периодические Решения Нелинейных Лифференциально-операторных Уравнений. - Киев: Наук. Думка, 1986.

[13] Райтманн Ф, Скопинов С.Н. Устойчивость на конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволнового нагрева // Вестник СПбГУ - 2014. - 1, 2(60).

[14] Шестаков, А. А. Обобщенный Прямой Метод Ляпунова для Систем с Распределенными Параметрами. - Москва: Наука, 1990.

[15] Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений // ПММ - 1960. - т.24, №1. - С. 16-19.

[16] Юмагузин Н.Ю. Асимптотическое поведение двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае. // Канд. дисс-ия, СПб-ГУ, Санкт-Петербург (2011).

[17] Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирск. математ. журн. - 1973. - 14, 2. - С. 384-420.

[18] Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и Телемеханика - 1965. - 26, №5. - С. 753-763.

[19] Banks H. T., K. Ito A unified framework for approximation in inverse problems for distributed parameter systems // Control-Theory and Advanced Technology - 1988. - 4. - Pp. 73-90.

[20] Berkovitz L.D. Optimal Control Theory. - Springer-Verlag, New York: Applied Mathematical Sciences, 1974, Vol. 12.

[21] Cannon J.R. and DiBenedetto E. On the existence of weak-solutions to an n-dimensional Stefan problem with nonlinear boundary conditions // SIAM J. MATH. ANAL. - 1980. - 11, 4.

[22] Cao, J. Prediction of plastic wrinkling using the energy method // J. Appl. Mech. Trans. ASME - 1999. - 66. - Pp. 646-652.

[23] Dafermos C.M. An Invariance Principle for Compact Process // Journal of Differential Equations - 1971. - 9. - Pp. 239-252.

[24] Dautray R., Lions J.L. Mathematycal Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Spectral theory and applications. - New York:Springer-Verlag, 1990.

[25] Dickey, R. W. Free vibrations and dynamic buckling of the extensible beam // J. Math. Anal. Appl. - 1970. - 29. - Pp. 443-454.

[26] Duvant, G., Lions J.L. Inequalities in Mechanics and Physics. -Berlin:Springer-Verlag, 1976.

[27] Ermakov I.V., Kalinin Yu.N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equation - 2011. -Vol. 47, no. 13. - Pp. 1837-1852.

[28] Habash R., Bansal R. Thermal therapy, part 2: hyperthermia process // Critical Reviews in Biomedical Engineering. - 2006. - Vol. 34, N 6. - Pp. 491-542.

[29] Han W, Sofonea M. Evolutionary variational inequalities arising in viscoelastic contact problems // SIAM J. Numer. Anal. - 2000. - 38, 2. - Pp. 556-579.

[30] Huang H.-W., Chihng-Tsung L. Review: therapeutical applications of heat in cancer therapy // Journal of Medical and Biological Engineering. - 2011. -Vol. 32, no. 1. - Pp. 1-11.

[31] Kalinichenko D.Yu, Reitmann V. and Skopinov S.N. Asymptotic behavior of solutions to a coupled system of Maxwell's equations and a controlled differential inclusion // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement - 2013. - Pp. 407-414.

[32] Kalinichenko D.Yu., Reitmann V. and Skopinov S.N. Stability and bifurcations on a finite time interval in variational inequalities // Differential Equations - 2012. - Vol. 48, no. 13. - Pp. 1-12.

[33] Kalinin Y.N., Reitmann V. and Yumaguzin N.Y. Asymptotic behavior of Maxwell's equation in one-space dimension with thermal effect // Discrete

and Continuous Dynamical Systems, Supplement - 2011. - Vol. 2. - Pp. 754-762.

[34] Kapustyan A.V., Melnik V.S. and Valero J. Attractors of multivalued dynamical processes generated by phase-field equations // International Journal of Bifurcation and Chaos - 2003. - Vol. 13., no. 7. - Pp. 19691983.

[35] Kenmochi N., Yamazaki N. Global attractor of the multivalued semigroup associated with a phase-field model of grain boundary motion with constraint // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement

- 2011. - Vol. 2. - Pp. 824-833.

[36] Kohler T., Maass P., Wust P. Efficient methods in hyperthermia treatment planning // Surveys on solution methods for inverse problems

- 2000. - Pp. 155-167.

[37] Kuttler, K. L. and M. Shillor. Set-valued pseudomonotone maps and degenerate evolution inclusions // Comm. Contemp. Math. - 1999. - 1, 1. - Pp. 87-123.

[38] Lions, J.-L. Quelques Methodes de Resolution des Problèmes aux Limites nou Lineaires. // Dunod, Paris (1969).

[39] Lions, J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. - New York:Springer-Verlag, 1971.

[40] Manoranjan R.V., Showalter R. and Yin H.M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series A - 2006. - 15. - Pp. 1155-1168.

[41] Michel A.N., Porter D.W. Practical Stability and Finite-Time Stability of

Discontinuous Systems // IEEE Transactions on Circuit Theory - 1972.

- Vol. 19, no. 2. - Pp. 123-129.

[42] Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B - 2001. - Vol. 1. -Pp. 485-494.

[43] Ovidiu C, Lazu A. Lyapunov pairs for continuous perturbations of nonlinear evolutions // Nonlinear Analysis - 2009. - 71. - Pp. 1012-1018.

[44] Popov S., Reitmann V., Skopinov S. Boundedness and finite-time stability for multivalued doubly-nonlinear evolution systems generated by a microwave heating problem // Abstracts of "The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations". -2017.

- Moscow, Russia. - Pp. 142-143.

[45] Salamon,D. Realization theory in Hilbert space // Math. Systems Theory

- 1989. - 21. - Pp. 147-164.

[46] Savkin A.V. Generalizations of the Kalman-Yakubovich lemma and their applications // 12th World Congress International Federation of Automatic Control, Sydney - 1993. - 1. - Pp. 475-478.

[47] Skopinov S. Stability on the finite time interval for the 3-dimensional microwave heating problem // Book of proceedings of G-RISC International Student's Conference "Science and Progress 2015" - 2015.

- Pp. 50-55.

[48] Visintin, A. Differential Models of Hysteresis. - Berlin:Springer, 1994.

[49] Weiss, L. and E. F. Infante. On the stability of systems defined over a finite time interval // Proc. Nat. Acad. Sci. - 1965. - 54. - Pp. 44-48.

[50] Wloka J. Partial Differential Equations. - Cambridge:Cambridge University Press, 1987.

[51] Yang X.-S. Practical Stability in dynamical systems // Chaos, Solitions and Fractals - 2000. - 11. - Pp. 1087-1092.

[52] Yin H.-M. On a free boundary problem with superheating arising in microwave heating processes // Advances in Mathematical Sciences and Applications, Tokio - 2002. - Vol. 12, no. 1. - Pp. 409-433.

[53] Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature effect // SIAM J. on Mathematical Analysis. - 1998. - Vol. 29. - Pp. 637-651.